KALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "KALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya"

Sonny Kartawijaya
7 tahun lalu
Tontonan:

1 KALKULUS I Dr. Wurnsri Muhrini Kusumwinhu Progrm Srjn Mtemtik Universits Brwij

2 Deinisi: Mislkn A dn B dlh himpunn tk kosong. Fungsi dri A ke B dlh sutu ATURAN ng MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di A dengn tept stu dn hn stu elemen di B Dlm deinisi tersebut, A disebut DOMAIN / DAERAH ASAL/ DAERAH DEFINISI untuk ungsi, dinotsikn dengn D B disebut KODOMAIN / DAERAH KAWAN ungsi DAERAH HASIL / DAERAH JELAJAH / RANGE dlh semu elemen di B ng berpsngn dengn elemen di A, dinotsikn dengn R

3 Pd Klkulus I hn dipeljri ungsi REAL, itu ungsi dengn domin dn kodomin subhimpunn bilngn rel. Dengn demikin A R dn B R Bil derh sl tidk disebutkn, mbillh derh sl ALAMI / NATURAL sebgi derh sl, itu D = R R Grik ungsi dlh kumpuln titik-titik di bidng koordint Crtesius ng memenuhi =. Grik ungsi berup kurv di bidng koordint ng TIDAK SALING MENGATAPI

4 . Fungsi Identits, itu =. Fungsi Gnjil, itu - = - 3. Fungsi Genp, itu - =. Fungsi hrg mutlk = 5. Fungsi ng memiliki simtot. Asimtot ungsi dlh gris di bidng koordint ng DIDEKATI oleh grik =. 6. Fungsi bilngn bult terbesr = = bilngn bult terbesr ng lebih kecil tu sm dengn.

5 Opersi Aljbr Fungsi ± g = ± g, D ±g = D D g g = g, D g = D D g g = g, D g Komposisi Fungsi: = D D g g. g = g, D g =? g g Fungsi invers dri, dinotsikn dengn dlh ungsi ng bersit: = = Grik = simetris dengn grik = terhdp gris =. Opersi Gris Fungsi: pergesern dn pencerminn

6 Opersi gris terhdp sutu ungsi Bil grik ungsi dikethui mk dpt diskets grik ungsi bru ng diperoleh dri ungsi dengn melkukn beberp opersi secr gris geometris NO. FUNGSI BARU OPERASI. + k, k > Geser ke ts k stun.. +k, k > Geser ke kiri k stun Cerminkn terhdp sumbu.. - Cerminkn terhdp sumbu Abdikn bgin grik ng di ts sumbu, bgin grik ng di bwh sumbu dicerminkn terhdp sumbu. Abdikn bgin grik ng di sebelh knn sumbu, bgin grik ng di sebelh kiri sumbu dihpus, dignti dengn hsil pencerminn bgin sebelh knn terhdp sumbu.

7 Contoh : Skets grik ungsi 6 8 dpt diperoleh dri grik ungsi, sebb Lngkh lngkh ke bwh Selnjutn terhdp 3 stun. bgin sumbu :. grik grik digeser ke kiri 3 stun, llu digeser ng di bwh sumbu dicermink n 3 3

8 ALJABAR Fungsi ng diperoleh dri ungsi konstn dn ungsi indentits mellui opersi-opersi ljbr +,,,,. Fungsi Polinom. Fungsi Rsionl TRANSENDEN. Fungsi Trigonometri. Fungsi Eksponensil 3. Fungsi Logritm. Fungsi Hiperbolik

9 Limit ungsi di sutu titik Limit-it sepihk Eksistensi Limit Limit ng nilin tk berhingg Limit di ketkhinggn

10 LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK Mislkn ungsi dengn derh sl D R dn R, dengn tidk hrus termut di D Notsi dibc tu berrti bhw it bil mendekti sm dengn L mendekti L bil mendekti nili dpt dibut sedekt mungkin dengn L bil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn. Perhtikn bhw dlm deinisi tersebut nili ungsi di =, itu, tidk hrus terdeinisi kren kit hn memndng di sekitr. L

11 Situsi ng mungkin terjdi: L L L

12 Contoh:,?,5 Kren mk

13 3,, Jik dideinisikn,5

14 ,, Jik dideinisikn,5

15 Notsi Dibc tu LIMIT SEPIHAK it bil mendekti dri kiri knn sm dengn L berrti bhw L mendekti L bil mendekti dri kiri knn Nili dpt dibut sedekt mungkin dengn L bil cukup dekt dengn dn < >. L jik dn hn jik L L 5

16 Contoh. Fungsi bilngn bult terbesr? ,, 3 -, TIDAK sedngkn ADA, sebb

17 Contoh. sin? Bil, n bilngn bult tk nol n sehingg sin sin n Nmun bil sehingg, n sin mk n bilngn bult sin n n mk n, Perhtikn bhw bil n mk, sehingg nili sin π berubh-ubh semkin cept di ntr -,, dn bil

18 sin - - EKSISTENSI NILAI LIMIT Berdsrkn contoh dn contoh dpt disimpulkn bhw nili it ungsi di sutu titik tidk sellu d. Hl ini disebbkn oleh. Nili it kiri tidk sm dengn nili it knn tu. Nili ungsi berluktusi sngt cept

19 LIMIT YANG NILAINYA TAK BERHINGGA DEFINISI Mislkn sutu ungsi ng terdeinisi di seluruh bilngn riil keculi pd = sendiri. Mk berrti bhw nili dpt dibut positi negti sebesr mungkin, dengn mengmbil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn 9. Contoh :

20 Perilku it ng bernili tk hingg bik positi mupun negti dpt berlku pul pd it sepihk

21 Situsi ng mungkin terjdi:

22 Jik sekurng-kurngn stu di ntr keenm situsi tersebut terjdi pd grik ungsi mk gris = disebut simtot tegk dri grik =. Contoh : TIDAK ADA,sebb Gris = dlh simtot tegk dri grik =.

23 Notsi LIMIT DI KETAKHINGGAAN disebut it di ketkhinggn, mengkji bgimn perilku nili mnkl membesr positi negti. Kemungkinn ng dpt terjdi: Contoh:.. 3. cos tidk d L tidk d 3

24 Situsi ng mungkin terjdi: L L L L tidk d

25 5 Contoh: Mk gris = dlh simtot tegk dri grik =. Demikin pul hln dengn gris = Gris = dlh simtot dtr dri grik =. Jik mk gris = L disebut simtot dtr dri grik =. L L tu

26 Asimtot tegk 5 6 Asimtot dtr 6

27 7 Teorem-teorem tentng it d. slkn, c.. b.. mk d, dn dn nili sutu konstnt Jik. k k g g g g g g g g k L g L h h g mk, jik dn di mungkin keculi sekitr di untuk nili Jik : Prinsip Apit.

28 8 Trik menentukn it di sutu titik. Jik memungkinkn, substitusikn ke, lis hitung. Jik timbul mslh lkukn mnipulsi ng memungkinkn nili it ditentukn, tu gunkn prinsip pit, tu periks it-it sepihk. Contoh..

29 9? sin 3. sin Jwb: kren mk. sin Dikethui bhw mk sin sin sin

30 . = [ ] + [-]? ,, -3, 3 3

31 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI sin sin,, cos, cos, tn tn, tidk d = tn 3

32 sin, sin, sin 3

33 .5 KEKONTINUAN Deinisi: ungsi ng terdeinisi pd selng buk ng memut diktkn kontinu di = jik Dengn perktn lin: kontinu di = jik terdeinisi Nili itn di = d Nili it sm dengn nili ungsin, itu

34 ,5 Contoh,, Jdi kontinu di =. Akibt: jik kontinu di = mk d

35 Teorem ungsi kontinu:. Jik dn g kontinu di =, dn k sutu konstnt, mk ungsiungsi + g, g, k, g, dn /g jik g jug kontinu di =.. ungsi polinom kontinu di R, sedngkn ungsi rsionl kontinu di derh deinisin. 3. Jik g kontinu di = dn kontinu di g, mk ungsi kontinu di =. g Contoh:, Jik b,, tentukn dn b gr 3 3, kontinu di setip bilngn riil.

36 Jwb: kren berup polinom untuk <, < < 3, dn > 3, mk psti kontinu untuk pd selng-selng tersebut. Jdi cukup diperiks kekontinun di = dn di = 3 Agr kontinu di = : terdeinisi, itu = Nili itn di = d dn nili itn di = sm dengn, itu., itu b = b 36

37 Agr kontinu di = 3: 3 terdeinisi, itu 3 = 5 Nili itn di = 3 d dn nili itn di = 3 sm dengn 3, itu itu 3, 3 3 b b 9 Jdi kontinu di mn-mn bil b = dn = /9.

38 Teorem Nili Antr TNA: mislkn kontinu pd selng tutup [,b] dn < M < b. Mk terdpt c, < c < b sedemikin sehingg c = M. b M c b

dokumen-dokumen yang mirip

LIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a.

LIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a. DEFINISI Notsi dibc tu berrti bhw IMIT FUNGSI it bil mendekti sm dengn mendekti bil mendekti nili dpt dibut sedekt mungkin dengn bil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn. Perhtikn bhw dlm deinisi tersebut