STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN REASURANSI HERLAN BUDIAWAN

Transkripsi

1 STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN REASURANSI HERLAN BUDIAWAN DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 23

2 ABSTRAK HERLAN BUDIAWAN. Studi terhadap Perecaaa Premi Optimal dega Reistatemets pada Perusahaa Reasurasi. Dibimbig oleh I GUSTI PUTU PURNABA da RETNO BUDIARTI. Reasurasi merupaka pertagguga megeai seluruh atau sebagia risiko perusahaa asurasi. Perusahaa asurasi membayar sejumlah premi yag telah disepakati kepada perusahaa reasurasi (reisurer). Selajutya, premi-premi tersebut aka mejadi pedapata bagi perusahaa reasurasi. Perecaaa premi sagat diperluka perusahaa reasurasi dalam meghadapi risiko-risiko atas klaim yag diajuka. Perecaaa premi dalam karya ilmiah ii adalah perecaaa premi pada kotrak reasurasi dega reistatemet. Premi ii tidak dibayarka pada awal kotrak, tetapi dibayarka ketika kerugia reisurer melebihi batas maksimum kemampuaya. Utuk ilustrasi secara umum, diasumsika bahwa kerugia reasurasi megikuti sebara ekspoesial terpotog. Kotrak reasurasi memiimumka ilai harapa dari kuadrat selisih atara total pemasuka premi da kerugia perusahaa reasurasi, sehigga perecaaa premi yag diguaka optimal. Miimisasi ilai harapa kuadrat terhadap semua perecaaa premi tersebut dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Matriks koragam dari peubah acak pejelas pada perecaaa premi dega reistatemet memiliki ivers sehigga perecaaa premi optimal tersebut memiliki solusi uik. Perecaaa premi optimal bersifat tak bias da tak egatif. Kata kuci: reasurasi, reistatemet, sebara ekspoesial terpotog

3 ABSTRACT HERLAN BUDIAWAN. Studyig o Optimal Premium Plas with Reistatemets of Reisurace. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA ad RETNO BUDIARTI. Reisurace is a uderwrite all or a portio of the isurace risk. Isurer paid a umber of premiums to reisurer ad that premiums would be icome for reisurer. Premium pla is very importat for reisurer facig risks of submitted claims. Premium pla i this paper is premium pla of reisurace with reistatemet. This premium is ot paid i the begiig of the cotract, but it is paid whe the loss of the reisurer exceed maximum boud capacity of reisurer. For illustratio purpose, it is assumed that the reisurer s loss is satisfied a trucated expoetial distributio. Reisurace cotract miimizes the expectatio of square the differece betwee the total premium icome ad the loss of the reisurace, therefore it is said to be optimal. Miimizig the expectatio of square all over premium plas ca be viewed as a credibility problems. Covariace matrix of the explaatory radom variables of premium pla with reistatemet is ivertible, so that the premium pla has a uique solutio. Optimal premium pla are ubiased ad oegative. Keywords: reisurace, reistatemet, trucated expoetials distributio

4 STUDI TERHADAP PERENCANAAN PREMI OPTIMAL DENGAN REINSTATEMENTS PADA PERUSAHAAN REASURANSI HERLAN BUDIAWAN Skripsi Sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Departeme Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 23

5 Judul Skripsi : Studi terhadap Perecaaa Premi Optimal dega Reistatemets pada Perusahaa Reasurasi. Nama Rerla Budiawa NIM : G54828 Meyetujui Pembimbig I,. Dr. Ir. I Gusti Putu Pumaba, DBA. Ir. Re Budiarti, MS. NIP: NIP: Megetahui: MS. Taggal Lulus: 2B MAY 2

6 Judul Skripsi : Studi terhadap Perecaaa Premi Optimal dega Reistatemets pada Perusahaa Reasurasi. Nama : Herla Budiawa NIM : G54828 Meyetujui Pembimbig I, Pembimbig II, Dr. Ir. I Gusti Putu Puraba, DEA. NIP: Ir. Reto Budiarti, MS. NIP: Megetahui: Ketua Departeme, Dr. Berlia Setiawaty, MS. NIP: Taggal Lulus:

