KONSTRUKSI INTEGRAL MENGGUNAKAN FUNGSI SEDERHANA δ PADA [, ] Jl. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang, 50275

Transkripsi

1 KONSTRUKSI INTEGRAL MENGGUNAKAN FUNGSI SEDERHANA δ PADA [,] Abdul Aziz 1, YD. Sumanto 2 1,2 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H., Tembalang, Semarang, Abstract.In this paper, weconstruct the δ simple functionusing the δ- fine Perron partition. By this function, we defineintegral, which is called H o integral. Keywords : δ- fine Perron partition, δ simple function, H o integral. 1. PENDAHULUAN Di dalam dunia modern saat ini banyak teori matematika yang telah diterapkan untuk membantu umat manusia dalam memenuhi kebutuhannya. Teori teori ini merupakan landasan dan jaminan akan validnya suatu metode yang diterapkan dalam kehidupan sehari hari. Di dalam matematika dikenal integral Henstock. Henstock mengkonstruksi integralnya dengan menggunakan partisi Perron δ fine. Integral Henstock telah menjadi topik yang menarik bagi para peneliti. Banyak peneliti mengkaji sifatsifat integral Henstock, baik secara teori maupun aplikasinya. Misalnya [1] telah mengkaji integral Henstock dalam ruang real R dan digeneralisasi oleh[2] dalam n ruang Euclide R dan mengaplikasikannya dalam medan vektor. Penulis akan memanfaatkan partisi Perron δ fine untuk membentuk fungsi sederhana δ. Selanjutnya dari fungsi sederhana δ akan dikonstruksi integral baru. 2. HASIL DAN PEMBAHASAN 2.1 PartisiPeron Berikut dibahas definisi daripartisi Perron pada [a,b] beserta jaminan eksistensinya. Definisi 2.1[5] Diberikan interval [a,b] R, dan fungsi positif pada [a,b]. P disebut partisi Perron pada[a,b] jika P = [, ], =1,2,3,,} dengan dan [, ] ( (, +( dengan a = < < < < =. Berikut ini adalah lemma yang menjamin eksistensi partisi Perron. Lemma 2.2 [1] Jika (>0, untuk [,], maka terdapat partisi Perron P = [, ], = 1,2,3,,} dan,,, }sedemikian sehingga berlaku dan [, ] ( (, +( untuk i = 1, 2, 3,, n. Diberikan [a,b] R dan fungsi positif δ pada [a,b], selanjutnya dibentuk =( (,+( [[,]} liput terbuka dari [a,b]. Karena [a,b] kompak maka G mempunyai liput bagian hingga, misalkan ( (, +( 1, 2,...n} diambil = a dan = b (, +( (, + (,, = 1,2,3,, 1 Dari sini diperoleh [, ] ( (, +( Lemma 2.3[4] Diberikan P adalah partisi Perron pada [,]. [,] [,] maka terdapat partisi Perron pada [,]dengan c dan d sebagai salah satu titik ujungnya 96

2 Jurnal Matematika Vol. 19, No. 3, Desember 2016 : Diberikan fungsi positif- pada interval [,]. Selanjutnya dipilih,,,, di mana [,] (, + ( sehingga dengan mengambil (, + ( (, + ( dengan untuk 1 dan mengambil ( (, +( ( (, +( dengan untuk suatu r,s dengan 1<r<s<n. Diambil = a dan = b (, +( (, +(, dengan =1,2,3,, 1, = dan = Dari sini diperoleh partisi Perron pada [a,b] =([ =, ],,,([, =],,([ =, ],,,([, ],,([ =, ],,,([, =]} dimana c dan d sebagai titik ujung. Teorema 2.4 [3] Jika P dan Q masing masing partisi Perron pada [,] dan [,] maka adalah partisi Perron pada [,] [,]. Diberikan fungsi positif, P = [, ], =1,2,3,,}partisi Perron pada [,], dan Q = [, ], =1,2,3,,} partisi Perron pada [,]. Karena fungsi positif pada [,] dan [,], akibatnya juga merupakan fungsi positif pada [,] [,].Dari sini diperoleh =[, ], = 1,2,3,,} [, ], = 1,2,3,,} merupakan partisi Perron pada [,] [,]. 2.2 Integral pada Fungsi Sederhana Pada bagian ini dibahas tentang integral pada fungsi sederhana yang erat kaitannya dengan integral yang diuraikan penulis setelah bagian ini. Selain itu, juga dibahas tentang sifat sifat sederhana yang berlaku di dalamnya. Definisi 2.5 [13]Jika = fungsi sederhana pada interval [,] R dengan =[, i = 1, 2, 3,..., n-1, =[, ], = a, dan = b maka integral pada interval [,] terhadap x adalah = ( Teorema berikut merupakan sifat dasar integral fungsi sederhana. Teorema 2.6 [13] Jika dan fungsi fungsi sederhana pada interval [,] R dan k R maka a. =. (+ = + a.= dan = maka = ( ( = ( ( = b. += ( ( + merupakan fungsi sederhana dengan,, = 1,2,3,, }partisi Perron pada =[, ] [, ], 1,1. Jadi diperoleh (+ =( + ( = ( ( + ( ( = ( ( + ( ( = ( + ( 97

