BAB IV INTEGRAL. 30. FUNGSI BERNILAI KOMPLEKS w(t)

Transkripsi

1 BAB IV INTEGRAL Integrl dlh sngt penting dlm mempeljri fungsi ernili kompleks Teori integrl yng kn dikemngkn dlm ini dlh terkenl dlm mtemtik moderen Teorem-teorem yng disjikn umumny singkt dn pdt sert uktiny sederhn FUNGSI BERNILAI KOMPLEKS w(t) Seelum memicrkn integrl dri f() terleih dhulu kn diperkenlkn turunn dn integrl tentu dri fungsi ernili kompleks w dri sutu vriel t Kit tulis () w(t) = u(t) + iv(t), dimn u dn v dlh fungsi ernili rel dri t dengn Turunn w (t), tu d w t dt () w (t) = u (t) + iv (t) slkn turunn u dn v d pd t Jdi,, dri fungsi () disutu titik t dlh didefinisikn Dri persmn (), untuk setip ilngn kompleks tk nol = x + iy, d dt d dt wt x iy u iv= xu yv iyu xv d dt d dt d dt d dt = x u y v i y u x v () wt w' t = (x u y v ) + i(y u + x v ) = (x + iy )(u + iv ) 8

2 Bergi sift yng telh dipeljri dlm klkulus, sift diferensil untuk penjumlhn dn perklin dri fungsi ernili rel t dpt digunkn Mellui sift pd persmn (), dpt diselidiki kitn fungsi ernili rel, dn uktiny dijdikn ltihn, yitu (4) d t t e e dt Kit dpt meneknkn, hw tidk semu sift turunn dlm klkulus dpt diwh kedlm fungsi tipe () Segi ilustrsi dpt diliht pd contoh erikut ONTOH Mislkn hw w(t) dlh kontinu pd intervl t, jdi komponen fungsi u(t) dn v(t) dlh kontinu pd intervl terseut Jik w (t) d dimn < t <, mk teorem nili rt-rt untuk turunn tidk dpt digunkn Jdi tidk sellu enr hw terdpt c dlm intervl < t < sehingg, w w w' c Untuk menunjukn ini, kit hny memutuhkn fungsi w(t) = e it pd intervl t it Kren ' t ie w, ini errti hw w (t) tidk pernh nol, dn w() w() = Definisi integrl dri fungsi pd tipe () pd intervl t dlh didefinisikn dengn (5) wt dt ut dt i vt dimn integrl msing-msing pd gin knn d Jdi (6) Re t dt Re wt dt dn Im wt dt Re wt w dt ONTOH Mellui sutu ilustrsi, yng serup dt t it dt i tdt i dt Tidk tept integrl dri w(t) pd intervl tk terts didefinisikn dengn cr 9

3 Keerdn integrl-integrl dri u dn v dlm definisi (5) dlh jels (ensured) jik fungsi terseut dlh kontinu titik demi titik pd intervl t Sehingg sutu fungsi dlh kontinu dimn-mn dlm intervl keculi mungkin disejumlh hingg titik-titik fungsi itu tidk kontinu, ykni hny memiliki limit stu rh Jels hw, hny mempunyi limit knn dititik dn hny mempunyi limit kiri dititik Dimn u dn v dlh kontinu titik demi titik, sehingg fungsi w diktkn kontinu titik demi titik Untuk mengntisipsi cr-cr untuk mengintegrlkn sutu konstntn kompleks dikli sutu fungsi w(t), untuk penjumlhn-penjumlhn integrl seperti fungsi-fungsi di ts, dn untuk mempertukrkn limit-limit dri integrl dlh enr Aturn-turn yng lin, dijelskn pd sift erikut dt wt dt wt dt w t c c Teorem dsr klkulus, dri nti turunn, dpt diperlus jug dlm integrl dri tipe (5) Khususny, mislkn hw fungsi w(t) = u(t) + iv(t) dn W(t) = U(t) + iv(t) dlh kontinu pd intervl t Jik W (t) = w(t) pd t, mk U (t) = u(t) dn V (t) = v(t) Jug, dri definisi (5), Jdi, dt U t iv t U iv U iv w t (7) wt dt W t W ( ) W ( ) ONTOH Kren (e it ) = ie it, mk 4 e it ie it 4 ie i 4 i

