HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL

Transkripsi

1 HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL Ukhti Raudhatul Jannah Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Madura Alamat Jalan Raya Panglegur 3,5 KM Pamekasan Abstrak: Tulisan ini menyajikan definisi teorema limit fungsi limit barisan pada topologi real yang bertujuan untuk mengetahui hubungan antara limit fungsi limit barisan pada topologi real Misalkan diberikan suatu barisan pada bilangan real suatu bilangan real, bilangan adalah limit barisan jika untuk setiap lingkungan, barisan adalah eventually pada, Misalkan, dengan suatu bilangan real, ( semua titik limit ) Bilangan dikatakan limit Jika untuk setiap lingkungan mendapatkan lingkungan untuk setiap Akan mencari hubungan antara kedunya, yaitu dengan menggunakan definisi teorema mengenai limit fungsi limit barisan pada topologi real Kata kunci: Barisan, Neighborhood (lingkungan), Titik Limit, Eventually, Frequently, Limit Barisan, Limit Parsial, Limit Fungsi, Limit Pada Tak Hingga PENDAHULUAN Untuk mencari hubungan antara limit fungsi limit barisan, terlebih dahulu akan dibicarakan mengenai definisi barisan, definisi subbarisan, definisi neighborhood (lingkungan), definisi Eventually, Frequently definisi serta teorema mengenai limit fungsi barisan pada topologi real, antara lain; definisi Limit Barisan, definisi Limit Parsial, definisi Limit Fungsi, teorema Limit Tak Hingga teorema Limit pada Tak Hingga Definisi 1 Barisan bilangan real adalah fungsi Jika adalah barisan bilangan real maka nilai fungsi di dinotasikan sebagai Nilai ini disebut suku ke- barisan bilangan real Barisan bilangan real dapat pula dituliskan sebagai atau Definisi 2 Misalkan real misalkan bilangan asli naik kuat, maka adalalah barisan bilangan barisan yang diberikan dengan dikatakan subbarisan Definisi 3 Misalkan Himpunan disebut lingkungan - a lingkungan a adalah sebarang yang memuat lingkungan - a untuk suatu Definisi 4 Jika suatu bilangan real maka kita katakan bahwa adalah titik limit A jika untuk setiap bilangan berlaku Ekuivalen, dengan suatu bilangan adalah titik limit suatu jika hanya jika untuk setiap lingkungan (Neighborhoods) berlaku Himpunan setiap titik limit adalah L Titik limit kagkag disebut dengan titik akumulasi 143

2 Jannah, Hubungan Limit Fungsi Limit Barisan 144 Lemma 1 Jika maka adalah titik limit jika hanya jika untuk setiap lingkungan tak hingga banyak anggota memuat Jika untuk setiap memuat tak hingga banyak anggota maka untuk setiap paling sedikit harus memuat satu ( dalam fakta tak hingga banyak) anggota itu jelas bahwa adalah titik limit Untuk membuktikan konvers, kita menganggap bahwa adalah titik limit Oleh definisi, cara ini bahwa untuk setiap paling sedikit memuat satu anggota Untuk memperoleh suatu kontradiksi, anggap bahwa ada hanya memuat suatu bilangan hingga anggota Maka juga harus memuat suatu bilangan hingga anggota, Karena adalah hingga adalah bukan anggota, ada untuk setiap (bahwa, titik semakin dekat pada pada sembarang yang lain) Karena jika kita misalkan tidak, maka memuat anggota Karena untuk setiap, memuat tak hingga banyak anggota Definisi 5 Misalkan barisan pada bilangan real bahwa Barisan dikatakan eventually pada untuk setiap lain, barisan jika yang cukup besar Dengan kata adalah eventually pada jika ada suatu bilangan bila mana Barisan dikatakan frequently pada jika tak hingga banyak bilangan Dengan kata lain, barisan dikatakan frequently pada bila mana tak hingga Definisi 6 a Diberikan suatu barisan pada bilangan real suatu bilangan real, bilangan dikatakan limit barisan jika untuk setiap lingkungan, barisan adalah eventually pada Bila mana limit maka ditulis selama Suatu barisan dikatakan konvergen jika ada bilangan real Dalam fakta bahwa jika, maka dikatakan bahwa barisan konvergen pada jika tidak ada bilangan real, maka dikatakan bahwa barisan divergen b Barisan dikatakan konvergen pada bilangan real, jika ada untuk setiap Barisan konvergen pada bilangan real berlaku ditulis atau atau Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan real atau jika dinamakan divergen, tidak konvergen ke bilangan real berlaku merupakan barisan dengan, maka

