Bab RUANG VEKTOR UMUM

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Bab RUANG VEKTOR UMUM"

Yandi Hadian Lesmana
6 tahun lalu
Tontonan:

1 B 5 RUANG VEKTOR Pd seelumny, it telh memhs tentng veto di idng dn diung. Selnjutny, it n menco memhmi pengetin ung veto sec umum menuut definisi lj. Ini dipelun segi lndsn dlm memhmi tentng sis dn ung hsil li dlm yng ny dipi dlm eep metode optimsi, sistem ontol, opetion esech, dn lin-lin. 5. RUANG VEKTOR UMUM Misln u, v, dn w dlh unsu pd ung V dn, l meupn sl ilngn Riil, m V dinmn ung veto ji memenuhi syt eiut ini :. Ji u dn v dlh veto-veto pd V m u v ed pd V jug.. u v v u. u ( v w ) ( u v ) w. Tedpt di V sehingg u u u untu setip veto u di V 5. Untu setip u di V, tedpt u di V yng dinmn negtif u sehingg u ( u ) ( u ) u. Ji dlh seng sl dn u ed di V, m u ed di V. 7. ( u v ) u v 8. ( l ) u u lu 9. ( l u ) l ( u ) ( l) u. Tedpt unsu segi unsu identits pelin sehingg.u u

2 B 5 Rung Veto Contoh 5. : Beiut dlh eep contoh ung veto :. Himpunn veto Euclides dengn opesi stnd (opesi penjumlhn dn opesi pelin dengn sl). Notsiny R n. Himpunn polinom pngt n dengn opesi stnd. Bentu umum polinom ode n p n (x) x n x n q n (x) x n x n Opesi stnd pd polinom ode n p n (x)q n (x) x x n x n n x n p n x n x n Notsi untu ung veto ini dlh P n. Himpunn mtis euun m x n dengn opesi stnd (penjumlhn mtis dn pelin mtis dengn sl), ung veto ini seing dinotsin dengn M mxn Rung n Euclides Sec geometi veto-veto di R dn seteusny elum is digmn, tpi opesi-opesi veto msih sm sepeti pd veto-veto di R dn R. Ong yng petm li mempelji veto-veto di R n dlh Euclides sehingg vetoveto yng ed di ung R n dienl segi veto Eucides sedngn ung vetony diseut ung n Euclides. Contoh veto di ung n Euclides dlh (,,, n ). Sepeti hlny di R dn R, du veto u ( u, u,..., u n ) dn v ( v, v,..., vn ) pd R n ditn sm ji u v, u v,, u n v n. Beep sift yng elu pd ung veto Euclides dlh :. u v v u. ( u ( v w ) ( u v ) w. u u u

3 Alj Line Elemente Adiwijy 5. ( u ) 5. ( l u ) l ( u ) ( l) u. ( u v ) u v 7. ( l ) u u lu u, yni u u 8..u u Seelum melngh leih juh dlm eep pengetin ung Euclides, eiut dlh eep opesi stnd pd ung veto Euclides, yitu : Penjumlhn u v ( u v, u v,..., u n v n ) Pelin dengn sl u ( u, u,..., u n ) dlh seng sl. Pelin Titi (Eucliden inne poduct) u v u v u v... u v n n Contoh 5. : Diethui u (,, 5, 7) dn v (5,, 7, ) Tentun u v! Jw: u. v ( )(5) ()( ) (5)(7) (7)( ) 5 ( ) 5 ( 7) Pnjng veto dlm sutu ung veto Euclides didefinisin oleh : u u u ( ) u u... u (5.) n Sement itu, j nt du veto didefinisin oleh : d u, v u ( ) v ( u v ) ( u v ) ( u ) n v... n (5.)

4 B 5 Rung Veto Contoh 5. : Jw: Diethui u (,,, ) dn v (,,, ) Tentun j nt u dn v! Dengn menggunn definisi u v (,,, ) m j du veto teseut dlh : d( u, v ) (( ) ( ) ) / 7 5. SUBRUANG Suhimpunn W di seuh ung veto V dinmn suung V ji W itu sendii dlh ung veto yng tetutup tehdp opesi penmhn dn pelin sl yng didefinisin pd V. Dengn demiin, syt g W ditn segi suung di V dlh :. W { }. W V. Ji u dn v ed pd W m u v jug ed pd W. Ji u ed di W m u jug ed di W, dimn dlh sutu sl Riil. Contoh 5. : Jw : Tunjun hw himpunn W yng eisi semu mtis ode x yng setip unsu digonlny nol meupn suung di ung veto mtis x

