BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
|
|
- Ridwan Hadiman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng memut hrg mutlk sert menytkn selesin persmn dn pertidksmn dengn metode intervl. Kompetensi Dsr Setelh mempeljri pokok bhsn persmn dn pertidksmn dihrpkn mhsisw:. Dpt menytkn bilngn rsionl seblikny.. Dpt menentukn selesin persmn.. Dpt menentukn selesin pertidksmn. Q sebgi bentuk desiml berulng tu b 4. Dpt menetukn selesin persmn dn pertidksmn yng memut hrg mutlk. Beberp konsep yng dibhs dlm bb dlh () sistem bilngn rel, () persmn dn pertidksmn, () nili mutlk, (4) persmn dn pertidksmn yng memut nili mutlk, dn (5) sol ltihn.. Sistem Bilngn Rel Sebelum penulis mengurikn konsep sistem bilngn rel (R), terlebih dhulu mrilh kit ingt kembli konsep himpunn (set). Himpunn mempunyi pernn sngt penting dlm memhmi sistem bilngn rel. Secr eksplisit himpunn didefinisikn sebgi sekumpuln objek, unsur tu sesutu yng mempunyi ciri-ciri, kriteri dn syrt yng tertentu sert terdefinisi dengn jels. Objek tu unsur sesutu himpunn A dinmkn nggot tu elemen. Anggot sutu himpunn dinytkn dengn, b, c, d,... tu,,,4,... sedngkn nm himpunn dinytkn dengn huruf Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
2 kpitl A, B, C, D, dn seterusny. Misl kit mendefinisikn sutu himpunn A dengn menytkn secr jels nggot-nggotny yng terdiri dri, b, c, d, e, himpunn A tersebut dpt ditulis dlm bentuk A {, b, c, d, e} dengn msingmsing nggot himpunn A dipishkn oleh tnd bc kom dn terdpt du tnd kurung { }. Jik himpunn A mempunyi nggot bnykny tk hingg mk unsurunsurny tidk ditulis semuny kn tetpi cukup dituliskn beberp nggotny dn titik-titik sebnyk tu 5, Jik dlh nggot himpunn A mk pernytn tersebut ditulis dengn notsi himpunn A, mk dituliskn A dn dibc nggot A. Jik bukn nggot Adn dibc bukn nggot A. Jik sutu himpunn A tidk memiliki nggot, mk A disebut himpunn kosong, dn dinytkn dengn notsi tu { }. Himpunn sebgi telh disebutkn di ts, dlm penulisnny dpt dilkukn dengn du metode, yitu metode pencirin (notsi) dn metode perincin (tbulsi). Metode pencirin dilkukn dengn cr menuliskn syrt kenggotn yng dimiliki oleh seluruh nggot sutu himpunn kn tetpi tidk dimiliki oleh unsur-unsur yng bukn nggot himpunn tersebut., Contoh: ) A { y y bilngn prim kurng dri 0} ) B { fktor gnjil dri } ) C {, bilngn prim} 4) D { fktor genp dri } 5) E { 4 0} 6) F { 4 0} 7) G { 4 } 8) H {(, y) y 4} 9) V { himpunn kus dri {,, }} Metode perincin dilkukn dengn cr mendftr seluruh nggot himpunn yng memenuhi syrt dn ketentun yng diberikn dlm sutu himpunn. Contoh ) A {,,,4,5,...} Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
3 ) B { senin, sels, rbu, kmis, jum' t, sbtu} ) C {,,5,7,,,7,9,...} 4) D { merh, kuning, hiju} 5) E {0} 6) F { } 7) G {, } 8) H {(,),(,),(,4 ),...} 9) V {,{},{},{, }} Misl A dn B himpunn B, ditulis dengn notsi sutu himpunn, himpunn A disebut himpunn bgin A B, jik setip nggot A merupkn nggot B. Kirny tidklh sulit untuk diphmi bhw A untuk sebrng himpunn A. Jik setip nggot himpunn nggot A jug merupkn nggot setip himpunn B mk dinotsikn dengn A B Selnjutny untuk memudhkn pr pembc dlm memhmi konsep sistem bilngn rel berikut ini diberikn beberp bilngn dn himpunn bilngn yng pd bb-bb selnjutny dlm buku ini sering ditemukn. Bilngn dn himpunn bilngn tersebut dlh:. Himpunn bilngn sli (Nturl) Himpunn bilngn sli bisny dinotsikn dengn N dn nggot-nggot bilngn sli dlh,,, 4, 5, 6,... sehingg N {,,,4,5,6,...} Bilngn sli tertutup terhdp opersi penjumlhn dn perklin, rtiny untuk setip, b bilngn sli mk ( b) dn (. b) bilngn sli. Oleh kren itu, himpunn semu bilngn sli membentuk sutu sistem sistem bilngn sli.. Bilngn cch (whole) Bilngn cch bisny dinotsikn dengn W dn nggot-nggot bilngn cch dlh 0,,,, 4, 5, 6,..., sehingg W {0,,,,4,5,6,...}. Bilngn cch tertutup terhdp opersi penjumlhn dn perklin, rtiny untuk setip, b bilngn cch mk ( b) dn (. b) bilngn cch. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
