BAGIAN KETIGA. Integral, Barisan Fungsi, Pertukaran Limit dan Integral

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAGIAN KETIGA. Integral, Barisan Fungsi, Pertukaran Limit dan Integral"

Transkripsi

1 BAGIAN KETIGA Integrl, Brisn Fungsi, Pertukrn Limit dn Integrl 101

2 102 Hendr Gunwn

3 Pengntr Anlisis Rel LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume bend rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh) berpijk pd metode exhustion, yng telh dipki oleh Plto dn Eudoxus, dn kemudin oleh Euclid dn Archimedes, untuk menghitung lus derh lingkrn. Pd 1630-n, Pierre de Fermt tertrik untuk menghitung lus derh di bwh kurv. Mislkn f kontinu pd intervl [, b]. Apkh msuk kl untuk membhs lus derh di bwh kurv y = f(x)? Jik y, bgimnkh kit menghitungny? Gmbr 12.1 Derh di bwh kurv y = f(x) Jik memng msuk kl untuk membhs lus derh di bwh kurv y = f(x), mk lus derh ini setidkny mestilh lebih besr dripd L, yng menytkn lus derh yng dirsir pd Gmbr 12.2.

4 104 Hendr Gunwn Gmbr 12.2 Lus derh L Mislkn L menytkn himpunn semu bilngn L yng dpt diperoleh sebgi jumlh lus derh persegi-pnjng kecil sebgimn dlm Gmbr Mk lus derh di bwh kurv y = f(x) mestilh lebih besr dripd setip nggot L. Tmpkny msuk kl untuk mendefinisikn lus derh di bwh kurv y = f(x) sebgi bilngn terkecil yng lebih besr dripd setip nggot L, ykni sup L. Contoh 1. Mislkn f(x) = x 2, x [0, 1]. Mk, dengn membgi intervl [0, 1] ts n intervl bgin yng sm pnjng dn menghitung jumlh lus derh persegipnjng yng terbentuk, lus derh di bwh kurv y = f(x) mestilh lebih besr dripd 1 [ n n (n ] 1)2 + + n2 n 2. Jumlh deret ini sm dengn (n 1)n(2n 1) 6n 3. Mengingt (n 1)n(2n 1) 6n untuk tip n N dn (n 1)n(2n 1) 6n untuk n, mk bilngn terkecil yng lebih besr dripd (n 1)n(2n 1) 6n 3 tip n N dlh 1 3. Jdi, lus derh di bwh kurv y = f(x) dlh 1 3. untuk

5 Pengntr Anlisis Rel 105 Sol Ltihn 1. Buktikn bhw (n 1)n(2n 1) sup n N (n 1)n(2n 1) 6n 3 = n untuk tip n N, dn simpulkn bhw 2. Tentukn lus derh di bwh kurv y = 1 + x, x [0, 1], dengn cr seperti pd Contoh 1. Apkh hsil yng diperoleh sesui dengn pengethun geometri kit? 12.2 Integrl Mislkn f kontinu pd intervl [, b]. Definisikn prtisi dri [, b] sebgi himpunn P := {x 0, x 1,..., x n } dengn = x 0 < x 1 < < x n 1 < x n = b. Kren f kontinu pd [, b], mk f terbts pd [, b]. sembrng prtisi P := {x 0, x 1,..., x n } dri [, b], kit dpt mendefinisikn m k := inf f(x), x k 1 x x k Jdi, diberikn untuk k = 1, 2,..., n. Dengn demikin, untuk tip prtisi P, kit dpt membentuk deret L(P, f) := n m k (x k x k 1 ). k=1 (Butlh sutu ilustrsi yng menytkn nili L(P, f).) Mislkn f terbts di ts pd [, b], ktknlh f(x) M, x [, b]. Mk n L(P, f) M (x k x k 1 ) = M(b ). k=1 Jdi himpunn bilngn {L(P, f) : P prtisi dri [, b]} terbts di ts oleh M(b ), dn kren itu i mempunyi supremum.

6 106 Hendr Gunwn Sekrng kit smpi pd definisi integrl. Jik f kontinu pd intervl [, b], mk kit definisikn integrl dri f pd [, b] sebgi f(x) dx := sup L(P, f), P dengn nili supremum dimbil ts semu prtisi P dri [, b]. Dlm hl f(x) 0 untuk setip x [, b], mk f(x) dx dpt diinterpretsikn sebgi lus derh di bwh kurv y = f(x). Sebgi tmbhn, jik < b, mk kit definisikn b f(x) dx := Selin itu, untuk sembrng R, kit definisikn f(x) dx := 0. f(x) dx. Proposisi 2. Mislkn f kontinu pd [, b] dn m f(x) M untuk tip x [, b]. Mk m(b ) f(x) dx M(b ). Proposisi 3. Mislkn f kontinu pd [, b] dn c b. Mk f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Cttn. Bukti Proposisi 3 gk pnjng; liht [2]. Sol Ltihn 1. Buktikn Proposisi Buktikn bhw c dx = c(b ). 3. Dikethui f(x) = x, x [, b]. Buktikn bhw L(P, f) 1 2 (b2 2 )

7 Pengntr Anlisis Rel 107 untuk sebrng prtisi P dri [, b]. Selnjutny, dengn menggunkn definisi integrl, buktikn bhw f(x) dx = 1 2 (b2 2 ) Turunn dri Integrl; Teorem Dsr Klkulus Mislkn f terdefinisi pd (, b). Mislkn F kontinu pd [, b] dn mempunyi turunn pd (, b) dengn F (x) = f(x) untuk tip x (, b). Mk F disebut sebgi nti turunn dri f pd [, b]. Contoh 4. Jik f(x) = x 3, mk fungsi F yng didefinisikn sebgi F (x) = 1 4 x4 + 5 merupkn sutu nti turunn dri f. Secr umum, fungsi G yng didefinisikn sebgi G(x) = 1 4 x4 + C, dengn C konstnt, merupkn nti turunn dri f. Pembc mungkin bertny: p urusnny nti turunn dengn integrl? Untuk menjwb pertnyn ini, mislkn f kontinu pd [, b]. Definisikn F pd [, b] sebgi F (x) := x f(t) dt, x [, b]. Dlm teorem berikut, kit kn menunjukkn bhw F merupkn sutu nti turunn dri f pd [, b]. Teorem 5 (Teorem Dsr Klkulus I). Mislkn f kontinu pd [, b] dn F didefinisikn pd [, b] sebgi F (x) := x f(t) dt, x [, b].

8 108 Hendr Gunwn Mk, F merupkn sutu nti turunn dri f pd [, b]; ykni, F kontinu pd [, b], mempunyi turunn pd (, b), dn F (x) = f(x) untuk tip x (, b). Bukti. Kren f kontinu pd [, b], mk f terbts pd [, b], ktknlh f(t) κ untuk tip t [, b]. Selnjutny, untuk x, c [, b], kit mempunyi sehingg F (x) F (c) = x c f(t) dt, F (x) F (c) κ x c. Jdi F kontinu pd [, b]. Selnjutny perhtikn bhw untuk x c kit mempunyi F (x) F (c) x c f(c) = 1 x c x c [f(t) f(c)] dt. Kren f kontinu di c, kit dpt memilih δ > 0 sedemikin sehingg F (x) F (c) x c f(c) < ɛ, untuk 0 < x c < δ. Ini menunjukkn bhw F (c) = f(c), dn ini berlku untuk setip c (, b). Teorem 6 (Teorem Dsr Klkulus II). Setip fungsi f yng kontinu pd [, b] mempunyi nti turunn pd [, b]. Jik G dlh nti turunn dri f pd [, b], mk f(t) dt = G(b) G(). Bukti. Definisikn fungsi F pd [, b] sebgi F (x) := x f(t) dt, x [, b]. Mk, F merupkn sutu nti turunn dri f pd [, b], dn f(t) dt = F (b) = F (b) F ().

9 Pengntr Anlisis Rel 109 Sekrng, jik G dlh nti turunn dri f pd [, b], mk G(x) = F (x) + C, x [, b], sutu konstnt C. Kren itu, sebgimn yng kit hrpkn. f(t) dt = [F (b) + C] [F () + C] = G(b) G(), Sol Ltihn 1. Buktikn bhw 1 0 x2 dx = Mislkn r Q, r 1. Buktikn bhw 1 0 xr dx = 1 r Mislkn f dn g kontinu pd [, b]. Buktikn, dengn menggunkn Teorem Dsr Klkulus II, bhw untuk setip λ, µ R, berlku [λf(x) + µg(x)] dx = λ f(x) dx + µ g(x) dx. 4. Mislkn f dn g kontinu pd [, b]. Buktikn Ketksmn Cuchy-Schwrz untuk integrl: [ ] 2 f(x)g(x) dx [f(x)] 2 dx [g(x)] 2 dx.

10 110 Hendr Gunwn 13. INTEGRAL RIEMANN 13.1 Jumlh Riemnn Ats dn Jumlh Riemnn Bwh Pd Bb 12 kit mengsumsikn bhw f kontinu pd [, b] dn mendefinisikn integrl f(x) dx sebgi supremum dri himpunn semu jumlh lus derh persegi-pnjng kecil di bwh kurv y = f(x). Sesungguhny, kit dpt pul mendefinisikn integrl f(x) dx sebgi infimum dri himpunn semu jumlh lus derh persegi-pnjng kecil di ts kurv y = f(x). Dlm hl f kontinu pd [, b], kedu definisi tersebut kn menghsilkn nili yng sm. Pd bb ini, kit kn memperlus definisi integrl untuk fungsi f : [, b] R yng terbts, sebgimn yng dilkukn oleh Bernhrd Riemnn pd 1850-n. Seperti pd Sub-bb 12.2, diberikn sembrng prtisi P := {x 0, x 1,..., x n } dri [, b], kit dpt mendefinisikn L(P, f) := n m k (x k x k 1 ). k=1 dengn m k := inf f(x), k = 1, 2,..., n. Pd st yng sm, kit jug dpt x k 1 x x k mendefinisikn n U(P, f) := M k (x k x k 1 ). k=1 dengn M k := sup f(x), k = 1, 2,..., n. x k 1 x x k L(P, f) dn U(P, f) disebut sebgi jumlh Riemnn bwh dn jumlh Riemnn ts dri f yng berkitn dengn prtisi P. Perhtikn bhw untuk sembrng prtisi P. L(P, f) U(P, f)

11 Pengntr Anlisis Rel 111 Selnjutny, jik P := {x 0, x 1,..., x n } dn Q := {y 0, y 1,..., y m } dlh prtisi dri [, b], mk Q disebut sebgi sutu perhlusn dri P pbil setip titik prtisi x k P merupkn titik prtisi di Q, ykni P Q. Dlm hl ini, setip sub-intervl yng terkit dengn prtisi P dpt dinytkn sebgi gbungn dri beberp subintervl yng terkit dengn prtisi Q, ykni [x k 1, x k ] = [y i 1, y i ] [y i, y i+1 ] [y j 1, y j ]. Ctt bhw kit dpt memperoleh sutu perhlusn dri sembrng prtisi P dengn menmbhkn sejumlh titik ke P. Proposisi 1. Jik Q merupkn perhlusn dri P, mk L(P, f) L(Q, f) dn U(Q, f) U(P, f). Akibt 2. Jik P 1 dn P 2 dlh du prtisi sembrng dri [, b], mk L(P 1, f) U(P 2, f). Sol Ltihn 1. Buktikn Proposisi 1. (Petunjuk. Muli dengn ksus Q = P {x } dengn x / P.) 2. Buktikn Akibt Integrl Riemnn Seperti pd sub-bb 13.1, pd sub-bb ini kit mengsumsikn bhw f : [, b] R terbts. Menurut Akibt 2, himpunn {L(P, f) : P prtisi dri [, b]} terbts di ts (oleh sutu jumlh Riemnn ts), sementr himpunn {U(P, f) : P prtisi dri [, b]} terbts di bwh (oleh sutu jumlh Riemnn bwh). Kren itu kit dpt mendefinisikn L(f) := sup{l(p, f) : P prtisi dri [, b]} dn U(f) := inf{u(p, f) : P prtisi dri [, b]}.