7 KATA PENGANTAR Puji syukur peulis pajatka kepada Allah swt atas berkat, rahmat da kasih sayag-nya sehigga peulis mampu meyelesaika karya ilmiah ii. Berbagai kedala dialami oleh peulis sehigga bayak sekali pihak yag membatu da berkotribusi dalam pembuata karya ilmiah ii. Oleh karea itu, dalam kesempata ii peulis megucapka terima kasih kepada:. keluarga tercita: Ayah da Ibu. Ayah sebagai pemberi motivasi da Ibu sebagai sumber ispirasi, kakakku Ei Rustii beserta suami Hary Widjayato, Ida Farida beserta suami Awar Musadad, Ria Haerai beserta suami Sigit, da Dede Komara beserta istri Lia Nuraei (terima kasih atas doa, dukuga, kesabara da kasih sayagya), adikku Yati Wuladari (terima kasih atas doa, semagat, motivasi da dukugaya). Kepoakaku Irva, Adre, Fauzi, Idria, Fadhil da Fakhri (terimakasih atas doa da keceriaya). 2. Dr. Ir. I Gusti Putu Puraba, DEA. selaku dose pembimbig I yag telah meluagka waktu da pikira dalam membimbig, memberi motivasi, semagat da doa, 3. Ir. Reto Budiarti, MS. selaku dose pembimbig II yag telah memberika ilmu, motivasi, kritik da sara, serta doaya, 4. Dr. Ir. I Waya Magku, M.Sc. selaku dose peguji yag telah memberika ilmu, sara da doaya, 5. semua dose Departeme Matematika, terima kasih atas semua ilmu yag telah diberika, 6. staf Departeme Matematika: Ibu Susi, Bapak Yoo, Mas Hery, Ibu Ade, Alm. Bapak Boo, Bapak Dei, IbuYati atas semagat da doaya, 7. Dewi, Hedra da Rochmat yag telah meluagka waktu utuk mejadi pembahas pada semiar karya ilmiah saya, 8. tema-tema satu bimbiga: Heru, Aisyah, Prama, Fey, da Irma, 9. sahabatku Hardoo, Arbi, Khafizd, Izzudi, James, Ari, Haryato, Ridwa, Irwa, Bei, Fuka, Nova, Achie, Fey, Mega (terima kasih atas kebersamaaya),. tema-tema mahasiswa Matematika agkata 45 (terima kasih atas doa, dukuga semagatya serta kebersamaaya),. kakak-kakak Matematika agkata 43 da 44 yag mejadi cermi utuk mejadi pribadi yag lebih baik, 2. adik-adik Matematika agkata 46 da 47 yag terus medukug agar berkembag, 3. Gumatika Brilia, Gumakusi da HIMAT yag meujukka hal-hal baru, 4. semua pihak yag telah membatu dalam peyusua karya ilmiah ii. Semoga karya ilmiah ii dapat bermafaat bagi duia ilmu pegetahua khususya bidag matematika da mejadi ispirasi bagi peelitia selajutya. Bogor, Mei 23 Herla Budiawa

8 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Ciajur Jawa Barat, pada taggal 2 Desember 989 dari Bapak Koko da Ibu Kokom. Peulis merupaka putra ke-5 dari eam bersaudara. Pada tahu 22 peulis lulus dari SD Negeri Girimukti, tahu 25 peulis lulus dari SMP Negeri Cipaas, tahu 28 peulis lulus dari SMA Negeri Sukaresmi. Peulis diterima sebagai mahasiswa Istitut Pertaia Bogor (IPB) pada tahu 28 melalui jalur Udaga Seleksi Masuk IPB (USMI), Tigkat Persiapa Bersama. Pada tahu 29, peulis memilih mayor Matematika pada Departeme Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam. Selama megikuti perkuliaha, peulis mejadi asiste mata kuliah Kalkulus II (S) pada tahu akademik 2-2. Tahu 28-2 peulis medapatka beasiswa PPA (Peigkata Prestasi Akademik) IPB da Beasiswa BUMN (Bada Usaha Milik Negara) pada tahu Peulis aktif dalam orgaisasi kemahasiswaa di kampus, seperti orgaisasi himpua profesi Departeme Matematika yag dikeal dega GUMATIKA (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai Staf Divisi Pegembaga Sumber Daya Mausia (PSDM) tahu 2-2 da sebagai sekretaris orgaisasi mahasiswa daerah Ciajur yag dikeal dega HIMAT (Himpua Mahasiswa Tjiadjoer). Peulis perah mejadi sekretaris Masa Perkeala Departeme utuk agkata 2 atau agkata 47. Peulis perah medapatka peghargaa, yaitu juara bulu tagkis G-5 League tahu 2, 2, 22 da juara II bulu tagkis KEJURDA UNPAD tahu 22.

9 DAFTAR ISI Halama DAFTAR LAMPIRAN... ix I PENDAHULUAN. Latar Belakag....2 Tujua... II LANDASAN TEORI 2. Kotrak Reasurasi Tak Proporsioal Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Peubah Acak da Fugsi Sebara Nilai Harapa da Ragam Matriks... 3 III PEMBAHASAN 3. Kotrak Reasurasi dega Reistatemets Perecaaa Premi Optimal Eksistesi da Keuika dari Perecaaa Premi Optimal Sifat dari Perecaaa Premi Optimal Cotoh Sebara Ekspoesial Terpotog (Trucated Expoetials Distributio)... 9 IV SIMPULAN... 2 DAFTAR PUSTAKA... 3 LAMPIRAN... 4 viii

