Minggu ke 6 LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS) 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001,, 2 + 1/10 n maka :

Transkripsi

1 Minggu ke 6 Modul Mtemtik LIMIT FUNGSI LIMITS OF FINCTIONS). BRISN SEQUENCES) VS. LIMIT FUNGSI LIMITS OF FUNCTIONS) Contoh : Sequence : fn) = + / n,,,,,,,,, + / n mk : Limit dri fungsi f) =, dimn vribel bergerk dits sequence itu menuju tu, sehingg f) = menuju, yitu :,,,,,,, { + / n ) = } pd menjdi untuk = + / n dengn n jdi B. LIMIT FUNGSI LIMITS OF FUNCTIONS) : DEFINISI & PEMBUKTINNY,. Definisi f ) pbil untuk setip bilngn positif sekecil ppun, mk dpt diperoleh bilngn positif besrny tergntung ) sehingg f ) jik < <, berrti : X f ) Jdi vribel bergerk menuju dn hny dekt ke titik tu ngk di ts sequence), mk fungsi f) menuju dn hny dekt ke nili tu ngk.. Pembuktin Definisi Limit Fungsi Contoh : Suryri Purnm

2 Modul Mtemtik jik f ) sehingg jik, mk f), jdi jik Bukti Pilih, mk < < menjdi < < yng berrti < < untuk Kren ) ) 5. Dengn pilih tu / 5 tu mn yng terkecil, sehingg f ) menjdi jik < < =), jdi terbukti. Misl, ingin =,5), jdi = 5 =,, jdi jik < < =,), mk,99 < <, ), sehingg,96 < <, tu,99 < <, berrti <,5 dimn ) Misl, ingin =6) dn pilih, jug terbukti, cob!. Limit Fungsi Unik Pd f ), vrible menuju titik tu ngk bis dri kiri tu, tu dri knn yitu +, sehingg Mk f ) left hnd it) dn f ) f ) unik tu hny stu-stuny) hny pbil benr if nd only if) right hnd it) { f ) } = { f ) } Bukti : Untuk, mk bis diperoleh, sehingg f ) / jik < < dn f ) / jik < < = f ) f ) Kren < f ) + f ) < / / sngt kecil dn bhkn menjdi, mk =, jdi terbukti.. Infinity Suryri Purnm

3 Modul Mtemtik Infinite its f ) infinite) : pbil untuk bilngn positif M ppun besrny), terdpt bilngn positif sehingg f ) M jik < <. Jug, f ) infinite) : pbil untuk bilngn positif M ppun besrny), terdpt bilngn positif sehingg f ) M jik < <. Jug berlku untuk notsi dengn + dn. f ) pbil untuk setip bilngn positif sekecil f ) 5. Teori Limit Fungsi ppun, mk dpt diperoleh bilngn positif besrny tergntung ) sehingg f ) jik > M bndingkn dengn definisi di ts. infinite) : pbil untuk bilngn positif M ppun besrny), terdpt bilngn positif P sehingg f ) M jik > P. Dengn f ) dn f ) B ). f ) konstn) pbil f ) konstn) ). k. f ) k. f ) n f ) ). n = n bilngn riil) ). f ) g ) f ) g ) B Suryri Purnm

4 Modul Mtemtik 5). f ). g ) f ). g ). B f ) f ) 6). dn B g ) g ) B Cttn : Konsep dri it the concept of it) Liht C&W Book ) Ch. 6 hl. 9-5). Teori it it theorems) Liht C&W Book ) Ch.6 hl. 9-). 6. Contoh ). ). ). 5) ). ) 5). buktikn dn bndingkn dengn contoh di ts) 6). 5) ) 7 bndingkn dengn contoh di ts) 7). Specil its : / e dn e e ln Suryri Purnm

5 Modul Mtemtik 7. Sol Ltihn 6 ). 8 ). ) Mm ). f ), ). Cri f ) b). Cri f ) ). c). Cri f ) 7 5) ). 7). Suryri Purnm 5

6 Modul Mtemtik Bhn 6.. KONTINUITS FUNGSI FUNCTION CONTINUITY OR CONTINUOUS FUNCTIONS). Tig syrt untuk fungsi kontinyu continuous functions) Fungsi f) dinytkn kontinyu pd titik tu ngk =, pbil syrt dipenuhi : ). f) pd =, tu f ), diperoleh defined). ). f ) ngk diperoleh) ). f ) f ) Fungsi dinytkn continuous pd sutu intervl open or closed), pbil continuous di setip titik pd sutu intervl. f) = + continuous pd = kren f ) f ) = 5 tig syrt di ts dipenuhi. f) = tidk continuous pd = kren f=) = 5 dlh ngk imginer tig syrt di ts tidk dipenuhi. Jdi, fungsi dinytkn continuous, pbil fungsi continuous pd setip titik di ts domin fungsiny : Suryri Purnm 6

7 Modul Mtemtik Mk f) = + sert semu fungsi polynomil pd, jug demikin untuk fungsi rsionl sepnjng fungsi pd penyebut tidk nol) dlh continuous function. Hny di ts n open intervl < < b pd domin fungsiny, kren : f ) f ) dn f ) f b) Sedngkn du it itu tidk diperoleh pbil di ts closed intervl b. Knn dn kiri kontinuits right nd left hnd continuity) pbil f) terdefinisi is defined) hny pd intervl, mk f) continuous on the right) pd =, jik : f ) f ) yitu f + ) = f ) pbil f) terdefinisi is defined) hny pd intervl, mk f) continuous on the left) pd =, jik : f ) f ) yitu f ) = f ). Contoh Continuous Functions dn Discontinuous Functions jik ). f ) sehingg jik, mk f), jdi jik b Jdi f) continuous selin pd =. Tpi f) = untuk semu, mk, jdi continuous pd semu titik termsuk =. ). f) = f) discontinuous pd = kren f) dn f ) tidk diperoleh eists). Bhkn berup infinite discontinuous. Suryri Purnm 7

8 ). f) = Modul Mtemtik f) discontinuous pd = kren terdpt lubng hole) sehingg f) tidk diperoleh defined) yitu /, wlupun f ) defined). Discontinuity dimksud dpt dihilngkn removble) dengn meredefinisi fungsi menjdi : f) = ; Cttn grfik tu kurv f) = dn g) = + sm, Keculi pd fungsi rsionl itu terdpt lubng hole). Cttn : Fungsi kontinyu dn lyk mempunyi derivtif continuity nd differentibility of function) Liht C&W Book ) Ch. 6 hl. -6). Suryri Purnm 8

9 Modul Mtemtik Suryri Purnm 9