TESIS KENDALI MODEL PREDIKTIF TERDISTRIBUSI BERBASIS TEORI PERMAINAN DINAMIS KOOPERATIF

Transkripsi

1 ESIS KENDALI ODEL PREDIKIF ERDISRIBUSI BERBASIS EORI PERAINAN DINAIS KOOPERAIF DISRIBUED ODEL PREDICIVE CONROL BASED ON COOPERAIVE DYNAIC GAE HEORY SURISNO 1/36185/PPA/3233 PROGRA SUDI S2 AEAIKA FAKULAS AEAIKA DAN ILU PENGEAHUAN ALA UNIVERSIAS GADJAH ADA YOGYAKARA 212

2 ESIS KENDALI ODEL PREDIKIF ERDISRIBUSI BERBASIS EORI PERAINAN DINAIS KOOPERAIF DISRIBUED ODEL PREDICIVE CONROL BASED ON COOPERAIVE DYNAIC GAE HEORY Dajukan untuk memenuh salah satu syarat memperoleh derajat aster of Scence atematka SURISNO 1/36185/PPA/3233 PROGRA SUDI S2 AEAIKA FAKULAS AEAIKA DAN ILU PENGEAHUAN ALA UNIVERSIAS GADJAH ADA YOGYAKARA 212

3 HALAAN PENGESAHAN ESIS KENDALI ODEL PREDIKIF ERDISRIBUSI BERBASIS EORI PERAINAN DINAIS KOOPERAIF elah dpersapkan dan dsusun oleh SURISNO 1/36185/PPA/3233 elah dpertahankan d depan m Penguj pada tanggal 27 Jul 212 Susunan m Penguj Dr. Salmah,.S. Pembmbng I Dr. Fajar Ad Kusumo,.S. Ketua m Penguj Dr. Indah Emla W.,.S. Pembmbng II Dr. Ar Suparwanto,.S. Penguj ess n telah dterma sebaga salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar aster of Scence anggal Agustus 212 Prof. Dr.rer.nat. Wdodo, S. Ketua Program Stud onodspln S2/S3 atematka

4 PERNYAAAN Dengan n saya menyatakan bahwa dalam ess n tdak terdapat karya yang pernah dajukan untuk ess maupun untuk memperoleh gelar aster d suatu Perguruan ngg, dan sepanjang pengetahuan saya juga tdak terdapat karya atau pendapat yang pernah dtuls atau dterbtkan oleh orang lan, kecual yang secara tertuls dacu dalam naskah n dan dsebutkan dalam daftar pustaka. Yogyakarta, 27 Jul 212 Sutrsno

5 Kupersembahkan karya n untuk : Ibu dan Ayah Segenap keluarga tercnta v

6 PRAKAA Puj syukur penuls panjatkan atas rahmat yang dlmpahkan oleh Allah SW, sehngga penuls dapat menyelesakan tess n dengan judul Kendal odel Predktf erdstrbus Berbass eor Permanan Dnams Kooperatf. ess n dsusun sebaga salah satu syarat untuk memperoleh gelar aster of Scence d Program Stud S2 atematka, Fakultas atematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unverstas Gadjah ada. Penuls menyampakan terma kash yang sebanyak-banyaknya kepada phak-phak yang telah berperan dalam penyusunan tess n, yatu kepada : 1. Dr. Charl Anwar selaku Dekan Fakultas IPA UG. 2. Dr. Lna Aryat,.S selaku Ketua Jurusan atematka Fakultas IPA UG. 3. Prof. Dr. Wdodo,.S selaku Ketua Pengelola Program Stud S2 atematka Fakultas IPA UG. 4. Dr. Salmah,.S selaku Dosen Pembmbng I yang telah membmbng dan mengarahkan penuls dalam penyusunan tess n. 5. Dr. Indah Emla W.,.S selaku Dosen Pembmbng II yang telah membmbng dan mengarahkan penuls dalam penyusunan tess n. 6. Dr. Fajar Ad Kusumo,.S dan Dr. Ar Suparwanto,.S yang telah menjad penguj untuk tess n. 7. Segenap Dosen Jurusan atematka FIPA UG yang telah membagkan lmunya selama masa stud. 8. Segenap karyawan/karyawat dan cvtas akademka Jurusan atematka FIPA UG yang telah mendukung perkulahan penuls selama masa stud. 9. Segenap keluarga tercnta yang menjad motvas utama bag penuls. 1. Rekan-rekan mahasswa S2 atematka angkatan 29, 21 dan 211 yang memberkan dukungan dan motvas selama masa stud. v

7 11. Semua phak yang telah memberkan bantuan dan dukungan sehngga penuls dapat menyelesakan stud S2 atematka d Fakultas IPA UG. Semoga karya n dapat bermanfaat untuk pembaca dan untuk kemajuan lmu atematka, khususnya teor kendal. Krtk dan saran dar pembaca akan penuls terma dengan bak sebaga bahan evaluas. Yogyakarta, 27 Jul 212 Penuls v

8 DAFAR ISI HALAAN JUDUL... HALAAN PENGESAHAN... HALAAN PERNYAAAN... HALAAN PERSEBAHAN... v PRAKAA... v DAFAR ISI... v DAFAR LABANG DAN SINGKAAN... x DAFAR ABEL... x DAFAR GABAR... x DAFAR LAPIRAN... x INISARI... xv ABSRAC... xv BAB I. PENDAHULUAN Latar Belakang dan asalah ujuan dan anfaat Peneltan njauan Pustaka etode Peneltan Sstematka Penulsan... 7 BAB II. LANDASAN EORI Dervatf dan Faktorsas atrks Kekontnuan Fungs Bernla Skalar Optmsas Fungs Konveks Hmpunan dan Fungs Konveks Fungs Berbentuk Kuadratk Optmsas Fungs Konveks anpa Kendala Pemrograman Kuadratk Berkendala v

9 2.4 Sstem Dskrt LI Kestablan Lyapunov Sstem Dskrt LI Keterkendalan Sstem Dskrt LI Keterstablan Sstem Dskrt LI eknk Kendal PC Ide Dasar eknk Kendal PC Strateg eknk Kendal PC odel atematka dar Plant Fungs Objektf Hukum Kendal Solus eknk Kendal PC anpa Kendala Solus PC Berkendala eor Permanan Dnams Kooperatf Solus Pareto Solus Nash-Barganng BAB III. KENDALI ODEL PREDIKIF ERDISRIBUSI BERBASIS EORI PERAINAN DINAIS KOOPERAIF odel Systemwde Plant odel erdesentralsas odel Interaks odel Composte odel Predks Systemwde Plant Fungs Objektf Systemwde Plant Feasble-Cooperaton PC Skema Nash-Barganng-PC erdstrbus Solus Nash-Barganng PC erdstrbus odel Negosas Nash-Barganng FC-PC Sfat-sfat FC-PC Sebaga Permanan Fsbltas Algortma PC erdstrbus Kestablan Sstem Lngkar ertutup PC erdstrbus v

10 BAB IV. APLIKASI KENDALI ODEL PREDIKIF ERDISRIBUSI PADA KANAL IRIGASI odel atematka Kanal Irgas odel erdesentralsas Kanal Irgas odel Interaks Kanal Irgas odel Composte Kanal Irgas Deskrps Systemwde Kanal Irgas Fungs Objektf Kanal Irgas Aplkas FC-PC Pada Kanal Irgas asalah Optmsas FC-PC Pada Kanal Irgas Hasl Smulas FC-PC Pada Kanal Irgas Aplkas Nash-Barganng Pada Kanal Irgas odel Negosas Nash-Barganng PC Pada Kanal Irgas Hasl Smulas odel Negosas Nash-Barganng PC Pada Kanal Irgas Perbandngan Performans FC-PC dan NB-PC Pada Kanal Irgas BAB V. PENUUP Kesmpulan Saran DAFAR PUSAKA LAPIRAN x

11 DAFAR LABANG DAN SINGKAAN n N N S S : Hmpunan semua blangan real : Ruang vektor real berdmens n : Hmpunan semua blangan asl ( x ) : Persektaran ttk x dengan jar-jar d ( x ) : Persektaran terhapus dar ttk x dengan jar-jar : Klosur hmpunan S : Hmpunan semua ttk batas hmpunan S : Hmpunan kosong f ( x ) : Graden fungs f d ttk x z : Norma Eucld : odulus dar blangan kompleks z H p H u H w H c : Horson predks : Horson kendal : Horson wndow : Perode kendal xk ˆ( ) : State predks dar xk ( ) uk ˆ( ) : Input predks dar uk ( ) : Hmpunan blangan-blangan nteger 1,2,3,...,. : Akhr suatu bukt LI : Lnear me Invarant PC : odel Predctve Control FC-PC : Feasble Cooperaton PC NB-PC : Nash-Barganng PC x

12 DAFAR ABEL abel Luas permukaan reach kanal rgas abel Perbandngan cost FC-PC dan NB-PC kanal rgas x

13 DAFAR GABAR Gambar 2.1 (a) Hmpunan konveks K 1, dan (b) Hmpunan tdak konveks K Gambar 2.2 Ilustras teorema separas untuk Gambar 2.3 Contoh grafk fungs konveks satu varabel Gambar Ilustras kestablan sstem sngle state (a) xe stabl, (b) xe stabl asmtotk, dan (c) xe tdak stabl Gambar Strateg teknk kendal PC Gambar Dagram blok strateg teknk kendal PC Gambar Grafk nput dan output contoh (2.5.1) Gambar Pareto fronter contoh (2.6.1) Gambar (a) Konsep Nash-Barganng untuk 2 peman (b) Solus Nash-Barganng N(S,d) Gambar tk dsagreement dan solus Nash-Barganng contoh (2.6.2) Gambar Kanal rgas 5 reach Gambar Ilustras masng-masng reach Gambar Hasl smulas FC-PC dengan w sama Gambar Hasl smulas FC-PC dengan w proporsonal terhadap beban kendal (volume reach) Gambar Hasl smulas NB-PC dengan w sama Gambar Hasl smulas NB-PC dengan w proporsonal terhadap beban kenal (volume reach) x

14 DAFAR LAPIRAN Lampran 1. Program ALAB Contoh (2.5.1) Lampran 2. Program ALAB Contoh (2.6.1) Lampran 3. Program ALAB Contoh (2.6.2) Lampran 4. Flow chart algortma actve-set Lampran 5. Flow chart algortma FC-PC Lampran 6. Flow chart NB-PC Lampran 7. Program ALAB smulas FC-PC kanal rgas Lampran 8. Program ALAB smulas NB-PC kanal rgas x

