1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai
|
|
- Deddy Budiono
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Contents 1 TEORI KETERBAGIAN Algoritm Pembgin Pembgi persekutun terbesr Algoritm Euclid Keliptn persekutun terkecil
2 Bilngn 0 dn 1 dlh du bilngn dsr yng digunkn dlm sistem bilngn rel. Dengn du opersi + dn x mk bilngn-bilngn linny didenisikn. Himpunn bilngn sli (nturl number) N didenisikn sebgi n N n := } {{ + 1 }. n suku Jdi himpunn bilngn sli dpt disjikn secr eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunn bilngn bult Z didenisikn sebgi Z := N {0}N dimn N := { n : n N }. Jdi himpunn bilngn bult dpt ditulis secr eksplisit Z = {, 2, 1, 0, 1, 2, }. Selnjutny bilngn rsionl Q didenisikn sebgi { } Q := b :, b Z, b 0. Bilngn rel yng bukn bilngn rsionl disebut bilngn irrsionl. Slh stu bilngn irrsionl yng sngt dikenl dlh 2. Berdsrkn beberp denisi tersebut mk kit dpt menyjikn komposisi himpunn bilngn rel dlm bentuk digrm venn berikut. Figure 1.1: Komposisi bilngn rel Teori bilngn dlh cbng ilmu mtemtik yng mempeljri sift-sift keterbgin bilngn bult, khususny himpunn bilngn sli. Himpunn bilngn sli memiliki keunikn tersendiri kren i terdenisi secr lmi. Ini lsn bgi mtemtikwn Leopold Kronecker mengtkn bhw God creted the nturl numbers, nd ll the rest is the work of mn." 2
3 1.1 Algoritm Pembgin Algoritm ini merupkn btu pijkn pertm dlm mempeljri teori bilngn. I disjikn dlm bentuk teorem berikut. Theorem 1.1. Jik diberikn bilngn bult dn b, dengn b > 0 mk sellu terdpt dengn tunggl bilngn bult q dn r yng memenuhi = qb + r, 0 r < b. (1.1) Exmple 1.1. Bil = 9 dn b = 4 mk diperoleh 9 = (2)(4) + 1, jdi diperoleh q = 2 dn r = 1. Bil = 9 dn b = 4 mk 9 = ( 3)(4) + 3, jdi diperoleh q = 3 dn r = 3. Pd persmn (1.2), bilngn q disebut hsil bgi dn r disebut sis tu residu. Ingt sis r sellu kurng dri b. Proof. Untuk membuktikn teorem ini digunkn prinsip urutn bik (well-ordering property ) yng mengtkn bhw setip himpunn tkkosong dri N sellu memut nggot terkecil. Kit bngun sutu himpunn S dengn S := { nb n Z} = {, ± b, ± 2b, }. Dengn mengmbil n := mk diperoleh t := ( )(b) = + b > 0 sehingg dpt dipstikn t N S. Dengn demikin kit peroleh bhw N S merupkn himpunn bgin tkkosong dri N. Oleh kren itu i memiliki nggot terkecil, ktkn r N S yng mempunyi bentuk r = qb 0 untuk sutu q Z. Jdi = qb + r dengn r 0. Selnjutny dibuktikn r < b gr persmn (1.2) dipenuhi. Andikn r b. Ambil r 1 S N dengn r 1 = (q + 1)b = r b < r. Fkt ini kontrdiksi dengn pernytn r nggot terkecil pd S N. Terbuktilh 0 r < b. Selnjutny, ditunjukkn bhw q dn r ini tunggl. Andikn d q 1 dn r 1 yng bersift seperti ini mk diperoleh = qb + r = q 1 b + r 1, 0 r, r 1 < b. Dpt ditulis r r 1 = (q 1 q)b. Dpt disimpulkn bhw q = q 1, sebb bil tidk yitu q q 1 mk selisih mgnitudny q q 1 1, sehingg r 1 r = q q 1 b b. Hl ini tidklh mungkin kren kedu r dn r 1 bilngn tk negtif yng terletk di kiri b. Jdi disimpulkn q = q 1. Akibtny diperoleh r = r 1. Bil semu rus pd persmn (1.2) dibgi dengn b mk diperoleh b = q + r b, tu q = b r b dengn 0 r b < 1. Ini menujukkn bhw q = b yitu pembultn ke bwh (ooring) b. Dengn menggunkn bentuk ini kit dpt menentukn hsil bgi dengn mudh. Mislny = 27 dn 3
