TUGAS ALJABAR LINIEAR

Transkripsi

1 TUGAS ALJABAR LINIEAR

2 ii Aljr Liner Kt Pengntr

3 iii Aljr Liner DAFTAR ISI. Mtris dn Opersi Opersin. I. Pendhulun... I. Jenis jenis mtris. I. Opersi opersi mtris. I. Mtris Iners. Sistem Persmn Liner... II. Pendhulun.. II. II. II. Opersi ris elementer. Sistem persmn liner Homogen... Menentun iners mtris... Determinn mtris... III. Pendhulun.. III. Metode perhitungn determinn... III. III. Menentun himpunn penelesin sistem persmn linier dengn metode Crmmer.. Huungn determinn iners mtris dn penelesin untu sistem persmn linier. Vetor Vetor di idng dn di rung IV. Pendhulun. IV. Opersi opersi pd etor. IV. Hsil li titi pnjng etor dn jr ntr du etor IV. IV. Proesi orthogonl Perlin silng etor

4 i Aljr Liner. Rung Rung Vetor.... V. Rung n Euclides. V. Rung etor umum V. Su rung etor. V. Memngun dn es linier... V. Bsis dn Dimensi V.6 Bsis rung ris dn sis rung olom. V.7 Bsis rung solusi 6. Rung Hsil Kli Dlm.. VI. Hsil li dlm VI. Pnjng etor jr ntr etor dn esr sudut dlm RHD VI. Bsis orthonorml VI. Peruhn Bsis 7. Rung Eigen... VII. Nili Eigen sutu mtris

5 Aljr Liner VII. VII. Digonlissi Digonlissi orthogonl 8. Trnsformsi Liner... VIII. Pendhulun VIII. Kernel ( inti ) dn Jngun VIII. Mtris trnsformsi Dftr Pust. Anton H.( 99) Elementr Liner Alger.John Wile nd Sons. Leon S.J.( ). Aljr Liner Dn Aplisin edisi. Penerit Erlngg. Mursit D. ( ). Ditt Kulih Aljr Liner Elementer. STT Telom

6 i Aljr Liner

7 Mtris dn opersi opersin BAB I Mtris dn Opersi Opersin I. Pendhulun Definisi : Mtris dlh susunn segi empt siu siu dri ilngn ng ditsi dengn tnd urung. Sutu mtris tersusun ts ris dn olom ji mtris tersusun ts m ris dn n olom m ditn mtris terseut eruurn ( erordo ) m n. Penulisn mtris isn menggunn huruf esr A B C dn seterusn sedngn penulisn mtris esert uurnn (mtris dengn m ris dn n olom ) dlh A mn B mn dn seterusn. Bentu umum Bentu umum dri A mn dlh : A mn : m : m :::... n n : mn ij diseut elemen dri A ng terlet pd ris i dn olom j. I. Jenis jenis mtris Ad eerp jenis mtris ng perlu diethui dn sering digunn pd pemhsn selnjutn itu :. Mtris Bujur sngr Mtris ujur sngr dlh mtris ng jumlh risn sm dengn jumlh olomn. Kren siftn ng demiin ini dlm mtris ujur sngr dienl istilh elemen digonl ng erjumlh n untu mtris ujur sngr ng eruurn nn itu : nn. Contoh.. A A dengn elemen digonl dn dengn elemen digonl dn. Mtris Digonl Mtris digonl dlh mtris ng elemen un digonln ernili nol. Dlm hl ini tid disrtn h elemen digonl hrus t nol. Contoh.. A B C

8 Mtris dn opersi opersin c. Mtris Nol Mris Nol merupn mtris ng semu elemenn ernili nol. d. Mtris Segitig Mtris segitig dlh mtris ujur sngr ng elemen elemen dih tu dits elemen digonl ernili nol. Ji ng ernili nol dlh elemen elemen dih elemen digonl m diseut mtris segitig ts selin diseut mtris segitig h. Dlm hl ini jug tid disrtn h elemen digonl hrus ernili t nol. Contoh.. A B C Mtris A dlh mtris segitig h mtris B dlh mtris segitig ts sedngn mtris C merupn mtris segitig h dn jug mtris segitig ts. e. Mtris Identits Mtris identits dlh mtris digonl ng elemen digonln ernili f. Mtris dlm entu eselon ris teredusi Sutu mtris ditn memilii entu eselon ris teredusi ji memenuhi srt srt eriut :. Untu semu ris ng elemen elemenn t nol m ilngn pertm pd ris terseut hruslh ( diseut stu utm ).. Untu semrng du ris ng erurutn m stu utm ng terlet pd ris ng leih h hrus terlet leih e nn dripd stu utm pd ris ng leih ts.. Ji sutu ris semu elemenn dlh nol m ris terseut diletn pd gin h mtris.. Kolom ng memilii stu utm hrus memilii elemen nol ditempt linn. Contoh.. A B C Mtris A B dn C dlh mtris mtris dlm entu eselon ris teredusi dn notsi mentn stu utmn. Contoh eriut mentn mtris mtris ng un dlm entu eselon ris teredusi.

9 Mtris dn opersi opersin Contoh.. D E Mtris D un dlm entu eselon ris teredusi ren elemen d ernili sehingg tid memenuhi srt e ( hrusn ) sedngn mtris E tid memenuhi ren ris edu ng merupn ris nol letn mendhului ris etig ng merupn ris t nol sehingg srt etig tid terpenuhi. Ji sutu mtris hn memenuhi srt sj m ditn mtris terseut memilii entu eselon ris. I. Opersi opersi mtris. Penjumlhn mtris Opersi penjumlhn dpt dilun pd du uh mtris ng memilii uurn ng sm. Aturn penjumlhn Dengn menjumlhn elemen elemen ng ersesuin pd edu mtris Contoh: c e + d g f + e h c + g + f d + h. Perlin mtris dengn mtris Opersi perlin mtris dpt dilun pd du uh mtris ( A dn B) ji jumlh olom mtris A jumlh ris mtris B. Aturn perlin Misln A mn dn B n m A mn B n C m dimn elemen elemen dri C( c ij ) merupn penjumlhn dri perlin elemen elemen A ris i dengn elemen elemen B olom j Contoh : A d e c f B l m n o p m A B C + l + cm d + el + fm n + o + cp dn + eo + fp c. Perlin mtris dengn slr Sutu mtris dpt dilin sutu slr dengn turn tip tip elemen pd A dilin dengn. Contoh.. c c d e f d e f

10 Mtris dn opersi opersin d. Trnspose mtris Trnspose mtris A ( dinotsin A t ) didefinisin segi mtris ng ris risn merupn olom dri A. Contoh : A 6 A t Sift sift dri opersi mtris - A+B B+A - A+ ( B+C ) ( A+B) + C - AB BA - A ( BC ) ( AB ) C - ( A t ) t A - ( AB ) t B t A t 6 I. Mtris Iners Definisi Ji A B mtris ujur sngr dn erlu AB BA I ( I mtris identits ) m ditn h A dpt dili dn B dlh mtris iners dri A ( notsi A ). Contoh : A B AB BA M B A dn A B Sift ng erlu : - ( A ) A - ( AB ) B A Ltihn I. Tentun jenis dri mtris mtris dih ini ( ji memenuhi leih dri stu tulisn semu )! A B C D. Diethui A B dn C. Hitung B + C!. Hitung AB dn AC emudin tentun AB + AC c. Dri perhitungn B + C seelum hitung A ( B + C ) emudin ndingn hsiln dengn jn dri!

