Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL

Transkripsi

1 BAB V. INTEGRAL Anti-turunn dn Integrl Tk Tentu Persmn Diferensil Sederhn Notsi Sigm dn Lus Derh di Bwh Kurv Integrl Tentu Teorem Dsr Klkulus Sift-sift Integrl Tentu Leih Lnjut Sustitusi dlm Penghitungn Integrl Tentu

2 Anti-turunn dn Integrl Tk Tentu Fungsi F diseut nti-turunn f pd I pil F () f() untuk setip є I. Segi contoh, F() 4 + dlh nti-turunn f() 4 pd R. Secr umum, kelurg fungsi F() 4 + C merupkn nti-turunn f() 4 pd R, kren F () 4 f() untuk setip є R. Kelurg fungsi nti-turunn f() diseut integrl tk tentu dri f(), dn dilmngkn dengn f() d. Jdi, segi contoh, 4 d 4 + C.

3 Secr grfik, kelurg fungsi nti-turunn f() dlh kelurg fungsi yng nggotny merupkn pergesern ke ts tu ke wh dri nggot linny. Semu nggot kelurg fungsi terseut mempunyi turunn yng sm, yitu f(). Kelurg fungsi yng turunnny sm

4 Terkit dengn perendhrn turunn yng telh kit peljri seelumny, kit mempunyi eerp teorem erikut tentng integrl tk tentu. Teorem (Aturn Pngkt). Jik r є Q dn r -, mk r d r+ /(r+) + C. Contoh () d / + C. () - d C. Teorem (Integrl Tk Tentu sin dn cos ) sin d - cos + C; cos d sin + C.

5 Teorem (Kelinern Integrl Tk Tentu) Jik f dn g fungsi dn k dlh konstnt, mk k.f() d k. f() d dn [f() + g()] d f() d + g() d. Contoh. (6 + ) d d + d. + + C. Teorem 4 (Aturn Pngkt yng Diperumum) Jik r є Q dn r - dn g dlh fungsi yng mempunyi turunn, mk [g()] r.g () d [g()] r+ /(r+) + C.

6 Contoh 4. ( + ) 5. d ( + ) 6 /6 + C. (Di sini kit menerpkn Aturn Pngkt yng Diperumum dengn g() +, g ().) Contoh 5. Jik g() sin, mk g () cos. Jdi, menurut Aturn Pngkt yng Diperumum, kit peroleh sin.cos d (sin ) / + C. Ltihn. Tentukn integrl tk tentu di wh ini.. ( + - ) d.. ( + ). d.. sin.sin d.

7 Persmn Diferensil Sederhn Jik F () f(), mk f() d F() + C. Dlm hs diferensil: jik F () f(), mk (*) df() F () d f() d sehingg df() f() d F() + C. Persmn (*) merupkn contoh persmn diferensil yng (pling) sederhn. Persmn diferensil nyk dijumpi dlm mtemtik, fisik, mupun idng ilmu linny.

8 Contoh 6. Tentukn persmn kurv yng mellui titik (,) dn mempunyi turunn di setip titik (,y) yng dilluiny. Jw. Mislkn persmn kurv terseut dlh y f(). Mk, dlm hs diferensil, informsi di ts mengtkn hw dy d. Integrlkn kedu rus, dy d. sehingg kit peroleh y + C + C tu y + C, C C C.

9 Persmn y + C merepresentsikn kelurg kurv yng mempunyi turunn di titik (,y). Sekrng kit kn mencri nggot kelurg kurv terseut yng mellui titik (,). Dlm hl ini kit mempunyi persmn + C, sehingg mestilh C. Jdi persmn kurv yng kit cri dlh y +. Ltihn. Tentukn fungsi y f() sedemikin sehingg f () + dn f() 4.

10 Notsi Sigm Penjumlhn deret n ilngn n dilmngkn dengn notsi sigm Segi contoh, 5 i i i Teorem 5 (Kelinern Sigm) n k n + n i i k i ; ( + + i i ) i i i n + 4 i i i n. n i.