4 b = 12 mk q = = = 3. Sis r mudh diperoleh, yitu r = qb = 27 ( 3)(12) = = 9. Pd Teorem (1.1) disyrtkn bhw b > 0. Sesungguhny Teorem ini dpt diperlus jug untuk b < 0 seperti diungkpkn pd teorem berikut. Theorem 1.2. Jik diberikn bilngn bult dn b, dengn b 0 mk sellu terdpt dengn tunggl bilngn bult q dn r yng memenuhi = qb + r, 0 r < b. (1.2) Proof. Untuk b > 0 berlku b = b sehingg persmn (1.1) dipenuhi lngsung oleh persmn (1.2). Untuk b < 0, mbil b sebgi penggnti b pd Teorem (1.1). Jdi terdpt q dn r sehingg = q b + r, 0 r < b. Selnjutny dengn mengmbil q = q dn kren b = b mk persmn terkhir ini menjdi = q b + r = q( b) + r = qb + r, 0 r < b. Diperhtikn untuk b < 0 berlku b b = 1. Dengn membgi persmn terkhir dengn b diperoleh b = q + r b tu q = b r b, 0 r b > 1, yitu q = b pembultn ke ts (ceiling) dri b. Exmple 1.2. Tentukn hsil bgi dn sisny jik 1, -2, 61 dn -59 dibgi oleh -7. Penyelesin. Dikethui b = 7 < 0. Untuk = 1 diperoleh q = 1 7 = 0 dn r = qb = 1 0 = 1. Periks bhw 1 = (0)( 7) + 1. Untuk = 2 diperoleh q = 2 7 = 2 7 = 1 dn r = 2 (1)( 7) = 5. Untuk = 61 diperoleh q = 61 7 = = 8 dn r = 61 ( 8)( 7) = 5. Untuk = 59 diperoleh q = = = 9 dn r = 59 (9)( 7) = Berikut diberikn beberp contoh sol pembuktin sebgi penerpn lngsung dri lgoritm pembgin. Exmple 1.3. Untuk setip bilngn bult, buktikn ( 2 + 2)/3 merupkn bilngn bult. 4
5 Penyelesin. Ambil b = 3. Dengn lgoritm pembgin mk terdpt q dn r sehingg = 3q + r, dimn r = 0, 1 tu 2. Untuk r = 0, substitusi = 3q ke dlm ( 2 + 2)/3 diperoleh 3q(9q 2 + 2)/3 = q(9q 2 + 2) yng merupkn bilngn bult. Untuk r = 1,substitusi = 3q + 1 ke dlm ( 2 + 2)/3 diperoleh (3q + 1)(9q 2 + 6q )/3 = (3q + 1)3(3q 2 + 2q + 1)/3 = (3q + 1)(3q 2 + 2q + 1) yng merupkn bilngn bult. Untuk r = 2, substitusi = 3q + 2 ke dlm ( 2 + 2)/3 diperoleh (3q + 2)(9q q )/3 = (3q + 2)3(3q 2 + 4q + 2)/3 = (3q + 2)(3q 2 + 4q + 2) yng jug merupkn bilngn bult. Untuk lebih meykinkn, cob periks untuk beberp nili = 1, 0, 1, 2, 3. Exmple 1.4. Buktikn! bilngn kudrt bil dibgi 4 sellu memberikn sis 0 tu 1. Penyelesin. Untuk bilngn bult sebrng, mbil b = 4. Terdpt q dn r sehingg = 4q + r dengn r = 0, 1, 2, 3. Selnjutny kit meliht bentuk n := 2. Untuk r = 0 diperoleh n = 4(4q 2 ) memberikn sis 0. Untuk r = 1 diperoleh n = 16q 2 + 8q + 1 = 4(4q 2 + 2q) + 1 memberikn sis 1. Untuk r = 2 diperoleh n = 16q 2 +16q +4 = 4(4q 2 +4q +4) memberikn sis 0. Terkhir, untuk r = 3 diperoleh n = 16q 2 +24q +9 = 4(4q 2 +6q +2)+1 memberikn sis 1. Jdi semu ksus memberikn sis 0 tu 1. Dengn menggunkn hsil ini kit dpt memhmi contoh sol berikut. Exmple 1.5. Tunjukkn bhw bilngn yng berbentuk 11, 111, 1111, 11111, tidk pernh merupkn kudrt sempurn. Penyelesin. Diperhtikn pol berikut 11 = = = = Jdi dpt ditulis = Kren bilngn sellu hbis dibgi 4 mk sesungguhny bilngn-bilngn tersebut mempunyi bentuk 4k + 3. Dengn kt lin merek sellu memberikn sis 3 jik dibgi 4. Pdhl bilngn kudrt sellu memberikn sis 0 tu 1 jik dibgi 4. Jdi bilngn-bilngn tersebut tidk mungkin merupkn bilngn kudrt. 5