4 . Sistem bilngn sli bersm-sm dengn bilngn nol dn lwn dri bilngnbilngn sli membentuk sistem bilngn bult, Bilngn bult bisny dinotsikn dengn Z yng nggot-nggotny dlh...-, -, -,, 0,,,,..., sehingg Z {...,,,0,,,,...}. 4. Bilngn pechn tu bilngn rsionl (quotient) bisny dinytkn dengn Q. Bilngn rsionl dlh bilngn yng secr umum dinytkn dengn Q., b Z, b 0 b Contoh ) ) ) p q r 7 Bilngn-bilngn rsionl di ts, dpt dinytkn dlm bilngn-bilngn desiml, yitu ) p 0,... ) q 0, ) r, Jik kit cermti lebih mendetil, bilngn-bilngn desiml sebgi mn tersebut di ts sellu berulng ngk-ngkny, sehingg bilngn rsionl jug disebut bilngn desiml berulng. Seblikny bilngn desiml berulng dpt dinytkn sebgi bilngn rsionl. Untuk menytkn bentuk desiml menjdi bilngn rsion dlh dengn cr meliht ngk yng berulng pd bilngn tersrsebut. Jik terdpt ngk yng berulng mk klikn bilngn dimksud dengn 0. Jik terdpt ngk yng berulng mk klikn bilngn tersebut dengn 0. dn seterusny. Selnjutny cri selisih bilngn semul dengn bilngn yng bru. Dengn metode perhitungn sederhn khirny diperoleh bilngn rsionl yng dimksud. Untuk lebih jelsny perhtikn contoh-contoh berikut ini. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 4
5 Contoh: Ubhlh bilngn desiml berikut ini menjdi bentuk rsionl Q., b Z, b 0 b. Tentukn bentuk rsionl bilngn 0,... Jwb Bilngn 0,... dlh bilngn desiml dengn ngk berulng yitu ngk dn. Kren bnykny ngk yng berulng pd bilngn 0,,... dlh ngk, klikn bilngn 0,... dengn bilngn 0. Misl 0,..., sehingg diperoleh 00,,... Akibtny 00 (,...) (0,...) 0 (,...) (0,...) Sehingg bentuk rsionl dri bilngn 0,... dlh 99. Tentukn bentuk rsionl bilngn,4... Jwb Bilngn,4... dlh bilngn desiml dengn ngk berulng yitu ngk. Kren bnykny ngk yng berulng pd bilngn,4... dlh ngk, klikn bilngn,4... dengn bilngn 0. Misl,4..., sehingg diperoleh 0 4,... Akibtny 0 (4,...) (,4...) 9,7, Sehingg bentuk rsionl dri bilngn,4... dlh 900 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 5
6 . Tentukn bentuk rsionl bilngn 0, Jwb Bilngn 0, dlh bilngn desiml dengn ngk berulng yitu ngk,7, dn. Kren bnykny ngk yng berulng pd bilngn 0, dlh ngk, klikn bilngn 0, dengn bilngn 0. Misl 0, , Akibtny 000 ( 98, ) ( 0, ) , , Sehingg bentuk rsionl dri bilngn 0, dlh Tentukn bentuk rsionl bilngn 0, Jwb Bilngn 0, dlh bilngn desiml dengn 4 ngk berulng yitu ngk 5, 4,,, dn. Kren bnykny ngk yng berulng pd bilngn 0, dlh 4 ngk, klikn bilngn 0, dengn bilngn 0. Misl 0, , sehingg diperoleh , Akibtny 0000 (54, ) (0, ) , 54, Sehingg bentuk rsionl dri bilngn 0, dlh Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 6
7 5. Bilngn Irsionl ( Q _ ) tu disebut jug bilngn tidk rsionl yitu bilngn yng tidk dpt dinytkn dlm bentuk Q., b Z, b 0. Kren bilngn b rsionl dpt dinytkn dengn bilngn desiml yng ngk-ngkny berulng, mk bilngn irsionl dlh bilngn desiml yng ngk-ngkny tidk d yng berulng. Bilngn irsionl jug disebut dengn bilngn bentuk kr. Persoln dlm kehidupn sehri-hri sering dijumpi dny bilngnbilngn irsionl. Contoh bilngn irsionl ntr lin dlh dn. Bilngn dlh pnjng sisi miring segitig siku-siku dengn pnjng sisi-sisi tegkny msing-msing dlh. Perhtikn gmbr berikut. Gmbr. Sedngkn bilngn merupkn hsil bgi ntr keliling sebrng lingkrn dengn pnjng gris tengh lingkrn tersebut. Perhtikn gmbr berikut ini. l l d d l d l d Gmbr. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 7
8 Contoh ) =, ) =, ) =, ) π = ) e =, Berdsrkn contoh di ts, tmpk bilngn-bilngn dlm bentuk kr umumny dlh bilngn desiml yng ngk-ngkny tidk d yng berulng. Sehingg bilngn kr jug disebut bilngn irsionl. Dengn demikin p yng selm ini dinggp sm yitu bilngn rsionl, sedngkn dlh bilngn irsionl. = tidklh sellu benr. Kren dlh Himpunn semu bilngn irsionl bersm-sm dengn bilngn rsionl membentuk himpunn semu bilngn rel (R), sehingg R N W Z Q Q Seperti telh dikethui, untuk menytkn sebrng bilngn rel seringkli digunkn cr desiml. Contoh Bilngn-bilngn, 4 5, dn sebgi,75,,666..., dn 7 66 msing-msing dpt dinytkn dlm desiml 0 0, Dpt ditunjukkn bhw bentuk desiml bilngn-bilngn rsionl dlh slh stu dri tipe berikut: 5 i. berhenti (,, dst. ), tu ii. berulng berturn (, 7, dst. 66 ). Sift-sift Sistem Bilngn Rel Untuk sebrng ) Sift komuttif (i). b b ( ii).. b b. ) Sift sositif, b, c, d bilngn rel berlku sift-sift sebgi berikut: Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 8
