PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.

Transkripsi

1 PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN GURU (PPPG) MATEMATIKA YOGYAKARTA 00

2 BAGIAN PENGERTIAN SUKUBANYAK Adlh Rene Descrtes yng memperkenlkn penggunn huruf-huruf wl lfbet, b, c,, untuk menytkn konstnt, sert penggunn huruf-huruf khir lfbet,,, y, z untuk menytkn peubh (vribel). To this ecellent custom we shll dhere. Untuk turn yng sngt bgus ini, sehrusny kit mengikutiny, tulis Abrhm dn Gry (97:88). Pd ms sekrng, untuk penggunn simbol-simbol yng lebih bnyk dri huruf-huruf pd lfbet, dptlh digunkn indeks seperti,,,,, k, k,, n. Bentuk Umum Sukubnyk Jik 0,,,, n. merupkn n bilngn (bis rel dn bis jug kompleks), mk bentuk umum sukubnykny dlh: P() = n n n n n- n- n 0. Berikut ini dlh beberp istilh penting: Bentuk ljbr k k disebut suku. k disebut koeffisien k Koeffisien dri dengn pngkt tertinggi disebut dengn koeffisien utm (leding coeffisien). 0 disebut konstnt. Untuk n 0 mk sukubnyk tersebut berderjt n. Contoh.. P() = 7 5 dlh sukubnyk berderjt 7, koeffisien utmny, konstntny dlh 5, dn koeffisien 5 dlh 0. P() = dlh sukubnyk berderjt, koeffisien utmny, dn konstntny jug 0.. P() = 5 dlh sukubnyk berderjt 0.. P() = 0 dlh sukubnyk 0, dn tidk memilik derjt. Penjumlhn dn Perklin Sukubnyk Jik P() = dn Q() = 5; mk. P() Q() = ( ) ( 5) = 5 b. P() Q() = ( ) ( 5) = 6 5

3 Secr umum jik: P() = n n n n n n 0 Q() = b m m b m m b m m b 0 dn n>m, mk: P() Q() = n n n n ( m b m ) m ( m b m ) m ( 0 b 0 ) P() Q() = n b m mn ( n b m n b m ) mn ( 0 b b 0 ) ( 0 b b 0 ) 0 b 0 Jik P() = sedngkn Q () = 5, mk pengerjnny dpt dilkukn sebgi berikut: Di smping dengn mengerjkn seperti: ( 5)( ) = = 6 5 Cr linny dlh dengn perklin bersusun berikut: Pengerjn tersebut dpt disederhnkn menjdi berikut: Perklin di ts merupkn perklin bersusun tnp mengikutkn vribel (peubh) - ny. Hsil perklinny dlh sm dengn du cr di ts, yitu 6 5.

4 Ltihn. Susunlh sutu sukubnyk P() berderjt dengn koeffisien utm jug dn dengn konstnt 7.. Tentukn koeffisien pd ( 5)( 7). Coblh untuk tidk menjbrkn bentuk tersebut.. Jbrkn ( 0 ) (b b b 0 ). Jbrkn llu sederhnkn [ ( ) ( ) ][ ] 5. Klikn yng berikut bersusun tnp mengikutkn peubh -ny.. ( )( 5) b. ( 5)( ) c. ( ) d. ( )

5 NILAI SUKUBANYAK BAGIAN Nili sutu suku bnyk dpt ditentukn dengn du cr, yitu dengn cr substitusi dn cr skem (skemtik).. Cr substitusi Dengn cr substitusi ini, nili sutu suku bnyk ditentukn dengn menggnti (mensubstitusi) setip peubh tu vribelny dengn sutu konstnt. Dengn demikin, nili suku bnyk kn sngt bergntung kepd konstnt yng kn menggntikn. Jik sukubnykny dinytkn dlm P(), mk nili sukubnyk P() untuk = dlh P(). Contoh: Jik b. Cr skemtik Jik P() =, mk nili suku bnyk itu untuk = dlh: P() = () (), = = P() = 5, mk nili suku bnyk itu untuk =k dlh: P(k) = k k k 5 = (k k )k 5 = {(k )k }k 5 Perhtikn bentuk terkhir P(k) ini llu bndingkn dengn P() di mn merupkn koefisien, merupkn koefisien, merupkn koefisien, dn yng terkhir 5 merupkn suku tetp suku bnyk itu. Untuk memudhkn, perhtikn tbel ini. 0 Koefisien 5 Perhtikn sekli lgi bentuk terkhir P(k) = {(k )k }k 5. Bentuk terkhir ini menunjukkn bhw cr tu proses menentukn nili suku bnyk P() untuk = k dlh sebgi berikut:. Klikn koefisien (yitu ) dengn k sehingg didpt k. Tmbhkn hsil pd lngkh tdi dengn koefisien (yitu ) sehingg didpt k. Klikn hsil pd lngkh tdi dengn k sehingg didpt (k)k. Tmbhkn hsil pd lngkh tdi dengn koefisien (yitu ) sehingg didpt {(k)k } 5. Klikn hsil pd lngkh tdi dengn k sehingg didpt {(k)k }k 6. Tmbhkn hsil pd lngkh 5 tdi dengn suku tetpny (yitu 5) sehingg didpt {(k)k }k 5 yng merupkn nili sukubnyk P() untuk = k.