10 DAFTAR LAMPIRAN Halama Bukti Lema Bukti Persamaa ix

11 I PENDAHULUAN. Latar Belakag Pada dasarya kehidupa mausia tidak lepas dari risiko, bahaya atau kerugia material yag datag di luar perhitugaya. Seseorag atau bada usaha yag selalu meghadapi risiko aka berusaha utuk meguragi atau meghidari risiko tersebut dega berbagai cara. Salah satu cara yag ditempuh seseorag atau bada usaha utuk memperkecil risiko yag mereka hadapi adalah dega berasurasi. Di sisi lai, perusahaa asurasi atau pihak peaggug yag bidag usahaya justru mejual jasa asurasi utuk megambil alih sebagia atau seluruh risiko yag dihadapi oleh tertaggug, juga aka selalu meghadapi risiko kemugkia adaya tututa gati kerugia da/atau satua dari tertaggug yag wajib mereka bayar sesuai dega persyarata da ketetua polis yag berlaku. Dega demikia, pihak peaggug juga memerluka kebijaka megelola risiko taggug gugat yag mugki aka terjadi setiap saat akibat perjajia-perjajia asurasi dega pihak tertaggug. Lagkah yag harus ditempuh oleh para peaggug utuk memperkecil risiko taggug gugat adalah dega mempertaggugka kembali kepetiga atas kelebiha taggug gugat yag tidak mugki mereka taggug sediri. Kegiata pertagguga ulag terhadap risiko yag dihadapi oleh perusahaa asurasi seperti ii dikeal dega reasurasi. Reasurasi atau pertagguga ulag pada keyataaya mempuyai peraa yag sagat petig dalam idustri asurasi. Pera da fugsi reasurasi tidak haya memberika proteksi asurasi, tetapi juga dapat meaikka kapasitas akseptasi perusahaa asurasi atas risiko-risiko yag melampaui batas kemampuaya karea kelebiha taggug gugat yag tidak bisa mereka taggug sediri aka dijami oleh peaggug ulag. Reasurasi mempuyai dua tipe kotrak atau perjajia reasurasi, yaitu kotrak proporsioal (proportioal treaties) da kotrak tak proporsioal (o proportioal treaties). Kedua kotrak tersebut mempuyai perbedaa medasar terutama dalam hal peetapa premi. Pada karya ilmiah ii dibahas perecaaa premi optimal dega reistatemet utuk kotrak tak proporsioal pada perusahaa reasurasi. Di dalam kotrak ii, premi reistatemet, yaitu jumlah yag harus dibayarka ketika kerugia perusahaa reasurasi melebihi batas maksimum yag aka dibayarka kepada tertaggug didefiisika sebagai peubah acak. Rujuka utama karya ilmiah ii adalah tulisa Hess da Schmidt (24) yag berjudul Optimal Premium Plas for Reisurace with Reistatemets..2 Tujua Tujua dari karya ilmiah ii adalah sebagai berikut:. Mempelajari eksistesi perecaaa premi yag memiimumka ilai harapa dari kuadrat selisih atara total pemasuka premi da kerugia suatu perusahaa reasurasi. 2. Meujukka bahwa perecaaa premi optimal ada, uik, da memeuhi prisip premi bersih. 3. Mempelajari sifat-sifat perecaaa premi optimal. II LANDASAN TEORI Dalam bab ii aka dibahas beberapa ladasa teori yag berkaita dega bahasa karya ilmiah ii. 2. Kotrak Reasurasi Tak Proporsioal Sebagaimaa telah disebut di pedahulua, salah satu kategori kotrak reasurasi adalah kotrak reasurasi tak proporsioal. Kotrak reasurasi tak proporsioal mempuyai cara kerja berbeda dega kotrak reasurasi proporsioal. Kotrak reasurasi proporsioal meetapka pembagia sesi premi secara berimbag da beba risiko yag ditaggug peaggug pertama (pemberi sesi) da peaggug ulag adalah sama, sedagka dalam kotrak reasurasi tak proporsioal, tidak berlaku cara kerja seperti itu. Peetapa premi dalam kotrak reasurasi tak proporsioal tidak haya tergatug pada jumlah limit taggug gugat yag mejadi tagguga peaggug ulag, tetapi juga didasarka pada tigkat rasio klaim/kerugia. Risiko-risiko yag dijami oleh kotrak

12 2 reasurasi tak proporsioal tidak haya terbatas pada risiko biasa, tetapi juga meliputi kejadia-kejadia yag dapat meimbulka kerugia besar. Adapu yag dimaksud dega kotrak reasurasi tak proporsioal adalah suatu perjajia reasurasi yag meetapka bahwa para peaggug ulag dega meerima sejumlah premi yag telah disepakati bersedia membayar kepada peaggug pertama seluruh kerugia yag melampaui limit retesi (uderlyig et retetio) sampai pada batas jumlah atau persetase tertetu akibat peristiwa-peristiwa tertetu yag telah disepakati. (Mariato 997) 2.2 Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Defiisi (Percobaa Acak) Percobaa acak adalah percobaa yag dapat dilakuka berulag-ulag dalam kodisi yag sama. Semua kemugkia hasil yag aka mucul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaa berikutya tidak dapat diduga dega tepat. (Hogg et al. 25) Defiisi 2 (Ruag Cotoh) Ruag cotoh adalah himpua semua hasil yag mugki dari suatu percobaa acak, da diotasika dega Ω. (Grimmet & Stirzaker 992) Defiisi 3 (Kejadia) Kejadia adalah suatu himpua bagia dari ruag cotoh Ω. (Grimmet & Stirzaker 992) Defiisi 4 (Kejadia Salig Lepas) Kejadia A da B disebut salig lepas jika irisa dari keduaya adalah himpua kosog ( ). (Grimmet & Stirzaker 992) Defiisi 5 (Meda-ς) Meda- adalah suatu himpua F yag aggotaya terdiri atas himpua bagia dari ruag cotoh Ω yag memeuhi kodisi berikut:. Ø F, 2. Jika A F maka A c F, 3. Jika A, A 2, F maka i A i F. (Grimmet & Stirzaker 992) Defiisi 6 (Ukura Peluag) Misalka F adalah meda-ς dari ruag cotoh Ω. Ukura peluag P pada (Ω, F ) adalah suatu fugsi P: F [,] yag memeuhi:. P(Ø), P(Ω), 2. Jika A, A 2, F adalah himpua yag salig lepas, yaitu A i A j utuk setiap pasaga i j, maka P i A i P A i i (Grimmet & Stirzaker 992) 2.3 Peubah Acak da Fugsi Sebara Defiisi 7 (Peubah Acak) Misalka Ω adalah ruag cotoh dari suatu percobaa acak. Fugsi X terdefiisi pada Ω yag memetaka setiap usur ω Ω ke satu da haya satu bilaga real X ω x disebut peubah acak. Ruag dari X adalah himpua bagia bilaga real A {x: x X ω, ω Ω}. (Hogg et al. 25) Defiisi 8 (Fugsi Sebara) Misalka X adalah peubah acak dega ruag A. Misalka kejadia A (, x] A, maka peluag dari kejadia A adalah P X x F X x. Fugsi F X disebut fugsi sebara dari peubah acak X. (Hogg et al. 25) Defiisi 9 (Peubah Acak Diskret) Peubah acak X dikataka diskret jika ilaiya berada haya pada himpua bagia yag terhitug dari R. (Grimmet & Stirzaker 992) Catata: Suatu himpua bilaga C disebut terhitug jika C terdiri atas bilaga terhigga atau aggota C dapat dikorespodesika - dega bilaga bulat positif. Defiisi (Peubah Acak Kotiu) Peubah acak X dikataka kotiu jika fugsi sebaraya dapat diekspresika sebagai F X x f u du, x.