9 (i). (ii). b c b c. b. c. b. c. b. c b c ) Sift distibutif perklin terhdp penjumlhn.( b c) (. b) (. c) 4) (i).., b 0 b b c (. d) ( b. c) (ii)., b 0, d 0 b d b. d c. c (iii).., b 0, d 0 b d b. d 5) (i)..( b) ( ). b (. b) (ii). ( ).( b). b (iii). ( ) 0 6) (i). 0 (ii)., untuk setip bilngn 0. tk terdefinisikn. 0 (iii)., untuk setip bilngn 0. 7) Hukum knselsi (i). Jik. c b. c dn c 0 mk b.. c (ii). Jik b, c 0 mk b. c b. 8) Sift pembgi nol Jik. b 0 mk 0 tu b 0. Sift-sift terurut bilngn Rel Prinsip dlh turn tu sift yng digunkn sebgi dsr tu lndsn dlm urin yng berkitn dengn bukti sesutu. Prinsip dpt dimbil dri definisi, ksiom, tu dlil-dlil yng dimunculkn kembli untuk digunkn pd bgin lin sutu konsep yng memerlukn. Dintr prinsip dlm mtemtik dlh prinsip urutn (well ordering principle). Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 9
10 Prinsip urutn berkitn dengn kepositipn dn ketksmn ntr bilngnbilngn rel. Cr yng dpt dilkukn untuk melkukn sift keterurutn dlh mengidentifiksi sutu subset khusus dri kepositipn. Definisi Mislkn P himpunn bgin R dn positip kut, mk berlku sift-sift berikut ini: () Jik, b P mk ( b) P () Jik, b P mk (. b) P R dengn menggunkn ggsn P. Untuk selnjutny P disebut bilngn rel () Jik R, mk tept dri slh stu yng berikut dipenuhi P, 0, P Du sift yng pertm menjmin kesesuin dri urutn dengn opersi penjumlhn dn perklin secr berurutn. Sift () bisny disebut sift trikotomi kren membgi R menjdi jenis unsur yng berbed. Dinytkn bhw { P} dri bilngn rel negtip tidk mempunyi unsur persekutun dengn P, dn selnjutny himpunn R merupkn gbungn dri tig himpunn yng sling sing. Definisi ) Jik P, kit mengtkn bhw dlh sutu bilngn rel positip kut (strictly positip) dn dituliskn dengn 0, Jik P {0}, mk disebut bilngn rel tidk negtip dn dituliskn dlm bentuk 0. ) Jik P, kit mengtkn bhw dlh sutu bilngn rel negtip kut (strictly negtip) dn dituliskn dlm bentuk 0, Jik P {0}, mk disebut bilngn rel tidk positip dn dituliskn dlm bentuk 0. ) Jik, b R dn jik b P mk dituliskn dlm bentuk b tu b. 4) ik, b R dn jik b P {0} mk dituliskn dlm bentuk b tu b. Untuk kesepktn bersm kit kn menuliskn b c yng berrti b dn b c. Demikin jug jik b c yng berrti b mk b c dn seterusny. Berikut ini diberikn beberp teorem yng berkitn dengn prinsip keterurutn Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 0
11 Teorem Mislkn, b, c R. Jik b dn b c mk c.. Tept dri slh stu pernytn berikut ini dipenuhi b, b, b. Jik b dn b mk b Bukti ) b mk menurut definisi b 0 tu b P b c mk menurut definisi b c 0 tu b c P Kren b P dn b c P mk menurut definisi diperoleh ( b ) ( b c ) P sehingg c P tu c ) Dengn sift trikotomi dlm definisi, mk tept slh stu dri yng berikut mungkin terjdi b 0, tu b 0 tu ( b ) 0 sehingg b tu b tu b ) Jik b, mk b 0, sehingg dri bukti (b) kit dptkn b P tu b c P ykni b tu b. Dlm ksus linny slh stu dri hipotesisi tersebut kontrdiksi. Jdi hruslh b Teorem. Jik R dn 0 mk Jik n N mk n 0 Bukti. Dengn sift trikotomi jik 0, mk P tu P. Jik P mk dengn definisi kit mempunyi., untuk P. Dengn cr yng sm Jik - P mk dengn definisi sebelumny diperoleh bentuk ( ) ( )( ) P. Berdsrkn teorem sebelumny berkibt bhw: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ). Akibtny bhw P. Jdi kit simpulkn bhw jik P, mk 0. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
