Sebaran Peubah Acak Bersama

Transkripsi

1 Bab 6 Sebaran Peubah Acak Bersama 6. Peubah Acak Ganda Misalnya terdapat suatu tindakan pelemparan sekeping mata uang seimbang sebanyak 3 kali, dan X adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul dari 3 lemparan, serta Y adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul dari 2 lemparan terakhir. Maka dapat ditentukan X = {0,, 2, 3} dan Y = {0,, 2}. Fungsi massa peluang dari peubah acak X dan Y secara bersama dapat ditentukan sebagai berikut: P [(X, Y ) = (x, y) = f(x, y) = /8 untuk (x, y) = (0, 0), (, 0), (2, 2), (3, 2) 2/8 untuk (x, y) = (, ), (2, ) atau dapat juga disajikan dalam bentuk tabel seperti berikut: Y X 0 2 f X (x) 0 /8 0 0 /8 /8 2/8 0 3/ /8 /8 3/ /8 /8 f Y (y) 2/8 4/8 2/8 Definisi 6... Peubah acak ganda-n, yaitu (X, X 2,..., X n ) adalah suatu fungsi dari ruang contoh S ke ruang bilangan nyata berdimensi n (R n ), n =, 2, 3,... Definisi Ambil peubah acak ganda-2 diskret (X, Y ). Suatu fungsi R 2 ke R berikut: f(x, y) = P [(X, Y ) = (x, y)] untuk (x, y) R 2 disebut fungsi massa peluang (fmp) dari peubah acak ganda-2 (X, Y ) (X, Y ) = {(x, y); f(x, y) > 0}

2 Julio Adisantoso ILKOM IPB 2 Contoh a. Dari ilustrasi sebelumnya, hitunglah (a) P (X + Y = 2), (b) P (X + Y >, (c) P ( X Y < 2). Definisi Nilai harapan dari suatu fungsi dari peubah acak ganda-2 diskret (X, Y ) adalah E[g(X, Y )] = (x,y) (X,Y ) g(x, y)f(x, y) Contoh b. Dari ilustrasi sebelumnya, hitunglah E(XY ). Teorema 6... Ambil peubah acak diskret (X, Y ) dengan fmp f(x, y) untuk (x, y) R 2. (i) Fmp marjinal dari peubah acak X adalah f X (x) = P (X = x) = y {y;f(x,y)>0} (ii) Fmp marjinal dari peubah acak Y adalah f Y (y) = P (Y = y) = x {x;f(x,y)>0} f(x, y), untuk x R f(x, y), untuk y R Contoh c. Dari ilustrasi sebelumnya, tentukan fmp marjinal f X (x) dan f Y (y), serta E[X] dan E[Y ]. Definisi Kovarian dari peubah acak diskret (X, Y ) adalah Bila X = Y maka Cov(X, Y ) = E[XY ] E[X]E[Y ]. Cov(X, Y ) = E[X 2 ] (E[X]) 2 = V ar(x). Koefisien korelasi dari peubah acak (X, Y ) adalah ρ(x, Y ) = dan ρ(x, Y ). Cov(X, Y ) V ar(x) V ar(y ) = Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ). Contoh d. Dari ilustrasi sebelumnya, hitunglah Cov(X, Y ) dan ρ(x, Y ).

3 Julio Adisantoso ILKOM IPB Peubah Acak Kontinu Ganda-2 Definisi Ambil peubah acak kontinu ganda-2 (X, Y ). Suatu fungsi f X,Y (x, y) 0 untuk (x, y) R 2 disebut fungsi kepekatan peluang (fkp) bersama dari peubah acak (X, Y ) jika untuk setiap himpunan A R 2 berlaku Bila A = R 2 maka P [(X, Y ) A] = P [(X, Y ) A] = (x,y) R 2f X,Y (x, y)dxdy = Definisi Fkp marjinal dari peubah acak X adalah f X (x) = Fkp marjinal dari peubah acak Y adalah f Y (y) = (x,y) A f X,Y (x, y)dxdy. f X,Y (x, y)dy, untuk x R f X,Y (x, y)dx, untuk y R. f X,Y (x, y)dxdy =. Contoh 2. Peubah acak kontinu (X, Y ) memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut: 4xy untuk 0 < x <, 0 < y < Berapa (a) P (X > Y ), (b) P (Y > X 2 ), (c) P (XY < 2 ), (d) fkp marjinal dari X dan Y? 6.3 Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari peubah acak ganda-2 (X, Y ) adalah: F (x, y) = P [X x Y y], untuk (x, y) R 2 = y x f(u, v) du d v. Contoh 3a. Diketahui fungsi kepekatan peluang bersama peubah acak (X, Y ) sebagai berikut: f(x, y) = Dapatkan fungsi sebaran F (x, y). 4xy untuk 0 < x < 2, 0 < y <