4 seutlh i = i i i Terkhir, sutu sift yng pling penting dlh nili mutlk dri sutu integrl, (8) w ( t) dt w( t) dt () Ketksmn ini jels enr jik nili dri integrl pd gin kiri dlh nol, khususny jik = Selnjutny, kn diselidiki dengn memislkn hw niliny dlh ilngn kompleks tk nol Jik r dlh modulus dn dlh sutu rgumen tertentu, mk Penyelesin untuk r, ditulis i wdt r e e i (9) r = wdt Sekrng gin kiri dri persmn (9) dlh ilngn rel, demikin jug hgin knn Selnjutny, dengn menggunkn kenytn hw gin rel dri ilngn rel dlh ilngn rel itu sendiri dn dengn menggunkn (6), mk persmn (9) dpt ditulis menjdi i e Persmn (9) diperoleh dengn entuk e i () r = Ree wdt Tetpi, dn jug dri persmn (), i i wdt = Re wdt = Ree wdt i i i e w e w e w w ; Re

5 r t w dt Kren r merupkn nili integrl gin kiri (8) dimn nili integrlny tk nol, mk pemuktin telh selesi erikut, Dengn sedikit modifiksi, sift di ts dpt digunkn untuk ketksmn () wt dt wt slkn nili integrl pd persmn () d dt LINTASAN-LINTASAN (ONTOURS) Itegrl dri fungsi ernili kompleks dri sutu vriel kompleks dlh didefinisikn pd kurv dlm idng kompleks, leih dri pd intervl pd gris rel Kels-kels dri kurv dlh cukup untuk dipeljri segi pendhulun dri integrl pd gin ini Sutu himpunn dri titik-titik = (x,y) dlm idng kompleks diktkn usur errh (rc) jik () x = x(t), y = y(t) (t), dimn x(t) dn y(t) dlh fungsi kontinu dengn prmeter rel t Definisi ini merupkn sutu pemetn kontinu dri intervl t kedlm idng xy, tu idng, dn titik-titik yngnny nik menurut urutn dri nili t Selnjutny kit, ik sekli menggmrkn titik-titik dri segi rti dri persmn () = (t) (t), dimn () (t) = x(t) + iy(t) Sift dsr geometri dri sutu rc sellu memerikn notsi yng ered untuk prmeter t dlm persmn () Kenytn ini, dpt diliht pd contoh di wh ini ONTOH Gris poligonl,

6 x ix, jik x, (4) x i, jik x, terdiri dri gris pth dri ke +i dn dri + i ke + i (gmr 6), dlh kurv sederhn y +i +i x Gmr 6 ONTOH Lingkrn stun (5) = e i () yng erpust dititik sl dlh kurv tertutup sederhn, erputr dengn rh erlwnn rh jrum jm Jug lingkrn (6) = + Re i (), dengn pust dengn jri-jri R (liht gin 5) dlh kurv tertutup sederhn ONTOH Busur (7) = e -i () dlh tidk sm dengn usur pd persmn (5) Himpunn dri titik-titikny dlh sm tetpi lingkrn sekrng dlh erputr serh jrum jm ONTOH 4 Titik-titik pd usur errh (8) = e i ()

7 dlh mempunyi entuk yng sm dengn usur errh pd (5) dn (7), nmun usur errh terseut ered kren lingkrn ini erputr senyk du kli dengn rh erlwnn dengn jrum jm Mislkn turunn x (t) dn y (t) dri komponen-komponen fungsi (), digunkn untuk menjelskn sutu usur errh, d dn kontinu sepnjng intervl t Sift seperti ini diseut usur erh yng terdiferensiel Dri sini, jik turunn dri (t) (liht gin ) dlh (9) (t) = x (t) + iy (t), fungsi ernili rel ' t x' t y' t dlh terintegrlkn pd intervl t, pnjng dri kurv dierikn dengn () L = ' t dt Persmn () dlh definisi pnjng usur dlm klkulus Prmeter yng digunkn untuk menjelskn dlh jels tidk tunggl, dn nili dri L yng dierikn pd () dlh tidk eruh dengn menggnti prmeter Khususny, mislkn hw () t =, dimn dlh fungsi ernili rel yng memetkn intervl pd intervl t Asumsikn hw dlh kontinu dn mempunyi turunn kontinu Jug ' > untuk setip, jels hw t nik mengikuti Dengn peruhn vriel pd persmn (), persmn () untuk pnjng dri usur diperoleh L = Jug, jik dinytkn segi ' d ' () = mk (liht ltihn ) Z, 4

