BAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret

Transkripsi

1 BAGIAN PERTAMA Bilngn Rel, Brisn, Deret 1

2 2 Hendr Gunwn

3 Pengntr Anlisis Rel 3 0. BILANGAN REAL 0.1 Bilngn Rel sebgi Bentuk Desiml Dlm buku ini pembc disumsikn telh mengenl dengn cukup bik bilngn sli, bilngn bult, dn bilngn rsionl. Himpunn semu bilngn sli dilmbngkn dengn N, ykni N := {1, 2, 3,... }. Himpunn semu bilngn bult dilmbngkn dengn Z, ykni Z := {0, ±1, ±2, ±3,... }. (Tnd... di sini menytkn dn seterusny, yng mengsumsikn bhw pembc telh mengethui pol yng d.) Sementr itu, himpunn semu bilngn rsionl dilmbngkn dengn Q, ykni Q := { p q : p Z, q N, dn FPB(p, q) = 1}. (Di sini FPB(p, q) menytkn fktor persekutun terbesr dri p dn q. contoh, F P B(6, 10) = 2.) Sebgi Selin itu, pembc jug disumsikn telh mengenl notsi bilngn dlm bentuk desiml. Sebgi contoh, 1 = = = = e = π =

4 4 Hendr Gunwn Sebgin bilngn mempunyi bentuk desiml yng berhenti, seperti 1 2 = 0.5, dn sebgin bilngn mempunyi bentuk desiml yng berulng, seperti 1 3 = Bilngn rsionl senntis dpt dinytkn dlm bentuk desiml yng berhenti tu berulng. Bilngn yng mempunyi bentuk desiml tk berhenti tupun berulng merupkn bilngn irsionl. Sebgi contoh, bilngn merupkn bilngn irsionl Himpunn semu bilngn rsionl dn bilngn irsionl disebut sebgi himpunn bilngn rel, yng dilmbngkn dengn R. Dlm hl ini, kit mempunyi N Z Q R. Pd pembhsn selnjutny, kit kn mempeljri sift-sift bilngn rel secr lebih mendlm. Sol Ltihn 1. Nytkn 1 12 berulng? dlm bentuk desiml. Apkh bentuk desimlny berhenti tu 2. Nytkn sebgi bentuk pechn. 0.2 Sift Aljbr Himpunn bilngn rel R disumsikn memenuhi Sift Aljbr yng terkit dengn opersi penjumlhn dn perklin pdny. Persisny, R terhdp penjumlhn bersift komuttif, sositif, mempunyi unsur identits 0, dn menckup unsur lwn. Demikin pul R terhdp perklin bersift komuttif, sositif, mempunyi unsur identits 1 0, dn menckup unsur keblikn. (Ctt bhw sumsi bhw 1 0 termsuk bgin yng penting di sini.) Selin itu, di R berlku pul sift distributif, ykni x(y + z) = xy + xz untuk setip x, y, z R. Kesembiln sift ini dikenl pul sebgi Sift Lpngn R.

5 Pengntr Anlisis Rel 5 berikut: Pd R dpt didefinisikn pul opersi pengurngn dn pembgin sebgi dn untuk b 0 b := + ( b) b := 1 b, dengn 1 b menytkn keblikn dri b. Ctt bhw 0 tidk mempunyi unsur keblikn, dn pembgin dengn 0 tidk didefinisikn. Sehubungn dengn itu tidk benr bhw 1 0 =. Wlupun kelk lmbng (bc: tk hingg tu tk terhingg) kn sering digunkn, i tidk menytkn sebuh bilngn rel. Teorem 1 (Hukum Pencoretn). Mislkn x, y, dn z dlh bilngn rel. (i) Jik x + z = y + z, mk x = y. (ii) Jik xz = yz dn z 0, mk x = y. Bukti. (i) Mislkn x + z = y + z. Tmbhkn kedu rus dengn z, sehingg kit dptkn (x + z) + ( z) = (y + z) + ( z). Dengn menggunkn sift sositif dn sift unsur lwn, kit peroleh x + 0 = y + 0, dn berdsrkn sift unsur identits pd penjumlhn, kit smpi pd kesimpuln bhw x = y. Jdi pernytn terbukti. (ii) Serup dengn bukti bgin (i); dpt dicob sebgi ltihn. Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem 1 bgin (ii). 2. Dikethui bilngn rel sembrng. Buktikn bhw ().0 = 0.

6 6 Hendr Gunwn (b) ( 1) =. (c) ( ) =. (d) ( 1)( 1) = Dikethui bilngn rel dn b. Buktikn jik b = 0, mk = 0 tu b = Buktikn bhw tidk d bilngn rsionl x yng memenuhi persmn x 2 = 2. (Petunjuk. Gunkn metode pembuktin tk lngsung.) 0.3 Sift Urutn Selin memenuhi Sift Lpngn, R jug disumsikn memenuhi Sift Urutn, yng berkitn dengn ketksmn di ntr du bilngn rel. Khususny, diberikn du buh bilngn rel dn b sembrng, terdpt tig kemungkinn dn hny stu di ntr tig kemungkinn tersebut yng benr yitu: tu > b, tu = b, tu < b. Sift ini dikenl sebgi Hukum Trikotomi. Ctt bhw < b setr dengn b >. Jik, b, dn c dlh bilngn rel, mk < b < c berrti < b dn b < c. Sebgi contoh, kit mempunyi 0 < 1 2 < 1. Selnjutny, b berrti < b tu = b; sementr b berrti > b tu = b. Sebgi contoh, 1 0 dn 1 1 merupkn du pernytn yng benr. Sift Urutn linny yng dipenuhi oleh bilngn rel dlh: (i) Jik > b dn b > c, mk > c. (ii) Jik > b dn c R, mk + c > b + c. (iii) Jik > b dn c > 0, mk c > bc; Jik > b dn c < 0, mk c < bc. Bilngn x diktkn bernili positif jik dn hny jik x > 0. Teorem berikut menytkn ketertutupn bilngn positif terhdp penjumlhn dn perklin.

7 Pengntr Anlisis Rel 7 Teorem 2. Jik > 0 dn b > 0, mk + b > 0 dn b > 0. Bukti. Mislkn, b > 0. Mk + b > 0 + b = b dn b > 0.b = 0. Contoh 3. Fkt bhw 1 > 0 dpt dibuktikn kebenrnny dengn menggunkn sift-sift di ts. Ingt bhw 1 0. Kren itu tinggl d du kemungkinn: tu 1 < 0 tu 1 > 0. Andikn 1 < 0. Tmbhkn kedu rus dengn 1, kit peroleh 0 < 1 tu 1 > 0. Akibtny [liht Sol Ltihn 0.2 No. 2(d)], kit peroleh 1 = ( 1)( 1) > 0, bertentngn dengn pengndin semul. Dengn demikin tidk mungkin 1 < 0, dn kren itu mestilh 1 > 0. Contoh 4. Mislkn dikethui < b+ɛ untuk setip ɛ > 0. Mk dpt disimpulkn bhw b. (Andikn > b. Mk, untuk ɛ = b, berlku < b + ( b) =, sesutu yng musthil.) Sol Ltihn 1. Buktikn jik > 0, mk 1 > Buktikn jik > b dn c > d, mk + c > b + d. 3. Buktikn jik A, B > 0, mk A < +b A+B < A B. 4. Dikethui x, y > 0. Buktikn x < y jik dn hny jik x 2 < y Buktikn jik b ɛ < < b + ɛ untuk setip ɛ > 0, mk = b. 0.4 Akr dn Persmn Kudrt Untuk n N, kit tuliskn x n := x x x (n kli). Asumsi berikutny tentng sistem bilngn rel dlh eksistensi kr ke-n. Persisny, diberikn y 0, terdpt sebuh bilngn x 0 (tunggl) sedemikin sehingg y = x n. Untuk y 0, nili x 0 yng memenuhi persmn y = x n disebut sebgi kr ke-n dri y dn dilmbngkn dengn x = y 1/n.

8 8 Hendr Gunwn Khususny, untuk n = 2, kit gunkn notsi y = y 1/2. Ctt bhw dlm hl ini senntis berlku y 0. Jik y > 0, mk tentu sj terdpt du buh bilngn yng kudrtny sm dengn y, yitu y yng bernili positif dn y yng bernili negtif. Notsi ± y berrti y tu y. Jik r = m n Ctt bhw y m/n [y m/n ] n = y m. dlh sutu bilngn rsionl positif dn y 0, kit definisikn y r = y m/n := (y m ) 1/n. dlm hl ini merupkn kr ke-n dri y m, yng memenuhi Selnjutny, jik r dlh sutu bilngn rsionl negtif, mk r merupkn bilngn rsionl positif dn krenny y r terdefinisi. Khususny, jik y > 0, mk kit dpt mendefinisikn y r sebgi y r := 1 y r. Kit jug mendefinisikn y 0 = 1. Dengn demikin, jik y > 0, mk y r terdefinisi untuk semu bilngn rsionl. (Definisi y x untuk bilngn irsionl x hrus menunggu hingg pembhsn berikutny.) Seperti telh disinggung di ts, untuk y > 0, persmn x 2 = y mempunyi du buh solusi, yitu x = ± y. Persmn x 2 = y di sini merupkn sutu persmn kudrt. Bentuk umum persmn kudrt (dlm x) dlh x 2 + bx + c = 0, dengn 0. Sebgimn telh dipeljri di sekolh menengh, persmn kudrt x 2 + bx + c = 0 tidk mempunyi solusi tu kr rel jik b 2 4c < 0, mempunyi sebuh kr rel (tunggl) jik b 2 4c = 0, dn mempunyi du buh kr rel berbed jik b 2 4c > 0. Dlm hl b 2 4c 0, kr persmn kudrt di ts diberikn oleh rumus x = b ± b 2 4c. 2 Akr persmn kudrt merupkn titik potong grfik persmn y = x 2 + bx + c (yng berbentuk prbol) dengn sumbu-x pd sistem koordint Crtesius. (Pembc disumsikn telh mengenl sistem koordint Crtesius dn grfik persmn pdny.) Ingt bhw grfik persmn kudrt terbuk ke ts jik > 0, tu terbuk ke bwh jik < 0.

9 Pengntr Anlisis Rel 9 Sol Ltihn 1. Buktikn bhw bilngn x yng memenuhi 2 x = 5 bukn merupkn bilngn rsionl. 2. Mislkn koefisien, b dn c pd persmn kudrt x 2 +bx+c = 0 merupkn bilngn rsionl (dengn, tentu sj, 0). Buktikn jik α = r + s 2 merupkn kr persmn ini, dengn r dn s rsionl, mk β = r s 2 jug merupkn kr. 3. Mislkn n N dn 1,..., n dn b 1,..., b n dlh bilngn rel. Buktikn ketksmn ( 1 b n b n ) 2 ( n)(b b 2 n). (Cttn. Ketksmn ini dikenl sebgi Ketksmn Cuchy-Schwrz.) 0.5 Nili Mutlk Jik x dlh bilngn rel, mk nili mutlk x, ditulis x, didefinisikn sebgi { x, jik x 0, x = x, jik x < 0. Sebgi contoh, 2 = 2, 0 = 0, dn 5 = ( 5) = 5. Perhtikn bhw x 0 dn x 2 = x 2, sehingg x = x 2 untuk setip x. Teorem 5. Untuk setip bilngn rel x berlku x x x. Teorem 6. Untuk setip bilngn rel dn b berlku b = b.

10 10 Hendr Gunwn Teorem 7 (Ketksmn Segitig). Untuk setip, b R berlku + b + b. Bukti. Perhtikn bhw untuk setip, b R berlku + b 2 = ( + b) 2 = 2 + 2b + b b + b 2 = ( + b ) 2. Kren itu (liht Sol Ltihn 0.3 No. 4), kit peroleh + b + b, sebgimn kit hrpkn. Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem Buktikn Teorem Buktikn bhw < b jik dn hny jik b < < b. 4. Buktikn bhw untuk setip, b R berlku b b dn jug b b. 5. Buktikn jik < x < b dn < y < b, mk x y < b. Berikn interpretsi geometrisny.

11 Pengntr Anlisis Rel SIFAT KELENGKAPAN BILANGAN REAL 1.1 Prdoks Zeno Zeno, seorng filsuf dn mtemtikwn Yunni Kuno ( SM), mengemukkn sebuh prdoks tentng sutu perlombn lri ntr Achilles dn seekor kur-kur. Kren Achilles berlri lebih cept dripd sng kur-kur, mk sng kur-kur memuli perlombn x 0 meter di depn Achilles. Menurut Zeno, seklipun Achilles berlri lebih cept dn kn semkin mendekti sng kur-kur, nmun i tkkn pernh dpt menylip sng kur-kur. Ketik Achilles mencpi titik di mn sng kur-kur muli berlri, sng kur-kur telh menempuh x 1 meter; dn ketik Achilles mencpi posisi tersebut beberp st kemudin, sng kur-kur telh menempuh x 2 meter lebih juh; dn seterusny. Ap yng slh dengn prdoks Zeno ini? Dengn pengethun tentng bilngn rel yng kit kenl sekrng, Achilles kn menylip sng kur-kur ketik i telh menempuh x meter, dengn x sm dengn bilngn rel terkecil yng lebih besr dri semu bilngn x 0, x 0 +x 1, x 0 +x 1 +x 2,.... Sebgi contoh, bil Achilles berlri dengn keceptn 6 m/detik sementr sng kur-kur berlri dengn keceptn 3 m/detik (ditrik rod), mk Achilles kn menylip sng kur-kur setelh = 1 detik. Hl serup dijumpi pd metode exhustion Eudoxus ( SM), yng digunkn oleh Archimedes ( SM) untuk menghmpiri lus derh lingkrn dengn lus derh segi-n berturn di dlm lingkrn, yitu dengn brisn bilngn A 1, A 2, A 3,.... Lus derh lingkrn kelk didefinisikn sebgi bilngn rel terkecil yng lebih besr dri setip bilngn A i, i = 1, 2, 3,.... Argumen ini bergntung pd sebuh sift bilngn rel yng belum terpikirkn oleh Eudoxus dn Archimedes, sert mtemtikwn linny pd zmn itu.

12 12 Hendr Gunwn Sift bilngn rel yng diperlukn untuk membnth prdoks Zeno tu mendukung rgumen Eudoxus dn Archimedes dlh Sift Kelengkpn, yng menjmin eksistensi bilngn rel x yng lebih besr dri x 0, x 0 + x 1, x 0 + x 1 + x 2,... (pd prdoks Zeno) dn jug bilngn rel A yng lebih besr dri A i, i = 1, 2, 3,... (pd perhitungn Archimedes). Sift Kelengkpn bilngn rel bisny tidk diungkpkn secr eksplisit di sekolh menengh, nmun sesungguhny merupkn sift yng sngt penting. (Tnp Sift Kelengkpn, Achilles tkkn memenngkn perlombn dn lus derh lingkrn tk dpt dinytkn sebgi sebuh bilngn.) Sol Ltihn 1. Sederhnkn bentuk penjumlhn n. 1.2 Himpunn Terbts Sebelum membhs Sift Kelengkpn, kit perlu memperkenlkn sejumlh istilh terlebih dhulu. Mislkn H himpunn bgin dri R. Himpunn H diktkn terbts di ts pbil terdpt sutu bilngn rel M sedemikin sehingg x M untuk setip x H. Bilngn M yng memenuhi sift ini (bil d) disebut sebgi bts ts himpunn H. Jik M merupkn bts ts H, mk semu bilngn yng lebih besr dripd M jug merupkn bts ts H. Serup dengn itu, himpunn H diktkn terbts di bwh pbil terdpt sutu bilngn rel m sedemikin sehingg m x untuk setip x H. Bilngn m yng memenuhi sift ini (bil d) disebut sebgi bts bwh H. Jik m merupkn bts bwh H, mk semu bilngn yng lebih kecil dripd m jug merupkn bts bwh dri H. Himpunn H diktkn terbts pbil i terbts di ts dn terbts di bwh.

13 Pengntr Anlisis Rel 13 Contoh 1. (i) Himpunn A := {1, 2, 3} terbts di ts. Sebgi contoh, 100, 10, 5, dn 3 merupkn bts ts himpunn A. Himpunn A jug terbts di bwh. Sebgi contoh, 5, 1, 0, dn 1 merupkn bts bwh A. (ii) Himpunn I := {x R : 0 x < 1} terbts di ts. Sebgi contoh, 100, 10, dn 1 merupkn bts ts I. Himpunn I jug terbts di bwh. Sebgi contoh, 10, 1, dn 0 merupkn bts bwh I. (iii) Himpunn semu bilngn rel positif P := {x R : x > 0} terbts di bwh nmun tidk terbts di ts. Jik M merupkn bts ts himpunn P, mk x M untuk setip x P. Dlm hl ini M mesti merupkn bilngn positif. Sebgi kibtny M + 1 jug positif dn M + 1 M, sesutu yng musthil. Proposisi 2. Himpunn H R terbts jik dn hny jik terdpt sutu bilngn rel K sedemikin sehingg x K untuk setip x H. Mislkn himpunn H terbts dn M dlh sutu bts ts H. Bil untuk setip ɛ > 0 bilngn M ɛ bukn merupkn bts ts H, mk M disebut sebgi bts ts terkecil H. Serup dengn itu, mislkn m dlh sutu bts bwh H. Bil untuk setip ɛ > 0 bilngn m + ɛ bukn merupkn bts bwh H, mk m disebut sebgi bts bwh terbesr H. Sebgi contoh, himpunn A = {1, 2, 3} mempunyi bts ts terkecil 3 dn bts bwh terbesr 1. Sol Ltihn 1. Buktikn bhw bts ts terkecil himpunn I pd Contoh 1(ii) dlh Buktikn bhw bts bwh terbesr himpunn P pd Contoh 1(iii) dlh Buktikn Proposisi Sift Kelengkpn Sekrng kit smpi pd perumusn Sift Kelengkpn bilngn rel, yng kn sering kit gunkn pd pembhsn selnjutny.