15 INISARI Kendal odel Predktf erdstrbus Berbass eor Permanan Dnams Kooperatf oleh Sutrsno 1/36185/PPA/3233 asalah kendal pada systemwde plant merupakan masalah kendal pada sstem yang memuat beberapa subsstem yang salng bernteraks satu sama lan. Kendal odel Predktf (odel Predctve Control / PC) merupakan teknk kendal optmal yang menentukan kendal optmal dengan membuat state dan nput predks sepanjang horson, kemudan mengaplkaskan elemen pertama pada barsan kendal optmal yang dhtung menggunakan teknk optmsas. eknk kendal PC klask (hanya untuk sebuah sstem) dapat daplkaskan pada systemwde menggunakan pendekatan desentralsas atau sentralsas, akan tetap pendekatan desentralsas mengabakan nteraks sehngga dapat mengakbatkan performans yang buruk, sedangkan pendekatan sentralsas tdak fleksbel dan memuat perhtungan komputas yang relatf besar. Untuk mengatas hal n, teknk kendal PC daplkaskan pada systemwde menggunakan pendekatan terdstrbus. eknk kendal PC terdstrbus dbentuk berdasarkan teor permanan dnams kooperatf dmana subsstem danggap sebaga peman, kemudan dselesakan dengan menentukan solus Pareto (Feasble-Cooperaton- PC), yang dlanjutkan dengan menentukan solus Nash-Barganng (Nash- Barganng-PC), yatu solus Pareto yang dtentukan berdasarkan ttk dsagreement para peman. Solus Pareto dan solus Nash-Barganng dtentukan menggunakan pembobotan fungs objektf. Dapat dbuktkan bahwa PC terdstrbus menghaslkan ttk equlbrum yang stabl asmtotk. eknk kendal PC terdstrbus daplkaskan pada kanal rgas 5 subsstem yang memuat cabang. Aplkas n dsmulaskan menggunakan program ALAB untuk menyeldk performans teknk kendal n. Berdasarkan hasl smulas n, solus Nash-Barganng-PC dengan pembobotan proporsonal terhadap beban kendal menghaslkan total cost yang palng kecl. Kata kunc : PC terdstrbus, kendal systemwde, permanan dnams. xv

16 ABSRAC Dstrbuted odel Predctve Control Based On Cooperatve Dynamc Game heory By Sutrsno 1/36185/PPA/3233 Systemwde control problem s a problem that contans several subsystems and nvolvng nteracton each other. odel Predctve Control (PC) s an optmal control technque that calculate the optmal control acton by makes the state and nput predcton along horzon, then apply the frst element of the optmal control sequence that calculated usng optmzaton technque. he classc PC (only for sngle system) can be appled for systemwde usng decentralzed or centralzed approach, but the decentralzed approach gnorng the nteracton, so t can made the bad performance, whereas the centralzed approach s not flexble and nvolvng the large scale computaton. o handle these problems, PC can be appled for each subsystem usng dstrbuted approach. Dstrbuted PC s based on cooperatve dynamc game theory, where the subsystems s reputed as players, then ths problem solved by fndng the Pareto soluton (Feasble-Cooperaton-PC), that contnued by fndng the Nash-Barganng soluton (Nash-Barganng-PC), namely the Pareto soluton that determned accordng to the dsagreement pont of players. he Pareto and Nash-Barganng soluton was determned usng weghtng of objectve functons. We can prove that dstrbuted PC gves equlbrum pont s asymptotcal stable. Dstrbuted PC was appled to control an rrgaton canal that has 5 subsystems and nvolves a branch. hs study case was smulated usng ALAB to llustrate the performance of ths control technque. From the results, the Nash-Barganng- PC wth the proportonal weghtng to the control load gves the fewest total cost. Keywords: Dstrbuted PC, systemwde control, dynamc game. xv

17 BAB 1 PENDAHULUAN Serng dengan berkembangnya teknolog, suatu sstem dbangun dengan ukuran yang relatf besar (Large Scale System). Sstem yang berskala besar basanya terdr dar subsstem-subsstem yang memuat nteraks satu sama lan yang dsebut sebaga systemwde. Interaks yang terjad dapat berupa alran energ, materal, nformas, dan lan-lan Latar Belakang dan Permasalahan Untuk melakukan kendal pada systemwde, dperlukan teknk kendal yang cocok dan seoptmal mungkn. eknk kendal model predktf (odel Predctve Control/PC) adalah teknk kendal optmal yang menentukan kendal optmal dengan membuat state dan nput predks sepanjang horson, kemudan mengaplkaskan elemen pertama pada barsan kendal optmal yang dhtung menggunakan teknk optmsas. eknk kendal PC merupakan teknk kendal untuk sstem dskrt yang dapat daplkaskan pada sebuah sstem saja. eknk kendal PC dapat daplkaskan pada systemwde dengan cara menerapkan PC pada masng-masng subsstem secara ndependen. eknk kendal n dsebut teknk kendal PC terdesentralsas (Decentralzed PC). eknk kendal tersebut mengabakan nteraks antar subsstem. Apabla nteraks antar subsstem lemah, teknk kendal PC terdesentralsas dapat menghaslkan performans yang bak. etap apabla nteraksnya kuat, mengabakan nteraks dapat mengurang performans sstem dan dapat berakbat fatal pada sstem secara keseluruhan. Sebaga contoh, apabla nteraks pada sstem pembangkt lstrk dabakan, maka sstem akan mat total ketka terjad kerusakan pada salah satu subsstem. Untuk mengatas nteraks antar subsstem, dkembangkan teknk kendal PC tersentralsas (Centralzed PC), yatu satu buah PC daplkaskan untuk mengendalkan seluruh systemwde dengan menyertakan nteraks. eknk kendal PC tersentralsas sangat sukar untuk dterapkan karena tdak fleksbel, yatu 1

18 2 ketka salah satu subsstem membutuhkan perbakan, maka subsstem yang lan juga harus dmatkan. eknk kendal n juga sukar dhtung secara komputasonal karena menghaslkan optmsas dengan dmens yang relatf besar, sehngga jarang sekal dterapkan. Untuk mengatas masalah yang tdak dapat dtangan oleh teknk kendal PC terdesentralsas dan PC tersentralsas, dkembangkan teknk kendal PC terdstrbus (Dstrbuted PC). Ide dasar dar PC terdstrbus dperoleh dar teor permanan dnams kooperatf. eor permanan dnams kooperatf merupakan masalah permanan yang memuat beberapa peman yang bekerjasama untuk mengoptmalkan fungs objektf semua peman. Sedangkan masalah kendal systemwde memuat beberapa subsstem yang akan memnmumkan fungs objektf semua subsstem. Sehngga masalah kendal systemwde dapat dpandang sebaga permanan dnams kooperatf dmana peman-pemannya adalah subsstem. eknk kendal PC terdstrbus menganggap subsstem sebaga peman, menerapkan PC pada masng-masng subsstem, kemudan menyelesakannya secara terdstrbus, yatu masng-masng PC secara bersama-sama menentukan kendal yang mengoptmalkan semua fungs objektf. Kendal optmal dperoleh dar masalah optmsas yang dhaslkan oleh PC terdstrbus. Pertama, kendal optmal dhtung dengan memnmumkan kombnas lner konveks fungs objektf semua subsstem yang dsebut sebaga Feasble-Cooperaton PC (FC-PC) yang akan memberkan solus Pareto. Karena solus Pareto tdak tunggal, selanjutnya dhtung solus Nash-Barganng yatu solus Pareto yang dtentukan berdasarkan ttk dsagreement masng-masng subsstem. Solus Nash-Barganng pada PC terdstrbus selanjutnya dsebut sebaga Nash-Barganng PC (NB- PC) yang dtentukan menggunakan model negosas Nash-Barganng. Peneltan n akan mambahas perumusan teknk kendal PC terdstrbus dan aplkasnya pada kanal rgas. Sehngga, masalah-masalah yang akan dbahas pada peneltan n adalah sebaga berkut. 1) emodelkan persamaan state space dar suatu systemwde yang memuat nteraks antar subsstem.

19 3 2) emodelkan masalah PC terdstrbus untuk systemwde. 3) enyusun optmsas FC-PC dan NB-PC berdasarkan teor permanan dnams kooperatf. 4) enyeldk sfat-sfat PC terdstrbus yang melput kestablan dan fsbltas (konds suatu teras dapat dlakukan atau tdak). 5) engaplkaskan PC terdstrbus pada kanal rgas kemudan mensmulaskannya menggunakan program ALAB dan menyeldk bagamana PC terdstrbus bekerja dan mengamat performansnya. 1.2 ujuan dan anfaat Peneltan ujuan dar peneltan n adalah sebaga berkut. 1) enyajkan model berbentuk persamaan state space dar suatu systemwde. 2) engaplkaskan teknk kendal PC terdstrbus untuk systemwde. 3) emperoleh bentuk optmsas FC-PC dan NB-PC untuk menyelesakan PC terdstrbus. 4) enentukan sfat-sfat kestablan dan fsbltas dar FC-PC dan NB- PC. 5) endapatkan model systemwde dar sstem kanal rgas yang terdr dar 5 subsstem dan membuat program ALAB untuk mensmulaskan hasl aplkas PC terdstrbus dan membandngkan performans dar FC-PC dan NB-PC. anfaat yang dapat dperoleh dar peneltan n adalah sebaga berkut. 1) emberkan sumbangan terhadap pengembangan teor kendal dskrt, terutama pengembangan teknk kendal PC terdstrbus. 2) emberkan gambaran kepada pembaca tentang pemlhan teknk kendal dskrt yang sesua untuk suatu systemwde. 3) Program ALAB yang dbuat dharapkan dapat membantu untuk mensmulaskan aplkas FC-PC dan NB-PC pada suatu systemwde.

20 4 4) Hasl smulas yang dlakukan dharapkan dapat memberkan gambaran tentang performans dar teknk kendal PC terdstrbus. 5) emberkan alternatf teknk kendal PC terdstrbus yang mungkn dapat daplkaskan untuk sstem-sstem lan. 1.3 njauan Pustaka Suatu sstem dskrt memuat sstem persamaan dferens yang solusnya dapat dtentukan secara rekursf (Elayd, 26; Ogata, 1995). eknk kendal sepert PC klask dapat dgunakan untuk mendesan kendal pada sebuah sstem dskrt. eknk kendal PC adalah teknk kendal optmal yang menentukan kendal optmal dengan membuat state dan nput predks sepanjang horson, kemudan mengaplkaskan elemen pertama pada barsan kendal optmal yang dhtung menggunakan teknk optmsas (Camacho dan Bordons, 1999). Untuk kasus tanpa kendala, masalah optmsas pada PC dapat dselesakan dengan menentukan graden dar fungs objektf, sedangkan untuk kasus berkendala dapat dselesakan menggunakan pemrograman kuadratk (acejowsk, 21). Untuk menentukan kendal optmalnya, teknk kendal PC klask menggunakan beberapa konsep aljabar sepert dervatf dan faktorsas matrks yang dambl dar Howard Anton (1997) dan Larson (29). asalah permanan dnams kooperatf memuat beberapa peman yang bekerjasama untuk menentukan strateg optmal sedemkan sehngga memnmumkan fungs objektf semua peman. Solus optmal lengkap untuk masalah n belum tentu ada apabla fungs objektf salng konflk, yatu ketka suatu strateg menjad lebh bak untuk satu peman tetap mengakbatkan hasl peman lan menjad lebh buruk. asalah n dapat dselesakan dengan menentukan solus Pareto yang dapat dperoleh dengan memnmumkan kombnas lner konveks fungs objektf semua peman (Jacob Engwerda, 25). Karena solus Pareto tdak tunggal, selanjutnya dapat dtentukan solus Nash- Barganng yang merupakan solus Pareto yang dtentukan berdasarkan ttk dsagreement para peman (Jacob Engwerda, 25). tk dsagreement para

