12. Teorema Inversi Fourier dan Transformasi Fourier di L 2 (R)

Transkripsi

1 1. Teorema Inversi Fourier dan Transformasi Fourier di L (R) 1.1 Teorema Inversi Fourier Dari hasil hitung-hitungan kasar di awal bagian ke-10, kita ingin membuktikan bahwa, dalam kondisi tertentu, kita mempunyai f(x) = 1 f(ξ)e iξx dξ = ( f)ˇ(x), untuk (hampir) setiap x R. Melalui kesamaan inilah kita dapat memperoleh f kembali dari f. Tetapi kapankah kesamaan ini berlaku? Teorema Inversi Fourier. Misalkan f L 1, kontinu bagian demi bagian, dan f L 1. Maka f kontinu dan untuk setiap x R. f(x) = 1 f(ξ)e iξx dξ, Bukti. Misalkan ϕ(x) := 1 e x / dan ϕ ϵ (x) := 1 ϵ ϕ( ) x ϵ. Maka ϕ(x) dx = 1, sehingga menurut teorema yang lalu, f ϕ ϵ (x) 1 [f(x )+f(x+)] untuk setiap x R. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa f ϕ ϵ (x) 1 f(ξ)e iξx dξ untuk setiap x R. Untuk itu, perhatikan bahwa untuk setiap x R mengingat f ϕ ϵ (x) = 1 ϵ e 1 f(y)e 1 ( x y ) ϵ dy = 1 ( x y ) ϵ = ϵ F ( e ϵ ξ ) ϵ (y x) = f(ξ)e iξx e ϵ ξ dξ, e ϵ ξ e iξ(x y) dξ. Sekarang jika ϵ 0, maka e ϵ ξ 1; sehingga f(ξ)e iξx e ϵ ξ f(ξ)e iξx untuk setiap ξ R. Selain itu, untuk setiap ϵ > 0, kita mempunyai f(ξ)e iξx e ϵ ξ f(ξ), 55

2 untuk setiap ξ R. Karena f L 1, maka menurut Teorema Kekonvergenan Terdominasi Lebesgue, f ϕ ϵ (x) 1 f(x)e iξx dξ, dan ini berlaku untuk setiap x R. Jadi, karena limit itu tunggal, kita peroleh 1 f(x)e iξx dξ = 1 [f(x ) + f(x+)]. Namun, integral di ruas kiri tak lain adalah transformasi Fourier dari f yang dihitung di x. Karena itu ia merupakan fungsi yang kontinu, sehingga f mestilah kontinu dan f(x) = 1 1 [f(x ) + f(x+)] = sebagaimana yang diharapkan. (QED) f(ξ)e iξx dx, Akibat. Misal f, g L 1 dengan f, ĝ L 1. Jika f = ĝ, maka f = g. Bukti. Jika f = ĝ, maka (f g) = 0. Akibatnya, (f g)(x) = 1 untuk setiap x R. (QED) (f g) (ξ)e iξx dξ = 0 dξ = 0, Catatan. (1) Teorema Inversi Fourier memberitahu kita bahwa transformasi Fourier mempunyai invers, yang kita sebut transformasi Fourier invers. Jika transformasi Fourier kita lambangkan dengan F, maka transformasi Fourier invers dilambangkan dengan F 1. Jadi, jika Ff = f, maka f = F 1 f = ( f)ˇ. () Terdapat banyak fungsi f L 1 yang mempunyai transformasi Fourier f di L 1. Sebagai contoh, jika f ada, f dan f terintegralkan, maka (f ) (ξ) = ξ f(ξ) terbatas, sehingga f(ξ) C 1+ξ dan karena itu f L 1. Perhatikan pula bahwa dalam hal ini f dan f terbatas dan kontinu, sehingga keduanya merupakan fungsi di L. Teorema berikut menyatakan bahwa fungsi f dapat diperoleh kembali dari transformasi Fourier invers via nilai utama-nya. Teorema. Jika f terintegralkan dan mulus bagian demi bagian pada R, maka lim T 1 T T f(ξ)e iξx dξ = 1 [f(x ) + f(x+)], 56