13 3 utuk suatu fugsi f: R, yag dapat diitegralka. Selajutya, fugsi f f X disebut fugsi kepekata peluag (probability desity fuctio) bagi X. (Hogg et al. 25) Defiisi (Fugsi Massa Peluag) Fugsi massa peluag dari peubah acak diskret X adalah fugsi p: R, yag diberika oleh p X x P X x. (Grimmet & Stirzaker 992) Defiisi 2 (Peubah Acak Ekspoesial) Suatu peubah acak X disebut peubah acak ekspoesial dega parameter α, α >, jika ilaiya terletak pada [, ) da mempuyai fugsi kepekata peluag f X x αe αx, x. (Grimmet & Stirzaker 992) 2.4 Nilai Harapa da Ragam Defiisi 3 (Nilai Harapa). Jika X adalah peubah acak diskret dega fugsi massa peluag p X, maka ilai harapa X, diotasika dega E X adalah E X x x p X x asalka jumlah di atas koverge mutlak. 2. Jika X adalah peubah acak kotiu dega fugsi kepekata peluag f X, maka ilai harapa X diotasika dega E X adalah E X x f X x dx, asalka itegral di atas koverge mutlak. Jika itegral di atas diverge, maka ilai harapa dari X tidak ada. (Hogg et al. 25) Defiisi 4 (Nilai Harapa Bersyarat) Misalka X da Y adalah peubah acak kotiu da f X Y adalah fugsi kepekata peluag bersyarat dari X dega syarat Y y, maka ilai harapa dari X dega syarat Y y adalah, E X Y y xf X Y x y dx. (Hogg et al. 25) Defiisi 5 (Ragam) Ragam dari peubah acak X adalah ilai harapa dari kuadrat selisih atara X dega ilai harapaya. Secara matematis dapat diyataka sebagai Var X E X E X 2 E X 2 E X 2. (Hogg et al. 25) Defiisi 6 (Koragam) Misalka X da Y adalah dua peubah acak dega E X μ da E Y μ 2, maka koragam peubah acak X da Y adalah Cov X, Y E X μ Y μ 2 E XY μ μ Matriks (Hogg et al. 25) Defiisi 7 (Traspos dari Suatu Matriks) Traspos dari suatu matriks A berukura m adalah matriks B berukura m yag didefiisika oleh b ji a ij, utuk j,2,, da i,2,, m. Traspos dari matriks A diotasika dega A T. (Leo 2 Defiisi 8 (Matriks Simetris) Suatu matriks A berukura disebut simetris jika A T A. (Leo 2) Defiisi 9 (Matriks Idempotet) Suatu matriks A berukura disebut matriks idempotet jika A 2 A. (Leo 2) Defiisi 2 (Ivers Matriks) Suatu matriks A berukura dikataka tak sigular (osigular) atau dapat dibalik (ivertible) jika terdapat matriks B sehigga AB BA I. Matriks B disebut sebagai ivers perkalia (multiplicative iverse) dari A. (Leo 2)