21 5 peman dapat dtentukan menggunakan solus mnmax masng-masng peman (Narahar, 29; yerson, 1997). asalah kendal systemwde merupakan masalah kendal yang memuat beberapa subsstem yang salng bernteraks. Dengan menganggap substem sebaga peman, masalah n dapat dpandang sebaga masalah permanan dnams kooperatf yang dapat dselesakan menggunakan teknk kendal PC terdstrbus. eknk kendal PC terdstrbus menentukan solus Pareto sebaga kendal optmalnya (Venkat, 26). Karena solus Pareto tdak tunggal, Valenca et al., (211), menyelesakan masalah PC terdstrbus dengan menentukan solus Nash-Barganng sebaga kendal optmalnya. eknk kendal PC terdstrbus dapat daplkaskan pada suatu systemwde waktu dskrt. Valenca et al., (211), mengaplkaskan PC terdstrbus pada tangk reaktor yang terdr dar tga subsstem. Selan tu, Doan et al., (21), mengaplkaskan PC terdstrbus pada kanal rgas 4 subsstem secara seral (tdak bercabang). eknk kendal PC terdstrbus memuat masalah optmsas fungs konveks. Karena fungs objektf yang dgunakan merupakan fungs konveks, secara umum, pemnmalnya merupakan pemnmal global (Bazaraa et al., 26). asalah optmsas fungs konveks dapat dselesakan menggunakan beberapa metode. enurut Steven Boyd dan Vandenberghe (24), masalah optmsas n dapat dselesakan secara efsen menggunakan metode nteror pont sepert algortma actve-set, lnear search algorthms, atau gradent-based algorthms. Algortma actve-set menyelesakan masalah optmsas kuadratk secara numerk. etode n dnla palng efsen karena waktu terasnya secara umum lebh cepat (Fletcher, 2; Nocedal dan Wrght, 1999). Dengan memanfaatkan fungs fmncon pada ALAB yang menggunakan algortma actve-set, metode n dplh untuk menyelesakan masalah optmsas pada PC terdstrbus. eor permanan yang dberkan oleh Jacob Engwerda (26) merupakan permanan kontnu. Untuk dapat dterapkan pada teknk kendal dskrt, penuls memberkan teor permanan dskrt dengan cara memodfkas persamaan dnamk dan fungs-fungs objektfnya untuk waktu dskrt. Selan tu, peneltan n membahas teknk kendal PC terdstrbus, yatu FC-PC yang

22 6 menghaslkan solus Pareto kemudan dlanjutkan NB-PC yang menghaslkan solus Nash-Barganng, dmana pada kedua teknk kendal tersebut, tdak ada keterangan bagamana cara menentukan nla pembobotan fungs objektf. enurut teor permanan stats, nla pembobotan fungs objektf dapat dtentukan sesua dengan kontrbus para peman (yerson, 1997). Pada peneltan n, nla pembobotan fungs objektf dtentukan berdasarkan beban kendal masng-masng subsstem. Selanjutnya, teor n daplkaskan pada sstem kanal rgas yang nlanla parameternya dambl dar Overloop (26). Doan (21) memberkan model kanal rgas 4 subsstem secara seral, sedangkan pada peneltan n, penuls memodfkas susunan kanal rgas, yatu menambah subsstem menjad 5 subsstem dan menyusunnya secara bercabang. Untuk PC basa, tutoral smulas PC pada ALAB dapat dperoleh d Wang (29). Sedangkan untuk PC terdstrbus, penuls membuat program ALAB untuk mensmulaskan aplkas teknk kendal PC tedstrbus pada kanal rgas 5 subsstem. 1.4 etodolog Peneltan etode peneltan yang dgunakan adalah stud lteratur dan smulas. Penuls mempelajar teor-teor yang dperlukan untuk menyusun teknk kendal PC terdstrbus melput teor matrks, teor optmsas, dan teknk kendal PC basa. Selan tu, penuls juga memberkan teor permanan dnams kooperatf dskrt yang dperlukan untuk menyusun teknk kendal PC terdstrbus. Peneltan selanjutnya adalah menyusun teknk kendal PC terdstrbus, yatu FC-PC yang menghaslkan solus Pareto, kemudan dlanjutkan dengan NB- PC yang menghaslkan solus Nash-Barganng. Selanjutnya, teknk kendal PC terdstrbus daplkaskan pada kanal rgas dan melakukan smulas menggunakan program ALAB. eknk kendal PC terdstrbus dbentuk dengan langkah-langkah sebaga berkut. Langkah pertama adalah memodelkan systemwde menggunakan model composte, yatu model yang memuat persamaan state space masngmasng subsstem dgabungkan dengan model nteraks antar subsstem. Selanjutnya, model composte dgunakan untuk menyusun predks state dan

23 7 predks masukan. eor permanan dnams kooperatf daplkaskan ke systemwde dengan menganggap subsstem sebaga peman untuk menyusun optmsas FC-PC. Selanjutnya, dsusun algortma secara teratf untuk menentukan kendal optmal berdasarkan optmsas FC-PC yang akan menghaslkan solus Pareto. Selanjutnya dsusun model negosas NB-PC yang dgunakan untuk menentukan solus Nash-Barganng. asalah optmsas yang muncul bak pada FC-PC maupun pada NB-PC dhtung menggunakan algortma actve-set yang termuat pada fungs fmncon pada ALAB. erakhr, teknk kendal PC terdstrbus daplkaskan pada kanal rgas 5 subsstem yang memuat cabang ddalamnya dan dsmulaskan menggunakan program ALAB. 1.5 Sstematka Penulsan Penulsan tess n terdr dar 5 Bab, yatu Bab I Pendahuluan, Bab II Landasan eor, Bab III Kendal odel Predktf erdstrbus Berbass eor Permanan Dnams Kooperatf, Bab IV Aplkas PC erdstrbus Pada Kanal Irgas, dan Bab V Penutup. Bab I memuat latar belakang dan permasalahan, tujuan dan manfaat peneltan, tnjauan pustaka, metode peneltan, dan sstematka penulsan. Bab II memuat landasan teor, yatu teor matrks, kekontnuan fungs bernla skalar, hmpunan dan fungs konveks, pemrograman kuadratk, sstem dskrt, teknk kendal PC, dan teor permanan dnams kooperatf. Bab III bers pembahasan untuk merumuskan teknk kendal PC terdstrbus. Bab IV bers cara membuat model composte dar sstem kanal rgas sebaga systemwde yang terdr dar 5 subsstem yang memuat nteraks, kemudan mengaplkaskan PC terdstrbus untuk mengatur ketnggan ar pada kanal rgas dengan memnmalkan fungs objektf yang dberkan, serta mensmulaskannya menggunakan program ALAB. Bab V memuat kesmpulan dan saran yang dapat dambl dar hasl peneltan n.

24 BAB II LANDASAN EORI Untuk menyusun suatu teknk kendal, dbutuhkan teor-teor yang mendasarnya. eor-teor yang dgunakan untuk menyusun teknk kendal PC terdstrbus melput dervatf dan faktorsas matrks, kekontnuan fungs bernla skalar, optmsas fungs konveks, sstem dskrt, teknk kendal PC, dan teor permanan dnams kooperatf dskrt. 2.1 Dervatf dan Faktorsas atrks eor matrks sangat berperan dalam teor kendal, terutama jka menggunakan metode analss state space. Dervatf matrks akan dgunakan untuk menentukan graden dar fungs objektf pada teknk kendal PC. Sedangkan faktorsas matrks akan dgunakan untuk membuktkan kekonveksan fungs objektf pada permanan dnams kooperatf dskrt. n m eorema Dberkan x, y, dan A adalah suatu matrks konstan, () Jka () Jka () Jka (v) Jka A x nn maka Ax A, A n n maka x Ax x A A, x A n n smetrs, maka x Ax 2 x A, x A n m, maka x x Ay Ay dan xay Ax. y eorema (2.1.2) berkut menjelaskan tentang dagonalsas ortogonal dar suatu matrks smetrs. Dagonalsas n akan dgunakan untuk menentukan akar kuadrat dar suatu matrks smetrs semdefnt postf (atau defnt postf). 8

25 9 eorema Jka matrks bernla real maka dapat ddagonalsas secara ortogonal menjad 1 n 2 P P nn merupakan matrks smetrs, (2.1.1) dengan P adalah suatu matrks ortogonal.e. P P PP I dan 1, 2,..., n adalah nla egen dar. Lebh lanjut, jka semdefnt postf atau defnt postf, maka dapat dbentuk matrks 1 n 1 2 P 2 P yang dsebut sebaga akar kuadrat dar. (2.1.2) Akar kuadrat dar suatu matrks smetrs semdefnt postf (atau defnt postf) dapat dgunakan untuk membentuk faktorsas matrks. Faktorsas matrks n akan dgunakan untuk membuktkan kekonveksan fungs objektf pada teor permanan dnams kooperatf dskrt. eorema (2.1.3) berkut memberkan faktorsas matrks smetrs semdefnt postf (atau defnt postf). eorema Dberkan matrks bernla real nn. Jka nn semdefnt postf (defnt postf), maka dapat dfaktorsas menjad smetrs dengan adalah suatu matrks smetrs semdefnt postf (defnt postf) Kekontnuan Fungs Bernla Skalar Konsep kekontnuan fungs bernla skalar dperlukan untuk membuktkan kekontnuan fungs Lyapunov pada subbab (2.4). Dberkan fungs

26 1 n f : Df. Nla f d ttk x( x1, x2,..., x ) D adalah f x f x1 x2 x n ( ) (,,..., ). Defns berkut menjelaskan persektaran dar suatu ttk. n f n Defns Persektaran ttk x dengan jar-jar ddefnskan sebaga N ( x ) x x x. n n Persektaran terhapus ttk x dengan jar-jar ddefnskan sebaga d N ( x ) N ( x ) { x }. Defns berkut memberkan beberapa konsep pada suatu hmpunan, antara lan ttk lmt, ttk batas, klosur, ttk nteror, hmpunan terbuka, dan hmpunan tertutup. Defns-defns n akan dgunakan untuk mendefnskan konsep lmt fungs. n Defns Dberkan hmpunan S, n (a) tk x dsebut ttk lmt dar S jka untuk sebarang blangan real berlaku N x S d ( ). n (b) tk x dsebut ttk batas dar S jka untuk sebarang blangan real berlaku c N ( x ) S dan N ( x ) S. Hmpunan semua ttk batas dar S dsebut batas dar S, dnotaskan sebaga S. (c) Klosur dar S, dnotaskan sebaga S, adalah gabungan S dengan semua ttk batasnya, yatu S S S. n (d) tk x dsebut ttk nteror dar S jka terdapat sehngga N ( x ) S.

27 11 (e) Hmpunan S dkatakan terbuka jka setap anggotanya merupakan ttk nteror. Hmpunan S dkatakan tertutup jka S c terbuka. Defns selanjutnya menjelaskan konsep lmt fungs. Konsep n akan dgunakan untuk mendefnskan kekontnuan fungs. n Defns Fungs f : Df dkatakan berlmt L untuk x x, dtuls lm f( x) L, xx jka x adalah ttk lmt dar D f dan untuk sebarang terdapat sedemkan sehngga f( x) L d untuk semua xdf N ( x). eorema (2.2.4) berkut menjelaskan konsep nla lmt dar penjumlahan dan perkalan dua fungs. eorema (2.4.4) dapat dgunakan untuk membuktkan kekontnuan suatu fungs. n n eorema Dberkan fungs f : D dan g: D, x adalah ttk lmt dar D, dan lm f( x) L, xx xx 1 lm g ( x ) L 2, x x maka (a) lm( f g)( x) L L, 1 2 (b) lm( fg)( x) LL. xx 1 2 Selanjutnya, dberkan defns kekontnuan suatu fungs bernla skalar. Konsep kekontnuan fungs akan dgunakan untuk membuktkan eorema kestablan sstem menggunakan fungs Lyapunov pada subbab (2.4).