11 Mtris dn opersi opersin. Dri sol nomor tentun. ( AB ) t dn ( AC ) t!. Hitung B t A t dn C t A t emudin ndingn hsiln dengn jn!. Tunjun ph mtris B merupn iners A!. A dn B. A dn B 8

12 6 Sistem persmn liner BAB II Sistem Persmn Liner II. Pendhulun Bentu umum Sutu persmn liner ng mengndung n peuh n dintn dlm entu n n dengn n dlh onstnt riil. Dlm hl ini peuh ng dimsud un merupn fungsi trigonometri fungsi logritm tupun fungsi eponensil. Contoh.. :. + persmn liner dengn peuh. z + persmn liner dengn peuh c. log + log un persmn liner d. e + un persmn liner Sistem persmn liner ( SPL ) Definisi Sistem persmn liner dlh himpunn erhingg dri persmn liner Contoh..: z Tid semu sistem persmn liner memilii penelesin( solusi ) sistem persmn liner ng memilii penelesin memilii du emunginn itu penelesin tunggl dn penelesin n. Secr leih jels dpt diliht pd digrm eriut : Tid memilii penelesin ( tid onsisten ) SPL solusi tunggl memilii penelesin ( onsisten ) solusi n Pd sistem persmn liner dengn du peuh secr geometris ji SPL tid mempuni penelesin m grfin erup du gris ng sling sejjr ji penelesinn tunggl m himpunn penelesinn erup seuh titi hsil perpotongn du gris sedngn ji penelesinn n m himpunn penelesinn erup du gris lurus ng sling erhimpit. Secr leih jels dpt diliht pd contoh.. eriut :. + Grfin : Grfi terseut menunjun h edu gris sejjr sehingg tid penelesin ng memenuhi sehingg disimpuln h SPL tid onsisten.

13 7 Sistem persmn liner. Grfin : + + Grfi terseut menunjun h himpunn penelesin dri SPL dlh titi potong ntr dn + itu titi ( ). Jdi penelesin dri SPL dlh tunggl itu dn. c. + Grfin : Grfi dits h + dn + sling erhimpit sehingg hn terliht seperti stu gris sj. Himpunn penelesin dri SPL semu titi ng terlet disepnjng gris terseut. Misln dimil m didptn ng memenuhi persmn ji m nili dlh nili ng memenuhi. Secr mtemtis dpt ditulisn segi : { () R R } Untu sus sistem persmn liner dengn menggunn du peuh pemutn grfi untu menentun himpunn penelein seperti ini msih memunginn hn sj untu jumlh peuh ng leih n hl ini sulit dilun. II. Opersi ris elementer Keti dihdpi mslh ng eritn dengn sistem persmn liner terutm ng menggunn n peuh m hl pertm ng dpt digunn untu menederhnn permslhn dlh dengn menguh sistem persmn liner ng d e dlm entu mtris. Sutu persmn liner isn jug tid didptn secr lngsung tetpi mellui penederhnn dri permslhn ng terjdi dlm ehidupn sehri hri. Setelh diuh e entu mtris m mtris terseut diuh e entu mtris dlm entu eselon ris teredusi untu mendptn penelesin dri SPL. Prosedur untu mendptn mtris eselon ris teredusi is diseut segi eliminsi Guss Jordn. Pd proses eliminsi terseut opersi opersi ng digunn diseut opersi ris elementer. Dlm opersi ris elementer ini d eerp opersi ng dpt digunn itu :. Menglin sutu ris dengn onstnt t nol. Memperturn du uh ris c. Menmhn eliptn sutu ris e ris linn.

14 8 Sistem persmn liner Dengn menggunn opersi ris elementer m mtris eselon ris teredusi ng didptn n euilen dengn mtris ln sehingg penelesin untu mtris eselon ris teredusi jug merupn penelesin untu mtris ln. Mtris l ng dimsud dlh mtris diperesr. Untu meliht secr leih mudh definisi dri mtris diperesr n ditunjun eriut ini : Diethui SPL dengn m uh persmn liner dn n peuh n n n n : m + m + + mn n m Sistem persmn liner dits dpt ditulis dlm entu mtris AX B dengn A Μ m Μ m Μ... n n Μ mn X Μ m dn B Μ m Mtris ng memilii eruurn n tu n is diseut etor. Penulisn etor sediit ered dengn penulisn mtris itu menggunn huruf ecil dengn cet tel tu digris tsn. Jdi mtris X dn B dits is ditulisn segi dn tu dn sehingg SPL dpt ditulisn segi A. Pd SPL ng erentu seperti ini mtris A jug is diseut segi mtris onstnt. Untu menelesin persmn liner dits m diut mtris diperesr dri A dn ng elemen elemenn merupn gungn elemen mtris A dn etor A itu : ng dinotsin [ ] [ A ] Μ m Μ m Μ... n n Μ mn Μ m Untu menelesin persmn liner terseut dilun eliminsi Guss Jordn seperti ditunjun dlm contoh eriut : Contoh z + + z 6 + 8z 6 Mtris diperesr [ A ] Opersi ris elementer pd [A ] menghsiln :

15 Sistem persmn liner 9 [ ] A ~ 7 ~ ~ 7 9 ~ + 9 entu eselon ris teredusi Dri entu eselon ris teredusi m dpt diut persmnn itu : Dri ris () + + z Dri ris () + + z Dri ris () + + z z Jdi penelesin SPL dits dlh tunggl itu : z Untu meliht ph jn terseut enr tuh tid it dpt memsun nili nili terseut pd persmn l. Keterngn Penulisn dn segin pd proses dits siftn tid mutl dn hn digunn segi lt pemntu dlm proses opersi ris elementer. Dlm perhitungn selnjutn penulisn ini mungin tid perlu dilun.. + z + z + + z Mtris diperesr [ ] A [ ] A ~ ~ Persmnn : Dri ris + z z Dri ris + z z Kren ris dlh ris nol dn olom ng tid memilii stu utm dlh olom m dpt dimil nili z semrng misln z s sehingg nili s dn s. Bris nol pd sus dits jug menunjun h penelesin dri SPL dlh t hingg n. Bnn ris nol pd mtris dits ( dengn A merupn mtris ujursngr ) jug menunjun nn prmeter (s) pd penelesin SPL. Jdi penelesin dri SPL dlh s s s z Untu menguji ph nili ng didptn enr tu tid mil semrng ilngn untu s misln s didptn dn z msun nili nili e

16 Sistem persmn liner persmn emudin ndingn rus iri dn rus nn. Co lgi untu nili s ng lin. c. + z z 6 Mtris diperesr [ ] A 6 [ ] A 6 ~ ~ Pd ris etig mtris eselon ris teredusi didptn persmn: + + z hl ini jels menunjun h tid d nili untu dn z ng memenuhi persmn ren ppun nili dn z n rus iri n sellu ernili nol jdi nili tid n tercpi. Jdi lu d entu mtris eselon ris teredusi ng seperti dits psti dpt disimpuln h SPL tid memilii penelesin tu SPL tid onsisten. II. Sistem persmn liner Homogen Sistem persmn liner Homogen merupn sus husus dri Sistem persmn liner is A untu sus. Kren entun ng demiin m pstilh pd mtris diperesr [ ] A setelh dilun eliminsi Guss Jordn olom terhirn n sellu nol sehingg penelesin dri SPL n sellu d. Ad du mcm penelesin dlm SPL homogen ini itu triil ( t sejti ) dn t triil ( sejti ). Penelesin triil terjdi ji stu stun penelesin untu SPL dlh hl ini terjdi ji semu olom pd mtris diperesr [ ] A ( setelh dilun eliminsi Guss Jordn ) memilii stu utm eculi untu olom ng terhir tu dengn t lin semu olom pd mtris A memilii stu utm. Ji hl ng selin terjdi itu tid semu olom pd mtris A ( setelh dilun eliminsi Guss Jordn ) memili stu utm tu ji terdpt ris nol m penelesin untu SPL dlh penelesin t triil itu penelesin t hingg n. Contoh.. Diethui sistem persmn liner homogen z

17 Sistem persmn liner Penelesin dri SPL homogen dits dlh [ ] A ~ ~ Pd mtris ng terhir terliht h semu olom mtris A memilii stu utm sehingg penelesinn dlh triil itu z Contoh.. Diethui sistem persmn liner homogen z Penelesin dri SPL homogen dits dlh : [ ] A ~ 6 6 ~ Pd mtris ng terhir terliht h hn du olom dri mtris A ng memilii stu utm tu terdpt du ris nol ini errti h penelesin SPL dlh t triil itu penelesin n dengn du prmeter itu : z z z ji dimil z s dn t s t R m t s s t z Eliminsi Gus Jordn untu mendptn penelesin SPL homogen sering jug dilun pd mtris A sj ren pd sus ini jdi tid n mempengruhi hsil perhitungn. II. Menentun iners mtris Pd seelumn sudh dihs tentng iners sutu mtris. Iners sutu mtris ( misln iners A ) dpt dihitung dengn menggunn eliminsi Guss Jordn terhdp mtris diperesr [ ] I A dimn uurn I sm dengn uurn A. Cr perhitungn seperti ini didsrn dri sift A A I. Untu menentun solusi dri SPL terseut m erdsrn prosedur ng telh dipeljri seelumn m dpt dilun eliminsi Guss Jordn terhdp mtris [ ] I A. Ji A memng memili