6 1.2 Pembgi persekutun terbesr Sutu kedn khusus pd lgoritm pembgin ketik sis r = 0. ktkn hbis membgi b. Dlm ksus ini kit Denition 1.1. Sebuh bilngn bult b diktkn terbgi tu hbis dibgi oleh bilngn bult 0 jik terdpt bilngn bult c sehingg b = c, ditulis b. Notsi b digunkn untuk menytkn b tidk hbis terbgi oleh. Jdi 12 terbgi oleh 4 sebb 12 = (4)(3), tetpi 10 tidk terbgi oleh 3 sebb tidk d bilngn bult c sehingg 10 = 3c. Dlm ksus ini ditulis 4 12 dn Istilh lin untuk b: fktor dri b, pembgi b tu b keliptn dri. Bil pembgi b mk jug pembgi b, sehingg pembgi sutu bilngn sellu terjdi berpsngn. Jdi dlm menentukn semu fktor dri sutu bilngn bult cukup ditentukn fktor-fktor positifny sj, kemudin tinggl menggbungkn. Fkt sederhn yng diturunkn lngsung dri denisi dlh sebgi berikut. 0, 1, untuk setip Z. Theorem 1.3. Untuk setip, b, c Z berlku pernytn berikut 1. 1 bil hny bil = ±1 2. Jik b dn c d mk c bd 3. Jik b dn b c mk c 4. b dn b bil hny bil = ±b 5. Bil b dn b 0 mk < b 6. Bil b dn c mk (bx + cy) untuk sebrng bilngn bult x dn y. Bukti. Untuk pernytn 1 dibuktikn sebgi berikut. Untuk = ±1 1 jels. Seblikny, dikethui 1 berrti d k Z sehing 1 = k. Persmn ini hny dipebuhi oleh du kemungkinn berikut: k = 1, = 1 tu k = 1, = 1. Jdi berlku 1 = ±1. Pd pernytn 2, dikethui b dn c d yitu d k 1, k 2 Z sehingg b = k 1 dn d = k 2 c. Kedu persmn ini diklikn diperoleh yitu c bd. bd = (k 1 k 2 )c, Pd pernytn 3, dikethui b dn b c yitu d k 1, k 2 Z sehingg b = k 1 dn c = k 2 b. Substitusi, diperoleh c = k 2 b = k 2 (k 1 ) = (k 1 k 2 ). Untuk pernytn 4, dikethui = k 1 b dn b = k 2. Kedu persmn diklikn, diperoleh b = (k 1 k 2 )(b). Diperolehk 1 k 2 = 1, ykni k 1 = k 2 = 1 tu k 1 = k 2 = 1. Terbukti = ±b. 6
7 Pd pernytn 5 kit mempunyi b = c untuk sutu c Z. Dimbil nili mutlkny b = c = c. Kren b 0 mk c 1, sebb bil tidk seperti ini mk c = 0 yng mengkibtkn b = 0 (kontrdiksi). Kren itu diperoleh b = c. Untuk pernytn terkhir, kit mempunyi relsi b = k 1 dn c = k 2. x, y Z berlku bx + cy = k 1 x + k 2 y = (k 1 x + k 2 y) yng berrti (bx + cy). Untuk sebrng Item 6 Teorem ini dpt diperlus menjdi bnyk berhingg, yitu jik b k, k = 1,, n mk (b 1 x 1 + b 2 x b n x n untuk setip bilngn bult x 1, x 2,, x n. Selnjutny kit bhs pengertin fktor persekutun terbesr. Denition 1.2. Mislkn dn b du bilngn bult dengn miniml slh stuny tidk nol. Fktor persekutun terbesr (FPB) tu gretest common divisor (gcd) dri dn b dlh bilngn bult d yng memenuhi 1. d dn d b 2. Jik c dn c b mk c d Pd denisi ini, kondisi 1 menytkn bhw d dlh fktor persekutun dn kondisi 2 menytkn bhw d dlh fktor persekutun terkecil dintr semu fktor persekutun yng d. Selnjutny jik d fktor persekutun terbesr dri dn b kn ditulis d = gcd(, b). Exmple 1.6. Fktor positif dri 12 dlh 1, 2, 3, 4, 6, 12, sedngkn fktor dri 30 dlh 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Jdi fktor persekutunny dlh 1, 2, 3, 6. Kren itu disimpulkn gcd(12, 30) = 6. Berdsrkn denisi FPB sesungguhny kit cukup mengsumsikn bhw dn b positif, sebb berlku gcd(, b) = gcd(, b) = gcd(, b) = gcd(, b). Theorem 1.4. Jik dn b du bilngn bult yng keduny tknol mk terdpt bilngn bult x dn y sehingg gcd(, b) = x + by. (1.3) Persmn (1.3) disebut dengn identits Bezout. Sebelum dibuktikn, diperhtikn ilustrsi berikut gcd( 12, 30) = 6 = ( 12) gcd( 8, 36) = 4 = ( 8)4 + ( 36)( 1). 7