28 12 n Defns Dberkan fungs f : D. (a) Fungs f dkatakan kontnu d ttk x D jka lm f( x) f( x ). xx f Secara lengkap : Fungs f dkatakan kontnu d ttk x Df jka untuk sebarang, terdapat sedemkan sehngga xd N ( x ) f( x) f( x). f f (b) Fungs f dkatakan kontnu d D f jka f kontnu d setap x D. f eorema (2.2.6) berkut memberkan sfat kekontnuan fungs bernla skalar yang berbentuk kuadratk. Sfat n akan dgunakan untuk membuktkan eorema kestablan Lyapunov. eorema Dberkan fungs f : f( x) n n ajxx j 1 j1 n. Jka f(x) berbentuk kuadratk,.e., aj, maka f(x) adalah fungs kontnu. Defns berkut menjelaskan konsep hmpunan terhubung dan hmpunan tdak terhubung, yang akan dgunakan untuk membuktkan teorema nla tengah suatu fungs bernla skalar. Defns Suatu hmpunan dnyatakan sebaga S A B dmana A, B, AB, AB. n S dkatakan terhubung jka S tdak dapat Jka S dapat dnyatakan sepert d atas, maka S dkatakan takterhubung. Defns berkut menjelaskan konsep suatu regon d n akan dgunakan untuk membuktkan teorema nla tengah. n. Konsep regon

29 13 Defns Suatu regon S d n adalah gabungan dar hmpunan terbuka terhubung dengan beberapa, semua, atau tdak ada dar batasnya. eorema (2.2.9) dsebut teorema nla tengah. eorema n dperlukan untuk membuktkan teorema kestablan sstem menggunakan fungs Lyapunov pada subbab (2.4). n eorema (eorema Nla engah) Dberkan fungs f : D f kontnu pada regon S Df. Jka x1, x2 S dan f ( x ) u f( x ), maka terdapat x3 1 2 S sehngga f ( x3) u. Bukt : Dketahu f( x1) u f( x2). Andakan tdak ada x 3, maka S dapat dnyatakan sebaga S R dengan ( ) dan xs f x u R x S f x u ( ). Untuk sebarang x, kekontnuan dar f mengakbatkan terdapat sedemkan sehngga f( x) x u untuk semua xn( x) S. In berart bahwa. Sehngga R. Dengan cara analog, dperoleh R. Sehngga S takterhubung. erjad kontradks dengan yang dketahu bahwa S adalah suatu regon, yatu S terhubung. erbukt bahwa terdapat x3 f( x3) u. Selanjutnya dberkan teorema Bolzano-Werstrass pada S sehngga n. eorema n akan dgunakan untuk membuktkan teorema kestablan sstem menggunakan fungs Lyapunov pada subbab (2.4). eorema n dambl dar R.G. Bartle (1964) yang memuat bukt dar teorema n. eorema (eorema Bolzano-Werstrass) Semua barsan terbatas d memlk subbarsan yang konvergen. n

30 Optmsas Fungs Konveks eor kendal optmal memuat masalah optmsas yang dapat dselesakan menggunakan metode-metode optmsas. Pada tess n, fungs objektf yang dgunakan pada teknk kendal PC dan teor permanan dnams kooperatf adalah fungs konveks. Sehngga pada pembahasan n, akan dberkan teor optmsas untuk fungs koneks Hmpunan dan Fungs Konveks Defns dan teorema berkut menjelaskan tentang hmpunan dan fungs konveks yang dambl dar S. Boyd (29) dan K.V. tal (1983). Defns Hmpunan n K dkatakan konveks jka untuk sebarang x1, x2 K dan sebarang dengan 1, berlaku x (1 ) x K. (2.3.1) 1 2 Bentuk x1(1 ) x2 pada defns (2.3.1) dsebut kombnas lner konveks dar ttk x 1 dan x 2. Secara geometrs, hmpunan 2 K dkatakan konveks jka untuk sebarang dua ttk d K, segmen gars yang menghubungkannya termuat d K. Contoh hmpunan konveks dan hmpunan tdak konveks d ruang berdmens dua dapat dlustraskan pada Gambar (2.1). K 1 K 2 (a) (b) Gambar 2.1 (a) Hmpunan konveks K 1, dan (b) Hmpunan tdak konveks K 2 Pada Gambar (2.1), hmpunan yang dgambarkan oleh (a) merupakan hmpunan konveks karena segmen gars yang menghubungkan dua ttk sebarang

31 15 d K 1 termuat d K 1. Sedangkan K 2 tdak konveks karena terdapat segmen gars yang menghubungkan dua ttk d K 2 tdak termuat d K 2. Berdasarkan defns n (2.3.1), hmpunan, n merupakan hmpunan konveks. eorema (2.3.2) berkut dsebut teorema separas. eorema n akan dgunakan untuk membuktkan lemma (2.6.4) pada subbab (2.6). Untuk ruang berdmens dua, teorema separas dapat dlustraskan oleh Gambar (2.2). X Gambar 2.2 Ilustras teorema separas untuk 2. eorema Dketahu hmpunan tak kosong, tertutup, terbatas, dan konveks n n X. Jka dberkan x sehngga xo X, sedemkan sehngga untuk setap x X berlaku p x p x. n maka terdapat p, p Bukt : salkan w merupakan ttk d X yang terdekat dengan x o, sehngga untuk sebarang x X berlaku wx x x dan y x(1 ) w, 1 termuat d X. Sehngga wx yx wx x(1 ) wx 2 2 (1 ) w x x wx ( w x ) ( w x ) ( xw) ( xw) ( w x ) ( wx ) 2 2 ( wx ) ( xw) 2 ( xw)( xw) 2 ( wx )( xw). Untuk, kedua ruas dbag dengan, dperoleh

32 16 ( xw) ( xw) 2( wx ) ( xw) ( xw) ( xw) 2 p ( xw), dengan p ( w x ) merupakan vektor konstan karena x tertentu d n dan w tertentu d X. Selanjutnya, untuk, dperoleh p ( xw) px pw 2 p( xw) px pw. etap karena p ( w x ) p p maka p w p x dan p x p w p x. Selanjutnya, apabla x mendekat w melalu ttk-ttk sepanjang gars yang menghubungkan x dan w, maka untuk x untuk setap p x p x, x X. w, berlaku Konsep kekonveksan juga dapat daplkaskan pada fungs. Defns berkut menjelaskan kekonveksan dan kekonkafan suatu fungs. Defns n dambl dar K.V. tal (1983). n Defns Dberkan fungs f : dan hmpunan konveks n K. Fungs f( x ) dkatakan konveks d K jka untuk sebarang dua ttk x1, x2k dan sebarang dengan 1 berlaku f x (1 ) x f( x ) (1 ) f( x ). (2.3.2) Fungs f dkatakan konveks tegas jka tanda pertdaksamaan pada (2.3.2) adalah tegas. Fungs f dsebut konkaf (konkaf tegas) jka fungs f konveks (konveks tegas). Secara geometrs, fungs konveks untuk satu varabel dapat d lustraskan pada Gambar (2.3) berkut.

33 17 f(x) f(x 1 )+(1)f(x 2 ) (x 2, f(x 2 )) (x 1, f(x 1 )) f(x 2 +(1)x 2 ) x 1 x 2 x Gambar 2.3 Contoh grafk fungs konveks satu varabel eorema (2.3.4) berkut menjelaskan tentang kekonveksan suatu fungs yang dbentuk dar kombnas lner beberapa fungs konveks. Kekonveksan fungs yang berbentuk sepert n akan dgunakan pada teor permanan dnams kooperatf dskrt. n eorema Dberkan fungs f : dan sebarang dengan dan 1,2,..., m. Jka hmpunan fungs f1, f2,..., f m masng-masng konveks d f f f juga konveks d K. n K, maka fungs m m Untuk kasus khusus eorema (2.3.4) dmana m 1 m 1, maka kombnas lner konveks dar f1, f2,..., f m yatu m f 1 juga konveks. eorema (2.3.5) berkut menjelaskan kekonveksan suatu fungs yang memuat logartma. eorema Jka dberkan fungs f : n konkaf d hmpunan konveks dan f( x) untuk semua x K fungs konveks d K. n K dengan K, maka log f( x) adalah

34 Fungs Berbentuk Kuadratk Pada teknk kendal PC dan teor permanan dnams kooperatf dskrt, fungs objektf yang akan dgunakan adalah fungs berbentuk kuadratk. Selanjutnya, dberkan defns fungs yang berbentuk kuadratk yang dambl dar K.V. tal (1983). n Defns Dberkan fungs f :. Fungs berbentuk kuadratk f( x ) ddefnskan sebaga f( x) c11x1c22x2cnnxn c12x1x2c13x1x3 c x x c x x c x x 1n 1 n n1 n1 n dengan x ( x1, x2,..., x ) n n dan cj,, j 1,2,..., n. (2.3.3) salkan 1 aj aj cj, j. Kemudan a j a j dsubstsuskan ke 2 fungs kuadratk (2.3.3) menggantkan c j, dan a dsubstuskan menggantkan c, maka fungs kuadratk (2.3.3) dapat dtuls sebaga f( x) a x a x a x 2a xx 2a xx nn n a x x 2a x x 2a x x 1n 1 n ( n1) n n1 n n n ajxx j 1 j n 1 x a a a x x 2 a21 a22 a 2n x 2 x a a a x n n1 n2 nn n x Ax. Karena aj aj maka matrks A adalah matrks smetrs. Defns berkut menjelaskan kedefntan fungs yang berbentuk kuadratk.

35 19 n Defns Dberkan fungs f : dengan f ( x) x Ax matrks real smetrs berukuran n n. Fungs f dkatakan dan A adalah () Defnt postf jka x Ax untuk semua x () Sem defnt postf jka x Ax untuk semua x dan terdapat palng sedkt sebuah vektor x sehngga x Ax () Defnt negatf jka x Ax untuk semua x (v) Sem defnt negatf jka x Ax untuk semua x dan terdapat palng sedkt sebuah vektor x sehngga x Ax eorema (2.3.8) berkut dapat dgunakan untuk menyeldk kedefntan suatu fungs berbentuk kuadratk menggunakan nla egen. eorema n dambl dar K.V. tal (1983). eorema salkan nla-nla egen dar matrks real smetrs A berukuran n n adalah, 1,2,..., n. aka fungs berbentuk kuadratk f ( x) x Ax adalah () Defnt postf jka dan hanya jka untuk semua, () Sem defnt postf jka dan hanya jka dan j untuk palng sedkt satu j, () Defnt negatf jka dan hanya jka untuk semua, (v) Sem defnt negatf jka dan hanya jka dan j untuk palng sedkt satu j. eorema (2.3.9) berkut menjelaskan kekonveksan dar suatu fungs berbentuk kuadratk semdefnt postf (atau defnt postf). Sfat kekonveksan fungs yang berbentuk kuadratk akan dgunakan pada teknk kendal PC dan teor permanan dnams kooperatf dskrt.