11 Beerp deret khusus (dengn indeks i erjln dri smpi dengn n), di ntrny: i n n(n + )/. i n n(n + )(n + )/6. i n n (n + ) /4. Deret pertm merupkn deret ritmetik n ilngn dengn suku pertm dn ed. Untuk pemuktin rumus deret kedu dn ketig, liht Purcell hl

12 Lus Derh di Bwh Kurv Mislkn kit ingin menghitung lus derh di wh kurv y f(),. Pertm, gi selng [,] ts n selng gin yng sm pnjngny. Llu, lus derh terseut (L) kit hmpiri dengn jumlh lus persegipnjng di wh kurv, ykni L n n n... + ( n ) n /n /n.

13 Perhtikn hw deret di rus knn dpt kit tulisulng segi [ ] ( n ) n yng jumlhny ( n ) n(n ). 6n Jdi, kit kit peroleh hmpirn ( n ) n(n ) L : 6n n Dri sini kit mti hw L n / il n. Jdi, lus derh yng sedng kit cri dlh /. L.

14 Integrl Tentu Mislkn f : [,] R kontinu keculi di sejumlh terhingg titik. Bgi selng [,] ts n selng gin (tk perlu sm pnjng), seutlh titik-titik pemginy < < < < n- < n. Himpunn titik-titik ini diseut segi prtisi dri [,]. Untuk tip i,, n, tulis i i i- ( ler selng gin ke-i). yf() n-

15 Dri tip selng gin, pilih serng titik t i є [ i-, i ]. Llu entuk penjumlhn erikut R P f(t i ). i dengn indeks i erjln dri hingg n. Bentuk ini dikenl segi jumlh Riemnn untuk f terhdp prtisi P {,,, n-, n } dn titik-titik t i. Contoh 7. Mislkn f(), є [,], P {, ⅓, ¾, }, t ⅓, t ½, t ⅞. Mk jumlh Riemnn untuk f terhdp prtisi P dn titik-titik t i dlh R P f(⅓).⅓ + f(½).(¾ ⅓) + f(⅞)( ¾) /7 + 5/ /56.

16 Jumlh Riemnn untuk f merupkn hmpirn untuk lus derh di wh kurv y f(), є [,]. Semkin hlus prtisiny, semkin ik hmpirn terseut. Jik lim P i ). d, mk f diktkn terintegrlkn pd [,] dn integrl tentu f dri ke didefinisikn segi Cttn. P mks { i : i,, n}. n f ( t f ( ) d lim P i n i f i ( t i ). i

17 Dlm notsi, kit mengsumsikn hw <. Jik >, mk kit definisikn Jik, mk kit definisikn Ctt pul hw f ( ) d f ( ) d f ( ) d. ( ) d f ( ) d f. f ( ) d f ( t) dt f ( u) du.

18 Teorem 6. Jik f terts dn kontinu keculi di sejumlh terhingg titik pd [,], mk fungsi f terintegrlkn pd [,]. Akit 7. Fungsi polinom, fungsi rsionl, f(), g(), s() sin, dn c() cos merupkn fungsi yng terintegrlkn pd serng selng terts yng termut dlm derh slny. Smpi di sini kit hny dpt mengtkn pkh seuh fungsi terintegrlkn pd sutu selng, dengn meliht pkh fungsi terseut terts dn kontinu keculi di sejumlh terhingg titik.

19 Nmun, untuk menghitung integrl tentu fungsi terseut, selin dengn menggunkn definisiny, memerlukn lt ntu yng leih mpuh. Teorem Dsr Klkulus Slh stu lt ntu untuk menghitung integrl tentu dlh Teorem Dsr Klkulus, yng erunyi: Jik f kontinu dn mempunyi nti-turunn F pd [,], mk f ( ) d F( ) F( ).