8 () ' ' ' Z, dn kitny, persmn () menjdi L = d Z' Jdi pnjng dri dlh sm jik persmn () digunkn Jik persmn = (t) (t) menytkn rc yng terdiferensielkn dn (t) dimn-mn dlm intervl < t<, mk vektor rh stun T = ' ' t t Adlh terdefinisi dengn ik untuk semu t dlm intervl uk, dengn sudut dri inklinsi rg (t) Jug, jik T kontinu mellui prmeter t pd intervl <t< Rumus untuk T ini dlh telh dipeljri dlm klkulus dengn (t) menytkn sutu jri-jri vektor Sehingg sutu usur diktkn mulus Dri kemulusn usur = (t) (t), mk kit mendptkn turunn (t) kontinu pd intervl tutup t dn tk nol pd intervl uk <t< Sutu lintsn, tu usur mulus titik demi titik, dlh terdiri dri sejumlh hingg rc mulus yng dihuungkn secr ersmung Jug, jik persmn () menytkn lintsn, (t) dlh kontinu, dimn turunnny (t) dlh kontinu titik demi titik Gris poligon (4) dlh seuh contoh dri lintsn Jik hny nili wl dn nili khir dri (t) dlh sm, sutu lintsn diseut lintsn tertutup sederhn Segi contoh dlh lingkrn pd (5) dn (6), demikin jug segitig dn empt persegi pnjng dengn rh khusus Pnjng sutu lintsn tu lintsn tertutup sederhn dlh jumlh dri pnjng usur mulus yng digunkn untuk lintsn terseut Titik-titik pd setip kurv tertutup sederhn tu lintsn tertutup sederhn dlh titik-titik ts dri du derh yng ered, stu yng dimiliki dlh interior dri dlh terts, dn yng liny dlh eksterior dri yng tidk terts 5

9 Pemuktin pernytn ini dikethui mellui teorem kurv Jordn, secr geometri uktiny tidk terllu sulit LATIHAN Hitung integrl erikut : () i dt ; () t 6 e i t dt ; (c) e t dt (Re >) Tunjukkn hw jik m dn n dlh ilngn ult, e im e in jik m n jik m n Dri definisi (5) gin, dri integrl fungsi ernili kompleks dri sutu vriel rel, i x x e dx e cos xdx i x e sin xdx Hitung du integrl pd gin knn dengn menghitung integrl pd gin kiri dn identifiksi gin rel dn gin imjiner dri nili yng ditemukn 4 Buktikn diferensil erikut dengn cr yng ditentukn Gunkn turn yng erkitn dlm klkulus, untuk menunjukkn hw d dt wt wt w' t dimn w(t) = u(t) + iv(t) dlh fungsi ernili kompleks dri vriel rel t dn w (t) d t xt xt Gunkn entuk e e cos yt e sin yt, dimn = x + iy dlh ilngn kompleks tetp, untuk menunjukkn d t t e e dt 5 Gunkn ketksmn (8) gin, untuk menunjukkn hw semu nili dri x dlm intervl -x, fungsi 6

10 Pn n x x i x cos d (n =,,, ) memenuhi ketksmn x P n 6 Tunjukkn hw, jik w(t) = u(t) + iv(t) dlh kontinu pd intervl t, mk w tdt w d dimn wt dt w ' d, dlh fungsi dlm persmn () gin 7 Mislkn w(t) = u(t) + iv(t) menytkn fungsi ernili kompleks kontinu pd intervl -t Mislkn hw w(t) dlh fungsi genp, ykni w(-t) = w(t) untuk setip titik t dlm intervl yng dierikn Tunjukkn hw wt dt wt dt Tunjukkn hw, jik w(t) dlh fungsi gnjil, ykni w(-t) = -w(t) untuk w t setip titik t dlm intervl yng dierikn, mk dt 8 Mislkn w(t) dlh fungsi ernili kompleks dri vriel rel t yng kontinu pd intervl t Dengn memperhtikn ksus khusus dri w(t) = e it pd intervl t, tunjukkn hw tidk sellu enr terdpt ilngn c dlm intervl <t< sehingg wt dt wc Selnjutny, tunjukkn pul hw teorem nili rt-rt untuk integrl tentu dlm klkulus tidk dpt digunkn dlm fungsi ini (ndingkn contoh dlm gin ) 9 Mislkn menytkn setengh lingkrn = dengn rh erlwnn dengn jrum jm dn dinytkn dlm du entuk prmeter, ykni dn =() = e i 7

