Pada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah

Transkripsi

1 13. INTEGRAL RIEMANN 13.1 Jumlh Riem Ats d Jumlh Riem Bwh Pd Bb 12 kit megsumsik bhw f kotiu pd [, b] d medefiisik itegrl b f(x) dx sebgi supremum dri himpu semu jumlh lus derh persegi-pjg kecil di bwh kurv y = f(x). Sesugguhy, kit dpt pul medefiisik itegrl b f(x) dx sebgi ifimum dri himpu semu jumlh lus derh persegi-pjg kecil di ts kurv y = f(x). Dlm hl f kotiu pd [, b], kedu defiisi tersebut k meghsilk ili yg sm. Pd bb ii, kit k memperlus defiisi itegrl utuk fugsi f : [, b] R yg terbts, sebgim yg dilkuk oleh Berhrd Riem pd Seperti pd Sub-bb 12.2, diberik sembrg prtisi P := {x 0, x 1,..., x } dri [, b], kit dpt medefiisik L(P, f) := m k (x k x k 1 ). deg m k := if f(x), k = 1, 2,...,. Pd st yg sm, kit jug dpt x k 1 x x k medefiisik U(P, f) := M k (x k x k 1 ). deg M k := sup f(x), k = 1, 2,...,. x k 1 x x k L(P, f) d U(P, f) disebut sebgi jumlh Riem bwh d jumlh Riem ts dri f yg berkit deg prtisi P. Perhtik bhw utuk sembrg prtisi P. L(P, f) U(P, f) 109

2 110 Hedr Guw Seljuty, jik P := {x 0, x 1,..., x } d Q := {y 0, y 1,..., y m } dlh prtisi dri [, b], mk Q disebut sebgi sutu perhlus dri P pbil setip titik prtisi x k P merupk titik prtisi di Q, yki P Q. Dlm hl ii, setip sub-itervl yg terkit deg prtisi P dpt diytk sebgi gbug dri beberp subitervl yg terkit deg prtisi Q, yki [x k 1, x k ] = [y i 1, y i ] [y i, y i+1 ] [y j 1, y j ]. Ctt bhw kit dpt memperoleh sutu perhlus dri sembrg prtisi P deg membhk sejumlh titik ke P. Proposisi 1. Jik Q merupk perhlus dri P, mk L(P, f) L(Q, f) d U(Q, f) U(P, f). Akibt 2. Jik P 1 d P 2 dlh du prtisi sembrg dri [, b], mk L(P 1, f) U(P 2, f). Sol Ltih 1. Buktik Proposisi 1. (Petujuk. Muli deg ksus Q = P {x } deg x / P.) 2. Buktik Akibt Itegrl Riem Seperti pd sub-bb 13.1, pd sub-bb ii kit megsumsik bhw f : [, b] R terbts. Meurut Akibt 2, himpu {L(P, f) : P prtisi dri [, b]} terbts di ts (oleh sutu jumlh Riem ts), semetr himpu {U(P, f) : P prtisi dri [, b]} terbts di bwh (oleh sutu jumlh Riem bwh). Kre itu kit dpt medefiisik L(f) := sup{l(p, f) : P prtisi dri [, b]} d U(f) := if{u(p, f) : P prtisi dri [, b]}.

3 Pegtr Alisis Rel 111 L(f) disebut sebgi itegrl Riem ts dri f, semetr U(f) disebut sebgi itegrl Riem bwh dri f. Proposisi 3. L(f) U(f). Bukti. Utuk setip prtisi P 0 dri [, b], U(P 0, f) merupk bts ts dri {L(P, f) : P prtisi dri [, b]}, sehigg L(f) = sup{l(p, f) : P prtisi dri [, b]} U(P 0, f). Kre ii berlku utuk sembrg prtisi P 0, mk L(f) merupk bts bwh dri {U(P 0, f) : P 0 prtisi dri [, b]}. Akibty sebgim yg dihrpk. sebgi L(f) if{u(p 0, f) : P 0 prtisi dri [, b]} = U(f), Secr umum, L(f) U(f). Sebgi cotoh, jik f : [0, 1] R didefiisik f(x) = mk L(f) = 0 semetr U(f) = 1. { 0, x rsiol; 1, x irsiol, Jik L(f) = U(f), mk f diktk teritegrlk Riem d ili yg sm tersebut didefiisik sebgi itegrl Riem dri f pd [, b], yg dilmbgk deg b f(x) dx. (Seperti pd Bb 12, kit defiisik f(x) dx = b b f(x) dx d f(x) dx = 0.) Sebgi cotoh, jik f berili kost pd [, b], ktk f(x) = c utuk setip x [, b], mk L(f) = U(f) = c(b ) d krey f teritegrlk Riem pd [, b] deg b f(x) dx = c(b ). Teorem berikut memberik sutu kriteri utuk keteritegrl f pd [, b]. (Utuk seljuty, teritegrlk berrti teritegrlk Riem d itegrl berrti itegrl Riem.) Teorem 6. f teritegrlk pd [, b] jik d hy jik utuk setip > 0 terdpt sutu prtisi P dri [, b] sedemiki sehigg U(P, f) L(P, f) <.

