(Suatu Aplikasi dari Faktorisasi Tunggal Pada Z[X])

Transkripsi

1 DADU SICHERMAN (Sutu Apliksi dri Fktorissi Tunggl Pd Z[X]) Elh Nurlelh Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Pendidikn Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Pendidikn Indonesi *) ABSTRACT An interesting ppliction of unique fctoriztion in Z[X] is Sichermn dice. The dice is pir of dice whose hs different number from ordinry dice which fces re lbeled 1 through 6. But probbility the sum of fces re sme s the sum of ordinry dices. Sichermn dice is obtined by using one to one correspondence between the two polynomils nd the fce of two dice of ordinry dice. Kt Kunci : ring R[X], derh Integrl, polynomil irreducible, Fktorissi tunggl pd Z[X]. PENDAHULUAN Pd mklh ini kn disjikn sutu pliksi yng menrik dri teorem fktorissi tunggl pd Z[X]. Dn dengn menggunkn sift korespondensi stu-stu ntr du polinomil dn du mt dri du buh ddu yng permuknny diberi nomor dri 1 smpi 6, dpt dihsilkn sepsng ddu lin yng mempunyi probbilits sm dengn du buh ddu dengn nomor terurut. Sebgi mteri prsyrt untuk mempeljri bhn tersebut terlebih dhulu diurikn beberp definisi, teorem dn lemm yng menunjng. MATERI PRASYARAT Teorem 1: ( Teorem Fundmentl Aritmtik) Setip bilngn bult lebih besr dripd stu dlh prim tu hsil kli bilngn prim. Hsil kli tersebut tunggl, keculi urutn di mn bilngn bilngn tersebut *) Reviewer: Din Usdiyn, Jurusn Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI 20 Jurnl Pengjrn MIPA UPI Vol. 2 No. 1 Juni 2001

2 muncul. Jdi jik n = p 1 p 2 p r dn n = q 1 q 2 q s dimn p i dn q j msing-msing prim, mk r = s dn setelh q j diurutkn kembli diperoleh p i = q j, untuk setip i. Definisi 2: Polinomil Ats Ring R Mislkn R sutu Ring komuttif, Himpunn R[X] = { n x n + n-1 x n x + 0 ii R, n bilngn bult positif } disebut ring polinomil ts R dengn indeterminte X. Mislkn f(x) = n x n + n-1 x n x + 0 dn g(x) = b m x m + b m-1 x m-1 + +b 1 x + b 0 dengn f(x) dn g(x) R[X], mk : f(x) + g(x) = ( s + b s )x s + ( s-1 + b s-1 )x s ( 1 + b 1 ) x b 0 dimn i = 0 untuk i > n dn b i = 0 untuk i > m. Jug, f(x).g(x) = c m+n x m+n + c m+n-1 x m+n c 1 x + c 0 dimn c k = k b 0 + k-1 b b k b k untuk k = 0,, m+n. Definisi 3 : ( Derh Integrl ) Sutu ring komuttif dengn elemen stun disebut derh integrl jik tidk memut elemen pembgi nol. Teorem 4 : Jik D sutu derh integrl, mk D[X] sutu derh integrl. Bukti: Jik D sutu derh integrl mk D dlh sutu ring, dn kibtny D[X] sutu ring. Untuk membuktikn bhw D[X] sutu derh integrl tinggl menunjukkn bhw D[X] memenuhi sift komuttif, memut elemen stun dn tidk memut elemen pembgi nol. Sift komuttif pd D[X] lngsung dipenuhi jik D bersift komuttif. Dn jik 1 elemen stun pd D, mk f(x) = 1 dlh elemen stun pd D[x] sebb g(x) D[X], g(x).1 = 1.g(x) = g(x). Selnjutny mislkn f(x) = n x n + n-1 x n dn g(x) = b m x m + b m-1 x m b 0 di mn n 0 dn b m 0. Mk f(x).g(x) mempunyi koefisien utm n b m dn kren D derh integrl mk n b m 0. Jurnl Pengjrn MIPA UPI Vol. 2 No. 1 Juni

