PAM 252 Metode Numerik Bab 6 Pengintegralan Numerik

Transkripsi

1 PAM 252 Metode Numerik Bb 6 Pengintegrln Numerik Mhdhivn Syfwn Jurusn Mtemtik FMIPA Universits Andls Semester Genp 2013/ Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

2 Motivsi Pendhulun Motivsi Pendhulun Kudrtur Bgimn memperoleh nili hmpirn untuk integrl tentu yng tidk dpt diselesikn secr nlitik? Contoh: φ(x) = x 0 t 3 e t dt =? 1 Integrl numerik jug digunkn dlm menyelesikn persmn diferensil. Contoh: Selesikn d dty(t) = f(t). Bgimn menghitung lus derh (tu volume) pd berbgi mslh teknik, fisik, dll? 2 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

3 Motivsi Pendhulun Kudrtur Ilustrsi pliksi integrl numerik pd mslh teknik 3 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

4 Definisi kudrtur Motivsi Pendhulun Kudrtur Definisi Mislkn = x 0 < x 1 < < x M = b. Rumus berbentuk M Q[f] = w j f(x j ) j=0 = w 0 f(x 0 )+w 1 f(x 1 )+ +w M f(x M ), dengn sift bhw b f(x)dx = Q[f]+E[f], disebut pengintegrln numerik tu rumus kudrtur. Suku E[f] disebut glt pemotongn untuk integrl. Nili {x j } M j=0 disebut titik kudrtur dn {w j } M j=0 disebut bobot. 4 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

5 Definisi derjt kekurtn Motivsi Pendhulun Kudrtur Definisi Derjt kekurtn sutu rumus kudrtur dlh bilngn bult positif n sedemikin sehingg E[p i ] = 0 untuk semu polinom p i (x) berderjt i n, tetpi E[p n+1 ] 0 untuk beberp polinom p n+1 (x) berderjt n+1. Pndng polinom sebrng p i (x) berderjt i. Jik i n, mk p (n+1) i (x) = 0 dn p (n+1) n+1 = n+1 (n+1)! untuk setip x. Jdi bentuk umum dri suku glt pemotongn dlh E[f] = Kf (n+1) (c), dimn K dlh konstnt yng dipilih secr sesui dn n dlh derjt kekurtn. 5 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

6 Penurunn rumus kudrtur Motivsi Pendhulun Kudrtur Rumus kudrtur bisny diturunkn berdsrkn interpolsi polinom. Dri pembhsn sebelumny dikethui bhw terdpt polinom tunggl p M (x) berderjt M yng mellui M +1 titik {(x i,y i )} M i=0. Jik polinom ini digunkn untuk mengproksimsi f(x) dlm selng [, b], mk b f(x)dx b p M (x)dx. Rumus terkhir disebut rumus Newton-Cotes. Jik titik x 0 = dn x M = b digunkn, mk rumus tersebut dinmkn rumus Newton-Cotes tertutup. 6 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

7 Teorem Aturn Trpesium Aturn Simpson Kekurtn, Glt, dn Contoh Teorem rumus Newton-Cotes tertutup Teorem Mislkn x i = x 0 +ih dlh titik-titik prtisi yng berjrk sm dn f i = f(x i ). Empt rumus Newton-Cotes tertutup pertm dlh x1 x 0 f(x)dx h 2 (f 0 +f 1 ), [trpesium] (1) x2 x 0 f(x)dx h 3 (f 0 +4f 1 +f 2 ), [Simpson] (2) x3 x 0 f(x)dx 3h 8 (f 0 +3f 1 +3f 2 +f 3 ), [Simpson 3/8] (3) x4 x 0 f(x)dx 2h 45 (7f 0 +32f 1 +12f 2 +32f 3 +7f 4 ). [Boole] (4) 7 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

8 Teorem Aturn Trpesium Aturn Simpson Kekurtn, Glt, dn Contoh Teorem rumus Newton-Cotes tertutup - bukti Perhtikn bhw fungsi f(x) dpt diproksimsi oleh polinom Lgrnge p M (x) dengn titik-titik interpolsi x 0,x 1,...,x M, yitu f(x) p M (x) = dimn f i = f(x i ) dn L i (x) =. Jdi xm x 0 f(x)dx xm x 0 p M (x)dx = = M f i L i (x), i=0 M i=0 ( xm x 0 ) L i (x)dx f i = M w i f i. i=0 Pd slide berikut kn dibuktikn turn trpesium (untuk ksus M = 1) dn turn Simpson (untuk M = 2). 8 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