12 112 Hendr Gunwn L(f) disebut sebgi integrl Riemnn ts dri f, sementr U(f) disebut sebgi integrl Riemnn bwh dri f. Proposisi 3. L(f) U(f). Bukti. Untuk setip prtisi P 0 dri [, b], U(P 0, f) merupkn bts ts dri {L(P, f) : P prtisi dri [, b]}, sehingg L(f) = sup{l(p, f) : P prtisi dri [, b]} U(P 0, f). Kren ini berlku untuk sembrng prtisi P 0, mk L(f) merupkn bts bwh dri {U(P 0, f) : P 0 prtisi dri [, b]}. Akibtny sebgimn yng dihrpkn. sebgi L(f) inf{u(p 0, f) : P 0 prtisi dri [, b]} = U(f), Secr umum, L(f) U(f). Sebgi contoh, jik f : [0, 1] R didefinisikn f(x) = mk L(f) = 0 sementr U(f) = 1. { 0, x rsionl; 1, x irsionl, Jik L(f) = U(f), mk f diktkn terintegrlkn Riemnn dn nili yng sm tersebut didefinisikn sebgi integrl Riemnn dri f pd [, b], yng dilmbngkn dengn f(x) dx. (Seperti pd Bb 12, kit definisikn f(x) dx = b f(x) dx dn f(x) dx = 0.) Sebgi contoh, jik f bernili konstn pd [, b], ktkn f(x) = c untuk setip x [, b], mk L(f) = U(f) = c(b ) dn krenny f terintegrlkn Riemnn pd [, b] dengn f(x) dx = c(b ). Teorem berikut memberikn sutu kriteri untuk keterintegrln f pd [, b]. (Untuk selnjutny, terintegrlkn berrti terintegrlkn Riemnn dn integrl berrti integrl Riemnn.) Teorem 4 (Kriteri Ketertintegrln Riemnn). Fungsi f terintegrlkn pd [, b] jik dn hny jik untuk setip ɛ > 0 terdpt sutu prtisi P ɛ dri [, b] sedemikin sehingg U(P ɛ, f) L(P ɛ, f) < ɛ.

13 Pengntr Anlisis Rel 113 Bukti. Mislkn f terintegrlkn pd [, b]. Ambil ɛ > 0 sembrng. Dri definisi supremum, terdpt sutu prtisi P 1 dri [, b] sehingg L(f) ɛ 2 < L(P 1, f). Dri definisi infimum, terdpt pul sutu prtisi P 2 dri [, b] sehingg U(P 2, f) < U(f) ɛ 2. Sekrng mislkn P ɛ := P 1 P 2. Mk P ɛ merupkn perhlusn dri P 1 dn P 2. Akibtny, L(f) ɛ 2 < L(P 1, f) L(P ɛ, f) U(P ɛ, f) U(P 2, f) < U(f) + ɛ 2. Nmun L(f) = U(f), sehingg kit peroleh U(P ɛ, f) L(P ɛ, f) < ɛ. Seblikny mislkn untuk setip ɛ > 0 terdpt sutu prtisi P ɛ dri [, b] sedemikin sehingg Mk, untuk setip ɛ > 0, berlku U(P ɛ, f) L(P ɛ, f) < ɛ. 0 U(f) L(f) U(P ɛ, f) L(P ɛ, f) < ɛ. Dri sini kit simpulkn bhw U(f) = L(f) tu f terintegrlkn pd [, b]. Akibt 5. Mislkn terdpt brisn prtisi P n dri [, b] sedemikin sehingg Mk f terintegrlkn pd [, b] dn lim [U(P n, f) L(P n, f)] = 0. n lim L(P n, f) = n f(x) dx = lim n U(P n, f). Sol Ltihn 1. Buktikn Akibt 5.

14 114 Hendr Gunwn 2. Mislkn f(x) = x, x [0, 1], dn P n = {0, 1 n, 2 n,..., 1}, n N. Tunjukkn bhw lim [U(P n, f) L(P n, f)] = 0, dn kemudin simpulkn bhw f terintegrlkn pd [0, n 1]. 3. Mislkn fungsi f didefinisikn pd [0, 1] sebgi { 0, 0 x < 1; f(x) = 1, x = 1. Buktikn bhw f terintegrlkn pd [0, 1] dengn 1 f(x) dx = Mislkn fungsi f didefinisikn pd [0, 2] sebgi { 1, 0 x 1; f(x) = 2, 1 < x 2. Buktikn bhw f terintegrlkn pd [0, 2] dengn 2 f(x) dx = Keterintegrln Fungsi Kontinu dn Fungsi Monoton Sebgimn disinggung pd wl bb ini, fungsi yng kontinu psti terintegrlkn. Teorem 6. Jik f kontinu pd [, b], mk f terintegrlkn pd [, b]. Bukti. Menurut Teorem 18 pd Bb 8, fungsi yng kontinu pd [, b] mestilh kontinu sergm pd [, b]. Kren itu, diberikn ɛ > 0 sembrng, terdpt δ > 0 sedemikin sehingg untuk x, y [, b] dengn x y < δ berlku f(x) f(y) < ɛ b. Selnjutny, untuk tip n N dengn n > b δ, tinju prtisi P n := {x 0, x 1,..., x n } dengn x k = + k b n, k = 0, 1,..., n. (Di sini, intervl [, b] terbgi menjdi n sub-intervl sm pnjng.) Menurut Teorem 12 pd Bb 8, pd setip sub-intervl [x k 1, x k ], f mencpi nili mksimum M k dn minimum m k, ktknlh f(u k ) = M k dn f(v k ) = m k.

15 Pengntr Anlisis Rel 115 Dlm hl ini kit peroleh dn kibtny 0 U(P n, f) L(P n, f) = M k m k = f(u k ) f(v k ) < ɛ b, n (M k m k )(x k x k 1 ) k=1 Dri sini kit simpulkn bhw terintegrlkn pd [, b]. n k=1 ɛ b b n = ɛ. lim [U(P n, f) L(P n, f)] = 0, dn krenny f n Selin fungsi kontinu, teorem berikut menytkn bhw fungsi monoton jug terintegrlkn. Teorem 7. Jik f monoton pd [, b], mk f terintegrlkn pd [, b]. Bukti. Tnp mengurngi keumumn, sumsikn f nik pd [, b]. Untuk tip n N, tinju prtisi P n := {x 0, x 1,..., x n } dengn x k = + k b n, k = 0, 1,..., n. Kren f nik pd [x k 1, x k ], mk m k = f(x k 1 ) dn M k = f(x k ). Dlm hl ini kit peroleh sutu deret teleskopis n (M k m k )(x k x k 1 ) = b n k=1 n [f(x k ) f(x k 1 )] = b [f(b) f()]. n k=1 Sekrng, jik ɛ > 0 diberikn, mk untuk tip n N dengn n > b ɛ [f(b) f()] berlku n 0 U(P n, f) L(P n, f) = (M k m k )(x k x k 1 ) < ɛ. k=1 Dengn demikin f mestilh terintegrlkn pd [, b]. Sol Ltihn 1. Mislkn f : [, b] R kontinu dn f(x) 0 untuk setip x [, b]. Buktikn jik L(f) = 0, mk f(x) = 0 untuk setip x [, b]. 2. Mislkn f : [, b] R kontinu dn, untuk setip fungsi g : [, b] R yng terintegrlkn, fg terintegrlkn dn f(x)g(x) dx = 0. Buktikn bhw f(x) = 0 untuk setip x [, b].

16 116 Hendr Gunwn 14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 14.1 Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Pd bb ini kit kn mempeljri sift-sift dsr integrl Riemnn. Sift pertm dlh sift kelinern, yng dinytkn dlm Proposisi 1. Sepnjng bb ini, I menytkn intervl [, b], keculi bil kit nytkn lin. Proposisi 1. Mislkn f, g : I R terintegrlkn pd I, dn λ R sutu konstnt. Mk λf dn f + g terintegrlkn pd I dn λf(x) dx = λ (f + g)(x) dx = f(x) dx + f(x) dx, (1) g(x) dx. (2) Bukti. (1) Jik λ = 0, mk pernytn tentng λf jels benr. Sekrng tinju ksus λ > 0. (Ksus λ < 0 serup dn diserhkn sebgi ltihn). Mislkn P := {x 0, x 1,..., x n } prtisi sembrng dri I. Kren λ > 0, kit mempunyi inf{λf(x) : x [x k 1, x k ]} = λ inf{f(x) : x [x k 1, x k ]} untuk k = 1, 2,..., n. Klikn tip suku ini dengn x k x k 1 dn jumlhkn, kit dptkn L(P, λf) = λl(p, f). Jdi, kren λ > 0, kit peroleh L(λf) = sup{λl(p, f) : P prtisi dri I} = λ sup{l(p, f) : P prtisi dri I} = λl(f). Dengn cr yng serup kit peroleh pul U(P, λf) = λu(p, f) dn U(λf) = inf{λu(p, f) : P prtisi dri I} = λ inf{u(p, f) : P prtisi dri I} = λu(f).

17 Pengntr Anlisis Rel 117 Kren f terintegrlkn, U(f) = L(f) dn kibtny L(λf) = λl(f) = λu(f) = U(λf). Jdi λf terintegrlkn dn λf(x) dx = λ f(x) dx. (2) Untuk sembrng intervl I k := [x k 1, x k ], kit mempunyi inf{f(x) : x I k } + inf{g(x) : x I k } inf{(f + g)(x) : x I k }, sup{(f + g)(x) : x I k } sup{f(x) : x I k } + sup{g(x) : x I k }. Dri sini kit peroleh dn L(P, f) + L(P, g) L(P, f + g) U(P, f + g) U(P, f) + U(P, g) untuk sembrng prtisi P dri I. Sekrng, jik ɛ > 0 diberikn, mk terdpt prtisi P f,ɛ dn P g,ɛ sedemikin sehingg U(P f,ɛ, f) L(P f,ɛ, f) + ɛ 2 dn U(P g,ɛ, g) L(P g,ɛ, g) + ɛ 2. Akibtny, untuk P ɛ := P f,ɛ P g,ɛ, kit peroleh U(P ɛ, f + g) U(P ɛ, f) + U(P ɛ, g) L(P ɛ, f) + L(P ɛ, g) + ɛ L(P ɛ, f + g) + ɛ. Menurut Kriteri Keterintegrln Riemnn, f + g terintegrlkn. Selnjutny perhtikn bhw dri ketksmn di ts, kit peroleh (f +g)(x) dx U(P ɛ, f +g) L(P ɛ, f)+l(p ɛ, g)+ɛ Sementr itu, f(x) dx+ g(x) dx U(P ɛ, f)+u(p ɛ, g) L(P ɛ, f +g)+ɛ f(x) dx+ g(x) dx+ɛ. (f +g)(x) dx+ɛ.