4 112 Hedr Guw Bukti. Mislk f teritegrlk pd [, b]. Ambil > 0 sembrg. Dri defiisi supremum, terdpt sutu prtisi P 1 dri [, b] sehigg L(f) 2 < L(P 1, f). Dri defiisi ifimum, terdpt pul sutu prtisi P 2 dri [, b] sehigg U(P 2, f) < U(f) 2. Sekrg mislk P = P 1 P 2. Mk P merupk perhlus dri P 1 d P 2. Akibty, L(f) 2 < L(P 1, f) L(P, f) U(P, f) U(P 2, f) < U(f) + 2. Nmu L(f) = U(f), sehigg kit peroleh U(P, f) L(P, f) <. Sebliky mislk utuk setip > 0 terdpt sutu prtisi P dri [, b] sedemiki sehigg Mk, utuk setip > 0, berlku U(P, f) L(P, f) <. 0 U(f) L(f) U(P, f) L(P, f) <. Dri sii kit simpulk bhw U(f) = L(f) tu f teritegrlk pd [, b]. Akibt 7. Mislk terdpt bris prtisi P dri [, b] sedemiki sehigg Mk f teritegrlk pd [, b] d lim [U(P, f) L(P, f)] = 0. lim L(P, f) = b f(x) dx = lim U(P, f). Sol Ltih 1. Buktik Akibt 7.

5 Pegtr Alisis Rel Mislk f(x) = x, x [0, 1], d P = {0, 1, 2,..., 1}, N. Tujukk bhw lim [U(P, f) L(P, f)] = 0, d kemudi simpulk bhw f teritegrlk pd [0, 1]. 3. Mislk fugsi f didefiisik pd [0, 1] sebgi { 0, 0 x < 1; f(x) = 1, x = 1. Buktik bhw f teritegrlk pd [0, 1] deg 1 f(x) dx = Mislk fugsi f didefiisik pd [0, 2] sebgi { 1, 0 x 1; f(x) = 2, 1 < x 2. Buktik bhw f teritegrlk pd [0, 2] deg 2 f(x) dx = Keteritegrl Fugsi Kotiu d Fugsi Mooto Sebgim disiggug pd wl bb ii, fugsi yg kotiu psti teritegrlk. Teorem 8. Jik f kotiu pd [, b], mk f teritegrlk pd [, b]. Bukti. Meurut Teorem 18 pd Bb 8, fugsi yg kotiu pd [, b] mestilh kotiu sergm pd [, b]. Kre itu, diberik > 0 sembrg, terdpt δ > 0 sedemiki sehigg utuk x, y [, b] deg x y < δ berlku f(x) f(y) < b. Seljuty, utuk tip N deg > b δ, tiju prtisi P := {x 0, x 1,..., x } deg x k = + k b, k = 0, 1,...,. (Di sii, itervl [, b] terbgi mejdi sub-itervl sm pjg.) Meurut Teorem 13 pd Bb 8, pd setip sub-itervl [x k 1, x k ], f mecpi ili mksimum M k d miimum m k, ktklh f(u k ) = M k d f(v k ) = m k.

6 114 Hedr Guw Dlm hl ii kit peroleh d kibty 0 U(P, f) L(P, f) = M k m k = f(u k ) f(v k ) < b, (M k m k )(x k x k 1 ) Dri sii kit simpulk bhw teritegrlk pd [, b]. b b =. lim [U(P, f) L(P, f)] = 0, d krey f Seli fugsi kotiu, teorem berikut meytk bhw fugsi mooto jug teritegrlk. Teorem 9. Jik f mooto pd [, b], mk f teritegrlk pd [, b]. Bukti. Tp megurgi keumum, sumsik f ik pd [, b]. Utuk tip N, tiju prtisi P := {x 0, x 1,..., x } deg x k = + k b, k = 0, 1,...,. Kre f ik pd [x k 1, x k ], mk m k = f(x k 1 ) d M k = f(x k ). Dlm hl ii kit peroleh sutu deret teleskopis (M k m k )(x k x k 1 ) = b [f(x k ) f(x k 1 )] = b [f(b) f()]. Sekrg, jik > 0 diberik, mk utuk tip N deg > b [f(b) f()] berlku 0 U(P, f) L(P, f) = (M k m k )(x k x k 1 ) <. Deg demiki f mestilh teritegrlk pd [, b]. Sol Ltih 1. Mislk f : [, b] R kotiu d f(x) 0 utuk setip x [, b]. Buktik jik L(f) = 0, mk f(x) = 0 utuk setip x [, b]. 2. Mislk f : [, b] R kotiu d, utuk setip fugsi g : [, b] R yg teritegrlk, fg teritegrlk d b f(x)g(x) dx = 0. Buktik bhw f(x) = 0 utuk setip x [, b].