36 2 eorema Dketahu n x dan fungs f : n. Jka fungs berbentuk kuadratk f ( x) x Ax adalah semdefnt postf (defnt postf), maka f( x ) konveks (konveks tegas) d n. Bukt : Hanya dbuktkan untuk sfat konveks. Dketahu x Ax. Untuk n sebarang dua ttk x1, x2 dan x x1(1 ) x2 dengan 1 berlaku f( x ) (1 ) f( x ) f( x) 1 2 x Ax (1 ) x Ax x Ax x Ax (1 ) x Ax x (1 ) x A x (1 ) x x Ax (1 ) x Ax x (1 ) x Ax (1 ) Ax x Ax (1 ) x Ax x Ax 2 (1 ) x Ax (1 ) x Ax x Ax 1 (1 ) x Ax 2 (1 ) x Ax (1 ) x Ax (1 ) x Ax (1 ).2x Ax (1 ) x Ax x Ax 2x Ax (1 )( x x ) A( x x ) Karena 1 dan x 1 x 2 adalah sebarang vektor d n, dan f( x1) (1 ) f( x2) f( x) maka ddapat f x f x1 f x2 yang artnya f(x) konveks d n. ( ) ( ) (1 ) ( ) Optmsas Fungs Konveks anpa Kendala Konsep utama dalam teor optmsas adalah nla mnmum/maksmum dar suatu fungs. Defns berkut memberkan pengertan dar nla mnmum suatu fungs. asalah optmsas yang akan dbahas adalah masalah mnmsas, karena masalah maksmsas dapat dbawa ke masalah mnmsas dengan cara mengalkan fungs objektfnya dengan 1. Defns Fungs f : n dkatakan memlk nla mnmum global d n ttk x jka untuk semua n x berlaku f ( x ) f( x)..

37 21 Defns berkut memberkan pengertan pemnmum lokal dar suatu fungs. Konsep mnmum lokal akan dgunakan pada teorema syarat cukup suatu fungs untuk mencapa pemnmumnya. Defns Fungs f : n dkatakan memlk nla mnmum lokal d n ttk x jka terdapat persektaran N ( x) sedemkan sehngga f ( x) f( x) untuk semua x N ( x ). eorema (2.3.12) berkut memberkan syarat cukup suatu fungs untuk mencapa pemnmum dan dapat dgunakan untuk menentukan ttk mnmum suatu masalah mnmsas. eorema n dambl dar K.V. tal (1983). eorema Dberkan fungs f : n dferensabel sampa tngkat dua d ttk x. Jka f( x) dan hessan H( x ) defnt postf, maka x adalah pemnmum lokal tegas. Karena pada tess n, fungs yang dbahas adalah fungs konveks, selanjutnya dberkan konsep mnmum lokal dan mnmum global pada fungs konveks. eorema (2.3.13) berkut menjelaskan tentang sfat-sfat pemnmum lokal pada fungs konveks. n eorema Dberkan fungs f : K, hmpunan K konveks, dan fungs f(x) konveks d K. Jka f( x ) memlk ttk pemnmum lokal, maka ttk pemnmum tersebut tersebut adalah ttk pemnmum global. Jka f( x ) memlk ttk pemnmum lokal d beberapa ttk, maka ttk pemnmum global terjad d setap kombnas lner konveks dar ttk-ttk tersebut.

38 22 Berdasarkan eorema (2.3.13), pemnmum lokal suatu fungs konveks adalah pemnmum global. Sehngga, dar eorema (2.3.13), dapat dberkan syarat cukup suatu fungs konveks mencapa mnmum global. n Akbat Dberkan fungs f : K, hmpunan K konveks, fungs f( x ) konveks d K dan dferensabel sampa tngkat dua d ttk x K. Jka f ( x ) dan hessan H( x ) defnt postf, maka x adalah pemnmum global. eorema (2.3.15) berkut memberkan sfat ekuvalens dua buah masalah optmsas. Sfat n akan dgunakan pada subbab (2.6) untuk menyelesakan masalah optmsas Nash-Barganng. n eorema Dberkan fungs f : K, hmpunan K konveks, fungs f( x ) konveks d K, dan d adalah suatu konstanta. aka x argmax d f ( x) xk 1 kendala : f ( x) d, 1,2,..., jka dan hanya jka x argmaxlog d f ( x) xk 1 kendala : f ( x) d, 1,2,..., untuk suatu blangan real, 1,2,...,. Bukt : Karena f ( x) d, 1,2,..., Dketahu x argmax d f ( x) xk 1, maka kendala : f ( x) d, 1,2,..., d f ( x), 1,2,...,.

39 23 maka d f( x ) d f( x) 1 1 d1 f1( x ) d f( x ) d1 f1( x) d f( x) 1 1 d1 f1( x ) d f( x ) d1 f1( x) d f( x) 1 1 d1 f1 x d f x d1 f1 x d f x log d f( x ) log d f( x) log ( ) ( ) log ( ) ( ) 1 1 untuk suatu blangan real, 1, 2,...,. Sehngga x argmaxlog d f ( x). xk 1 kendala : f ( x) d, 1,2,..., Pemrograman Kuadratk Berkendala asalah kendal PC berkendala dapat dselesakan dengan membentuknya menjad masalah pemrograman kuadratk berkendala. Dberkan n n fungs V : dengan V ( ), berbentuk kuadratk yang ddefnskan oleh 1 V( ). Dasumskan matrks semdefnt postf (atau 2 defnt postf), sehngga menurut eorema (2.3.9), V( ) adalah konveks (atau konveks tegas) d bentuk umum dengan n. asalah pemrograman kuadratk dapat dnyatakan dalam 1 mn V( ), n 2 (2.3.4) kendala :, (2.3.5) H h, (2.3.6) n, merupakan matrks real smetrs defnt postf berukuran n n, merupakan matrks real berukuran m n, dan H merupakan matrks real berukuran p n, dan vektor-vektor, h, dan secara berturut-turut merupakan

40 24 vektor real berdmens n, m dan p. Ddefnskan fungs lagrangan yang memuat pengal lagrange dan serta vektor slack t yatu 1 L1(,,,) t t Hh 2 1 t H t h. (2.3.7) 2 Syarat perlu dan syarat cukup untuk mencapa mnmum global dberkan oleh konds Karush-Kuhn-ucker (KK) (S. Boyd, 24). Konds KK yatu harus terdapat vektor pengal lagrange dan, dan vektor slack t sedemkan sehngga L(,, ) H, 1 L(,, ) t, 1 L(,, ) H h, 1 t, atau dapat dtuls kembal menjad H, (2.3.8) H h, (2.3.9) t (2.3.1) t (2.3.11) Konds KK (2.3.8)-(2.3.11) dapat dgunakan untuk menyelesakan masalah pemrograman kuadratk (2.3.4)-(2.3.6) secara analtk. Karena teknk kendal PC terdstrbus akan dselesakan secara numerk, maka akan dgunakan algortma actve-set untuk menyelesakan pemrograman kuadratk berkendala secara numerk. etode actve-set mengasumskan bahwa terdapat solus fsbel, yatu solus yang memenuh kendala (2.3.5)-(2.3.6). Suatu solus fsbel past memenuh kendala persamaan (2.3.6) dan hmpunan bagan dar pertdaksamaan (2.3.5). Hmpunan bagan n dkatakan aktf (actve-set), dmana kendala pertdaksamaan (2.3.5) menjad kendala persamaan. salkan a menotaskan elemen-elemen bars

41 25 dar pertdaksamaan (2.3.5) yang merupakan anggota actve set, sehngga. a a salkan r menyatakan solus fsbel pada saat teras ke-r, metode actve-set berjalan memperbak solus dengan arah r yang memnmumkan fungs objektf (2.3.4) ketka memenuh kendala persamaan H h dan, tanpa memperhatkan kendala pertdaksamaan (nactveset). Jka solus a r a fsbel, yatu memenuh r, maka teras dlanjutkan dengan r 1 r. Jka solus r tdak fsbel, maka dbuat gars pencaran dengan arah untuk menentukan lokas ttk yang menghlangkan fsbltas, yatu salah satu ttk yang tdak aktf menjad aktf. Solus pada ttk n dgunakan untuk teras berkutnya, yatu 1, 1 dan kendala aktf yang baru dtambahkan ke actve-set. r r r r r Selanjutnya adalah menentukan kapan suatu solus mencapa optmum global, atau kapan perbakan solus dapat dlakukan. Untuk mengevaluasnya, dgunakan konds KK (2.3.8)-(2.3.11) untuk setap solus r 1. Karena kesemua elemen t adalah postf, maka konds komplementer dar (2.3.11) yang mengakbatkan kesemua elemen dar yang berkorespondens dengan kendala nactve adalah nol. Sehngga hanya elemen-elemen dar yang berkorespondens dengan kendala aktf yang perlu d evaluas. Jka kesemua bernla nonnegatve ( ), maka solus global telah ddapat, selan tu teras dlanjutkan. Dberkan q, karena q merupakan pengal lagrange yang berkorespondens dengan kendala pertdaksamaan ke-q, yang merupakan kendala aktf, nla negatf tersebut menandakan bahwa nla fungs objektf dapat dreduks dengan membuat kendala menjad nactve, yatu berpndah ke solus dmana. Sehngga kendala ke-q dhlangkan dar actve-set. Jka ada q q lebh dar satu elemen yang negatf, maka kendala yang dhlangkan adalah kendala yang berkorespondens dengan elemen yang palng kecl. Sehngga actve set baru terplh, dan kesemua proses datas dulang dengan cara menggant r dengan r 1. salkan 1 V( r) r r r 2. Karena V V r1 r

42 26 maka metode n menjamn bahwa proses teras dapat dhentkan saat optmum global karena kekonveksan dar fungs objektf. Selanjutnya, akan dberkan masalah optmsas pada saat teras ke-r secara lebh detal. Fungs objektf pada saat teras ke-r adalah 1 V r r r r (2.3.12) 2 1 r r r 2 1 r r r 2 1 r r 2r r r r r r Vr r. (2.3.13) 2 Karena untuk setap teras r nla V r merupakan konstanta, maka suku tersebut dapat dhlangkan dar (2.2.13). salkan, maka masalah pemrograman kuadratk datas dapat dnyatakan sebaga 1 mn, n r 2 r r (2.3.14) kendala : H dan. (2.3.15) a asalah optmsas (2.3.14)-(2.3.15) merupakan masalah optmsas konveks kuadratk, tetap hanya memuat kendala persamaan. asalah optmsas tersebut dapat dselesakan dengan membentuk fungs lagrange, kemudan menggunakan konds KK. Karena masalah (2.3.14)-(2.3.15) hanya memuat kendala persamaan, maka hanya dgunakan konds KK (2.3.8)-(2.3.9). lagrange Fungs lagrange masalah optmsas (2.3.14)-(2.3.15) dengan pengal dan, ddefnskan oleh 1 L2 (,, ) r H a. 2

43 27 Konds KK untuk masalah datas yatu harus terdapat vektor pengal langrange dan sedemkan sehngga (,, ), L2 H a r L (,, ) H, 2 L2(,, ) a. Persamaan-persamaan datas dapat dtuls menjad sstem persamaan lner H a r H a yang dapat dselesakan menggunakan elmnas Gaussan. Panjang langkah saat teras ke-r adalah dtentukan dengan cara sebaga berkut. a r r a r a r r a r a r ar, ar. a r Sehngga mn1,, ar. a r a r Berdasarkan uraan datas, dapat dsusun metode actve-set yang dberkan oleh algortma berkut. Dberkan r =, solus fsbel awal dan actve set. Untuk r,1,2,... berjalan teras berkut. (a) Dbentuk r r (b) Selesakan (2.3.14)-(2.3.15), yatu dengan menyelesakan H a r H a untuk memperoleh r. (2.3.16) (c) Jka r, langsung ke langkah (f). Jka r ke langkah (d).