8 Identits Bezout menytkn bhw d = gcd(, b) dpt disjikn dlm bentuk kombinsi linier ts dn b. Pd Teorem ini keberdn x dn y tidk tunggl. Proof. Bentuk S himpunn semu kombinsi linier positif dri dn b sebgi berikut S = { u + bv u + bv 1, u, v Z } Perhtikn jik 0 mk = u + b 0 S, yitu dengn mengmbil u = 1 bil positif tu u = 1 bil negtif. Jdi himpunn S tkkosong. Menurut sift urutn bik, S terjmin memiliki nggot terkecil ktkn sj d. Selnjutny, dibuktikn d = gcd(, b). Kren d S mk terdpt x, y Z sehingg d = x + by. Terpkn lgoritm pembgin pd dn d mk terdpt q dn r sehingg = qd+r, 0 r < d. Selnjutny ditunjukkn r = 0. Bil ini oke mk d. Andi r > 0 mk dpt ditulis 0 < r = qd = q(x + by) = (1 qx) + b( qy) S. Fkt r S dn syrt r < d bertentngn dengn pernytn bhw d elemen terkecil S sehingg disimpulkn r = 0 tu d. Argumen yng sm dpt dipki dengn menerpkn lgoritm pembgin pd b dn d untuk menunjukkn bhw d b. Dengn demikin terbukti bhw d dlh fktor persekutun dri dn b. Selnjutny ditunjukkn fktor persekutun ini dl yng terbesr. Mislkn c bult positif dengn c dn c b, mk berdsrkn Teorem (1.3)(6) mk c x + b yitu c d. Dengn Teorem (1.3)(5) diperoleh c = c d = d. Terbukti bhw d = gcd(, b). Corollry 1.1. Bil dn b du bilngn bult yng keduny tidk nol mk himpunn T = {x + by x, y Z} merupkn himpunn semu keliptn dri d = gcd(, b). Proof. Kren d dn d b mk d (x + by) untuk setip x, y Z. Jdi setip elemen T merupkn keliptn d. Seblikny, dpt ditulis d = x 0 + by 0 untuk sutu x 0, y 0 Z. Perhtikn keliptn dri d, yitu nd = n(x 0 + by 0 ) = (nx 0 ) + b(y 0 ) T. Ini berrti setip keliptn d merupkn elemen T. Denition 1.3. Du bilngn dn b (keduny tidk nol) diktkn prim reltif jik gcd(, b) = 1. Bilngn 3 dn 5, -9 dn 16, -27 dn -35 dlh beberp psngn bilngn prim reltif. Theorem 1.5. Bilngn dn b prim reltif bil hny bil terdpt bult x, y sehingg x + by = 1. 8
9 Proof. Kren dn b prim reltif mk gcd(, b) = 1. Identits Bezout menjmin dny bult x, y sehingg 1 = x + by. Seblikny mislkn d bult x + by = 1. Dibuktikn gcd(, b) = d = 1. Kren d dn d b mk d (x+by = 1), jdi d 1. Kren itu disimpulkn d = 1. Bil d = gcd(, b) dn setip dn b dibgi dengn d mk gcd ( d, d) b = 1. Pd penyederhnn pechn b bislh dilkukn dengn membgi kedu bilngn dn b dengn FPBny. Mislny 8 12 disederhnkn menjdi 2 3. Dlm hl ini kit mempunyi gcd(8, 12) = 4 gcd(2, 3) = 1. Teorem berikut memberikn sift keterbgin yng melibtkn du bilngn prim reltif. Theorem 1.6. Dikethui gcd(, b) = 1. Mk berlku pernytn berikut. 1. Jik c dn b c mk b c. 2. Jik bc mk c. Proof. Untuk pernytn 1, terdpt bilngn bult r dn s sehingg c = r = bs. Kren dikethui gcd(, b) = 1 mk dpt ditulis 1 = x + by untuk sutu bilngn bult x, y. Diperoleh c = c 1 = c(x + by) = cx + bcy = (bs)x + b(r)y = b(sx + ry), yitu b c. Untuk pernytn 2, dpt ditulis c = c 1 = c(x + by) = cx + bcy. Kren fktny c dn dikethui bc mk (cx + bcy), yitu terbukti c. Exmple 1.7. Untuk sebrng bilngn bult, buktikn slh stu dri, + 2, + 4 hbis dibgi oleh 3. Penyelesin. Cr pertm dengn menggunkn lgoritm pembgin. Ambil dn 3, mk d q dn r sehingg = 3q + r, r = 0, 1, 2. Bil r = 0 mk = 3q yitu 3. Bil r = 1 mk yitu 3 ( + 2). Bil r = 2 mk yitu 3 ( + 4). = 3q = 3q = 3(q + 1), = 3q = 3q = 3(q + 2), 9
