1 Sifat Penambahan Selang

Transkripsi

1 BAB : INTEGRAL TOPIK: Sift-sift Integrl Tentu Kometensi yng iukur lh kemmun mhsisw menyelesikn integrl tentu engn menggunkn sift-sift integrl tentu. Sift Penmbhn Selng. UAS Klkulus, Semester Penek 4 no. 3b (kriteri: muh) Tentukn x jx j : Kren mk jx j x ; jik x (x ) ; jik x < x jx j x (x ) + x (x ) x + x + x x 8 3 x3 + x x3 x UAS Klkulus, thun 4 no. 3 (kriteri: muh) Hitung jxjx Kren jxj x; jik x x; jik x <

2 mk jxj x 3 x3 ( x) x + x : + 3 x3 (x) x x 3. UAS Klkulus thun no. b. (kriteri: muh) x j x j Kren mk jx j x ; untuk x (x ) ; untuk x < x jx j x (x ) + x + x + x (x x ) x 3 x3 + x + 3 x3 x ( 8) + ( ) : Teorem Dsr Klkulus (Keu). UAS Klkulus, Semester Penek 4 no. 3 (kriteri: muh)

3 x 3 t sin(t + ) 3 t sin t + ta x 3 sin x 3 + x3 x 3 (sin x 6 + ) 3x 3x 5 sin x 6 + :. UAS Klkulus (), Semester Penek 4 no. 9 (kriteri: sulit) Mislkn fungsi f kontinu R sehingg f(t) t cos x + f(t) sin t t Tentukn 4 f(x) : Ji f (t) t cos x + f (x) sin x + f (x) sin (x) sin x f (x) sin x f (x) sin x sin x sin x cos x Dengn memislkn 4 f (x) 4 sin x cos x : f (t) sin (t) t u cos x ) u sin x ; n mengubh bts engintegrln x ) u cos x 4 ) u cos 4

4 ieroleh 4 sin x cos x u u ( ) u : 3. UAS Klkulus 4 no. (kriteri: muh) Jik fungsi f kontinu R n f(x) t cos( t) t; tentukn f (x). x f (x) t cos ( t) t x x t cos ( t cos ( t) ta t) ta x cos ( x) : 4. UAS Klkulus 4 no. (kriteri:muh) Mislkn fungsi f kontinu selng [; ) n f(x) tentukn f (x). t f (x) + + 3t t f t + + 3t t A q + x + 3 (x ) x x x x 4 : 5. UAS Klkulus () thun 3 no. b (kriteri: muh) t + + 3t t;

5 x + et ta + et ta + e x () + e x : 6. UAS Klkulus no. 5 ex e x + ln (t)t e x + ln (t) t e x 7. UAS Klkulus thun no. 7. Tentukn x x sin (t) ta A : e x + ln (t)t + + ln (t)t e + ln (t)t A + + ln (t)t A + ln (e x ) e x + + ln (e x ) (e x ) e x x + e x + x: A

6 3 x sin (t) t!! x x sin (t) t! sin (t) t + x (i sini u x; v 8. UAS Klkulus thun no. 8 sin (t) t) sin (t) t sin (t) t + x sin x x [cos t]x + x (x) sin x cos x cos + x sin x cos x + + x sin x : Mislkn f fungsi olinomil sehingg f kontinu R. Jik mk () Tentukn rumus f(x). (b) Tentukn f (). tf(t )t x 6 x Mislkn f fungsi olinomil sehingg f merukn fungsi kontinu R:! () Jik mk x t f t t t f t t x 6 x ; x6 x f x 6x 5 4x f x 6x 4 4 x

7 (b) Mislkn sehingg z x ) x z ) x 4 z ; f (z) 6z 4 ) f (x) 6x 4: f (x) x ) f () 4: 9. UAS thun 996 no. 3b. Tentukn G (x) jik. UAS thun 995 no. 3. G (x) Tentukn G (x) jik ikethui x t + t G (x)! x t + t q (x ) + (x) x x 4 + : G (x) 5 x t + t: G (x) 5 t + t x t + t! x 5 q G (x) (x) + 4x + : 3 Sift Keterbtsn. UAS Klkulus thun no. 8 (kriteri: seng) Dikethui f fungsi kontinu [; c] n b [; c] : Jik f nik [; b], turun [b; c] n f () < f (c) ; mk tunjukkn f () (c ) c f (x) f (b) (c ) :