44 28 (d) entukan panjang langkah a r r mn1,, ar a r Jka r 1, tambahkan kendala ke-a ke actve-set, sehngga 1 {}. Selan tu, 1. (e) Update r r a (f) Cek nla r1 r r r r r r 1, kembal ke langkah (a). r. Jka untuk semua q, maka solus global telah q * ddapat, yatu r, stop teras. Selan tu, untuk q, kendala ke-q yang palng kecl dhlangkan dar actve-set, sehngga 1 \{} kemudan kembal ke langkah (b). r r q Flowchart dar algortma actve-set dapat dlhat pada lampran (4). Akan dtunjukkan bahwa algortma actve-set konvergen, yatu mencapa ttk mnmum untuk teras yang berhngga. Jka solus dar (2.3.16) adalah r maka ttk saat teras n, yatu r adalah pemnmum global fungs objektf (2.3.4) untuk actve-set r, yatu r pemnmum global V(). Jka solus r bukan solus dar masalah asl (2.3.4)-(2.3.6), (yatu terdapat pengal lagrange yang bernla negatf), maka pengamblan langkah 1 untuk mengakbatkan, V V r r r r r1 r yang artnya () V bergerak turun terhadap teras. Selanjutnya, karena teras-teras berkutnya memlk nla V yang lebh kecl dar pemnmum global untuk actve-set n tdak akan pernah kembal ke actve-set r, maka terjamn bahwa algortma r. Karena banyaknya kemungknan dar actve-set berhngga, maka algortma tdak akan berteras selamanya. Jad, algortma n menjamn bahwa teras berakhr pada solus pemnmum V ( ). k

45 Sstem Dskrt LI eknk kendal PC terdstrbus merupakan teknk kendal untuk sstem dskrt. Untuk menyeldk kestablan sstem hasl kendal PC terdsrbus, dgunakan teor kestablan Lyapunov. Pada tess n, sstem yang dbahas adalah sstem dskrt autonomous, dmana persamaan dferensnya tdak memuat varabelnya secara eksplst. Pada pembahasan n, varabel dar sstem adalah waktu, sehngga persamaan dferens yang dbahas tdak bergantung waktu, yang dsebut dengan sstem tme nvarant. Pada subbab n, akan dberkan teor sstem dskrt khusus untuk sstem dskrt Lnear me Invarant (LI), konsep kestablan Lyapunov, sfat keterkendalan sstem, dan sfat keterstablan sstem. Ddefnskan k menyatakan waktu nstant. odel matematka dar sstem dskrt LI dapat dnyatakan sebaga sstem persamaan state space xk ( 1) Axk ( ) Buk ( ), x() x (2.4.1a) yk ( ) Cxk ( ) Duk ( ) (2.4.1b) dengan x(k) menyatakan vektor state berdmens n, u(k) menyatakan vektor masukan berdmens p, dan y(k) menyatakan vektor keluaran berdmens q. atrks-matrks A, B, C, dan D secara berturut-turut merupakan matrks-matrks konstan berukuran n n, n p, q n, dan q p. Solus dar persamaan dferens (2.4.1a) untuk sebarang k dapat dtentukan menggunakan prosedur teratf berkut. x(1) Ax() Bu() Ax Bu(), x(2) Ax(1) Bu(1) A Ax Bu() Bu(1) () (1), 2 A x ABu Bu x Ax Bu A A x ABu Bu Bu 2 (3) (2) (2) () (1) (2) A x A Bu() ABu(1) Bu(2), 3 2 k1 k k 1 xk ( ) Ax A Bu ( ). (2.4.2a)

46 3 Solus x(k) dsubsttuskan ke persamaan (2.3.1b) dperoleh solus k 1 k k 1 y( k) CA x CA Bu( ) Du( k) (2.4.2b) Kestablan Lyapunov Sstem Dskrt LI Untuk menganalss kestablan sstem, ada dua metode yang dberkan oleh Lyapunov, yatu metode Lyapunov pertama (ndrect method) dan metode Lyapunov kedua (drect method). etode Lyapunov pertama menganalss kestablan sstem menggunakan solus eksplst dar sstem, sedangkan metode Lyapunov kedua tdak menggunakan solus sstem, tetap menggunakan fungs Lyapunov. Pada tess n, akan dberkan metode Lyapunov pertama, yatu menyeldk kestablan sstem menggunakan nla egen. Konsep n juga dgunakan untuk menyeldk sfat keterstablan sstem. Sedangkan metode Lyapunov kedua akan dgunakan untuk menyeldk kestablan sstem hasl kendal PC terdstrbus. Dberkan sstem dskrt LI (2.4.1). Untuk sstem tanpa kendal, sstem (2.4.1) dapat dtulskan sebaga xk ( 1) Axk ( ), x() x. (2.4.3) Defns dan teorema berkut menjelaskan tentang ttk ekulbrum dan sfat kestablan dalam art Lyapunov yang dambl dar S. Elayd (25). Defns Dberkan sstem (2.4.3). State n xe yang memenuh Axe xe dsebut state ekulbrum. n Ddefnskan state baru zk ( ) dengan z( k) x( k) xe, maka z( k 1) x( k 1) x Ax( k) x A z( k) x x z( k 1) Az( k) Ax x zk ( 1) g zk ( ) e e e e e e

47 31 dengan g jka Axe xe. Sehngga dapat selalu dasumskan bahwa state ekulbrum sstem (2.4.3) adalah x e. Untuk selanjutnya, asums n dpaka. Defns (2.4.2) berkut memberkan defns kestablan dar sstem dskrt lner LI (2.4.3). Defns salkan x(k) menyatakan solus sstem (2.4.3) saat k,. State ekulbrum xe dkatakan stabl jka untuk sebarang blangan real terdapat blangan real ( ) sehngga x xk ( ) untuk semua k.. State ekulbrum xe dkatakan stabl asmtotk jka x e stabl dan lm xk ( ), k. tk ekulbrum xe dkatakan tdak stabl jka tdak memenuh () Secara geometrs, kestablan dalam art Lyapunov untuk sstem sngle state dapat dlustraskan pada Gambar (2.4.1). (a) (b) (c) Gambar Ilustras kestablan sstem sngle state (a) xe stabl, (b) xe stabl asmtotk, dan (c) xe tdak stabl salkan z mendefnskan modulus dar blangan kompleks z a b, yatu 2 2 z a b. Untuk metode Lyapunov pertama, eorema (2.4.3) berkut dapat dgunakan untuk menyeledk kestablan sstem menggunakan nla egen dar matrks sstem, yang dambl dar Olsder (24). Konsep kestablan nla egen n akan dgunakan untuk mendefnskan sfat keterstablan sstem.

48 32 eorema Dberkan sstem (2.4.3) dan 1, 2,..., k, k n adalah nla-nla egen berbeda dar matrks A, maka (a) tk ekulbrum 1, 1,2,..., k. x e adalah stabl asmtotk jka dan hanya jka (b) tk ekulbrum x e adalah stabl jka 1, 1,2,..., k dan tepat satu j dengan j 1 serta banyaknya multspltas j sama dengan banyaknya vektor egen bebas lner yang bersesuaan dengan j. (c) Untuk kasus lan, x e adalah tdak stabl. eorema (2.4.3) dapat dgunakan untuk menyeldk kestablan sstem tanpa kendal (2.4.3). Selanjutnya akan dberkan cara untuk menyeldk sstem dengan kendal (2.4.1) menggunakan teor kestablan fungs Lyapunov. enurut teor mekank klask, suatu sstem getaran bersfat stabl jka energ totalnya menurun secara kontnu sampa state ekulbrumnya tercapa. etode Lyapunov kedua merupakan perumuman dar sfat tersebut. Pada kenyataannya, untuk sstem matemats murn, fungs energ sult untuk ddefnskan. Lyapunov mengenalkan fungs Lyapunov yang merupakan fungs energ truan. Untuk sstem kontnu, fungs Lyapunov adalah fungs kontnu bernla skalar yang defnt postf, dervatf parsal pertama (terhadap semua argumennya) kontnu d daerah sektar ttk asal, dan dervatf pertama terhadap waktu sepanjang trayektor adalah defnt negatf (atau semdefnt negatf). Untuk sstem dskrt, fungs Lyapunov tdak menggunakan dervatfnya, tetap menggunakan varas terhadap state sstem. Fungs Lyapunov dapat bergantung terhadap waktu atau tdak. Pada tess n, khusus dbahas fungs Lyapunov yang tdak bergantung terhadap waktu.

49 33 etode Lyapunov kedua dberkan oleh defns dan teorema berkut dambl dar S. Elayd (25), yang dapat dgunakan untuk menyeldk kestablan suatu sstem menggunakan fungs Lyapunov. salkan V : n terhadap sstem (2.4.1) dapat ddefnskan oleh menyatakan fungs bernla skalar. Varas dar V V() x V xk ( 1) V xk (). (2.4.4) Jka V( x), maka V tdak nak sepanjang solus dar (2.4.1) yang dberkan oleh (2.4.2). n Defns Fungs V : dkatakan fungs Lyapunov untuk sstem (2.4.1) jka 1. V kontnu 2. V( x) untuk semua n x n salkan Br x : x r menyatakan bola terbuka dar state ekulbrum xe dengan jar-jar r. Selanjutnya dberkan eorema (2.4.5) yang memberkan syarat cukup kestablan suatu sstem menggunakan fungs Lyapunov. eorema n akan dgunakan untuk menyeldk kestablan sstem hasl kendal PC terdstrbus pada Bab III. eorema salkan V adalah fungs Lyapunov untuk sstem (2.4.1), 1. Jka V defnt postf maka state ekulbrum xe adalah stabl. 2. Jka xe stabl dan V( x) untuk semua n x dengan x x, e maka state ekulbrum xe adalah stabl asmtotk. Bukt : Dberkan sstem (2.4.1) dengan ttk ekulbrum x e dan fungs Lyapunov V. Plh sebarang 1 sehngga B 1 n. Karena (2.4.1a) kontnu,

50 34 yatu memenuh defns (2.2.5), maka terdapat 2 sedemkan sehngga jka x B 2 maka V( x). Selanjutnya, dambl 2. Ddefnskan B 1 1 ( ) mn V( x) x. (2.4.5) enurut teorema nla tengah (eorema 2.2.9), terdapat sedemkan sehngga V( x) ( ) untuk semua x dengan x. Selanjutnya akan dbuktkan dengan kontradks, bahwa x x( k) untuk semua k. (2.4.6) B B Andakan (2.4.6) tdak terjad, artnya terdapat x postf m sehngga x( m) B B, yang berakbat 2 dan blangan nteger B x( m1), sehngga V xm ( 1) ( ). Kontradks dengan yang dketahu bahwa V xm ( 1) V xm ( )... V( x) ( ). Jad, terbukt bahwa untuk sebarang blangan real terdapat blangan real ( ) sehngga B 1 x xk ( ) untuk semua k yang artnya, ttk ekulbrum xe stabl. Selanjutnya akan dbuktkan bahwa xe stabl asmtotk, yatu n lm xk ( ), untuk semua x. k n Untuk sebarang x, karena xe stabl, maka dapat dasumskan x sehngga berlaku x( k) konvergen ke nol. Karena e B untuk semua k x stabl maka ( ) B. Andakan xk ( ) tdak xk terbatas, sehngga menurut teorema Bolzano-Werstrass (eorema 2.2.1), terdapat subbarsan xn ( ) yang konvergen, katakanlah ke n y. salkan E B 1 menyatakan persektaran terbuka dar y dengan E. Karena V( x), maka dapat ddefnskan fungs V xk ( 1) hx ( ) yang terdefns dengan bak dan kontnu d E, dengan V xk ( ) hx ( ) 1 untuk semua x E. Selanjutnya jka hy ( ),1, maka terdapat