10 Contoh berikut membuktikn bhw perklin du bilngn bult berurutn sellu hbis dibgi 2. Exmple 1.8. Untuk setip bilngn bult, buktikn 2 ( + 1). Penyelesin. Msih menggunkn lgoritm pembgin dengn mengmbil b = 2. Terdpt q Z sehingg = 2q + r dimn r = 0, 1. Untuk r = 0 jels = 2q hbis dibgi 2 sehingg (+1) jug hbis dibgi 2. Untuk k = 1, (+1) = (2q+1)(2q+2) = (2q+1)(q+1)2 jels hbis dibgi 2. Cr lin pembuktin dpt dengn memberikn rgumen logis berikut: dintr bilngn bult dn + 1 psti d slh stuny bilngn genp. Jdi 2 tu 2 ( + 1). Berdsrkn fkt ini mk dpt disimpulkn bhw 2 ( + 1). Dengn rgumen yng mirip, cob buktikn kebenrn pernytn ( + 1)( + 2). Exmple 1.9. Buktikn bhw untuk setip bult positif n dn sebrng bilngn bult mk gcd(, n + ) n. Penyelesin. Mislkn d = gcd(, + n). sehingg Menurut identits Bezout terdpt x dn y d = x + ( + n)y = (x + y) + ny = t + ny. Kren d dn d (t+ny) mk d ( t+(t+ny) = ny. Kren d ny untuk setip n bult positif mk ps d n sehingg gcd(d, n) = 1. Berdsrkn Teorem (1.6)(2) disimpulkn d n. 1.3 Algoritm Euclid Algoritm Euclid digunkn untuk menentukn FPB du bilngn besr dengn cr mereduksiny menjdi bilngn-bilngn lebih kecil. Algoritm ini bertumpu pd teorem berikut. Theorem 1.7. Jik = qb + r mk gcd(, b) = gcd(b, r). Proof. Berdsrkn Teorem (1.3)(6), setip fktor persekutun b dn r jug merupk fktor persekutun qb+r =. Kren r = qb mk fktor persekutun dn b jug merupkn fktor persekutun r. Jdi psngn bilngn, b dn b, r mempunyi fktor persekutun yng sm sehingg merek mempunyi FPB yng sm. Algoritm Euclid dpt disjikn sebgi berikut: 10
11 Mislkn dn b du bilngn yng kn ditentukn FPB ny. Kren tnd positif tu negtif bilngn dn b tidk mempengruhi nili FPB ny mk cukup disumsikn b > 0. Dengn lgoritm pembgin, diperoleh q 1 dn r 1 sehingg = q 1 b + r 1, 0 r 1 < b. Bil r 1 = 0 mk gcd(, b) = b, proses selesi. memperoleh q 2 dn r 2 yng memenuhi Bil r 1 0, bgilh b dengn r 1 untuk b = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1. Bil r 2 = 0 mk gcd(, b) = r 1, proses selesi. memperoleh q 3 dn r 3 yng memenuhi Bil r 2 0,bgilh r 1 dengn r 2 untuk r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 r 3 < r 2. Proses ini diteruskn smpi dicpi sis nol. Bil dirngkum mk kn diperoleh bentuk berikut = q 1 b + r 1, 0 < r 1 < b b = q 2 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2. r n 2 = q n r n 1 + r n, 0 < r n < r n 1 r n 1 = q n+1 r n + 0. Berdsrkn Teorem sebelumny mk diperoleh thpn berikut gcd(, b) = gcd(b, r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ) = = gcd(r n 1, r n ) = gcd(r n, 0) = r n. Exmple Hitunglh FPB dri 1492 dn Penyelesin. Terpkn lgoritm Euclid seperti dijelskn sebelumny, yitu 1492 = = = = = Sis tknol yng terkhir dlh 2 sehingg d = gcd(1492, 1066) = Keliptn persekutun terkecil 11
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Lebih terperinciCONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Lebih terperinciPROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