14 14 Hendr Gunwn Sift Kelengkpn. Setip himpunn bgin tk kosong dri R yng terbts di ts mempunyi bts ts terkecil. Setip himpunn bgin tk kosong dri R yng terbts di bwh mempunyi bts bwh terbesr. Mislkn H. Jik H terbts di ts, mk bts ts terkecil H disebut sebgi supremum H, ditulis sup H. Serup dengn itu, jik H terbts di bwh, mk bts bwh terbesr H disebut sebgi infimum H, ditulis inf H. terbts, mk jels bhw inf H sup H. Jik H Secr umum perlu dictt bhw supremum mupun infimum sutu himpunn tidk hrus merupkn nggot himpunn tersebut. Jik H tidk terbts di ts, kdng kit menuliskn sup H = + ; dn jik H tidk terbts di bwh, kit dpt menuliskn inf H =. Contoh 3. (i) Himpunn A = {1, 2, 3} mempunyi bts ts terkecil 3 dn bts bwh terbesr 1; ykni, sup A = 3 dn inf A = 1. (ii) Mislkn I = {x : 0 x < 1}. Mk, sup I = 1 dn inf I = 0. (iii) Mislkn P = {x : x > 0}. Mk, sup P = + (ykni, P tk terbts di ts) dn inf P = 0. Dengn Sift Kelengkpn, himpunn bilngn rel R dpt dinytkn sebgi sebuh gris, yng kit kenl sebgi gris bilngn rel. Sift Kelengkpn menjmin bhw setip titik pd gris tersebut menytkn sebuh bilngn rel, dn seblikny setip bilngn rel menempti sebuh titik pd gris tersebut. Sebgi perbndingn, himpunn bilngn rsionl Q tidk memenuhi Sift Kelengkpn, dn pbil kit memkskn diri untuk menytknny sebgi sebuh gris, mk gris tersebut kn berlubng-lubng (sebgi contoh, bilngn x di ntr 1 dn 2 yng memenuhi x 2 = 2 bukn merupkn bilngn rsionl, dn krenny terdpt lubng di ntr 1 dn 2). Sift Kelengkpn menjmin bhw 1 merupkn bilngn rel terkecil yng lebih besr dri n, dn terdpt bilngn rel π yng menytkn lus derh lingkrn berjri-jri 1 dn niliny lebih besr dri lus derh segi-n berturn di dlm lingkrn tersebut, untuk setip n N. Sift Kelengkpn pul lh yng menjmin bhw bilngn yng mempunyi bentuk desiml tk berhenti tupun berulng (yng dibhs pd Sub-bb 0.2) merupkn bilngn rel.

15 Pengntr Anlisis Rel 15 Sol Ltihn 1. Verifiksi nili supremum dn infimum pd Contoh 3(ii) dn (iii). 2. Dikethui H = { 1 n : n N}. Buktikn bhw sup H = 1 dn inf H 0. (Kelk nd kn dimint membuktikn bhw inf H = 0.) 3. Dikethui himpunn H terbts di ts dn M dlh sutu bts ts H. Buktikn bhw M = sup H jik dn hny jik untuk setip ɛ > 0 terdpt x H sedemikin sehingg x > M ɛ. 1.4 Mnipulsi dengn Supremum dn Infimum Mislkn H R dn c R. Kit definisikn ch := {cx : x H} dn H + c := {x + c : x H}. Sebgi contoh, jik A = {1, 2, 3} dn c = 2, mk 2A = {2, 4, 6} dn A + 2 = {3, 4, 5}. Proposisi 4. Mislkn H R tk kosong dn terbts di ts, dn c > 0. Mk ch terbts di ts dn sup(ch) = c sup H. Bukti. Mislkn v = sup H. Ambil sembrng y ch. Mk, y = cx untuk sutu x H. Kren x v dn c > 0, kit peroleh y cv. Jdi cv merupkn bts ts ch. Selnjutny, untuk sembrng ɛ > 0, v ɛ c bukn bts ts H. Kren itu, terdpt x H sedemikin sehingg v ɛ c < x.

16 16 Hendr Gunwn Klikn kedu rus dengn c, kit dptkn cv ɛ < cx, yng menunjukkn bhw cv ɛ bukn bts ts ch. Jdi cv merupkn bts ts terkecil ch, ykni cv = sup(ch). Proposisi 5. Mislkn H R tk kosong dn terbts di ts, dn c < 0. Mk ch terbts di bwh dn inf(ch) = c sup H. Proposisi 6. Mislkn H R tk kosong dn terbts di ts, dn c R. Mk H + c terbts di ts dn sup(h + c) = c + sup H. Sol Ltihn 1. Buktikn Proposisi Buktikn Proposisi Mislkn H R tk kosong dn terbts di ts, dn G H jug tk kosong. Buktikn bhw G terbts di ts dn sup G sup H. 4. Mislkn G, H R tk kosong dn terbts. Definisikn H + G := {x + y : x H, y G}. Buktikn bhw H + G terbts dengn sup(h + G) sup H + sup G dn inf(h + G) inf H + inf G. 5. Dikethui H P = {x R : x > 0}. Definisikn himpunn G = { 1 x H }. Buktikn jik H terbts di ts, mk G terbts di bwh dn inf G = 1 sup H. : x

17 Pengntr Anlisis Rel LEBIH JAUH TENTANG BILANGAN REAL 2.1 Mksimum dn Minimum; Intervl Kit telh menctt sebelumny bhw supremum dn infimum sutu himpunn tidk hrus merupkn nggot himpunn tersebut. Jik H mempunyi supremum dn sup H = M H, mk M merupkn nggot terbesr dn disebut mksimum H, ditulis M = mks H. Serup dengn itu, jik H mempunyi infimum dn inf H = m H, mk m merupkn nggot terkecil dn disebut minimum H, ditulis m = min H. Contoh 1. (i) Himpunn A := {1, 2, 3} mempunyi mksimum 3 dn minimum 1. (ii) Himpunn I := {x R : 0 x < 1} mempunyi minimum 0 tetpi tidk mempunyi mksimum. Di sini 1 = sup I tetpi 1 / I, jdi i bukn mksimum I. (iii) Himpunn P := {x R : x > 0} tk mempunyi mksimum mupun minimum. Himpunn I pd Contoh 1(ii) merupkn sebuh intervl. Secr umum, sebuh intervl di R merupkn himpunn bgin dri R yng bersift: jik u, v I dn u x v, mk x I. Sebuh intervl mungkin terbts dn mungkin pul tk terbts. Berikut dlh notsi untuk intervl terbts di R: (, b) := {x : < x < b}. [, b] := {x : x b}. [, b) := {x : x < b}. (, b] := {x : < x b}.

18 18 Hendr Gunwn Berikut dlh notsi untuk intervl tk terbts di R (selin R sendiri): (, ) := {x : x > }. [, ) := {x : x }. (, b) := {x : x < b}. (, b] := {x : x b}. Ctt bhw lmbng dn di sini bukn menytkn bilngn rel. Intervl (, b), (, ), dn (, b) merupkn intervl terbuk, sedngkn intervl [, b], [, ), dn (, b] merupkn intervl tertutup. Sementr itu, intervl [, b) dn (, b] sering disebut sebgi intervl setengh terbuk. Intervl [, b] yng bersift tertutup dn terbts merupkn contoh himpunn kompk di R. Pd [, b], merupkn minimum dn b merupkn mksimum. Sol Ltihn 1. Tentukn mksimum dn minimum himpunn berikut (bil d). () { 1 n : n N}. (b) { ( 1) n n : n N }. (c) Himpunn semu bilngn rsionl r dengn 0 r Mislkn c R dn δ > 0. Buktikn bhw {x : x c < δ} = (c δ, c + δ). 3. Beri du buh contoh himpunn yng mempunyi supremum 1 tetpi tidk mempunyi stu pun nggot x (0, 1). 2.2 N dn Q sebgi Himpunn Bgin dri R Dengn Sift Kelengkpn, kit dpt pul membuktikn bhw N tk terbts di ts. Fkt ini dikenl sebgi Sift Archimedes, yng lzim dinytkn sebgi sebuh teorem.

19 Pengntr Anlisis Rel 19 Teorem 2 (Sift Archimedes). Untuk setip x R terdpt n x N sedemikin sehingg x < n x. Bukti. Andikn seblikny berlku, ykni terdpt x R sedemikin sehingg n x untuk setip n N. Ini berrti bhw N terbts di ts. Kren N dn N R, mk menurut Sift Kelengkpn, N mempunyi supremum, sebutlh v = sup N. Kren v merupkn bts ts terkecil N, v 1 bukn bts ts N, sehingg terdpt m N sedemikin sehingg v 1 < m tu v < m + 1. musthil mengingt m + 1 N dn v merupkn bts ts N. Jdi pengndin di ts mestilh slh. Dengn sumsi bhw jrk ntr du bilngn sli sekurng-kurngny sm dengn 1, kit dpt membuktikn Sift Terurut Rpi N, yng dinytkn dlm teorem berikut. Teorem 3 (Sift Terurut Rpi N). Setip himpunn bgin tk kosong dri N mempunyi minimum. Bukti. Mislkn A N tk kosong. Jels bhw sebgi himpunn bgin dri N, himpunn A terbts di bwh. Menurut Sift Kelengkpn, A mempunyi infimum, sebutlh = inf A. Sekrng + 1 bukn bts bwh A, dn krenny terdpt n A sehingg n < + 1. Jik n bukn minimum A, mk terdpt m A sehingg m < n. Dlm hl ini, kit mempunyi m < n < + 1, sehingg jrk ntr m dn n lebih kecil dri 1. bilngn sli. Jdi n mestilh minimum A, dn bukti selesi. Ini Ini bertentngn dengn sift Dengn menggunkn Sift Archimedes dn Sift Terurut Rpi N, kit dpt membuktikn sift kepdtn bilngn rsionl di R, yng dinytkn sebgi teorem berikut. Teorem 4 (Kepdtn Bilngn Rsionl). Mislkn x, y R dengn x < y. Mk terdpt r Q sedemikin sehingg x < r < y. Bukti. Tnp mengurngi keumumn, kit sumsikn bhw 0 < x < y. Menurut Sift Archimedes, terdpt n N sedemikin sehingg n > 1 y x. Untuk n tersebut,

20 20 Hendr Gunwn kit mempunyi ny nx > 1. Sekrng tinju himpunn A := {k : k N, nx < k}. Menurut Sift Terurut Rpi N, A mempunyi minimum, sebutlh m. Dlm hl ini m merupkn bilngn sli m terkecil yng memenuhi m 1 nx < m. Akibtny, kit peroleh Kren itu, nx < m < ny, tu m nx + 1 < ny. x < m n < y. Jdi terdpt bilngn rsionl r := m n sedemikin sehingg x < r < y. Cttn. Bukti Teorem 4 memberi thu kit bgimn crny mendptkn sebuh bilngn rsionl di ntr x dn y dengn 0 < x < y. Pertm, kit zoom out intervl (x, y) dengn fktor dilsi n > 1 y x, sehingg kit peroleh intervl (nx, ny) yng lebrny lebih besr dripd 1. Dlm intervl tersebut kit pilih bilngn sli m, kemudin kit zoom in untuk mendptkn bilngn rsionl m n di dlm intervl (x, y). Untuk x, y R linny, bilngn rsionl dpt diperoleh dengn memnftkn hsil ini. Sebgi contoh, untuk x < y < 0, jik r dlh bilngn rsionl di dlm intervl ( y, x), mk r dlh bilngn rsionl di dlm intervl (x, y). Sol Ltihn 1. Dikethui H = { 1 n : n N}. Buktikn bhw inf H = Mislkn A = { n : n N }. Buktikn bhw sup A = Buktikn bhw terdpt bilngn rel positif x sedemikin sehingg x 2 = 2. (Petunjuk. Tinju himpunn A := { R : > 0, 2 < 2}.) 4. Dikethui x, y R dengn x < y. Buktikn bhw terdpt bilngn irsionl s sedemikin sehingg x < s < y. 5. Buktikn bhw himpunn semu bilngn irsionl s dengn 0 s 1 tidk mempunyi mksimum mupun minimum.

21 Pengntr Anlisis Rel Prinsip Induksi Mtemtik Slh stu metode pembuktikn klsik untuk pernytn yng berkitn dengn bilngn sli berpijk pd Prinsip Induksi Mtemtik. Teorem 5 (Prinsip Induksi Mtemtik). Mislkn P (n) dlh sutu pernytn mengeni n N. Mislkn pul (i) P (1) benr, dn (ii) untuk setip k N berlku: jik P (k) benr, mk P (k + 1) benr. Mk, P (n) benr untuk setip n N. Bukti. Mislkn S := {n N : P (n) slh}. Akn ditunjukkn bhw S =. Andikn S. Mk, menurut Sift Terurut Rpi, S mempunyi minimum, sebutlh m. Kren P (1) benr, 1 / S. Jdi m 1. Akibtny m > 1 dn m 1 N. Kren m dlh minimum S, m 1 / S tu P (m 1) benr. Berdsrkn hipotesis (ii), kit peroleh P (m) benr tu m / S, yng bertentngn dengn m S. Contoh 6. Untuk setip n N, kit mempunyi n = 1 n(n + 1). 2 Untuk membuktikn kebenrn pernytn ini, mislkn S n := n, n N, dn P (n) dlh pernytn bhw S n = 1 2n(n + 1). Perhtikn bhw P (1) benr, kren S 1 = 1 = (1 + 1). Selnjutny mislkn k N dn P (k) benr tu S k = 1 2k(k + 1). Untuk mengethui pkh P (k + 1) benr, kit periks S k+1 = k + (k + 1) = S k + (k + 1) = 1 k(k + 1) + (k + 1) 2 = 1 (k + 1)(k + 2). 2 Jdi ternyt P (k + 1) benr. Berdsrkn Prinsip Induksi Mtemtik, kit simpulkn bhw P (n) benr untuk setip n N. Contoh 7. Untuk setip n N berlku n < 2 n. Di sini P (n) dlh ketksmn n < 2 n. Jels bhw P (1) benr kren 1 < 2. Selnjutny mislkn k N dn P (k)

22 22 Hendr Gunwn benr, ykni k < 2 k. Mk, 1 k < 2 k dn k + 1 < 2 k + 1 < 2 k + 2 k = 2 k+1, ykni P (k + 1) benr. Berdsrkn Prinsip Induksi Mtemtik, P (n) benr tu n < 2 n untuk setip n N. Teorem 8 (Prinsip Induksi Kut). Mislkn P (n) dlh sutu pernytn mengeni n N sedemikin sehingg (i) P (1) benr, dn (ii) untuk setip k N, jik P (1),..., P (k) benr, mk P (k + 1) benr. Mk, P (n) benr untuk setip n N. Sol Ltihn 1. Buktikn bhw (2n 1) = n 2 untuk setip n N. 2. Buktikn bhw 2 n 1 n! untuk setip n N. (Cttn. n! = 1 2 n.) 3. Buktikn Teorem Mislkn n 0 N dn P (n) dlh sutu pernytn mengeni n N sedemikin sehingg P (n 0 ) benr dn jik P (k) benr, mk P (k + 1) benr. Buktikn bhw P (n) benr untuk setip n N dengn n n Buktikn bhw n 2 < 2 n untuk n Dikethui r 1 = 1 dn r n+1 = r n 1 < r n < 2 untuk setip n 3. untuk n = 1, 2, 3,.... Buktikn bhw

23 Pengntr Anlisis Rel BARISAN 3.1 Definisi Brisn Dlm kish Zeno tentng perlombn lri ntr Achilles dn seekor kur-kur, ketik Achilles mencpi posisi x 0 tempt sng kur-kur muli berlri, sng kurkur telh menempuh x 1 meter; dn ketik Achilles mencpi posisi tersebut beberp st kemudin, sng kur-kur telh menempuh x 2 meter lebih juh; dn seterusny. Sebgi contoh, bil Achilles berlri dengn keceptn 6 m/detik sementr sng kur-kur berlri dengn keceptn 3 m/detik (ditrik rod), mk Achilles kn mencpi posisi-posisi tertentu yng pernh dicpi oleh sng kur-kur pd st detik, n = 1, 2, 3,.... 2n Bentuk penjumlhn di ts membentuk sebuh deret geometri, yng jumlhny sm dengn Jdi, dlm cerit di ts, kit mempunyi sebuh brisn n bilngn Bil n menuju tk terhingg, mk 1 n 2 menuju 0. Jdi brisn n bilngn di ts konvergen ke 1. Dengn pengethun ini, pd khirny kit dpt menyimpulkn bhw Achilles kn menylip sng kur-kur setelh berlri selm 1 detik. Brisn bilngn dpt pul muncul ketik kit hendk menksir sutu bilngn, mislny menksir 2. Bgi Du. Slh stu cr yng mudh dlh dengn Metode Mengethui bhw 2 terletk di ntr 1 dn 2, kit tksir 2 dengn x 1 := 1 2 (1 + 2) = 1.5. Setelh kit periks bhw 1.52 = 2.25 > 2, mk kit thu bhw 2 berd di ntr 1 dn 1.5. Selnjutny kit tksir dengn x 2 := 1 2 ( ) = 1.25, dn seterusny sehing kit peroleh brisn bilngn x 1, x 2, x 3,... yng merupkn hmpirn untuk 2. Secr informl, sebuh brisn bilngn rel dpt dirtikn sebgi sutu dftr bilngn rel x 1, x 2, x 3,.... Persisny, sebuh brisn bilngn rel dlh