8 Kren f nik selng [; b] n turun selng [b; c], f () < f (c) sert f fungsi kontinu, mk: Ji nili minimum globl fungsi f lh f () nili mksimum globl fungsi f lh f (b) f () f (x) f (b) : n kren f fungsi kontinu [; c] ; mk menurut Sift Keterbtsn berlku f () (c ) c f (x) f (b) (c ) :. UAS Klkulus thun no. 4 (kriteri: muh) 6 Diberikn fungsi turun f engn f(x) : Gunkn Teorem + x Keterbtsn untuk menunjukkn bhw 6 : + x 6 f (x) merukn fungsi turun [; ] : + x Kren f () 6; f () 6 5 n f fungsi turun, mk nili mksimum globl ri f [; ] lh 6 n nili minimum globl ri f [; ] lh 6 : Ji menurut Teorem Keterbtsn 5 Kren selng 6 5 ( ) ( ) + x 6 : + x ; termut lm [; ] mk 5 6 : + x

9 4 Gbungn Beber sift. UAS Klkulus thun 3 no. 6 (kriteri: seng) Dikethui fungsi f n g kontinu i R engn f (x) 5 n (g (x) f (x)) : Dengn menggunkn sift-sift integrl, hitunglh 4 () (b) g (x) ; f (x) : Dikethui R 4 f (x) 5 n R [g (x) f (x)] : Mk: 4 () Ji g (x) g (x) + [g (x) f (x)] f (x) f (x) + 5 5: (b) Mislkn u x; mk u, sehingg u : Ubh bts integrl: x! u n x! u 4: Ji f (x) f (u) u f (u) u (5) 5 :. UAS Klkulus thun 3 no. 9 (kriteri: seng) 3 Dikethui f lh fungsi gnjil yng kontinu R: Jik f ( x) ; tentukn 3 f (x) :

10 Mislkn u x; mk u n x! u ; sengkn x 3! u 3: Ji 3 f ( x) 3 Ji 3 f (x) : Sengkn 3 f (x) + f (x) ( ) : 3 f (u) u : f (x) f (x) (kren f fungsi gnjil) 3. UAS Klkulus thun no. (kriteri: seng-sulit) Jik f () f (4) ; mk hitunglh f 3 (t) + f 4 (t) f (t) t: Dikethui f () f (4) : Mk engn memislkn u + f 4 (t) ) u 4f 3 (t)f (t) t ) f 3 (t) f (t) t 4 u; n engn engubhn bts mk integrl t ) u + f 4 () t 4 ) u + f 4 (4) + ( f ()) 4 + f 4 () f 3 (t) + f 4 (t) f (t) t 4 +f 4 () +f 4 () u u (kren bts engintegrlnny sm) 4. UAS Klkulus thun no. 6 Tentukn kh ernytn-ernytn berikut ini BENAR tukn SALAH. (Jwbn tet: nili ; jwbn tik tet: nili ; tik menjwb: nili )

11 () Lus erh yng ibtsi kurv y f (x) ; sumbu-x; gris x ; n gris x b lh R b f (x) : (b) Jik f terintegrlkn [; b] ; stilh f kontinu [; b] : (c) Jik f tkkontinu [; b] ; stilh tk c [; b] sehingg R b f (x) f (c) : b () Mislkn f kontinu [; b] n x [; b] ; mk f (t) t f (x) : () Slh (kren rumus yng benr lh b b f (x) 6 jf (x)j ): b jf (x)j sengkn (b) Slh (kren fungsi tkkontinu jug terintegrlkn slkn ketkkontinunny i sejumlh hingg titik n fungsiny terbts, mislkn fungsi tngg). (c) Slh (kren fungsi tkkontinu yng memunyi nili c yng emikin). () Slh (kren ersmn yng benr lh x f (t) t f (x)) 5. UAS Klkulus thun no. 7b. Tunjukkn bhw untuk n b sebrng bilngn nyt ositif, berlku : x ( x) b Petunjuk : gunkn substitusi u x. Mislkn x b ( x) u x ) u (n x u) : Ubh bts engintegrln: x ) u x ) u ;