12 . Kren (), menurut bukti di ts kn menyebbkn bhw > 0.. Kit dpt menggunkn induksi mtemtik untuk membuktikn pernytn ini. Pernytn tersebut benr untuk n ykni > 0. Selnjutny kit nggp benr untuk n k, dengn k bilngn sli. Kren > 0 dn P, mk k P, sehingg pernytn di ts benr dny dengn menggunkn definisi sebelumny. Teorem Mislkn, b, c R. Jik b, mk c b c. Jik b, dn b c mk c b d. Jik b, c 0 mk c bc 4. Jik b, c 0 mk c bc 5. Jik 0 mk 0 6. Jik 0 mk 0 Bukti teorem di ts dpt dijelskn sebgi berikut:. Kren b berrti menurut definisi sebelumny b 0. Kren b 0 sehingg b P. ( b) ( b) ( c c) ( b) ( c c) ( c) ( b c) Sehingg ( c) ( b c) P. Dengn kt lin ( c) ( b c) 0 Kren ( c) ( b c) 0 berrti ( c) ( b c). Kren b dn c d berrti b 0 dn c d 0. Hl ini berrti b P dn c d P. Menurut definisi bilngn rel positip kut () diperoleh ( b) ( c d) P. Dengn kt lin ( b) ( c d) 0, tu ( b) ( c d) 0 sehingg berlku ( b) ( c d). Kren b dn c d berrti b 0 dn c d 0. Hl ini berrti b P dn c d P. Menurut definisi bilngn rel positip kut () diperoleh Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
13 ( b) c P. Dengn kt lin ( c bc) P, tu ( c bc) 0 sehingg berlku c bc 4. Kren b dn c 0 berrti b 0 dn c 0 tu ( c ) 0. Hl ini berrti b P dn c P. Menurut definisi bilngn rel positip kut () diperoleh ( b)( c) P. Dengn kt lin ( bc c) P, tu ( bc c) P sehingg berlku bc c 5. Jik 0 mk 0 (berdsrkn sift trikotomi). Kren 0 sift sebelumny mk berlku 0, sebelumny diperoleh 0., berdsrkn Jik 0, berdsrkn teorem Hl ini bertentngn dengn kenytn bhw < 0. Jdi hruslh 0 6. Jik 0, mk 0 (berdsrkn sift trikotomi). Kren 0, berdsrkn sift sebelumny mk mk berlku 0, Jik 0, berdsrkn teorem sebelumny diperoleh 0 Hl ini bertentngn dengn kenytn bhw < 0. Jdi hruslh 0 Teorem 4 Jik Bukti. Kren b R,, mk b b b, mk dpt diperoleh b tu b Demikin pul b mk dpt diperoleh b b b tu b b Dri ketksmn b dn b b didptkn b b Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
14 () ( b) (b) b ( b) b Akibt dri teorem di ts dlh: jik R dn 0 mk ( b) b Sol-sol ) Mislkn, b, c, d R buktikn pernytn berikut: ) Jik b, b c mk d bc c bd b) Jik b dn c d mk c b d c) b 0 jik dn hny jik = 0 tu b = 0 ) Crilh bilngn, b, c, d R yng memenuhi 0 b dn d 0 dn berlku ) c bd b) c bd. ) Tentukn bilngn rel, sedemikin sehingg: ) 4 b) 4 c) d) 7 e) Gris Bilngn Secr geometris, sistem bilngn rel (R) dpt digmbrkn dengn gris lurus. Mul-mul dimbil sebrng titik untuk dipsngkn dengn bilngn 0. Titik ini dinmkn titik sl (origin), ditulis dengn O. Pd kedu sisi dri O dibut skl sm dn disepkti rh positif disebelh knn O sedngkn rh negtif disebelh kiri O. Selnjutny, bilngn-bilngn bult positif,,, dpt dipsngkn dengn Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 4
15 msing-msing titik di knn O dn bilngn-bilngn,,,... dengn titik-titik di sebelh kiri O. Dengn membgi setip segmen, mk dpt ditentukn loksi untuk bilngn-bilngn,,, dst. Perhtikn gmbr berikut. 0 Gmbr. Dengn cr demikin, mk setip bilngn rel menentukn tept stu titik pd gris lurus dn seblikny setip titik pd gris lurus menentukn tept stu bilngn rel. Oleh sebb itu, gris lurus sering disebut pul gris bilngn rel.. Persmn dn Pertidksmn Istilh persmn dn pertidksmn pd umumny berhubungn dengn peubh tu vribel. Peubh dlh lmbng yng digunkn untuk menytkn sebrng nggot sutu himpunn. Jik nggotny himpunn bilngn rel mk perubhny disebut peubh rel. Selnjutny yng dimksud dengn peubh dlm persmn dn pertidksmn yng kn dibhs dlm buku ini dlh peubh rel. Persmn dlh klimt terbuk dlm mtemtik yng memut stu peubh tu lebih dengn tnd sm dengn (=). Contoh ) 4 ) 7 ) 4 0 4) 5) 6) ) z z z 0 8) 4 ( z 6z z 8z) 0 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 5
16 4 9) ( z z ) 0 4 0) ( z 6z z z 4) ) ( z 9z 4z 6) ) ( z z ) 0 ) ( z 64) ) z 5z 85z 5z 74z 0 0 5) z z 4z 4 0 6) ( z 4 z) 0 5 7) ( z z 5) 0 4 8) ( z 5z 6) ) z 5z 7z z 8z 4 0 0) z z z 0 ) ( z 4z 4)( z ) 0 Pertidksmn dlh klimt terbuk dlm mtemtik yng memut stu peubh tu lebih dn tnd ketidksmn (<, >,, ). Contoh ) 4 ) ) 5 4) 8 5) 0 6) 7) 8) 4 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 6