24 24 Hendr Gunwn sutu turn yng mengitkn setip bilngn sli n dengn sebuh bilngn rel tunggl x n. Di sini x n disebut sebgi suku ke-n brisn tersebut. Notsi x n menytkn brisn dengn suku ke-n x n. Himpunn {x n : n N} disebut sebgi derh nili brisn x n. Brisn x n diktkn terbts (terbts di ts tu terbts di bwh) pbil derh niliny terbts (terbts di ts tu terbts di bwh). Jdi, menurut Proposisi 2 pd Bb 1, x n terbts jik dn hny jik terdpt K > 0 sedemikin sehingg x n K untuk setip n N. Contoh 1. (i) Brisn 1 n dlh brisn bilngn 1, 1 2, 1 3,.... (ii) Brisn ( 1) n dlh brisn bilngn 1, 1, 1, 1,.... Jik n gnjil, mk suku ke-n bernili 1; dn jik n genp, mk suku ke-n bernili 1. Jdi derh nili brisn ini dlh { 1, 1}. (iii) Brisn yng didefinisikn secr induktif dengn x 1 = x 2 = 1 dn dlh brisn 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... x n+2 = x n + x n+1, n = 1, 2, 3,..., Brisn ini dikenl sebgi brisn Fiboncci (yng dipubliksikn oleh Leonrdo Fiboncci dlm Liber bci pd 1202). (iv) Brisn r n yng didefinisikn secr induktif dengn r 1 = 1 dn dlh brisn 1, 2, 3 2, 5 3,.... r n+1 = r n, untuk n = 1, 2, 3,... Sol Ltihn 1. Buktikn bhw ketig brisn pd Contoh 1 merupkn brisn terbts. 2. Buktikn bhw brisn Fiboncci tk terbts. 3. Mislkn x n dlh brisn Fiboncci. Definisikn r n := xn+1 x n, n N. Buktikn bhw brisn r n terbts. 3.2 Kekonvergenn Brisn Brisn x n diktkn konvergen ke L (L R) pbil untuk setip ɛ > 0 terdpt bilngn sli N sedemikin sehingg

25 Pengntr Anlisis Rel 25 jik n N, mk x n L < ɛ. Bilngn L dlm hl ini disebut sebgi limit brisn x n, dn kit tuliskn tu lim x n = L, n x n L, bil n. Secr informl, kit dpt mengtkn bhw x n menuju L bil n menuju tk terhingg. Untuk tip n N, bilngn x n dpt dinggp sebgi hmpirn untuk L (dn seblikny, L merupkn hmpirn untuk x n ). Jrk x n L ntr x n dn L menytkn keslhn pd penghmpirn tersebut (dengn ɛ sebgi tksirn keslhn mksimum-ny). Definisi di ts menytkn bhw keslhn tersebut dpt dibut sekecil-kecilny dengn memilih n cukup besr. Contoh 2. Brisn 1 n konvergen ke 0, ykni 1 lim n n = 0. Diberikn ɛ > 0 sembrng, kit dpt memilih bilngn sli N > 1 ɛ sehingg jik n N, mk 1 n 0 1 = n 1 N < ɛ. Cttn. Eksistensi bilngn sli N yng lebih besr dri bilngn rel 1 ɛ dijmin oleh Sift Archimedes.) sedemikin tentu sj Teorem 3. Sebuh brisn tidk mungkin konvergen ke du buh limit yng berbed. Bukti. Mislkn x n konvergen ke L dn jug ke M. Untuk ɛ > 0 sembrng, kit dpt memilih N 1 N sedemikin sehingg untuk n N 1 berlku x n L < ɛ 2. Pd st yng sm, kit dpt memilih N 2 N sedemikin sehingg untuk n N 2 berlku x n M < ɛ 2. Jdi, untuk N := mks {N 1, N 2 }, kit mempunyi L M L x n + x n M < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Kren ini berlku untuk ɛ > 0 sembrng, kit simpulkn bhw L M = 0 tu L = M.

26 26 Hendr Gunwn Teorem 4. Jik x n konvergen, mk x n terbts. Cttn. Keblikn dri Teorem 4 tidk berlku. Sebgi contoh, ( 1) n terbts, tetpi tidk konvergen. Di sini keterbtsn merupkn syrt perlu tetpi bukn merupkn syrt cukup untuk kekonvergenn. Bukti. Mislkn x n konvergen ke L. Pilih N N sedemikin sehingg x n L < 1 untuk n N. Akibtny, untuk n N, kit mempunyi x n x n L + L < 1 + L. Sebut K := mks{ x 1,..., x N, 1 + L }. Mk jels bhw x n K, untuk tip n N. Ini menunjukkn bhw x n terbts. Brisn yng tidk konvergen disebut brisn divergen. Dri Teorem 4, kit mengethui bhw brisn tk terbts tidk mungkin konvergen, dn krenny i merupkn brisn divergen. Sebgi contoh, brisn Fiboncci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... merupkn brisn divergen kren i tk terbts. Selnjutny perlu diingt bhw brisn terbts pun mungkin sj divergen. Sebgi contoh, brisn ( 1) n merupkn brisn divergen. Dengn mudh kit dpt menunjukkn bhw lim n ( 1)n ±1. Nmun ini belum menunjukkn bhw ( 1) n divergen. Untuk menunjukkn kedivergenn ( 1) n, kit hrus meykinkn bhw lim n ( 1)n L untuk sembrng L R. Sol Ltihn 1. Buktikn bhw untuk setip bilngn rsionl r > 0, brisn 1 n r konvergen ke Buktikn bhw n 1 n+1 konvergen ke Tuliskn rti dri lim x n L. Tunjukkn bhw lim n n ( 1)n L untuk sembrng L R.

27 Pengntr Anlisis Rel Buktikn jik c R dn x n konvergen ke L, mk cx n konvergen ke cl. 5. Buktikn jik x n konvergen ke L > 0, mk terdpt N N sedemikin sehingg x n > L 2 untuk tip n N. 6. Berikn lsn sederhn mengp brisn Fiboncci tidk mungkin konvergen. 3.3 Teorem Limit Dlm contoh dn sol-sol ltihn pd subbb sebelumny, ketik ɛ > 0 diberikn, cukup mudh bgi kit untuk mencri bilngn sli N yng memenuhi definisi brisn konvergen. Nmun secr umum tidklh sellu demikin situsiny. Dlm hl ini kit perlu mempunyi cr lin untuk memeriks kekonvergenn sutu brisn (dn menentukn limitny) tnp hrus menggunkn definisiny. Proposisi 5. Mislkn x n L dn y n M bil n, dn λ, µ R. Mk (i) λx n + µy n λl + µm bil n. (ii) x n y n LM bil n. (iii) x n y n L M bil n, slkn M 0. Bukti. (i) Berdsrkn Sol Ltihn 3.2 No. 4, cukup dibuktikn bhw, jik x n L dn y n M untuk n, mk x n + y n L + M untuk n. Diberikn ɛ > 0 sembrng, terdpt N 1 N sedemikin sehingg untuk n N 1 berlku x n L < ɛ 2. Pd st yng sm, terdpt N 2 N sedemikin sehingg untuk n N 2 berlku y n M < ɛ 2. Sekrng pilih N := mks{n 1, N 2 }. menggunkn Ketksmn Segitig) Mk, untuk n N, kit peroleh (dengn (x n + y n ) (L + M) x n L + y n M < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Ini menunjukkn bhw x n + y n L + M untuk n.

28 28 Hendr Gunwn Bukti bgin (ii) dn (iii) diserhkn sebgi ltihn. Contoh 6. lim n 2n 2 5n 3n 2 7n + 4 = 2 3. Penjelsn. Berdsrkn Proposisi 5 (sert contoh dn sol ltihn pd 3.2), bil n. 2n 2 5n 3n 2 7n + 4 = 2 (5/n) 3 (7/n) + (4/n 2 ) = 2 3 Teorem 7 (Teorem Apit). Mislkn x n y n z n untuk tip n N. Jik x n L dn z n L untuk n, mk y n L untuk n. Cttn. Hipotesis bhw x n y n z n berlku untuk tip n N dpt diperlunk menjdi hny berlku untuk tip n n 0 (untuk sutu n 0 N). Dlm menyelidiki kekonvergenn sutu brisn, yng penting untuk kit tngni dlh ekor -ny, ykni suku-suku x n dengn n n 0. Bukti. Diberikn ɛ > 0, pilih N N sedemikin sehingg untuk n N berlku x n L < ɛ dn z n L < ɛ tu L ɛ < x n < L + ɛ dn L ɛ < z n < L + ɛ. Akibtny, untuk n N, kit peroleh L ɛ < x n y n z n < L + ɛ, sehingg y n L < ɛ. Ini menunjukkn bhw y n L untuk n. x n Contoh 8. Mislkn x n terbts. Mk lim n n = 0. Penjelsn. Terdpt K > 0 sedemikin sehingg untuk setip n N berlku Akibtny K Kren lim n n K x n K. K n x n n K n. x n = 0, mk menurut Teorem Apit lim n n = 0.

29 Pengntr Anlisis Rel 29 Teorem 9. (i) Jik x n L untuk n, mk x n L untuk n. (ii) Jik x n 0 untuk tip n N dn x n L untuk n, mk L 0 dn xn L untuk n. Bukti. (i) Berdsrkn Ketksmn Segitig, untuk setip n N, kit mempunyi xn L xn L. Kren itu jels jik x n L untuk n, mk x n L untuk n. (ii) Andikn L < 0, kit dpt memilih n N sedemikin sehingg x n < L 2 < 0, bertentngn dengn hipotesis. Jdi mestilh L 0. Selnjutny, untuk membuktikn bhw x n konvergen ke L, kit tinju ksus L = 0 dn ksus L > 0 secr terpish. Untuk ksus L = 0, kit perhtikn bhw x n < ɛ bil x n < ɛ. Kren itu, x n 0 untuk n kren x n 0 untuk n. Sekrng mislkn L > 0. Untuk tip n N, kit mempunyi x n L = x n L xn + L 1 L x n L. Jdi, diberikn ɛ > 0, kit tinggl memilih N N sedemikin sehingg untuk setip n N berlku x n L < ɛ L. Ini menunjukkn bhw x n L untuk n. Sol Ltihn 1. Buktikn Proposisi 5 bgin (ii) dn (iii). 2. Buktikn jik x n L y n untuk tip n N dn y n 0 untuk n, mk x n L untuk n. 3. Dikethui x n y n untuk tip n N, x n L dn y n M untuk n. Buktikn bhw L M. 4. Buktikn bhw 1 2 n konvergen ke 0, dengn menggunkn fkt bhw n < 2 n untuk tip n N. 5. Buktikn bhw n + 1 n konvergen ke Dikethui x < 1. Buktikn bhw x n konvegen ke 0. (Petunjuk. Tuliskn x = 1 1+, mk xn < 1 n.)

30 30 Hendr Gunwn 7. Mislkn x n y n untuk tip n N. Buktikn jik x n L dn y n M untuk n, mk L M. 3.4 Brisn Monoton Slh stu jenis brisn yng mudh dipeljri kekonvergennny dlh brisn monoton. Brisn x n diktkn nik pbil x n x n+1 untuk tip n N. Serup dengn itu, x n diktkn turun pbil x n x n+1 untuk tip n N. Brisn nik dn brisn turun disebut brisn monoton. Bil x n < x n+1 tu x n > x n+1 untuk tip n N, mk x n diktkn nik murni tu turun murni. Contoh 10. (i) Brisn 1 n merupkn brisn monoton turun. (ii) Brisn Fiboncci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... merupkn brisn monoton nik. (iii) Brisn konstn c merupkn brisn monoton nik dn sekligus turun. (iv) Brisn ( 1) n bukn merupkn brisn monoton. Teorem 11. (i) Jik x n nik dn terbts (di ts), mk i konvergen ke sup{x n : n N}. (ii) Jik x n turun dn terbts (di bwh), mk i konvergen ke inf{x n : n N}. Bukti. (i) Mislkn A := {x n : n N} dn L = sup A. Akn ditunjukkn bhw x n L untuk n. Untuk setip ɛ > 0, L ɛ bukn bts ts himpunn A, dn krenny terdpt N N sedemikin sehingg L ɛ < x N L. Kren x n nik, untuk setip n N berlku L ɛ < x N x n L, dn sebgi kibtny x n L < ɛ. Dengn demikin x n L untuk n. (ii) Serup dengn bukti untuk bgin (i). Contoh 12. Mislkn x n := n 2, n N. Di sini jels bhw x n nik. Selnjutny, untuk tip n 2, kit mempunyi 1 n 2 1 n(n 1) = 1 n 1 1 n.

31 Pengntr Anlisis Rel 31 Akibtny, untuk tip n N berlku n ( ) ( n 1 1 ) 1 = 2 n n < 2. Jdi x n terbts (di ts). Menurut Teorem 11, x n konvergen (ke sutu L 2). Contoh 13. Diberikn > 0 dn x 0 > 0, definisikn brisn x n sebgi x n = 1 ( x n ), n N. 2 x n 1 Dpt ditunjukkn bhw x n turun dn terbts di bwh, sehingg konvergen, dn limitny dlh. Liht tbel di bwh yng berisi nili suku-suku brisn ini untuk = 2 dn x 0 = 1. (Cr menghmpiri dengn brisn ini telh dikenl di Mesopotmi sebelum 1500 SM.) Contoh 14. Mislkn x n := ( n) n, n N. Dpt diperiks bhw xn nik dn terbts (di ts), sehingg konvergen. (Liht [1] tu [2].) Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem 11 bgin (ii). 2. Dikethui 0 < x < 1. Buktikn bhw x n turun dn terbts di bwh, sehingg i konvergen. 3. Mislkn x n := ! n!, n N. Buktikn bhw x n nik dn terbts (di ts). (Petunjuk. 2 n 1 n! untuk tip n N.) 4. Mislkn x n := n, n N. Buktikn bhw x n nik. Apkh x n terbts (di ts)?

32 32 Hendr Gunwn 4. SUB-BARISAN DAN BARISAN CAUCHY 4.1 Sub-brisn Mislkn x n brisn dn n k brisn nik murni dengn n k N untuk tip k N. Mk, brisn x nk disebut sebgi sub-brisn dri x n. Sebgi contoh, x 2, x 3, x 4, x 5,... dn x 2, x 4, x 8, x 16,... merupkn sub-brisn dri x n. Pd sub-brisn pertm, n k = k + 1; sementr pd sub-brisn kedu, n k = 2 k. Contoh 1. (i) Dikethui brisn ( 1) n. Mk, ( 1) 2k 1 = 1 dn ( 1) 2k = 1 merupkn sub-brisn dri ( 1) n. (ii) Mislkn r n dlh brisn 1, 2, 3 2, 5 3, 8 5, 13 8,.... Mk 1, 3 2, 8 5,... dn merupkn sub-brisn dri r n. 2, 5 3, 13 8,...

33 Pengntr Anlisis Rel 33 Hipotesis n k nik murni merupkn bgin penting dlm definisi sub-brisn. Sebgi slh stu kibt dri hipotesis ini, kit mempunyi n k k untuk tip k N. Fkt ini dpt dibuktikn dengn Prinsip Induksi Mtemtik. (Jels bhw n 1 1. Selnjutny, jik n k k, mk n k+1 > n k k dn krenny n k+1 k + 1.) Ctt bhw setip sub-brisn dri brisn terbts jug bersift terbts. Selnjutny, kit mempunyi teorem berikut. Teorem 2. Jik x n konvergen ke L, mk setip sub-brisn dri x n konvergen ke L. Bukti. Mislkn x nk dlh sub-brisn dri x n. Diberikn ɛ > 0, pilih N N sedemikin sehingg untuk setip n N berlku x n L < ɛ. Mk, untuk setip k N, kit mempunyi n k k N, dn krenny x nk L < ɛ. Dengn demikin x nk konvergen ke L. Contoh 3. Kit telh membhs kedivergenn brisn ( 1) n. Bukti lterntif yng lebih sederhn dpt diberikn dengn menggunkn Teorem 2. Kren terdpt sub-brisn 1 yng konvergen ke -1 dn sub-brisn 1 yng konvergen ke 1, mk brisn ( 1) n tidk mungkin konvergen. (Jik i konvergen, mk menurut Teorem 2 kedu sub-brisn di ts sehrusny konvergen ke bilngn yng sm.) Contoh 4. Pd Sol Ltihn 3.4 No. 3, nd dimint menunjukkn bhw x n konvergen untuk 0 < x < 1. Sekrng kit dpt menentukn limitny dengn menggunkn Teorem 2 sebgi berikut. Mislkn x n konvergen ke L. Mk, sub-brisn x 2k kn konvergen ke L jug. Nmun, x 2k = (x k ) 2 L 2 untuk k. Kren itu L = L 2, sehingg kit dptkn L = 0 tu L = 1. Mengingt 0 < x < 1 dn x n turun, kit simpulkn bhw L = 0. Hsil ini sesui dengn Sol Ltihn 3.3 No. 5.

34 34 Hendr Gunwn Contoh 5. Dlm Contoh 13 pd Sub-bb 3.4 kit telh menunjukkn bhw brisn x n yng didefinisikn secr induktif dengn x n+1 = 1 2 ( x n + 2 x n ), n N, konvergen. Sekrng mislkn limitny dlh L. Mk, menurut Teorem 2, x n+1 jug konvergen ke L. Akibtny L = 1 2 ( 2 ) L +, L sehingg L 2 = 2. Nmun x 1 > 0 mengkibtkn x n > 0 untuk tip n N. Kren itu mestilh L = 2. Sol Ltihn 1. Dikethui brisn x n. Tunjukkn jik x 2k 1 dn x 2k konvergen ke bilngn yng sm, mk x n konvergen. 2. Dikethui brisn x n didefinisikn secr induktif dengn x 1 = 1 dn Mungkinkh x n konvergen? x n+1 = x n + 1 x n, n N. 3. Dikethui brisn r n didefinisikn secr induktif dengn r 1 = 1 dn r n+1 = r n, n N. Tunjukkn jik r n konvergen, mk i mestilh konvergen ke Teorem Bolzno-Weierstrss Pd bgin ini kit kn membhs sebuh hsil penting tentng brisn terbts. Sebelum kit smpi ke sn, kit peljri terlebih dhulu teorem berikut. Teorem 6. Setip brisn mempunyi sub-brisn yng monoton.