9 Aturn trpesium - bukti Teorem Aturn Trpesium Aturn Simpson Kekurtn, Glt, dn Contoh Perhtikn bhw interpolsi Lgrnge untuk polinom derjt 1 diberikn oleh p 1 (x) = f 0 x x 1 x 0 x 1 +f 1 x x 0 x 1 x 0, yng merupkn persmn gris. Kren f(x) p 1 (x), mk x1 x 0 f(x)dx x1 x 0 p 1 (x)dx = x1 x 0 = ( ) x x 1 x x 0 f 0 +f 1 dx x 0 x 1 x 1 x 0 = h 2 (f 0 +f 1 ). 9 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

10 Aturn trpesium - ilustrsi Teorem Aturn Trpesium Aturn Simpson Kekurtn, Glt, dn Contoh x1 x 0 f(x)dx h 2 (f 0 +f 1 ). 10 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

11 Aturn Simpson - bukti Teorem Aturn Trpesium Aturn Simpson Kekurtn, Glt, dn Contoh Perkenlkn peubh bru x = x 0 +ht sehingg dx = hdt. Titik-titik prtisi yng berjrk sm, yitu x i = x 0 +ih, mengkibtkn x i x j = (i j)h dn x x i = (t i)h. Kren f(x) p 2 (x), mk x2 x2 f(x)dx p 2 (x)dx x 0 x 0 x2 ( = f 0 x 0 +f 1 +f ) 2 dx = = h 3 (f 0 +4f 1 +f 2 ). 11 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

12 Aturn Simpson - ilustrsi Teorem Aturn Trpesium Aturn Simpson Kekurtn, Glt, dn Contoh x2 x 0 f(x)dx h 3 (f 0 +4f 1 +f 2 ). 12 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

13 Kekurtn dn glt Teorem Aturn Trpesium Aturn Simpson Kekurtn, Glt, dn Contoh Teorem Aturn trpesium mempunyi derjt kekurtn n = 1 dn glt h3 12 f (c). Aturn Simpson mempunyi derjt kekurtn n = 2 dn glt h5 90 f (4) (c). Bukti. 13 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

14 Contoh Pendhulun Teorem Aturn Trpesium Aturn Simpson Kekurtn, Glt, dn Contoh Gunkn turn trpesium dn turn Simpson untuk mengproksimsi integrl dri f(x) = 1+e x sin(4x) pd selng [,b] = [0,1]. Jwb: Untuk turn trpesium, h = 1 dn 1 0 f(x)dx = 0, Untuk turn Simpson, h = 1/2 dn 1 0 f(x)dx = 1, Perhtikn bhw nili eksk dri integrl tersebut dlh 1 0 f(x)dx = = 1, Jdi dpt disimpulkn bhw... Untuk membut perbndingn yng dil, kit mesti menggunkn titik-titik fungsi yng sm bnyk pd setip metode. Hl ini kn dijelskn pd pembhsn berikutny tentng turn komposit. 14 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

15 Aturn komposit? Pendhulun Trpesium Komposit Simpson Komposit Anlisis Glt menggunkn serngkin polinom untuk menghmpiri kurv y = f(x) sepnjng [,b]. 15 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

16 Aturn trpesium komposit Pendhulun Trpesium Komposit Simpson Komposit Anlisis Glt Teorem (Trpesium Komposit) Andikn selng [,b] dibgi menjdi M selng bgin [x i,x i+1 ] selebr h = (b )/M, menggunkn titik prtisi yng berjrk sm, yitu x i = +ih,i = 0,1,...,M. Mk b Bukti. Perhtikn bhw b f(x)dx = f(x)dx h 2 x1 ( f()+2 M 1 i=1 f i +f(b) x2 b f(x)dx + f(x)dx + + f(x)dx x 1 x M 1 = h 2 (f0 +2f1 +2f2 + +2f M 1 +f M ) ( ) = h M 1 f()+2 f i +f(b) Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik i=1 ).