18 Sistem persmn liner iners m mtris eselon ris teredusin n erentu [ ] A I. Ji setelh melun eliminsi Guss Jordn tid diperoleh entu [ ] A I m disimpuln h mtris terseut tid memilii iners. Contoh.. Diethui A tentun A ji d! J: [ ] I A ~ ~ ~ ~ [ ] A I Jdi A Untu meliht ph jn terseut enr tu tid m hitunglh A hsil perhitungn dengn A ji hsiln I m jn terseut enr. Contoh.. Diethui mtris A 6 Tentun iners mtris A ji d! J: [ ] I A 6 ~ ~ Wlupun mtris elum dlm entu eselon ris teredusi tpi perhitungn sudh dpt dihentin pd thp ini sudh terliht h entu [ ] A I tid n is didptn sehingg dpt disimpuln mtris A tid memilii iners. Sutu mtris onstn (A) ng memilii iners m SPL A ng eritn n memilii solusi tunggl itu : A ji erup SPL Homogen m

19 Sistem persmn liner

20 Sistem persmn liner Tentun nili untu dn gr SPL memilii solusi n dn tulis solusi SPL terseut! 8. Diethui SPL eriut : + z + z + z Tentun semu nili untu dn gr SPL memilii solusi n emudin untu setip psngn nili dn terseut tulisn solusi SPL!

21 Determinn mtris BAB III Determinn mtris III. Pendhulun Definisi determinn Misln A mtris ujur sngr fungsi determinn A sering ditulisn segi determinn ( disingt det(a) tu A ) didefinisin segi jumlh semu hsil li elementer ertnd dri A. Ji A eruurn nn m hsil li elementer dri mtris A n erentu : p. p npn dimn p p p n merupn permutsi dri ilngn ilngn n. Tnd dri p. p npn sendiri ditentun dri nn ilngn ult esr ng mendhului ilngn ng leih ecil ( nn iners ) pd ilngn p p p n ji nn iners dlh gnjil m tndn negtif ( ) dn ji selin tndn positif ( + ). Contoh.. Diethui A c Tentun det(a)! d J Bnn permutsi ( ren A eruurn ) itu dn Pd ilngn n didptn nn iners sehingg tnd untu hsil li elementer. dlh (+) sedngn untu hsil li elementer. n ertnd ( ) ren pd ilngn terdpt stu ng ult ng mendhului ng ng leih ecil. Jdi det(a) +.. d c Contoh.. Diethui B Tentun det B! J Untu memudhnn n diut tel segi eriut : permutsi Hsil li elementer Bn iners Hsil li elementer ertnd Jdi det B Untu sus mtris ng eruurn leih dri tentun penentun nili determinn dengn menggunn definisi terseut menjdi urng efetif dn leih

22 6 Determinn mtris rumit. Berdsrn definisi dri determinn terseut m diemngn metode perhitungn determinn ng leih cept ng n dihs digin selnjutn. III. Metode perhitungn determinn. Espnsi oftor Pd metode ini dienl eerp istilh ntr lin : Minor elemen ij ( M ij ) itu determinn ng didptn dengn menghilngn ris i dn olom j mtris ln. Koftor elemen ij ( C ij ) ( ) i+j M ij Ji A mtris ujur sngr eruurn nn m dengn menggunn metode ini perhitungn determinn dpt dilun dengn du cr ng semun menghsiln hsil ng sm itu : espnsi sepnjng ris i det(a) i C i + i C i + + in C in espnsi sepnjng olom j det(a) j C j + j C j + + nj C nj Contoh.. Diethui A Tentun det (A) dengn menggunn espnsi oftor! J An dico menggunn espnsi ris untu menghitung det (A) Det (A) C + C + C C ( ) + M M C ( ) + M M C ( ) + M M ( ) 6 8 Jdi det (A) (. ) + (. ) + (. ) Contoh.. Diethui B Hitung det (B)! J Ji meliht sift dri metode ini m perhitungn n leih cept ji d elemen ij ng ernili. Jdi pemilihn ris / olom n sngt menetun eceptn perrhitungn. Dlm contoh ini terliht h ris/olom ng mengndung n nili dlh olom. Jdi det (B) n dpt dihitung secr cept menggunn espnsi terhdp olom.

23 7 Determinn mtris det(b) C + C + C C ( ren dn ernili ) C ( ) + M M Jdi det(b).. Redusi ris menggunn opersi ris elementer Penggunn metode ini seenrn tid leps dri metode espnsi oftor itu pd sus sutu olom n mengndung elemen ng ernili. Berdsrn sift ini m mtris ng erentu eselon ris tu mtris segitig n leih mudh untu dihitung nili determinnn ren hn merupn perlin dri elemen digonln. Redusi ris dilun dengn menguh olom olom sehingg n memut elemen. Bisn entu metris hir ng ingin dicpi dlh entu eselon ris tu entu segitig tetpi ini tid mutl. Ji entu eselon tu segitig elum tercpi tetpi dinggp perhitungnn sudh cuup sederhn m determinn is lngsung dihitung. Dlm melun redusi ris opersi ng digunn dlh opersi ris elementer. Pd opersi ris elementer d eerp opersi ng erpengruh terhdp nili determinn l itu : - Ji mtris B diperoleh dengn memperturn du ris pd mtris A m det (B) det (A) - Ji mtris B diperoleh dengn menglin onstnt e slh stu ris mtris A m det (B) det (A) - Ji mtris B didptn dengn menmhn eliptn sutu ris e ris linn m det (B) det (A) Contoh.. Diethui A d g e h c f i dn det (A) r Tentun determinn dri mtris mtris eriut ;. X d g e h f c i. Y c d e f c. Z g h i c d e f + g + h c + i J. Mtris X didptn dengn memperturn ris dn mtris A m det ( X) det ( X) r. Mtris Y didptn dengn menglin ris e mtris A dengn m det ( Y).det ( Y) r c. Mtris Z didptn dengn menmhn ris e ris mtris A m det (Z) det (Z) r

24 8 Determinn mtris Contoh.. Hitunglh determinn mtris A dlm contoh.. dengn menggunn redusi ris! J Diethui A Eliminsi Guss A ()... ( ). ( ). III. Menentun himpunn penelesin sistem persmn linier dengn metode Crmmer Metode Crmmer didsrn ts perhitungn determinn mtris. Sutu SPL ng erentu A dengn A dlh mtris ujur sngr dpt dierjn dengn metode Crmmer ji hsil perhitugn menunjun h det (A). Penelesin ng didptn dengn metode ini dlh penelesin tunggl. Diethui sutu sistem persmn linier erentu A dengn A dlh mtris ujur sngr eruurn nn dn det (A) sedngn nili dn dlh : : n : n m penelesin untu dlh : A A A A A n n A A i dlh mtris A ng olom e i n dignti dengn etor. Contoh.. Diethui sistem persmn linier erentu A z. Peris ph metode Crmmer dpt digunn untu mendptn penelesin SPL?. Ji is tentun penelesin untu!

25 9 Determinn mtris J. Det (A) ().( ) + (). Kren det (A) m metode Crmmer dpt digunn. ( ) (6 ). Det (A ) ().. + ( ). ( ) ( + ) Det (A ) Det (A ) ().( ) 9 + ( ). 9 ( +) + (6 ) Jdi nili untu dn z dlh : A A A A dn z A A Menentun iners sutu mtris dpt jug menggunn rumus eriut : A dj ( A) A dimn dj (A) C t dn C { c ij } c ij oftor elemen ij III. Huungn determinn iners mtris dn penelesin untu sistem persmn linier Ji sutu SPL erentu A dn A mtris ujur sngr m sift dri penelesin SPL dpt diethui dri nili determinn A tu iners mtris A. Beriut ini dlh huungn ng erlu : Det (A) A terdefinisi (d) penelesin tunggl untu SPL Det (A) A tid memilii iners Det (A) SPL memilii penelesin n SPL tid memilii penelesin

26 Determinn mtris Pd sus det (A) untu menentun penelesinn dpt digunn iners mtris untu menghitungn itu A. Sedngn pd sus det (A) untu menentun penelesin SPL hrus digunn eliminsi Guss Jordn pd mtris diperesr [ ] A.