35 Pengntr Anlisis Rel 35 Bukti. Mislkn x n brisn sembrng. Untuk tip N N, definisikn A N := {x n : n N}. Kit tinju du ksus berikut. Ksus 1: Untuk tip N N, A N mempunyi mksimum. Dlm ksus ini, kit dpt memperoleh brisn bilngn sli n k sedemikin sehingg x n1 = mks A 1 x n2 = mks A n1+1 x n3 = mks A n2+1 dn seterusny. Jels bhw n 1 < n 2 < n 3 < dn x nk merupkn sub-brisn yng monoton turun. Ksus 2: Terdpt n 1 N sedemikin sehingg A n1 tidk mempunyi mksimum. Dlm ksus ini, terdpt n 2 n sedemikin sehingg x n2 > x n1 (kren jik tidk, mk x n1 merupkn mksimum A n1 ). Selnjutny, terdpt n 3 n sedemikin sehingg x n3 > x n2 (kren jik tidk, mk mks {x n1,..., x n2 } merupkn mksimum A n1 ). Demikin seterusny, sehingg kit peroleh sub-brisn x nk yng monoton nik. Teorem 7 (Bolzno-Weierstrss). Setip brisn terbts mempunyi sub-brisn yng konvergen. Bukti. Mislkn x n terbts. Menurut Teorem 6, terdpt sub-brisn x nk yng monoton. Kren x n terbts, sub-brisn x nk jug terbts. Jdi, menurut Teorem 11 pd Bb 3, x nk konvergen. Contoh 8. (i) Brisn ( 1) n mempunyi du sub-brisn yng konvergen, ykni 1 dn 1. (ii) Brisn 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4,... mempunyi bnyk sub-brisn yng konvergen, di ntrny 1 2, 2 4, 3 6,... ; 1 2, 1 3, 1 4,... ; 1 2, 2 3, 3 4,....

36 36 Hendr Gunwn Mislkn x n terbts dn L dlh himpunn semu bilngn rel yng merupkn limit sub-brisn dri x n. Sebgi contoh, jik x n = ( 1) n, mk L = { 1, 1}. Dri Teorem Bolzno-Weierstrss, kit thu bhw L tk kosong. Kit jug thu bhw dlm hl x n konvergen, himpunn L merupkn himpunn singleton, ykni { lim n x n}. Lebih juh, kit mempunyi proposisi berikut tentng L yng buktiny tidk kn kit bhs di sini (liht [2] bil ingin mempeljriny). Proposisi 9. Himpunn L mempunyi mksimum dn minimum. Mislkn L := mks L dn L := min L. Kit sebut L sebgi limit superior dri x n dn kit tuliskn lim sup x n = L. n Serup dengn itu, kit sebut L sebgi limit inferior dri x n dn kit tuliskn Sebgi contoh, jik x n = ( 1) n, mk lim inf n x n = L. lim sup x n = 1 dn lim inf x n = 1. n n Sol Ltihn 1. Mislkn x n dlh brisn terbts sedemikin sehingg untuk setip N N terdpt n N sedemikin sehingg x n. Buktikn bhw x n mempunyi sub-brisn yng konvergen ke sutu bilngn L. 2. Dikethui brisn 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4,.... Tentukn limit superior dn limit inferiorny. 3. Dikethui brisn ( 1) n (1+ 1 n ). Tentukn limit superior dn limit inferiorny. 4. Mislkn x n terbts. Untuk tip n N, definisikn M n := sup k n x k. Tunjukkn bhw M n turun dn terbts (di bwh), dn krenny konvergen.

37 Pengntr Anlisis Rel Brisn Cuchy Teorem 11 pd Bb 3 memberi kit cr untuk menyelidiki kekonvergenn sebuh brisn tnp hrus mengethui limitny. Persisny, jik kit dihdpkn pd sebuh brisn yng monoton dn terbts, mk kit dpt menyimpulkn bhw i konvergen. Nmun bgimn bil brisn tersebut bukn brisn monoton dn limitny tk dpt diterk? Upy yng dpt kit lkukn dlm hl ini dlh mengmti jrk ntr stu suku dengn suku linny. Brisn x n disebut brisn Cuchy pbil untuk setip ɛ > 0 terdpt N N sedemikin sehingg untuk m, n N berlku x m x n < ɛ. Secr intuitif, suku-suku pd brisn Cuchy mendekt dn semkin mendekt stu sm lin. Proposisi 10. Jik x n konvergen, mk x n merupkn brisn Cuchy. Bukti. Mislkn x n konvergen ke L. Diberikn ɛ > 0, pilih N N sedemikin sehingg untuk tip n N berlku x n L < ɛ 2. peroleh Ini membuktikn bhw x n Cuchy. x m x n x m L + L x n < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Proposisi 11. Jik x n Cuchy, mk x n terbts. Bukti. Diserhkn sebgi ltihn. Teorem 12. Jik x n Cuchy, mk x n konvergen. Mk, untuk m, n N, kit Bukti. Mislkn x n Cuchy. Menurut Proposisi 11, x n terbts. Menurut Teorem Bolzno-Weierstrss, x n mempunyi sub-brisn yng konvergen, sebutlh x nk dengn lim k x n k = L. Selnjutny kn ditunjukkn bhw x n L untuk n. Diberikn ɛ > 0 sembrng, pilih M N sedemikin sehingg untuk k M berlku x nk L < ɛ 2. Jug pilih N N sedemikin sehingg untuk m, n N berlku x m x n < ɛ 2. Sekrng jik n N, mk untuk k M dengn n k N kit mempunyi x n L x n x nk + x nk L < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ.

38 38 Hendr Gunwn Ini menunjukkn bhw x n konvergen ke L. Contoh 13. Dikethui brisn x n dengn x 1 = 1, x 2 = 2, dn x n+2 = 1 2 (x n+1 + x n ), n N. Mk, dpt diperiks bhw untuk tip n N kit mempunyi x n+2 x n+1 = 1 2 n. Dengn menggunkn Ketksmn Segitig, kit peroleh untuk m > n x m x n x m x m x n+1 x n 1 2 n 2. Diberikn ɛ > 0, kit dpt memilih N N sedemikin sehingg 1 2 N 2 < ɛ. Mk, untuk m, n N, kit peroleh x m x n 1 2 N 2 < ɛ. Ini menunjukkn bhw x n Cuchy, dn krenny konvergen. Untuk menentukn limitny, cr seperti pd Contoh 5 kn memberikn persmn L = 1 2 (L + L), yng tk bergun. Nmun d cr lin yng dpt kit lkukn. Perhtikn bhw sub-brisn x 1, x 3, x 5,... monoton nik (dn terbts). Lebih juh, untuk tip n N, kit mempunyi x n+2 x n = 1 4 (x n x n 2 ). Kren itu, untuk tip k N, kit peroleh x 2k+1 = ( ) 4 k 1 = (1 14 k ). Dengn demikin x 2k untuk k. Jdi x n mestilh konvergen ke 5 3. Slh stu cr mengenli brisn Cuchy dlh dengn meliht selisih ntr stu suku dengn suku berikutny. Brisn x n disebut brisn kontrktif pbil terdpt sutu konstnt 0 < C < 1 sedemikin sehingg untuk setip n N. x n+2 x n+1 C x n+1 x n,. Contoh 14. Brisn x n dengn x 1 = 1, x 2 = 2, dn x n+2 = 1 2 (x n+1 + x n ), n N,

39 Pengntr Anlisis Rel 39 merupkn brisn kontrktif, kren untuk tip n N berlku x n+2 x n+1 = 1 2 x n+1 x n. Teorem 15. Jik x n kontrktif, mk x n Cuchy (dn krenny i konvergen). Sol Ltihn 1. Buktikn Proposisi Tentukn limit brisn x n pd Contoh Buktikn Teorem Dikethui brisn x n dengn x 1 = 1, x 2 = 2, dn x n+2 = x n+1 x n, n N. Buktikn bhw 1 x n 2 untuk tip n N dn x n+2 x n x n+1 x n, n N, sehingg x n Cuchy (dn konvergen). Tentukn limitny. 5. Dikethui brisn r n didefinisikn secr induktif dengn r 1 = 1 dn r n+1 = r n, n N. Buktikn bhw r n kontrktif, sehingg i Cuchy (dn konvergen). 6. Selidiki pkh brisn 1 n kontrktif. 4.4 Brisn Divergen Di ntr brisn divergen, terdpt sekelompok brisn divergen yng menrik untuk dipeljri. Brisn x n diktkn divergen ke + dn kit tuliskn x n + untuk n

40 40 Hendr Gunwn pbil untuk setip M > 0 terdpt N N sedemikin sehingg untuk setip n N berlku x n > M. Serup dengn itu, brisn x n diktkn divergen ke dn kit tuliskn x n untuk n pbil untuk setip M > 0 terdpt N N sedemikin sehingg untuk setip n N berlku x n < M. Dlm [1], brisn divergen ke ± disebut sebgi brisn divergen sejti. Cttn. Wlupun di sini kit menggunkn notsi yng mirip dengn notsi untuk brisn konvergen, Proposisi 5 pd Bb 3 tidk berlku untuk brisn yng divergen ke ± mengingt ± bukn bilngn rel. Contoh 16. (i) Brisn n divergen ke + ; sementr brisn n divergen ke. (ii) Brisn n 1 (yng ditnykn pd Sol Ltihn 3.4 No. 5) merupkn brisn yng divergen ke +. (iii) Brisn ( 1) n n divergen, tetpi bukn merupkn brisn yng divergen ke + tupun divergen ke. Cttn. Brisn x n yng divergen tetpi bukn merupkn brisn yng divergen ke ± diktkn berosilsi. Teorem 17. (i) Jik x n nik dn tk terbts (di ts), mk i divergen ke +. (ii) Jik x n dn tk terbts (di bwh), mk i divergen ke. Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem Buktikn bhw untuk setip bilngn rsionl r > 0, brisn n r divergen ke Mislkn x n > 0 untuk tip n N. Buktikn bhw x n konvergen ke 0 jik dn hny jik 1 x n divergen ke +.

41 Pengntr Anlisis Rel DERET 5.1 Deret dn Kekonvergennny Diberikn sebuh brisn bilngn rel n, definisikn brisn s N dengn N s N := n = N, N N. Untuk tip N N, s N dikenl sebgi jumlh prsil dri deret n. Cttn. Indeks n dpt berjln muli dri 0, sehingg kit mempunyi deret n. Indeks n dpt pul berjln muli dri sembrng bilngn sli n 0. n=0 Jik s N s untuk N, mk deret n diktkn konvergen ke s. Dlm hl ini s disebut sebgi jumlh deret tersebut dn kit tuliskn Ini berrti bhw n = s. n = lim N N n, yng tentu sj bermkn pbil deret konvergen. Contoh 1. Deret geometri 1 2 n

42 42 Hendr Gunwn merupkn brisn jumlh prsil s N = N 1 2 n = N, yng konvergen ke 1. Jdi dlm hl ini kit dpt menuliskn 1 2 n = 1. Secr umum, deret geometri x n = 1 + x + x 2 + x mempunyi jumlh prsil n=0 s N = N n=0 x n = 1 xn+1 1 x. Jik x < 1, mk x N+1 0 untuk N ; sehingg Jdi, untuk x < 1, deret Contoh 2. Deret s N 1, untuk N. 1 x n=0 x n 1 konvergen ke 1 x. Jik x 1, mk deret divergen. 1 n(n + 1) mempunyi jumlh prsil N N 1 s N = n(n + 1) = ( 1 n 1 ( = = 1 1 ) + ( ) + + n + 1 ) ( 1 N 1 N + 1 N + 1. Di sini s N 1 untuk N, sehingg deret di ts konvergen dn mempunyi jumlh 1, ykni 1 n(n + 1) = 1. (Deret yng suku-sukuny sling menghpuskn seperti pd contoh ini disebut deret teleskopis.) )

43 Pengntr Anlisis Rel 43 Sol Ltihn 1. Mislkn α > 0. Tunjukkn bhw 2. Tunjukkn bhw 4 4n 2 1 = 2. n=0 1 (α+n)(α+n+1) = 1 α. 3. Tentukn jumlh prsil deret ( 1) n. Apkh deret ini konvergen? 5.2 Deret dengn Suku-suku Positif Deret yng suku-sukuny bernili positif (tu tk negtif) termsuk deret yng mudh dipeljri, kren jumlh prsilny membentuk brisn nik. Jdi, jik kit ingin menunjukkn bhw deret tersebut konvergen, kit hny perlu menunjukkn bhw brisn jumlh prsilny terbts di ts. Jik brisn jumlh prsilny tk terbts di ts, mk deret tersebut divergen ke +. Contoh 3. Deret mempunyi suku-suku yng bernili positif. Jumlh prsilny, yitu 1 n 2 s N = N 2, membentuk brisn nik dn terbts di ts (liht Contoh 12 pd Bb 3). Kren itu deret di ts konvergen (nmun pd st ini kit belum dpt menghitung jumlh deret tersebut). Contoh 4. Deret mempunyi suku-suku yng bernili positif. Jumlh prsilny, yitu 1 n s N = N, membentuk brisn nik yng tk terbts di ts (Sol Ltihn 3.4 no. 5). Jdi deret ini divergen ke +.

44 44 Hendr Gunwn Teorem 5. Mislkn α > 1, bilngn rsionl. Mk deret Bukti. Perhtikn bhw 2 1 α < 1 dn, untuk tip N > 1, s N s 2 N 1 = α α (2 N 1) α ( 1 = α + 1 ) 3 α + ( ) (N 1)α (2 N 1) α ( α + 1 ) 2 α + ( ) (N 1)α 2 (N 1)α 1 n α ( 1 4 α α ) + ( 1 4 α α ) + = α α + + 2N 1 2 (N 1)α = 1 (21 α ) N α 1 < α konvergen. Jdi s N nik dn terbts di ts. Kren itu kit simpulkn bhw deret konvergen. 1 n α Sol Ltihn 1. Selidiki kekonvergenn deret 1 n!. 2. Mislkn r n dlh brisn bilngn rsionl 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4,.... Tunjukkn bhw r n divergen ke Sift-sift Dsr Deret Bgin ini membhs sift-sift dsr deret. deret konvergen. Kit muli dengn sift liner

45 Pengntr Anlisis Rel 45 Teorem 6 Mislkn n dn b n konvergen ke dn b berturut-turut. Jik λ dn µ dlh bilngn rel sembrng, mk (λ n + µb n ) konvergen ke λ + µb. Bukti. Perhtikn bhw N N N (λ n + µb n ) = λ n + µ λ + µb untuk N, menurut Proposisi 5 pd Bb 3. Teorem 7. Jik deret n konvergen, mk n 0 untuk n. Bukti. Mislkn n = s. Mk untuk N. Akibtny, untuk N. s N = N n s, N = s N s N 1 s s = 0, Teorem 7 menytkn bhw lim kekonvergenn deret n. Sebgi contoh, n n 0 (persisny, lim n ( 1)n tidk d). Keblikn dri Teorem 7 tidk berlku: cukup untuk menjmin bhw deret tetpi 1 n divergen. Proposisi 8. Mislkn deret n=n n konvergen dn n=n b n = 0 merupkn syrt perlu untuk ( 1) n divergen, kren lim n ( 1)n lim n = 0 bukn merupkn syrt n 1 n konvergen. Sebgi contoh, lim n n = 0, n konvergen. Mk, untuk setip N N, deret n 0, untuk N.

46 46 Hendr Gunwn Cttn. Bil Teorem 7 menytkn bhw suku-suku dri sutu deret konvergen hruslh konvergen ke 0, mk menurut Proposisi 8 ekor tu residu dri sutu deret konvergen jug kn konvergen ke 0. Sol Ltihn 1. Apkh deret 2. Buktikn Proposisi 8. n 100n+1 konvergen? 3. Mislkn n turun, n > 0 untuk tip n N, dn n konvergen. Buktikn bhw n n 0 untuk n. [Petunjuk: Tinju n n.] 5.4 Kriteri Cuchy; Uji Kekonvergenn Deret Pd beberp sub-bb terdhulu, kit telh mempeljri deret dengn jumlh prsil yng mempunyi rumus sederhn tu yng membentuk brisn nik, sehingg kekonvergennny reltif mudh diselidiki. Bgimn bil tidk demikin situsiny? Seperti hlny ketik kit berurusn dengn brisn, kit dpt memeriks pkh jumlh prsil deret yng kit mti membentuk brisn Cuchy. Teorem berikut membhs kekonvergenn deret dengn suku-suku yng bergntitnd. Teorem 9. Mislkn n turun, n > 0 untuk tip n N, dn n 0 untuk n. Mk deret ( 1) n 1 n = konvergen. Bukti. Bil kit dpt menunjukkn bhw s n merupkn brisn Cuchy, mk bukti selesi. Perhtikn bhw untuk m > n, kit mempunyi 0 n+1 n m n+1. Ini terjdi kren k > 0 dn k k+1 0 untuk tip k.

47 Pengntr Anlisis Rel 47 Sekrng mislkn ɛ > 0 diberikn. Kren n 0 untuk n, terdpt N N sehingg n < ɛ untuk n N. Akibtny, untuk m > n N, kit peroleh s m s n = n+1 n m n+1 < ɛ. Ini berrti bhw s n Cuchy, sesui dengn hrpn kit. Contoh 10. Deret ( 1) n 1 n = merupkn deret bergnti tnd yng memenuhi hipotesis Teorem 9. Kren itu deret ini konvergen. Teorem 11 (Uji Bnding). Mislkn b n > 0 untuk tip n N dn b n konvergen. Jik mk n konvergen. n b n, n N, Bukti. Ambil ɛ > 0 sembrng. Kren b n konvergen, mk menurut Proposisi 8 terdpt N N sehingg jumlh prsil dri k=k b k < ɛ untuk K N. Sekrng mislkn s n dlh n. Mk, untuk m > n N, kit peroleh s m s n = n m n m b n b m b k < ɛ. Ini menunjukkn bhw s n Cuchy. Jdi k=n+1 n konvergen. Teorem 12 (Uji Rsio). Mislkn n 0 untuk tip n N dn lim n+1 = L. n n Jik L < 1, mk n konvergen; jik L > 1, mk n divergen.

48 48 Hendr Gunwn Teorem 13 (Uji Akr). Mislkn n 1/n terbts dn lim sup n n 1/n = L. Jik L < 1, mk n konvergen; jik L > 1, mk n divergen. Sol Ltihn n 1 1. Selidiki benr tu slh pernytn berikut: Jik n dn b n konvergen, mk n b n konvergen. Jik b n > 0 untuk tip n N, b n konvergen, dn untuk tip N N, mk n konvergen. 2. Buktikn Teorem 12. N n N b n, 3. Buktikn Teorem 13. (Ingt bhw L dlh bilngn terbesr yng merupkn limit dri sutu sub-brisn dri n 1/n.) 4. Selidiki kekonvergenn deret berikut: 1 n 2 +1 n n n 2 n. 5. Dikethui n 0 untuk tip n N dn n konvergen. Buktikn bhw 2 n konvergen. 5.5 Kekonvergenn Mutlk dn Kekonvergenn Bersyrt Deret n diktkn konvergen mutlk pbil deret n konvergen. Sebgi contoh, ( 1) n 1 n 2 konvergen mutlk kren 1 n 2 konvergen.

