BAB III PEMETAAN TAK MENGEMBANG PADA RUANG BANACH. Konsep dari Ruang Banach-2 pada ruang linear bemonn-2

Transkripsi

1 BAB III PEMETAAN TAK MENGEMBANG PADA RUANG BANACH. Konsep dari Ruang Banach-2 pada ruang linear bemonn-2 pertama sekali dikemukan oleh Gahler [1963/65], beberapa konsep Iain pada ruang banach-2 ini telah pun dikembangkan oleh Gahler sendiri [1965] serta Diminne [1973,75,76,77,79,82] serta banyak lagi penuus lainnya. Akhir-akhir ini Cho, White, KJm dan Iain-lain banyak mengembangkan teorem titik tetap serta konveksitas dan titik ekstrim pada ruang Banach ini. Pada bahagian ini akan dibahas beberapa eksistenti titik tetap imtuk pemetaan tak mengembang dan pemetaan quasi tak mengembang pada ruang Banach, yaitu ruang Banach yang berasal dari ruang bemorm yang biasa maupun ruang linear bemorm Titik Tetap pada ruang Banach. Pada bagian ini akan diperlemah syarat dari pemetaan tak mengembang yang ada pada bab n, yaitu dengan memperlemah definisi dari pemetaan tak mengembang tersebut yang dalam hal ini disebut dengan pemetaan quasi tak mengembang, yang sebelumnya akan dibahas tentang konvergen kuat dan konvergen lemah pada ruang linear bemorm. 13

2 Definisi Barisan {Xn} pada ruang linear bemorm X dikatakan konvergen kuat jika terdapat x G X sehingga lim jxn-x =0, n-><n yang dituus dengan notasi 1 i m x = x atau Xn > x. n->io Misalkan X suatu ruang Banach dan T suatu fimgsional linear dari X into R, maka himpunan semua fungsional linear dari X into R dikatakan dengan ruang dual dari X dan dinotasikan dengan X* - { T T : X > R }. Definisi Barisan {x } pada ruang linear bemorm X dikatakan konvergen lemah, jika terdapat x G X, sehingga untuk setiap T G X* berlaku limt(xo) = T(x) dan dinotasikan dengan x. ^ x. Definisi Misalkan X ruang Banach dan C himpunan bagian dari X. Pemetaan T : C > C dikatakan kuasi tak mengembang bila untuk setiap p titik tetap bagi T, berlaku Tx - p < x-p untuk sebarang x G C. Definisi Ruang Banach X dikatakan konvek seragam, jika untuk setiap e > 0 terdapat 5 > 0, sedemikian sehingga x + y < 2(1-5) bila x -y > e dan x = \\y\\ < 1, dengan x, y G X. 14

3 Definisi Pemetaan T : C > X dikatakan demi close, jika untuk setiap barisan {Xn} di C dan setiap x, y e X, maka Xn konvergen lemah ke x dan li mt(x ) = y dan Tx = y. Misalkan X hin^unan bagian konvek pada X, pilih Xi e C sebarang dan definisikan barisan {Xn} sebagai berikut Xo^i = ( 1 - a ) x + a Tx (3.1.1). Dengan ocn merupakan barisan bilangan real positip, a e [a, b] dan 0 < a < b < 1. Opial [1967] mengatakan bahwa pada imtuk barisan yang dikontruksi di atas, barisan {Xn} adalah konvergen lemah ke x dan untuk semua y^x, akan berlaku liminf xn -x < liminf xn -y. Selanjutnya misalkan F(T) adalah merupan kumpulan semua titik tetap dari pemetaan T, berdasarkan konsep di atas, dapat dikontruksi tiga buah lema berikut ini. Lema Misalkan X ruang linear bemorm, C himpunan bagian konveks dari X dan pemetaan T : C > C quasi tak mengembang. Misalkan {Xn} berisan seperti pada persamaan (3.1.1) di atas, maka li m llxn - xll ada imtuk setiap x e F(T). n-><o Bukti: Misalkan T pemetaan quasi tak mengembang, maka berdasarkan definisi di atas diperoleh Tx - x\\ < xn - x dengan {x } adalah barisan seperti yang didefinisikan pada persamaan di atas, sehingga diperoleh hubungan berikut x,ri-i - x = ( a Tx + (1 - a ) Xn - x = I a (Tx - X) + ( 1 - oc )( Xn - x) 15