27 Determinn mtris

28 Vetor etor di idng dn di rung BAB IV Vetor Vetor di idng dn di rung IV. Pendhulun Definisi Vetor didefinisin segi esrn ng memilii rh. Keceptn g dn pergesern merupn contoh contoh dri etor ren semun memilii esr dn rh lupun untu eceptn rhn hn positif dn negtif. Vetor ditn erd di rung n ( R n ) ji etor terseut mengndung n omponen. Ji etor erd di R m ditn etor erd di idng sedngn ji etor erd di R m ditn etor erd di rung. Secr geometris di idng dn di rung etor merupn segmen gris errh ng memilii titi l dn titi hir. Vetor is dinotsin dengn huruf ecil tel tu huruf ecil dengn rus gris Contoh.. D C A B Dri gmr dits terliht eerp segmen gris errh ( etor ) seperti AB AC dn AD dengn A diseut segi titi l sedngn titi B C dn D diseut titi hir. Vetor posisi didefinisin segi etor ng memilii titi l O ( untu etor di idng titi O dlh ( )). IV. Opersi opersi pd etor A. Penjumlhn du etor Misln u dn dlh etor etor ng erd di rung ng sm m etor ( u + ) didefinisin segi etor ng titi ln titi l u dn titi hirn titi hir. Contoh.. Perhtin gmr pd contoh... Misln u AB dn BC ji etor didefinisin segi u + m n memilii titi l A dn titi hir C jdi merupn segmen gris errh AC. B. Perlin etor dengn slr Vetor nol didefinisin segi etor ng memilii pnjng. Misln u etor t nol dn dlh slr R. Perlin etor u dengn slr

29 Vetor etor di idng dn di rung u didefinisin segi etor ng pnjngn dengn rh : Ji > serh dengn u Ji < erlnn rh dengn u Contoh.. Y u li pnjng u u u X u C. Perhitungn etor Diethui dn etor etor di rung ng omponen omponenn dlh ( ) dn ( ) M + ( ) ( ). ( ) Ji c AB emudin titi oordint A ( ) dn B ( ) m c ( ) IV. Hsil li titi pnjng etor dn jr ntr du etor Hsil li titi du etor ji diethui omponenn Diethui ( ) dn ( ) Hsil li titi ntr etor dn didefinisin segi :. (. )+ (. ) +(. ) Hsil li titi du etor ji diethui pnjng etor dn sudut ntr du etor Diethui dn du uh etor ng memilii pnjng erturut turut dn sedngn sudut ng dientu oleh edu etor dlh φ sudut φ ini terentu dengn cr menggmrn edu etor pd titi l ng sm. Hsil li titi ntr etor dn didefinisin segi :. cos φ φ [ π ]

30 Vetor etor di idng dn di rung Jdi hsil li titi du uh etor erup slr. Dengn mengethui esrn φ n diethui ph hsil li titi n ernili positif tu negtif. > φ lncip φ < 9 o. φ 9 o dn sling teg lurus. < φ tumpul 9 o < φ 8 o Contoh.. Diethui ( ) dn ( ) Tentun nili gr dn sling teg lurus! J Agr dn sling teg lurus m hruslh.. + Pnjng ( norm ) etor dn jr ntr du etor Pnjng etor Dengn menggunn opersi hsil li titi ji diethui omponen ( ) didptn h. + + () Dri definisi hsil li titi linn didptn h. cos.() dlm hl ini sudut ntr dn pstilh ernili ren edun sling erhimpit. Dri persmn dn didptn persmn eriut :. (. ) / + + Jr ntr du etor Jr ntr etor dn didefinisin segi pnjng dri etor ( ) dn is dinotsin dengn d ( ). d ( ) (. ) / ( ) + ( ) + ( ) Secr geometris dpt digmrn seperti eriut ini : B C A Misln AC dn AB m jr ntr dn merupn pnjng dri rus gris errh BC Contoh.. Diethui u ( ) dn ( ) Tentun esr sudut ng dientu oleh u dn!

31 Vetor etor di idng dn di rung J u. + u + + ( ) u. cos θ φ 6 o u 6 Jdi sudut ng dientu ntr u dn dlh 6 o Beerp sift ng erlu dlm hsil li titi..... ( + c ). +. c c. m (. ) (m ).. ( m ) (. ) m IV. Proesi orthogonl Diethui etor dn dlh etor etor pd rung ng sm seperti terliht pd gmr dih ini : Vetor disusun dri du etor ng sling teg lurus itu dn jdi dpt ditulisn + Dri proses pementunn jug diseut segi etor proesi orthogonl terhdp ren merupn hsil proesi secr orthogonl etor terhdp sedngn diseut segi omponen dri ng teg lurus terhdp. Kren merupn hsil proesi di m dpt ditulisn nili ini n menentun rh dn pnjng dri. Ji sudut ntr dn dlh tumpul m tentun nili n negtif ini jug errti rh n erlnn dengn rh. Menghitung Untu menghitung hrus dihitung terleih dhulu nili. Dengn menggunn turn hsil li titi diperoleh :. ( + ).

32 6 Vetor etor di idng dn di rung Jdi. ( ren dn sling teg lurus m. ) cos θ cos ( sudut ng dientu dlh tu 8 )... Pnjng dri dlh dn Contoh.. Diethui ( ) dn ( ) Tentun. Vetor proesi teg lurus dri terhdp!. Pnjng dri etor proesi terseut! c. Komponen dri ng teg lurus terhdp! J. Misln dlh etor proesi teg lurus dri terhdp m. ( ) sedngn + + ( ) Jdi ½ ( ) ( ).. Pnjng dlh c. Misln merupn omponen dri ng teg lurus terhdp m ( ) ( ) ( ) 6 IV. Perlin silng etor Seelum memhs e mslh perlin silng dri du uh etor n dijelsn eerp definisi terleih dhulu Vetor stun Vetor stun didefinisin segi etor ng memilii pnjng stu stun. Di idng etor stun ng serh dengn sumu dn dintn segi

33 7 Vetor etor di idng dn di rung i ( ) dn j ( ) sedngn pd rung ( R ) etor stun ng serh sumu dn z dlh i ( ) j ( ) dn ( ). Penulisn omponen dri etor jug dpt menggunn etor stun. Misln u ( ) m u jug dpt ditulisn u i + j ( c ) m jug dpt ditulisn i + j+ c Perlin silng ntr du etor di R Diethui u ( u u u ) dn ( ) Perlin silng ntr u dn didefinisin segi : u i u u j u u u i u u j + ( u. u. ) i (u. u. ) j + ( u. u. ) Hsil li silng dri du uh etor n menghsiln sutu etor teg lurus terhdp u dn. Sedngn untu mengethui pnjng dri etor ini n dilun nlis ng leih juh untu mengethuin. Kudrt dri norm u dlh u u ( u. u. ) + (u. u. ) + ( u. u. ) : (u + u + u ) ( + + ) ( u + u + u ) (u. ) u is diseut identits Lgrnge u u Dri identits Lgrnge u u (u. ) u ( u. cos θ ) u ( cos θ) u sin θ tu u u sin θ ( θ sudut ng dientu oleh u dn ) Nili ini merupn lus segi empt ng dientu u dn seperti ditunjun dri gmr eriut : lul θ ll lul sinθ

34 8 Vetor etor di idng dn di rung Lus segi empt pnjng ls tinggi u sin θ u sin θ Jdi hsil li silng du etor u dn n menghsiln sutu etor ng teg lurus terhdp u dn sert memilii pnjng sm dengn lus dri segi empt ng dientu oleh etor u dn. Contoh.. Diethui ( ) dn ( ) Hitung lus segi empt ng dientu oleh dn! J Lus segi empt i j ( 6 ) i ( ) j + ( ) i j ( ) Jdi lus segi empt + ( ) + ( ) Contoh.. Diethui segitig ABC dengn titi titi sudut dlh : A ( ) B ( ) dn C ( ) Hitung lus segitig ABC! J Misln segitig ABC ng dimsud erentu seperti dih ini : A C B Segitig ABC terseut dpt dipndng segi ngun ng dientu oleh du etor AC dn AB BA dn BC tu oleh CA dn CB. Misln AB B A ( ) dn AC ( ) m lus segitig ABC merupn ½ li lus segiempt ng dientu oleh etor dn jdi Lus segitig ABC ½. i j ( ) i ( 6 ) j + ( +6 ) i 8 j +

35 9 Vetor etor di idng dn di rung ( + ) + ( 8) 96 Jdi lus segitig ABC ½ 96 Pemilihn titi sudut dlm hl ini dlh es sedngn hsil hirn n tetp sm. Beerp sift ng erlu dlm hsil li silng. ( ). ( + c) + c. ( + ) c c + c. ( ) ( ).