3 Definisi 5 : Mislkn D sutu derh integrl. Sutu polinomil f(x) D[X] yng bukn polinomil nol dn bukn polinomil stun dlm D[X] disebut polinomil irreducible ts D, jik f(x) = g(x)h(x) dengn g(x) dn h(x) D[X], mk f(x) tu g(x) dlh elemen stun dlm D[X]. Polinomil tk nol tu polinomil yng bukn stun dlm D[x] yng tidk irreducible ts D disebut reducible ts D. Definisi 6: ( Konten Dri Polinomil, dn Polinomil Primitif ) Konten dri sutu polinomil n x n + n-1 x n dengn i Z, i = 0,1,2, n dlh pembgi persekutun terbesr dri n, n-1,, 0. Sutu polinomil primitif dlh polinomil pd Z[X] dengn konten 1. Lemm 7 : ( Lemm Guss). Hsil kli du buh polinomil primitif dlh primitif. Bukti : Mislkn f(x) dn g(x) msing-msing dlh polinomil primitif, dn mislkn f(x)g(x) bukn polinomil primitif. Mislkn p dlh konten prim dri f(x)g(x), dn mislkn f (x), g (x) dn f ( x) g( x) dlh polinomil yng diperoleh dri f(x),g(x) dn f(x)g(x) dengn mereduksi koefisienkoefisienny ke modulo p. Mk f (x) dn g (x) dlh elemen-elemen dri Z p [X] dn f (x) g (x) = f ( x) g( x) = 0 elemen nol pd Z p [X]. Akibtny f (x) = 0 tu g (x) = 0. Ini berrti bhw p membgi setip koefisien dri f(x) tu p membgi setip koefisien dri g(x). Dengn demikin mk bik f(x) mupun g(x) tidk primitif. Teorem 8 : Mislkn F sutu field dn p(x) polinomil irreducible ts F, mk F[X]/(p(x)) dlh field. Teorem 9: Mislkn F sutu field dn mislkn p(x), (x), b(x) F[X]. Jik p(x) polinomil irreducible ts F dn p(x) (x)b(x) mk p(x) (x) tu p(x) b(x). Bukti: Kren p(x) polinomil irreducible dn F[X]/(p(x)) sutu field mk F[X]/(p(x)) sutu integrl domin. Mislkn (x) dn (x) dlh imge dri homomorfism dri F[X] ke b 22 Jurnl Pengjrn MIPA UPI Vol. 2 No. 1 Juni 2001

4 F[X]/(p(x)). Kren p(x) (x)b(x), diperoleh (x) (x) = 0 elemen nol pd F[X]/(p(x)). Jdi (x) = 0 tu (x) = 0, dn ini berrti bhw p(x) (x) tu p(x) b(x). b b Fktorissi Tunggl Pd Z[X] Teorem : Setip polinomil dlm Z[X] yng bukn polinomil nol dn bukn polinomil stun dlm Z[X] dpt ditulis dlm bentuk b 1 b 2 b s p 1 (x)p 2 (x) p m (x) dimn setip b i dlh prim (yitu polinomil dengn derjt nol), dn p i (x) dlh polinomil irreducible dengn derjt positif. Selnjutny jik; b 1 b 2 b s p 1 (x)p 2 (x) p m (x) = c 1 c 2 c t q 1 (x)q 2 (x) q n (x) dimn b i dn c j untuk setip i dn j polinomil irreducible dengn derjt nol, dn p i (x) dn q j (x) ming-msing polinomil irreducible dengn derjt positif, mk s = t, m= n, dn setelh c j dn q j (x) diurutkn kembli diperoleh b i = c i untuk i = 1,2,,s dn p i (x) = q i (x) untuk i = 1,2,, m. Bukti : Mislkn f(x) sutu polinomil tk nol dn bukn elemen stun dlm Z[X]. Jik derjt f(x) = 0, mk f(x) sutu konstnt dengn menggunkn teorem 1, teorem terbukti. Jik derjt f(x) > 0, mislkn konten dri f(x) dlh b dn b = b 1 b 2 b s dlh fktorissi prim dri b, mk f(x) = b 1 b 2 b s f 1 (x), dengn f 1 (x) Z[X] dlh polinomil primitif dengn derjt positif. Jdi untuk membuktikn teorem tersebut cukup ditunjukkn bhw polinomil primitif f 1 (x) dpt ditulis sebgi hsil kli polinomil- polinomil irreducible dengn derjt positif. Dengn menggunkn induksi dibuktikn sebgi berikut; Jik derjt f 1 (x) = 1, mk f 1 (x) dlh polinomil irreducible. Selnjutny mislkn setip polinomil primitif dengn derjt lebih kecil dri f(x) dpt ditulis sebgi hsil kli polinomil irreducible dengn derjt positif. Jik f 1 (x) irreducible, ini berrti tidk perlu dibuktikn lebih lnjut. Seblikny jik f 1 (x) = g(x)h(x) dimn g(x) dn h(x) dlh polinomil primitif dn mempunyi derjt lebih kecil dri f 1 (x).sehingg dengn induksi bik g(x) mupun h(x) dpt ditulis sebgi hsil kli dri polinomil irreducible dengn derjt positif. Mk demikin jug dengn f(x). Untuk membuktikn ketunggln dri teorem, mislkn ; f(x) = b 1 b 2 b s p 1 (x)p 2 (x) p m (x) = c 1 c 2 c t q 1 (x)q 2 (x) q n (x) di mn b i dn c j untuk i = 1,2,,s dn j = 1,2,,t dlh polinomil irreducible dengn derjt nol, p i (x), dn q j (x) untuk i = 1,2,,m dn j = 1,2,,n dlh polinomil irreduble dengn derjt positif. Mislkn b = b 1 b 2 b s dn c = c 1 c 2 c t. Kren p i (x) dn q j (x) msing-msing polinomil primitif, dengn menggunkn lemm 7 mk p 1 (x)p 2 (x) p m (x) dn q 1 (x)q 2 (x) q n (x) dlh polinomil primitif. Selnjutny b dn c hrus sm dengn plus dn minus dri Jurnl Pengjrn MIPA UPI Vol. 2 No. 1 Juni