20 Cttn. Dlm penghitungn integrl tentu, notsi F ( ) errti F() F(). ] Contoh 8 () () π / (cos d ) d Teorem 9 (Kelinern Integrl tentu) k. f ( ) d k. f ( ) d; + ] ] π / π sin sin sin. [ f ( ) g( )] d f ( ) d +. g( ) d.

21 Contoh 9. Dengn menggunkn kelinern integrl tentu, kit dpt menghitung ( + ) d d + d 8 + Sift-sift Lnjut Integrl Tentu 4. Selin kelinern, integrl tentu jug memenuhi: Sift penjumlhn selng: c f ( ) d f ( ) d + f ( ) d. c

22 Sift pemndingn: Jik f() < g() pd [,], mk f ( ) d < g( ) d. Sift ketertsn: Jik m f() M pd [,], mk m ( ) f ( ) d M ( ). Contoh. Pd [,] erlku + 4 ; kren itu menurut sift ketertsn 4 + d.

23 Mislkn f terintegrlkn pd [,]. Definisikn G ( ) f ( t) dt. Di sini, G() menytkn lus derh di wh kurv y f(t), t (liht gmr). y f(t) Teorem Dsr Klkulus II. G () f() pd [,]; ykni, d d f ( t) dt f ( ), [, ].

24 Cttn Kulih Contoh () () (c) (d). dt t d d. dt t d d dt t d d. 6. u d du dt t du d dt t d d u u. 5 6 dt t d d dt t d d dt t d d + +

25 Teorem Nili Rt-rt Integrl Jik f kontinu pd [,], mk terdpt c є [,] sedemikin sehingg f ( c) f ( t) dt. Cttn. Nili f(c) dlm teorem ini diseut nili rt-rt integrl f pd [,] (liht gmr). Perhtikn hw lus derh di wh kurv y f(t), t є [,], sm dengn f(c)( ). y f(t) c

26 Contoh. Mislkn f(), є [,]. Mk d. Jdi nili rt-rt integrl f pd [,] dlh ⅓. ] Ltihn. Tentukn nili rt-rt integrl f() 4 pd [,]. Sustitusi dlm Penghitungn Integrl Tentu Mislkn kit ingin menghitung integrl erikut 4 +.( + ) d.

27 Dengn menggunkn Aturn Pngkt yng Diperumum, kit dpt menghitung integrl tk tentuny: ( + ) ½.( + ) d ⅔( + ) / + C. Dengn demikin, integrl tentu tdi dpt dihitung: 4 / / ( + ) ( + ) d ( + ) ] 4 () /. Integrl semcm ini, ik integrl tentu mupun integrl tk tentu, dpt pul dihitung dengn teknik sustitusi, yng kn kit hs selnjutny.

28 Segi contoh, untuk menghitung integrl tk tentu ( + ) ½.( + ) d, kit gunkn sustitusi peuh u +, sehingg du ( + )d dn integrl di ts menjdi u ½ du. Dengn Aturn Pngkt, kit peroleh u ½ du ⅔ u / + C. Sustitusikn kemli u +, kit dptkn ( + ) ½.( + ) d ⅔( + ) / + C, segimn yng kit peroleh seelumny dengn Aturn Pngkt yng Diperumum.

29 Sekrng, untuk menghitung integrl tentu 4 / ( + ) ( + ) d, kit lkukn sustitusi seperti tdi: u +, du ( + )d. Selnjutny kit perhtikn efek sustitusi ini terhdp kedu ts integrl. Pd st, kit peroleh u ; sementr pd st 4, kit dptkn u. Dengn demikin 4 / + + / ( ) ( ) d u / du u sm seperti yng kit peroleh seelumny. ] () /,

30 Cttn. Dlm menghitung integrl tentu dengn teknik sustitusi, kedu ts integrl pd umumny eruh dn kit dpt menghitung integrl dlm peuh ru tnp hrus mensustitusikn kemli peuh lm. Secr umum, dengn melkukn sustitusi u g(), du g ()d, kit peroleh Integrl tk tentu: f(g()).g ()d f(u) du. Integrl tentu: f ( g( )). g'( ) d g ( ) g ( ) f ( u) du.