49 Pengntr Anlisis Rel 49 Ctt bhw deret yng konvergen berdsrkn Uji Rsio secr otomtis merupkn deret konvergen mutlk. Hubungn ntr deret konvergen mutlk dn deret konvergen dinytkn oleh teorem berikut dn cttn di bwhny. Teorem 13. Deret konvergen mutlk senntis konvergen. Bukti. Gunkn Uji Bnding dengn b n = n. Keblikn dri Teorem 13 tidk berlku: deret yng konvergen belum tentu konvergen mutlk. Sebgi contoh, konvergen tetpi tidk konvergen ( 1) n 1 n mutlk. Deret yng konvergen tetpi tidk konvergen mutlk diktkn konvergen bersyrt. Sol Ltihn 1. Buktikn jik 2 n dn (dn krenny konvergen). b 2 n konvergen, mk n b n konvergen mutlk 2. Selidiki pkh deret berikut konvergen mutlk, konvergen bersyrt, tu divergen: ( 1) n 1 n ( 1) n 1 n 3/2. 3. Selidiki kekonvergenn deret berikut: n+1 n n. n+1 n n. 4. Buktikn bhw n=0 x n n! konvergen mutlk untuk setip x R. 5. Buktikn jik n konvergen mutlk, mk 2 n konvergen.

50 50 Hendr Gunwn

51 BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dn Kekontinun, Turunn 51

52 52 Hendr Gunwn

53 Pengntr Anlisis Rel FUNGSI 6.1 Fungsi dn Grfikny Konsep fungsi telh dipeljri oleh Gottfried von Leibniz sejk khir bd ke- 17, nmun definisi fungsi yng kit kenl sekrng berkr pd rumusn Leonhrd Euler pd 1749, yng disempurnkn kemudin oleh Joseph Fourier pd 1822 dn Lejeune Dirichlet pd Sebuh fungsi dri himpunn A ke himpunn B dlh sutu turn yng mengitkn setip x A dengn sebuh elemen tunggl y B, ditulis f : A B x y. Elemen y yng terkit dengn x disebut pet dri x (di bwh f) dn kit tulis y = f(x). Bil f(x) mempunyi rumus yng eksplisit, fungsi f sering dinytkn sebgi persmn y = f(x). Dlm buku ini, kit membtsi pembhsn kit pd fungsi dri A R ke B R, ykni fungsi bernili rel dengn peubh rel. Dlm hl ini, kit dpt menggmbr grfik fungsi f : A B pd bidng-xy (liht Gmbr 6.1). Definisi di ts menjmin bhw setip gris vertikl yng memotong A kn memotong grfik tept pd stu buh titik (tidk mungkin lebih). Jik f dlh sebuh fungsi dri A ke B dn H A, mk kit ktkn bhw f terdefinisi pd H. Himpunn terbesr pd mn f terdefinisi dlh A. Himpunn A dlm hl ini disebut sebgi derh sl f. Sebgi contoh, sebuh brisn merupkn fungsi dengn derh sl himpunn bilngn sli N. Jik f terdefinisi pd H, mk kit definisikn pet dri H di bwh f sebgi f(h) := {f(x) : x H}.

54 54 Hendr Gunwn Gmbr 6.1 Grfik sebuh fungsi Untuk ilustrsi, liht Gmbr 6.2 di bwh ini. Dlm hl H = A, himpunn f(a) disebut sebgi derh nili f. Ctt bhw f(a) tidk hrus sm dengn B. Gmbr 6.2 Pet dri H di bwh f Contoh 1. Persmn y = x 2 mendefinisikn sebuh fungsi dri R ke R. Untuk tip x R terdpt tept sebuh y R yng memenuhi turn y = x 2. Amti bhw, dlm Gmbr 6.3 pd hlmn berikut, setip gris vertikl memotong grfik y = x 2 tept pd sebuh titik. Derh sl fungsi ini dlh R dn derh niliny dlh [0, ). Pet dri ( 0.5, 1], mislny, dlh [0, 1]. Contoh 2. Persmn y 2 = x tidk mendefinisikn fungsi dri [0, ) ke R. Untuk

55 Pengntr Anlisis Rel 55 Gmbr 6.3 Grfik persmn y = x 2 tip x > 0 terdpt du buh y R, ykni y = ± x, yng memenuhi turn y 2 = x. Dlm Gmbr 6.4, mti bhw setip gris vertikl yng memotong sumbu-x pd x 0 > 0 kn memotong grfik y 2 = x pd du buh titik. Gmbr 6.4 Grfik persmn y 2 = x Contoh 3. Persmn y 2 = x, y 0, mendefinisikn sebuh fungsi dri [0, ) ke [0, ). Untuk tip x > 0 terdpt tept sebuh y [0, ), ykni y = x, yng memenuhi turn y 2 = x. Dlm Gmbr 5.5, mti bhw setip gris vertikl yng memotong sumbu-x pd x 0 0 kn memotong grfik y 2 = x, y 0, tept pd sebuh titik.

56 56 Hendr Gunwn Gmbr 6.5 Grfik persmn y 2 = x, y 0 Sol Ltihn 1. Gmbr grfik himpunn semu titik (x, y) sedemikin sehingg { 5 jik x 1 y = 2 jik x < 1 Jelskn mengp grfik tersebut merupkn grfik sebuh fungsi dri R ke R. Tentukn derh niliny. Tentukn pul pet dri [1, 2] di bwh fungsi tersebut. 2. Apkh persmn x 2 + y 2 = 1 mendefinisikn sebuh fungsi dri [ 1, 1] ke [ 1, 1]? Jelskn. 3. Apkh persmn x 2 +y 2 = 1, y 0, mendefinisikn sebuh fungsi dri [ 1, 1] ke [0, 1]? Jelskn. 4. Dikethui f terdefinisi pd H dn A, B H. Selidiki pkh f(a B) = f(a) f(b) dn f(a B) = f(a) f(b). 6.2 Fungsi Polinom dn Fungsi Rsionl Jik 0, 1,..., n R, mk persmn y = x + + n x n

57 Pengntr Anlisis Rel 57 mendefinisikn sebuh fungsi dri R ke R. Sembrng nili x yng disubstitusikn ke rus knn kn memberi kit sebuh nili y yng berkitn dengnny. Untuk n N, fungsi ini dikenl sebgi polinom berderjt n slkn n 0. Untuk n = 0, fungsi konstn y = 0 merupkn polinom berderjt 0. Mislkn P dn Q dlh fungsi polinom, dn S dlh himpunn semu bilngn x R dengn Q(x) 0. Mk, persmn y = P (x) Q(x) mendefinisikn sebuh fungsi dri S ke R. Fungsi ini dikenl sebgi fungsi rsionl. Contoh 4. Fungsi yng diberikn oleh persmn y = x 3 3x 2 + 2x merupkn polinom berderjt 3 (tu polinom kubik ). Grfik fungsi ini dpt diliht dlm Gmbr 6.6. Perhtikn bhw grfik memotong sumbu-x pd tig buh titik (yng merupkn kr persmn kubik x 3 3x 2 + 2x = 0). Gmbr 6.6 Grfik fungsi y = x 3 3x 2 + 2x Contoh 5. Fungsi yng diberikn oleh persmn y = x2 + 4 x 2 4 merupkn polinom rsionl. Derh slny dlh {x : x ±2}. Grfikny dpt diliht dlm Gmbr 6.7.

58 58 Hendr Gunwn Gmbr 6.7 Grfik fungsi y = x2 +4 x 2 4 Sol Ltihn 1. Tentukn derh nili fungsi polinom y = 4x 4x 2 dn sketslh grfikny. 2. Tentukn derh sl fungsi rsionl y = 1 x 1+x dn sketslh grfikny. 6.3 Opersi pd Fungsi; Fungsi Invers Jik H R, f, g : H R, dn λ R, mk kit definisikn f + g dn λf sebgi fungsi yng memenuhi turn (f + g)(x) := f(x) + g(x), x H; (λf)(x) := λf(x), x H. Selin itu kit definisikn pul fg dn f/g sebgi (fg)(x) := f(x)g(x), x H; (f/g)(x) := f(x)/g(x), x H, g(x) 0. Sebgi contoh, jik f dn g dlh polinom, mk f/g merupkn fungsi rsionl. Mislkn A, B R, g : A B, dn f : B R. Mk kit definisikn fungsi komposisi f g : A R sebgi (f g)(x) := f(g(x)), x A.

59 Pengntr Anlisis Rel 59 Perhtikn bhw untuk tip x A x g(x) f(g(x)). Di sini fungsi g beropersi terlebih dhulu terhdp x, bru kemudin fungsi f beropersi terhdp g(x). Contoh 6. Mislkn f : R R didefinisikn sebgi dn g : R R didefinisikn sebgi f(x) = x2 1 x 2 + 1, x R, g(x) = x 2. Mk f g : R R dlh fungsi dengn turn (f g)(x) = f(g(x)) = {g(x)}2 1 {g(x)} = x4 1 x Mislkn A dn B dlh himpunn dn f dlh fungsi dri A ke B. Ini berrti bhw bhw setip nggot A mempunyi sebuh pet tunggl b = f() B. Kit sebut f 1 fungsi invers dri f pbil f 1 merupkn fungsi dri B ke A dengn sift x = f 1 (y) jik dn hny jik y = f(x). Tidk semu fungsi mempunyi fungsi invers. Dri definisi di ts jels bhw f : A B mempunyi fungsi invers f 1 : B A jik dn hny jik setip b B merupkn pet dri sebuh nggot tunggl A. Fungsi dengn sift ini disebut sebgi sutu korespondensi 1 1 ntr A dn B. Secr geometris, f : A B merupkn korespondensi 1 1 ntr A dn B jik dn hny jik setip gris vertikl yng memotong A jug memotong grfik f tept pd sebuh titik dn setip gris horisontl yng memotong B jug kn memotong grfik f tept pd sebuh titik. Kondisi pertm memstikn bhw f merupkn fungsi, sementr kondisi kedu memstikn bhw f 1 merupkn fungsi. Liht Gmbr 6.8 di bwh ini. Contoh 7. Fungsi f(x) = x merupkn korespondensi 1 1 ntr [0, ) dn [0, ). Fungsi ini mempunyi fungsi invers, yitu f 1 (x) = x 2, x 0.

60 60 Hendr Gunwn Gmbr 6.8 Korespondensi 1 1 Sol Ltihn 1. Mislkn f : [0, 1] [0, 1] didefinisikn sebgi f(x) = 1 x 1 + x, 0 x 1, dn g : [0, 1] [0, 1] didefinisikn sebgi g(x) = 4x 4x 2, 0 x 1. Tentukn turn untuk f g dn g f. Apkh merek sm? 2. Untuk fungsi f dn g pd Sol 1, tunjukkn bhw f 1 d sedngkn g 1 tidk d. Tentukn turn untuk f Dikethui g : A B merupkn sutu korespondensi 1 1 ntr A dn B. Buktikn bhw (g 1 g)(x) = x untuk tip x A dn (g g 1 )(y) = y untuk tip y B. 6.4 Fungsi Terbts Mislkn f terdefinisi pd H. Kit ktkn bhw f terbts di ts pd H oleh sutu bts ts M pbil untuk tip x H berlku f(x) M.

61 Pengntr Anlisis Rel 61 Ini setr dengn mengtkn bhw himpunn terbts di ts oleh M. f(h) = {f(x) : x H} Jik f terbts di ts pd H, mk menurut Sift Kelengkpn f(h) mempunyi supremum. Mislkn B = sup f(x) = sup f(h). x H Secr umum, belum tentu terdpt c H sehingg f(c) = B. Jik terdpt c H sehingg f(c) = B, mk B disebut sebgi nili mksimum f pd H dn nili mksimum ini tercpi di c. Untuk ilustrsi, liht Gmbr 6.9 di bwh ini. Gmbr 6.9 Fungsi terbts dn nili mksimumny Definisi fungsi terbts di bwh dn nili minimum dpt dirumuskn secr serup. Jik f terbts di ts dn jug di bwh pd himpunn H, mk f diktkn terbts pd H. Menurut Proposisi 2 pd Bb 1, f terbts pd H jik dn hny jik terdpt K > 0 sedemikin sehingg untuk tip x H berlku f(x) K. Contoh 8. Mislkn f : (0, ) R didefinisikn sebgi f(x) = 1 x, x > 0.

62 62 Hendr Gunwn Fungsi ini terbts di bwh pd (0, ) dn inf f(x) = 0, nmun f tidk mempunyi x>0 nili minimum. Perhtikn pul bhw f tidk terbts di ts pd (0, ). Contoh 9. Mislkn f : [0, 1] [0, 1] didefinisikn oleh f(x) = 1 x. Fungsi ini terbts pd [0, 1], mencpi nili mksimumny (yitu 1) di 0, dn jug mencpi nili minimumny (yitu 0) di 1. Sol Ltihn 1. Selidiki pkh f : [0, 1] [0, 1] yng didefinisikn sebgi f(x) = 1 x 1 + x, 0 x 1, terbts sert mencpi nili mksimum dn minimumny. 2. Selidiki pkh g : [0, 1] [0, 1] yng didefinisikn sebgi g(x) = 4x 4x 2, 0 x 1. terbts sert mencpi nili mksimum dn minimumny. 3. Tunjukkn bhw f(x) = 1 1+x 2 terbts pd R. Apkh f mencpi nili mksimum dn minimumny? 4. Mislkn f dn g terbts di ts pd H dn R. Buktikn bhw sup{ + f(x)} = + sup f(x). x H x H sup x H {f(x) + g(x)} sup x H f(x) + sup x H g(x). Beri contoh bhw kesmn tidk hrus berlku.

63 Pengntr Anlisis Rel LIMIT DAN KEKONTINUAN 7.1 Limit Fungsi di Sutu Titik Diberikn sebuh fungsi yng terdefinisi pd intervl (, b) keculi mungkin di sebuh titik c (, b), kit tertrik untuk mengmti nili f(x) untuk x di sekitr c. Khususny, kit bertny: pkh f(x) menuju sutu bilngn tertentu bil x menuju c? Berikut ini dlh definisi limit sepihk, yitu limit kiri dn limit knn, di sutu titik. Mislkn f terdefinisi pd intervl (, c) dn L R. Kit ktkn bhw f menuju L bil x menuju c dri kiri, dn kit tulis tu f(x) L bil x c lim f(x) = L, x c pbil untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg jik c δ < x < c, mk f(x) L < ɛ. Mislkn f terdefinisi pd intervl (c, b) dn M R. Kit ktkn bhw f menuju M bil x menuju c dri knn, dn kit tulis tu f(x) M bil x c + lim f(x) = M, x c + pbil untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg jik c < x < c + δ, mk f(x) M < ɛ.

64 64 Hendr Gunwn Gmbr 7.1 Limit Kiri f di c Bilngn L dn M disebut sebgi limit kiri dn limit knn dri f di c. Nili f(x) L (tu f(x) M ) menytkn jrk ntr f(x) dn L (tu jrk ntr f(x) dn M), yng dpt kit interpretsikn sebgi keslhn dlm menghmpiri nili L tu M dengn f(x) (tu seblikny menghmpiri nili f(x) dengn L tu M). Keslhn ini dpt dibut sekecil yng kit kehendki dengn cr mengmbil x sedekt-dektny ke c dri kiri tu knn. Contoh 1. Mislkn f : R R dlh fungsi yng didefinisikn sebgi { 1 x, x 1; f(x) = 2x, x > 1. Mk, lim f(x) = 0 dn x 1 lim f(x) = 2. x 1 + Perhtikn bhw nili f(1) terdefinisi, ykni f(1) = 0. Mislkn f terdefinisi pd intervl (, b) keculi mungkin di titik c (, b), dn L R. Kit ktkn bhw f menuju ke L bil x menuju c, dn kit tuliskn f(x) L bil x c tu lim f(x) = L, x c

65 Pengntr Anlisis Rel 65 pbil untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg jik 0 < x c < δ, mk f(x) L < ɛ. Dlm hl ini, bilngn L disebut sebgi limit f di c, dn f diktkn mempunyi limit L di c. Gmbr 7.2 Limit f di c Perhtikn bhw kondisi 0 < x c < δ setr dengn δ < x c < δ, x c. Jdi, 0 < x c < δ jik dn hny jik x memenuhi slh stu dri du pertksmn berikut: c δ < x < c tu c < x < c + δ. Sehubungn dengn itu, kit mempunyi proposisi berikut. Proposisi 2. lim x c f(x) = L jik dn hny jik lim x c x c f(x) = L dn lim f(x) = L. + Menurut Proposisi 2, fungsi pd Contoh 1 tidk mempunyi limit di 1 kren limit kiri dn limit knnny tidk sm. Contoh 3. Mislkn f(x) = x2 1 x 1. Fungsi ini terdefinisi pd (, 1) dn jug pd (1, ). Bil kit tinju nili f(x) untuk x < 1, mk kit dptkn bhw f(x) 2 bil x 1. Bil kit mti nili f(x) untuk x > 1, mk kit dptkn bhw f(x) 2 bil x 1 +.