4 <a i TXn-x +(l-a ) l x -x < x -x yang berlaku untuk setiap x e F(T). Sehingga barisan { Xn - x } adalah barisan yang tidak naik dan terbatas di bawah. Oleh karena itu 1 i m x - x ada untuk setiap X F(T). Dengan menggunakan definisi dan lema di atas, juga akan diperoleh lema berikut ini. n ym Lema Misalkan X ruang Banach konveks seragam 0 < a < b< 1 dengan a > 0, tn e [b,c] dan {Xn}, {yn} masing-masing barisan di X sedemikian sehingga limsup (xn < a, limsup yn <a. serta lim tnxa + (l -t )yn maka lim xn -yn = a. Bukti: Misalkan barisan {Xn}n=i dan {yn}r=i ^ X, sedemikian sehingga lim sup xn II < a, lim sup y < a dan lim jt x + (1-1 )y = a untuk suatu a > 0, t [b, c], dengan 0 < b < c < 1. Andaikan lim Xn - yn ^ s, untuk setiap e > 0. Karena X ruang Banach konvek seragam, maka terdapat 6 > 0 sedemikian sehingga lim x +y < 2(1-5) 16

5 dari hubimgan ketaksamaan. a= lim t x =(l-tjy <lim x +yj< 2(1-5) n->«> ini mustahil bila diambil a > 2. Jadi haruslah: lim x - yn = 0. n->«> Lema Misalkan X ruang Banach konvek seragam, C himpunan bagian konveks dari X dan T : C > C pemetaan quasi tak mengembang, {Xn} berisan seperti persamaan3.1.1 maka lim x - TXn = 0. Bukti : Misalkan x titik tetap dari T, karena T adalah pemetaan quasi tak mengembang, maka berlaku Tx -x < x -x Dari lema diperoleh lim xn - x ada untuk setiap x G F(T). Untuk itu misalkan lim x -x =d, (3.L2) sehingga berlaku limsup Tx -x j <d (3.1.3) Dari hubimgan kesamaan Xn+l - X = ( (X Tx + ( 1 - On ) Xn - X = a (Tx -x) + (l-a )(x -x) maka lim xn+i -x - lim a ( Txn-x) + (1 -a ) (x -x) 17

6 dan juga lim a (Tx -x) + ( 1-ao)(Xn-x) = lim x -x =d (3.1.4) Sehingga dari persamaan (3.1.2), (3.1.3) dan (3.1.4) serta lema (3.1.2) diperoleh lim Tx +i-xn 11=0. Teroema Misalkan X ruang Banach konvek seragam yang memenuhi kondisi opial, C himpunan bagian konvek dari X, dan T pemetaan quasi tak mengembang dari C into C. dengan I - T demi close ke nol. Maka barisan yang didefinisikan oleh persamaan (3.1.1) konvergen lemah kesuatu titik tetap dari T. Bukti : Misalkan {x<pn} dan {x^,n} sub barisan dari {Xn} yang masing-masing konvergen lemah ke x dan z di C. Klarena X ruang Banach konveks seragam dan C himpunan bagian konveks daii X, maka berdasarkan lema3.1.2 berlaku lim Txo+i-Xn (1=0 Selanjutnya karena I - T demi close menuju nol, maka berdasarkan definisi diperoleh Tx = x dan Tz = z, kemudian misalkan lim xn-x 11= a dan lim Txn-z = b, dengan asumsi x ^ z. Karena {x<pn} konvergen lemah ke x dan memenuhi kondisi Opial dengan x^z, maka a= lim inf ( x,p -x < lim inf II x<p -z II =b (3.1.6). Dilain pihak juga {x^, } konvergen lemah ke z dan memenuhi kondisi Opial dengan x^z, maka 18

7 b = lim inf [[ x,pn- z j < lim inf ( x<po-x 11 = a (3.1.7). Berdasarkan persamaan (3.1.6) dan (3.1.7) di atas, haruslah berlaku a = b yang menyebabkan x = z, jadi berlaku Tx = x= z, sehingga kedua sub barisan di atas konvergen lemah ke x dengan x titik tetap dari T. Akibat Misalkan X ruang Hilbert Real, C himpunan bagian konveks tump pada X dan T : C > C quasi tak mengembang pada C dengan I - T demiclose ke nol, {Xn} barisan yang didefinisikan seperti persamaan (3.1.1). Maka {Xn} konvergen lemah ke suatu titik tetap dari T. Bul^ti : Misalkan X ruang Hilbert Real, Akan ditunjukkan ruang Hilbert Real adalah konveks seragam. Misalkan x, y e X, maka x+y!r+iix-yir={ dengan ( x = [ y j < 1 dan ( x - y > e, maka lu + yf = { xr+ y r}-ix-y ' < = 4 - misalkan s = -J4-4(1 - sy, maka x + yf <4-(V4-4(l-^)^) < 4 (1-5)^ Jadi x + y II <2(l-5). 19