3 Abdul Aziz dan YD. Sumanto (Konstruksi Integral Menggunakan Fungsi Sederhana- pada [a,b]) = ( + ( = Integral H 0 Pada bab ini dibahas tentang integral beserta sifat sifat sederhana yang berlaku di dalamnya. Definisi 2.7 Fungsi f : [,] R dikatakan terintegral pada [,] jika terdapat bilangan R sedemikian sehingga untuk setiap bilangan >0 terdapat fungsi positif pada [,] sedemikian sehingga P = [, ], = 1,2,3,,} partisi Perron pada [,] maka terdapat = merupakan fungsi sederhana atas P dengan f berelasi dengan dan memenuhi <. Selanjutnya disebut nilai integral pada [,] dan ditulis =( ( Teorema 2.8 Jika f ([,] maka nilai integral pada [a,b] tunggal. Misalkan ( (= dan ( (= Diberikan sebarang bilangan >0, terdapat fungsi positif pada [,]. Karena ( (= maka dapat ditemukan fungsi positif pada [,] sedemikian sehingga jika =[, ], =1,2,3,,} partisi Perron pada [,] maka terdapat fungsi sederhana - atas pada [,] dengan f berealsi dengan dan <.Selanjutnya karena ( (= maka dapat ditemukan fungsi positif pada [,] sehingga jika =[, ], = 1,2,3,,} adalah partisi Perron pada [,] maka terdapat fungsi sederhana - atas pada [,] dengan f berelasi dengan dan <. Selanjutnya dibentuk fungsi 98 positif (=min ( (, ( untuk setiap x [,] dan P = [, ], = 1,2,3,,} partisi Perron pada [,] dan = merupakan fungsi sederhana atas P pada [,] dengan f berelasi dengan. Karena ( ( dan ( ( maka juga merupakan partisi Perron dan partisi Perron pada [,]. Akibatnya merupakan fungsi sederhana - sekaligus fungsi sederhana - pada [,]. Dari sini diperoleh < dan <.Selanjutnya = + + < + = Terbukti bahwa =. Teorema 2.9 Misalkan f.g : [,] R dan f.g ([,] berlaku : a. kf ([,] dan ( (=( ( b. f + g ([,] Selanjutnya ditulis ( (+= ( (+( ( a. Diberikan sebarang bilangan >0, karena f(x) terintegral pada [,], misal = ( ( akibatnya untuk bilangan yang diberikan terdapat fungsi >0 sedemikian sehingga jika = [, ], =1,2,3,,} partisi Perron pada [,] maka terdapat fungsi sederhana - atas pada [,] dengan f berelasi dengan dan <. Selanjutnya dibentuk = fungsi sederhana - atas pada [,]. Karena f berelasi dengan, maka ( ( = ( ( < Akibatnya kf berelasi dengan. Dari sini diperoleh

4 Jurnal Matematika Vol. 19, No. 3, Desember 2016 : = = = < < Terbukti bahwa kf terintegral. Karena = akibatnya ( =( b. Diberikan sebarang bilangan >0, karena f(x) terintegral pada [,], misalkan =( akibatnya untuk bilangan yang diberikan,terdapat fungsi >0 sedemikian sehingga jika =[, ], =1,2,3,,} adalah partisi Perron pada [,] maka terdapat fungsi sederhana - atas pada [,] dengan f <> dan <. Karena g(x) terintegral pada[,], misalkan( (= akibatnya untuk bilangan yang diberikan terdapat fungsi >0 sedemikian sehingga jika =[, ], =1,2,3,,} partisi Perron pada [,] maka terdapat fungsi sederhana - atas dengan g <> dan <. Dibentuk fungsi positif =, }, selanjutnya dibentuk pula = partisi Perron - pada [,]. Lalu dibentuk = + fungsi sederhana - atas. Oleh karena f <> dan g<> akibatnya (+( ( ( ( ( + ( ( =+ Dari sini diperoleh f + g berelasi dengan +. Selanjutnya ( + = ( + ( + = + + < + = Diperoleh (+(= + =( (+( ( Teorema 2.10 Jika fungsi f ([,] dan f ([,], maka f ([,] dan dapat ditulis ( =( + (. Diberikan sebarang bilangan >0, karena f(x) terintegral pada [,] maka terdapat Rdan untuk sebarang yang diberikan terdapat fungsi >0 sehingga jika =([, ], ([, ], } adalah partisi Perron pada [,]dengan =a maka terdapat = yang merupakan fungsi sederhana - atas pada [,] dengan f berelasi dengan dan <. Karena f(x) terintegral pada [,] maka terdapat R dan untuk sebarang yang diberikan terdapat fungsi >0 sedemikian sehingga jika =([, ], ([, ], } adalah partisi Perron pada [,] dengan = b, = maka terdapat = fungsi sederhana - atas pada [,] dengan g berelasi dengan dan <. Diambil fungsi positif ( [, = ( [, Selanjutnya dibentuk = = ([, ], ([, ],,,([, } partisi Perron pada [, [,], dengan =, =, = untuk i = 1, 2, 3,..., n. Dari partisi ini dapat dibentuk fungsi sederhana = + 99