4 Julio Adisantoso ILKOM IPB 4 Contoh 3b. Diketahui fungsi kepekatan peluang bersama peubah acak (X, Y ) sebagai berikut: f(x, y) = Dapatkan fungsi sebaran F (x, y). untuk 0 < x < 2, 0 < y < x/2 6.4 Peubah Acak Ganda-2 Campuran 6.4. Peubah acak X kontinu, Y diskret Sebagai ilustrasi, misalnya fmp/fkp dari peubah acak (X, Y ) sebagai berikut: Fkp marjinal dari peubah acak X adalah: f X (x) = Fkp marjinal dari peubah acak Y adalah: f Y (y) = /6 untuk 0 < x <, y = 2/6 untuk 0 < x <, y = 2 3/2 untuk 2 < x < 2 2, y = = 2 untuk 0 < x < = 3 4 untuk 2 < x < 4 untuk < x < untuk x lainnya 0 6 dx = 6 untuk y = dx = 2 6 untuk y = dx = 2 untuk y = 3 0 untuk y lainnya Contoh 4a. Berdasarkan ilustrasi sebelumnya, tentukan (a) Cov(X, Y ) dan (b) ρ(x, Y ) Peubah acak X diskret, Y kontinu Sebagai ilustrasi, misalnya fmp/fkp dari peubah acak (X, Y ) sebagai berikut: y untuk x =, 0 < y < 2y untuk x = 2, 0 < y < 8y untuk x = 3, 0 < y < 2

5 Julio Adisantoso ILKOM IPB 5 Fkp marjinal dari peubah acak X adalah: 0 ydy = 2 untuk x = 0 f X (x) = 2 ydy = 4 untuk x = ydy = 4 untuk x = 3 0 untuk x lainnya Fkp marjinal dari peubah acak Y adalah: f Y (y) = y + 2 y + 8 y = 3 8 y untuk 0 < y < 8 y untuk < y < 2 0 untuk y lainnya Contoh 4b. Berdasarkan ilustrasi sebelumnya, tentukan (a) Cov(X, Y ) dan (b) ρ(x, Y ). 6.5 Sebaran Bersyarat dan Dua Peubah Acak Bebas Definisi Ambil peubah acak ganda-2 (X, Y ) yang diskret atau kontinu dengan fmp/fkp bersama f X,Y (x, y) untuk (x, y) R, serta f X (x) untuk x R dan f Y (y) untuk y R masing-masing sebagai fmp/fkp marjinal dari peubah acak X dan Y. a) Fmp/fkp bersyarat dari peubah acak Y bila diketahui X = x adalah suatu fungsi dari y sebagai berikut: f Y X (y x) = f X,Y (x, y), untuk y R asal f X (x) > 0 f X (x) b) Fmp/fkp bersyarat dari peubah acak X bila diketahui Y = y adalah suatu fungsi dari x sebagai berikut: f X Y (x y) = f X,Y (x, y), untuk x R asal f Y (y) > 0. f Y (y) Dari ilustrasi di awal bab ini, maka fmp bersyarat dari peubah acak Y bila diketahui X = adalah f Y X (y ) = f X,Y (, y) f X () = /8 3/8 = 3, untuk y = 0 2/8 3/8 = 2 3, untuk y = 0, untuk y lainnya dan fmp bersyarat dari peubah acak X bila diketahui X = 3 adalah f Y X (y 3) = f X,Y (3, y) f X (3) = /8 /8 =, untuk y = 2 0, untuk y lainnya

6 Julio Adisantoso ILKOM IPB 6 Contoh 5a. Peubah acak (X, Y ) kontinu dengan fkp bersama sebagai berikut: 4 (x + 2y), untuk 0 < x < 2, 0 < y < 0, untuk (x, y) lainnya Dapatkan (a) fkp bersyarat dari peubah acak Y bila diketahui X =, (b) fkp bersyarat dari peubah acak X bila diketahui Y = 2 3. Definisi Ambil peubah acak ganda-2 (X, Y ) yang diskret/kontinu/campuran dengan fmp/fkp bersama f X,Y (x, y) untuk (x, y) R, serta f X (x) untuk x R dan f Y (y) untuk y R masing-masing sebagai fmp/fkp marjinal dari peubah acak X dan Y. Peubah acak X dan peubah acak Y disebut bebas jika f X (x).f Y (y), untuk semua (x, y) R 2. Contoh 5b. Peubah acak (X, Y ) kontinu dengan fkp bersama sebagai berikut: Apakah X dan Y saling bebas? xy, untuk 0 < x < 2, 0 < y < 0, untuk (x, y) lainnya