14 4 III PEMBAHASAN 3. Kotrak Reasurasi dega Reistatemets Kotrak reasurasi tak proporsioal merupaka suatu perjajia reasurasi yag meetapka bahwa para peaggug ulag (reisurer) dega meerima sejumlah premi yag telah disepakati bersedia membayar kepada peaggug pertama seluruh kerugia yag melampaui limit retesi (uderlyig et retetio) sampai pada batas jumlah atau persetase tertetu akibat peristiwa-peristiwa tertetu yag telah disepakati. Misalka bilaga real H, adalah kostata yag meyataka batas atas liabilitas total dari reisurer da peubah acak S: Ω R dega P S H adalah peubah acak yag meyataka kerugia total dari reisurer. Kerugia Asurasi Kerugia total X yag ditaggug oleh sebuah perusahaa asurasi dapat dipresetasika sebagai X N j Y j (3.) dega X total klaim/kerugia total perusahaa asurasi, N bayakya klaim yag diajuka oleh tertaggug, Y j besarya klaim dari tertaggug ke-j, dega j,2,, N. Model ii serig disebut juga model kolektif utuk kerugia total X. Secara umum model ii merepresetasika klaim secara meyeluruh pada periode tertetu. Peubah acak N meyataka bayakya klaim da peubah acak Y j meyataka besarya klaim ke-j, j,2,, N. Diasumsika Y j adalah bebas stokastik idetik da j N bebas terhadap N. Kerugia Reasurasi Perusahaa asurasi meetuka tigkat retesi tertiggi utuk setiap kelas risiko dari masig-masig pertaggugaya. Peetapa retesi pada keyataaya tidak haya petig bagi pemberi sesi, tetapi juga petig bagi para peaggug ulag dalam meetuka limit tertiggi yag dapat ditaggugya berdasarka kotrak reasurasi. Peetua limit tertiggi ii erat sekali kaitaya dega kerugia perusahaa terutama dalam hal miimisasi tigkat kerugia. Kerugia reisurer dalam kotrak reasurasi dega prioritas d, da ilai, adalah X N j mi Y j d +, (3.2) dega d adalah batas maksimum klaim yag aka dibayarka perusahaa asurasi terhadap pihak tertaggug da adalah batas maksimum yag dapat dibayarka oleh perusahaa reasurasi terhadap klaim yag diajuka. Peubah acak dari model bersama utuk kerugia tertaggug tidak dapat diamati oleh perusahaa reasurasi, tetapi model koleksi N, Y j dapat ditrasformasika ke j N dalam model kolektif N, Y j j N (Hess 23). Oleh karea itu, kerugia total reisurer dapat dipresetasika sebagai X N j mi Y j d, (3.3) dega X kerugia reisurer, Y j besarya klaim ke-j yag melebihi prioritas, N bayakya klaim yag melebihi prioritas. Jika kotrak reasurasi merupaka prioritas total D, da batas maksimum total H,, maka kerugia reisurer adalah S mi X D +, H (3.4) dega X D + X D, jika X D, jika X D <. Peubah acak S memeuhi P S H. Kemudia diasumsika kotrak reasurasi pada S dega N reistatemets di dalam retag, H dibagi ke dalam + bagia,,, 2,,, H dega H +. (3.5)

15 5 Premi awal π R dibayarka pada awal kotrak, yaitu pada retag,, da premi reistatemet π k R dibayarka ketika kerugia S melebihi k dega k {,2,, }. Barisa terhigga π π k k,,, R mejadi perecaaa premi utuk kotrak reasurasi dega -reistatemets. Peluag premi reistatemets yag dibayarka adalah P S, k P k < S k +, k,,, (3.6),, k,,, da memeuhi k. (3.7) Jika sekurag-kuragya terdapat m-klaim yag melebihi prioritas da jika klaim ke-m melebihi prioritas seperti m j mi Y j d, m k < mi Y j d,, j (3.8) maka premi reistatemet π k harus dibayar. 3.2 Perecaaa Premi Optimal Asumsika Π adalah kumpula dari semua perecaaa premi utuk kotrak reasurasi dega -reistatemets. Utuk recaa premi π π k k,,, Π, total premi reistatemet didefiisika sebagai peubah acak da dapat dipresetasika sebagai δ π π + π k χ k <S dega χ k<s, jika k < S, jika k S. (3.9) (3.) Premi awal, diotasika dega π merupaka premi yag dibayarka pada awal kotrak, da premi reistatemet, diotasika dega π k merupaka premi yag dibayarka ketika kerugia S melebihi k dega k {,2,, }. Nilai harapa dari kuadrat selisih atara kerugia da total pemasuka premi suatu perusahaa reasurasi didefiisika sebagai E δ π S 2. (3.) Recaa premi π π k k,,, Π dikataka tak bias jika E δ π E S, (3.2) tak egatif jika π k, k,,,, da optimal jika π megakibatka E δ π S 2 miimum. Pada pembahasa selajutya, aka ditujukka bahwa terdapat perecaaa premi uik π π k k,2,, Π yag memiimumka E δ π S 2, bersifat tak bias da tak egatif. 3.3 Eksistesi da Keuika dari Perecaaa Premi Optimal Memiimumka E δ π S 2 terhadap semua perecaaa premi π Π dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Masalah kredibilitas sagat petig bagi suatu perusahaa reasurasi karea hal ii aka memegaruhi seberapa besar tigkat kepercayaa tertaggug terhadap perusahaa tersebut. Kredibilitas ii sagat erat kaitaya dega kemampua suatu perusahaa reasurasi dalam meaggug kerugiakerugia yag dialami oleh pihak tertaggug. Telah diketahui bahwa masalah kredibilitas mempuyai solusi uik. Jika matriks koragam Χ dari vektor acak dibetuk oleh peubah acak pejelas yag mempuyai represetasi uik sebagai pejumlaha liear dari peubah acak pejelas, da jika ivers dari matriks koragam Χ diketahui, maka formula eksplisit dapat diberika utuk koefisie pada solusiya. Didefiisika: χ <S Χ (3.3) χ <S dega μ E Χ, μ E S, da Σ Var Χ, ρ Cov Χ, S, ς 2 Var S. Selajutya utuk memperlihatka bahwa perecaaa premi optimal mempuyai solusi yag uik, aka ditujukka Σ mempuyai ivers da aka ditetuka ivers dari Σ. Didefiisika matriks B k b k:i,j R x utuk k,2,, dega b k:i,j, jika i, j k, selaiya. 3.4

