BAB V DUALITAS RUANG ORLICZ

Transkripsi

1 BAB V DUALITAS RUANG ORLICZ Karena ketaksamaan Holder yang telah dipelajari pada bab sebelumnya, Untuk sembarang h L θ, kita dapat mendefinisikan suatu fungsional linear kontinu l h yang memetakan L θ kedalam R. Oleh sebab itu, secara langsung dapat diperoleh suatu pemetaan T yang memetakan L θ kedalam M θ dengan T(h) = l h. Pada bab ini, akan diperlihatkan bahwa pemetaan T adalah suatu isomorfisma. Sehingga M θ L θ. 5.1 Dualitas Ruang Orlicz Untuk sembarang h L θ, didefinisikan fungsi l h : L θ R dimana l h (f) hf dμ, f L θ. (5.1.1) Berdasarkan ketaksamaan Holder l h (f) 2 h θ f θ <. Karenanya l h adalah fungsional linier kontinu pada L θ. Lema Misalkan h fungsi terukur. a) Jika hf L 1 untuk semua f L θ, maka h L θ. b) Misalkan θ finite. Jika hf L 1 untuk semua f M θ, maka h L θ. Bukti. Hazmy, Sofhara AL EKSTRAKSI RUANG ORLICZ Universitas Pendidikan Indonesia repository.upi.edu perpustakaan.upi.edu

2 99 a) Misalkan h suatu fungsi terukur sedemikian sehingga hf L 1 untuk semua f L θ. definisikan h n h n. Karena μ ukuran σ-hingga terdapat barisan naik berukuran hingga { k } sedemikian sehingga = k. Definisikan l n,k (f) χ xk h n f dμ = h n f dμ k Untuk setiap f L θ. Karena, h n n, maka terdapat r sedemikian sehingga rh n rn < sup dom(θ), akibatnya θ (χ xk rh n ) dμ χ xk h n L θ. Berdasarkan ketaksamaan Holder, θ (rh n )μ( k ) <, maka l n,k (f) 2 χ k h n θ f θ, menunjukkan l n,k fungsional linear kontinu pada L θ, dan untuk semua n, k 1, l n,k (f) χ xk h n f dμ h f dμ = A(f) <, Sehingga lim n,k l n,k (f) ada untuk setiap f. Berdasarkan teorema Banach- Saks-Steinhaus, keluarga {l n,k (f)} terbatas seragam. Dengan kata lain terdapat M > 0 sedemikian sehingga l n,k θ M untuk semua n, k. Dilain pihak, Karena h n dan f terukur pada, maka k h n f dμ suatu ukuran, sehingga ketika k, l n,k (f) h n f dμ. Karena ketika n, h n h titik demi titik, berdasarkan teorema kekonvergenan monoton h n f dμ hf dμ. Sehingga,

3 100 lim l n,k(f) = lim h nf dμ = hf dμ. n,k n,k k Sehingga h θ = sup { hf dμ f L θ, f θ 1} = sup { lim n,k l n,k(f) f L θ, f θ 1} sup{m f θ f L θ, f θ 1} = M <. Berdasarkan proposisi , h θ h θ <. Sehingga h L θ. b) bukti b) serupa dengan a), cukup dengan menukar h θ dengan N θ (h). Lema Ruang B M θ padat dalam M θ. Bukti. Untuk kasus dom(θ) R, M θ = {0}. B χ M θ = M θ padat dalam M θ. Misalkan dom(θ) = R dan f sembarang anggota M θ. Untuk setiap n 1, didefinisikan f n = ( n) (f n). f n B M θ. Jelas lim f n = f titik demi titik. Untuk setiap n, misalkan A n {x f(x) > n}, diperoleh f f n θ = fχ An. Untuk setiap a > 0, afχ θ An konvergen ke 0 titik demi demi titik ketika n. Oleh sebab itu θ(afχ An ) konvergen titik demi titik ke θ(0) = 0 ketika n. Karena θ(afχ An ) terdominasi oleh θ(f), berdasarkan Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue lim θ(afχ A n ) dμ = 0.

4 101 Berdasarkan Lema 4.1.9, f f n θ = fχ An θ = 0. Terbukti. Lema Jika dom(θ) = R dan μ() < maka dual M θ Yaitu dari M θ isomorfik dengan L θ. M θ L θ. Bukti. Akan dibuktikan untuk setiap l M θ sedemikian sehingga l = l h. terdapat h L θ tungggal Untuk semua h L θ, l h yang didefinisikan pada (5.1.1) adalah fungsional linear kontinu. Selanjutnya akan dibutktikan pemetaan yang memetakan L θ M θ dimana adalah pemetaan pada (onto). h l h Definisikan v(e) = l(χ E ), E Σ. Karena ukuran σ-hingga, misalkan E 1, E 2, himpunan-himpunan terukur disjoin sedemikian sehingga E = μ(e) = μ(e k ) <, maka lim k=n+1 μ(e k ) E k = 0, konsekuensinya. Karena n lim χ E χ Ek θ = lim χ Ek k=n+1 θ = lim [inf {b > 0 θ ( k=n+1 χ E k b ) dμ 1}] = lim [inf {b > 0 θ ( 1 b ) dμ 1}] k=n+1 E k