36 Vetor etor di idng dn di rung Ltihn IV. Diethui u dlh etor ng merupn rus gris dri titi A ( ) e titi B ( ). Tentun etor u terseut dn hitung erp norm dri u!. Hitung jr ntr u dengn ( ). Diethui u ( ) dn ( 7 ) sedngn jr ntr u dn 6 stun Tentun nili!. Tentun nili gr etor u ( ) dn ( ) sling teg lurus!. Tentun nili gr sudut ntr u dn 8 o dengn u ( ++ ) dn ( )!. Diethui u ( ) dn ( ). Tentun etor proesi teg lurus u terhdp!. Tentun omponen u ng teg lurus terhdp! 6. Diethui segitig ABC dengn titi titi sudut A () B ( ) dn C ( ). Hitung lus segitig ABC dengn menggunn A segi titi sudut!. Hitung lus segitig ABC dengn menggunn B segi titi sudut! 7. Diethui ( ) ( ) dn c ( ). Tentun etor etor ng teg lurus terhdp dn c ( erin contoh etor )!. Hitung lus segitig ng titi titi sudutn merupn ujung ujung dri etor posisi dn c!

37 Rung Rung etor BAB V Rung Rung Vetor V. Rung n Euclides Pd st pertm li ilmu etor diemngn hn dienl etor etor di R dn R sj tetpi dlm peremngnn ternt didptn permslhn ng leih omples sehingg diemngn etor etor di rung erdimensi tu secr umum merupn etor etor di R n. Secr geometris memng etor etor di R dn seterusn memng elum is digmrn tetpi dsr ng digunn seperti opersi opersi etor msih sm seperti opersi pd etor etor di R dn R. Orng ng pertm li mempeljri etor etor di R n dlh Euclidis sehingg etor etor ng erd di R n dienl segi etor Euclidis sedngn rung etorn diseut rung n Euclidis. Opersi stndr / u pd etor Euclidis Diethui u dn dlh etor etor di rung n Euclidis dengn u ( u u u n ) dn ( n ) Penjumlhn etor u + ( u + u + u n + n ) Perlin titi u. ( u. + u. + + u n. n ) Perlin dengn slr u ( u u... u n ) Pnjng etor / ( u. u ) u + u +... un u + Jr ntr etor d ( u ) (u. u ) u ) + ( u ) ( u n Contoh.. Diethui ( ) dn ( ) Tentun jr ntr dn! J ( ) d ( ) ( ) + ( ) ( n )

38 Rung Rung etor V. Rung etor umum Selm ini it telh memhs etor etor di R n Euclides dengn opersi opersi stndrn. Serng n memut onsep tentng rung etor dengn onsep ng leih lus. Ad srt gr V diseut segi rung etor itu :. Ji etor etor u V m etor u + V. u + + u. u + ( + ) ( u + ) +. Ad V sehingg + u u + untu semu u V : etor nol. Untu setip u V terdpt u V sehingg u + ( u ) 6. Untu semrng slr ji u V m u V 7. ( u + ) u + semrng slr 8. ( + l) u u + lu dn l slr 9. ( l u ) ( l ) u. u u Dlm hl ini tentun ng pling menentun ph V diseut rung etor tu tid dlh opersi opersi pd V tu entu dri V itu sendiri. Ji V merupn rung etor dengn opersi opersi etor ( opersi penjumlhn dn opersi perlin dengn slr ) ng un merupn opersi stndr tentun V hrus memenuhi srt dits ji stu sj srt tid dipenuhi m tentun V un merupn rung etor. Contoh rung etor :. V dlh himpunn etor euclides dengn opersi stndr ( opersi penjumlhn dn opersi perlin dengn slr ) notsin R n.. V dlh himpunn polinom pngt n dengn opersi stndr Bentu umum polinom orde n p n () n n q n () n n Opersi stndr pd polinom orde n p n () + q n () + + ( + ) + + ( n + n ) n p n n n notsi untu rung etor ini dlh P n. V dlh himpunn mtris eruurn mn dengn opersi stndr ( penjumlhn mtris dn perlin mtris dengn slr ) rung etor ini sering di notsin dengn M mn Contoh un rung etor. V dlh himpunn etor ng erentu ( ) di R dengn opersi etor segi eriut : untu u ( u ) (u ) m u ( u ) dn u + ( u + ). V himpunn mtris ng erentu dengn opersi stndr R

39 Rung Rung etor Contoh.. Tunjun h V itu himpunn mtris ng erentu opersi stndr un merupn rung etor ( R )! dengn J Untu memutin V un merupn rung etor dlh cuup dengn menunjun h slh stu srt rung etor tid dipenuhi. An ditunjun ph memenuhi srt ng pertm p r Misln A dn B pqrs R m AB V A + B q p + r q + s s Jdi V un merupn rung etor V srt tid dipenuhi V. Su rung etor Diethui V rung etor dn U suhimpunn V. Kemudin U ditn su rung dri V ji memenuhi du srt eriut :. Ji u U m u + U. Ji u U untu slr erlu u U Contoh.. Diethui U dlh himpunn titi titi di idng dengn ordint dengn opersi stndr R tunjun h U merupn su rung dri R! J An ditunjun h U memenuhi du srt su rung etor itu :. U { } untu semrng nili R Misln ( ) dn ( ) dengn R m U + ( + ) dengn + R jdi + R Jdi srt e terpenuhi.. Untu slr m ( ) dengn R jdi R Jdi srt e terpenuhi Kedu srt terpenuhi m U merupn su rung R Contoh.. Diethui U dlh himpunn etor etor ng erentu ( c ) dengn c c R dengn opersi stndr R tunjun ph U merupn su rung R tu un! J An ditunjun ph U memenuhi srt su rung etor R

40 Rung Rung etor Misln ( c c ) dn ( c c ) dengn c c R m R. + ( + ) (c +c ) + c +c ) U Srt e tid dipenuhi jdi U un merupn su rung etor. V. Memngun dn es linier Seelum memhs leih juh tentng etor etor ng memngun rung etor dn etor etor ng es linier seelumn n dierin definisi ng eritn dengn mslh ng ng n dihs. Kominsi linier Vetor ditn merupn ominsi linier dri etor etor n il is dintn segi : n n n : slr Diethui V rung etor dn S { s s s n } dimn s s s n V S ditn memngun V il untu setip V merupn ominsi linier dri S itu : s + s + + n s n n : slr Vetor etor di S ditn es linier ji persmn s + s + + n s n hn memilii penelesin n ( tu ji diuh e entu SPL penelesinn dlh triil ) ji d penelesin lin untu nili n selin m ditn etor etor di S ergntung linier. Contoh.. Diethui ( ) ( ) dn c ( ) Aph c merupn ominsi linier dri dn? J Misln c merupn ominsi linier dri dn m dpt ditentun nili untu dn dri persmn c + + Digunn opersi ris elementer untu menelesin sistem persmn linier dits itu : [ ] A ~ ~ Didptn

41 Rung Rung etor Nili dn is didptn jdi c merupn ominsi linier dri dn itu c + Contoh.. Aph u ( ) ( 6 ) dn ( 7 ) memngun R? J Misln u dn memngun R m untu semrng etor di R ( z ) m ( z ) hruslh merupn ominsi linier dri dri u dn. Ji ditulisn dlm entu mtris n erentu : z 7 6 Ji ( z ) ini merupn ominsi linier dri u dn m ini sm sj dengn mengtn h SPL A dits dlh SPL ng onsisten ( memilii penelesin ). Kren SPL dits un merupn SPL homogen m SPL n onsisten ji tid d ris pd mtris A setelh dilun redusi ris. 7 6 ~ ~ Kren terdpt ris m pstilh d etor di R ng un merupn ominsi linier dri u dn. Jdi u dn tid memngun R. Contoh.. Diethui u ( ) ( ) ( ). Aph u dn memngun R?. Aph u dn es linier? J. Misln u dn memngun R m SPL eriut merupn SPL ng onsisten. ~ ~ tid terdpt ris. Jdi SPL onsisten u dn memngun R. An diliht ph persmn u + + n n memilii penelesin n. Dri opersi ris elementer pd jn didptn h