11 Z y Tunjukkn hw Z(y) = y 4 y iy (-y), dimn y y rctn rctnt 4 y Jug, tunjukkn hw fungsi ini mempunyi turunn positif, mellui syrt yng dierikn pd persmn () gin Tunjukkn persmn () gin, untuk turunn dri Petunjuk: Tulis Z x iy Z dn gunkn turn rnti fungsi ernili rel dri vriel rel Mislkn hw fungsi f() dlh nlitik dititik = (t ) pd usur errh mulus = (t) (t) Tunjukkn hw, jik w(t) = f[(t)], mk w (t) = f [(t)] (t) dimn t = t Mislkn y(x) dlh fungsi ernili rel yng didefinisikn pd intervl x dengn persmn y x x sin x jik x, jik x Tunjukkn hw persmn = x+iy(x) (x) menytkn sutu usur errh eririsn dengn sumu rel dititik-titik = /n (n =,,, ) dn =, seperti yng ditunjukkn pd gmr 7 y x Gmr 7 8

12 Tunjukkn hw usur errh dlm gin () dlh mulus Petunjuk : Selidiki kekontinun dri y(x) di x =, dn tunjukkn hw x sin x jik x> Dengn cr serup gunkn ini untuk menemukn y () dn tunjukkn hw y (x) continu di x = INTEGRAL LINTASAN Sekrng, kit kn mempeljri integrl dri fungsi ernili kompleks dri vriel kompleks Sutu integrl didefinisikn dlm entuk nili dri f() sepnjng lintsn, dri titik = smpi dengn titik = dlm idng kompleks Oleh kren itu, sutu integrl gris secr umum niliny ergntung pd lintsn sm dengn fungsi f Dn ditulis, f d tu f d, notsi terseut sering digunkn ketik nili dri integrl tidk ergntung pd pemilihn lintsn dintr du titik Integrl dpt didefinisikn secr lngsung mellui limit dri sutu jumlh, nmun dlm gin ini kit memilih definisi seperti dits yng erkitn dengn gin pendhulun (gin ) Mislkn persmn () = (t) (t) menytkn sutu lintsn dri titik = () ketitik = () Mislkn pul fungsi f() kontinu titik demi titik pd intervl t Kit definisikn integrl gris tu integrl lintsn dri f sepnjng, ykni : () f d f t t dt ' Segi cttn, kren dlh lintsn, mk (t) dlh kontinu titik demi titik pd intervl t, dn keerdn dri integrl pd persmn () dijmin 9

13 Nili dri integrl lintsn dlh invrint terhdp peruhn dlm menytkn lintsn jik peruhn terseut serup dengn persmn () gin Hl ini dpt ditunjukkn dengn cr yng serup seperti pd gin dlm menunjukkn invrint dri pnjng usur errh Dri definisi () dn sift dri integrl fungsi ernili kompleks w(t) yng telh dijelskn dlm gin () hw () f d f d, untuk setip konstnt kompleks, dn o (4) gd f d g f d Berhuungn dengn lintsn yng digunkn pd integrl (), lintsn dlh terdiri dri himpunn titik-titik yng sm dengn tetpi urutnny terlik Lintsn ergerk dri titik ketitik Lintsn mempunyi entuk prmeter = (-t) (-t-) Jdi f d f t t ' dt, dimn (-t) menytkn turunn dri (t) pd t yng dihitung di t Dengn peruhn dri vriel dlm integrl seelumny (liht ltihn 6(), gin ), kit peroleh (5) f d f d Mislkn hw lintsn terdiri dri lintsn dn lintsn, dengn lintsn dri titik ketitik dn dri titik ketitik, titik wl dri merupkn titik khir dri Mk terdpt ilngn rel c, dimn = (c), sehingg dlh dinytkn dengn = (t) (tc) dn dlh dinytkn dengn = (t) (ct) Mk hl ini menjelskn hw f d c f t t dt f t ' t ' dt, c 4