12 sehingg x ( x) b ( u) u b u ( u) u b u u b ( x b ( u) u x) : 6. UAS Klkulus thun 999 no. 9 Dikethui fungsi f engn sift-sift f(x) f( x); f(x) n f(x) 4 Tentukn () (f(x) + f( x)) (b) jf(x)j Dikethui f (x) f ( x) (berrti f fungsi gen); f (x) ; n f (x) 4: () [f (x) + f ( x)] [f (x) + f (x)] f (x) () 4 ( 4) 6 f (x) (kren f fungsi gen)

13 (b) jf (x)j f (x) ; bil f (x) f (x) ; bil f (x) < Kren untuk f (x) berlku f (x) f (x) ; mk jf (x)j t ituliskn sebgi f (x) ; bil f (x) > jf (x)j f (x) ; bil f (x) Ji jf (x)j [ f (x)] (kren f (x) ) ( ) ( 4) 8 7. UAS Klkulus thun 998 no.. f (x) (kren f fungsi gen) Dikethui f kontinu n monoton turun selng [c; ) n iberikn () Tentukn f (x) : c t 3 f (t) t x : (b) Dengn menggunkn Sift Keterbtsn berikut, tentukn selng Cttn: tertutu yng memut nili ri f (x) : (Sift Keterbtsn) Jik f terintegrlkn [; b] n jik m f (x) M untuk semu x lm [; b], mk m (b ) b f (x) M (b ) : () c t 3 f (t) t x ) D x c g (t) t D x x :

14 Mislkn g (t) t 3 f (t) : Kren f kontinu [c; ) mk g kontinu [c; ); sehingg menurut Teorem Dsr Klkulus II : D x g (t) t D x t 3 f (t) t x 3 f (x) : c c Ji x 3 f (x) x x ) f (x) x x : (b) Dikethui f fungsi monoton turun [; 4] ; mk f () f (4) 4 merukn nili mksimum, n 3 6 merukn nili minimum. 5 Kren f kontinu [; 4] mk f terintegrlkn [; 4] ; sehingg menurut Sift Keterbtsn : f (4) (4 ) 8 5 f (x) f () (4 ) f (x) 3 : Ji selng tertutu yng memut R 4 h i f (x) (ntr lin) lh 8 ; UAS Klkulus thun 997 no.. Tuliskn semu ersyrtn gr fungsi f terintegrlkn sutu intervl [; b] : () Untuk seti fungsi i bwh ini, erikslh kh fungsi ini terintegrlkn intervl [ ; ] : An hny imint untuk memeriksny, bukn menentukn nili integrlny. (b) f (x) x (c) f (x) jxj () f (x) x (e) f (x) [x] ; engn [x] ie nisikn sebgi bilngn bult terbesr yng lebih kecil tu sm engn x: Teorem Keterintegrln :

15 () Jik f terbts n kontinu [; b] keculi i sejumlh berhingg titik, mk f terintegrlkn [; b] : Khususny, jik f kontinu [; b] mk f terintegrlkn [; b] : (b) f (x) x terintegrlkn [ ; ] kren f fungsi olinomil sehingg f kontinu [ ; ] : (c) f (x) jxj terintegrlkn [ ; ] kren f fungsi nili mutlk sehingg f kontinu [ ; ] : () f (x) x tik terintegrlkn [ ; ] kren kontribusi selng bgin yng memut ke sembrng jumlh Riemnn t ibut berun besrny () tu berun kecilny ( ) engn cr memilih titik smel x i yng cuku ekt engn ri knn (kiri) yng mengkibtkn Limit Jumlh Riemnn lim kp k! nx f (x i ) 4x i i tik. (e) f (x) [x] terintegrlkn [ ; ] kren f terbts n ketikkontinunny hny i sejumlh berhingg titik. 9. UAS thun 995 no. () Jik ikethui f (x) f ( f (x) : 4 (b) Jik ikethui x) n f (x) 4 n f (x) ; tentukn f (x) ; tentukn f ( x) : () Kren f (x) f ( x) ; yitu f merukn fungsi gen, mk 4 f (x) f (x) () 4: (b) Dengn mengmbil substitusi u x, mk u : Ubh bts: x ) u x ) u

16 sehingg f ( x) f (u) u :