42 Rung Rung etor 6 s s s jdi dpt disimpuln h u dn ergntung linier. Contoh.. Aph s() 6 merupn ominsi linier dri p() + + q() + dn r()? J s() merupn ominsi linier dri p() q() dn r() ji dn hn ji s() is ditulisn segi : s() p() + q() + r() tu euilen dengn 6 merupn SPL ng onsisten 6 ~ 6 ~ 6 6 ~ SPL onsisten Jdi s() merupn ominsi linier dri p() q() dn r() dengn V. Bsis dn Dimensi Misln V rung etor dn S { s s s n }. S diseut sis dri V il memenuhi du srt itu :. S es linier. S memngun V Bsis dri sutu rung etor tid hrus tunggl tetpi is leih dri stu. Ad du mcm sis ng it enl itu sis stndr dn sis tid stndr. Contoh sis stndr :. S { e e e n } dengn e e e n R n e ( ) e ( ) e n ( ) Merupn sis stndr dri R n.. S { n } merupn sis stndr untu Pn ( polinom orde n ). S merupn sis stndr untu M

43 7 Rung Rung etor Dimensi rung etor didefinisin segi nn unsur sis rung etor terseut. Jdi dim R dim P dn dim M dn segin. Pd pemhsn mengeni memngun dn es linier sutu himpunn etor dpt ditunjun merupn himpunn ng es linier tu memngun rung etor V hn dengn meliht dri jumlh etor dn dim rung etor. Pd contoh.. nn etor dn dim ( R ) seenrn tnp menghitung it sudh is menimpuln h himpunn etor terseut tid es linier ren gr es linier msiml jumlh etor dim rung etor. Selin ji sutu himpunn etor hn memut etor dengn jumlh urng dri dim rung etor m dpt disimpuln h himpunn etor terseut tid memngun. Berdsrn hl ini m sutu himpunn etor emunginn is menjdi sis rung etor erdimensi n ji jumlh etorn n. Ji jumlh etor < n m tid memngun selin ji jumlh etor > n m ergntung linier. Ji jumlh etor n m dpt dihitung nili determinn dri rung ng dingun oleh himpunn etor terseut. Ji det m i tid es linier dn tid memngun Ji det m i es linier dn memngun merupn sis. Contoh.. Tentun ph H merupn sis M? J Jumlh mtris ( is dipndng segi etor di R ) dlm H dim M Jdi untu menentun ph H merupn sis dri R tu un dlh dengn meliht nili determinn dri rung ng dingun oleh H. Misln W dlh rung ng dingun oleh H m untu semrng W erlu : A Untu menentun ph H merupn sis tu tid dlh dengn menghitung nili det (A) dri SPL dits Jdi H merupn sis dri M.

44 8 Rung Rung etor V.6 Bsis rung ris dn sis rung olom Sutu mtris eruurn mn dpt dipndng segi susunn ilngn ng tersusun dri ilngn dlm olom smpi olom n tu dlm ris smpi.. n ris m. Jdi ji A.. n : : : : m m.. mn M A tersusun ts etor etor ris r i dengn r i ( i i in ) tu is jug ditn A tersusun ts etor etor olom c j (c j c j c mj } dengn i m dn j n Surung R n ng dingun oleh etor etor ris diseut rung ris dri A Surung R m ng dingun oleh etor etor olom diseut rung olom dri A. Menentun sis rung olom / ris Bsis rung olom A didptn dengn melun OBE pd A sedngn sis rung olom A didptn dengn melun OBE pd A t. Bnn unsur sis ditentun oleh nn stu utm pd mtris eselon ris teredusi. Dimensi ( rung ris ) dimensi ( rung olom ) rn mtris Contoh 6. Diethui A Tentun sis rung ris dn sis rung olom! A ~ 8 ~ Jdi sis rung ris { r r r } { c c c } sedngn rn A sedngn sis rung olom dlh V.7 Bsis rung solusi Pd sutu sistem persmn liner homogen A dengn solusi ng t triil dn A eruurn m n rung solusi dri SPL is diseut dengn rung null dri A sedngn dimensi dri rung null diseut nullits A. Ad huungn ntr rn A dengn nulits A itu rn A + nullits A n. Bsis rung solusi tentun diperoleh dri rung nulln.

45 9 Rung Rung etor Contoh.7. Diethui SPL homogen A dengn A null dri A dn rn A! tentun rung J A Jdi rung null Jdi ~ ~ s s s s is dimil segi sis untu rung null. Nullits A. Bis jug diperis h nullits A + rn A n.

46 Rung Rung etor Ltihn. Tentun jr ntr ( ) dn ( ) dn pnjng msing msing etor!. Diethu ( ) dn ( 6 ) dlh etor etor ng teg lurus Tentun nili!. Tentun etor etor ng teg lurus terhdp ( ) ( ) dn c ( )? Berin du contoh!. Diethui V : Himpunn etor etor di R dengn opersi : u+ ( u u u ) + ( ) ( u + u + u + + ) u (u u u ) Tunjun siom rung etor mn sj ng tid dipenuhi! Untu nomor 8 tentun ph U dengn opersi stndr merupn su rung M il ( erin contoh mtrisn il U un merupn su rung etor ): U merupn himpunn mtris ng erentu. 6 U merupn himpunn mtris dengn determinn 7 U merupn himpunn mtris ng erentu A A 8. Aph A B C D. Merupn mtris mtris ng es linier?. Memngun M? 9. Diethui H { } +. Aph H memngun P?. Aph H es linier? c. Aph H sis P? + dn H P Sol Sol cmpurn. Tentun penelesin dri SPL eriut! Tentun nili gr SPL ( ) z. Memilii solusi tunggl!. Memilii solusi t hingg!

47 Rung Rung etor. Diethui sistem persmn linier A t u. Tentun nili nili untu dn gr sistem persmn linier dits memililii solusi tunggl!. Untu nili Tentun nili untu gr SPL dits memilii solusi n dn tulisn jug solusi untu! c. Untu dn selidii ph metode Crmer dpt digunn untu mencri solusi untu ji dpt tentun solusin!. Diethui ( ) dn ( ). Tentun nili dri gr dn teg lurus!. Tentun etor stun ng teg lurus terhdp! c. Untu nili tentun etor ng merupn omponen dri ng teg lurus terhdp ( lengpi dengn gmr du dimensi ). Diethui A B dn C dlh titi titi seuh segitig dengn α β dn γ erturut turut merupn sudut ng terlet di titi A B dn C seperti ng terliht pd gmr di h ini : C γ A α c c Ji merupn pnjng dri BC merupn pnjng dri AC c merupn pnjng dri AB dn misln c digi menjdi du gin itu c dn c dengn titi pemtsn dlh proesi ortogonl titi C terhdp AB M didptn persmn linier segi eriut : c c + c cos β + cos α. Dengn pemiirn ng sm Ntn dn dlm entu persmn seperti c dits emudin selesin SPL ng muncul untu menentun nili ( rumus) untu cos α cos β dn cos γ!. Hitung lus segitig ABC dn cos β ji diethui titi A( ) B ( ) dn C ( )! 6. Diethui etor posisi ( ) ( ) dn c ( ). Tentun etor stun ng teg lurus terhdp dn!. Tentun etor proesi orthogonl terhdp! c. Hitung lus segitig ABC ng titi titin merupn ujung ujung etor dn c! β B

48 Rung Rung etor 7. Segitig ABC memilii titi titi sudut A( ) B( ) dn C( ). Ji θ dlh sudut di titi A Hitung sinθ!. Hitung lus segitig ABC! 8.. Aph ( ) ( ) c ( ) dn d ( ) memngun R? Jelsn!. Aph p + p + dn p + merupn polinom polinom ng es linier? Jelsn! 9. Diethui ( ) ( ). Tentun nili gr sudut ng dientu ntr dn dlh o!. Tentun omponen dri ng teg lurus terhdp!