17 Pendhulun Trpesium Komposit Simpson Komposit Anlisis Glt Aturn trpesium komposit - contoh Aproksimsi sin(2 x)dx dengn menggunkn turn trpesium komposit dengn (i) 6 titik prtisi dn (ii) 11 titik prtisi. Jwb: 17 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

18 Aturn Simpson komposit Pendhulun Trpesium Komposit Simpson Komposit Anlisis Glt Teorem (Simpson Komposit) Andikn selng [,b] dibgi menjdi 2M selng bgin [x i,x i+1 ] berlebr sm, yitu h = (b )/2M, dn menggunkn titik-titik prtisi x i = +ih,i = 0,1,...,2M. Mk b f(x)dx h 3 Bukti. Perhtikn bhw b f(x)dx = x2 ( f(x)dx + f()+4 x4 M i=1 M 1 f 2i 1 +2 f 2i +f(b) x 2 f(x)dx + + i=1 b x 2M 2 f(x)dx = h 3 (f0 +4f1 +2f2 +4f3 +2f4 + +2f 2M 2 +4f 2M 1 +f 2M ) ( ) = h M M 1 f()+4 f 2i 1 +2 f 2i +f(b). 3 i=1 18 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik i=1 ).

19 Aturn Simpson komposit - contoh Pendhulun Trpesium Komposit Simpson Komposit Anlisis Glt Aproksimsi sin(2 x)dx dengn menggunkn turn Simpson komposit dengn (i) 5 titik prtisi dn (ii) 11 titik prtisi. Jwb: 19 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

20 Anlisis glt turn trpesium Akibt (Glt Aturn Trpesium) Pendhulun Trpesium Komposit Simpson Komposit Anlisis Glt Mislkn selng [,b] dibgi menjdi M selng bgin [x i,x i+1] berlebr sm h = (b )/M. Aturn trpesium komposit ( ) T(f,h) = h M 1 f()+2 f i +f(b) 2 merupkn proksimsi terhdp integrl b i=1 f(x)dx = T(f,h)+E T (f,h). Lebih lnjut, jik f C 2 [,b], mk terdpt c (,b) sedemikin sehingg glt E T (f,h) diberikn oleh E T (f,h) = (b )f (c)h 2 12 = O(h 2 ). Bukti. [tugs bc!] 20 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

21 Anlisis glt turn Simpson Akibt (Glt Aturn Simpson) Pendhulun Trpesium Komposit Simpson Komposit Anlisis Glt Mislkn selng [,b] dibgi menjdi 2M selng bgin [x i,x i+1] berlebr sm h = (b )/2M. Aturn Simpson komposit ( ) S(f,h) = h M M 1 f()+4 f 2i 1 +2 f 2i +f(b) 3 i=1 merupkn proksimsi terhdp integrl b i=1 f(x)dx = S(f,h)+E S (f,h). Lebih lnjut, jik f C 4 [,b], mk terdpt c (,b) sedemikin sehingg glt E S (f,h) diberikn oleh E S (f,h) = (b )f (4) (c)h = O(h 4 ). Bukti. [tugs bc!] 21 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

22 Anlisis glt - contoh Pendhulun Trpesium Komposit Simpson Komposit Anlisis Glt Tentukn nili M dn lebr selng h sedemikin sehingg glt E T (f,h) dri turn trpesium dlm mengproksimsi integrl 7 2 dx/x dlh kurng dri Jwb: 22 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

23 Aturn trpesium rekursif - definisi Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Untuk meningktkn ketelitin hsil perhitungn turn trpesium, perbnyk jumlh prtisi tu perhlus lebr selng. Agr efisien, hsil perhitungn yng telh dilkukn untuk sutu lebr selng perlu tetp dimnftkn untuk perhitungn dengn lebr selng yng lebih hlus. Cr perhitungn seperti ini disebut turn trpesium rekursif/berturutn. 23 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

24 Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Aturn trpesium rekursif - konstruksi (1) Mislkn ingin dihitung b f(x)dx. But lebr selng h 0 = b dn titik prtisi x 0 = dn x 1 = b, sehingg turn trpesium memberikn T(f,h 0 ) = h 0 2 (f 0 +f 1 ), dimn f 0 = f(x 0 ) dn f 1 = f(x 1 ). Perhlus selng menjdi h 1 = h 0 /2 = (b )/2, sehingg titik-titik prtisi menjdi x 0 =, x 1, dn x 2 = b [x 1 dlh...]. Aturn trpesium untuk thp ini diberikn oleh T(f,h 1 ) = h 1 2 (f 0 +2f 1 +f 2 ) = = T(f,h 0) +h 1 f 1, 2 dimn f 0 = f(x 0 ), f 1 = f(x 1 ), dn f 2 = f(x 2 ). 24 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