16 6 Sehigga diperoleh matriks B sebagai berikut. B B 3, B 2,, B Selajutya, matriks A didefiisika sebagai A B k. (3.5) Sehigga diperoleh matriks A sebagai berikut. A k2 k3 k2 k2 k3 k3 k3 k3 α α α α α α α Kemudia didefiisika matriks G R x dega g i,j ki, jika j, selaiya..,. (3.6) Sehigga diperoleh matriks G sebagai berikut. G α + α α α 2 + α α α 3 + α α α 4 + α α α + α α Selajutya hubuga atara Σ, A, da G aka ditujukka dalam Lema sebagai berikut. Lema Matriks Σ memeuhi Σ A GG T. (3.7) Bukti: Disajika pada Lampira.. Didefiisika matriks C k R x utuk k,,, dega, jika i, j k, k, k +, k + c k:i,j, jika i, j k, k +, k +, k, selaiya. (3.8) Kemudia diperoleh C B. (3.9) C B. Lema 2 Matriks A adalah ivertible da memeuhi A C k. (3.2) Bukti (Lema 2) Utuk k,2,, didefiisika matriks D k R x dega, jika i k j d k:i,j, jika i < k + j (3.2), selaiya. Utuk k, l,2,, didefiisika B k C l D k, jika k l Ο, selaiya. Bukti: Disajika pada Lampira 2. (3.22) Oleh karea itu, berdasarka persamaa (3.2) da persamaa (3.22) diperoleh AA B k B k C k D k C k D + D 2 + D D

17 7 Ι. Lema 3 Matriks Σ adalah ivertible da memeuhi Σ C k. k 3.23 Bukti (Lema 3) Ambil G AB da B adalah simetris da idempotet. Dari Lema diperoleh Σ A GG T A AB AB T A AB B T A T A AB B A A AB A A GA Ι G A. Megguaka Lema 2 da persamaa G 2 α o G, diperoleh ΣΣ Σ k C k Ι G A α o C + C k Ι G A α o C + A Ι G α o AC + AA Ι G α o AB + Ι Ι G α o G + Ι α o G α o G 2 + Ι G α o G G 2 + Ι G α o G α o G + Ι G α o α o G + Ι G G + Ι G Ι. Lema ii meujukka bahwa perecaaa premi optimal mempuyai solusi yag uik. Teorema Terdapat suatu perecaaa premi optimal π π k k,,, Π yag memiimumka E δ π S 2 da premi total dari perecaaa premi π yag memeuhi δ π μ + ρ T Σ Χ μ (3.24) da E δ π S 2 ς 2 + ρ T Σ ρ. (3.25) Secara khusus, premi awal π memeuhi π μ μ T Σ ρ (3.26) da premi reistatemet π,, π memeuhi π π Σ ρ. (3.27) Perecaaa premi π adalah tak bias. Bukti dapat dilihat di Hess & Schmidt [2]. 3.4 Sifat dari Perecaaa Premi Optimal Teorema memperlihatka eksistesi da keuika dari perecaaa premi optimal yag sama baikya dega formula eksplisit utuk premi awal da premi reistatemet dari recaa premi ii. Aka ditujukka bahwa perecaaa premi optimal adalah tak egatif. Utuk k,,,, +, didefiisika ρ k Cov S, χ k <S, jika k,,,, jika k, + ρ (3.28) da ρ ρ. (3.29) Pada bagia ii, aka diperoleh sebuah formula pelegkap utuk perecaaa premi optimal. Teorema 2 Perecaaa premi optimal π π k k,,, memeuhi π k μ ρ, α o jika k ρ k ρ k+ ρ k ρ k, jika k,,. (3.3) Bukti (Teorema 2) k,,,, kita mempuyai C k ρ ρ k ρ k+ c k ρ k ρ k+ c k+ (3.3) dega c k e k, jika k,,,, jika k, +,

18 8 da e k merupaka uit ke-k dari vector R. Didefiisika π π π. (3.32) Berdasarka persamaa (3.23) da (3.27), diperoleh π Σ ρ C k ρ k k k ρ k ρ k+ c k ρ k ρ k+ c k+ ρ k ρ k+ c k ρ k ρ k+ c k ρ k ρ k+ k ρ k ρ k e k. ρ k ρ k+ c k+ ρ k ρ k c k Persamaa π k terbukti utuk k,2,,. Selajutya, kita mempuyai μ j k α j e k. (3.33) Dega megguaka persamaa (3.26), diperoleh π μ μ T Σ ρ μ μ T π μ α j μ α j j μ α j j μ α j j j k j ρ k ρ k+ ρ k ρ k+ ρ k ρ k ρ k ρ k ρ j ρ j + α j ρ ρ α ρ j ρ j + α j + ρ α μ ρ j ρ j + + α j ρ j α μ ρ α j j ρ α μ ρ + α ρ α μ ρ. α Persamaa π terbukti utuk k. Teorema ii memberika represetasi lai dari premi pada perecaaa premi optimal da meujukka bahwa perecaaa premi optimal adalah tak egatif. Teorema 3 Perecaaa premi optimal π π k k,,, memeuhi E S S, jika k π k E S k < S k + E S k < S k, jika k,,. (3.34) Secara khusus, perecaaa premi optimal adalah tak egatif. Bukti (Teorema 3) Utuk k,,, kita mempuyai E S k < S k + E Sχ k<s k+ P k < S k + E Sχ k<s E Sχ k+ <S ρ k + μ α j j k ρ k ρ k+ + μ μ + ρ k ρ k+. E S k < S k ρ k+ + μ j k+ E Sχ k <S k P k < S k E Sχ k <S E Sχ k <S ρ + μ α j k j k ρ k + μ ρ ρ k + μ k μ + ρ k ρ k. j k α j α j