Lebih terperinciIntegral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
Lebih terperincimatematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Lebih terperincir x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
Lebih terperinciPOSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial
POSET ( Prtilly Ordered Set ) Himpunn Terurut Prsil Definisi Sutu relsi biner dinmkn sebgi sutu relsi pengurutn tk lengkp tu relsi pengurutn prsil ( prtil ordering reltion ) jik i bersift reflexive, ntisymmetric,
Lebih terperinciKerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Lebih terperincididefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Lebih terperinciDETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Lebih terperinciBilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )
Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).
Lebih terperinci1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Lebih terperinci7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
Lebih terperinciBab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
Lebih terperinciCHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
Lebih terperinci6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
Lebih terperinciBABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO
. Jwbn : C 8 3 8 6 3 3 3 6 BABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO. Jwbn : C Tig bilngn prim pertm yng lebih besr dri 0 dlh 3, 9, dn 6. Mk 3 + 9 + 6 = 73. Jdi, jumlh tig bilngn
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Lebih terperinciVEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
Lebih terperinciIntegral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
Lebih terperinciSUKU BANYAK ( POLINOM)
SUKU BANYAK ( POLINOM) Bb 16 Skl 8.Menyelesikn mslh yng berkitn dengn teorem sis tu teorem fktor A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk x x x... x x, dengn 0 dn n { bil. cch} 1 0 disebut dengn Suku bnyk (Polinomil)
Lebih terperinci15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
Lebih terperinciBAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Lebih terperinci12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN
www.sip-osn.blogspot.com @Mret 0 PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 0 TINGKAT KABUPATEN. B. x ( x ) ( x + )( x ) ( x ( ) )( x ) ( x + )( x )( x + )( x ) (d fktor) Tidk d penjelsn tentng fktor hrus bilngn
Lebih terperinciSuku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN
Lebih terperinciMODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
Lebih terperinci3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
Lebih terperinciLIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Lebih terperinciINTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Lebih terperinciSUKUBANYAK (POLINOMIAL)
SUKUBANYAK (POLINOMIAL) A. Bentuk Umum Sukubnyk (Polinomil) n n n b c... z n = pngkt tertinggi (derjt sukubnyk) n = koefisien 7 5 5 9 6 dlh sukubnyk berderjt 7, koefisien dlh 9, koefisien konstnt dlh 6
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a.