25 Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Aturn trpesium rekursif - konstruksi (2) Perhlus selng menjdi h 2 = h 1 /2 = = (b )/2 2, sehingg titik-titik prtisi menjdi x 0 =, x 1, x 2, x 3, dn x 4 = b [x 1,x 2,x 3 dlh...]. Aturn trpesium untuk thp ini diberikn oleh T(f,h 2 ) = h 2 2 (f 0+2f 1 +2f 2 +2f 3 +f 4 ) = = T(f,h 1) +h 2 (f 1 +f 3 ). 2 dimn f i = f(x i ),i = 0,1,...,4. Proses di ts dilnjutkn sehingg pd penghlusn ke-j, lebr selng menjdi h j = h j 1 /2 = = (b )/2 j dn titik-titik prtisi menjdi x 0 =,x 1,x 2,...,x 2M = b dengn 2M = 2 j. Aturn trpesium untuk thp ini dlh T(f,h j ) = h j 2 (f 0 +2f 1 +2f f 2M 1 +f 2M ) = = T(f,h j 1) M +h j f 2k Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik k=1

26 Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Kitn ntr turn Simpson dn trpesium rekursif Untuk lebr selng h j dn h j 1, integrl b f(x)dx dpt diproksimsi berturut-turut oleh turn trpesium b b f(x)dx T(f,h j ) = h j 2 (f 0 +2f 1 +2f f 2M 1 +f 2M ), f(x)dx T(f,h j 1 ) = h j 1 2 (f 0 +2f 2 +2f f 2M 2 +f 2M ). Dri kedu persmn di ts diperoleh [tunjukkn!] 3 b f(x)dx 4T(f,h j ) T(f,h j 1 ) = h j (f 0 +4f 1 +2f f 2M 2 +4f 2M 1 +f 2M ). Dengn membgi 3, bentuk rumusn pd bris di bwh dlh bentuk Simpson dengn lebr selng h j, sehingg secr umum diperoleh S(f,h j ) = 4T(f,h j) T(f,h j 1 ) Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

27 Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Kitn ntr turn Boole dn Simpson rekursif, dst... Rumusn turn Boole dn Simpson rekursif memenuhi hubungn berikut [tunjukkn!]: B(f,h j ) = 16S(f,h j) S(f,h j 1 ). 15 Rngkin perhitungn integrl dengn menggunkn turn trpesium, Simpson, dn Boole rekursif, yitu T(f,h j ),S(f,h j ) dn B(f,h j ), dpt diteruskn dlm bentuk rumusn yng lebih umum. Hl ini dikenl sebgi integrl Romberg. 27 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

28 Integrl Romberg - pendhulun Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Dri pembhsn sebelumny dikethui bhw b b b f(x)dx = T(f,h j )+O(h 2 ), f(x)dx = S(f,h j )+O(h 4 ), f(x)dx = B(f,h j )+O(h 6 ). Mislkn sutu hmpirn integrl menggunkn lebr selng h dn 2h. Kemudin dengn mnipulsi ljbr dpt diperoleh perbikn hmpirn dengn glt yng lebih kecil. Secr umum, setip perbikn hmpirn memperkecil glt dri O(h 2N ) ke O(h 2N+2 ). Proses ini dinmkn integrl Romberg. Bgimn perhitungn yng efisien untuk integrl Romberg ini? 28 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

29 Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Integrl Romberg - perbikn Richrdson Diberikn du hmpirn R(2h,k 1) dn R(h,k 1) untuk sutu besrn Q yng memenuhi Q = R(h,k 1)+c 1 h 2k +c 2 h 2k+2 +, Q = R(2h,k 1)+c 1 4 k h 2k +c 2 4 k+1 h 2k+2 +. Perbikn hmpirn untuk Q diberikn oleh [tunjukkn!] Q = 4k R(h,k 1) R(2h,k 1) 4 k 1 +O(h 2k+2 ). Jik h = h j dn 2h = 2h j = h j 1, mk bentuk di ts dpt ditulis dlm notsi indeks sebgi berikut: Q = 4k R(j,k 1) R(j 1,k 1) 4 k 1 +O(h 2k+2 ). 29 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

30 Integrl Romberg - brisn R(j, k) Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Definisi Definisikn brisn {R(j,k) j k} j=0 dri rumus kudrtur untuk f(x) pd [, b] sebgi berikut: R(j,0) = T(f,h j), untuk j 0, dlh turn trpesium, R(j,1) = S(f,h j), untuk j 1, dlh turn Simpson, R(j,2) = B(f,h j), untuk j 2, dlh turn Boole. Brisn berikutny dlh 4R(j,0) R(j 1,0) R(j,1) =,j 1, 4 1 R(j,2) = 42 R(j,1) R(j 1,1),j 2, R(j,k) = 4k R(j,k 1) R(j 1,k 1),j k. 4 k 1 30 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