3 145 INTERAKSI, Volume 9, N0 2 Juli 2014, hlm c Diberikan suatu barisan pada bilangan real suatu bilangan real, bilangan dikatakan limit parsial barisan jika untuk setiap lingkungan, barisan adalah frequently pada Teorema 1 Misalkan barisan dalam bilangan real Maka kedua kondisi berikut ekuivalen a selama b Untuk setiap bilangan barisan adalah eventually dalam interval Asumsikan (a) benar Misalkan diberikan Maka ada lingkungan Karena adalah lingkungan Maka ada bilangan asli bila mana Akibatnya sesuai dengan definisi barisan adalah eventually pada Asumsikan (b) benar Misalkan lingkungan adalah Pilih suatu bilangan Maka karena adalah eventually pada Akibatnya sesuai dengan definisi barisan adalah eventually pada selama Teorema 2 Misalkan bilangan real ekuivalen : Dengan kata lian, barisan kedua kondisi berikut a adalah limit parsial b Ada suatu subbarisan yang konvergen pada Asumsikan ( b ) benar Pilih suatu subbarisan pilih suatu barisan naik tegas untuk setiap Misalkan adalah sembarang lingkungan Akibatnya untuk setiap yang cukup besar Dengan kata lain, adalah frequently pada Akibatnya, sesuai definisi adalah limit parsial Misalkan adalah limit parsial Akan ditunjukkan ada subbarisan yang konvergen pada mengobservasi interval lingkungan Dengan memulai 1) adalah, berdasarkan fakta bahwa adalah limit parsial Akibtnya memuat tak hingga banyak anggota Pilih suatu bilangan Dengan menggunakan fakta bahwa frequently pada interval dengan Pilih suatu bilangan asli Demikian seterusnya, akan memperoleh barisan naik tegas bilangan asli Akibatnya, bila untuk setiap semakin besar maka selama Teorema 3 Misalkan barisan bilangan real ekuivalen : Kedua kondisi berikut a adalah limit parsial b Ada suatu subbarisan yang limitnya adalah Asumsikan bahwa adalah parsial limit jika maka kondisi (b) memenuhi

4 Jannah, Hubungan Limit Fungsi Limit Barisan 146 Teorema 2 Misalkan berdasarkan fakta bahwa tak terbatas atas Sesuai dengan bukti pada Teorema 2 Pilih bilangan asli Selanjutnya pilih Dengan cara yang sama akan barisan naik tegas bilangan asli untuk setiap Akibatnya seperti bukti pada teorema 2 maka subbarisan selama Dengan cara yang sama untuk kondisi Misalkan ada suatu subbarisan yang limitnya adalah dengan menggunakan teorema 2 Maka akibatnya adalah limit parsial Teorema 4 Misalkan barisan bilangan real Salah satu selama atau ada subbarisan, suatu titik selama Misalkan tidak selama Berdasarkan teorema 2 teorema 3, pilih subbarisan barisan suatu titik selama Definisi 7 Anggap bahwa bahwa Diberikan suatu titik suatu bilangan real Bilangan dikatakan limit ditulis selama Jika untuk setiap lingkungan memungkinkan mendapatkan lingkungan titik Teorema 5 Misalkan bahwa untuk semua dimana dengan adalah bilangan real Maka kedua kondisi berikut ekuivalen : a selama b untuk setiap lingkungan ada suatu bilangan bila mana Asumsikan (a) benar Misalkan lingkungan Dengan menggunakan fakta bahwa selama, pilih suatu lingkungan untuk semua titik Selanjutnya dengan menggunakan fakta bahwa lingkungan pilih suatu bilangan Oleh karena itu, berdasarkan definisi, bila maka Asumsikan (a) benar Misalkan lingkungan Dengan menggunakan kondisi (b), pilih suatu bilangan bila mana Definisikan mengobservasi bahwa bahwa Dengan lingkungan untuk setiap titik Maka sesuai definisi diperoleh selama Definisi 8 Misalkan bahwa dimana misalkan bahwa dikatakan selama bila untuk setiap