DEFINISI Notsi dibc tu berrti bhw IMIT FUNGSI it bil mendekti sm dengn mendekti bil mendekti nili dpt dibut sedekt mungkin dengn bil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn. Perhtikn bhw dlm deinisi tersebut
Lebih terperinci(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X])
DADU SICHERMAN (Sutu Apliksi dri Fktorissi Tunggl Pd Z[X]) Elh Nurlelh Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Pendidikn Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Pendidikn Indonesi *) ABSTRACT An interesting ppliction
Lebih terperinciRUANG VEKTOR (lanjut..)
RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field
Lebih terperinciSistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
Lebih terperinci2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1
. Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny
Lebih terperinciBAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperinciBAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
Lebih terperinciSTRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
Lebih terperinciMODUL 6. Materi Kuliah New_S1
MODUL 6 Mteri Kulih New_S1 KULIAH 10 Spnning tree dn minimum spnning tree - Definisi spnning tree T diktkn spnning tree dri grph terhubung G bil T dlh sutu tree yng vertexvertexny sm dengn vertexny G dn
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
Lebih terperinciDETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
Lebih terperinciSolusi Pengayaan Matematika Edisi 4 Januari Pekan Ke-4, 2007 Nomor Soal: 31-40
Solusi Pengn Mtemtik Edisi 4 Jnuri Pekn Ke-4, 007 Nomor Sol: -40. Diberikn persmn 8 9 4 8 007 dn b, dengn b. Angk stun dri b dlh. A. B. C. D. 7 E. 9 Persmn 8 9 4 8 8 9 4 8 9 4 8 8 8 9 8 4 8 8 8 0 0 b tu
Lebih terperinci14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN
4. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 4. Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Pd bb ini kit kn mempeljri sift-sift dsr integrl Riemnn. Sift pertm dlh sift kelinern, yng dinytkn dlm Proposisi. Sepnjng bb ini, I menytkn
Lebih terperinciFUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan
2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,
Lebih terperinciMatriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
Lebih terperinciINTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
Lebih terperinciPERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
Lebih terperinciCatatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
Lebih terperinciBAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
Lebih terperinciM A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
Lebih terperinciVEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
Lebih terperinciANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
Lebih terperinciIII. LIMIT DAN KEKONTINUAN
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift
Lebih terperinciBENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Stndr Kompetensi Memhmi dn menggunkn turn dn sift sert mnipulsi Aljr dlm pemechn mslh ng erkitn dengn entuk pngkt, kr dn logritm. Kompetensi Dsr Menggunkn sift, turn
Lebih terperinciTeorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
Lebih terperinciBILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
BILANGAN BULAT. Oprersi Hitung pd Bilngn Bult Bilngn ult (integer) memut semu ilngn cch dn lwn (negtif) ilngn sli, yitu:,, 4,,, 1, 0, 1, 2, 3, 4,, Bilngn ult disjikn dlm gris ilngn segi erikut. Bilngn
Lebih terperinciRELASI DAN FUNGSI. A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.
REASI DAN FUNGSI A. REASI Adlh hubungn ntr elemen himpunn dengn elemen himpunn yng lin. Cr pling mudh untuk menytkn hubungn ntr elemen himpunn dlh dengn himpunn psngn terurut. Himpunn psngn terurut diperoleh
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
Lebih terperinciFungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan
III FUNGSI 15 1. Definisi Fungsi Definisi 1 Mislkn dn dlh himpunn. Relsi iner f dri ke merupkn sutu fungsi jik setip elemen di dlm dihuungkn dengn tept stu elemen di dlm. Jik f dlh fungsi dri ke, mk f
Lebih terperinciA x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
Lebih terperinciTINGKAT SMA KOMET 2018 SE-JAWA TIMUR
. Dlm cr jln seht yng didkn oleh HIMATIKA menyedikn kupon hdih. Kode-kode kupon tersebut disusun dri ngkngk,,, 6, 8. Nomor dri kupon-kupon tersebut disusun berdsrkn kodeny muli dri yng terkecil smpi dengn
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Lebih terperinciBAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00
Lebih terperinciKALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya
KALKULUS I Dr. Wurnsri Muhrini Kusumwinhu Progrm Srjn Mtemtik Universits Brwij Deinisi: Mislkn A dn B dlh himpunn tk kosong. Fungsi dri A ke B dlh sutu ATURAN ng MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di A dengn tept
Lebih terperinciMENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt
Lebih terperinciRumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia
Rumus Lus Derh Segi Empt Sembrng? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusn Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Kit bisny lebih menyuki brng yng siftny serb gun dn efektif, stu brng untuk berbgi jenis keperlun.