6 Dri yng dijelskn di ts nmpklh bhw d beberp kegitn yng sellu dilkukn, yitu:. Menglikn dengn k koefisien peubh dengn pngkt tertinggi.. Menmbhkn hsilny kepd koefisien peubh dengn pngkt tertinggi berikutny.. Menglikn dengn k hsil yng didpt pd lngkh.. Mengulngi lngkh ke- smpi peubhny berpngkt 0. Berdsr keterngn di ts dptlh ditentukn nili suku bnyk P() untuk = mislny dengn cr skemtik sebgi berikut: Koefisien 5 berrti diklikn P() Hsil tersebut dpt dicek dengn menggunkn cr substitusi, yitu: P() = 5 P() = 5 = Ltihn.. Tentukn nili sukubnyk berikut dengn menggunkn du cr, yitu cr substitusi dn cr skemtik:. P() = untuk = b. P() = untuk =. Sukubnyk P() = 5 q bernili untuk =. Tentukn nili q yng memenuhi.. Ad du orng yitu A dn B menghitung nili dri 7 8 untuk =,7 sebgi berikut: A menggunkn cr substitusi B menggunkn cr skemtik Cr mn yng lebih sedikit menggunkn perhitungn ritmetik? 5

7 BAGIAN PEMBAGIAN SUKUBANYAK. Gunkn pembgin berekor untuk menentukn hsil bgi dn sis dri 667: Tentukn: Pembginy. Yng dibgi. Hsil bginy. Sis pembginny. b. Bgimn cr And mengecek kebenrn jwbn And tdi. c. Nytkn pembgin di ts dlm bentuk: Yng Dibgi = Pembgi Hsil Sis Yng Dibgi =. Gunkn pembgin berekor untuk menentukn hsil bgi dn sis dri 7 jik dibgi oleh.. 7. Tentukn: Pembginy. Yng dibgi. Hsil bginy. Sis pembginny. 6

8 b. Bgimn cr And mengecek kebenrn jwbn And tdi. c. Nytkn pembgin di ts dlm bentuk: Yng Dibgi = Pembgi Hsil Sis Yng Dibgi = Perhtikn sekli lgi pembgin sol di ts. Jik hny koefisien yng dituliskn, pembgin tersebut dpt disederhnkn menjdi: sis Dengn mengeliminsi bilngn yng hny menylin dri yng d ditsny (liht bilngn yng dilingkri di ts), kn didpt: Dengn menggnti pengurngn dengn penmbhn, untuk memudhkn mengopersikn kn didpt:

9 Dengn menggeser bgin bwh ke ts, liht tnd pnh di ts, kn didpt: Bentuk di ts sngt mirip dengn pembgin sintetis (skem) tu bgn di bwh ini Ternyt hsil bginy terletk pd bris terbwh yitu 5 sedngkn sisny dlh f() = Jdi, 7 = ( ) ( 5) Cr di ts dpt digunkn hny jik pembginy dlm bentuk k. Sedngkn untuk pembgi dlm bentuk k k k k 0 dpt digunkn cr pembgin bersusun bis. Ltihn. Tentukn hsil bgi dn sis untuk:. 5 dibgi dengn cr.. 5 dibgi dengn cr.. 5 dibgi. dibgi. 5. b dibgi k. 8

10 BAGIAN TEOREMA SISA Sudh dibhs di depn bhw 7: kn menghsilkn dn sis. Dengn demikin 7 =. Secr umum dpt dinytkn bhw: Yng dibgi = Pembgi Hsil Bgi Sis Jik yng dibgi dlh suku bnyk P(), pembginy dlh k, hsilny dlh h() dn sisny dlh s mk kn didpt: P() = ( k).h() s Untuk = k, kn didpt: P(k) = (k k).h() s P(k) = 0. h() s P(k) = s Kren P(k) dlh nili suku bnyk untuk = k dn s = sis, mk bentuk terkhir ini menunjukkn bhw nili P() untuk = k dlh sm dengn sis pembgin P() oleh ( k). Teorem tu Dlil Sis. Jik suku bnyk P() berderjt n dibgi oleh ( k), mk sisny dlh S = P(k) Ltihn. Tunjukkn kebenrn teorem sis dengn menggunkn:. ( 5 6) : ( ) b. ( 7) : ( ). Tentukn hsil bgi h() jik 5 5 dibgi, dn tunjukkn bhw h() jug hbis dibgi. Tentukn bilngn cch k gr k k- hbis dibgi. Suku bnyk P() = p 6 7 dn suku bnyk Q() = 6 7 kn memiliki sis yng sm jik dibgi. Tentukn nili p. 5. Suku bnyk P() = p kn bersis 0 jik dibgi ( ). Tentukn nili p. 9