18 118 Hendr Gunwn Dri kedu ketksmn ini, kit peroleh ( (f + g)(x) dx f(x) dx + g(x) dx) < ɛ. Kren ini berlku untuk ɛ > 0 sembrng, kit simpulkn bhw dn bukti pun selesi. (f + g)(x) dx = f(x) dx + g(x) dx, Proposisi berikut dikenl sebgi sift kepositifn integrl Riemnn. (Buktiny diserhkn sebgi ltihn.) Proposisi 2. Mislkn f : I R terintegrlkn pd I. Jik f(x) 0 untuk tip x I, mk f(x) dx 0. Akibt 3. Mislkn f, g : I R terintegrlkn pd I. Jik f(x) g(x) untuk tip x I, mk f(x) dx g(x) dx. Proposisi 4. Mislkn f : I R terintegrlkn pd I. Jik m f(x) M untuk tip x [, b], mk m(b ) f(x) dx M(b ). Proposisi 5. Mislkn f : [, b] R terbts dn < c < b. Mk, f terintegrlkn pd [, b] jik dn hny jik f terintegrlkn pd [, c] dn pd [c, b]. Dlm hl ini, f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. Cttn. Bukti Proposisi 4 tidk dibhs di sini; liht [1] bil ingin mempeljriny. Sol Ltihn 1. Buktikn Proposisi 1 bgin (1) untuk ksus c < Buktikn Proposisi 2 dn Akibt Buktikn Proposisi 4.

19 Pengntr Anlisis Rel Buktikn jik f terintegrlkn pd I dn f(x) K untuk tip x I, mk f(x) dx K b Teorem Dsr Klkulus untuk Integrl Riemnn Anlog dengn Teorem Dsr Klkulus I (Teorem 5 pd Sub-bb 12.3) untuk integrl dri fungsi kontinu, kit mempunyi hsil berikut untuk integrl Riemnn dri fungsi terbts. Teorem 6 (Teorem Dsr Klkulus I). Mislkn f terbts pd I = [, b] dn F didefinisikn pd I sebgi F (x) := x f(t) dt, x I. Mk, F kontinu pd I. Selnjutny, jik f kontinu di c (, b), mk F mempunyi turunn di c dn F (c) = f(c). Demikin pul kit mempunyi Teorem Dsr Klkulus II untuk integrl Riemnn, yng dpt dibuktikn tnp menggunkn Teorem Dsr Klkulus I melinkn dengn menggunkn Kriteri Keterintegrln Riemnn. Teorem 7 (Teorem Dsr Klkulus II). Mislkn f terintegrlkn pd I = [, b]. Jik F : I R dlh nti-turunn dri f pd I, mk f(t) dt = F (b) F (). Bukti. Diberikn ɛ > 0 sembrng, pilih prtisi P := {x 0, x 1,..., x n } dri I sedemikin sehingg U(P, f) L(P, f) < ɛ. Menurut Teorem Nili Rt-rt (yng kit terpkn pd F ), pd tip intervl [x k 1, x k ] terdpt titik t k (x k 1, x k ) sedemikin sehingg F (x k ) F (x k 1 ) = (x k x k 1 )f(t k ). Mislkn m k dn M k dlh infimum dn supremum dri f pd [x k 1, x k ]. Mk m k (x k x k 1 ) F (x k ) F (x k 1 ) M k (x k x k 1 )

20 120 Hendr Gunwn untuk tip k = 1, 2,..., n. Perhtikn bhw bil kit jumlhkn suku-suku di tengh, mk kit peroleh sutu deret teleskopis yng jumlhny sm dengn F (b) F (). Kren itu, kit peroleh L(P, f) F (b) F () U(P, f). Nmun, kit jug mempunyi L(P, f) Akibtny, kit peroleh f(t) dt U(P, f). f(t) dt [F (b) F ()] < ɛ. Kren ini berlku untuk ɛ > 0 sembrng, kit simpulkn bhw sebgimn yng kit kehendki. f(t) dt = F (b) F (), Sol Ltihn 1. Mislkn f(x) = x, x [ 1, 1]. Terkit dengn f, definisikn F (x) := x 1 () Peroleh rumus untuk F (x), x [ 1, 1]. f(t) dt, x [ 1, 1]. (b) Periks bhw F (x) = f(x) untuk x [ 1, 1]. (c) Periks bhw 1 f(t) dt = F (1) F ( 1) Mislkn f : [ 1, 1] R didefinisikn sebgi 1, 1 x < 0; f(x) = 0, x = 0; 1, 0 < x 1, Terkit dengn f, definisikn F (x) := x 1 f(t) dt, x [ 1, 1].

21 Pengntr Anlisis Rel 121 () Peroleh rumus untuk F (x). Apkh F kontinu pd [ 1, 1]? (b) Tunjukkn bhw F (x) = f(x) untuk x [ 1, 1], x 0. (c) Periks pkh 1 f(t) dt = F (1) F ( 1). Berikn rgumen yng mendukung fkt 1 tersebut. 3. Mislkn f dn g terintegrlkn dn mempunyi nti- turunn F dn G pd I = [, b]. Buktikn bhw F (x)g(x) dx = [F (b)g(b) F ()G()] f(x)g(x) dx. (Cttn. Hsil ini dikenl sebgi teknik pengintegrln prsil.) 14.3 Teorem Nili Rt-rt dn Teorem Tylor untuk Integrl Jik f kontinu pd I = [, b], mk (menurut Teorem 12 pd Bb 8) f kn mencpi nili mksimum M dn minimum m pd [, b]. Menurut Proposisi 4, kit mempunyi tu m(b ) f(x) dx M(b ) m 1 f(x) dx M. b 1 b Nili b f(x) dx disebut sebgi nili rt-rt integrl f pd intervl I. (Dlm versi diskrit, nili rt-rt ritmetik dri sejumlh bilngn dlh jumlh dri bilngn-bilngn tersebut dibgi dengn bnykny bilngn itu. Dlm versi kontinum, integrl menggntikn jumlh dn pnjng intervl menggntikn bnykny bilngn. Secr fisis, bil f menytkn keceptn dri sutu prtikel yng bergerk pd intervl wktu I = [, b], mk nili rt-rt integrl menytkn keceptn rt-rt prtikel tersebut pd I.) Mengingt m dn M d di derh nili f dn 1 b f(x) dx d di ntr kedu nili tersebut, mk menurut Teorem Nili Antr mestilh terdpt sutu titik c I sedemikin sehingg f(c) = 1 b f(x) dx.

22 122 Hendr Gunwn Fkt ini dikenl sebgi Teorem Nili Rt-rt untuk integrl, yng dinytkn di bwh ini. (Ingt bhw sebelumny kit jug mempunyi Teorem Nili Rt-rt untuk turunn. Dlm konteks turunn, f menytkn posisi prtikel yng bergerk pd intervl wktu I = [, b] sehingg nili rt-rt turunn sm dengn keceptn rt-rt prtikel tersebut pd I.) Teorem 8 (Teorem Nili Rt-rt untuk Integrl). Jik f kontinu pd I = [, b], mk terdpt c I sedemikin sehingg f(c) = 1 b f(x) dx. Pd Bb 10, kit telh membhs Teorem Tylor untuk turunn. Sekrng kit kn membhs teorem yng serup untuk integrl. Teorem 9 (Teorem Tylor untuk Integrl). Mislkn f, f,..., f (n) kontinu pd I = [, b]. Mk f(b) = f() + (b )f () + + dengn E n = 1 b (n 1)! (b t)n 1 f (n) (t) dt. Bukti. Dengn pengintegrln prsil, kit peroleh E n = = 1 [ (b t) n 1 f (n 1) (t) b + (n 1) (n 1)! (b )n 1 f (n 1) 1 () + (n 1)! (n 1)! (b )n 1 f (n 1) () + E n (n 1)! ] (b t) n 2 f (n 1) (t) dt (b t) n 2 f (n 1) (t) dt. Jik kit lkukn pengintegrln prsil hingg n kli, mk kit kn smpi pd hsil di ts. Sol Ltihn 1. Buktikn jik f kontinu pd I = [, b] dn f(x) 0 untuk tip x I, mk terdpt c I sedemikin sehingg [ 1 f(c) = b f 2 (x) dx] 1/2.

23 Pengntr Anlisis Rel Buktikn jik f kontinu pd I = [, b] dn f(x) 0 untuk tip x I, mk untuk sembrng k N terdpt c = c k I sedemikin sehingg [ 1 f(c) = b f k (x) dx] 1/k. 3. Mislkn f dn g dlh fungsi yng kontinu pd I = [, b] sedemikin sehingg f(x) dx = g(x) dx. Buktikn bhw terdpt c I sedemikin sehingg f(c) = g(c).

24 124 Hendr Gunwn 15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT* 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini memng dimungkinkn, kren nili limit dri jumlh Riemnn tersebut sm dengn integrl Riemnn yng kit bhs pd Bb 13. Seperti pd bb sebelumny, sepnjng bb ini I menytkn intervl [, b], keculi bil kit nytkn lin. Mislkn f : I R terbts dn P := {x 0, x 1,..., x n } prtisi dri I. Jik t k dlh bilngn sedemikin sehingg x k 1 t k x k untuk k = 1, 2,..., n, mk jumlh n S(P, f) := f(t k )(x k x k 1 ) k=1 disebut sebgi sutu jumlh Riemnn untuk f, yng terkit dengn prtisi P dn titik-titik smpel t k. Ctt bhw untuk sebuh prtisi P terdpt tk terhitung bnykny cr memilih titik-titik smpel t k, dn krenny terdpt tk terhitung bnykny jumlh Riemnn yng terkit dengn prtisi P. Untuk fungsi f 0 pd I, jumlh Riemnn dpt diinterpretsikn sebgi jumlh lus derh persegipnjng dengn lebr x k x k 1 dn tinggi f(t k ). Jik prtisi P cukup hlus, mk msuk kl untuk menghrpkn bhw jumlh Riemnn S(P, f) kn menghmpiri lus derh di bwh kurv y = f(x). Dlm hl ini, nili S(P, f) mestilh cukup dekt ke nili integrl dri f pd I, bil f terintegrlkn pd I. Perhtikn bhw untuk sembrng prtisi P dri I dn untuk sembrng

25 Pengntr Anlisis Rel 125 pemilihn titik smpel t k I k := [x k 1, x k ], kit mempunyi m k f(t k ) M k, k = 1, 2,..., n, dengn m k := inf f(i k ) dn M k := sup f(i k ). Akibtny, n n n m k (x k x k 1 ) f(t k )(x k x k 1 ) M k (x k x k 1 ), ykni k=1 k=1 L(P, f) S(P, f) U(P, f). Jdi, jumlh Riemnn untuk f senntis bernili di ntr jumlh Riemnn bwh dn jumlh Riemnn ts, terleps dri bgimn crny kit memilih titik-titik smpel t k. Ctt khususny jik bts bwh m k dn bts ts M k tercpi oleh f pd [x k 1, x k ] untuk tip k = 1, 2,..., n, mk jumlh Riemnn bwh dn jumlh Riemnn ts sm dengn jumlh Riemnn untuk titik-titik smpel tertentu. Secr umum, jumlh Riemnn bwh mupun ts bukn jumlh Riemnn (kren nili m k dn M k tidk hrus tercpi oleh f). Nmun demikin, dengn memilih titik-titik smpel secr cermt, kit dpt memperoleh jumlh Riemnn yng cukup dekt ke jumlh Riemnn bwh tu ke jumlh Riemnn ts. Sol Ltihn 1. Mislkn f(x) = x, x [0, b]. Untuk sembrng prtisi P := {x 0, x 1,..., x n } dri [0, b], pilih titik-titik smpel t k = 1 2 (x k +x k 1 ). Hitunglh jumlh Riemnn S(P, f) dengn titik-titik smpel ini. 2. Mislkn f : I R terbts, P := {x 0, x 1,..., x n } prtisi dri I, dn ɛ > 0 sembrng. k=1 () Tentukn titik-titik smpel t k sedemikin sehingg n f(t k )(x k x k 1 ) L(P, f) < ɛ. k=1 (b) Tentukn titik-titik smpel t k sedemikin sehingg n U(P, f) f(t k )(x k x k 1 ) < ɛ. k=1