Lebih terperinciMateri V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus,
Mteri V Tujun : 1. Mhsisw dpt mengenli determinn.. Mhsisw dpt merubh persmn linier menjdi persmn determinn.. Mhsisw menelesikn determinn ordo du. Mhsisw mmpu menelesikn determinn ordo tig. Mhsisw mengethui
Lebih terperinciVektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
Lebih terperinciBAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilngn Rel, Brisn, Deret 1 2 Hendr Gunwn Pengntr Anlisis Rel 3 0. BILANGAN REAL 0.1 Bilngn Rel sebgi Bentuk Desiml Dlm buku ini pembc disumsikn telh mengenl dengn cukup bik bilngn sli, bilngn
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
Lebih terperinciFISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
Lebih terperinciDETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I
DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn
Lebih terperinciMenerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
Lebih terperinciSIMAK UI 2011 Matematika Dasar
SIMAK UI 0 Mtemtik Dsr Kode Sol Doc. Nme: SIMAKUI0MATDAS999 Version: 0-0 hlmn 0. Sebuh segitig sm kki mempunyi ls 0 cm dn tinggi 5 cm. Jik dlm segitig tersebut dibut persegi pnjng dengn ls terletk pd ls
Lebih terperinciNFA. Teori Bahasa dan Automata. Viska Mutiawani - Informatika FMIPA Unsyiah
NFA Teori Bhs dn Automt Visk Mutiwni - Informtik FMIPA Unsyih 1 NFA NFA: Nondeterministic Finite Automt Atu Automt Hingg NonDeterministik (AHND) Slh stu bentuk dri Finite Automt NFA memiliki kemmpun untuk
Lebih terperinciAUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA
JMP : Volume Nomor Oktober 9 AUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA Eddy Mrynto Fkults Sins dn Teknik Universits Jenderl Soedirmn Purwokerto Indonesi emil: eddy_mrynto@unsoed.c.id Abstrct. A deterministic
Lebih terperincimatematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
Lebih terperinciBAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
Lebih terperinciSolusi Pengayaan Matematika
Solusi Pengn Mtemtik Edisi pril Pekn Ke-, 00 Nomor Sol: -0 Tentukn bnk psngn bilngn rel, ng memenuhi persmn ot ot Solusi: ot ot tnπ otπ π tnπ tn π π π π k π k 00 k 00 k k 00 k k 00 k k 00 k k 00 Kren k
Lebih terperinciTIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2009
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 009 Bidng Mtemtik Wktu :,5 Jm DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
Lebih terperinciF. Logaritma EKSPONEN DAN LOGARITMA 11/9/2015. Peta Konsep. F. Logaritma. Nomor W4901. Hitunglah Log 49
11/9/01 Pet Konsep Jurnl Mteri Umum Pet Konsep Pngkt Rsionl Dftr Hdir Mteri F EKSPONEN DAN LOGARITMA Kels X, Semester 1 F. ritm Pngkt Bult Positif Pngkt Nol Pngkt Bult Negtif Bentuk Akr Pngkt Pechn SolLtihn
Lebih terperinci(1) Pertemuan I: Fungsi bernilai kompleks, lintasan, dan integral lintasan. (2) Pertemuan II: Antiderivatif dan Teorema Cauchy-Goursat.
Bb 4 Integrl Bb 4 ini direncnkn kn dismpikn dlm 4 kli pertemun, dengn perincin sebgi berikut: (1) Pertemun I: Fungsi bernili kompleks, lintsn, dn integrl lintsn. (2) Pertemun II: Antiderivtif dn Teorem
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan dengan Logaritma. Persamaan & Fungsi logaritma. Pengertian Logaritma 10/9/2013
10/9/013 Penyelesin Persmn dengn Logritm Persmn & Fungsi logritm Tim Dosen Mtemtik FTP Logritm dpt digunkn untuk mencri bilngn yng belum dikethui (bilngn x) dlm sebuh persmn, khususny persmn eksponensil
Lebih terperinci