5 147 INTERAKSI, Volume 9, N0 2 Juli 2014, hlm ligkungan ada suatu lingkungan untuk setiap Definisi 9 Misalkan bahwa dimana bahwa ] Jika adalah titik limit (dengan kata lain, jika S tak terbatas atas) Maka kondisi selama diartikan untuk semua lingkungan ada suatu lingkungan untuk setiap bilangan Teorema 6 Misalkan dengan, misalkan Maka kedua kondisi berikut ekuivalen : a selama b Untuk setiap barisan dalam memenuhi, maka Asumsikan (a) benar Misalkan suatu barisan dalam Akan ditunjukkan bahwa Misalkan adalah lingkungan Pilih suatu lingkungan untuk setiap titik Selanjutnya dengan menggunakan fakta bahwa, pilih suatu bilangan asli sehigga bila mana untuk setiap Karena bersarkan fakta bahwa barisan dalam Maka untuk setiap bilangan untuk setiap barisan Oleh karena itu, Dengan kata lain, dalam memenuhi, maka untuk setiap Pembuktian ini akan menggunakan konvers, akan diarahkan mendapatkan suatu kontradiksi Asumsikan bahwa (b) benar Misalkan kondisi (a) salah Pilih lingkungan untuk setiap lingkungan, ada suatu titik dalam Untuk setiap bilangan asli, pilih suatu titik sebut dengan, karena barisan konvergen pada, akibatnya, hal ini kontradiksi karena adalah tidak pernah dalam lingkungan Teorema 7 Misalkan dengan, Maka kedua kondisi berikut ekuivalen a selama b Untuk setiap barisan dalam memenuhi, maka Asumsikan (a) benar misalkan suatu barisan dalam Akan ditunjukkan bahwa Misalkan adalah lingkungan Ada suatu lingkungan untuk setiap Selanjutnya dengan menggunakan fakta bahwa, pilih suatu bilangan asli sehigga bila mana untuk setiap Karena Bersarkan fakta bahwa barisan dalam

6 Jannah, Hubungan Limit Fungsi Limit Barisan 148 Maka untuk setiap bilangan, oleh karena itu, Dengan kata lain, untuk setiap barisan dalam memenuhi, maka untuk setiap Pada pembuktian ini akan menggunakan konvers, akan menggunakan kontradiksi Asumsikan bahwa (b) benar Misalkan kondisi (a) salah Pilih lingkungan untuk setiap lingkungan Dengan menggunakan fakta bahwa selama adalah salah Pilih suatu bilangan adalah lingkungan untuk setiap bilangan real suatu bilangan terdapat minimal Untuk setiap bilangan asli pilih suatu bilangan sebut dengan Akibatnya dalam hal ini mendapatkan suatu barisan, meskipun barisan berkorespondensi nilai limit Dengan kata lain (b) salah, hal ini kontradiksi dengan asumsi bahwa (b) benar Teorema 8 Misalkan dengan, Maka kedua kondisi berikut ekuivalen : a selama b Untuk setiap barisan dalam memenuhi, maka Asumsikan (a) benar Misalkan suatu barisan dalam Akan ditunjukkan bahwa Misalkan adalah lingkungan ada suatu lingkungan untuk setiap titik Selanjutnya dengan menggunakan fakta bahwa, pilih suatu bilangan asli sehigga bila mana untuk setiap Karena Berdasarkan fakta bahwa barisan dalam Maka untuk setiap bilangan, oleh karena itu, Dengan kata lain, untuk setiap barisan dalam memenuhi, maka untuk setiap Untuk bukti kasus ini akan menggunakan konvers akan mendapatkan suatu kontradiksi Asumsikan bahwa (b) benar Misalkan kondisi (a) salah Artinya ada lingkungan untuk setiap lingkungan, ada suatu titik dalam Jika diberikan suatu bilangan untuk setiap bilangan asli konvergen pada Teorema 9, pilih suatu titik sebut, karena barisan, akibatnya, hal ini kontradiksi dengan yang tidak pernah dalam lingkungan Misalkan dengan Misalkan Maka salah satu selama atau ada suatu barisan dalam suatu titik

7 149 INTERAKSI, Volume 9, N0 2 Juli 2014, hlm Misalkan tidak selama, Pilih suatu barisan dalam meskipun barisan tidak konvergen pada Dengan menggunakan Teorema 4 pilih subbarisan suatu titik barisan selama karena subbarisan barisan selama akibatnya KESIMPULAN Dengan menggunakan definisi teorema mengenai limit fungsi limit barisan pada topologi real Maka kita dapat menyimpulkan bahwa limit bila mana menuju jika hanya jika untuk setiap barisan dalam memenuhi menuju, DAFTAR PUSTAKA Lewin, Jonathan, 1993 An Interactive Introduction to Mathematical Analysis Second Edition New York: McGraw- Hill, inc Lewin, Jonathan and Myrtle Lewin1993 An Introduction to Mathematical Analysis Second Edition New York: McGraw- Hill, inc maka limit, Asalkan fungsi, merupakan bagian, dengan untuk setiap bilangan pada merupakan titik limit Segkan untuk dikatakan limit bila mana menuju jika hanya jika untuk setiap barisan dalam memenuhi menuju, maka limit Asalkan,, untuk setiap bilangan pada merupakan titik limit Hodaifi, 2014 Teorema Bolzano Weierstrass skripsi, Malang: Fakultas Matematika Ilmu Pengetauan Alam Universitas Negeri Malang