17 Kren persmn dn pertidksmn merupkn klimt terbuk dn mempunyi peubh, mk peubh tersebut dpt ditentukn sehingg memenuhi persmn tu pertidksmn dimksud, sehingg persmn tu pertidksmn mempunyi rti dn bernili benr. Nili peubh yng memenuhi persmn tu pertidksm disebut selesin. Himpunn semu bilngn rel yng merupkn selesin dri sutu persmn tu pertidksmn disebut himpunn selesin. Sift-sift dn hukum dlm bilngn rel R sngt membntu dlm menentukn selesin persmn tu pertidksmn yng diberikn. Contoh Tentukn selesin persmn dn pertidksmn di bwh ini. ) 4 Jwb Jdi selesin persmn 4 dlh = 7 ) 4 0 Jwb ( 4)( ) 0 ( 4) 0 tu ( ) 0 4 tu Jdi selesin persmn 4 0 dlh tu ) Tentukn selesin pertidksmn Jwb Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 7
18 ( ).( ) 4 Jdi, selesin pertidksmn dlh > -4 Pertidksmn tipe lin mungkin lebih sulit diselesikn dibndingkn pertidksmn-pertidksmn seperti pd contoh di ts. Beberp contoh diberikn sebgi berikut. ) Tentukn selesin Jwb Dengn memfktorkn rus kiri pertidksmn, mk diperoleh: 0 Telh dikethui bhw hsil kli bilngn rel positif pbil ke du positif tu ke du fktor negtif. Oleh kren itu, (i). Jik ke du fktor positif mk: 0 dn 0 dn fktor Sehingg diperoleh:. (ii).jik ke du fktor negtif, mk: Diperoleh:. 0 dn 0 dn Jdi, selesin persmn dlh < tu >. Selesin pertidksmn di ts dpt pul diterngkn sebgi berikut: Rus kiri pertidksmn bernili nol jik tu. Selnjutny, ke du bilngn ini membgi gris bilngn menjdi bgin:,, dn. < << > 0 4 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 8
19 Gmbr.4 Pd bgin, nili ( ) dn ( ) keduny neg tif, sehingg hsil kli keduny positif. Pd segmen, ( ) bernili positif sedngkn ( ) bernili negtif. Akibtny, hsil kli keduny bernili negtif. Terkhir, pd bgin, ( ) dn ( ) msing-msing bernili positif sehingg hsil kli keduny jug positif. Rngkumn urin di ts dpt diliht pd Tbel berikut. Tnd nili ( )( ) Kesimpuln Pertidksmn dipenuhi Pertidksmn tidk dipenuhi Pertidksmn dipenuhi Jdi, selesin pertidksmn dlh tu. Metode penyelesin seperti pd contoh di ts dpt pul diterpkn pd bentuk-bentuk pertidksmn yng memut lebih dri fktor mupun bentuk-bentuk pechn. ). Jwb Apbil ke du rus pd pertidksmn di ts ditmbh, mk diperoleh: 0 ( )( )( ) 0 Jik ( )( )( ) 0, mk diperoleh:,, tu. Selnjutny, perhtikn tble berikut: Nili-nili peubh,, disebut titik kritis. Tnd nili/nili ( )( )( ) Kesimpuln Pertidksmn dipenuhi Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 9
20 Pertidksmn tidk dipenuhi Pertidksmn dipenuhi Pertidksmn tidk dipenuhi Pertidksmn dipenuhi 0-0 Pertidksmn dipenuhi 0 0 Pertidksmn dipenuhi Jdi, selesin pertidksmn tu. Cr lin untuk menentukn selesin pertidksmn. dlh dengn menggunkn gris bilngn 0 ( )( )( ) 0, Sehingg titik kritis pertidksmn dlh,, dn Dengn memilih stu titik sebrng disetip intervl dits diperoleh: Berdsrkn gris bilngn di ts selesin pertidksmn dlh tu. 8 ). Penyelesin Apbil pd ke du rus ditmbhkn ( ) mk diperoleh: 8 8 ( ) ( 5)( ) 0 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 0
21 Nili nol pembilng dlh dn 5, sedngkn nili nol penyebut dlh. ( 5)( ) Sekrng, untuk mendptkn nili sehingg 0 berikut: Tnd nili/nili 5 ( )( 5) diperhtikn tbel Kesimpuln Pertidksmn tidk dipenuhi Pertidksmn dipenuhi Pertidksmn tidk dipenuhi Pertidksmn dipenuhi Pertidksmn Tidk terdefinisi dipenuhi Pertidksmn tidk dipenuhi Pertidksmn dipenuhi Jdi, selesin pertidksmn dlh tu 5 dn ditulis dengn notsi intervl [,) [5, ~) Berdsrkn contoh di ts, bhw tmpk selesin sutu persmn berup titik (diskrit), sedngkn selesin pertidksmn berup selng/intervl (kontinu). Selng didefinisikn: Diberikn sebrng du bilngn rel dn b, dengn [, b] [, b) [,~) ( ~, ] b (, b) b b (, b] b (,~) ( ~, ) b. Berturut-turut Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
22 . Nili Mutlk Misl sutu bilngn rel, nili mutlk dinotsikn dengn dn didefinisikn sebgi pnjng tu jrk bilngn tersebut dri bilngn 0. Definisi Misl rel mk:,, untuk 0 untuk 0 Bentuk lin dri definisi di ts dlh sebgi berikut:. Contoh 8 8, 5 5,, ( ), dst Selnjutny, sift-sift nili mutlk diterngkn sebgi berikut. Sift-sift Nili Mutlk. Jik, y R mk: ) 0 b) 0 0 c). y. y d), sl y 0 y y e) y y (Ketksmn segitig) f) y y Secr geometris, nili mutlk dpt dirtikn sebgi jrk dri ke. Sebgi contoh, jik 7 mk rtiny berjrk 7 unit di sebelh knn tu di sebelh kiri (liht Gmbr.5). 7 unit 7 unit 4 0 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