3 untuk setiap x R. Bukti. Lihat Folland, hal Transformasi Fourier di L Kita telah membahas transformasi Fourier di L 1, namun, berdasarkan pengalaman dengan deret Fourier, ruang L semestinya berperan juga. Perhatikan jika f, g L 1 L sedemikian sehingga f, ĝ L 1 L, maka f, g = f(x)g(x) dx = f(x)e iξx ĝ(ξ)dxdξ = f(ξ)ĝ(ξ) dξ = f, ĝ. Khususnya, jika f = g, maka kita peroleh kesamaan Plancherel f = f. Dengan menggunakan fakta bahwa L 1 L padat di L, transformasi Fourier dari fungsi f L dapat didefinisikan sebagai limit dari suatu barisan f n (dalam norm L ), dengan f n L 1 L dan f n f (n ) dalam norm L. Semua ini dapat dilakukan sebagaimana dijamin oleh teorema berikut: Teorema. Misalkan f L. Untuk n N, definisikan f n = χ [,n] f, yakni { f(x), jika x n, f n (x) = 0, jika x > n. Maka, f n L 1 L dan f n L, untuk setiap n N. Lebih jauh, f n f (n ) dalam norm L dan ( f n ) konvergen (dalam norma L ) ke suatu fungsi di L. Bukti. Menurut ketaksamaan Holder, untuk setiap n N, kita mempunyai n f n (x) dx = f(x) dx R [ n ] 1 [ n ] 1 f(x) dx dx f (n) 1 <. Jadi, f n L 1. Kemudian mengingat f n (x) f(x), kita peroleh pula f n L. Dengan demikian, f n L 1 L dan, menurut kesamaan Plancherel, f n L. Perhatikan bahwa f n (x) f(x) (n ) titik demi titik. Kekonvergenan Monoton, lim n f n (x) dx = 57 f(x) dx, Berdasarkan Teorema

4 yakni, f n f (n ) dalam norma L. Selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa ( f n ) konvergen (dalam norma L ) ke suatu fungsi di L. Mengingat L lengkap, cukup kita tunjukkan bahwa f m f n 0 (m, n ). Namun f m f n adalah transformasi Fourier dari f m f n L 1 L. Karena itu, menurut kesamaan Plancherel, f m f [ m n ] n = f m f n = f(x) dx + f(x) dx 0, m apabila m, n. Ini mengakhiri pembuktian. (QED) Dengan pengamatan di atas, kita definisikan transformasi Fourier dari f L sebagai f = lim f n n (dalam norm L ), di mana f n = χ [,n] f, n N. Catatan. (1) Jika f L dan f n = χ [,n] f, n N, maka definisi di atas mengatakan bahwa lim n f f n = 0. Mengingat f didefinisikan hanya sebagai anggota L, fungsi f(x) hanya terdefinisi hampir di mana-mana. Selanjutnya, jika f L 1 L, maka sekarang kita mempunyai dua definisi untuk f. Namun, kedua definisi ini konsisten karena limit dalam norma L mestilah sama dengan limit titik demi titiknya. () Demikian pula, definisi di atas tidak bergantung pada pemilihan barisan fungsi (f n ) yang konvergen ke f dalam norm L. Andaikan anda menggunakan barisan fungsi (g n ) yang konvergen ke f dalam norm L dan mendefinisikan ĝ := lim n ĝ n, maka f n ĝ n = f n g n 0. Akibatnya lim f n = lim ĝn. n n Teorema (Kesamaan Plancherel). Jika f L, maka f = f. Bukti. Latihan. Teorema (Kesamaan Plancherel). Jika f, g L, maka f, ĝ = f, g. Bukti. Latihan. 58

5 Teorema Inversi Fourier di L. Jika f L, maka 1 n f(ξ)e iξx dξ f(x) 0 (n ). Bukti. Lihat Rudin, hal Soal Latihan 1. Buktikan Kesamaan Plancherel (yang dinyatakan dalam dua teorema sebelum teorema terakhir).. Diketahui a > 0. Buktikan secara langsung bahwa F[e a x ](ξ) = a ξ +a dan kemudian degan menggunakan Teoema Inversi Fourier tunjukkan bahwa F [ 1 x +a ] (ξ) = π a e a ξ. 3. Untuk a > 0, definisikan f a (x) := a π(x +a ) f a f b = f a+b dan g a g b = g min{a,b}. dan g a(x) := sin ax πx. Buktikan bahwa 4. Misalkan f kontinu dan mulus bagian demi bagian, f L, dan f L. Buktikan bahwa f L 1. 59