14 (6) d f f f Kdng-kdng lintsn diseut jumlh dri dn dn dinotsikn dengn + Jumlh dri du lintsn dn dlh terdefinisi dengn ik jik dn mempunyi titik khir yng sm, dn ditulis dengn - Terkhir, dri definisi () di ts dn sift (8), gin (), t t dt f d f ' Jug, untuk setip konstnt non negtif M sehingg nili dri f pd memenuhi ketksmn f M, t f d M ' dt Kren integrl pd gin knn menytkn pnjng L dri lintsn (liht gin ), dri sini hw modulus dri integrl f sepnjng tidk meleihi ML, (7) f d ML Hl ini jels hw ketksmn terjdi jik nili dri f pd, f M Segi cttn, semu gris tu gris edr tu jlur (pth) dri integrl dlh dipertimngkn segi lintsn dn yng diintegrlkn dlh fungsi yng kontinu titik demi titik yng didefinisikn pd lintsn-lintsn, sutu ilngn M yng ditmpilkn pd persmn (7) kn sellu d Ini disekn kren fungsi t dlh kontinu pd intervl tertutup dn terts t dimn f dlh kkontinu pd ; dn sehingg fungsi sellu mencpi mksimum yng ernili M pd intervl Jug f mempunyi sutu nili mksimum pd dimn f kontinu pd Sekrng, dengn cr serup jug enr untuk fungsi f yng kontinu titik demi titik pd f 4

15 Integrl tentu dlm klkulus dpt diinterprestsikn segi lus Keculi dlm ksus khusus, tidk erhuungn dengn interprestsi, goemetri tu fisik dlh disedikn untuk integrl dlm idng kompleks ONTOH-ONTOH ontoh rilh nili integrl () I = d dimn dlh setengh gin knn dri lingkrn =, dri = -i ke = i (gmr 8), ykni = e i Dri definisi () gin, i i I = e e ' d ; kren e e dn (e i ) =ie i, i i mk ini errti hw, I = i i e ie d 4i d 4i Segi cttn hw jik sutu titik pd lingkrn =, mk diperoleh hw = 4, tu d () i 4 Jdi hsil I = 4i dpt jug ditulis 4

16 y y i i A +i B x -i Gmr 8 Gmr 9 x ONTOH Dlm contoh ini, mislkn hw menytkn lintsn OAB seperti pd gmr 9 dn kn dihitung integrl () f d f d f OA dimn f() = y-x-ix (=x+iy) Segmen OA dpt dinytkn dlm entuk prmeter mellui = +iy (y); jdi x= dititik-titik pd segemen Nili dri f() dpt diwh kepersmn prmeter y dn diperoleh persmn f() = y (y) Akitny, OA f d yidy i Pd segmen AB, = x+i (x); dn jug Sehingg, persmn () kit peroleh AB d i ydy f AB (4) f d x ix dx xdx i x dx i i d Jik menytkn segmen OB dri gris y = x, dengn entuk prmeter = x+ix (x), 4

17 (5) f d ix idx i x dx i Jels hw integrl dri f() sepnjng du lintsn dn mempunyi nili yng ered wlupun merek mempunyi titik wl dn titik khir yng sm Selnjutny nili integrl dri f() ts lintsn tertutup sederhn OABO, tu, dlh i f d f d ONTOH Kit muli dengn memislkn segi rc mulus semrng = (t) (t) dri titik tetp ketitik tetp Secr terurut kit hitung integrl dri ltihn 4() gin, Jdi, t ' t dt I d, d dt t t ' t t I Tetpi () = dn () = ; dn jug Ini errti, hw nili dri integrlny hny ergntung pd titik-titik khir dri, dn dengn kt lin tidk ergntung pd rc yng dierikn, kit dpt menulis (6) d (ndingkn dengn contoh, dimn nili dri sutu integrl dri stu titik tetp ke yng lin ergntung pd segmen yng dierikn) 44

18 Persmn (6) dlh jug enr jik menytkn lintsn yng tidk perlu mulus dimn lintsn terseut terdiri dri sejumlh hingg usur errh yng mulus k (k =,,,n) yng dihuungkn secr ersmung (end to end) Secr umum, mislkn hw k ergerk dri k ke k+ Mk n n (7) d d k k n k k k dimn merupkn titik wl dri dn n merupkn titik khir dri Dri persmn (7) di ts hw integrl dri f() mengelilingi setip lintsn tertutup sederhn dlm idng mempunyi nili nol (ndingkn dengn contoh, dimn nili dri integrl dri fungsi dierikn mengelilingi segmen tertutup dlh tidk nol) Hl ini kn dijelskn pd gin selnjutny jik integrl dri lintsn tertutup sederhn mempunyi nili nol Pertnyn ini merupkn pust dri teori fungsi ernili kompleks ONTOH 4 Mislkn menytkn pth setengh lingkrn = e i () dri titik = ketitik = - (liht gmr ) Wlupun cng dri gin (6), i (8) f() = r e (r> <<) dri fungsi ernili nyk, integrl dlh tidk terdefinisi pd titik wl = dri lintsn (9) I d y - x Gmr 45