8 Ini mengatakan bahwa X adalah konveks seragam. Karena ruang Hilbert Real memenuhi kondisi Opial, maka {Xo} konvergen lemah ke x dengan x merupakan titik tetap dari T. Teorema Misalkan C adalah tutup lemah, terbatas dan konveks dan C himpunan bagian dari ruang Banach X yang konveks lokal seragam, misalkan pemetaan T : C > C tak mengembang dan I-T demi closed. Maka T mempunyai titik tetap di C. Bukti : Karena X merupakan ruang Banach dan C c X dengan C tutup lemah dan terbatas, maka C lengkap. Jadi C juga kompak barisan secara lemah. Sehingga terdapat barisan bagian jx^ dari {x^} sehingga x: ^ konvergen ke x. Dengan x J = 1 dan fx = 1. Selanjutnya karena C juga konveks, maka dapat didefinisikan Tj : C > C dengan Tj(x) = T(x) + a f(x) untuk a G (0, 1) dan f e X* dan / = 1. KembaU lagi karena jc ^ konvergen ke x, maka Tj konvergen ke Tj(x) secara lemah. Akan ditunjukkan Tj merupakan pemetaan tak mengembang. Dari hubungan ketaksamaan ^_, }- r, ix)\\ < 7x ^ - Tx\\ + a\\f(x ^) - fix) dan karena C konvek lemah, dan fungsional yang berhubungan dengan {x } konvergen seragam di C, maka /(x )-/(x) konvergen ke nol 20

9 dan karena T tak mengembang maka dari ketaksamaan di atas diperoleh Ini menunjukkan bahwa Tj juga tak mengembang. Dari x: ^ konvergen ke x dan T kontinu, maka Tj konvergen ke Tj(x), Tj tak mengembang dan kontinu, maka {Tj I} juga konvergen seragam di C. jadi diperoleh dengan kata lain ^y(^ ^) - Tj(x) konvergen ke nol. Karena I-T demi closed, maka diperoleh \\lix)-t(x)\\=\\ljix)-tjix)\ Yang konvergen ke nol secara kuat. Jadi Tx = x Titik Tetap pada ruang Banach-2. Pengembangan teorem titik tetap pada ruang banach-2 telahpun di lakukan oleh Cho [1975], yang menghubimgkan konsep konveks seragam dengan keberadaan titik tetap. Dengan menggunakan teorem dari White, Cho dan Kim [1998] maka akan dikembangkan beberapa keberadaan titik tetap pada ruang bemorm-2. Pengembangan teorema titik tetap yang akan dibahas berikut ini adalah kewujudan titik tetap untuk 21

10 barisan sqjerti yang didefinisikan pada persamaan (3.1.1), akan tetapi barisannya berada pada ruang linear bemorm-2. Sedangkan pemetaan T tetap mempakan pemetaan quasi tak mengembang. Definisi Misalkan X ruang linear berdimensi lebih dari 1 dan misalkan pula I.,. 11 sxiatu fungsi bemilai nyata pada XxX yang memenuhi syarat berikut 1. IIx,y II = 0 jika dan hanya jika x dan y bergantung secara linear. 2. x,y = y,x 3. a.x,y II = oc x,y, dengan a bilangan real. 4. x,y+z < x,z (+y,z. Fungsi II.,. II dikatakan bemorm-2 bagi X dan pasangan (X;.,. ) dikatakan ruang bemorm-2. Dari definisi di atas dapat ditunjukkan sifat-sifat dasar daripada bemorm- 2, yaitu : 1. x,y II > 0, untuk semua x, y G X. (Ini juga bermakna bahwa bemorm-2 adalah berstfat tak-negatip 2. x,y+ax = x,y, yang berlaku untuk semua x, y e X. Ruang linear bemorm-2 (X;.,. ) dikatakan Konveks sempuma jika x+y,z = x,z = y,z dan z ^ V(x,y), menyebabkan y = a X. dengan V(x,y) adalah ruang linear yang dijana oleh x dan y yang dituhs dalam bentuk V(x,y) = {w w = ax + PY, a dan p nombor nyata. }. Definisi Suatu ruang linear bemorm-2 (X;.,. ) dikatakan ruang banach-2 jika setiap barisan cauchy-2 di X adalah konvergen. 22