26 126 Hendr Gunwn 15.2 Integrl sebgi Limit Di sini kit kn meliht bhw f(x) dx dpt dipndng sebgi limit dri jumlh Riemnn S(P, f), dlm rti tertentu. Teorem 1. Mislkn f terintegrlkn pd I. Mk, untuk setip ɛ > 0 terdpt sutu prtisi P ɛ dri I sedemikin sehingg untuk sembrng prtisi P P ɛ dn sembrng jumlh Riemnn S(P, f) berlku S(P, f) f(x) dx < ɛ. Bukti. Diberikn ɛ > 0 sembrng, pilih prtisi P ɛ dri I sedemikin sehingg U(P ɛ, f) L(P ɛ, f) < ɛ. Selnjutny mbil sembrng prtisi P P ɛ. Mk, menurut Proposisi 1 pd Subbb 13.1, kit mempunyi L(P ɛ, f) L(P, f) U(P, f) U(P ɛ, f). Akibtny, U(P, f) L(P, f) < ɛ. Sekrng mislkn S(P, f) dlh sembrng jumlh Riemnn yng terkit dengn P. Mk, Sementr itu, kit jug mempunyi L(P, f) S(P, f) U(P, f). L(P, f) Dri kedu ketksmn ini kit peroleh S(P, f) dn teorem pun terbukti. f(x) dx U(P, f). f(x) dx U(P, f) L(P, f) < ɛ, Teorem berikut merupkn keblikn dri Teorem 1. Buktiny diserhkn sebgi ltihn.

27 Pengntr Anlisis Rel 127 Teorem 2. Mislkn f terbts pd I. Mislkn terdpt sutu bilngn A R sedemikin sehingg untuk setip ɛ > 0 terdpt prtisi P ɛ dri I sedemikin sehingg untuk sembrng prtisi P P ɛ dn sembrng jumlh Riemnn S(P, f) berlku S(P, f) A < ɛ. Mk f terintegrlkn pd I dn f(x) dx = A. Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem Mislkn f(x) = x, x [0, b]. Gunkn Teorem 1 dn Sol Ltihn 15.1 No. 1 untuk menyimpulkn bhw 0 x dx = 1 2 b2. 3. Gunkn Teorem 1 untuk memberikn bukti lterntif untuk Teorem Dsr Klkulus II (Teorem 6 pd Sub-bb 14.2) Teorem Drboux Terdpt cr lin meliht integrl sebgi limit dri jumlh Riemnn. Mislkn I := [, b] dn P := {x 0, x 1,..., x n } dlh prtisi dri I. Ukurn kehlusn dri P, dilmbngkn dengn P, didefinisikn sebgi P := sup{x k x k 1 : k = 1, 2,..., n}. Dlm perktn lin, P dlh pnjng sub-intervl mksimum yng terkit dengn prtisi P. Ctt bhw du prtisi berbed dpt memiliki kehlusn yng sm. Selin itu, jik P Q (ykni, Q merupkn perhlusn dri P ), mk Q P. Nmun seblikny Q P tidk menghruskn P Q. Teorem berikut memperlihtkn bhw jik f terintegrlkn pd I, mk integrl f pd I merupkn limit dri jumlh Riemnn untuk P 0.

28 128 Hendr Gunwn Teorem 3 (Teorem Drboux). Mislkn f terintegrlkn pd I. Mk, untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg jik Q dlh prtisi dri I dengn Q < δ, mk untuk sembrng jumlh Riemnn S(Q, f) berlku S(Q, f) f(x) dx < ɛ. Bukti. Diberikn ɛ > 0 sembrng, terdpt prtisi P ɛ := {x 0, x 1,..., x n } sedemikin sehingg Akibtny, jik P P ɛ, mk U(P ɛ, f) L(P ɛ, f) < ɛ 3. U(P, f) L(P, f) < ɛ 3. Selnjutny mislkn M := sup{ f(x) : x I} dn δ := ɛ 12Mn. Ambil sembrng prtisi Q := {y 0, y 1,..., y m } dri I dengn Q < δ dn mislkn Q := Q P ɛ. Mk Q P ɛ dn Q mempunyi sebnyk-bnykny n 1 titik lebih bnyk dripd Q, ykni titik-titik x 1,..., x n 1 yng d di P ɛ tetpi tidk di Q. Selnjutny kit kn membndingkn U(Q, f) dengn U(Q, f), sert L(Q, f) dengn L(Q, f). Kren Q Q, kit mempunyi U(Q, f) U(Q, f) 0. Jik kit tuliskn Q = {z 0, z 1,..., z p }, mk U(Q, f) U(Q, f) dpt dinytkn sebgi jumlh dri sebnyk-bnykny 2(n 1) suku berbentuk (M j M k )(z k z k 1 ), dengn M j menytkn supremum dri f pd sub-intervl ke-j dlm Q dn M k menytkn supremum dri f pd sub-intervl ke-k dlm Q. Kren M j M k 2M dn z k z k 1 Q Q < δ, kit peroleh Akibtny, kit dptkn 0 U(Q, f) U(Q, f) 2(n 1) 2M δ < ɛ 3. Serup dengn itu kit jug mempunyi U(Q, f) < U(Q, f) + ɛ 3. L(Q, f) ɛ < L(Q, f). 3

29 Pengntr Anlisis Rel 129 Selnjutny kit thu bhw S(Q, f) dn f(x) dx terletk dlm intervl [L(Q, f), U(Q, f)], dn kren itu keduny berd dlm intervl I ɛ := [L(Q, f) ɛ 3, U(Q, f) + ɛ 3 ]. Kren Q P ɛ, kit mempunyi U(Q, f) L(Q, f) < ɛ 3, sehingg pnjng I ɛ lebih kecil dripd ɛ. Jdi jrk ntr S(Q, f) dn f(x) dx mestilh lebih kecil dripd ɛ, sebgimn yng ingin kit buktikn. Keblikn dri Teorem 3 jug berlku. Teorem 4. Mislkn f : I R terbts. Mislkn terdpt sutu bilngn B R sedemikin sehingg untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg untuk sembrng prtisi P dri I dengn P < δ dn sembrng jumlh Riemnn S(P, f) berlku Mk f terintegrlkn pd I dn S(P, f) B < ɛ. f(x) dx = B. Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem 4. (Petunjuk. Gunkn Teorem 2.) 2. Buktikn bhw f terintegrlkn jik dn hny jik untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg jik P < δ dn Q < δ, mk S(P, f) S(Q, f) < ɛ.

30 130 Hendr Gunwn 16. BARISAN FUNGSI 16.1 Brisn Fungsi dn Kekonvergenn Titik Demi Titik Bil pd bb-bb sebelumny kit membhs fungsi sebgi sebuh objek individul, mk pd bb ini dn selnjutny kit kn membhs kelurg fungsi yng membentuk sutu brisn. Dlm pliksi, brisn fungsi muncul ketik kit berupy menghmpiri sebuh fungsi dengn kelurg fungsi yng kit kenl bik. Sebuh brisn fungsi dlh sutu pengitn n f n, n N, yng kit tuliskn sebgi f n. Di sini f n merupkn fungsi dn untuk tip n N kit sumsikn bhw f n mempunyi derh sl yng sm, sebutlh A R. Seperti pd pembhsn brisn bilngn rel, ketik dihdpkn dengn sebuh brisn fungsi f n kit kn tertrik untuk membhs perilku f n pbil n. Dlm perktn lin, kit ingin mempeljri kekonvergenn brisn f n pd A. Mengingt bhw untuk tip x A, f n (x) membentuk sutu brisn bilngn rel, mk kekonvergenn brisn fungsi f n dpt didefinisikn mellui kekonvergenn brisn bilngn f n (x). Bil untuk tip x A, brisn f n (x) konvergen ke sutu bilngn (yng secr umum bergntung pd x), sebutlh L x, mk kit peroleh sebuh fungsi f : A R dengn f(x) = L x. Jdi, untuk tip x A, kit mempunyi f n (x) f(x), n. Dlm hl ini, kit ktkn bhw f n konvergen titik demi titik ke f, dn kit tuliskn f n f (titik demi titik), n. Fungsi f di sini disebut sebgi limit (titik demi titik) brisn f n.

31 Pengntr Anlisis Rel 131 Contoh 1. Mislkn untuk tip n N kit mempunyi f n (x) := x n, x [0, 1]. Mk, brisn fungsi f n konvergen titik demi titik ke fungsi f dengn { 0, 0 x < 1; f(x) := 1, x = 1. Untuk mendptkn gmbrn tentng p yng terjdi, gmbrlh grfik beberp buh fungsi f n dn jug grfik fungsi f, pd sebuh sistem koordint yng sm. Dlm Contoh 1 kit meliht bhw f n kontinu pd [0, 1] untuk tip n N, nmun f tidk kontinu pd [0, 1]. Jdi, kekonvergenn titik demi titik secr umum tidk memperthnkn sift kekontinun fungsi. Pdhl, dlm pliksiny, ini merupkn slh stu isu penting. Oleh kren itu, dlm pembhsn berikutny, kit kn mempeljri jenis kekonvergenn brisn fungsi yng lebih kut, yng memperthnkn ntr lin sift kekontinun fungsi. Diberikn sutu brisn fungsi f k, kit mempunyi deret fungsi f k, yng didefinisikn sebgi limit titik demi titik dri brisn jumlh prsil n f k, slkn brisn jumlh prsil ini konvergen. Jik brisn jumlh prsil tersebut konvergen titik demi titik ke fungsi s pd A, mk s disebut sebgi jumlh deret pd A. Dlm hl ini, kit tuliskn f k (x) = s(x), x A. k=1 Secr umum, indeks k dpt berjln muli dri sembrng k Z. Sebgi contoh, jik f k (x) := x k, k = 0, 1, 2,..., mk kit peroleh deret geometri x k 1, yng konvergen ke 1 x untuk x < 1 (liht kembli Bb 5). k=0 Pembhsn mengeni deret fungsi, khususny deret yng berbentuk n (x c) n kn dilkukn secr mendlm pd Bb 18. k=1 k=1

32 132 Hendr Gunwn Sol Ltihn 1. Tinju brisn fungsi f n yng dibhs dlm Contoh 1. Diberikn x [0, 1] dn ɛ > 0, tentukn N N sedemikin sehingg untuk setip n N berlku f n (x) f(x) < ɛ. (Cttn. Ksus x = 1 perlu ditngni tersendiri.) 2. Untuk msing-msing brisn fungsi di bwh ini, tentukn sebuh fungsi f yng merupkn limitny (titik demi titik). () f n (x) := xn n, x [0, 1]. (b) f n (x) := nx(1 x 2 ) n, x [0, 1]. (c) f n (x) := x n, x R. (d) f n (x) := (e) f n (x) := x2n 1+x, x R. 2n sin nx n x, x > Kekonvergenn Sergm Mislkn f n dlh sutu brisn fungsi yng, ktknlh, konvergen titik demi titik ke fungsi f pd A. Dlm hl ini, diberikn x A dn ɛ > 0, terdpt N N sedemikin sehingg untuk setip n N berlku f n (x) f(x) < ɛ. Secr umum bilngn N di sini bergntung pd x, selin pd ɛ. Bil bilngn N tdi berlku untuk tip x A, mk f n diktkn konvergen sergm ke f pd A. Jdi, brisn fungsi f n konvergen sergm ke f pd A pbil untuk setip ɛ > 0 terdpt N N sedemikin sehingg untuk setip n N dn x A berlku f n (x) f(x) < ɛ. Dlm hl ini kit tuliskn f n f (sergm), n. Jels bhw kekonvergenn sergm kn mengkibtkn kekonvergenn titik demi titik. (Dlm perktn lin, kekonvergenn titik demi titik merupkn syrt perlu untuk kekonvergenn sergm.)