19 dri cng terseut d Untuk integrl dlh kontinu titik demi titik pd Kit kn tunjukn dengn menghitung () = e i, limit-limit knn dri gin rel dn gin imjiner dri fungsi f i e cos i sin (<) di = dlh dn msing-msing Jug f[()] dlh kontinu pd intervl tutup dimn nili = dlh didefinisikn segi Akitny, I i i e ie d i e d ; i dn Terkhir, mk i d e i i e = i I i ONTOH 5 Mislkn R dlh pth setengh lingkrn = Re i (), dn merupkn cng (8) dri kr fungsi kudrt yng digunkn dlm contoh 4 Tnp mencri nili dri integrl, dengn mudh dpt ditunjukkn hw () lim d R R i Jik =R>, i Re R dn R Akitny, titik-titik pd R dimn integrl terdefinisi, M R dimn R M R R Kren pnjng dri R dlh ilngn L = R, dn dri sift (7) gin, hw 46

20 R d M R L Tetpi M R R L R R R R dn jels hw gin knn entuk di ts menuju nol slkn R menuju tkhingg Ini errti () telh diuktikn LATIHAN Untuk fungsi f dn lintsn dlm ltihn smpi dengn 6, gunkn entuk R R, prmeter yng dierikn untuk, untuk menghitung f d f dn dlh setengh lingkrn = e i (); setengh lingkrn = e i () c lingkrn = e i () f() = - dn dlh usur errh dri = smpi = yng terdiri dri setengh lingkrn = + e i () Segmen x dri sumu rel f() = exp( ) dn dlh ts dri ujur sngkr dengn titik-titik sudut,, +i, dn i, orientsi erlwnn dengn rh jrum jm 4 f() dlh dinytkn dengn persmn f 4y jik y dn dlh jik y usur errh dri = --i smpi dengn = +i sepnjng kurv y = x 5 f() = dn semrng lintsn dri setip titk kesetip titik tetp dlm idng 47

21 6 f() dlh cng -+i =exp[(-+i)log ], rg dn dlh lingkrn stun dengn rh positif 7 Dengn menggunkn hsil pd ltihn nomor gin, hitunglh integrl m n d dimn m dn n dlh ilngn ult dn dlh lingkrn stun dengn rh erlwnn dengn jrum jm 8 Hitunglh integrl I dlm contoh gin dengn menggunkn entuk : 4 y iy (-y) (liht jug ltihn 9 gin ) 9 Mislkn dlh usur errh dri lingkrn dri = ke = i terletk dlm kudrn pertm Dengn tnp menghitung integrl, tunjukkn hw d Mislkn menytkn segmen gris dri = i ke = Dengn memperhtikn hw semu titik pd segmen gris, titik tengh dlh closest to origin, d tunjukkn hw 4 dengn tnp menghitung integrl 4 Tunjukkn hw jik dlh ts dri segitig dengn titik-titik sudut, i, dn 4, sert orientsiny erlwnn dengn rh jrum jm, mk e d 6 Mislkn dn menytkn lingkrn = Re i () dn = + Re i () msing-msing Gunkn entuk prmeter terseut untuk menunjukkn hw f d f d dimn f dlh kontinu titik demi titik pd 48