19 9 Sehigga diperoleh π k E S k < S k + E S k < S k μ + ρ k ρ k+ ρ k ρ k+ ρ k ρ k, utuk k,2,,. μ + ρ k ρ k Dega argume serupa, dihasilka E S S E Sχ S P S E Sχ <S E Sχ <S da C k ρ ρ k ρ k+ c k ρ k ρ k+ c k+, (seperti ditujukka dalam bukti Teorema 2), diperoleh ρ T C k ρ 2 ρt C k 2 ρ 2 ρt C k C k ρ 2 C kρ T C k ρ 2 ( ρ k ρ k+ c k (ρ k ρ k+ )c k+ ) T. ρ k ρ k+ c k ρ k ρ k+ c k+ 2 ρ k ρ k+ c k c k+ T. ((ρ k ρ k+ )(c k c k+ )) μ α j j ρ + μ α j j 2 ρ k ρ k+ 2 c k c k+ T c k c k+ 2 ρ k ρ k+ 2 e k e k+ T e k e k+ α μα ρ μ ρ α, utuk k. Premi dari perecaaa premi optimal selajutya megikuti Teorema 2. Sebagai tambaha, kita mempuyai E S k < S k + k E S k < S k, utuk k,2,, da E S S. Sehigga secara tidak lagsug premi optimal adalah tak egatif. Teorema 4 Nilai harapa dari kuadrat galat peduga premi total pada perecaaa premi optimal memeuhi persamaa E δ π S 2 ς 2 + k da variaya memeuhi persamaa Var δ π k ρ k ρ k+ 2 (3.35) ρ k ρ k+ 2. (3.36) Bukti (Teorema 4) Utuk k,2,,, didefiisika C k 2 2C k (3.37) 2 ρ k ρ k+ 2 (e k T e k e k T e k+ e T k+ e k + e T k+ e k+ ) 2 ρ k ρ k+ 2 + ρ k ρ k+ 2. Berdasarka persamaa (3.23) da (3.25), diperoleh E δ π S 2 ς 2 + ρ T Σ ρ ς 2 + ρ T C k ρ k ς 2 + ρ k ρ 2 k+. k 3.5 Cotoh Sebara Ekspoesial Terpotog (Trucated Expoetials Distributio) Utuk ilustrasi secara umum, diasumsika kerugia reasurasi memeuhi sebara ekspoesial terpotog. Aggap peubah acak X dega P X x x, jika x αe αt dt, jika x >, utuk parameter α,, yag berarti bahwa X meyebar ekspoesial dega parameter α.

20 Didefiisika S mi X, H X, jika X H H, jika X > H. Besarya premi bersih utuk S adalah E S E X H + E X > H H tαe αt dt + He αh te αt α e αt H + He αh He αh α e αh α +He αh α e αh + α α e αh. Besarya peluag premi reistatemet yag dibayarka adalah P S αe αt dt α e αt dt α α e αt e αt e α e e α. P k < S k + k+ αe αt dt k k+ α e αt dt k α α e αt k k+ e αt k k+ e + e αk e αk e +. P < S H H αe αt dt + αe αt dt H H α e αt dt + α e αt dt α α e αt H + α α e αt H e αt H H + e αt H e αh e α + e e αh e α. Besarya premi yag harus dibayarka adalah E Sχ S tαe αt dt te αt + e αt dt te αt α e αt e α α e α α e α α e α + α α e α e α. E Sχ k <S k+ k+ tαe αt dt k k+ te αt + e αt dt k te αt α e αt k k+ k + e + k+ e α α ke αk α e αk ke αk + k + e + α e αk k+ e α α α e αk e + + ke αk k + e +. E Sχ <S H H tαe αt dt + He αh H te αt + e αt dt + He αh

21 te αt α e αt H + He αh He αh α e αh α e α e α + He αh e α + α e α α e αh α e α e αh + e α. Oleh karea itu, diperoleh E S S E Sχ S P S α e α e α e α α e α e α. E S k < S k + E Sχ k<s k+ P k < S k + α e αk e + + ke αk + k + e e αk e + α e αk + e e αk e + + k e αk + e e αk e + + e e αk e + α e αk e α e αk + k e α α e α + k. e α E S < S H E Sχ <S H P < S H α e α e αh + e α e α α e α +. α Sehigga besarya premi dari perecaaa premi optimal π π k k,,, memeuhi. Utuk k π k E S S α e α e α. 2. Utuk k,2,, π k E S k < S k + E S S α e α e α + k α + e α e α k. 3. Utuk k π k E S < S H E S k < S k + α e α α + α e α e α + k e α e α e α α. Sehigga dapat disimpulka bahwa perecaaa premi optimal memeuhi π k α e α, e α jika k k, jika k,2,, e α e α, e α α jika k da π < k < π.

22 2 IV SIMPULAN Reasurasi merupaka perjajia atara beberapa perusahaa asurasi megeai pegaliha sebagia atau seluruh risiko utuk meghidari kebagkruta akibat risiko katastropik, yaitu risiko yag dapat megakibatka kerugia yag sagat besar. Perecaaa premi sagat diperluka perusahaa reasurasi dalam meghadapi risiko-risiko atas klaim yag diajuka. Salah satu upaya yag dapat dilakuka perusahaa reasurasi utuk megoptimalka premi yag aka dibayarka adalah dega memberlakuka kotrak reasurasi dega reistatemet. Total premi yag dibayarka merupaka pejumlaha atara π (premi yag dibayarka pada awal kotrak) da π k (premi reistatemet) yag dibayarka ketika kerugia perusahaa melebihi batas atas liabilitas reisurer. Eksistesi dari suatu perecaaa premi adalah memiimumka ilai harapa dari kuadrat selisih atara kerugia da total pemasuka premi suatu perusahaa reasurasi sehigga perecaaa premi yag diguaka optimal da dapat dilihat sebagai masalah kredibilitas. Masalah kredibilitas ii sagat petig bagi perusahaa reasurasi karea sagat erat kaitaya dega kemampua perusahaa reasurasi dalam meaggug kerugia-kerugia yag dialami tertaggug sehigga aka memegaruhi seberapa besar tigkat kepercayaa tertaggug terhadap perusahaa tersebut. Perecaaa premi optimal memeuhi prisip premi bersih da mempuyai solusi uik karea matriks koragam dari perecaaa premi tersebut mempuyai ivers. Selai itu, perecaaa premi optimal mempuyai beberapa sifat, yaitu tak bias da tak egatif. Perecaaa premi bersifat tak bias ketika kerugia perusahaa reasurasi sama dega total pemasuka premi pihak tertaggug.