51 35 sedemkan sehngga jka x berakbat hx ( ). Sehngga untuk n yang cukup besar, berlaku yang artnya E 2 ( ) ( 1) ( 2)... n V xn V xn V xn V x lm V xn ( ). n etap karena V kontnu, sehngga menurut defns (2.2.5), Vx n lm ( ) V( y), n maka V( y), yang artnya y. Sehngga terbukt bahwa lm xk ( ) x stabl asmtotk. e k. Jad, Fungs Lyapunov untuk suatu sstem tdak tunggal, sehngga untuk membentuk fungs Lyapunov, basanya dplh bentuk yang palng sederhana, yatu bentuk kuadratk n n V ( x) qjxx j x Qx (2.4.7) 1 j1 dengan x ( x1,..., x ) n dan Q adalah suatu matrks smetrs berukuran n n. Berdasarkan eorema (2.2.6), fungs berbentuk kuadratk (2.4.7) adalah kontnu, sehngga tnggal dcek apakah V( x) terhadap state sstemnya Keterkendalan Sstem Dskrt LI Berdasarkan solus (2.4.2), dapat danalss sfat-sfat sstem selan kestablan, antara lan keterkendalan. Defns dan teorema berkut menjelaskan sfat keterkendalan sstem dskrt LI yang dambl dar Olsder (24). Defns Sstem (2.4.1) dengan konds awal x() x dkatakan terkendal n penuh jka untuk setap state x, x 1, k, terdapat barsan kendal u(), u(1),... u( j ) sedemkan sehngga x( k, x, u) x1, dengan j berhngga.

52 36 Berdasarkan defns (2.4.6), sfat keterkendalan merupakan syarat perlu suatu sstem dapat dkendalkan. eorema (2.4.7) berkut dapat dgunakan untuk menentukan sfat keterkendalan sstem. eorema Sstem (2.4.1), atau pasangan matrks ( AB, ), adalah terkendal penuh jka dan hanya jka n1 rank B AB A B n. Sfat keterkendalan yang dmaksud pada eorema (2.4.7) adalah keterkendalan penuh, artnya jka state sstem berdmens n, maka state x terkendal untuk semua 1,2,..., n. Untuk sstem yang tdak terkendal penuh, yatu terdapat subruang tdak terkendal berdmens m n dmana state x, 1,2,..., m tdak terkendal, maka perlu pennjauan lebh lanjut untuk memastkan suatu sstem dapat dkendalkan Keterstablan Sstem Dskrt LI Defns dan teorema berkut menjelaskan sfat keterstablan sstem yang dambl dar Olsder (24). Defns Sstem (2.4.1), atau pasangan matrks ( AB, ), dkatakan terstablkan jka terdapat matrks F sedemkan sehngga semua nla egen dar A BF dapat dtempatkan d open unt dsc, yatu daerah d bdang kompleks yang memlk modulus kurang dar satu. Berdasarkan defns (2.4.8), maka syarat sstem yang tdak terkendal penuh supaya dapat dkendalkan adalah sstem terstablkan, yatu semua nla egen sstem dapat dtempatkan d open unt dsc. (2.4.9) berkut dapat dgunakan untuk menyeldk sfat keterstablan sstem.

53 37 eorema Sstem (2.4.1), atau pasangan matrks ( AB, ), bersfat terstablkan jka dan hanya jka rank I A B n untuk semua nla egen dar A dengan 1, 1,2,..., k n. 2.5 eknk Kendal PC Kendal model predktf merupakan salah satu teknk kendal modern yang berpengaruh secara sgnfkan d bdang ndustr eknk kendal PC banyak daplkaskan ke berbaga bdang, sepert bdang ekonom, proses kma, sstem mekank, dan lan-lan. Konsep utama dar teknk kendal PC adalah strateg recedng horzon dan predks, kemudan kendal optmal dtentukan menggunakan teknk optmsas Ide Dasar eknk Kendal PC Ide dasar dar teknk kendal PC terdr dar tga konsep berkut. 1) enggunakan model matematka yang bekerja pada plant untuk mempredks keluaran pada waktu nstant yang akan datang (horson) 2) enghtung barsan kendal predks sepanjang horson yang memnmumkan fungs objektf, dalam hal n adalah memnmumkan selsh antara predks keluaran dengan trayektor referens 3) enggunakan strateg recedng horzon, dmana pada setap waktu nstant sepanjang horson, barsan kendal yang dhtung bergantung kepada barsan kendal yang telah dhtung pada setap waktu nstant sebelumnya, kemudan pada barsan kendal yang ddapat, hanya snyal kendal pertama yang daplkaskan pada sstem. Berdasarkan de dasarnya, teknk kendal PC dapat ddefnskan sebaga teknk kendal yang menggunakan model untuk mempredks keluaran yang akan datang sepanjang horson dan menentukan barsan kendal predks yang mengoptmalkan fungs objektf. ujuan umum dar teknk kendal PC yatu

54 38 membawa predks keluaran yang akan datang sepanjang horson supaya sedekat mungkn dengan trayektor referens. Pada teknk kendal PC, tdak ada ketentuan berapa panjang horson yang dgunakan, tetap yang palng serng dgunakan adalah 1 langkah. Semakn panjang horson predks, maka akan semakn banyak varabel yang dgunakan pada optmsasnya, sehngga secara umum membutuhkan waktu penyelesaan yang semakn lama Strateg eknk Kendal PC Strateg teknk kendal PC dapat dbag menjad 3 tahap utama berkut. Strateg n dapat dlustraskan pada Gambar (2.5.1). Pertama, keluaran yang akan datang sepanjang horson predks (H p ), namakan sebaga predks keluaran, dpredkskan pada setap waktu nstant k menggunakan model yang bekerja pada plant. Predks keluaran saat k dnotaskan sebaga yˆ k k, 1,2,..., Hp yang nlanya bergantung pada masukan dan keluaran yang lalu sampa waktu nstant-k. Barsan kendal predks yang akan datang saat k dnotaskan sebaga uˆ k k,,1,..., H p 1, dhtung setap waktu nstant, kemudan dgunakan untuk menghtung predks keluaran dan snyal kendal untuk waktu nstant selanjutnya. Gambar Strateg teknk kendal PC Kedua, barsan snyal kendal yang akan datang dhtung dengan mengoptmalkan fungs objektf. Fungs objektf yang dambl basanya berbentuk

55 39 fungs kuadratk yang merupakan selsh antara predks keluaran dengan trayektor referens dtambah suku yang menyatakan pembobotan kendal. asukan dan keluaran yang lalu ODEL Predks keluaran rayektor acuan + asukan yang akan datang Pengoptmal Error yang akan datang Fungs objektf kendala Gambar Dagram blok strateg teknk kendal PC Ketga, snyal kendal uk k daplkaskan ke sstem, kemudan dhtung nla yk1 yang merupakan nla keluaran baru saat (k+1). Selanjutnya dhtung snyal kendal uk 1 k 1 dan seterusnya sepanjang perode kendal. Strateg PC n dapat dgambarkan sebaga dagram blok (2.5.2). eknk kendal PC terdr dar 3 elemen yatu model predks, fungs objektf, dan hukum kendal. odel predks yang dpaka yatu model matematka yang bekerja pada plant dalam bentuk persamaan state space. Fungs objektf dgunakan sebaga upaya memnmalkan usaha yang dlakukan dan memnmalkan selsh antara predks keluaran dan trayektor referens odel atematka dar Plant odel matematka yang dgunakan untuk menentukan state dan keluaran predks sepanjang horson predks adalah persamaan dferens dar plant. salkan k menyatakan waktu nstant, persamaan dferens pada plant dasumskan berbentuk persamaan state space dskrt LI

56 4 x( k) Ax( k 1) Bu( k 1), (2.5.1a) yk ( ) Cxk ( ), (2.5.1b) dengan x menyatakan vektor state berdmens n, u menyatakan vektor masukan berdmens p, dan y menyatakan vektor keluaran berdmens m. atrks-matrks A, B, dan C secara berturut-turut adalah matrk real konstan berukuran nn, n p, dan m n. odel (2.5.1) ekuvalen dengan sstem dskrt (2.4.1) dengan asums matrks D =, yang artnya keluaran hanya bergantung pada state, dan tdak dpengaruh secara langsung oleh masukan. Dasumskan state xk ( ) dketahu nlanya yang dhtung berdasarkan state nla-nla xk ( 1) dan uk ( 1). Predks state xˆ( k k) untuk 1,2,..., H p dtentukan menggunakan prosedur rekursf berkut. xk ˆ( 1 k) Axk ( ) Bukk ˆ( ), xˆ( k 2 k) Ax( k 1 k) Buˆ( k 1 k) AAxk ( ) Bukk ˆ( ) Buk ˆ( 1 k) 2 Axk ( ) ABukk ˆ( ) Buk ˆ( 1 k), xˆ( k 3 k) Ax( k 2 k) Buˆ( k 2 k) 2 A A x( k) ABuˆ( k k) Buˆ( k 1 k) Buˆ( k 2 k) 3 2 Axk ( ) ABukk ˆ( ) ABuk ˆ( 1 k) Buk ˆ( 2 k), xˆ( k H k) Ax( k H 1 k) Buˆ( k H 1 k) p p p Hp Hp 1 A xk ( ) A Bukk ˆ( )... Buk ˆ( H 1 k). p Pada teras datas, dgunakan notas predks masukan uˆ( k k ) karena pada saat menentukan predks, nla u( k k ) belum dketahu. salkan H u menyatakan horson kendal, yatu panjang horson yang dtentukan untuk menghtung predks masukan. Selanjutnya, dasumskan bahwa nla masukan hanya berubah pada waktu k, k1,..., kh u 1 dan bernla konstan setelahnya,