66 66 Hendr Gunwn Jdi, limit kiri dri f di c sm dengn limit knnny, yitu 2. Kren itu lim x c f(x) = 2. (Perhtikn bhw pd contoh ini, f tidk terdefinisi di 1.) Proposisi 4. (i) lim x c k = k (ii) lim x c x = c. Bukti. (i) Diberikn ɛ > 0, pilih δ > 0 sembrng. Jik 0 < x c < δ, mk k k = 0 < ɛ. Ini membuktikn bhw lim x c k = k. (ii) Diberikn ɛ > 0, pilih δ = ɛ. Jik 0 < x c < δ, mk x c < δ = ɛ. Ini membuktikn bhw lim x c x = c. Sol Ltihn 1. Mislkn n N. Buktikn, dengn menggunkn definisi, bhw lim x 0 + x1/n = Mislkn f : R R dlh fungsi yng didefinisikn sebgi 2x, x < 1; f(x) = 1, x = 1 3 x, x > 1. Buktikn, dengn menggunkn definisi, bhw lim f(x) = 2 dn x 1 Simpulkn bhw lim x 1 f(x) = 2. lim f(x) = 2. x Buktikn, dengn menggunkn definisi, bhw lim x c px + q = pc + q. 4. Buktikn lim x c f(x) = 0 jik dn hny jik lim x c f(x) = Buktikn jik lim x c f(x) = L > 0, mk terdpt δ > 0 sehingg f(x) > 0 untuk c δ < x < c + δ, x c. 7.2 Kekontinun di Sutu Titik Dlm definisi lim x c f(x), nili f di c sm sekli tidk diperhtikn. Kit hny tertrik dengn nili f(x) untuk x menuju c, bukn dengn nili f di c. Jdi mungkin

67 Pengntr Anlisis Rel 67 sj f mempunyi limit L di c seklipun f tidk terdefinisi di titik c. Dlm hl f terdefinisi di c, dpt terjdi f(c) L. Mislkn f terdefinisi pd (, b) dn c (, b). Kit ktkn bhw f kontinu di titik c jik dn hny jik lim f(x) = f(c). x c Berdsrkn Proposisi 2, f kontinu di c jik dn hny jik untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg jik x c < δ, mk f(x) f(c) < ɛ. Secr intuitif, f kontinu di c berrti grfik fungsi f tidk terputus di c. Seperti hlny limit sepihk, kit jug mempunyi definisi kekontinun sepihk. Jik f terdefinisi pd (, c] dn lim f(x) = f(c), mk kit ktkn bhw f kontinu x c kiri di c. Jik f terdefinisi pd [c, b) dn lim f(x) = f(c), mk kit ktkn bhw x c f kontinu knn di c. + Gmbr 7.3 Fungsi Kontinu di Sutu Titik Contoh 5. (i) Untuk setip n N, fungsi f(x) = x 1/n kontinu knn di 0. (ii) Fungsi f(x) = px + q kontinu di setip titik. Teorem 6. Mislkn f terdefinisi pd (, b) keculi mungkin di c (, b). Mk, lim f(x) = L jik dn hny jik, untuk setip brisn x n di (, b) dengn x n x c c (n N) dn lim x n = c, berlku lim f(x n) = L. n n

68 68 Hendr Gunwn Cttn. Jik f kontinu di c, mk L = f(c) dn Teorem 6 menytkn bhw lim f(x n) = f ( lim x ) n ; n n ykni, limit dpt bertukr dengn f. Hsil serup berlku untuk limit kiri dn limit knn. Dengn menggunkn Teorem 6, kekontinun f(x) = px + q di sebrng titik c R dpt dibuktikn sebgi berikut. Mislkn x n dlh sebrng brisn yng konvergen ke c. Mk, menurut Proposisi 5 pd Bb 3, f(x n ) = px n + q pc + q = f(c), untuk n. Menurut kibt dri Teorem 6, f kontinu di c. Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem Buktikn bhw f(x) = x kontinu di setip c > Buktikn bhw f(x) = x kontinu di setip titik. 4. Mislkn f terdefinisi pd (, b) dn kontinu di sutu titik c (, b). Buktikn jik f(c) > 0, mk terdpt δ > 0 sehingg f(x) > 0 untuk x (c δ, c + δ). 5. Konstruksi sebuh fungsi f : R R yng kontinu hny di sebuh titik. 7.3 Sift-sift Limit dn Kekontinun Proposisi 7. Mislkn f dn g terdefinisi pd intervl (, b) keculi mungkin di c (, b). Mislkn lim f(x) = L dn lim g(x) = M, dn λ, µ R. Mk x c x c (i) lim[λf(x) + µg(x)] = λl + µm; x c (ii) lim f(x)g(x) = LM; x c f(x) (iii) lim x c g(x) = L M, slkn M 0. Akibt 8. Jik f dn g kontinu di c, mk λf +µg, fg, dn f g kontinu di c (slkn g(c) 0).

69 Pengntr Anlisis Rel 69 Akibt 9. Fungsi polinom kontinu di setip titik. Fungsi rsionl kontinu di setip titik dlm derh slny. Bukti. Menurut Proposisi 4, f(x) = k dn g(x) = x kontinu di sebrng titik c R. Menurut Proposisi 7(ii), h(x) = x i kontinu di sebrng titik c R, untuk tip i N. Akibtny, menurut Proposisi 7(i), fungsi polinom kontinu di setip titik c R. p(x) = n x n + n 1 x n x + 0 Untuk membuktikn kekontinun fungsi rsionl di setip titik dlm derh slny, kit perlu menggunkn Proposisi 7(iii). Teorem 10. Jik g kontinu di c dn f kontinu di g(c), mk f g kontinu pd c. Bukti. Ambil ɛ > 0 sebrng. Kren f kontinu di b := g(c), mk terdpt δ > 0 sedemikin sehingg f(y) f(b) < ɛ untuk y b < δ. Selnjutny, kren g kontinu di c, kit dpt memilih γ > 0 sedemikin sehingg g(x) g(c) < δ untuk x c < γ. Akibtny, jik x c < γ, mk g(x) b = g(x) g(c) < δ, sehingg Ini berrti bhw f g kontinu di c. Sol Ltihn 1. Buktikn Proposisi 7. f g(x) f g(c) = f(g(x)) f(b) < ɛ. 2. Berikn contoh fungsi f dn g dengn lim f(x) tidk d, lim g(x) d, dn x 0 x 0 f(x)g(x) d. Apkh ini bertentngn dengn Proposisi 7(ii) tu 7(iii)? lim x 0 3. Benr tu slh: Jik lim g(x) = L dn lim f(y) = M, mk lim f(g(x)) = x c y L x c M? 4. Buktikn jik lim x c g(x) = L dn f kontinu di L, mk lim x c f(g(x)) = f(l). 5. Kit ktkn bhw lim f(x) = + pbil, untuk setip M > 0 terdpt x c + δ > 0 sehingg f(x) > M untuk c < x < c+δ. Buktikn bhw lim x 1 = +. x 0 +

70 70 Hendr Gunwn 8. FUNGSI KONTINU PADA INTERVAL 8.1 Kekontinun pd Intervl Secr geometris, f kontinu di sutu titik berrti bhw grfikny tidk terputus di titik tersebut. Serup dengn itu, f kontinu pd sutu intervl pbil grfikny tidk terputus pd intervl tersebut. Secr intuitif, f kontinu pd sutu intervl pbil kit dpt menggmbr grfik fungsi f pd intervl tersebut tnp hrus mengngkt pen dri kerts. Secr forml, sebuh fungsi f diktkn kontinu pd sutu intervl buk I jik dn hny jik f kontinu di setip titik pd I. Fungsi f diktkn kontinu pd intervl tutup I = [, b] jik dn hny jik f kontinu di setip titik c (, b), kontinu knn di, dn kontinu kiri di b. Gmbr 8.1 Grfik fungsi kontinu pd intervl buk Contoh 1. Mislkn f : R R didefinisikn sebgi { x, x 1; f(x) = 3 2, x > 1

71 Pengntr Anlisis Rel 71 Perhtikn bhw f kontinu di setip titik keculi di c = 1. Nmun f kontinu kiri di c = 1, dn krenny f kontinu pd intervl [0, 1]. Kren f tidk kontinu knn di c = 1, mk f tidk kontinu pd intervl [1, 2]. Gmbr 8.2 Grfik fungsi kontinu pd intervl tutup Proposisi 2. Mislkn f terdefinisi pd sutu intervl I. Mk, f kontinu pd I jik dn hny jik, untuk setip x I dn setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg f(x) f(y) < ɛ untuk y I dengn x y < δ. Contoh 3. (i) Fungsi f(x) = px + q kontinu pd sebrng intervl I. (ii) Fungsi g(x) = x kontinu pd sebrng intervl I. (iii) Fungsi h(x) = x kontinu pd sebrng intervl I [0, ). Sol Ltihn 1. Mislkn f : [0, 5] R didefinisikn sebgi f(x) = { 2x, 0 x < 1; 1, 1 x 5. Selidiki pkh f kontinu di setip titik pd intervl [0, 5]. Selidiki kekontinun f pd intervl [0, 1] dn pd intervl [1, 5]. Sketslh grfikny.

72 72 Hendr Gunwn 2. Buktikn bhw fungsi f pd Sol 1 terbts. Tentukn pkh i mempunyi nili mksimum dn nili minimum. 3. Mislkn K > 0 dn f : I R dlh fungsi yng memenuhi f(x) f(y) K x y untuk setip x, y I. Buktikn bhw f kontinu pd I. 8.2 Sift-sift Fungsi Kontinu pd Intervl Sebgi kibt dri Proposisi 8 dn Teorem 11 yng telh dibhs pd Bb 7, kit mempunyi Proposisi 4 dn Proposisi 6 di bwh ini. Proposisi 4. Mislkn f dn g kontinu pd sutu intervl I dn λ, µ R. Mk λf +µg dn fg kontinu pd I. Jug, jik g(x) 0 untuk tip x I, mk f g kontinu pd I. Contoh 5. (i) Setip fungsi polinom kontinu pd sebrng intervl. (ii) Setip fungsi rsionl kontinu pd sebrng intervl dlm derh slny. Sebgi contoh, f(x) = 1 x kontinu pd (0, ). (iii) Fungsi f(x) = x+ x kontinu pd sebrng intervl I [0, ), kren f 1 (x) = x dn f 2 (x) = x kontinu pd sebrng intervl I [0, ). Proposisi 6. Mislkn g : I J kontinu pd intervl I dn f : J R kontinu pd intervl J. Mk f g kontinu pd I. Contoh 7. (i) Fungsi h(x) = 1+x kontinu pd sebrng intervl, kren f(x) = x dn g(x) = 1 + x kontinu pd sebrng intervl. (ii) Fungsi h(x) = 1 x 1+ x Sol Ltihn kontinu pd sebrng intervl I [0, ). 1. Jelskn mengp fungsi berikut kontinu pd sebrng intervl. f(x) = 1 1+ x.

73 Pengntr Anlisis Rel 73 g(x) = 1 + x Mislkn f kontinu pd sutu intervl I dn untuk setip bilngn rsionl r I berlku f(r) = r 2. Buktikn bhw f(x) = x 2 untuk setip x I. 3. Mislkn f : [0, 1] [0, 1] dlh fungsi kontrktif, ykni memenuhi ketksmn f(x) f(y) C x y, x, y [0, 1], untuk sutu konstnt C dengn 0 < C < 1. Konstruksi brisn x n dengn x 1 I dn x n+1 = f(x n ), n N. Buktikn bhw x n konvergen ke sutu L [0, 1], dn L = f(l). 8.3 Lebih juh tentng Fungsi Kontinu pd Intervl Sebgimn telh disinggung dlm Bb 2, intervl [, b] yng tertutup dn terbts merupkn himpunn kompk di R. Sekrng kit kn mempeljri keistimewn yng dimiliki oleh fungsi kontinu pd intervl kompk [, b]. Teorem 8. Mislkn f kontinu pd intervl [, b]. Mk f([, b]) jug merupkn sutu intervl kompk. Teorem ini merupkn konsekuensi dri beberp teorem berikut. Teorem 9. Mislkn f kontinu pd sutu intervl I. Mk derh niliny, yitu f(i), jug merupkn sutu intervl. Teorem 10 (Teorem Nili Antr). Mislkn f kontinu pd sutu intervl I yng memut dn b. Jik u terletk di ntr f() dn f(b), mk terdpt c di ntr dn b sedemikin sehingg f(c) = u. Cttn. Teorem 10 setr dengn Teorem 9. Oleh kren itu kit cukup membuktikn slh stu di ntr merek. Bukti Teorem 10. Tnp mengurngi keumumn, sumsikn < b dn f() < u < f(b). Tinju himpunn H := {x [, b] : f(x) < u}. Jels bhw H kren H. Kren H jug terbts, mk H mempunyi supremum, sebutlh

74 74 Hendr Gunwn c = sup H. Di sini < c < b. Selnjutny tinggl membuktikn bhw f(c) = u, dengn menunjukkn bhw tidk mungkin f(c) < u tupun f(c) > u. Andikn f(c) < u. Kren f kontinu di c, mk terdpt δ > 0 sedemikin sehingg f ( c + 2) δ < u (?). Jdi c + δ 2 H. Ini bertentngn dengn fkt bhw c = sup H. Sekrng ndikn f(c) > u. Sekli lgi, kren f kontinu di c, mk terdpt δ > 0 sedemikin sehingg f(x) > u untuk c δ < x c (?). Jdi tidk d stu pun nggot H pd intervl (c δ, c]. Ini jug bertentngn dengn fkt bhw c = sup H. Teorem 11. Mislkn f kontinu pd intervl [, b]. Mk f terbts pd [, b]. Bukti. Mislkn f tk terbts pd [, b]. Mk terdpt sutu brisn x n di [, b] sedemikin sehingg f(x n ) + untuk n. (1) Kren x n terbts, mk menurut Teorem Bolzno - Weierstrss terdpt sutu sub-brisn x nk yng konvergen ke sutu titik c [, b]. Tetpi f kontinu di c, sehingg f(x nk ) f(c) untuk k. Ini bertentngn dengn (1). Jdi mestilh f terbts pd [, b]. Teorem 12. Mislkn f kontinu pd intervl [, b]. Mk f mencpi nili mksimum dn nili minimum pd [, b]. Bukti. Dri Teorem 11 kit thu bhw f terbts pd [, b]. Mislkn v := sup f([, b]). Konstruksi brisn x n di [, b] dengn f(x n ) v untuk n. Kren x n terbts, terdpt sub-brisn x nk yng konvergen ke sutu titik c [, b]. Nmun kekontinun di c mengkibtkn f(x nk ) f(c) untuk k. Jdi mestilh v = f(c), dn ini berrti bhw v merupkn nili mksimum. dengn itu, f jug mencpi nili minimumny. Serup Contoh 13. Persmn 10x 7 13x 5 1 = 0 mempunyi sebuh kr c ( 1, 0). Untuk menunjukknny, mislkn f(x) = 10x 7 13x 5 1. Mk, f( 1) = 2 dn f(0) = 1. Kren f kontinu pd [ 1, 0] dn 0 terletk di ntr f( 1) dn f(0), mk menurut Teorem Nili Antr terdpt c ( 1, 0) sedemikin sehingg f(c) = 0. Bilngn c dlm hl ini merupkn kr persmn di ts. Contoh 14. Mislkn f : [, b] [, b] kontinu pd [, b]. Mk, terdpt c [, b] sedemikin sehingg f(c) = c. [Bilngn c demikin disebut sebgi titik tetp f.]

75 Pengntr Anlisis Rel 75 Perhtikn bhw pet dri [, b] merupkn himpunn bgin dri [, b], sehingg f() dn f(b) b. Sekrng tinju g(x) = f(x) x, x [, b]. Kren f kontinu pd [, b], mk g jug kontinu pd [, b]. Nmun g() = f() 0 dn g(b) = f(b) b 0. Menurut Teorem Nili Antr, mestilh terdpt c [, b] sedemikin sehingg g(c) = 0. Akibtny f(c) = c. Sol Ltihn 1. Lengkpi Bukti Teorem Nili Antr, khususny bgin yng diberi tnd tny (?). 2. Buktikn bhw setip polinom berderjt gnjil mempunyi sedikitny stu kr rel. 3. Mislkn f kontinu pd sutu intervl kompk I. Mislkn untuk setip x I terdpt y I sedemikin sehingg f(y) 1 2 f(x). Buktikn bhw terdpt sutu c I sedemikin sehingg f(c) = Kekontinun Sergm Proposisi 2 menytkn bhw sutu fungsi f kontinu pd sebuh intervl I jik dn hny jik untuk setip x I dn setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg f(x) f(y) < ɛ untuk y I dengn x y < δ. Contoh berikut memperlihtkn bhw secr umum nili δ bergntung pd ɛ dn x. Contoh 16. Kit telh mengethui bhw f(x) = 1 x kontinu pd (0, 1]. Diberikn x (0, 1] dn ɛ > 0 sebrng, kit dpt memilih δ = min { x 2, } ɛx2 2 sedemikin sehingg untuk y (0, 1] dengn x y < δ berlku 1 x 1 = x y = 1 y xy x 1 y x y < 1 x 2 x ɛx2 2 = ɛ.

76 76 Hendr Gunwn Perhtikn bhw jik x menuju 0, mk δ kn menuju 0. Dlm ksus tertentu, nili δ hny bergntung pd ɛ, tidk pd x. Hl ini terjdi pd, mislny, f(x) = px + q, x R, dengn p 0. Diberikn ɛ > 0, kit dpt memilih δ = ɛ p sedemikin sehingg untuk x, y R dengn x y < δ. f(x) f(y) = p x y < ɛ merupkn kekontinun sergm pd R. Kekontinun f(x) = px + q dlm hl ini Fungsi f : I R diktkn kontinu sergm pd I pbil untuk setip ɛ > 0 terdpt δ > 0 sedemikin sehingg f(x) f(y) < ɛ untuk x, y I dengn x y < δ. Perhtikn bhw dlm definisi di ts x dn y muncul setelh δ, yng mengindiksikn bhw δ tidk bergntung pd x (dn y). Teorem 17. Fungsi f : I R tidk kontinu sergm pd I jik dn hny jik terdpt ɛ 0 > 0 dn du brisn x n dn y n di I sedemikin sehingg x n y n < 1 n dn f(x n ) f(y n ) ɛ 0 untuk setip n N. Teorem berikut menytkn bhw kekontinun pd intervl kompk merupkn kekontinun sergm. Teorem 18. Jik f kontinu pd [, b], mk f kontinu sergm pd [, b]. Bukti. Andikn f tidk kontinu sergm pd [, b]. Mk, menurut Teorem 17, terdpt ɛ 0 > 0 dn du brisn x n dn y n di [, b] sedemikin sehingg x n y n < 1 n dn f(x n) f(y n ) ɛ 0 untuk setip n N. Kren x n terbts di [, b], mk menurut Teorem Bolzno-Weierstrss terdpt sub-brisn x nk yng konvergen, sebutlh ke c [, b]. Kren x n y n < 1 n untuk setip n N, mk sub-brisn y nk kn konvergen ke c jug. Selnjutny, kren f kontinu di c, mk f(x nk ) dn f(y nk ) konvergen ke f(c). Akibtny, f(x nk ) f(y nk ) 0 untuk k. Ini musthil kren f(x n ) f(y n ) ɛ 0 untuk setip n N.