31 Integrl Romberg - tbel Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre j R(j,0) R(j,1) R(j,2) R(j,3) R(j,4) turn trpesium turn Simpson turn Boole perbikn ke-3 perbikn ke-4 0 R(0, 0) 1 R(1, 0) R(1, 1) 2 R(2, 0) R(2, 1) R(2, 2) 3 R(3, 0) R(3, 1) R(3, 2) R(3, 3) 4 R(4, 0) R(4, 1) R(4, 2) R(4, 3) R(4, 4) Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

32 Integrl Romberg - contoh Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Gunkn integrl Romberg untuk menentukn hmpirn dri π/2 0 (x 2 +x +1)cos(x)dx. [nili ekskny: 2+ π 2 + π2 4 = 2, ] Jwb: 32 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

33 Integrl Romberg - lgoritm Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre 33 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

34 Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Metode Guss-Legendre - permslhn Mislkn ingin dihitung lus derh di bwh kurv y = f(x) pd 1 x 1. Q: Metode p yng memberikn jwb terbik jik hny menggunkn du perhitungn fungsi? Bgimn menentukn nili x 1 dn x 2 sehingg lus derh di bwh gris yng melluiny mendekti lus derh di bwh kurv? 34 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

35 Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Metode Guss-Legendre - penyelesin (1) Persmn gris pd gmbr knn: p(x) = f(x 1 )+ f(x 2) f(x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ). Lus trpesium di bwh kurv: Metode koefisien tk-tentu: A = 1 ( 1) (p( 1)+p(1)) 2 = 2x 2 = f(x 1 ) 2x 1 f(x 2 ). x 2 x 1 x 2 x f(x)dx w 1 f(x 1 )+w 2 f(x 2 ). Akn dicri w 1,x 1,w 2,x 2 supy hmpirn di ts menjdi eksk jik f(x) = x + 2 x x 3 (polinom berderjt 3). 35 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

36 Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Metode Guss-Legendre - penyelesin (2) Kren integrl bersift ditif, mk cukup disyrtkn bhw hmpirn di ts eksk untuk empt fungsi f(x) = 1,x,x 2,x 3. Empt syrt integrl: f(x) = 1 : f(x) = x : f(x) = x 2 : f(x) = x 3 : dx = 2 = w 1 +w 2, xdx = 0 = w 1 x 1 +w 2 x 2, x 2 dx = 2 3 = w 1x 2 1 +w 2 x 2 2, x 3 dx = 0 = w 1 x 3 1 +w 2x 3 2. Solusi dri sistem persmn tk-linier di ts dlh w 1 = w 2 = 1,x 1 = 1/ 3,x 2 = 1/ 3 [buktikn!]. 36 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

37 Aturn Guss-Legendre du titik Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Teorem Jik f(x) kontinu pd [ 1,1], mk f(x)dx G 2(f) = f ( 1 ( ) 1 )+f 3. 3 Derjt kekurtn dri G 2(f) dlh n = 3. Jik f C 2 [ 1,1], mk 1 f(x)dx = f ( 3 1 ) ( 1 +f 3 )+E 2(f), dimn E 2(f) = f (4) (c) 135. Contoh: Gunkn turn Guss-Legendre du titik untuk mengproksimsi 1 1 [hsil ekskny: ln 3 1, 09861]. Bndingkn hsilny dengn turn 1 x+2 dx trpesium T(f,h) dengn h = 2 dn turn Simpson S(f,h) dengn h = Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

38 Aturn Guss-Legendre N titik Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Secr umum, bentuk hmpirn Guss-Legendre memki N titik dlh 1 1 f(x)dx G N (f) = w N,1 f(x N,1 )+w N,2 f(x N,2 )+ +w N,N f(x N,N ). 38 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik

39 Trnslsi metode Guss-Legendre Aturn Rekursif Integrl Romberg Metode Guss-Legendre Bgimn penerpn metode Guss-Legendre untuk b f(t)dt? Gunkn trnslsi t [,b] x [ 1,1] dengn menggunkn hubungn t = α+βx. Dengn memperhtikn t( 1) = dn t(1) = b, mk diperoleh t = +b 2 + b b 2 x [tunjukkn!]. Akibtny dt = 2 dx. Dengn demikin diperoleh b 1 ( +b f(t)dt = f + b ) b x dx Jdi rumus hmpirn Guss-Legendre menjdi b f(t)dt b N ( +b w N,k f 2 2 k=1 + b 2 x N,k Contoh: Gunkn turn Guss-Legendre 3 titik untuk menghmpiri tdt. [hsil ekskny =...] 39 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik ).