Integral. Konstanta dari Integrasi. Integral Tak Tentu. AntiTurunan (Antiderivative)

Transkripsi

1 Integrl AntiTurunn (Antiderivtive) AntiTurunn dri seuh fungsi f dl seuh fungsi F sedemikin hingg Dierikn Pd Peltihn Guru-Guru Aceh Jy 5 Septemer 0 Oleh: Ridh Ferdhin, M.Sc F f E. AntiTurunn dri f ( ) 6 dl F( ) krn F( ) f ( ). Pernytn: f ( ) d dic integrl tk tentu dri f terhdp, Artiny dl mendptkn semu ntiturunn dri f. Tnd Integrl Integrl Tk Tentu f ( ) d Integrnd diseut peuh integrsi Konstnt dri Integrsi Setip ntiturunn F dri f hrus dlm entuk F() = G() + C, dimn C dl seuh konstnt. Perhtikn 6d C Mewkili semu ntiturunn yng mungkin dri 6.

2 Aturn Pngkt dri Integrl TkTentu, Bgin I E. n n d C if n n d 4 4 C Aturn Pngkt dri Integrl TkTentu, Bgin II d d ln C Integrl TkTentu dri e dn e d e C d ln C Aturn Jumlh dn Kurng E. f g d fd gd d d d Aturn Perklin dengn Konstn E. kf ( ) d k f ( ) d ( k constnt) 4 4 C d d C C 4 Contoh: E. Dptkn integrl tk tentu dri: 7 e u 6 u u u e 7 u 6 u u e 7ln u u 6u C

3 Integrsi dengn Sustitusi Integrsi dengn Sustitusi Metode integrsi yng erhuungn dengn turn rnti. Jik u dl fungsi dlm, mk kit is mengunkn formul/persmn f fd / d E. Dptkn integrl: 9 u Amil u d 0 u C 0 5, mk ( +5) 9 d C d Sutitusi Integrlkn Sustitusi ulng E. Dptkn Let 5 7 then 0 u d / 5 7d u 0 5 7d / u 0 / 5 7 / 5 C C Tentukn u, dptkn Sustitusi Integrlkn Sustitusi E. Dptkn d ln Let u ln then d d ln u u ln C C

4 E. Dptkn t e t e dt t Let u e + then dt t e t e dt t e u ln u C t ln e C Ekspresi Integrl yng mengnng + Aturn n n d C n ( n ) d ln C e d e C c d c C ln c Integrl Fungsi Trigonometri Integrl Tk Tentu dri Fungsi Trigonometri cos d sin C sin d cos C sec E. cos sin d tn C d sin cos C 5 E. Sustitusi Dptkn Penyelesin: u= +6 Jdi d = +6= ( + ) tu sin 6 d sin 6 Sustitusikn kedlm integrl, shg sin u d d= ( + ) sin u cos u C cos 6 C 6

5 Sustitusi E. sin d Let u then d sin d sinu cos u C cos C Integrl Tk Tentu dri Fungsi Trigonometri tn cot d ln cos C d ln sin C sec d ln sec tn C csc d ln csc cot C 7 8 Mengp tn d ln cos C? Tuliskn tn sg (sin )/(cos ) dn tetpkn u = cos, shg: tn d sin d cos sin u sin u ln u C ln cos C u cos Jdi d dn d sin sin 9 Integrl mengnng ( + ) sin cos d C d C cos sin E. 7sin 5 d 7 cos 5 C 0

6 Integrl mengnng ( + ) tn d ln cos C cot d ln sin C sec d ln sec tn C csc d ln csc cot C TEKNIK PENGINTEGRALAN Integrtion y Prts (Pengintegrln Pergin) TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Setip turn turunn psti mempunyi turn integrl yng erhuungn Contoh: Aturn Sustitusi erhuungn dengn turn rnti untuk turunn. Aturn integrsi yng erhuungn dengn turn kli pr turunn dlh turn pengintegrln pergin.

7 PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Aturn Perklin mengtkn, jik f dn g dlh fungsi yng is diturunkn, mk d f ( ) g ( ) f ( ) g '( ) g ( ) f '( ) d Penulisn integrl tk tentu dri persmn ts menjdi PENGINTEGRALAN PERBAGIAN tu f ( ) g '( ) g( ) f '( ) d f ( ) g( ) f ( ) g '( ) d g( ) f '( ) d f ( ) g( ) Persmn dits is kit tur kemli spt: PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Rumus f ( ) g '( ) d f ( ) g( ) g( ) f '( ) d PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Jik u = f() dn v = g(). Mk, turunnny dl: = f () d nd dv = g () d

8 PENGINTEGRALAN PERBAGIAN PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Rumus Shg, dgn turn sustitusi, mk rumus integrl pergin menjdi: u dv uv v Contoh Dptkn sin d Misl f() = dn g () = sin d. Mk, f () = dn g() = cos. Contoh PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Menggunkn rumus : sin d f ( ) g( ) g( ) f '( ) d ( cos ) ( cos ) d cos cos d cos sin C Co turunkn fungsiny. PERHATIKAN Tujun kit menggunkn pengintegrln pergin dl untuk mendptkn entuk integrl yg sederhn, jdi jik entukny leih rumit (sulit) untuk diselesikn mk pengintegrln kurng enr.