77 Pengntr Anlisis Rel 77 Sol Ltihn 1. Contoh 16 memperlihtkn bhw fungsi f(x) = 1 x tmpkny tidk kontinu sergm pd (0, 1]. Buktikn bhw i memng tidk kontinu sergm pd (0, 1]. 2. Selidiki pkh f(x) = x 2 kontinu sergm pd [0, ). 3. Buktikn jik fungsi f : I R memenuhi ketksmn f(x) f(y) K x y, x, y I, untuk sutu K > 0, mk f kontinu sergm pd I. 4. Buktikn bhw f(x) = x kontinu sergm pd [0, ).

78 78 Hendr Gunwn 9. TURUNAN 9.1 Turunn di Sutu Titik Mislkn f terdefinisi pd sutu intervl terbuk I yng memut titik c. Mk, f diktkn mempunyi turunn di titik c pbil limit f(x) f(c) lim x c x c d, dn dlm hl ini nili limit tersebut disebut turunn dri f di titik c, yng bisny dilmbngkn dengn f (c) tu Df(c). Jdi, untuk fungsi f yng mempunyi turunn di c, kit mempunyi f f(x) f(c) (c) = lim. x c x c Dengn menggnti x dengn c + h, kit peroleh f f(c + h) f(c) (c) = lim. h 0 h Ctt bhw f mempunyi turunn di c jik dn hny jik terdpt sutu bilngn L = f (c) sedemikin sehingg f(c + h) f(c) Lh = ɛ(h) dengn ɛ(h) h 0 untuk h 0. Secr intuitif, sebuh fungsi f mempunyi turunn di titik c berrti bhw grfik fungsi y = f(x) mempunyi gris singgung di titik (c, f(c)) dn grdien gris singgung tersebut dlh f (c). Untuk ilustrsi, liht Gmbr 9.1. Persmn gris singgung pd grfik fungsi y = f(x) di titik (c, f(c)) dlm hl ini dlh y = f(c) + f (c)(x c).

79 Pengntr Anlisis Rel 79 Sebgi cttn, mslh menentukn persmn gris singgung pd kurv di titik tertentu pertm kli dipeljri oleh Rene Descrtes pd 1620-n. Nmun, klkulus diferensil dn integrl yng kit kenl sekrng ini ditemukn oleh Isc Newton pd 1665 (nmun dipubliksikn pd 1704) dn Gottfried Wilhelm von Leibniz pd Gmbr 9.1 Grfik fungsi f yng mempunyi turunn di titik c Contoh 1. Mislkn f(x) = x 2 dn c = 1. Untuk memeriks pkh f mempunyi turunn di 1, kit hitung f(x) f(1) x 2 1 lim = lim x 1 x 1 x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Jdi f mempunyi turunn di 1, dengn f (1) = 2. Secr umum dpt ditunjukkn bhw f(x) = x 2 mempunyi turunn di setip titik c R, dengn f (c) = 2c. Fungsi f : c 2c disebut sebgi turunn dri f. Contoh 2. Mislkn f(x) = x dn c = 0. Perhtikn bhw f(h) f(0) h lim = lim h 0 h h 0 h tidk d (?). Kren itu, f tidk mempunyi turunn di 0. Proposisi 3. Mislkn f terdefinisi pd sutu intervl terbuk I yng memut titik c. Jik f mempunyi turunn di c, mk f kontinu di c.

80 80 Hendr Gunwn Bukti. Perhtikn bhw f(x) f(c) = f(x) f(c) x c untuk x c. Jdi f(x) f(c) untuk x c. (x c) f (c) 0 = 0 Dlm prktekny, kit sering pul menggunkn kontrposisi dri Proposisi 3 yng menytkn: jik f tidk kontinu di c, mk f tidk kn mempunyi turunn di c. Sebgi contoh, fungsi f : [0, 2] R yng didefinisikn sebgi { 2x, 0 x < 1; f(x) = 1, 1 x 2, tidk mungkin mempunyi turunn di 1 kren f tidk kontinu di titik tersebut. Cttn. Proposisi 3 menytkn bhw kekontinun f di c merupkn syrt perlu bgi f untuk mempunyi turunn di c. Nmun, Contoh 2 memperlihtkn bhw kekontinun f di c bukn merupkn syrt cukup untuk mempunyi turunn di c. Sol Ltihn 1. Tentukn persmn gris singgung pd kurv y = x 2 di titik (1, 1). 2. Tunjukkn bhw f(x) = x 2 mempunyi turunn di setip titik c R, dengn f (c) = 2c. 3. Dikethui f(x) = x x, x R. Selidiki pkh f mempunyi turunn di Berikn sebuh contoh fungsi f yng kontinu di 0 tetpi tidk mempunyi turunn di sn, selin f(x) = x. 5. Konstruksi sebuh fungsi f : R R yng mempunyi turunn hny di sebuh titik. 6. Buktikn jik f mempunyi turunn di c, mk f f(c + h) f(c h) (c) = lim. h 0 2h Berikn sebuh contoh fungsi yng tidk mempunyi turunn di sutu titik nmun limit di ts d.

81 Pengntr Anlisis Rel Sift-sift Dsr Turunn Teorem 4. Mislkn f dn g terdefinisi pd sutu intervl terbuk I yng memut titik c. Mislkn λ dn µ bilngn rel sembrng. Jik f dn g mempunyi turunn di c, mk λf + µg, fg, dn f/g mempunyi turunn di c, dn (i) (λf + µg) (c) = λf (c) + µf (c); (ii) (fg) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c); (iii) ( f g ) (c) = f (c)g(c) f(c)g (c) g 2 (c) slkn g(c) 0. Bukti. (i) Perhtikn bhw untuk h 0. [ ] λf(c + h) + ] µg(c [ + h) λf(c) ] µg(c) = λ + µ g(c+h) g(c) (ii) Di sini kit mempunyi untuk h 0. (iii) Ltihn. 1 h[ f(c+h) f(c) h λf (c) + µg (c) 1 h [ ] f(c + [ h)g(c + h) ] f(c)g(c) f(c+h) f(c) + f(c) = g(c + h) h g(c)f (c) + f(c)g (c), h [ g(c+h) g(c) Contoh 5. Mislkn n N dn f(x) = x n. Mk turunn dri f dlh f (x) = nx n 1. Fkt ini dpt dibuktikn secr induktif. Untuk n = 1 tu f(x) = x, jels bhw f (x) = 1. Sekrng mislkn pernytn di ts benr untuk n = k, ykni jik f(x) = x k, mk f (x) = kx k 1. Mk, untuk n = k + 1 tu f(x) = x k+1, kit peroleh f (x) = D(x k.x) = D(x k ).x + x k.d(x) = kx k 1.x + x k = (k + 1)x k. Jdi, menurut Prinsip Induksi Mtemtik, pernytn benr untuk setip n N. h ]

82 82 Hendr Gunwn Teorem 6 (Aturn Rnti). Mislkn g mempunyi turunn di c dn f mempunyi turunn di y = g(c). Mk, f g mempunyi turunn di c dn (f g) (c) = f (g(c))g (c). Bukti. Berdsrkn definisi turunn, (f g) (f g)(x) (f g)(c) f(g(x)) f(g(c)) (c) = lim = lim. x c x c x c x c Bil g(x) g(c) 0 pd sutu intervl terbuk (c δ, c + δ), mk (f g) f(g(x)) f(g(c)) g(x) g(c) (c) = lim = f (g(c)) g (c). x c g(x) g(c) x c Nmun, bil g konstn (mislny), mk rgumentsi di ts gugur. Untuk mengtsiny, definisikn h(y) := { f(y) f(g(c)) y g(c), y g(c), f (g(c)), y = g(c). Perhtikn bhw h kontinu di g(c). Mengingt g kontinu di c, mk menurut Teorem 10 pd Bb 7, h g kontinu di c. Akibtny (f g) f(g(x)) f(g(c)) g(x) g(c) (c) = lim = lim h(g(x)) = f (g(c)) g (c), x c x c x c x c sebgimn yng kit hrpkn. Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem 4 bgin (iii). 2. Mislkn n N dn f(x) = x n. Buktikn dengn menggunkn definisi bhw f (x) = nx n Mislkn n N. Buktikn jik f(x) = x n (x 0), mk f (x) = nx n 1. jik f(x) = x 1/n (x > 0), mk f (x) = 1 n x1/n 1.

83 Pengntr Anlisis Rel Buktikn bhw untuk bilngn rsionl r sembrng berlku slkn x > 0. D(x r ) = rx r 1 5. Mislkn f : R R mempunyi turunn di x. Buktikn jik f mempunyi invers f 1 : R R dn f 1 mempunyi turunn di y = f(x), mk Df 1 (y) = 1 Df(x). 9.3 Turunn Tingkt Tinggi Jik f mempunyi turunn di setip titik dlm sutu intervl terbuk I, mk kit ktkn f mempunyi turunn pd I. Dlm hl ini turunn dri f, yitu f, merupkn fungsi yng jug terdefinisi pd I. Selnjutny kit dpt mendefinisikn turunn kedu dri f sebgi turunn dri f, yng niliny di c dlh f f (x) f (c) (c) = lim, x c x c slkn limit ini d. Turunn kedu dri f berkitn dengn kecekungn grfik fungsi f. Jik f bernili positif pd sutu intervl, mk grfik fungsi f cekung ke ts pd intervl tersebut. Sementr itu, jik f bernili negtif pd sutu intervl, mk grfik fungsi f cekung ke bwh pd intervl tersebut. Setelh menghitung turunn pertm dn kedu dri f, turunn ketig dn seterusny dpt didefinisikn secr serup. Secr umum, f (n) (x) menytkn turunn ke-n, n N, dri f. Contoh 7. Jik f(x) = 1 x, mk f (x) = 1 x 2 ; f (x) = 2 x 3 ;

84 84 Hendr Gunwn f (x) = 6 x 4 ; dn seterusny. (Dptkh nd menentukn rumus umum f (n) (x) untuk n N?) Bil f mempunyi turunn ke-n pd sutu intervl yng memut titik c, mk f dpt dihmpiri oleh sutu polinom berderjt n 1 dn keslhnny dpt ditksir dengn turunn ke-n. Liht Teorem Tylor pd bb berikutny. Sol Ltihn 1. Tentukn pd intervl mn grfik fungsi f(x) = x 3 cekung ke ts dn pd intervl mn i cekung ke bwh. 2. Tentukn rumus umum turunn ke-n dri f(x) = 1 x. 3. Dikethui f(x) = x. Tentukn f (x), f (x), dn f (x). Tentukn rumus umum f (n) (x) untuk n N. 4. Mislkn p(x) dlh polinom berderjt n. Buktikn bhw p (m) (x) = 0 untuk m > n. 5. Berikn sebuh contoh fungsi yng mempunyi turunn pertm tetpi tidk mempunyi turunn kedu di 0.

85 Pengntr Anlisis Rel TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Mksimum dn Minimum Lokl Mislkn f terdefinisi pd sutu intervl terbuk (, b) dn c (, b). Kit ktkn bhw f mencpi nili mksimum lokl di c pbil f(x) f(c) untuk setip x dlm sutu intervl terbuk I yng memut c. Titik c dlm hl ini disebut sebgi titik mksimum lokl. Nili dn titik minimum lokl didefinisikn secr nlog. Gmbr 10.1 f mencpi nili mksimum lokl di c Secr intuitif, f mencpi nili mksimum lokl di c pbil grfikny mempunyi sebuh punck di ts titik c. Serup dengn itu, f mencpi nili minimum lokl di c pbil grfikny mempunyi sebuh lembh di ts titik c.

86 86 Hendr Gunwn Jik f(c) merupkn nili mksimum f pd seluruh intervl (, b), mk tentuny f mencpi nili mksimum lokl di c. Nmun seblikny belum tentu benr, nili mksimum lokl belum tentu merupkn nili mksimum f. Contoh 1. Mislkn f : R R dlh fungsi yng didefinsikn sebgi { x + 2, x < 1, f(x) = x, x 1. Mk, f mencpi nili mksimum lokl di 1, nmun f( 1) = 1 bukn merupkn nili mksimum f pd R. Demikin pul f mencpi nili minimum lokl di 0, nmun f(0) = 0 bukn merupkn nili minimum f pd R. Teorem 2. Mislkn f mempunyi turunn pd (, b) dn c (, b). Jik f mencpi nili mksimum tu minimum lokl di c, mk f (c) = 0. Bukti. Menurut definisi turunn, f(x) f(c) x c f (c) untuk x c. Mislkn f (c) > 0. Menurut Sol Ltihn 7.1 No. 4, terdpt sutu δ > 0 sedemikin sehingg f(x) f(c) > 0 (2) x c untuk x (c δ, c + δ), x c. Sekrng mislkn x (c, c + δ) sembrng. Mk, x c > 0 dn (1) memberikn f(x) f(c) > 0 tu f(x) > f(c). Jdi f tidk mungkin mencpi nili mksimum lokl di c. Selnjutny mislkn x (c δ, c) sembrng. Mk, x c < 0 dn (1) memberikn f(x) f(c) < 0 tu f(x) < f(c). Jdi f jug tidk mungkin mencpi nili minimum lokl di c. Hl serup terjdi ketik f (c) < 0. Jdi, jik f (c) 0, mk f tidk kn mencpi nili mksimum tu minimum lokl di c. Cttn. Keblikn dri Teorem 2 tidk berlku: jik f (c) = 0, belum tentu f mencpi nili mksimum tu minimum lokl di c. Sol Ltihn 1. Berikn sebuh contoh fungsi f yng terdefinisi pd ( 2, 2) dn mencpi nili mksimum lokl di 1 tetpi f(1) bukn merupkn nili mksimum f pd ( 2, 2).

87 Pengntr Anlisis Rel Berikn sebuh contoh fungsi f yng mempunyi turunn nol di sutu titik tetpi f tidk mencpi nili mksimum tu minimum lokl di titik tersebut Titik Stsioner Titik c dengn f (c) = 0 disebut titik stsioner f. Sebgimn telh dictt sebelumny, tidk semu titik stsioner merupkn titik mksimum tu minimum lokl. Sebgi contoh, jik f(x) = x 3, mk f (x) = 3x 2, sehingg 0 merupkn titik stsioner. Nmun, 0 bukn merupkn titik mksimum mupun minimum f. (Titik 0 dlm hl ini merupkn titik infleksi f, yitu titik terjdiny perubhn kecekungn grfik fungsi f.) Gmbr 10.2 Grfik fungsi f(x) = x 3 Situsi yng lebih prh dpt terjdi. Sebgi contoh, fungsi f(x) = x 2 sin 1 x untuk x 0 dn f(0) = 0 mempunyi turunn f (0) = 0 tetpi 0 bukn merupkn titik mksimum tu minimum lokl, tupun titik infleksi. Teorem 3 (Teorem Rolle). Mislkn f kontinu pd [, b] dn mempunyi turunn pd (, b). Jik f() = f(b), mk f (c) = 0 untuk sutu c (, b). Bukti. Kren f kontinu pd intervl kompk [, b], mk menurut sift kekontinun

88 88 Hendr Gunwn f mencpi nili mksimum M di sutu titik c 1 [, b] dn jug mencpi nili minimum m di sutu titik c 2 [, b]. Mislkn c 1 dn c 2 dlh titik-titik ujung [, b]. Kren f() = f(b), mk m = M dn dengn demikin f konstn pd [, b]. Akibtny f (c) = 0 untuk setip c (, b). Mislkn c 1 bukn titik ujung [, b]. Mk c 1 (, b) dn f mencpi nili mksimum lokl di c 1. Menurut Teorem 2, f (c 1 ) = 0. Hl serup terjdi bil c 2 bukn titik ujung [, b]. Sol Ltihn 1. Dikethui f(x) = x x, x R. Tunjukkn bhw 0 merupkn titik stsioner. Selidiki pkh f mencpi nili mksimum tu minimum lokl di Beri contoh sebuh fungsi f yng terdefinisi pd [, b], mempunyi turunn pd (, b), dn f() = f(b), nmun tidk d c (, b) dengn f (c) = Teorem Nili Rt-rt dn Teorem Tylor Sebgi perumumn dri Teorem Rolle, kit mempunyi teorem berikut. Teorem 4 (Teorem Nili Rt-rt). Mislkn f kontinu pd [, b] dn mempunyi turunn pd (, b). Mk untuk sutu c (, b). f (c) = f(b) f() b Cttn. Nili f(b) f() b disebut nili rt-rt f pd [, b]. Nili ini sm dengn grdien rus gris singgung yng menghubungkn titik (, f()) dn (b, f(b)). Kesimpuln Teorem Nili Rt-rt menytkn bhw pd kurv y = f(x) terdpt sutu titik (c, f(c)) dengn grdien gris singgung sm dengn nili rt-rt f pd [, b]. Bukti Teorem 4. Mislkn F didefinisikn pd [, b] sebgi F (x) = f(x) hx

89 Pengntr Anlisis Rel 89 dengn h konstnt. Mk F kontinu pd [, b] dn mempunyi turunn pd (, b). Kit pilih konstnt h sedemikin sehingg F () = F (b), ykni h = f(b) f(). b Kren F memenuhi hipotesis Teorem Rolle, mk F (c) = 0 untuk sutu c (, b). Nmun sehingg teorem pun terbukti. F (c) = f (c) h = 0, Jik f mempunyi turunn di c, mk persmn gris singgung pd kurv y = f(x) di titik (c, f(c)) dlh y = f(c) + (x c)f (c). Untuk x dekt c, nili f(c) + (x c)f (c) merupkn hmpirn yng bik untuk f(x). Nmun seberp besr keslhn dlm penghmpirn ini? Lebih juh, mislkn f mempunyi turunn ke-(n 1) di c. Mk polinom P (x) = f(c) + (x c)f (c) + (x c)2 f (c) + + 2! (x c)n 1 f (n 1) (c) (n 1)! mempunyi turunn ke-k, k = 0, 1,..., n 1, yng sm dengn turunn ke-k dri f. Kren itu msuk kl untuk menghmpiri f(x) dengn P (x) untuk x di sekitr c. Nmun, sekli lgi, seberp besr keslhn dlm penghmpirn ini. Teorem Tylor di bwh ini menjwb pertnyn tersebut. Teorem 5 (Teorem Tylor). Mislkn f mempunyi turunn ke-n pd intervl terbuk I yng memut titik c. Mk, untuk setip x I, berlku f(x) = f(c) + (x c)f (c) + (x c)2 f (c) + + 2! dengn E n = 1 n! (x c)n f (n) (ξ) untuk sutu ξ di ntr x dn c. Proof. Untuk t di ntr x dn c, definisikn F (t) = f(x) f(t) (x t)f (t) (x c)n 1 f (n 1) (c) + E n (n 1)! (x t)n 1 f (n 1) (t). (n 1)!