33 Pengntr Anlisis Rel 133 Gmbr 16.1 Pit dengn lebr 2ɛ dn medin grfik fungsi f Perhtikn bhw ketksmn f n (x) f(x) < ɛ setr dengn f(x) ɛ < f n (x) < f(x) + ɛ. Bil ini berlku untuk setip n N dn x A, mk grfik fungsi f n pd A berd di ntr pit [f ɛ, f + ɛ] yng mempunyi lebr 2ɛ dn medin grfik fungsi f, sebgimn diilustrsikn dlm Gmbr Contoh 2. Brisn fungsi f n dengn f n (x) := x n, x [0, 1], tidk konvergen sergm ke f pd [0, 1], dengn f(x) := { 0, 0 x < 1; 1, x = 1. Di sini, pit [f 1 4, f ] tidk kn memut grfik f n untuk n berp pun. Lemm berikut (yng merupkn negsi dri definisi kekonvergenn sergm) dpt dipki untuk menyelediki ketidkkonvergenn sergm sutu brisn fungsi. Lemm 3. Brisn fungsi f n tidk konvergen sergm ke fungsi f pd A jik dn hny jik untuk sutu ɛ 0 > 0 terdpt subbrisn f nk dri f n dn brisn bilngn x k di A sedemikin sehingg f nk (x k ) f(x k ) ɛ 0.

34 134 Hendr Gunwn Dengn menggunkn Lemm 3, ketidkkonvergenn sergm brisn fungsi dlm Contoh 2 dpt dibuktikn dengn mengmbil ɛ 0 = 1 4, n k = k dn x k = ( 1 1/k. 2) Di sini kit mempunyi f nk (x k ) f(x k ) = = 1 2 > ɛ 0. Ketidkkonvergenn sergm brisn dlm Contoh 2 jug dpt dijelskn dengn teorem di bwh ini (yng mengtkn bhw kekonvergenn sergm memperthnkn sift kekontinun). Teorem 4. Mislkn f n konvergen sergm ke f pd sutu intervl I R. Jik f n kontinu di c I untuk tip n N, mk f jug kontinu di c. Bukti. Diberikn ɛ > 0, pilih N N sedmeikin sehingg untuk setip n N dn x I berlku f n (x) f(x) < ɛ 3. Kren f N kontinu di c, mk sutu intervl I δ (c) I yng memut c sedemikin sehingg untuk setip x I δ (x) berlku f N (x) f(x) < ɛ 3. Jdi, untuk setip x I δ (c), kit mempunyi f(x) f(c) f(x) f N (x) + f N (x) f N (c) + f N (c) f(c) < ɛ 3 + ɛ 3 + ɛ 3 = ɛ. Ini membuktikn bhw f kontinu di c. Sol Ltihn 1. Selidiki pkh msing-msing brisn fungsi di bwh ini konvergen sergm ke limitny. () f n (x) := xn n, x [0, 1]. (b) f n (x) := nx(1 x 2 ) n, x [0, 1]. (c) f n (x) := x n, x R. (d) f n (x) := (e) f n (x) := x2n 1+x, x R. 2n sin nx n x, x > 0.

35 Pengntr Anlisis Rel Buktikn jik f n dn g n konvergen sergm ke f dn g pd A (berturutturut), mk f n + g n konvergen sergm ke f + g pd A. 3. Mislkn f n (x) := x + 1 n dn f(x) = x, x R. Buktikn bhw f n konvergen sergm ke f pd R, nmun fn 2 tidk konvergen sergm ke f 2 pd R Kriteri Cuchy untuk Kekonvergenn Sergm Dlm membhs kekonvergenn sergm, seringkli kit terbntu dengn pengertin norm sergm berikut. Ingt bhw untuk A R, fungsi f : A R diktkn terbts pd A pbil f(a) merupkn himpunn terbts. Sekrng, jik f terbts pd A, mk kit definisikn norm sergm f pd A sebgi f A := sup { f(x) : x A}. Perhtikn bhw f A < ɛ setr dengn f(x) < ɛ untuk tip x A. Menggunkn norm sergm, kit mempunyi lemm berikut tentng kekonvergenn sergm. Lemm 5. Mislkn f n terbts pd A untuk tip n N. Mk, brisn f n konvergen sergm ke f pd A jik dn hny jik lim n f n f A = 0. Dengn menggunkn Lemm 5, kit jug dpt membuktikn ketidkkonvergenn sergm brisn fungsi dlm Contoh 2, dengn menghitung bhw f n f [0,1] = 1 untuk tip n N. Dengn menggunkn norm sergm, kit peroleh pul kriteri berikut untuk kekonvergenn sergm sutu brisn fungsi. Teorem 6 (Kriteri Cuchy untuk Kekonvergenn Sergm). Mislkn f n terbts pd A untuk tip n N. Mk, brisn f n konvergen sergm ke sutu fungsi terbts f pd A jik dn hny jik untuk setip ɛ > 0 terdpt N N sedemikin sehingg untuk sembrng m, n N berlku f m f n < ɛ.

36 136 Hendr Gunwn Bukti. Mislkn f n konvergen sergm ke f pd A. Diberikn ɛ > 0 sembrng, pilih N N sedemikin sehingg untuk setip n N berlku f n f A < ɛ 2. Akibtny, jik m, n N, mk f m (x) f n (x) f m (x) f(x) + f n (x) f(x) < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ untuk tip x A. Jdi f m f n A < ɛ untuk m, n N. Seblikny, mislkn untuk setip ɛ > 0 terdpt N N sedemikin sehingg untuk m, n N kit mempunyi f m f n A < ɛ. Mk, untuk setip x A, berlku f m (x) f n (x) f m f n A < ɛ, untuk m, n N. Ini berrti bhw f n (x) merupkn brisn Cuchy di R, dn krenny i merupkn brisn yng konvergen, ktknlh ke f(x). Selnjutny, untuk setip x A, kit mempunyi f m (x) f(x) = lim n f m(x) f n (x) ɛ, untuk m N. Ini menunjukkn bhw f n konvergen sergm ke f pd A. Sol Ltihn 1. Buktikn Lemm Mislkn f n dn g n dlh brisn fungsi terbts pd A, yng konvergen sergm ke f dn g pd A (berturut-turut). Tunjukkn bhw f n g n konvergen sergm ke fg pd A. 3. Uji-M Weierstrss. Mislkn f n dlh brisn fungsi pd A dn f n (x) M n untuk tip x A dn n N. Buktikn jik k=1 M k konvergen, mk deret fungsi k=1 f k konvergen sergm pd A.

37 Pengntr Anlisis Rel PERTUKARAN LIMIT 17.1 Pertukrn Limit dn Turunn Kit telh meliht sebelumny bhw kekonvergenn sergm memperthnkn sift kekontinun fungsi, ykni, jik f n kontinu pd A untuk tip n N dn f n konvergen sergm ke f pd A, mk f kontinu pd A. Sekrng kit bertny: pkh kekontinun sergm jug memperthnkn sift diferensibilits? Pertnyn ini penting mengingt dlm pliksi kit seringkli menksir sebuh fungsi f dengn sutu deret f n (mislny), dn kemudin kit n=1 menginginkn f (x) = f n(x). n=1 Jwbn untuk pertnyn ini ternyt negtif. Sebgi contoh, fungsi f yng didefinisikn sebgi jumlh deret berikut f(x) := 2 k cos(3 k x) k=1 merupkn fungsi yng kontinu di setip titik tetpi tidk mempunyi turunn di titik mnpun (liht [1]). Pdhl, jumlh prsil deret ini mempunyi turunn di setip titik dn membentuk brisn yng konvergen sergm ke f. Jdi, kekonvergenn sergm dri sutu brisn fungsi yng mempunyi turunn ternyt tidk menjmin bhw limitny mempunyi turunn. Teorem berikut memberikn sutu syrt cukup gr sebuh brisn fungsi memperthnkn sift diferensibilits. Teorem 1. Mislkn I R dlh sutu intervl terbts dn f n dlh brisn fungsi pd I. Mislkn terdpt x 0 I sedemikin sehingg f n (x 0 ) konvergen dn

38 138 Hendr Gunwn brisn f n terdefinisi dn konvergen sergm ke sutu fungsi g pd I. Mk, f n konvergen sergm ke sutu fungsi f pd I dengn f (x) = g(x), x I. Bukti. Mislkn < b dlh titik ujung intervl I dn x I sembrng. Jik m, n N, mk menurut Teorem Nili Rt-rt (untuk turunn) terdpt y di ntr x 0 dn x sedemikin sehingg Akibtny, kit peroleh f m (x) f n (x) = f m (x 0 ) f n (x 0 ) + (x x 0 )[f m(y) f n (y)]. f m f n I f m (x 0 ) f n (x 0 ) + (b ) f m f n I. Menurut hipotesis dn Kriteri Cuchy (Teorem 6, Bb 16), f n konvergen sergm pd I. Sebutlh f := lim n f n. Kren f n kontinu pd I untuk tip n N, mk f jug kontinu pd I. Untuk menunjukkn bhw f mempunyi turunn di sembrng titik c I, kit terpkn lgi Teorem Nili Rt-rt terhdp f m f n pd intervl dengn titik ujung c dn x. Dlm hl ini terdpt z di ntr c dn x sedemikin sehingg [f m (x) f n (x)] [f m (c) f n (c)] = (x c)[f m(z) f n(z)]. Jdi, dlm hl x c, kit peroleh f m (x) f m (c) f n(x) f n (c) x c x c f m f n I. Kren f n konvergen sergm pd I, untuk ɛ > 0 sembrng terdpt N N sedemikin sehingg jik m, n N dn x c, mk f m (x) f m (c) f n(x) f n (c) x c x c ɛ. Jik kit mbil limit dri rus kiri (terhdp m), mk kit dptkn f(x) f(c) f n(x) f n (c) x c x c ɛ untuk n N dn x c. Selnjutny, kren lim n f n(c) = g(c), mk terdpt M N sedemikin sehingg f n(c) g (c) < ɛ untuk n M. Sekrng mislkn

39 Pengntr Anlisis Rel 139 K := mks {M, N}. Kren f K (c) d, mk terdpt δ K > 0 sedemikin sehingg jik 0 < x c < δ K, mk f K (x) f K (c) f x c K(c) < ɛ. Jdi, jik 0 < x c < δ K, mk (berdsrkn ketig ketksmn di ts) kit mempunyi f(x) f(c) x c g(c) < 3ɛ. Ini menunjukkn bhw f (c) d dn sm dengn g(c). Kren c I sembrng, kit simpulkn bhw f = g pd I. Sol Ltihn 1. Mislkn f n (x) := x n, x R. Selidiki pkh limit dn turunn dpt bertukr untuk brisn fungsi ini. 2. Mislkn f n (x) := xn n, x [0, 1]. Buktikn bhw f n konvergen sergm ke sutu fungsi f yng mempunyi turunn pd [0, 1], dn f n konvergen ke sutu fungsi g pd [0, 1], tetpi f (1) g(1) Fungsi Eksponensil Dlm Klkulus, kit mendefinisikn fungsi eksponensil E(x) := e x sebgi invers dri fungsi logritm L(x) := ln x := x 1 1 t dt, x > 0. Nmun, dripd mengulng p yng telh kit peljri dlm Klkulus, kit kn mempeljri sutu cr lin mendefinisikn fungsi eksponensil, yitu dengn meninju Mslh Nili Awl E (x) = E(x), E(0) = 1. (3) Perhtikn bhw Mslh Nili Awl ini setr dengn persmn integrl E(x) = 1 + x 0 E(t) dt. Untuk mendptkn solusiny, kit lkukn itersi Picrd dengn hmpirn wl E 0 (x) := 1 dn E n+1 (x) := 1 + x 0 E n (t) dt, n = 0, 1, 2,....