22 Mislkn menytkn lingkrn R erlwnn dengn jrum jm Gunkn entuk prmeter = + Re i (-) dri untuk menurunkn rumus integrl erikut d i n ; d n,, R c d i sin, dimn dlh ilngn rel yng leih esr dri nol dn dimn cng utm dri integrl dn nili utm dri R dlh dimil 4 ANTI TURUNAN Meskipun nili dri integrl lintsn dri sutu fungsi f() dri titik tetp ke titik tetp umumny ergntung pd pth yng dimil, nmun terdpt jug fungsi yng mempunyi integrl dri ke tidk tergntung dri pth (ingt contoh dn gin ) ontoh-contoh jug msih mengilustrsikn kenytn hw nili dri integrl pth tertutup dlh kdng-kdng nol, tetpi tidk sellu nol Teorem diwh ini sellu mempertimngkn kpn sutu integrl dlh tidk tergntung pd pth dn selin itu kpn sutu integrl sekitr pth tertutup mempunyi nili nol Dlm pemuktin teorem kit sellu menemukn sutu perlusn dri teorem dsr klkulus untuk mempermudh perhitungn ergi integrl lintsn Perlusn ini melitkn konsep dri sutu ntiturunn dri sutu fungsi kontinu f dlm sutu domin D, tu sutu fungsi F sedemikin sehingg F () = f() untuk semu dlm D Segi cttn hw sutu ntiturunn dlh diutuhkn sutu fungsi nlitik, nti turunn sutu fungsi f yng dierikn dlh tunggl keculi untuk penjumlhn konstnt kompleks Hl ini disekn kren dri pengurngn F() G() = dri du nti turunn F() dn G() dlh nol Dn erdsrkn teorem gin, sutu fungsi nlitik dlh konstn dlm domin D jik turunnny dlh nol seluruh D 49

23 Teorem Mislkn hw sutu fungsi f dlh kontinu pd domin D Jik stu dri pernytn erikut enr, mk pernytn yng lin jug enr f mempunyi ntiturunn F di D integrl dri f() sepnjng lintsn-lintsn yng terletk sepenuhny dlm D dn memnjng dri titik tetp ketitik tetp semuny mempunyi nili yng sm c Integrl dri f() sekitr lintsn tertutup yng terletk sepenuhny dlm D semuny mempunyi nili nol Segi cttn hw teorem terseut tidk mengklim hw setip pernytn dlh enr untuk semrng fungsi f dn domin D yng dierikn Yng dikethui dlh dri teorem di ts dlh enr semu tu tidk enr semu Untuk memuktikn teorem di ts cukup diuktikn hw pernytn () mengkitkn pernytn (), pernytn () mengkitkn pernytn (c), dn pernytn (c) mengkitkn pernytn () Sekrng, sumsikn hw pernytn () enr Jik sutu lintsn dri ke terletk dlm D dn enr-enr sutu rc yng mulus dengn entuk prmeter = (t) (t), kit kethui dri ltihn, gin hw d dt F t F' t ' t f t ' t (t) Kren teorem dsr klkulus dpt diperlus kedlm fungsi ernili kompleks dri vriel rel (gin ), mk t t dt Ft F F f d f ' Dimn () = dn = (), mk nili dri integrl lintsn di ts dlh F( )- F( ); dn niliny jels tidk tergntung dri lintsn sepnjng menuju dri ke dn terletk dlm seluruh D Jdi, 5

24 () f d F F F Hsil ini dlh jug enr untuk dlh semrng lintsn, tidk perlu mulus dn terletk dlm D Khususny, jik terdiri dri sejumlh hingg rc yng mulus k (k =,,,n), setip k ergerk sepnjng titik k ketitik k+, mk n n f d f d Fk Fk Fn F k k k (Bndingkn dengn contoh gin ) Kenytn ini hw pernytn () telh ditunjukkn Untuk memuktikn pernytn () mengkitkn pernytn (c), kit mislkn dn menytkn du titik pd lintsn tertutup yng terletk dlm D dn entuk du pth, dengn setip pth titik wlny dn titik khirny sehingg = - (gmr ) Asumsikn hw pernytn () enr, dn tulis () f d f () d f d, tu d f Jdi, integrl dri f() sekitr lintsn tertutup = - mempunyi nili nol y D x Gmr 5

25 Terkhir, kit kn tunjukkn pernytn (c) mengkitkn pernytn () Asumsikn hw pernytn (c) enr, dengn menggunkn keenrn pernytn () Mislkn dn menytkn semrng du lintsn yng terletk dlm D, dri titik ke dn dri pernytn (c), persmn () enr (liht gmr ) Selnjutny persmn () enr Oleh kren integrl tidk ergntung pd pth dlm D, mk kit dpt mendefinisikn fungsi F f sds pd D Untuk memuktikn teorem secr lengkp, tinggl ditunjukkn hw F () = f() untuk setip dlm D Kit ekerj disini dengn memislkn + semrng titik, ered dengn, terletk dlm sutu lingkungn dri yitu cukup kecil yng termut dlm D Mk F F f sds f sds f s dimn pth dri integrl dri ke + dpt dipilih mellui segmen gris (gmr ) Dimn ds (liht ltihn 5 gin ), kit dpt menulis dn dri sini hw f f ds F F f ; f s f Tetpi F kontinu dititik Jug untuk setip ilngn positif, terdpt ilngn positif sehingg s f slkn s - f ds ds, 5