23 Jdi selesin 7 berikut: dlh 4,0. Gmbr.5 Dengn mengingt nili mutlk sebelumny kirny mudh diphmi sift. Jik 0, mk: tu. Contoh, 4 berrti 4 tu tu 5 Dengn cr yng sm 5 tu 5 7 berrti 7 tu 7. Jik 0, mk: 0 tu ). 5 tu b) tu. 4 Contoh Tentukn selesin pertidksmn yng memut nili mutlk di bwh ini: ) Selesikn 7. Jwb 7 7 tu 4 tu 0 tu 5 7 Jdi selesin pertidksmn dlh tu 5 ) Tentukn semu nili yng memenuhi. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo-
24 Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 4 Jwb dn Selnjutny, kren: tu (i). 6 tu (ii). mk, diperoleh: 6 tu 5 6. ) Tentukn selesin 4. Jwb: (i). Apbil 0, mk sellu berlku 4 untuk setip. Sehingg diperoleh:. (ii). Jik 0, mk: 6,, 4 tu 4 4 Dri (i) dn (ii), diperoleh. 4) Tentukn selesin. Jwb Berdsrkn nili mutlk dperoleh:
25 4 5 tu , , 5 4 4,, 0 0, 6 5 Jdi selesin pertidksmn dlh,,6 4. Contoh y Tentukn selesin dri pertidksmn. Jwb Menurut sift 4 di ts, mk: y. 6 ( ) ( 6) ( 7)( 5) Titik kritis pertidksmn dlh 7 dn 5 sehingg gmbr gris bilngn / Jdi selesin pertidksmn dlh ( ~, ) (5, ~) 5.4 Sol Ltihn Tentukn selesin pertidksmn dibwh ini! Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 5
26 Untuk sol 4 tentukn sehingg msing-msing pernytn mempunyi rti Jik dn y mk tunjukkn y 5 6. b 6. Jik b mk tunjukkn bhw b. Bilngn ritmtik dri bilngn dn b. b disebut rt-rt 7. Jik 0 b mk tunjukkn bhw b b. Bilngn b disebut rt-rt geometri dri bilngn dn b. Tunjukkn pul bhw rt-rt geometri dri bilngn dn b kurng dri rt-rt ritmtikny. 8. Tunjukkn bhw y y. 9. Jik, b 0 dn b mk tunjukkn. b 0. Jik b dn c 0, tunjukkn c bc. Klkulus Diferensil: Dwi Purnomo- 6
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Lebih terperincididefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
Lebih terperinciPROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
Lebih terperincir x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
Lebih terperinciVEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
Lebih terperinci1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Lebih terperinciKerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: ytiuny@yhoo.com Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
Lebih terperinciCONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
Lebih terperinciBab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
Lebih terperinciCHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
3. LIMIT DAN KEKONTINUAN 1 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi di =1, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp
Lebih terperinciBilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )
Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN. INF228 Kalkulus Dasar
. LIMIT DAN KEKONTINUAN INF8 Klkulus Dsr . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
Lebih terperinciINTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
Lebih terperinciIntegral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
Lebih terperinci2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1
. Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny
Lebih terperinci3. LIMIT DAN KEKONTINUAN
. LIMIT DAN KEKONTINUAN . Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
Lebih terperinciLIMIT DAN KONTINUITAS
LIMIT DAN KONTINUITAS Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi Fungsi dits tidk terdeinisi di =, kren di titik tersebut berbentuk 0/0. Tpi msih bis ditnykn berp nili jik mendekti
Lebih terperinciIntegral Kompleks (Bagian Kesatu)
Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI) Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl
Lebih terperinci6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
Lebih terperinci15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
Lebih terperinciRUANG VEKTOR (lanjut..)
RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN
www.sip-osn.blogspot.com @Mret 0 PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 0 TINGKAT KABUPATEN. B. x ( x ) ( x + )( x ) ( x ( ) )( x ) ( x + )( x )( x + )( x ) (d fktor) Tidk d penjelsn tentng fktor hrus bilngn
Lebih terperinciDETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Lebih terperincimatematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Lebih terperinci14. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN
4. SIFAT-SIFAT INTEGRAL RIEMANN 4. Sift-sift Dsr Integrl Riemnn Pd bb ini kit kn mempeljri sift-sift dsr integrl Riemnn. Sift pertm dlh sift kelinern, yng dinytkn dlm Proposisi. Sepnjng bb ini, I menytkn
Lebih terperincimatematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
Lebih terperinci12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL
12. LUAS DAERAH DAN INTEGRAL 12.1 Lus Derh di Bwh Kurv Mslh menentukn lus derh (dn volume rung) telh dipeljri sejk er Pythgors dn Zeno, pd thun 500-n SM. Konsep integrl (yng terkit ert dengn lus derh)
Lebih terperinciBABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO
. Jwbn : C 8 3 8 6 3 3 3 6 BABAK PENYISIHAN AMSO JENJANG SMA PEMBAHASAN BABAK PENYISIHAN AMSO. Jwbn : C Tig bilngn prim pertm yng lebih besr dri 0 dlh 3, 9, dn 6. Mk 3 + 9 + 6 = 73. Jdi, jumlh tig bilngn
Lebih terperinciM A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
Lebih terperinciFUNGSI TRANSENDEN. Definisi 1 Fungsi logaritma natural, ditulis sebagai ln, didefenisikan dengan
2 FUNGSI TRANSENDEN Fungsi trnsenen tu fungsi non-ljbr lh fungsi yng tik pt inytkn lm sejumlh berhingg opersi ljbr. Fungsi trnsenen yng bis ijumpi lm hl ini teriri ri fungsi eksponensil, fungsi logritmik,
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
Lebih terperinciBAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
Lebih terperinciPOSET ( Partially Ordered Set ) Himpunan Terurut Parsial
POSET ( Prtilly Ordered Set ) Himpunn Terurut Prsil Definisi Sutu relsi biner dinmkn sebgi sutu relsi pengurutn tk lengkp tu relsi pengurutn prsil ( prtil ordering reltion ) jik i bersift reflexive, ntisymmetric,
Lebih terperinciBAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift
Lebih terperinciSistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
Lebih terperinciVektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Lebih terperinci1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai
Contents 1 TEORI KETERBAGIAN 2 1.1 Algoritm Pembgin.............................. 3 1.2 Pembgi persekutun terbesr.......................... 6 1.3 Algoritm Euclid................................. 10 1.4
Lebih terperinciINTEGRAL FOURIER KED. Diasumsikan syarat-syarat berikut pada f(x): 1. f x memenuhi syarat Dirichlet pada setiap interval terhingga L, L.
INTEGRAL FOURIER Disumsikn syrt-syrt berikut pd f(x):. f x memenuhi syrt Dirichlet pd setip intervl terhingg L, L.. f x dx konvergen, yitu f(x) dpt diintegrsikn secr mutlk dlm (, ). Selnjutny, Teorem integrl
Lebih terperinciVEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
Lebih terperinciSTRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
Lebih terperinciBAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Anlisis Rel Hendr Gunwn* *http://hgunwn82.wordpress.com Anlysis nd Geometry Group Bndung Institute of Technology Bndung, INDONESIA Progrm Studi S1 Mtemtik ITB, Semester II 2016/2017 HG* (*ITB Bndung)
Lebih terperinciPERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
Lebih terperinciTeorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR d_1910@yhoo.com Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
Lebih terperinciBAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
Lebih terperinci7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
Lebih terperinciBAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
Lebih terperinciIII. LIMIT DAN KEKONTINUAN
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY III. LIMIT DAN KEKONTINUAN 3.1 Limit Fungsi di Stu Titik Pengertin it secr intuisi Perhtikn ungsi 1 1 Fungsi dits tidk terdeinisi
Lebih terperinciMatriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
Lebih terperinci02. OPERASI BILANGAN
0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.
Lebih terperincimatematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Dr. Djdir, M.Pd. Dr. Ilhm Minggi, M.Si J fruddin,s.pd.,m.pd. Ahmd Zki, S.Si.,M.Si Shln Sidjr,
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperinci3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
Lebih terperinciKALKULUS I Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu Program Sarjana Matematika Universitas Brawijaya
KALKULUS I Dr. Wurnsri Muhrini Kusumwinhu Progrm Srjn Mtemtik Universits Brwij Deinisi: Mislkn A dn B dlh himpunn tk kosong. Fungsi dri A ke B dlh sutu ATURAN ng MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di A dengn tept
Lebih terperinciSolusi Pengayaan Matematika Edisi 4 Januari Pekan Ke-4, 2007 Nomor Soal: 31-40
Solusi Pengn Mtemtik Edisi 4 Jnuri Pekn Ke-4, 007 Nomor Sol: -40. Diberikn persmn 8 9 4 8 007 dn b, dengn b. Angk stun dri b dlh. A. B. C. D. 7 E. 9 Persmn 8 9 4 8 8 9 4 8 9 4 8 8 8 9 8 4 8 8 8 0 0 b tu
Lebih terperinciFISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
Lebih terperinciMateri V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus,
Mteri V Tujun : 1. Mhsisw dpt mengenli determinn.. Mhsisw dpt merubh persmn linier menjdi persmn determinn.. Mhsisw menelesikn determinn ordo du. Mhsisw mmpu menelesikn determinn ordo tig. Mhsisw mengethui
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN
Lebih terperinciLIMIT FUNGSI. DEFINISI Notasi. dibaca. limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L. atau. f(x) mendekati L bila x mendekati a.
DEFINISI Notsi dibc tu berrti bhw IMIT FUNGSI it bil mendekti sm dengn mendekti bil mendekti nili dpt dibut sedekt mungkin dengn bil cukup dekt dengn, tetpi tidk sm dengn. Perhtikn bhw dlm deinisi tersebut
Lebih terperinciMODEL POTENSIAL 1 DIMENSI
MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI 1. Sumur Potensil Tk Berhingg Kit tinju prtikel bermss m dengn energi positif, berd dlm sumur potensil stu dimensi dengn dinding potensil tk berhingg dn potensil didlmny nol,
Lebih terperinciBAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BAB II PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA ILUSTRASI Sony kn membeli sebuh motor secr kredit, ketentun yng ditwrkn oleh perushn lesing dlh, ung muk sebesr Rp.500.000,00 dn ngsurn perbulnny sebesr Rp 365.000,00
Lebih terperinciJarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
Lebih terperinciMENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT. Supriyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo.
MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN PANGKAT EMPAT Supriyono Jurusn Pendidikn Mtemtik FKIP Universits Muhmmdiyh Purworejo Abstrk Tulisn ini terdiri bgin yitu () bgin pendhulun yng membhs bentuk umum persmn pngkt
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Lebih terperinci4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN SIFAT-SIFAT LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh memeljri mteri ini, kmu dihrkn memiliki kemmun berikut.. Memhmi definisi logritm.. Dt menentukn nili logritm dengn menggunkn tbel
Lebih terperinciMatematika SKALU Tahun 1978
Mtemtik SKALU Thun 978 MA-78-0 Persmn c + b + = 0, mempunyi kr-kr dn, mk berlku A. + = b B. + = c C. = c = c = c MA-78-0 Akr dri persmn 5 - = 7 + dlh A. B. C. 4 5 MA-78-0 Hrg dri log b. b log c. c log
Lebih terperinciMATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
Lebih terperinciAUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA
JMP : Volume Nomor Oktober 9 AUTOMATA SEBAGAI MODEL PENGENAL BAHASA Eddy Mrynto Fkults Sins dn Teknik Universits Jenderl Soedirmn Purwokerto Indonesi emil: eddy_mrynto@unsoed.c.id Abstrct. A deterministic
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier
b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,
Lebih terperinciUniversitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
Lebih terperinciDETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
Lebih terperinciINTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
Lebih terperinciALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
Lebih terperinciTINGKAT SMA KOMET 2018 SE-JAWA TIMUR
. Dlm cr jln seht yng didkn oleh HIMATIKA menyedikn kupon hdih. Kode-kode kupon tersebut disusun dri ngkngk,,, 6, 8. Nomor dri kupon-kupon tersebut disusun berdsrkn kodeny muli dri yng terkecil smpi dengn
Lebih terperinciSUKU BANYAK ( POLINOM)
SUKU BANYAK ( POLINOM) Bb 16 Skl 8.Menyelesikn mslh yng berkitn dengn teorem sis tu teorem fktor A. PENGERTIAN SUKU BANYAK. Bentuk x x x... x x, dengn 0 dn n { bil. cch} 1 0 disebut dengn Suku bnyk (Polinomil)
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
Lebih terperinciMATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
Lebih terperinciMinggu ke 6 LIMIT FUNGSI (LIMITS OF FINCTIONS) 2,1, 2,01, 2,001, 2,0001,, 2 + 1/10 n maka :
Minggu ke 6 Modul Mtemtik LIMIT FUNGSI LIMITS OF FINCTIONS). BRISN SEQUENCES) VS. LIMIT FUNGSI LIMITS OF FUNCTIONS) Contoh : Sequence : fn) = + / n,,,,,,,,, + / n mk : Limit dri fungsi f) =, dimn vribel
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan dengan Logaritma. Persamaan & Fungsi logaritma. Pengertian Logaritma 10/9/2013
10/9/013 Penyelesin Persmn dengn Logritm Persmn & Fungsi logritm Tim Dosen Mtemtik FTP Logritm dpt digunkn untuk mencri bilngn yng belum dikethui (bilngn x) dlm sebuh persmn, khususny persmn eksponensil
Lebih terperinciTIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2009
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 009 Bidng Mtemtik Wktu :,5 Jm DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 11 Ltr Belkng Pd kondisi-kondisi tertentu keheterogenn unit percobn tidk bis dikendlikn hny dengn pengelompokkn stu sisi kergmn unit-unit percobn nmun memerlukn penngnn yng lebih kompleks
Lebih terperinciRumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia
Rumus Lus Derh Segi Empt Sembrng? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusn Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Kit bisny lebih menyuki brng yng siftny serb gun dn efektif, stu brng untuk berbgi jenis keperlun.
Lebih terperinciMateri IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
Lebih terperinciAljabar Linear. Pertemuan 12_14 Aljabar Vektor (Perkalian vektor)
Aljbr Liner Pertemun 12_14 Aljbr Vektor (Perklin vektor) Pembhsn Perklin vektor dengn sklr Rung vektor Perklin Vektor dengn Vektor: Dot Product - Model dot product - Sift dot product Pendhulun Penmbhn
Lebih terperinciMatematika X Semester 1 SMAN 1 Bone-Bone
http://meetbied.wordpress.com Mtemtik X Semester SMAN Bone-Bone Hsil yng pling berhrg dri semu jenis pendidikn dlh kemmpun untuk membut diri kit melkukn sesutu yng hrus kit lkukn, pd st hl itu hrus dilkukn,
Lebih terperinciMenerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
Lebih terperinciANALISIS NUMERIK. Inter polasi. SPL simultan. Akar Persama. linear
ANALISIS NUMERIK Inter polsi SPL simultn Akr Persm n Non liner INTERPOLASI Tujun Interpolsi bergun untuk menksir hrg-hrg tengh ntr titik dt yng sudh tept. Interpolsi mempunyi orde tu derjt. Mcm Interpolsi
Lebih terperinci