5 102 = lim [inf {b > 0 θ ( 1 b ) μ(e k) = 0. Karena l kontinu dan linear pada M θ, maka atau k=n+1 l(χ E ) = l ( χ Ek ) = l(χ Ek ) 1}] v(e) = v(χ Ek ). (5.1.5) Untuk menunjukkan v ukuran bertanda (signed measure), akan ditunjukkan ruas kanan persamaan (5.1.5) konvergen mutlak. Definisikan c k sgn (l(χ Ek )) dan c sgn(l(χ E )), maka lim cχ E c k χ Ek n θ = lim c k χ Ek k=n+1 θ = lim [inf {b > 0 θ ( k=n+1 c kχ Ek ) dμ 1}] b = lim [inf {b > 0 θ ( c k b ) dμ 1}] k=n+1 E k = lim [inf {b > 0 θ ( 1 b ) μ(e k) = 0. k=n+1 1}] Menunjukkan bahwa cl(χ E ) = l(cχ E ) = l ( c k χ Ek ) = c k l(χ Ek )

6 103 atau v(e) = v(χ Ek ) konvergen. Sehingga v ukuran bertanda. Perhatikan bahwa, jika E Σ dengan μ(e) = 0, maka χ E merepresentasikan fungsi nol μ-a.e pada, sehingga v(e) = l(χ E ) = 0. Akibatnya v kontinu mutlak. Berdasarkan teorema Radon- Nikodym, terdapat fungsi h yang terintegralkan pada sedemikian sehingga l(χ E ) = v(e) = h dμ. Akibatnya untuk sembarang fungsi simpel s M θ, E Oleh sebab itu, jika f B M θ maka l(s) = hs dμ. l(f) = hf dμ. Misalkan f + 0 f, f 0 ( f), η + χ {x h(x) 0}, dan η χ {x h(x)<0}, sehingga untuk semua f M θ, l(f) = l(f + η + ) + l(f + η ) l(f η + ) l(f η ), (5.1.6) dimana f + η +, f + η, f η +, f η adalah fungsi-fungsi nonnegatif. Padahal, Untuk semua f 0, f M θ, berdasarkan konsekuensi Teorema kekonvergenan terdominasi (lihat bukti Lema 5.1.3), lim (f n) = f. Karena l kontinu, lim l(f n) = l(f). Berdasarkan Teorema kekonvergenan monoton, lim {x h(x) 0} (f n)h dμ = fh dμ {x h(x) 0}

7 104 dan lim {x h(x)<0} (f n)h dμ = fh dμ, {x h(x)<0} akibatnya lim (f n)h dμ = fh dμ. Berdasarkan hasil ini dan persamaan (5.1.6), diperoleh l(f) = fh dμ untuk semua f M θ. Berdasarkan Lema b), h L θ. Terbukti. Proposisi Jika dom(θ) = R, maka dual M θ dari M θ isomorfik dengan L θ. Yaitu M θ L θ. Bukti. Cukup dibuktikan untuk kasus μ() =. Untuk semua h L θ, l h yang didefinisikan pada (5.1.1) adalah fungsional linear kontinu. Seperti pada bukti Lema 5.1.4, akan dibutktikan pemetaan yang memetakan L θ M θ dimana adalah pemetaan pada (onto). h l h

8 105 Misalkan { n } n=1 adalah barisan naik dari himpunan-himpunan terukur hingga dimana = n=1 n. Misalkan l M θ, berdasarkan Lema 5.1.4, untuk setiap n terdapat h n L θ sedemikian sehingga h n = 0 pada n dan l(f) = h n f dμ, dimana f = 0 pada n. Karena h n tunggal untuk setiap n, maka h n+1 = h n pada n. Definisikan h(x) = h n (x) jika x n, sehingga h n h titik demi titik pada. Berdasarkan Teorema kekonvergenan monoton, untuk setiap g M θ dengan g θ 1 berlaku dan lim (h n 0) g n dμ = (h 0) g dμ lim ( h n 0) g n dimana g n = g pada n dan g n = 0 pada n. Akibatnya dμ = ( h 0) g dμ, lim h n g n Karena l fungsional linear terbatas, maka dμ = h g dμ. h g akibatnya dμ = lim h n g n dμ lim l g n θ lim l g θ l, N θ (h) l <.

9 106 Berdasarkan (4.1.20), N θ (h) h θ. Oleh sebab itu, h θ <, menunjukkan h L θ. Definisikan f n = f pada n dan f n = 0 pada n, berdasarkan ketaksamaan Holder, hf terintegralkan pada, dan hf n hf μ-a.e pada. Berdasarkan Teorema kekonvergenan terdominasi Lebesgue, lim hf n dμ = hf dμ (5.1.8) Dilain pihak, f n f titik demi titik pada. Ambil sembarang a 0, maka θ(a(f n f)) 0 titik demi titik μ-a.e pada. Berdasarkan Teorema kekonvergenan monoton, lim θ(a(f n f)) dμ = 0 (5.1.9) Berdasarkan Lema 4.1.9, f n f θ = 0. Karena l kontinu, maka Padahal, untuk setiap n lim l(f n) = l(f). (5.1.10) l(f n ) = h n f n dμ = hf n dμ. n Berdasarkan (5.1.8) dan (5.1.10), l(f) = hf dμ. Terbukti.