31 Ltihn. Hitung integrl tentu/tk tentu erikut:. + d.. cos( + ) d ( + ) d. π / 4 cos d. 4 dt. t ( t + )

32 SOAL-SOAL BAB V 5. no., 5,, 5,,,,. 5. no. 5,, no., 9,, no no.,,, no., 7,, 5,. 5.7 no., 9,, 5, 7, 9,,, 7,. 5.8 no. 5, 8, 7,, 5,.

33 BAB. VI PENGGUNAAN INTEGRAL LusDerhdiBidng Volume Bend Pejl di Rung: Metode Cincin Metode Kulit Tung Metode Irisn Sejjr Momen dn Pust Mss

34 Lus Derh di Bidng Dikethui derh di idng seperti pd gmr di smping, gimn kit dpt menghitung lus derh terseut? Pd prinsipny, kit dpt memgi derh terseut menjdi eerp gin, di mn tip gin merupkn derh di ntr du kurv. Jdi persolnny dlh gimn menghitung lus derh di ntr du kurv, yng kn dihs selnjutny.

35 Contoh. Hitung lus derh (tertutup) yng ditsi oleh kurv y dn y. y y Jw: Misl kit iris derh terseut secr vertikl, dn tip irisnny mempunyi ler dn tinggi kir-kir sm dengn, sehingg lusny dlh L ( ) (liht gmr). Jdi, lus derh terseut secr keseluruhn dlh L ( ). Amil limitny, kit peroleh ] L ( ) d 6.

36 Ltihn. Hitung lus derh di Kudrn I yng ditsi oleh kurv y, gris y, dn sumu-. (Petunjuk. Setelh nd menggmr derh yng dimksud, irislh derh terseut secr horisontl dn tksir lus tip irisnny.) Volume Bend Pejl di Rung; Metode Cincin Bil sutu derh D diputr mengelilingi seuh sumu, mk kn diperoleh sutu end putr. Bgimn menghitung volumeny? D

37 Contoh. Derh yng ditsi oleh kurv y dn y diputr mengelilingi sumu-. Hitung volume end putr yng terentuk. y y Jw: Tip irisn mementuk cincin dengn jri-jri lur, jri-jri dlm 4, dn tel, yng volumeny dlh V π( 4 ). Jumlhkn dn mil limitny, kit peroleh V [ ] 4 5 π ( ) d π 5 π 5.

38 Ltihn. Derh pd Contoh diputr mengelilingi sumu-y. Hitung volume end putr yng terentuk. (Petunjuk. Iris derh terseut secr horisontl dn tksir volume cincin yng terentuk dri tip irisnny.) y y Metode Kulit Tung Volume end putr pd sol ltihn di ts dpt pul dihitung dengn Metode Kulit Tung segi erikut. Iris derhny secr vertikl, sehingg tip

39 irisnny kn mementuk sutu kulit tung dengn jri-jri, tinggi, dn tel. Volume kulit tung ts dlh V π( ). Jumlhkn dn mil limitny, kit peroleh V π( ) d. y y And dpt menghitung integrl ini dn ndingkn hsilny dengn hsil yng And peroleh dengn Metode Cincin.

40 Ltihn. Hitung volume end putr yng terentuk pil derh yng ditsi oleh y dn y diputr mengelilingi gris, dengn () Metode Cincin dn () Metode Kulit Tung. y y Metode Irisn Sejjr Bend putr memiliki penmpng erentuk ckrm tu cincin. Volume end dengn penmpng tertentu secr umum dpt dihitung dengn Metode Irisn Sejjr.