5 Abdul Aziz dan YD. Sumanto (Konstruksi Integral Menggunakan Fungsi Sederhana- pada [a,b]) atas dengan =[, untuk i = 1, 2, 3,..., k, =[, dengan =, =[, untuk j=k+1, k+2,..., n-1, dan =[, dengan =, di mana f berelasi dengan. Selanjutnya diperoleh = + ( = + ( ( ( + ( = Selanjutnya + ( (= + = ( < + = ( + Teorema 2.11 ( Kriteria Cauchy) Suatu fungsi f ([,] jika dan hanya jika untuk setiap >0 terdapat fungsi positif sehingga jika =[, ], =1,2,3,,} dan =,, =1,2,3,,} adalah partisi partisi Perron pada [,] maka terdapat = yang merupakan fungsi sederhana atas pada [,] dimana f berelasi dengan dan = adalah fungsi sederhana - atas pada [,] dengan f berelasi dengan dan memenuhi <. Diberikan sebarang bilangan >0, karena f(x) terintegral maka terdapat bilangan R dan untuk yang diberikan terdapat fungsi >0 sedemikian sehingga jika sedemikian sehingga jika = [, ], =1,2,3,,} partisi Perron pada [,] maka terdapat fungsi sederhana - atas pada [,] dengan f berelasi dengan dan <. Selanjutnya jika = [, ], =1,2,3,,} adalah partisi Perron pada [,] maka terdapat fungsi sederhana - atas pada [,] dengan f berelasidengan dan <. Dari sini diperoleh = + + < = Diberikan sebarang >0, terdapat fungsi positif >0 pada [,]. Selanjutnya jika dan merupakan partisi Perron maka terdapat fungsi sederhana atas dan fungsi sederhana atas dengan <. Selanjutnya diambil fungsi positif, dengan 0< <. Akibatnya, jika dan merupakan partisi partisi Perron maka terdapat fungsi sederhana - atas dan fungsi sederhana atas dengan <. Selanjutnya diambil fungsi positif dimana 0< < <. Akibatnya, jika dan merupakan partisi partisi Perron maka terdapat fungsi sederhana - atas dan fungsi sederhana atas dengan <. Proses ini dilakukan terus menerus hingga diperoleh suatu barisan bilangan = =1,2,3, }. Karena untuk setiap partisi Perron maka untuk i,j = 1, 2, 3,... berlaku <. Dari sini diperoleh A terbatas. Selanjutnya berdasarkan teorema Bolzano Weirstrass A mempunyai titik limit yang dimisalkan I. Dengan kata lain A mempunyai barisan bagian yang konvergen ke I, dimisalkan. Hal ini berarti untuk setiap bilangan yang diberikan terdapat bilangan asli N sehingga <. Dari sini untuk setiap bilangan >0, terdapat fungsi positif sedemikian sehingga jika adalah partisi Perron maka terdapat fungsi sederhana atas dengan f berelasi dengan dan

6 Jurnal Matematika Vol. 19, No. 3, Desember 2016 : <. Teorema 2.12Jika f(x) fungsi yang terintegral Riemann pada [,] maka f(x) terintegral pada [,]. Diberikan sebarang bilangan >0, karena f(x) terintegral Riemann akibatnya terdapat R dan untuk yang diberikan, terdapat konstan di mana >0 sedemikian sehingga jika p adalah partisi pada [,] di mana = < dan untuk ξ [ ] maka (, <, Dengan S(p,f) = ( ( Diambil fungsi = >0. Karena ξ [ ] maka ξ [ ] (ξ,ξ + Oleh karena itu partisi Riemann di atas juga merupakan partisi Perron. Selanjutnya dengan mengambil =(, dibentuk fungsi sederhana atas P yaitu : karena = = ( ( ( =( ( = 0<. Akibatnya f berelasi dengan, Dari sini diperoleh =(, Selanjutnya = (, <. 3. PENUTUP Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa Partisi Perron dapat digunakan untuk membentuk fungsi sederhana- yang digunakan untuk membentuk integral baru yang disebut dan eksistensi dari nilai integral dijamin oleh sifat ketunggalan dan sifat sifat linier yang berlaku di dalamnya. 4. DAFTAR PUSTAKA [1] Lee P.Y. (1989), Lanzhou Lectures on Henstock Integration, World Scientific, Singapore. [2] Indrati, Ch.R., Surodjo, Budi. (2000), Aplikasi Integral Henstock-Kurzweil pada Medan Vektor, Lembaga Penelitian UGM, Yogyakarta. [3] Gordon, R.A. (1994), The Integral of lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Mathematical Society, USA. [4] Lee P.Y. &Vyborny, R. (2000), Integral: An Easy Approach after Kurzweil and Henstock, Cambridge University Press, Cambridge [5] Sumanto, Y.D. (2002), Jenis jenis integral Henstock Bochner pada ruang EucildR n, Tesis, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. 101