26 Akitny, jik titik + dlh cukup dekt ke jug F F f ;, mk Jdi, tu F () = f() y F lim F f + s s D x Gmr 5 ONTOH-ONTOH ontoh-contoh erikut mengilustrsikn teorem dlm gin 4 dn khususny penggunn remus () di ts, yng mn merupkn perlusn teorem dsr klkulus ontoh Fungsi kontinu f() = mempunyi nti turunn F() = / sepnjng idng Jdi i i d untuk setip lintsn dri = ke = +i i i 5

27 ontoh Fungsi turunn dlm domin Akitny dlh kontinu disetip titik keculi dititik sl, mempunyi d (, ) d untuk setip lintsn dri ke dn tidk mellui titik sl Khususny dimn dlh lingkrn = e i (-) Segi cttn, integrl dri fungsi f() = / mengelilingi lingkrn yng sm tidk dpt dihitung dengn cr yng serup Untuk semu turunn dri setip cng F() dri log dlh / (gin (6)), F() tidk terdiferensiel, tu definisi yng sm sepnjng potongn cng Khususny, jik sudut = dri titik sl digunkn untuk potongn cng, F () lemh untuk keerdn titik dimn sudut irisn lingkrn Jdi tidk terletk dlm sutu domin yng dimiliki seluruh F () = /, dn kit tidk dpt menggunkn secr lngsung dri sutu nti turunn ontoh Mislkn D domin, Arg, terdiri dri seluruh idng yng memut titik sl dn sumu rel negtif ng utm Log dri fungsi logritm ernili nyk mellui sutu nti turunn dri fungsi kontinu seluruh D Jug dpt ditulis i d Log i Logi Log i ln i ln i i i i dimn pth pengintegrln dri i smpi i, untuk hl lin, rc i re dri lingkrn dlm contoh (ndingkn contoh gin, dimn dimn integrl ini telh dihitung dengn menggunkn entuk prmeter untuk rc) ontoh 4 Mislkn kit menggunkn sutu nti turunn untuk menghitung integrl 54

28 () d dimn yng diintegrlkn dlh cng i () re r, dri fungsi kr kudrt dn dimn dlh sutu lintsn dri = - ke =, keculi untuk titik khir, terletk di ts sumu x (liht gmr ) Seluruh pengintegrln dlh kontinu titik demi titik pd, dn oleh kren itu integrlny d, cng () dri yng lin, dlh tidk terdefinisi pd sudut =, khususny dititk = Tetpi cng f re i r, - dlh terdefinisi dn kontinu dimn-mn pd Nili dri f () disemu titik pd keculi = sm dengn mengitegrlkn (); jug pengitegrln dpt dignti kemli dengn f () Dimn sutu nti turunn dri f () dlh fungsi Kit dpt menulis kemli i F r re r, - i d F i e e i d f (ndingkn dengn contoh 4 gin ) 55

29 y - x Gmr Integrl () ts lintsn dri = - ke = diwh sumu x mempunyi nili yng lin Dlm ksus ini, kit mengintegrlkn kemli dengn cng i 5 f re r,, yng mempunyi nili terletk dlm cng () diwh hlf plne Fungsi nlitik F i r dlh sutu nti turunn dri f () Jdi re 5 r, i d F i e e i d f Perlu dictt hw integrl dri fungsi () mengelilingi lintsn tertutup mempunyi nili i 4 i 6 TEOREMA AUHY-GOUSTRAT Dlm gin 4, kit telh mengethui hw jik sutu fungsi kontinu f mempunyi sutu nti turunn dlm sutu domin D, integrl dri f() mengelilingi semrng 56

30 lintsn yng seluruhny terletk dlm D mempunyi nili nol Dlm gin ini kit hdirkn sutu teorem yng memerikn sift yng lin pd sutu fungsi f 57