41 Contoh. Als seuh end dlh derh di Kudrn I yng ditsi oleh kurv y, sumu-, dn sumu-y. Penmpngny yng tegk lurus terhdp sumu- erentuk ujursngkr. Hitung volume end terseut. y - ls end ls keping Jw: Iris end terseut secr tegk lurus terhdp sumu-. Mk, tip irisnny erentuk seperti keping ujursngkr dengn pnjng sisi dn tel, sehingg volumeny dlh V ( ). Jumlhkn dn mil limitny,

42 kit peroleh volume end terseut V ( ) d 8 5. Ltihn. Als seuh end dlh derh yng ditsi oleh lingkrn + y. Penmpngny yng tegk lurus terhdp sumu- erentuk ujursngkr. Hitung volume end terseut.

43 Momen dn Pust Mss Mislkn kit mempunyi kwt yng kit letkkn pd gris ilngn rel sehingg menutupi selng [,]. Mislkn dikethui rpt mss kwt terseut di titik dlh ρ(). Mk, mss potongn kwt yng lerny kurng-leih kn sm dengn m ρ(). Jumlhkn dn mil limitny, kit peroleh mss kwt terseut: m ρ( ) d.

44 Kit jug dpt menghitung momenny terhdp titik. (Momen jrk mss.) Pertm, momen tip potongn kwt dengn ler terhdp dlh M ρ(). Jumlhkn dn mil limitny, kit peroleh momen kwt terseut terhdp : M ρ( ) d. Dengn mengethui mss kwt dn momenny terhdp, kit dpt menentukn pust mssny, ykni M ρ( ) d. m ρ( ) d

45 Contoh 4. Dikethui kwt dengn pnjng cm dn rpt mss di setip titik sm dengn kli kudrt jrk titik ts dri slh stu ujung kwt. Tentukn mss dn pust mss kwt terseut. Jw: Kit letkkn kwt terseut sehingg menempti selng [,] pd gris ilngn rel. Mk, rpt mssny di titik dlh ρ(). Mss kwt terseut dn momeny terhdp dlh m d ; M d 75. Jdi, pust mssny dlh 7,5 cm dri ujung kiri.

46 Sekrng mislkn kit mempunyi sutu keping homogen yf() (rpt mssny ρ konstn) yg menempti derh D yng terletk di ntr du kurv, seut yg() y f() dn y g(), seperti pd gmr. Iris derh D secr vertikl. Mk, mss, momen terhdp sumu-y, dn momen terhdp sumu- dri tip irisnny dlh m M M y ρ [ f ( ) g( ) ] ρ[ f ( ) g( ) ] ; [ ] f ( ) g( ). ρ ;

47 Cttn Kulih Jumlhkn dn mil limitny, kit peroleh mss keping dn momenny terhdp kedu sumu koordint, ykni Koordint pust mss keping terseut dlh [ ] [ ] [ ]. ) ( ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ) ( d g f M d g f M d g f m y ρ ρ ρ. ; m M y m M y

48 Contoh 5. Dikethui keping homogen dengn rpt mss yng menempti derh yng ditsi oleh kurv y dn y. Tentukn mss dn pust mss keping terseut. Jw. Mss keping terseut dlh m ( ) d. Momenny terhdp kedu sumu koordint dlh M y ( ) d ; M ( 4 ) d.

49 Dengn demikin pust mssny dlh (9/,9/). (Di sini pust mssny terletk pd gris y, yng merupkn sumu simetri keping terseut.) Ltihn. Tentukn mss dn pust mss keping setengh lingkrn + y gin ts. Teorem Pppus. Jik sutu derh D pd idng diputr mengelilingi sutu sumu yng tidk me-motong D, mk volume end putr yng terentuk sm dgn lus derh D kli keliling lingkrn yng ditempuh oleh titik pust mss D. D

50 SOAL-SOAL BAB VI 6. no., 9,, 5, no., 9,, 9, 7,,. 6. no. 8, 9,, no., 9, 4. Cttn. Bgin tidk dihs.