49 Rung Hsil Kli Dlm BAB VI Rung Hsil Kli Dlm VI. Hsil li dlm Definisi Hsil li dlm dlh fungsi ng mengitn setip psngn etor etor V ( misln psngn u dn dinotsin dengn < u > ilngn riil dn memenuhi siom itu :. Simetris : < u > < u >. Aditiits : < u+ > < u > + < >. Homogenits : < u > < u > slr. Positiits : < uu > dn ( < uu > u ) di rung ) dengn Rung etor ng dilengpi hsil li dlm seperti dits diseut Rung hsil li dlm ng is disingt dengn RHD. Contoh 6.. Tunjun h opersi perlin titi titi stndr di R Euclides merupn hsil li dlm! J An ditunjun h perlin titi stndr memenuhi eempt siom hsil li dlm itu : Misln ( ) ( ) c ( c c c ) m c R. Simetris < > (. ) ( + + ) ( + + ) < > ( terpenuhi ). Aditiits < + c > ( ( + ). c ) (( ). ( c c c ) ) (( c + c ) + ( c + c ) + ( c + c ) ( c + c + c ) + ( c + c + c ) (. c ) + (. c ) < c > + < c > ( terpenuhi ). Homogenits < > (. ) ( + + ) ( + + ) (. ) < > ( terpenuhi )

50 Rung Hsil Kli Dlm. Positiits < > (. ) ( + + ) ( terpenuhi ) dn < uu > ( + + ) u ( ). ( terpenuhi ) RHD ng memilii hsil li dlm erup perlin titi stndr seperti dits is diseut RHD Euclides. Contoh 6.. Diethui < u > d + cf dengn u ( c ) dn ( def ) Aph < u > terseut merupn hsil li dlm? J An ditunjun ph < u > terseut memenuhi eempt siom hsil li dlm Asiom. Simetris < u > d + cf d + fc < u > ( terpenuhi ). Aditiits Misln ( ghi ) < u + > < (+d +e c+f) ( ghi ) > (+d )g + (c+f)i ( g + ci ) + ( dg + fi ) < u > + < > ( terpenuhi ). Homogenits < u > (d + cf) ( d + cf ) < u > ( terpenuhi ). Positiits < uu > ( u. u) ( + c ) ( terpenuhi ) dn ( < uu > ( + c ) tid sellu u ( ) ren untu nili u ( ) dengn m nili < uu > ( tid terpenuhi ) Asiom positiits tid terpenuhi m < u > d + cf dengn u ( c ) dn ( def ) un merupn hsil li dlm. VI. Pnjng etor jr ntr etor dn esr sudut dlm RHD Keti it memhs tentng pnjng etor m it hrus menghilngn rumusn ng selm ini it gunn mengeni pnjng etor dln rung n Euclides erdsrn opersi hsil li titi. Kit n menghitung pnjng sutu erdsrn hsil li dlm ng telh dierin dn sudh diutin ersm sm h hsil

51 Rung Hsil Kli Dlm li titi dln rung n Euclides jug merupn hsil li dlm jdi onsep ng digunn ini n leih lus dripd onsep seelumn. Misln V merupn rung hsil li dlm u V m. Pnjng u < uu > ½. Jr u dn d( u ) < u u > ½ c. Misln φ sudut ntr u dn dlm RHD m esr cos φ dlh : cos θ u u Ji u dn sling teg lurus m Buti u + u + u + u + u + u + u u + + u u + u + u + Contoh 6.. Diethui V dlh RHD dengn hsil li dlm < u > (u + u + u ) dengn u ( u u u ) ( ). Ji etor etor V dengn ( ) dn ( ) Tentun. Besr cos α ji sudut ng dientu ntr dn dlh α!. Jr ntr dn! J cos θ < >. +.(.) Jdi cos θ 8 VI. Bsis orthonorml Diethui V rung hsil li dlm dn n dlh etor etor dlm V. Beerp definisi penting. H { n } diseut himpunn orthogonl il setip etor dlm V sling teg lurus itu < i j > untu i j dn ij n.

52 6 Rung Hsil Kli Dlm. G { n }diseut himpunn orthonorml il - G himpunn orthogonl - Norm dri i i n tu < i i > Metode Grmm Schimdt Metode Grmm Schimdt digunn untu meruh sutu himpunn etor ng es linier menjdi himpunn ng orthonorml. jdi dlm hl ini disrtn himpunn ng ditrnsformsin e himpunn orthonorml dlh himpunn ng es linier. Ji ng n ditrnsformsin dlh himpunn etor ng merupn sis dri rung etor V m metode Grmm Schimdt n menghsiln sis orthonorml untu V. Seelum memhs tentng metode ini n dihs tentng proesi orthogonl etor terhdp rung ng dingun oleh himpunn etor. Diethui H { n } dlh himpunn etor ng es linier dri rung etor V dengn dim n dn S { n } merupn himpunn ng orthonorml. Ji W mentn rung ng dingun oleh n m untu setip etor z dlm W dpt ditulisn z n n dengn n slr. Ji u dlh semrng etor dlm V m tentun u dpt ditulisn segi jumlh dri du etor ng sling teg lurus misln z dn z jdi dpt ditulisn u z + z. Kren z dlm W m seenrn z merupn proesi orthogonl u terhdp W sedngn z merupn omponen etor u ng teg lurus terhdp W. Jdi untu menentun z m hrus ditentun nili n sedemiin hingg nili merupn pnjng proesi u terhdp merupn pnjng proesi u terhdp dn seterusn sehingg n merupn pnjng proesi u terhdp n. Proesi orthogonl u terhdp i dlh pro Wi (u ) < u i > direnn n merupn etor etor ng orthonorml. Jdi dpt ditulisn h proesi orthogonl u terhdp W dlh : pro (u) z < u > + < u > + + < u n > n dengn { n } merupn himpunn orthonorml. Komponen u ng teg lurus terhdp W dlh z u (< u > + < u > + + < u n > n ) Misl diethui K { n } dlh himpunn ng es linier m K dpt diruh menjdi himpunn S { n } ng orthonorml dengn menggunn metode Grmm Schimdt itu :. ini proses normlissi ng pling sederhn ren hn melitn stu etor sj. Pemgin dengn ertujun gr i memilii pnjng pd hir lngh ini didptn orthonorml.

53 Rung Hsil Kli Dlm 7. Pd hir lngh ini didptn du etor dn ng orthonorml..... n n n n n n n n n n n n n n Secr umum i ) ( ) ( i W i i W i pro pro dengn W merupn rung ng dingun oleh.. i. Pd metode ini pemilihn n tid hrus mengiuti urutn etor ng dierin tetpi es sesui einginn it ren stu hl ng perlu diingt h sis sutu rung etor tid tunggl. Jdi dengn menguh urutn dri n sngt memunginn didptn jn ng ered ed. Pemilihn urutn dri n ng disrnn dlh ng mengndung hsil li dlm ng ernili itu < i j > dlm sus ini is dimil i dn j dn seterusn. Contoh 6.. Diethui H { c } dengn ( ) ( ) c ( ). Aph H sis R?. Ji trnsformsin H menjdi sis orthonorml dengn menggunn hsil li dlm Euclides! J. Kren dim( R ) dn jumlh etor dlm H m untu menentun ph H merupn sis R tu un dlh dengn cr menghitung determinn mtris oefisien dri SPL A dengn dlh semrng etor dlm R itu det. Ji det m errti H un merupn sis R selin ji det m errti etor etor di H es linier dn memngun R jdi H merupn sis R. Dengn espnsi oftor sepnjng ris etig didptn

54 Rung Hsil Kli Dlm 8 Kren det ini errti H merupn sis dri R. Hsil li dlm ntr dn c < > < c > < c > Untu memilih sis ng perhitungnn leih sederhn dpt dimil c. (). c c c c c c ( ) { Kren < c > m < c > > < > < c c } c. c c c c c c c c Jdi 6 s Normlissi himpunn orthogonl e himpunn orthonorml Diethui V RHD dn H { n } V merupn himpunn orthogonl dengn i m is didptn himpunn orthonorml ng didefinisin segi S { s s s n } dengn s i i i i n. Klu diliht secr sesm seenrn rumusn ini merupn rumusn dri metode Grmm Schimdt ng telh menglmi redusi itu untu nili pro W ( i ) it dri n ng sling orthogonl. Proses untu mendptn etor ng orthonorml is diseut dengn menormlissin etor. Ji dim (V) n m S jug merupn sis orthonorml dri V.