40 140 Hendr Gunwn Dlm hl ini, kit kn memperoleh brisn fungsi yng memenuhi E n (x) := 1 + x 1! + + xn, n = 0, 1, 2,..., n! E n+1(x) = E n (x), n = 0, 1, 2,.... Sekrng mrilh kit peljri brisn fungsi ini. Mislkn R > 0. Jik x R dn m > n > 2R, mk x n+1 E m (x) E n (x) = (n + 1)! + + xm m! Rn+1 (n + 1)! < 2Rn+1 (n + 1)!. [ 1 + R n + + ( R n ) m n 1 ] R Kren lim n n n! = 0, kit simpulkn bhw brisn E n konvergen sergm pd [ R, R] untuk R > 0 sembrng. Sebgi kibtny, kit mempunyi teorem berikut. Teorem 2. Brisn E n konvergen titik demi titik ke sutu fungsi E yng kontinu pd R, dengn E(0) = 1. Bukti. Berdsrkn penjelsn di ts, jels bhw E n (x) konvergen untuk tip x R. Definisikn E : R R dengn E(x) := lim n E n(x), x R. Kren setip x R termut dlm sutu intervl [ R, R], mk E kontinu pd R. Selnjutny, kren E n (0) = 1 untuk tip n, mk E(0) = 1. Lebih juh, kit mempunyi: Teorem 3. Fungsi E mempunyi turunn dengn E (x) = E(x) untuk tip x R. Bukti. Mengingt bhw E n mempunyi turunn dn E n+1(x) = E n (x) untuk tip n = 0, 1, 2,..., brisn E n jug konvergen sergm ke E pd sembrng intervl [ R, R]. Menurut Teorem 1, E (x) = lim n E n+1(x) = lim n E n(x) = E(x),

41 Pengntr Anlisis Rel 141 pd sembrng intervl [ R, R]. Dengn demikin, kit peroleh E (x) = E(x) untuk tip x R. Akibt 4. Fungsi E mempunyi turunn ke-k untuk tip k N, dengn E (k) (x) = E(x) untuk tip x R. Teorem 5. Fungsi E yng memenuhi Mslh Nili Awl (3) dlh tunggl. Teorem 6. Fungsi E yng memenuhi Mslh Nili Awl (3) bersift: (i) E(x) 0 untuk tip x R; (ii) E(x + y) = E(x)E(y) untuk tip x, y R; (iii) Jik e = E(1), mk E(r) = e r untuk tip r Q. Sol Ltihn 1. Buktikn jik x > 0, mk E(x) > 1 + x. 2. Buktikn Teorem Pertukrn Limit dn Integrl Sekrng mri kit periks pkh kekonvergenn titik demi titik memperthnkn keterintegrln. Mislkn f n (x) := nx(1 x 2 ) n, x [0, 1] (Sol 16.1 No. 2(b). Brisn fungsi ini konvergen ke fungsi f 0 pd [0, 1]. Di sini 1 f(x) dx = 0, 0 sementr 1 0 Jdi, kit peroleh f n (x) dx = n 1 0 x(1 x 2 ) n dx = n (1 x 2 ) n n + 1 = n 0 2(n + 1). 1 lim n 0 f n (x) dx = 1 2. Dengn demikin, untuk brisn fungsi ini, kit meliht bhw 1 lim n 0 f n (x) dx 1 0 f(x) dx. Perlu dictt di sini bhw f n tidk konvergen sergm ke f.

42 142 Hendr Gunwn Pertnynny sekrng dlh: bilkh limit dn integrl dpt bertukr tempt, ykni bilkh lim n f n (x) dx = lim f n(x) dx? n Teorem berikut menytkn bhw kekonvergenn sergm memperthnkn keterintegrln dn menjmin bhw limit dn integrl dpt betukr tempt. Teorem 7. Mislkn f n terintegrlkn pd I := [, b] untuk tip n N dn f n konvergen sergm ke f pd [, b]. Mk, f terintegrlkn pd [, b] dn lim n f n (x) dx = f(x) dx. Bukti. Diberikn ɛ > 0, pilih N N sedemikin sehingg untuk setip m N berlku f f m I < ɛ 4(b ). Selnjutny, kren f N terintegrlkn, mk menurut Kriteri Keterintegrln Riemnn, terdpt prtisi P ɛ := {x 0, x 1,..., x n } dri I sedemikin sehingg Sementr itu, kren f(x) f N (x) dengn M j (f) := U(P ɛ, f N ) L(P ɛ, f N ) < ɛ 2. ɛ 4(b ) M j (f) M j (f N ) + untuk tip x I, mk ɛ 4(b ) sup f(x) dn M j (f N ) := sup f N (x). Jdi, kit peroleh x j 1 x x j x j 1 x x j U(P ɛ, f) U(P ɛ, f N ) + ɛ 4. Dengn cr yng serup, kit jug peroleh Akibtny, kit dptkn L(P ɛ, f N ) ɛ 4 L(P ɛ, f). U(P ɛ, f) L(P ɛ, f) U(P ɛ, f N ) L(P ɛ, f N ) + ɛ 2 < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Ini membuktikn bhw f terintegrlkn pd I.

43 Pengntr Anlisis Rel 143 Selnjutny, untuk membuktikn bhw limit dn integrl dpt bertukr tempt, kit mti bhw f(x) dx f m (x) dx = [f(x) f m (x)] dx f f m I (b ). Kren lim f f m I = 0, mk nili di rus kiri mestilh menuju ke 0 bil m, m sehingg sesui dengn hrpn kit. f(x) dx = lim m f m (x) dx, Sol Ltihn 1. Mislkn g n (x) := nx(1 x) n, x [0, 1]. Selidiki kekonvergenn g n dn 1 0 g n(x) dx. 2. Mislkn f n dlh brisn fungsi yng terintegrlkn pd [, b], yng konvergen (titik demi titik) ke sutu fungsi yng terintegrlkn pd [, b]. Mislkn pul bhw terdpt B > 0 sedemikin sehingg f n (x) B untuk tip x [, b] dn n N. Buktikn bhw lim n f n (x) dx = f(x) dx.

44 144 Hendr Gunwn 18. DERET PANGKAT* 18.1 Deret Pngkt dn Intervl Kekonvergennny Pd Bb 16 (dn, juh sebelumny, yitu pd Bb 5) kit telh membhs deret geometri x n 1, yng konvergen (titik demi titik) ke 1 x untuk x < 1. Pd Bb 17, teptny pd Sub-bb 17.2, kit berurusn dengn deret x n n!, yng konvergen (sergm) pd sembrng intervl [ R, R], R > 0. Kedu deret ini termsuk dlm kelurg deret pngkt n (x c) n, (4) yng kn kit peljri secr lebih mendlm sekrng. Deret pngkt (4) jels konvergen untuk x = c. Teorem berikut menunjukkn bhw sebuh deret pngkt secr umum konvergen pd sutu intervl yng berpust di c. Teorem 1. Jik deret n (x c) n konvergen untuk x = x 0, mk deret tersebut jug konvergen (mutlk) untuk x dengn x c < x 0 c. Bukti. Kren n (x 0 c) n konvergen, mk n (x 0 c) n 0 bil n. Akibtny, brisn n (x 0 c) n terbts, ykni terdpt M sedemikin sehingg n (x 0 c) n M, n = 0, 1, 2,.... Sekrng mislkn x c < x 0 c. Mk Akibtny r = x c x 0 c < 1. n (x c) n = n (x 0 c) n.r n M.r n, n = 0, 1, 2,....

45 Pengntr Anlisis Rel 145 Kren deret r n konvergen, mk menurut Uji Bnding deret n (x c) n jug konvergen (mutlk). Untuk selnjutny, himpunn semu bilngn x R di mn deret pngkt n (x c) n konvergen disebut intervl kekonvergenn deret tersebut. Jik titik ujung intervl kekonvergenn tersebut dlh c R dn c + R (dengn R 0), mk R disebut jri-jri kekonvergenn deret n (x c) n. Intervl kekonvergennny dlm hl ini dlh (c R, c+r), (c R, c+r], [c R, c+r), tu [c R, c+r]. Jik intervl kekonvergennny dlh R, mk jri-jri kekonvergennny tk terhingg. Contoh 2. () Intervl kekonvergenn deret geometri kekonvergennny sm dengn 1. (b) Intervl kekonvergenn deret pd sembrng intervl [ R, R], R > 0.] x n dlh ( 1, 1), jri-jri x n n! dlh R. [Ingt bhw deret ini konvergen Sol Ltihn 1. Tentukn intervl kekonvergenn deret pngkt berikut. (Petunjuk. Gunkn subsitusi peubh, misl t = x 1 untuk deret pertm.) () (b) (c) (x 1) n. x n 2 n. x 2n n! 18.2 Jri-jri Kekonvergenn Pd sub-bb terdhulu kit telh membuktikn bhw sebuh deret pngkt n (x c) n senntis konvergen pd sutu intervl yng berpust di c. Teorem berikut memberi kit rumus jri-jri kekonvergennny.

46 146 Hendr Gunwn Teorem 3. Mislkn lim n d tu tk terhingg, ktknlh sm dengn n n+1 R. Mk, deret n (x c) n konvergen bil x c < R dn divergen bil x c > R. Bukti. Mislkn 0 < R <. (Ksus R = 0 tu tk terhingg diserhkn sebgi ltihn.) Menggunkn Uji Rsio, deret n (x c) n konvergen bil lim n+1(x c) n+1 1 = n (x c) n x c < 1, R n ykni bil x c < R. Uji Rsio jug memberi thu kit bhw deret kn divergen bil x c > R. Cttn. Teorem di ts tidk memberi thu kit perihl kekonvergenn deret untuk x = c ± R. Nmun, kit dpt memeriks kedu ksus tersis ini secr tersendiri, dengn menggunkn pengethun kit tentng deret bilngn. Contoh 4. () Untuk deret geometri x n, kit mempunyi n = 1 untuk tip n N. Kren itu, jri-jri kekonvergennny dlh R = lim n = 1. n n+1 Jdi deret konvergen bil x < 1 dn divergen bil x > 1. Untuk x = ±1, deret jels divergen. Dengn demikin, intervl kekonvergenn deret dlh ( 1, 1), sebgimn telh kit kethui sebelumny. x (b) Untuk deret n n!, kit mempunyi n = 1 n! untuk tip n N. Kren itu, jri-jri kekonvergennny dlh R = lim n = lim (n + 1) =. n n+1 n Jdi deret konvergen untuk setip x R. n Ap yng terjdi bil brisn berosilsi, mislny bil n dlh brisn n+1 1, 1, 2, 2, 3, 3,...? Teorem berikut memberi sutu cr lin menentukn jri-jri kekonvergenn deret dengn koefisien demikin.