5 konten f(x), dn ini berrti sm dengn nili mutlkny. Dengn menggunkn teorem 1 mk s = t dn setelh diurutkn kembli b i = c i, untuk i = 1, 2,, s. jdi dengn mengkensel bgin konstnt dlm du bgin fktorissi dri f(x) diperoleh p 1 (x)p 2 (x) p m (x) = q 1 (x)q 2 (x) q n (x). Selnjutny dengn memndng p i (x) dn q j (x) sebgi elemen-elemen dri Q[X] dn p 1 (x) membgi q 1 (x)q 2 (x) q n (x), mk dengn teorem 8 bhw p 1 (x) q i (x) untuk sutu i. Dengn mengurutkn kembli mislkn disumsikn i = 1, mk kren q i (x) polinomil irreducible, diperoleh q 1 (x) = r/s p 1 (x), dengn r, s Z. Kren bik p 1 (x) dn q 1 (x) keduny polinomil primitif, mk hruslh r/s = 1. Sehingg q 1 (x) = p 1 (x), setelh dikensel diperoleh p 2 (x) p m (x) = q 2 (x) q n (x). Prosedur yng sm diulngi untuk p 2 (x) untuk menggntikn p 1 (x). Jik m < n, setelh m lngkh, pd rus kiri sm dengn 1 sedngkn pd rus knn terdiri dri sutu polinomil nonkonstn. Jels ini tidk mungkin. Seblikny jik m > n, setelh n lngkh kn diperoleh 1 pd rus knn dn sutu polinomil tk konstn pd rus kiri, jug ini tidk mungkin. Dengn demikin hruslh m = n dn p i (x) = q i (x) setelh q i (x) diurutkn kembli. Ddu Sichermn ( Sutu Apliksi Dri Fktorissi Tunggl ) Perhtikn du buh ddu bersisi 6 dimn setip permuknny diberi nomor dri 1 smpi 6. Probbilits muncul jumlh 7 pd pelemprn du ddu tersebut dlh 6/36, probbilits jumlh 6 dlh 5/36 dn seterusny. Selnjutny du buh ddu bersisi enm yng lin diberi nomor 1,2,2,3,3,4 dn 1,3,4,5,6,8,(selnjutny kedu ddu ini disebut ddu Sichermn) mk probbilits muncul jumlh 7 dn 6 msing-msing dlh 6/36 dn 5/36 sm dengn probbilits dri jumlh ddu dengn nomor berurutn 1 smpi 6. Perhtikn gmbr berikut; Ddu Bis Ddu Sichermn 24 Jurnl Pengjrn MIPA UPI Vol. 2 No. 1 Juni 2001