11 6. Jik k l merupkn sis dri P() jik ( ) ( b), dengn b, mk P(b) P() tunjukkn bhw k =. Tentukn jug bentuk ljbr untuk l. b 7. Tentukn bilngn rel gr 9 hbis dibgi. 8. Jik P() dibgi kn bersis. Tentukn sisny jik P() dibgi. Tentukn jug jik P() dibgi. 9. Sutu sukubnyk P() jik dibgi kn bersis 5, dn jik dibgi kn bersis 5. Tentukn sisny jik dibgi ( )( ). 0. Buktikn dengn induksi mtemtik identits berikut: n k n = ( k)( n n k n k k n ). Tentukn hsil bgi dn sisny, dengn cr pembgin bis sol berikut:. dibgi ( ) b. 6 5 dibgi ( ). Pd sol di ts, dptkh And menyelesikn sol tersebut dengn cr skemtik? Mengp demikin? Jelskn lsn And. 0

12 BAGIAN 5 TEOREMA FAKTOR Sudh dibhs bgin depn bhw P() = ( k) h() s, sehingg P(k) = s. Jik s = P(k) = 0 mk ( k) disebut fktor dri P(). Dengn demikin, didpt teorem fktor berikut: Jik P() merupkn sutu suku bnyk; ( k) merupkn fktor dri P() jik dn hny jik P(k) = 0 Teorem di ts menunjukkn du hl: ) Jik ( k) merupkn fktor dri P() mk f(k) = 0 b) Jik f(k) = 0 mk ( k) merupkn fktor dri P() Jik P() merupkn sutu suku bnyk; dn l() merupkn fktor dri P() jik dn hny jik sis pembgin P() oleh l() dlh 0 Ltihn:. Tentukn suku bnyk P() = b c yng memiliki fktor ( ) dn ( ) sert memiliki nili 6 untuk =. Tentukn hsil bgi dn sisny jik 5 dibgi ( )( ).. Tentukn suku bnyk P() = p() c yng memiliki fktor = 0 dn = 0 sert memiliki nili mksimum 6.. Tentukn nili b dn c jik merupkn fktor dri b c. 5. Tentukn nili p dn q jik ( ) merupkn fktor dri p q. 6. Jik ( k) dlh fktor dri p q, buktikn bhw p q = 0. Tentukn fktor linny. 7. Gunkn cr skem (skemtis) untuk menentukn hsil dn sisny jik:. 5 dibgi ( )( ) b. 6 dibgi ( )

13 BAGIAN 6 RUMUS VIETA Pd mteri pokok tu pokok bhsn Persmn Kudrt (PK) telh dibhs bhw jik, dn merupkn kr-kr persmn kudrt bc c = 0, mk. = c dn = b. Pembuktin untuk hl tersebut dlh sebgi berikut: Kren dn merupkn kr-kr persmn kudrt tersebut, didptlh: ) )( ( ) ( c b ) ) ( ( sehingg : ( ) = b tu = b. = c Jik digunkn notsi : o = ) )( ( ) ( o =, dn kn didpt = 0 = Jik proses seperti itu dilnjutkn untuk persmn pngkt tig, kn didpt ( )( )( ) o = [ ( ) ( ) ] = sehingg didpt = = o = Dengn cr yng sm, untuk persmn pngkt empt o kn didpt: o ( ) ( ) [ ][ ] ( ) ( ) [ ]

14 ( ) ] sehingg dpt disimpulkn = = = o = Perhtikn hsil-hsil di ts d keterturn-keterturn pd hsil-hsil di ts. Dptkh And sekrng mendug hsilny untuk persmn pngkt lim? Gunkn lngkh seperti lngkh di ts. Jik,,, dn 5 merupkn kr dri = 0 isilh titik-titik di bwh ini. 5 =. =. =.. =. 5 =. Untuk memudhkn pr sisw, perhtikn contoh berikut.. Pd persmn b c b c = 0, kn didpt = dn =. Pd persmn pngkt tig b c d = 0 kn didpt b = c = d =. Pd persmn pngkt empt 5 6 = 0 kn didpt. = = = = 5 = = 6 = =