55 9 Rung Hsil Kli Dlm Contoh 6.. Diethui dn c R dengn ( ) ( ) c ( ).Ji R merupn RHD Euclides Trnsformsin c e sis orthonorml! J < > < c > < c > + ( ) c ( ) + + Misln H { c } m H merupn himpunn orthogonl Dim( R ) jdi dpt ditentun sis orthonorml untu R. c Misln s ( ) s ( ) s ( ) 6 c Bsis orthonorml untu R dlh { ( ) 6 ( ) ( ) } VI. Peruhn Bsis Seperti diethui h sutu rung etor is memilii eerp sis. Dri sift inilh tentun ji terdpt semrng etor dlm sutu rung etor V ng memilii himpunn etor A dn B segi sisn m tentun merupn ominsi linier dri etor etor di A dn B. Kjin ng dilun serng ini dlh meliht huungn ntr ominsi linier terseut. Secr sistemtis lngh lnghn dpt diliht seperti eriut ini; Ji V rung etor S : { s s s n } merupn sis V m untu semrng V dpt ditulisn : s + s + n s n dengn n slr. n jug diseut oordint reltif terhdp sis S. [] S diseut mtris reltif terhdp sis S. : n Ji S merupn sis orthonorml m [] S s s : sn \

56 Rung Hsil Kli Dlm Ji A { } dn B { } erturut turut merupn sis dri V m untu semrng z V is didptn [ z] A [] z A dn [ z ] B? Misln [ ] B Dri [ ] B dn [ ] B c d dn [ z ] B. Bgimn huungn didptn +..() ] B c d Dri [ didptn c + d. () Untu [ ] A z m didptn z +...() Dengn melun sustitusi dri persmn dn e persmn didptn : z ( + ) + (c + d ) ( + c ) + ( + d ) + c Ini errti [] z B + d c d P [ z ] A P diseut mtris trnsisi dri sis A e sis B. Secr umum ji A { n } dn B { n } erturut turut merupn sis dri rung etor V m mtris trnsisi sis A e sis B dlh : P [ ] [ ]... [ ] ] B B n B Ji P dpt dili m P merupn mtris trnsisi dri sis B e sis A. Contoh 6. Diethui A { } dn B { } erturut turut merupn sis R dengn ( ) ( ) ( ) dn ( ) Tentun. Mtris trnsisi dri sis A e sis B!. Hitung c. Hitung A B dengn menggunn hsil pd ()! d. Mtris trnsisi dri sis B e sis A! J. Misln [] B [ ] B c d m m c d c d didptn m didptn Jdi mtris trnsisi dri sis A e sis B dlh : P dn untu

57 Rung Hsil Kli Dlm. Misln A m didptn c. Dri () dn () didptn P dn A sehingg B P A d. Mtris trnsisi dri sis B e sis A dlh P dengn P merupn mtris trnsisi terhdp sis A e sis B. Jdi P merupn mtris trnsisi dri sis B e sis A.

58 Rung Hsil Kli Dlm Ltihn. Diethui < > + dengn ( ) dn ( ). Tunjun sift Hsil li dlm ng tid dipenuhi!. Diethui < > + dengn ( ) dn ( ) Peris ph. < > merupn hsil li dlm tu tid! ji tid tentun siom mn ng tid memenuhi!. R merupn RHD dengn hsil li dlm < u > u + u + u dengn u ( u u u ) ( ). W dlh surung R ng memilii sis B { ( ) ( ) }. Trnsformsin B menjdi sis orthonorml!. Misl ( ) di R ntn + z dengn W dn z orthogonl terhdp W!. R merupn RHD dengn hsil li dlm < u > u + u + u dengn u ( u u u ) ( ). W dlh surung R ng memilii sis C { ( ) ( ) }. Hitung sin β ji β dlh sudut ntr dn!. Tentun jr ntr dn! c. Misl ( ) di R dn z dlh omponen dri dengn W dn z orthogonl terhdp W Tentun dn z!. Diethui P merupn mtris trnsisi dri sis A terhdp sis B dengn A { } dn B { } merupn sis R. Ji tentun [] B! 6. Diethui A [] A. Tentun dn B. mtris trnsisi dri sis A e sis B c. [] B sis R. Ji

59 Rung Eigen BAB VII Rung Eigen VII. Nili Eigen sutu mtris Diethui A mtris eruurn n n etor t nol eruurn n R n. Kren A eruurn n n m A n erup etor ng eruurn n jug. Bil terdpt slr λ λ Riil sedemiin hingg A λ (A menghsiln etor ng esrn λ li ). Semu nili λ ng memenuhi persmn terseut sehingg d nili ng nt ( un etor sj ) diseut nili eigen ( rteristi ). Untu menentun nili λ dri persmn A λ seelumn diruh dhulu menjdi persmn (A λ I ) (λ I A ). Agr persmn terseut memilii penelesin t triil ( sejti ) m dpt ditentun mellui nili det (A λ I ) itu det (A λ I ) det (λ I A ). Persmn det (A λ I ) det (λ I A ) ini diseut persmn rteristi. Bnn nili eigen msiml dlh n uh. Dri nili eigen ng telh diperoleh terseut dpt ditentun rung solusi untu dengn memsun nili eigen ng ng diperoleh edlm persmn (A λ I ). Rung solusi ng dperoleh dengn cr demiin ini diseut jug dengn rung eigen. Dri rung eigen ng ersesuin dengn nili eigen tertentu terseut dpt dicri miniml seuh sis rung eigen ng sling es liner. Contoh 7.. Diethui A Tentun nili Eigen esert sis rung eigenn! J Persmn rteristi dri A dlh det (λ I A ). λ det λ ( λ ) λ (λ ) ( λ ) [( λ ) λ ] λ ( λ ) (λ λ ) ( λ ) ( λ + ) ( λ ) Jdi nili eigen untu A dlh :. Bsis rung eigen diperoleh dengn memsun nili eigen ng diperoleh edlm persmn (A λ I ).

60 Rung Eigen Untu λ Didptn persmn ~ ~ Rung eigen s s s sis rung eigen is erup Untu λ Didptn persmn ~ ~ Rung eigen s sis rung eigen is erup Untu λ Didptn persmn ~ Rung eigen s s s sis rung eigen is erup Jdi terdpt tig uh sis rung eigen ng es liner ng ersesuin dengn nili eigen dn. Untu sus ng husus ji A memilii n uh nili eigen λ m n memilii nili eigen λ. Ji nn nili eigen dri A sen n jug m sis rung eigenn ttp sm tetpi ji jumlh nili eigenn urng dri n ( ini terjdi ji d nili eigen ng sling erlnn tnd ) m slh stu nili eigenn n memilii sis rung eigen ng ered.

61 Rung Eigen Contoh 7.. B A M nili eigen untu B dlh : dengn sis rung eigen untu λ sis rung eigenn : λ sis rung eigenn : dn Pd contoh ini untu λ memilii du sis rung eigen ng ersl dri nili eigen dn. Kren ersl dri du nili eigen ng ered m sis rung eigenn jug menglmi sediit peruhn itu untu sis rung eigen dengn λ. Bsis rung eigen terhdp etor ini merupn etor proesi. Dlm hl ini sis rung eigen untu λ diut sling orthogonl. Cr lin ng is digunn untu menentun sis rung eigen tentun dengn memsun nili λ edlm persmn rteristi seperti cr seelumn. VII. Digonlissi Pd pemhsn li ini dlh mengeni penentun mtris digonl D dn mtris pendigonl P ng eritn dengn sis rung eigen ng telh dipeljri pd hsn seelumn. Ji A mtris ujursngr eruurn n dn terdpt mtris digonl D sedemiin hingg D P AP sehingg ditn mtris A dpt didigonlissi. P merupn mtris n n ng olom olomn merupn etor etor olom dri sis rung eigen A. P diseut mtris ng mendigonlissi A sedngn D merupn mtris digonl ng elemen digonln merupn semu nili eigen dri A. Tid semu mtris ujur sngr dpt didigonlissi tergntung dri jumlh sis rung eigen ng dimilii. Ji mtris ujur sngr eruurn n dn sis rung eigen ng es liner erjumlh n jug m mtris terseut dpt didigonlisi ji jumlhn urng dri n m tid dpt didigonlissi. Pd st mtris memilii nili eigen sejumlh n m sis rung eigenn jug n erjumlh n sedngn pd st jumlh nili eigenn urng dri n msih d du emunginn itu jumlh nili eigenn sm dengn n tu jumlh nili eigenn urng dri n. Jdi pd st jumlh nili eigen sm dengn n m mtris dpt didigonlissi