6 Dlm contoh ini kn ditunjukkn bhw lbel pd ddu sichermn dpt diturunkn dn hny urutn nomor tersebut yng mungkin, yitu dengn menggunkn sift fktorissi tunggl pd Z[X]. Berdsrkn gmbr dits ternyt psngn ddu yng menghsilkn jumlh enm dlh (5,1), (4,2), (3,3), (2,4), (1,5). Selnjutny perhtikn sutu polinomil yng berderjt sm dengn urutn ddu, yitu 1 smpi 6. Polinomil tersebut dlh ; X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X. Hsil kli du polinomil tersebut dlh; (X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X) (X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X). Dlm perklin ini X 6 diperoleh dri X 5.X 1, X 4.X 2, X 3.X 3, X 2.X 4, X 1.X 5. Ternyt terdpt korespondensi stu-stu ntr jumlh du buh ddu bernili 6 dengn X 6. Dismping jumlh tersebut korespondensi stu-stu inipun dpt digunkn untuk jumlh du buh ddu yng lin dengn pngkt yng lin. Demikin jug untuk ddu sichermen tu ddu lin yng menghsilkn probbilits yng sm. Selnjutny mislkn { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } dn {b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6 } du himpunn lbel bernili positif untuk sutu kubus yng mempunyi sift seperti du buh ddu dengn nomor terurut. Dn mislkn ; (X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X)(X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X) b1 b2 b3 b4 b5 b6 = ( x x x x x x ) ( x x x x x x ). (1) Selnjutny persmn ini kn diselesikn untuk semu i dn b i. Disini fktorissi tunggl pd Z[X] kn digunkn ; Fktor yng irreducible dri polinomil X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X dlh X(X + 1)(X 2 + X + 1)(X 2 X + 1) Sehingg rus kiri dri persmn (1) mempunyi fktor irreducible sebgi berikut; X 2 (X + 1) 2 (X 2 + X + 1) 2 (X 2 X + 1) 2. Dengn menggunkn teorem fktorissi tunggl ini berrti bhw P(X) = x x x x x x mempunyi fktor irreducible yng sm dengn polinomil X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X. Jdi P(X) mempunyi bentuk ; X q (X + 1) r (X 2 + X + 1) s (X 2 X + 1) t dengn 0 q,r,s, t 2. Pembtsn untuk kemungkinn keempt prmeter tersebut dlh dengn mengevlusi P(X) pd nili X = 1 dn X = 0 pd du cr, sebgi berikut; 1 P(1) = = 6 dn P(1) = 1 q 2 r 3 s 1 t, dri sini jels bhw r = 1 dn t = , tetpi bgimn dengn nili q?. Untuk itu persmn P(X) dievlusi pd X = 0, dri sini jels q 0, kren jik q = 0 mk P(0) tidk terdefinisi. Selnjutny jik q = 2, mk P(1) = t = 6 untuk nili 0 t 2, tetpi jumlh pngkt terkecil perklin du Jurnl Pengjrn MIPA UPI Vol. 2 No. 1 Juni

7 polinomilny dlh 3, dn ini bertentngn dengn jumlh ddu yng terkecil yitu 2, dengn demikin hruslh q = 1. Di bwh ini kn disjikn polinomil-polinomil dengn nili q= 1,r = 1,s= 1,dn t = 0,1,2. Sebgi berikut; Jik t = 0, mk P(X) = X 1 (X + 1) 1 (X 2 + X + 1) 1 (X 2 X + 1) 0 = X 1 (X + 1) 1 (X 2 + X + 1) 1 = X 4 + X 3 + X 3 + X 2 + X 2 + X. Ini berrti ddu mempunyi lbel (4, 3, 3, 2, 2, 1) yng merupkn ddu sichermn. Jik t = 1, mk P(X) = X 1 (X + 1) 1 (X 2 + X + 1) 1 (X 2 X + 1) 1 = X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X. Ini berrti ddu mempunyi lbel ( 6, 5, 4, 3, 2, 1 ) yng merupkn ddu bis. Jik t = 2, mk P(X) = X 1 (X + 1) 1 (X 2 + X + 1) 1 (X 2 X + 1) 2 = X 8 + X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X. Ini berrti ddu mempunyi lbel (8, 6, 5, 4, 3, 2, 1) yng merupkn ddu sichermn yng lin. Ini membuktikn bhw ddu sichermn memberikn probbilits yng sm dengn ddu dengn nomor terurut, dn hny urutn du ddu tersebut yng mempunyi sift seperti itu. DAFTAR PUSTAKA Chudhuri,N.P. Abstrct Algebr.McGrw-Hill Offices. New York Durbin. John.R.. Modern Algebr An Introduction. John Wiley & Sons. New York. 3 rd Edition Gllin,A.J. Contemporry Abstrct Algebr.D.C. Heth nd Compny. Toronto. Second Edition Jurnl Pengjrn MIPA UPI Vol. 2 No. 1 Juni 2001