11 Definisi Misalkan X ruang banach-2 dan C subset bagi X, pemetaan T : C > C dikatakan tak mengembang bila untuk sebarang x, y G C berlaku II Tx-Ty, z < x-y, z untuk sebarang z G C. Pemetaan T : C > C dikatakan kuasi tak mengembang bila untuk setiap p titik tetap bagi T, berlaku TX - P, Z 1 < x - y, z imtuk sebarang x, z G C. Selanjutnya misalkan F(T) merupakan kumpulan semua titik tetap bagi T. Bila C konveks subset bagi X, untuk Xi G C definisikan barisan {Xn} sama seperti pendefinisian pada persamaan (3.1.1) di atas, akan tetapi dalam hal ini Xa berada pada ruang linear bemorm-2. Xo+i = (l-a )Xn + On TXn (3.2.1). Teorem 3.2. l._ Misalkan X ruang linear bemomi-2 dan C subset konveks bagi X. T : C > C quasi tak mengembang, misalkan Xi G C dan definisikan barisan {Xn} seperti persamaan (3.2.1), maka lim x - x, z ada untuk setiap x G F(T). n->«o Bukti: Kerana T suatu pemetaan yang quasi tak mengembang, maka x,^i - X, z = ((l-o( )x + a Tx ) - X, z II = oc Txn - ocnx + a x + (l-a )Xn - x, z = I (On TX - CX X) + (l-onxxn " X), Z < IKonTxn - a x), z + (l-a )(Xn -x), z II = a (Tx - X), z II + (l-a ) (x - x), z < On II (x - x), z II + (l-a ) II(x - X), z II = (x -x),z 23

12 Yang berlaku untuk setiap z G C, dan x G F(T). Jadi barisan { (Xn - x), z } monoton tidak menokok dan terbatas, maka lim j (x - x), z ada. Teorem _ Misalkan X ruang linear bemonn-2 dan C sub set konveks bagi X. dan T : C > C imtuk setiap x, y GC berlaku ketaksamaan Tx - Ty, z < a x-y,z + b ( x - Tx, z + y - Ty, z ) + c( x-ty,z! + y-tx,z ) Misalkan Xi G C dan definisikan barisan {Xn} seperti (3.2.1), maka lim x--x,z ada untuk setiap X G F(T) n->«bukti: Dari hubungan ketaksamaan X,^1 - X, z = (((1-(X )X + On TXo) - X, Z II = \\cla Txn - OLaX + (XnX + - X, Z = ((x Tx - a x) + (l-a )(x - x), z < (a Tx - a x), z + (l-a )(x - x), z = K(Tx - x), z II + (l-(x ) (x - X), z II = a (Txo - Tx), z II + (l-a ) (x - x), z dan kerana = a II (Tx - Tx), z II + (l-ot ) (x - x), z (3.2.2) (Tx - Tx), z II < a (x -x), z II+b( (x -Tx ), z II + (x - Tx), z ) + c( (x -Tx),z + (x-tx ),z ) <a (x -x), z +b( (x -x), z + (x-tx ),z ) + c( (x -Tx),z + (Tx -x),z 24

13 <a (x -x),z ( +b( (x -x), z II + (Tx -x), z ) + c( (x -x), z l+ (Tx -x), z. Maka (1-b-c) (Tx -Tx),z II <(a + b + c) (x -x),z Tx -x,z) a + b + c (x -x),z 1-b-c Selanjutnya oleh kerana a + b + c<l-b-c, diperoleh (Tx - X, z) < (x - x), z Maka ketaksamaan (3.2.2) menjadi X ^1 - X, Z < On II (Xn - X), Z j + (1-0C ) (Xo - X), Z = (x -x), z II yang berlaku untuk setiap z e C, dan x G F(T). jadi barisan { (Xn - x), z } monoton tidak naik dan terbatas, maka lim (x - x), z ada. 25