5 Alj Line Elemente Adiwijy 7 (i) Misl. Jdi W { } O W (ii) Jels hw W Mtis x (iii) An dipeis ph B A W Amil semng mtis A, B W Tulis : dn A B B A Teliht hw B A W (iv) An dipeis ph W A Untu Riil m W A Jdi W meupn suung di ung vecto mtis x Contoh 5.5 : Peis ph himpunn D yng eisi semu mtis ode x yng deteminnny nol meupn suung di ung veto mtis x Jw : Amil semng mtis A, B W Pilih :, jels hw det (A) A

6 8 B 5 Rung Veto B, jels hw det (A) Pehtin hw : A B Teliht hw det (A B ) Jdi D un meupn suung en tid tetutup tehdp opesi penjumlhn 5. Bsis dn Dimensi Seuh veto u dinmn ominsi line di veto veto v, v,, v n, ji veto veto teseut dpt dinytn dlm entu : u v v... n v n (5.) dimn,,, n dlh sl Riil. Contoh 5. : Misl u (,, ), dn v (,, ), dlh veto-veto di R. Aph veto eiut meupn ominsi line di veto veto di ts!. (,, ). (, 5, ) c. c (,, ) Jw:. Tulis u v, n dipeis ph d,, sehingg esmn teseut dpt tepenuhi : - ini dpt ditulis menjdi :

7 Alj Line Elemente Adiwijy 9 - dengn OBE dpt it peoleh: ~ - - Dengn demiin meupn ominsi line di veto u dn v yng ditulis dlm entu : v u. Tulis : v u v n dipeis ph d,, sehingg esmn teseut dpt tepenuhi; 5 - ini dpt ditulis menjdi: 5 - dengn OBE dpt it peoleh: ~ - ~ 5 - Bis tehi pd mtis ini menunjun hw SPL teseut dlh tid onsisten(tid mempunyisolusi). Jdi, tid d nili dn yng memenuhi pesmn. c. Dengn memilih dn, m dpt ditulis c v u

8 7 B 5 Rung Veto tiny veto nol meupn ominsi line di veto ppun. Ini eoespondensi dengn penytn hw SPL homogen meupn SPL yng onsisten (sellu puny solusi). Seelum memhmi pengetin tentng sis sutu ung veto, teleih dhulu hus diphmi tentng definisi memngun dn es line. Definisi memngun dn es line. Himpunn veto S { v v..., },, v n ditn memngun sutu ung veto V ji setip veto pd ung veto V sellu dpt dinytn segi ominsi line di veto veto di S. Contoh 5.7 : Tentun ph v (,, ), v (,, ), dn v (,, ) memngun R! Jw : u Amil semng veto di R, misln u u u An dipeis ph u meupn ominsi line di veto veto v, v, dn v. Tulis : u v v v Sehingg dpt ditulis dlm entu : u u u

9 Alj Line Elemente Adiwijy 7 Syt g dpt ditn hw v, v, dn v memngun R (di definisi ominsi line) dlh SPL teseut hus mempunyi solusi (onsisten). Dengn opesi is elemente dipeoleh : u - - u u u u u Teliht hw g SPL itu onsisten, huslh u u u. Pdhl diwl veto u dlh veto semng (unsu unsuny es, t esyt). Dengn demiin veto veto v, v, dn v tid memngun R. S u, u,..., u n dlh himpunn veto diung veto V, himpunn S ditn es line (linely independent), ji SPL homogen : u u... u n n (5.) hny mempunyi stu solusi (tunggl), yni,,..., n Ji solusiny leih di stu, tiny d solusi i untu sutu i, m S it nmn himpunn t es line (linely dependent), ini dpt ditn hw himpunn S meupn himpunn veto yng egntung line.. Misln { } Contoh 5.8 : Jw : Diethui u (,, ) dn (,, ) Aph sling es line di R Tulis : tu u

10 7 B 5 Rung Veto - dengn opesi is elemente dpt dipeoleh : ~ - ~ dengn demiin dipeoleh solusi tunggl yitu :, dn. Ini eti ū dn ā dlh sling es line. Contoh 5.9 : Misl :,, c di R Peis ph etig veto dits sling es line? Jw : Tulis : c tu dengn opesi is elemente dpt dipeoleh :