47 Pengntr Anlisis Rel 147 Teorem 5. Mislkn L := lim sup n 1/n d tu tk terhingg, dn R := 1 n L. Mk, deret n (x c) n konvergen bil x c < R dn divergen bil x c > R. Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem 3 untuk ksus R = 0 dn R =. 2. Tentukn jri-jri kekonvergenn deret berikut, dn kemudin tentukn intervl kekonvergennny. () (b) (c) x n n. x n+1 2 n. x 2n (2n)! 3. Buktikn Teorem Kekonvergenn Sergm Deret Pngkt Teorem berikut menytkn bhw deret pngkt senntis konvergen sergm pd sembrng intervl kompk di dlm intervl kekonvergennny. Teorem 6. Jik R dlh jri-jri kekonvergenn deret pngkt deret konvergen sergm pd sembrng intervl kompk K ( R, R). n x n, mk Bukti. Hipotesis bhw K kompk dn termut dlm ( R, R) mengkibtkn dny sutu konstnt c < 1 sedemikin sehingg x < cr untuk tip x K. Kren itu, n x n n c n R n =: M n, n = 0, 1, 2,.... Menurut Uji Rsio, M n konvergen. Akibtny, berdsrkn Uji-M Weierstrss (Sol No. 3, Sub-bb 16.3), n x n konvergen sergm pd K.

48 148 Hendr Gunwn Akibt 7. Jumlh sutu deret pngkt merupkn fungsi yng kontinu pd ( R, R), dengn R dlh jri-jri kekonvergenn deret pngkt tersebut. Akibt 8. Sebuh deret pngkt dpt diintegrlkn suku demi suku (ykni, integrl dn sigm dpt bertukr) pd sembrng intervl kompk di dlm intervl kekonvergennny. Akibt 9. Sebuh deret pngkt dpt diturunkn suku demi suku (ykni, turunn dn sigm dpt bertukr) di dlm intervl kekonvergennny. Persisny, jik f(x) = n x n, mk f (x) = n n x n 1 untuk x < R, dengn R dlh jri-jri kekonvergenn deret n x n. kekonvergenn R. n=1 Lebih juh, deret n n x n 1 jug mempunyi jri-jri Perhtikn bhw dlm Akibt 9 kit mempunyi 0 = f(0) dn 1 = f (0). Jik fungsi f mempunyi turunn ke-n di titik c untuk tip n N, mk kit dpt menghitung koefisien Tylor n := f (n) (c) n! untuk tip n N dn memperoleh sutu deret pngkt dengn koefisien-koefisien ini. Nmun, tidk d jminn bhw deret pngkt yng dihsilkn konvergen ke f pd sutu intervl terbuk yng memut c. Kekonvergenn deret pngkt tersebut bergntung pd suku sis E n dlm Teorem Tylor (Teorem 5, Sub-bb 10.3). Dlm hl ini, kit mempunyi deret Tylor untuk f di sekitr c, yitu f(x) = (x c) n f (n) (c), n! n=1 x (c R, c + R), jik dn hny jik brisn E n (x) konvergen ke 0 untuk tip x (c R, c + R). Sol Ltihn 1. Buktikn Akibt Buktikn Akibt Buktikn Akibt Buktikn bhw deret pngkt n x n dpt diturunkn suku demi suku k kli di dlm intervl kekonvergennny. Kemudin buktikn bhw f (k) (0) = k! k, untuk tip k N.

49 5. Buktikn jik n x n dn Pengntr Anlisis Rel 149 b n x n konvergen ke sutu fungsi f yng sm pd sutu intervl ( r, r) dengn r > 0, mk n = b n untuk tip n N. 6. Buktikn dengn induksi bhw fungsi f dengn f(x) = e 1/x2 untuk x 0 dn f(0) = 0 mempunyi turunn ke-k di 0, yitu f (k) (0) = 0, untuk tip k N. (Jdi, fungsi f tidk dpt dinytkn sebgi deret Tylor di sekitr 0.)

50 150 Hendr Gunwn DAFTAR PUSTAKA 1. R.G. Brtle nd D. Sherbert, Introduction to Rel Anlysis, 3rd ed., John Wiley & Sons, 19xx. 2. K.G. Binmore, Mthemticl Anlysis, 2nd ed., Cmbridge Univ. Press., 1982.

15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT

15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini

Lebih terperinci

14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN

14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 4. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 4. Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Pd bb ini kit kn mempeljri sift-sift dsr integrl Riemnn. Sift pertm dlh sift kelinern, yng dinytkn dlm Proposisi. Sepnjng bb ini, I menytkn

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)

Lebih terperinci

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL

12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)

Lebih terperinci

BAGIAN KETIGA. Integral, Barisan Fungsi, Pertukaran Limit dan Integral

BAGIAN KETIGA. Integral, Barisan Fungsi, Pertukaran Limit dan Integral BAGIAN KETIGA Integrl, Brisn Fungsi, Pertukrn Limit dn Integrl 101 102 Hendr Gunwn Pengntr Anlisis Rel 103 12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung)

Lebih terperinci

6. Himpunan Fungsi Ortogonal

6. Himpunan Fungsi Ortogonal 6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn

Lebih terperinci

7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.

7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }. 7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f

Lebih terperinci

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret BAGIAN PERTAMA Bilngn Rel, Brisn, Deret 1 2 Hendr Gunwn Pengntr Anlisis Rel 3 0. BILANGAN REAL 0.1 Bilngn Rel sebgi Bentuk Desiml Dlm buku ini pembc disumsikn telh mengenl dengn cukup bik bilngn sli, bilngn

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 30 Oktober 2013

Hendra Gunawan. 30 Oktober 2013 MA MATEMATIKA A Hendr Gunwn Semester I, 2/24 Oktoer 2 Ltihn. Fungsi g =,, terintegrlkn pd [, ]. Nytkn integrl tentu g pd [, ] segi limit jumlh Riemnn dengn prtisi reguler, dn hitunglh niliny. //2 c Hendr

Lebih terperinci

INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45

INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45 INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6

Lebih terperinci

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII

Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl

Lebih terperinci

BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN

BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:

Lebih terperinci

Integral Kompleks (Bagian Kesatu)

Integral Kompleks (Bagian Kesatu) Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl

Lebih terperinci

PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.

PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1. PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn

Lebih terperinci

VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang

VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung

Lebih terperinci

INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.

INTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L. INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl

Lebih terperinci

CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a

CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu

Lebih terperinci

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt

Lebih terperinci

1 Sifat Penambahan Selang

1 Sifat Penambahan Selang BAB : INTEGRAL TOPIK: Sift-sift Integrl Tentu Kometensi yng iukur lh kemmun mhsisw menyelesikn integrl tentu engn menggunkn sift-sift integrl tentu. Sift Penmbhn Selng. UAS Klkulus, Semester Penek 4 no.

Lebih terperinci

INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:

INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut: INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh

Lebih terperinci

FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan

FUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan 2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,

Lebih terperinci

Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri

Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn

Lebih terperinci

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar . LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn

Lebih terperinci

GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR

GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR GEOMETRI PADA BIDANG: VEKTOR A. Kurv Bidng: Representsi Prmetrik Sutu kurv bidng ditentukn oleh sepsng persmn prmetrik: x f () t, y f () t t dlm intervl I dengn f dn g kontinu pd intervl I. Secr umum,

Lebih terperinci

Teorema Dasar Integral Garis

Teorema Dasar Integral Garis ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti

Lebih terperinci

r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.

r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat. Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma

matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn

Lebih terperinci

LIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a.

LIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a. DEFINISI Notsi dibc tu berrti bhw IMIT FUNGSI it bil mendekti sm dengn mendekti bil mendekti nili dpt dibut sedekt mungkin dengn bil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn. Perhtikn bhw dlm deinisi tersebut

Lebih terperinci

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.

Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A. Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu

Lebih terperinci

Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah

Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah 13. INTEGRAL RIEMANN 13.1 Jumlh Riem Ats d Jumlh Riem Bwh Pd Bb 12 kit megsumsik bhw f kotiu pd [, b] d medefiisik itegrl b f(x) dx sebgi supremum dri himpu semu jumlh lus derh persegi-pjg kecil di bwh

Lebih terperinci

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp

Lebih terperinci

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b 1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,

Lebih terperinci

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN

3. LIMIT DAN KEKONTINUAN . LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti

Lebih terperinci

Matematika SMA (Program Studi IPA)

Matematika SMA (Program Studi IPA) Smrt Solution UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2013/2014 Disusun Sesui Indiktor Kisi-Kisi UN 2013 Mtemtik SMA (Progrm Studi IPA) Disusun oleh : Pk Anng - Blogspot Pge 1 of 13 5. 2. Menyelesikn sol pliksi

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA MATEMATIKA A Hendr Gunwn Semester II, 6/7 Februri 7 Kulih yng Llu 8. Bentuk Tk Tentu Tipe / Menghitung limit bentuk tk tentu / dengn menggunkn Aturn l Hopitl 8. Bentuk Tk Tentu Linny Menghitung bentuk

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)

BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R) BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis

Lebih terperinci

LIMIT DAN KONTINUITAS

LIMIT DAN KONTINUITAS LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti

Lebih terperinci

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1 Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr

Lebih terperinci

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.

DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0. DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn

Lebih terperinci

(1) Pertemuan I: Fungsi bernilai kompleks, lintasan, dan integral lintasan. (2) Pertemuan II: Antiderivatif dan Teorema Cauchy-Goursat.

(1) Pertemuan I: Fungsi bernilai kompleks, lintasan, dan integral lintasan. (2) Pertemuan II: Antiderivatif dan Teorema Cauchy-Goursat. Bb 4 Integrl Bb 4 ini direncnkn kn dismpikn dlm 4 kli pertemun, dengn perincin sebgi berikut: (1) Pertemun I: Fungsi bernili kompleks, lintsn, dn integrl lintsn. (2) Pertemun II: Antiderivtif dn Teorem

Lebih terperinci

PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL

PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()

Lebih terperinci

TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI

TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU. x x x

INTEGRAL TAK TENTU. x x x INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh

Lebih terperinci

BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)

BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1) BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,

Lebih terperinci

MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI

MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,

Lebih terperinci

III. LIMIT DAN KEKONTINUAN

III. LIMIT DAN KEKONTINUAN KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi

Lebih terperinci

TINGKAT SMA KOMET 2018 SE-JAWA TIMUR

TINGKAT SMA KOMET 2018 SE-JAWA TIMUR . Dlm cr jln seht yng didkn oleh HIMATIKA menyedikn kupon hdih. Kode-kode kupon tersebut disusun dri ngkngk,,, 6, 8. Nomor dri kupon-kupon tersebut disusun berdsrkn kodeny muli dri yng terkecil smpi dengn

Lebih terperinci

APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan

APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan APLIKASI INTEGRAL APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL Lus derh kelengkungn PENERAPAN INTEGRAL Indiktor 1 Indiktor 9 Lus derh di bwh kurv berdsr prinsip Riemn Volume bend putr, jik kurv diputr mengelilingi

Lebih terperinci

KALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya

KALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya KALKULUS I Dr. Wurnsri Muhrini Kusumwinhu Progrm Srjn Mtemtik Universits Brwij Deinisi: Mislkn A dn B dlh himpunn tk kosong. Fungsi dri A ke B dlh sutu ATURAN ng MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di A dengn tept

Lebih terperinci

CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS

CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...