23 3 DAFTAR PUSTAKA Grimmet GR, Stirzaker DR Probability ad Radom Processes. 2 d Ed. Oxford: Claredo Press. Hess KT. 23. Das kollektive modelle der risikhotheorie i der schadeexzedete ruckvericherug. Allg. Statist. Archiv 87: Hess KT, Schmidt KD. 2. Credibility modelle i tarifierug ud reservierug. Allg. Statist. Archiv 85: Hess KT, Schmidt KD. 24. Optimal premium plas for reisurace with reistatemets. Asti Bulleti 34(2): Hogg RV, Craig AT, McKea JW. 25. Itroductio to Mathematical Statistics. 6 th Ed. New Jersey: Pretice Hall. Leo SJ. 2. Aljabar Liear da Aplikasiya. Ed ke-5. Boda A, peerjemah; Hardai HW, editor. Jakarta: Erlagga. Terjemaha dari: Liear Algebra with Applicatios. 5 th Ed. Mariato AJ Reasurasi. Jakarta: Ghalia Idoesia.

24 LAMPIRAN 4

25 5 Lampira Bukti Lema Matriks Σ memeuhi Σ A GG T. Berdasarka persamaa (3.3), Σ Var Χ E ΧΧ T E Χ E Χ T. Jadi, aka dibuktika bahwa A E ΧΧ T da GG T E Χ E Χ T memeuhi Σ A GG T. sehigga matriks Σ Bukti: Berdasarka persamaa (3.3), i,, da j,, i, kita mempuyai Sehigga X i χ i <S, X j χ j<s. X i X j χ i <S j<s χ i<s X i Oleh karea itu, E X i X j E X i P i < S. E ΧΧ T. ki Χ χ <S χ 2<S χ 3<S χ <S ΧΧ T χ <S χ 2<S χ 3<S χ <S χ <S χ 2<S χ 3<S χ <S χ <S <S χ <S 2<S χ <s 3<S χ <S <S χ 2<S <S χ 2<S 2<S χ 2<s 3<S χ 2 <S <S χ 3<S <S χ 3<S 2<S χ 3<s 3<S χ 3 <S <S χ <S <S χ <S 2<S χ <s 3<S χ <S <S χ <S χ 2<S χ 3<S χ <S χ 2<S χ 2<S χ 3<S χ <S χ 3<S χ 3<S χ 3<S χ <S χ <S χ <S χ <S χ <S

26 6 Sehigga E ΧΧ T k2 k3 k2 k2 k3 k3 k3 k3 α α α α α α α A. Terbukti E ΧΧ T A. 2. E Χ E Χ T. Χ χ <S χ 2<S χ 3<S χ <S E Χ k2 k3 α da E Χ T α. k2 k3 Sehigga E Χ E Χ T k2 k2 k3 α k3 α

27 7 α k2 k3 k2 k2 k2 k2 k3 k3 α k3 k2 k3 k3 α k2 α α α k2 k3 k3 α α Sedagka GG T k2 k3 α k2 k3 α α k2 k3 k2 k2 k2 k2 k3 k3 α k3 k2 k3 k3 α k2 α α α k2 k3 k3 α α E Χ E Χ T. Terbukti E Χ E Χ T GG T. Jadi, berdasarka () da (2) terbukti bahwa matriks Σ memeuhi Σ A GG T dega A E ΧΧ T da GG T E Χ E Χ T.

28 8 Lampira 2 Bukti persamaa Berdasarka persamaa 3.4, 3.8, da (3.2), didefiisika matriks B k, C k, da D k berturutturut sebagai berikut. B k R x dega b k:i,j utuk k,2,,. C k R x dega c k:i,j utuk k,,,. D k R x dega d k:i,j utuk k,2,,., jika i, j k, selaiya,, jika i, j k, k, k +, k +, jika i, j k, k +, k +, k, selaiya,, jika i k j, jika i < k + j, selaiya, Oleh karea itu, diperoleh B C D B C 2 Ο B C 3 Ο B C Ο B 2 C Ο

29 9 B 2 C 2 D 2 B 2 C 3 Ο B 2 C Ο B 3 C Ο B 3 C 2 Ο B 3 C 3 D 3 B 3 C Ο B C Ο B C Ο

30 2 B C D B C D Uraia tersebut di atas dapat ditulis sebagai berikut. B C D B 2 C 2 D 2 B 3 C 3 D 3 B C D B C D B k C l D k jika k l. B C 2 Ο B C 3 Ο B C Ο B 2 C Ο B 2 C 3 Ο B 2 C Ο B 3 C Ο B 3 C 2 Ο B 3 C Ο B C Ο B C Ο B k C l Ο jika k l. Jadi, dapat disimpulka bahwa B k C l D k, jika k l Ο, selaiya k l.