11 Alj Line Elemente Adiwijy 7 ~,, meupn solusi t hingg ny, tiny veto,, c dlh veto-veto yng egntung line. Pehtin hw ji it ingin memeis sejumlh n veto di R n m dpt dilun leih cept untu memeis ph himpunn veto teseut es line tu tid. C yng dilun dlh umpuln veto veto teseut dlm seuh mtis sehingg veto veto tdi meupn veto olom pd mtis teseut. Selnjutny, cuup dipeis deteminn di mtis teseut. Ji deteminn mtis teseut tid sm dengn nol m himpunn veto teseut dlh es line. Seliny, ji deteminn mtis teseut sm dengn nol m himpunn veto teseut dlh egntung line. Ji V dlh semng ung veto dn S { ū, ū,, ū n } meupn himpunn ehingg di veto veto di V, m S dinmn sis gi V ji edu syt eiut dipenuhi : S memngun V S es line Contoh 5. : Tunjun hw himpunn mtis eiut : 8 M,,, meupn sis gi mtis euun x (M x )!

12 7 B 5 Rung Veto Jw : Tulis ominsi line : d c 8 tu d c 8 dengn menymn setip unsu pd edu mtis teseut, dipeoleh : (5.5) d c 8 Pehtin hw deteminn mtis oefisienny (MK) tid sm dengn nol, yitu 8. Ken det(mk) m SPL (5.5) memilii solusi untu setip,, c, d. Ini menunjun hw M memngun M x. Keti,, c, d, SPL (*) meupn SPL homogen. Ken det(mk) m SPL homogen teseut memilii solusi tunggl. Dengn demiin, ini menunjun hw M es line. Ken M es line dn memngun M x m M meupn sis gi M x. Yng pelu diingt, sis untu setip ung veto dlh tid tunggl. Jdi, sutu ung veto dpt mempunyi leih di stu sis. Seed contoh, untu ung veto di M x, himpunn mtis :,,, jug meupn sisny.

13 Alj Line Elemente Adiwijy 75 Misln mtis : Veto olom A Veto is dengn melun OBE it peoleh hw mtis A eoespondensi dengn : - Dengn mempehtin olom-olom pd mtis hsil OBE yng memilii stu utm eseseuin dengn mtis sl. ini eti, hw mtis A teseut mempunyi sis ung olom :, Sedngn sis ung is dipeoleh dengn c, mentnsposnteleih dhulu mtis A, lun OBE pd A t, sehingg dipeoleh : - Kolom-olom pd mtis hsil OBE yng memilii stu utm eseseuin dengn mtis sl (A). Ini eti, hw mtis A teseut mempunyi sis ung is :,

14 7 B 5 Rung Veto Dimensi di sis ung is dn ung olom senntis sm dn dinmn n. Jdi n di mtis A dlh. Contoh 5. : Diein SPL homogen (dengn peuh p, q,, dn s) eiut : p q s p q s p q s p s Tentun sis ung solusi di SPL dits Jw : Sistem pesmn dits dpt ditulis dlm entu mtis segi eiut : dengn melun OBE dipeoleh : Solusi SPL homogen teseut dlh : p, q, s, dn, dimn, meupn pmete. tu

15 Alj Line Elemente Adiwijy 77 s q p Dengn demiin, sis ung solusi di SPL dits dlh :, Dimensi di sis ung solusi dinmn nulits. Dengn demiin, nulits di SPL dits dlh.

16 78 B 5 Rung Veto Ltihn B 5. Nytnlh mtis segi ominsi line di 8 mtis eiut :,, dn. Peis, ph himpunn eiut es line!. { x, x x }. { x x, x x, 5 x x, 7 x x }. Peis, ph himpunn A { x, x x } memngun polinom ode. Peis ph { x x, x x, 5x x } meupn himpunn yng es line! Jelsn. 5. Peis, ph himpunn eiut meupn sis gi polinom ode (P). { x x, x x, 5 x x }. { x x, 5x x, 8 x x }. Misln J x cx c meupn himpunn gin di ung veto Polinom ode du. Peis ph J meupn suung di ung veto Polinom ode du Ji y, tentun sisny 7. Diein SPL homogen (dengn peuh p, q, dn ) eiut : p q p q p q, Tentun sis ung solusi (utin) dn dimensiny.

17 Alj Line Elemente Adiwijy Tentun n di mtis :

dokumen-dokumen yang mirip

Ruang Vektor Umum. V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan

Ruang Vektor Umum. V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan /8/5 Mtris & Rng Vetor Rng Vetor Umm Strt Rng Vetor Umm Misln v w V dn l Riil V dinmn rng vetor ji terpenhi siom :. V terttp terhdp opersi penjmlhn Unt setip v V m v V.. v v ( v w ) ( v ) w. Terdpt V sehingg