15 . Pd persmn kubik 5 = 0, jik, b, dn c dlh kr-krny, mk tentukn nili b c. Jwb: b c = ( ) = b c bc = bc = ( 5) = 5 ( b c) = b c (b c bc), tu b c = ( b c) (b c bc) = = Ltihn. Jik, b, dn c dlh kr-kr persmn kubik 6 = 0 mk tentukn nili dri:. b c b. b c c. b c. Mislkn, b dn c dlh kr-kr persmn q r = 0. Buktikn bhw c r ( b) = c. Akr-kr persmn kubik p q r = 0 dlh, b dn c. Nytkn bentukbentuk di bwh ini dlm p, q dn r.. b c b. b c c. b c. Akr-kr persmn kubik p q r = 0 dlh, b, dn c. Susunlh persmn kubik bru yng kr-krny dlh:.,, b c b., b, c c., b, dn c 5. Jik dn b dlh kr-kr positif dri m = n, tunjukknlh bhw terdpt hubungn: n = b b m = b b

16 BAGIAN 7 PERSAMAAN SUKU BANYAK Persmn umum suku bnyk dlh n n n... n n n 0 = 0 dengn n 0. Persmn tersebut disebut berderjt n dn mksiml bnykny krkr persmn tersebut dlh n. Mislkn i merupkn bilngn bult (i = n, n, n,,,,, 0) dn slh stu krny dlh = k yng merupkn bilngn bult, sehingg didpt: P(k) = n k n n k n n k n k 0 = 0; tu 0 = k( n k n n k n n k n k ) Dengn demikin, berdsr bentuk di ts bhw k merupkn fktor dri 0. Kesimpulnny, jik sutu persmn polinom dengn kontnt sert koefisienny merupkn bilngn bult, dn jik persmn tersebut mempunyi fktor bult, mk kr tersebut merupkn fktor bult dri konstntny. Contoh Tentukn kr-kr persmn suku bnyk P() = 5 6 = 0 Jwb Sebgimn dijelskn di ts, kr bult yng mungkin dlh fktor dri A o = 6. Fktor bult dri 6 sendiri dlh ±, ±, ±, ± 6. Dengn menggunkn pembgin sintetik (skemtik) kn didpt kr bult tersebut. Cr ini dilkukn dengn mencob fktor bult 6 tdi stu perstu. Jik didpti sis pembginny dlh 0, mk kn dihsilkn slh stu fktorny. Sekrng yng kn dicob dlh jik suku bnyk P() dibgi dengn cr skemtik berikut: k = Kren sisiny 0, mk ( ) merupkn slh stu fktor sukubnyk tersebut sert dlh kr persmn tersebut, sehingg didpt: P() = 5 6 = 0 ( )( 6) = 0 ( )( )( ) = 0 Jdi kr-kr persmn tersebut dlh,, dn. 5

17 Ltihn 7. Jik sutu suku bnyk P() memiliki koeffsien sert konstnt bult, dn jug memiliki kr rsionl r s dengn r merupkn bentuk pling sederhn sert r dn s s merupkn bilngn bult; tunjukknlh bhw r merupkn fktor dri o dn s merupkn fktor dri n. Tentukn seluruh kr rsionl dri: ) 7 6 b) 5 6 c) 6 d) 6 6

18 Ltihn Ulngn. Dikethui suku bnyk f() jik dibgi ( ) bersis 8 dn dibgi ( ) bersis. Suku bnyk g() jik dibgi ( ) bersis 9 dn jik dibgi ( ) bersis 5. Jik h() = f() g(), mk tentukn sis pembgin h() oleh ( ).. Suku bnyk 6 q mempunyi fktor ( ). Tentukn fktor liner yng lin.. Suku bnyk P() = 6 k hbis dibgi ( ). Crilh sis pembgin P() oleh.. Akr-kr persmn = 0 dlh,, dn. Hitunglh nili 5. Sutu suku bnyk P() dibgi oleh ( ) sisny ( ) dn jik dibgi oleh ( ) sisny. Tentukn sis pembgin suku bnyk oleh ( ). 6. Slh stu kr persmn p 7 0 = 0 dlh. Hitunglh jumlh kr-kr persmn tersebut. 7. Sutu suku bnyk F() dibgi oleh ( ) sisny 8, dn jik dibgi ( ) sisny 7. Crilh sis pembgin suku bnyk F() oleh 6. Dftr Pustk Abrhmson, D; Gry, M.C (97). The Art of Algebr. Adelide: Rigby Limited. Krismnto, A (998). Persmn dn Pertidksmn Absolut sert Persmn Polinom. Yogykrt: PPPG Mtemtik Wirodikromo, Srtono (000). Mtemtik 000. Jilid 7. Jkrt: Erlngg 7