Lebih terperinci

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:

1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini: ) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut

Lebih terperinci

Deret Fourier. (Pertemuan X) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Deret Fourier. (Pertemuan X) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 47 Mtemtik III Deret Fourier (Pertemun X) Dr. AZ Jurusn Teknik Sipil Fkults Teknik Universits Brwijy Pendhulun Deret Fourier ditemukn oleh ilmun Perncis, Jen Bptiste Joseph Fourier (768-83) yng menytkn

Lebih terperinci

3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi

3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi

Lebih terperinci

BABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO

BABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO . Jwbn : C 8 3 8 6 3 3 3 6 BABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO. Jwbn : C Tig bilngn prim pertm yng lebih besr dri 0 dlh 3, 9, dn 6. Mk 3 + 9 + 6 = 73. Jdi, jumlh tig bilngn

Lebih terperinci

Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia

Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Rumus Lus Derh Segi Empt Sembrng? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusn Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Kit bisny lebih menyuki brng yng siftny serb gun dn efektif, stu brng untuk berbgi jenis keperlun.

Lebih terperinci

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic

Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik Drpublic BAB 8 Fungsi Logritm turl, Eksponensil, Hiperbolik 8.. Fungsi Logrithm turl. Definisi. Logritm nturl dlh logritm dengn menggunkn bsis bilngn e. Bilngn

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendr Gunwn Semester II 2016/2017 31 Mret 2017 Kulih yng Llu 12.1 Fungsi du tu leih peuh 12.2 Turunn Prsil 12.3 Limit dn Kekontinun 12.4 Turunn ungsi du peuh 12.5 Turunn errh dn grdien

Lebih terperinci

(c) lim. (d) lim. (f) lim

(c) lim. (d) lim. (f) lim FMIPA - ITB. MA Mtemtik A Semester, 6-7. Pernytn enr dn slh. () ()! e Solusi. Benr. Fungsi eksonensil (enyeut) memesr leih cet drid fungsi olinom (emilng) sehingg emginny menghsilkn nili Dengn Hoitl s

Lebih terperinci

MATEMATIKA DASAR. 1. Jika x 1 dan x 2 adalah penyelesaian. persamaan Diketahui x 1 dan x 2 akar-akar persamaan 6x 2 5x + 2m 5 = 0.

MATEMATIKA DASAR. 1. Jika x 1 dan x 2 adalah penyelesaian. persamaan Diketahui x 1 dan x 2 akar-akar persamaan 6x 2 5x + 2m 5 = 0. MATEMATIKA ASAR. Jik dn dlh penyelesin persmn mk ( ).. E. B 7 6 6 + - ( + ) ( ). ( ) ( ) 7. Jik dn y b dengn, y > + y, mk. + y + b log b. + b log b b E. + log b E log dn y log b + y + y log + log b log

Lebih terperinci

7. APLIKASI INTEGRAL

7. APLIKASI INTEGRAL 7. APLIKASI INTEGRAL 7. Menghitung Lus Derh.Mislkn derh D (, ), f ( ) D f() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi f() ls(ler) A f ( ). Lus

Lebih terperinci

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan

LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri

matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,

Lebih terperinci

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 2 April 2014

Hendra Gunawan. 2 April 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendr Gunwn Semester II 2013/2014 2 April 2014 Kulih ng Llu 12.1 Fungsi du tu leih peuh 12.2 Turunn Prsil 12.3 Limit dn Kekontinun 12.4 Turunn ungsi du peuh 12.5 Turunn errh dn grdien

Lebih terperinci

RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA

RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA RUMUS HERON DAN RUMUS BRAHMAGUPTA Sumrdyono, M.Pd. Topik lus bngun dtr telh dipeljri sejk di Sekolh Dsr hingg SMA. Bil di SD, dipeljri lus segitig dn beberp bngun segiempt mk di SMP dipeljri lebih lnjut

Lebih terperinci

matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s

matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn

Lebih terperinci

INTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018

INTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018 Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep

Lebih terperinci

TEORI DEFINITE INTEGRAL

TEORI DEFINITE INTEGRAL definite integrl & lus yog.prihstomo TEORI DEFINITE INTEGRAL Definisi : Jik y = f(x) dlh fungsi kontinu dn terdefinisi dlm intervl tertutup [,] sehingg lim n n i= f ( xi). Δxi d (mempunyi nili), mk definite

Lebih terperinci

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com

VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti

Lebih terperinci

MATEMATIKA IPA PAKET A KUNCI JAWABAN

MATEMATIKA IPA PAKET A KUNCI JAWABAN MATEMATIKA IPA PAKET A KUNCI JAWABAN. Jwbn : A Mislkn : p : Msyrkt membung smph pd temptny. q: Kesehtn msyrkt terjg. Diperoleh: Premis : ~q ~p p q Premis : p Kesimpuln : q Jdi, kesimpuln dri premis-premis

Lebih terperinci

Matematika SKALU Tahun 1978

Matematika SKALU Tahun 1978 Mtemtik SKALU Thun 978 MA-78-0 Persmn c + b + = 0, mempunyi kr-kr dn, mk berlku A. + = b B. + = c C. = c = c = c MA-78-0 Akr dri persmn 5 - = 7 + dlh A. B. C. 4 5 MA-78-0 Hrg dri log b. b log c. c log

Lebih terperinci

Matriks. Pengertian. Lambang Matrik

Matriks. Pengertian. Lambang Matrik triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn

Lebih terperinci

APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan

APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL. Luas daerah kelengkungan APLIKASI INTEGRAL APLIKASI INTEGRAL PENERAPAN INTEGRAL Lus derh kelengkungn Integrl digunkn pd design Menr Petrons di Kul lumpur, untuk perhitungn kekutn menr. Sdne Oper House di design berdsrkn irisn-irisn

Lebih terperinci

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN

PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN www.sip-osn.blogspot.com @Mret 0 PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 0 TINGKAT KABUPATEN. B. x ( x ) ( x + )( x ) ( x ( ) )( x ) ( x + )( x )( x + )( x ) (d fktor) Tidk d penjelsn tentng fktor hrus bilngn

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linear Bagian 1

Sistem Persamaan Linear Bagian 1 Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr

Lebih terperinci

1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai

1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai Contents 1 TEORI KETERBAGIAN 2 1.1 Algoritm Pembgin.............................. 3 1.2 Pembgi persekutun terbesr.......................... 6 1.3 Algoritm Euclid................................. 10 1.4

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 15 November 2013

Hendra Gunawan. 15 November 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendr Gunwn Semester I, 2013/2014 15 Novemer 2013 Ltihn 1. Pnjng lmi sutu pegs dlh 0.08 m. Gy seesr 0.6 N diperlukn untuk menekn dn menhnny pd pnjng 0.07 m. Tentukn kerjyng dilkukn

Lebih terperinci

SIMAK UI 2011 Matematika Dasar

SIMAK UI 2011 Matematika Dasar SIMAK UI 0 Mtemtik Dsr Kode Sol Doc. Nme: SIMAKUI0MATDAS999 Version: 0-0 hlmn 0. Sebuh segitig sm kki mempunyi ls 0 cm dn tinggi 5 cm. Jik dlm segitig tersebut dibut persegi pnjng dengn ls terletk pd ls

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 6 Pengintegralan Numerik

PAM 252 Metode Numerik Bab 6 Pengintegralan Numerik PAM 252 Metode Numerik Bb 6 Pengintegrln Numerik Mhdhivn Syfwn Jurusn Mtemtik FMIPA Universits Andls Semester Genp 2013/2014 1 Mhdhivn Syfwn Metode Numerik: Pengintegrln Numerik Motivsi Pendhulun Motivsi

Lebih terperinci

FISIKA BESARAN VEKTOR

FISIKA BESARAN VEKTOR K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.

Lebih terperinci

(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X])

(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X]) DADU SICHERMAN (Sutu Apliksi dri Fktorissi Tunggl Pd Z[X]) Elh Nurlelh Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Pendidikn Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Pendidikn Indonesi *) ABSTRACT An interesting ppliction

Lebih terperinci

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi: INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi

Lebih terperinci

POSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial

POSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial POSET ( Prtilly Ordered Set ) Himpunn Terurut Prsil Definisi Sutu relsi biner dinmkn sebgi sutu relsi pengurutn tk lengkp tu relsi pengurutn prsil ( prtil ordering reltion ) jik i bersift reflexive, ntisymmetric,

Lebih terperinci

Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)

Aljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor) Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn

Lebih terperinci

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN

TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGSI TERINTEGRAL RIEMANN Teorem Kekonvergenn Fungsi Terintegrl Riemnn ( Frikhin ) TEOREMA KEKONVERGENAN FUNGI TERINTEGRAL RIEMANN Frikhin Jurusn Mtemtik FMIPA Undip Astrk Teorem kekonvergenn merupkn gin yng penting dlm mempeljri

Lebih terperinci

Minggu ke 6 LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS) 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001,, 2 + 1/10 n maka :

Minggu ke 6 LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS) 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001,, 2 + 1/10 n maka : Minggu ke 6 Modul Mtemtik LIMIT FUNGSI LIMITS OF FINCTIONS). BRISN SEQUENCES) VS. LIMIT FUNGSI LIMITS OF FUNCTIONS) Contoh : Sequence : fn) = + / n,,,,,,,,, + / n mk : Limit dri fungsi f) =, dimn vribel

Lebih terperinci

Integral Agus Yodi Gunawan

Integral Agus Yodi Gunawan Integrl Agus Yodi Gunwn Teknik pengintegrln.. Metode substitusi pd integrl tk tentu. Mislkn g() sutu fungsi yng terdiferensilkn. Mislkn pul F () merupkn ntiturunn dri fungsi f(). Jik u = g(), mk f(g())g

Lebih terperinci

4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu

4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin

Lebih terperinci

A x = b apakah solusi x

A x = b apakah solusi x MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.

Lebih terperinci

5. Bangun Geometris. Sudaryatno Sudirham

5. Bangun Geometris. Sudaryatno Sudirham 5.. Persmn Kurv 5. Bngun Geometris Sudrtno Sudirhm Persmn sutu kurv secr umum dpt kit tuliskn sebgi F (, ) = 0 (5.) Persmn ini menentukn tempt kedudukn titik-titik ng memenuhi persmn tersebut. Jdi setip

Lebih terperinci

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )

E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunn dn Integrl Tk Tentu Persmn Diferensil Sederhn Notsi Sigm dn Lus Derh di Bwh Kurv Integrl Tentu Teorem Dsr Klkulus Sift-sift Integrl Tentu Leih Lnjut Sustitusi dlm Penghitungn

Lebih terperinci

PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER 2010

PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER 2010 PNYLSAIAN SOAL UJIAN TNGAH SMSTR SOAL A Pengolhn dt nnul series curh hujn hrin mximum, H mm, di sutu stsiun ARR menunjukkn bhw sebrn probbilits sutu besrn curh hujn, p H (h), dpt dinytkn dengn sutu ungsi

Lebih terperinci