90 90 Hendr Gunwn Perhtikn bhw Sekrng definisikn F (t) = G(t) = F (t) (x t)n 1 f (n) (t). (n 1)! ( x t ) nf (c). x c Mk, G(x) = G(c) = 0, sehingg menurut Teorem Rolle, terdpt ξ di ntr x dn c sedemikin sehingg 0 = G (ξ) = F (ξ) + n(x ξ)n 1 (x ξ)n 1 (x c) n F (c) = f (n) n(x ξ)n 1 (ξ) + (n 1)! (x c) n F (c). Dri sini kit peroleh dn teorem pun terbukti. F (c) = (x c)n f (n) (ξ) n! Sol Ltihn 1. Dikethui f(x) = x. Tentukn nili rt-rt f pd [0, 4]. Tentukn c (0, 4) sedemikin sehingg f (c) sm dengn nili rt-rt tersebut. 2. Mislkn f kontinu pd [, b] dn mempunyi turunn pd (, b). Buktikn jik f (x) = 0 untuk setip x (, b), mk f konstn pd [, b]. 3. Mislkn f : R R mempunyi turunn di setip titik dn f (x) = x 2 untuk setip x R. Buktikn bhw f(x) = 1 3 x3 + C, dengn C sutu konstnt. 4. Dikethui f : R R memenuhi ketksmn f(x) f(y) C x y p, x, y R, untuk sutu C > 0 dn p > 1. Buktikn bhw f konstn. 5. Buktikn jik f mempunyi turunn kedu di c, mk f f(c + h) 2f(c) + f(c h) (c) = lim h 0 h 2. Berikn sebuh contoh fungsi yng tidk mempunyi turunn kedu di sutu titik nmun limit di ts d.

91 Pengntr Anlisis Rel Mislkn c R dn n N. Buktikn dengn menggunkn Teorem Tylor bhw (1 + c) n = 1 + nc + (Petunjuk. Tinju f(x) = x n.) n(n 1) c c n. 2!

92 92 Hendr Gunwn 11. FUNGSI MONOTON DAN FUNGSI KONVEKS 11.1 Definisi dn Limit Fungsi Monoton Mislkn f terdefinisi pd sutu himpunn H. Kit ktkn bhw f nik pd H pbil untuk setip x, y H dengn x < y berlku f(x) f(y). Jik ketksmn < berlku, mk kit ktkn bhw f nik sejti pd H. Definisi serup dpt dirumuskn untuk fungsi turun dn turun sejti pd H. Fungsi nik tu turun disebut fungsi monoton. Fungsi yng nik dn turun sekligus pd H mestilh konstn pd H. Contoh 1. (i) Fungsi f : R R yng didefinisikn sebgi f(x) = x 3 merupkn fungsi nik sejti pd R. (ii) Fungsi g : (0, ) R yng didefinisikn sebgi g(x) = 1 x turun sejti pd (0, ). merupkn fungsi Proposisi 2. Jik f nik pd [, b], mk f mencpi nili minimum di dn nili mksimum di b. Bukti. Mislkn < x < b. Mk menurut definisi kit mempunyi f() f(x) f(b). Jdi f mencpi nili minimum di dn nili mksimum di b. Sekrng kit kn membhs limit fungsi monoton. Untuk itu, kit perkenlkn notsi f(c ) = lim x c f(x)

93 Pengntr Anlisis Rel 93 Gmbr 11.1(i) Grfik fungsi f(x) = x 3 Gmbr 11.1(ii) Grfik fungsi g(x) = 1 x dn slkn kedu limit ini d. f(c+) = lim x c + f(x), Contoh 3. Mislkn f : R R didefinisikn sebgi { x, x 1; f(x) = 3 2, x > 1

94 94 Hendr Gunwn Mk, f(1 ) = 1 = f(1), sedngkn f(1+) = 3 2. Teorem 4. (i) Jik f nik dn terbts di ts pd (, b), mk f(b ) = sup f(x). x (,b) (ii) Jik f nik dn terbts di bwh pd (, b), mk f(+) = inf f(x). x (,b) Bukti. (i) Mislkn M = sup x (,b) f(x). Diberikn ɛ > 0 sembrng, kit hrus mencri sutu δ > 0 sedemikin sehingg jik b δ < x < b, mk f(x) M < ɛ tu M ɛ < f(x) < M + ɛ. Ketksmn f(x) < M + ɛ sellu terpenuhi kren M merupkn bts ts untuk f pd (, b). Selnjutny, kren M ɛ bukn merupkn bts ts untuk f pd (, b), mk terdpt sutu y (, b) sedemikin sehingg M ɛ < f(y). Nmun f nik pd (, b), sehingg untuk setip x yng memenuhi y < x < b berlku Jdi, pilihlh δ = b y. (ii) Serup dengn (i). M ɛ < f(y) f(x). Akibt 5. Mislkn f nik pd (, b). Jik c (, b), mk f(c ) dn f(c+) d, dn untuk < x < c < y < b. f(x) f(c ) f(c) f(c+) f(y) Sol Ltihn 1. Buktikn Teorem 4 bgin (ii). Muli dengn memislkn m = inf x (,b) f(x). 2. Buktikn jik f turun dn terbts di bwh pd (, b), mk f(b ) = inf f(x). x (,b)

95 Pengntr Anlisis Rel 95 Gmbr 11.2 Ksus f(c ) < f(c) < f(c+) 3. Buktikn jik f dn g nik (sejti) pd H, mk f + g nik (sejti) pd H. 4. Dikethui f(x) > 0 untuk setip x H, dn g := 1 f. Buktikn jik f nik (sejti) pd H, mk g turun (sejti) pd H. 5. Dikethui f nik sejti pd A. Buktikn bhw f merupkn korespondensi 1-1 ntr A dn B := f(a), sehingg f 1 d. Buktikn bhw f 1 nik sejti pd B Fungsi Monoton yng Mempunyi Turunn Pd bgin ini kit kn membhs bgimn kit dpt menyelidiki kemonotonn sutu fungsi mellui turunnny, bil fungsi tersebut mempunyi turunn. Persisny, kit mempunyi teorem berikut. Teorem 6. Mislkn f kontinu pd [, b] dn mempunyi turunn pd (, b). (i) Jik f (x) 0 untuk tip x (, b), mk f nik pd [, b]. Jik f (x) > 0 untuk tip x (, b), mk f nik sejti pd [, b]. (ii) Jik f (x) 0 untuk tip x (, b), mk f turun pd [, b]. Jik f (x) < 0 untuk tip x (, b), mk f turun sejti pd [, b].

96 96 Hendr Gunwn Bukti. (i) Mislkn x dn y bilngn sembrng di [, b] dengn x < y. Mk f memenuhi hipotesis Teorem Nili Rt-rt pd [x, y] dn krenny f (c) = f(y) f(x) y x untuk sutu c (x, y). Jik f (t) 0 untuk tip t (, b), mk f (c) 0 dn krenny f(x) f(y). Jdi f nik pd [, b]. Jik f (t) > 0 untuk tip t (, b), mk f (c) > 0 dn krenny f(x) < f(y). Jdi f nik sejti pd [, b]. (ii) Serup dengn (i). Contoh 7. Mislkn f : R R didefinisikn sebgi f(x) = x(1 x). Turunnny dlh f (x) = 1 2x. Jdi f (x) 0 untuk x 1 2 dn f (x) 0 untuk x 1 2. Dengn demikin f nik pd (, 1 2 ] dn turun pd [ 1 2, ). Sol Ltihn 1. Mislkn n N. Buktikn bhw fungsi f : [0, ) R yng didefinisikn sebgi f(x) = (x + 1) 1/n x 1/n merupkn fungsi turun pd [0, ). 2. Mislkn f mempunyi turunn dn nik pd sutu intervl terbuk I. Buktikn bhw f (x) 0 untuk tip x I. Jik f nik sejti pd I, pkh dpt disimpulkn bhw f (x) > 0 untuk tip x I? Jelskn Invers Fungsi Monoton Menurut Sol 11.1 No. 5, fungsi f yng nik sejti pd A mendefinisikn sutu korespondensi 1-1 ntr A dn B := f(a). Dlm hl ini f kn mempunyi invers f 1. Lebih juh, f 1 nik sejti pd B.

97 Pengntr Anlisis Rel 97 Dlm ksus di mn f kontinu dn derh sl f merupkn intervl, sebutlh I, mk derh niliny jug merupkn sutu intervl, sebutlh J = f(i) (Teorem 10 pd Bb 8). Lebih juh, kit mempunyi teorem berikut. Teorem 8. Mislkn f : I J dengn I intervl dn J = f(i). Jik f nik sejti dn kontinu pd I, mk f 1 : J I kontinu pd J. Bukti. Andikn f 1 tidk kontinu di sutu titik d J. Asumsikn bhw d bukn titik ujung J. Mk, mengingt f 1 nik sejti pd J, f 1 (d ) dn f 1 (d+) d, dn f 1 (d ) < f 1 (d+). Sekrng mislkn λ I sedemikin sehingg f 1 (d ) < λ < f 1 (d+) dn λ f 1 (d). Kren itu f(λ) tidk terdefinisi (butlh ilustrsiny!), dn ini bertentngn dengn hipotesis bhw f terdefinisi pd I. Teorem 9. Mislkn I dn J intervl, I dn J intervl terbuk yng mempunyi titik ujung sm dengn titik ujung I dn J. Mislkn f : I J kontinu dn J = f(i). Jik f mempunyi turunn pd I dn f (x) > 0 untuk tip x I, mk f 1 : J I d dn kontinu pd J. Lebih juh, f 1 mempunyi turunn pd J dn untuk tip y J dn x = f 1 (y). (f 1 ) (y) = 1 f (x) Cttn. Bukti Teorem 9 dpt diliht di [2]. Sol Ltihn 1. Mislkn f : R R didefinisikn sebgi f(x) = 1 + x + x 3. Tunjukkn bhw f mempunyi invers dn hitunglh nili (f 1 ) ( 1). 2. Berikn sebuh contoh fungsi f : A R yng nik sejti dn kontinu pd A, tetpi f 1 tidk kontinu pd B = f(a). (Petunjuk. Himpunn A tentuny bukn sutu intervl.)

98 98 Hendr Gunwn 11.4 Fungsi Konveks Mislkn I R sutu intervl. Fungsi f : I R diktkn konveks pd I pbil untuk setip t [0, 1] dn x 1, x 2 I berlku f((1 t)x 1 + tx 2 ) (1 t)f(x 1 ) + tf(x 2 ). Ctt bhw untuk x 1 < x 2, titik (1 t)x 1 + tx 2 bergerk dri x 1 ke x 2 ketik t bergerk dri 0 ke 1. Jdi jik f konveks pd I dn x 1, x 2 I, mk rus gris yng menghubungkn titik (x 1, f(x 1 )) dn (x 2, f(x 2 )) berd di ts grfik fungsi f (liht Gmbr 11.3). Gmbr 11.3 Grfik fungsi konveks Sebuh fungsi konveks tidk hrus mempunyi turunn di setip titik. Sebgi contoh, f(x) = x merupkn fungsi konveks pd R tetpi tidk mempunyi turunn di 0. Nmun, dpt ditunjukkn jik f konveks pd intervl terbuk I, mk f mempunyi turunn kiri dn turunn knn di setip titik dlm I. Sebgi kibtny, setip fungsi konveks pd intervl terbuk merupkn fungsi kontinu. Teorem berikut memperlihtkn kitn ntr fungsi konveks dn turunn keduny, bil fungsi tersebut mempunyi turunn kedu. Istilh konveks dlm hl ini setr dengn istilh cekung ke ts yng telh kit bhs pd Bb 9. Teorem 10. Mislkn I intervl terbuk dn f : I R mempunyi turunn kedu pd I. Mk, f konveks pd I jik dn hny jik f (x) 0 untuk tip x I.

99 Pengntr Anlisis Rel 99 Bukti. Mislkn f konveks pd I. Untuk tip c I, kit mempunyi f f(c + h) 2f(c) + f(c h) (c) = lim h 0 h 2. Kit pilih h cukup kecil sedemikin sehingg c h dn c + h d di I. Mk, c = 1 2 [(c + h) + (c h)], sehingg ( 1 f(c) = f 2 (c + h) + 1 ) (c h) f(c + h) + 1 f(c h). 2 Akibtny, f(c + h) 2f(c) + f(c h) 0. Kren h 2 > 0 untuk tip h 0, kit simpulkn bhw f (c) 0. Seblikny, mislkn f (x) 0 untuk tip x I. Untuk membuktikn bhw f konveks pd I, mbil x 1, x 2 I dn 0 < t < 1, dn mislkn x 0 = (1 t)x 1 + tx 2. Berdsrkn Teorem Tylor, terdpt ξ 1 di ntr x 0 dn x 1 sedemikin sehingg f(x 1 ) = f(x 0 ) + (x 1 x 0 )f (x 0 ) + (x 1 x 0 ) 2 f (ξ 1 ) 2 dn jug terdpt ξ 2 di ntr x 0 dn x 2 sedemikin sehingg f(x 2 ) = f(x 0 ) + (x 2 x 0 )f (x 0 ) + (x 2 x 0 ) 2 f (ξ 2 ). 2 Perhtikn bhw (1 t)(x 1 x 0 ) + t(x 2 x 0 ) = (1 t)x 1 + tx 2 x 0 E := (1 t) (x1 x0)2 2 f (ξ 1 ) + t (x2 x0)2 2 f (ξ 2 ) 0. Akibtny, = 0 dn (1 t)f(x 1 ) + tf(x 2 ) = f(x 0 ) + E f(x 0 ) = f((1 t)x 1 + tx 2 ), sebgimn yng kit hrpkn. Sol Ltihn 1. Buktikn f konveks pd intervl I jik dn hny jik untuk setip x 1, x 2, x 3 I dengn x 1 < x 2 < x 3 berlku f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 3) f(x 2 ) x 3 x 2. Berikn interpretsi geometrisny besert ilustrsiny.

100 100 Hendr Gunwn 2. Buktikn f konveks pd intervl I jik dn hny jik untuk setip x 1, x 2, x 3 I dengn x 1 < x 2 < x 3 berlku f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1 f(x 3) f(x 1 ) x 3 x 1. Berikn interpretsi geometrisny besert ilustrsiny. 3. Buktikn jik f konveks pd intervl terbuk I, mk f(c + h) f(c) lim h 0 h dn f(c + h) f(c) lim h 0 + h d untuk setip c I, dn sebgi kibtny f kontinu pd I. 4. Mislkn f mempunyi turunn pd intervl terbuk I. Buktikn f konveks jik dn hny jik f nik pd I. 5. Mislkn I intervl terbuk, f : I R nik sejti, konveks, dn mempunyi turunn pd I. brisn x n dengn x 1 > c dn Mislkn c I sedemikin sehingg f(c) = 0. Konstruksi x n+1 = x n f(x n) f, n = 1, 2, 3,.... (x n ) Buktikn bhw x n c untuk n. (Metode penghmpirn kr f ini dikenl sebgi Metode Newton-Rphson. Untuk f(x) = x 2, metode ini menghsilkn brisn x n yng dibhs pd Bb 3, Contoh 13.)

101 BAGIAN KETIGA Integrl, Brisn Fungsi, Pertukrn Limit dn Integrl 101

102 102 Hendr Gunwn

103 Pengntr Anlisis Rel LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh) berpijk pd metode exhustion, yng telh dipki oleh Plto dn Eudoxus, dn kemudin oleh Euclid dn Archimedes, untuk menghitung lus derh lingkrn. Pd 1630-n, Pierre de Fermt tertrik untuk menghitung lus derh di bwh kurv. Mislkn f kontinu pd intervl [, b]. Apkh msuk kl untuk membhs lus derh di bwh kurv y = f(x)? Jik y, bgimnkh kit menghitungny? Gmbr 12.1 Derh di bwh kurv y = f(x) Jik memng msuk kl untuk membhs lus derh di bwh kurv y = f(x), mk lus derh ini setidkny mestilh lebih besr dripd L, yng menytkn lus derh yng dirsir pd Gmbr 12.2.

104 104 Hendr Gunwn Gmbr 12.2 Lus derh L Mislkn L menytkn himpunn semu bilngn L yng dpt diperoleh sebgi jumlh lus derh persegi-pnjng kecil sebgimn dlm Gmbr Mk lus derh di bwh kurv y = f(x) mestilh lebih besr dripd setip nggot L. Tmpkny msuk kl untuk mendefinisikn lus derh di bwh kurv y = f(x) sebgi bilngn terkecil yng lebih besr dripd setip nggot L, ykni sup L. Contoh 1. Mislkn f(x) = x 2, x [0, 1]. Mk, dengn membgi intervl [0, 1] ts n intervl bgin yng sm pnjng dn menghitung jumlh lus derh persegipnjng yng terbentuk, lus derh di bwh kurv y = f(x) mestilh lebih besr dripd 1 [ n n (n ] 1)2 + + n2 n 2. Jumlh deret ini sm dengn (n 1)n(2n 1) 6n 3. Mengingt (n 1)n(2n 1) 6n untuk tip n N dn (n 1)n(2n 1) 6n untuk n, mk bilngn terkecil yng lebih besr dripd (n 1)n(2n 1) 6n 3 tip n N dlh 1 3. Jdi, lus derh di bwh kurv y = f(x) dlh 1 3. untuk