9 Dri contoh Jik kit pilih u = sin dn dv = d, mk = cos d dn v = /. Jdi, pengintegrln pergin menjdi: PERHATIKAN sin d (sin ) cos d Wlpun enr nmun cos d leih sush diinteglkn. PERHATIKAN Jdi, dlm memilih u dn dv, sehrsny u = f() dipilih sdh sehingg menjdi fungsi yg leih sederhn ketik diturunkn. Nmun, pstikn jug hw dv = g () d is diintegrlkn dengn mudh. PENGINTEGRALAN PERBAGIAN PENGINTEGRALAN PERBAGIAN Contoh Dptkn ln d u ln dv d d v Contoh ln d d ln ln d ln C

10 INTEGRAND MENGANDUNG n + Sustitusi dengn MERASIONALKAN SUBSTITUSI Selesikn Selesikn INTEGRAND MENGANDUNG Sustitusi dengn Shg kn kit dptkn

11 Selesikn Selesikn Sustitusi Shg Sustitusi Shg dn MELENGKAPKAN KUADRAT Selesikn

12 Jumlhn Riemnn Jik f dl sh fungsi yg kontinu, mk jumlhn Riemnn dri n gin yng sm untuk f sepnjng selng [, ] didefinisikn n sg: f k0 k f ( ) f ( )... f ( ) 0 n f ( ) f ( )... f ( ) 0 n dimn ( ) / n 0 n dl gin Integrl Tentu Jik f dl fungsi yg kontinu, integrl tentu f dri ke didefinisikn sg n f ( ) d lim f n k 0 fungsi f diseut integrnd, ngk dn diseut limits dri integrsi, dn peuh diseut peuh dri integrsi. k Pendektn Integrl Tentu E. Hitung jumlhn Riemnn utk integrl d menggunkn n = 0. 0 n 9 f k 5 k k 0 k 0 (/ 5) ( / 5)... (9 / 5) (/ 5).8 Integrl Tentu f ( ) d dic integrl dri ke dri f()d. Peuh is diruh menjdi peuh p sj, contoh f ( ) d f ( t) dt

13 Are diwh Kurv Ler: n (n persegi pnjng.) Ide: Mendptkn re seenrny (tept/persis) diwh kurv sh fungsi. y f ( ) Metode: Menggunkn tk hingg persegipnjng dgn ler yg sm dn menghitung re dgn limit. Memperkirkn Are Perkirkn re diwh kurv Menggunkn n = 4. f ( ) on 0, A f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 0 A f 0 f f f 9 7 A 0 Are Diwh Kurv Teorem Dsr Klkulus y f kontinu, tknegtif pd [, ]. Are dl Are lim n n k 0 k f f ( ) d f ( ) Jik f dl fungsi yg kontinu pd [, ].. If A( ) f ( t) dt, then A( ) f ( ).. Jik F dl serng ntiturunn yng kontinu dri f dn is didefinisikn pd [, ], mk f ( ) d F ( ) F ( )

14 Teorem Dsr Klkulus 4 E. If A( ) t 5 tdt, find A( ). 4 A( ) 5 Mengevlusi Integrl Tentu E. Hitung 5 d 5 5 d ln 5 ln 5 5 ln 8 ln Sustitusi untuk Integrl Tentu / E. Hitung 0 d let u then / 4 eruh / d u / 6 u Perhtikn hw limit integrsi 0 Menghitung Are E. Dptkn re yg ditsi oleh sumu, gris vertikl = 0, = dn kurv y. 0 d 4 d dl tk negtif pd [0, ]. 8 Antiturunn Teorem Dsr Klkulus

15 Penggunn Integrl : Lus Kurv Penggunn Integrl : Lus Kurv Dptkn re diwh kurv y= + Dri = ke = Are= =[ = ( +)d + ] Dptkn re diwh kurv Sumu y, y = dn y= 5 y= 5 Are= ( y +)dy =[ 5 y + y ] y = = y + =45 Penggunn Integrl : Lus Antr Kurv Penggunn Integrl : Lus Antr Kurv Dptkn re yng ditsi oleh y=, =0,dn y= y=, jdi = y / d Are= f ( y)dy c Are=Lus= [ f ( ) f ( )]d= ( y y )d

16 Penggunn Integrl : Lus Antr Kurv d Are= f ( y)dy c = ( y / )dy 0 =[ 4 y 4 /]0 Penggunn Integrl : Lus Antr Kurv Dptkn re yng ditsi oleh y= +5,dn y= Are= ( y y )dy kurv y= dits y= +5 =.45 Penggunn Integrl : Lus Antr Kurv Titik perpotongn terjdi pd +5= =, tu =0.5 Are= ( y y )dy = 0.5 [( ) ( +5)]d 0.5 [ 5 ]d = =[ ] =4.9 Penggunn Integrl :Volume Bend Putr Dierikn re yng ditsi oleh y =, sumu dn = Diputr mengelilingi sumu-, 60 derjd

17 Penggunn Integrl :Volume Bend Putr Penggunn Integrl :Volume Bend Putr V =π r h V =π y d V =π Menurut integrl Riemnn y d V =π f ()d V =π y d =π () d 0 =π 0 9 d =π [ ] 0 = π