57 41 sehngga untuk Hu jhp 1 nla uˆ( k j k) uˆ( k H u 1). etap basanya dambl H u = 1. Selanjutnya ddefnskan uˆ( k k) menyatakan dsplacement predks masukan yang drumuskan oleh uk ˆ( k) uk ˆ( k) uk ˆ( 1 k). Pada saat k, nla uk ( 1) sudah dketahu, sehngga predks masukan sepanjang horson kendal dtuls sebaga ukk ˆ( ) uk ˆ( k) uk ( 1), uk ˆ( 1 k) uk ˆ( 1 k) uk ˆ( k) uk ( 1), uk ˆ( 2 k) uk ˆ( 2 k) uk ˆ( 1 k) uk ˆ( k) uk ( 1), uk ˆ( H 1 k) uk ˆ( H 1 k)... uk ˆ( k) uk ( 1). u Predks masukan û dsubsttuskan ke predks state ˆx dperoleh xk ˆ( 1 k) Axk ( ) Buk ˆ( k) uk ( 1), 2 xk ˆ( 2 k) Axk ( ) AB ukk ˆ( ) uk ( 1) u B uk ˆ( 1 k) ukk ˆ( ) uk ( 1) 2 Axk ( ) ABukk ˆ( ) ABuk ( 1) Buk ˆ( 1 k) Bukk ˆ( ) Buk ( 1) 2 Axk ( ) ( AIB ) ukk ˆ( ) Buk ˆ( 1 k) ( AIBuk ) ( 1), xk ˆ k Axk ABuk ˆ k uk 3 2 ( 3 ) ( ) ( ) ( 1) ABuk ˆ( 1 k) uk ˆ( k) uk ( 1) Buk ˆ( 2 k) uk ˆ( 1 k) uk ˆ( k) uk ( 1) Axk ( ) ABuk ˆ( k) ABuk ( 1) ABuk ˆ( 1 k) ABuk ˆ( k) ABuk ( 1) Buk ˆ( 2 k) Buk ˆ( 1 k) Buk ˆ( k) Buk ( 1) ˆ Axk ( ) A AI Buk ( k) AI Buk ˆ( 1 k) Buˆ( k 2 k) A AI Bu( k 1), xk ˆ H k A xk A A I Bukk ˆ Hu Hu 1 ( u ) ( )... ( )... Hu 1 ˆ( u 1 )... ( 1), Buk H k A AI Buk

58 42 Hu 1 Hu ˆ Hu u xk ˆ( H 1 k) A xk ( ) A... AI Bukk ( )... u A I Buˆ( k H 1 k) A... AI Bu( k 1), H Hp 1 Hp 1 p xk ˆ( H k) A xk ( ) A... AI Bukk ˆ( )... p Hp Hu A... AI Buˆ( k H 1 k) A... AI Buk ( 1). u Persamaan state predks sepanjang horson H p dapat dtulskan dalam bentuk matrks menjad B xˆ( k 1 k) A Hu 1 AB Hu xˆ( k Hu k) A H 1 ( ) u H xk uk ( 1) u xˆ( k Hu 1 k) A AB Hp xˆ( k H p k) A Hp 1 AB B ABB Hu 1 AB B ukk ˆ( ). Hu AB AB B uˆ( k Hu 1 k) Hp 1 Hp H u AB AB (2.5.2) Predks keluaran y dapat dtulskan sebaga

59 43 yˆ( k 1 k) Cxˆ( k 1 k), yˆ( k 2 k) Cxˆ( k 2 k), yˆ( k H k) Cxˆ( k H k), p atau dapat dtuls dalam bentuk matrks menjad p yˆ( k 1 k) C xˆ( k 1 k) ˆ y( k 2 k) C xˆ ( k 2 k). yˆ( k H ) ˆ p k Cx( k H p k) (2.5.3) Fungs Objektf Fungs objektf untuk teknk kendal PC terdr dar dua suku. Suku pertama ddefnskan sebaga selsh antara predks keluaran dengan trayektor referens r( k k), H, H 1,..., H, dengan H w menyatakan horson w w p wndow, yatu waktu nstant dmana selsh yˆ k k rk mula dtentukan, tetap basanya dambl H w = 1. Suku kedua adalah pembobotan masukan yang mewakl besarnya usaha kendal yang dlakukan, sehngga suku n dapat drepresentaskan sebaga fungs energ truan. Suku pertama dasumskan semdefnt postf, dan suku kedua dasumskan defnt postf, sehngga menurut eorema (2.3.9), fungs objektf n strcly konveks. Hal n dlakukan supaya eksstens pemnmum global terjamn berdasarkan eorema (2.3.13). Selan tu, rumus fungs energ (energ potensal dan energ knetk) juga berbentuk kuadratk. Hal n menjad salah satu motvas untuk menyusun fungs objektf yang berbentuk kuadratk. Fungs objektf yang dgunakan dasumskan berbentuk kuadratk yang ddefnskan oleh persamaan berkut. Hp Hu 1 ˆ J( k) yˆ k k r k Q( ) y k k r k Hw ˆ uˆ k k R( ) u k k. (2.5.4)

60 44 Fungs objektf (2.5.4) dapat dnyatakan menggunakan notas bentuk kuadratk P 2 Q P QP, yatu 2 2 J( k) k k k, (2.5.5) dengan yˆ ( k Hw k) r( k Hw k) ukk ˆ( ) ˆ ( w 1 ) ( w 1 ) ˆ y k H k r k H k u( k 1 k) ( k), ( k), ( k), yˆ( k H p k) r( k H p k) uˆ( k Hu 1 k) Q Hw R QH 1 w R 1,. QH RHu 1 p atrks pembobotan Q() untuk setap dasumskan semdefnt postf. Sedangkan matrks R() untuk setap dasumskan defnt postf. Sehngga menurut eorema (2.3.9), fungs objektf (2.5.5) merupakan fungs strcly konveks. Pada umumnya, suatu proses terbatas pada suatu rentang nla tertentu. Kendala masalah kendal sstem dskrt secara umum dapat dnyatakan oleh u u( k) u, (2.5.6) mn mn max max u u( k) u, (2.5.7) y y( k) y. (2.5.8) mn max Kendala (2.5.6) menyatakan batasan dsplacement masukan. Kendala (2.5.7) menyatakan batasan nla masukan yang dapat daplkaskan ke sstem. Kendala (2.5.8) menyatakan batasan nla keluaran sstem Hukum Kendal Hukum kendal dgunakan untuk menentukan barsan kendal optmal dar teknk kendal PC. Berdasarkan eorema (2.3.9), fungs objektf (2.5.4)

61 45 merupakan fungs kuadratk strcly konveks. Sehngga pada pembahasan n, hukum kendal yang dgunakan yatu menentukan snyal kendal optmal yang memnmumkan fungs objektf menggunakan teknk optmsas fungs konveks. Selan tu, hukum kendal yang dlakukan adalah menggunakan konsep recedng horzon, dmana barsan kendal optmal dhtung berdasarkan nla kendal pada waktu sebelumnya dan hanya elemen pertama dar barsan kendal optmal yang dperoleh yang daplkaskan ke sstem untuk setap waktu nstant, dan berulang untuk waktu nstant berkutnya Solus eknk Kendal PC anpa Kendala njau kembal persamaan predks keluaran (2.5.2). Persamaan (2.5.2) dsubsttuskan ke predks keluaran (2.5.3) ddapat B A Hu 1 yˆ( k 1 k) C AB Hu yˆ( k 2 k) C A Hu H 1 xk ( ) uk ( 1) u A AB yˆ( k H p k) C B AB B Hp A Hp 1 AB Hu 1 AB B ukk ˆ( ), H u AB AB B uˆ( k Hu 1 k) Hp 1 Hp H u AB AB

62 ˆ( 1 ) ˆ( 2 ) ( ) ( ˆ( ) u u u u p p H H H H p H H B A y k k AB C C A y k k C C x k u A AB y k H k C C A AB k 1) 1 1 ˆ( ). ˆ( 1 ) u u p p u H H u H H H B AB B C AB B ukk C u k H k AB AB B C AB AB Ddefnskan matrks-matrks 1 1 1,, u u u u p p H H H H H H B A AB C C A C C A AB C C A AB

63 47 B AB B Hu 1 C AB B C. Hu AB AB B C Hp 1 Hp Hu AB AB aka persamaan predks keluaran (2.5.5) dapat dtulskan menjad ( k) x( k) u( k 1) ( k). (2.5.9) Ddefnskan ( k) ( k) xk ( ) uk ( 1). (2.5.1) Persamaan (2.5.1) dsebut dengan trackng error, yang menyatakan selsh antara trayektor referens dengan sstem free response ( k). Apabla (k) =, menandakan bahwa ( k) merupakan langkah yang tepat karena free response sama dengan trayektor referens. Persamaan (2.5.9) dsubsttuskan ke fungs objektf (2.5.3) dperoleh 2 2 J( k) x( k) u( k1) ( k) k k 2 2 ( ) ( ) k k ( k) ( k) k k 2 2 ( k) x( k) u( k 1) k k ( k) ( k) k ( k) ( k) 2 ( k) ( k) k k. (2.5.11) salkan 2 ( k), dan karena ( k) ( k) konstanta, maka persamaan (2.5.11) menjad J( k) ( k) ( k) ( k) konstanta. (2.5.12)

64 48 Berdasarkan teor optmsas, ( k) optmal dapat dtentukan dar graden J(k). Persamaan (2.5.12) mencapa optmal jka ( kj ) ( ( k)). J ( ( k k )) 2 ( k ) ( ) 2 ( k) 1 ( k) ( k) ( k). 2 Sehngga dperoleh barsan kendal optmal 1 1 ( k) opt. (2.5.13) 2 Vektor masukan pada persamaan sstem (2.5.1) memlk p elemen. Sehngga, berdasarkan strateg recedng horzon, hanya dgunakan p bars pertama dar matrks ( k) opt, yang dapat dtulskan sebaga u( k) opt 1p, p,..., p ( k) opt. (2.5.14) ( Hu 1) kal Solus kendal optmal dtuls dalam bentuk uk ( ) opt bukan dalam bentuk uk ˆ( ) opt, karena sudah dapat dtentukan masukan optmal sebenarnya, dan bukan predks lag. Untuk menjamn bahwa uk ( ) opt merupakan solus optmal yang memnmumkan J(k), perlu dseldk lebh lanjut dengan menentukan matrks Hessan dar J(k), yatu 2 J (2.5.15) ( k) Dasumskan bahwa Q ( ) untuk setap, sehngga. Supaya menjamn solusnya adalah pemnmal tegas, matrks hessan harus defnt postf, yang dpenuh bla >, artnya R ( ) untuk setap. Untuk kasus khusus apabla =, untuk menjamn solus mnmum dan menjamn nvertbel

65 49 maka haruslah. Untuk kasus lannya, yatu jka, maka haruslah Solus PC Berkendala njau kembal kendala masalah PC (2.5.6)-(2.5.8). Ketga kendala tersebut dapat dtulskan menjad bentuk umum kendala masalah PC yang dapat dnyatakan oleh E uˆ( k k),..., uˆ( k H 1 k), 1 (2.5.16) u p F ukk ˆ( ),..., uk ˆ( H 1 k), 1 (2.5.17) u p G yˆ( k H k),..., yˆ( k H k), 1, (2.5.18) w p p dengan E, F, dan G merupakan matrks-matrks konstan. Kendala (2.5.16) merepresentaskan batasan perubahan dsplacement aktuator, kendala (2.5.17) merepresentaskan batasan kemampuan aktuator, dan (2.5.18) merepresentaskan batasan nla keluaran. Kendala (2.5.16)-(2.5.18) dapat dtuls dalam bentuk ( k) E 1p ( k) F 1p ( k) G, 1p (2.5.19) (2.5.2) (2.5.21) dengan ( k) uˆ( k k),..., uˆ( k Hu 1 k). Karena fungs objektf (2.5.12) dnyatakan dalam varabel ( k), maka ketga kendala datas akan dnyatakan dalam ( k). H u salkan matrks F berbentuk F F1, F2,..., F, f, dmana masngmasng F adalah matrks berukuran q m dan f adalah vektor berdmens q, sehngga (2.5.2) dapat dtuls sebaga

66 5 u( k k) u( k 1 k) F, F,..., F, f 1 2 Hu u( k Hu 1 k) 1 Fuk ( k) Fuk ( 1 k)... F uk ( H 1 k) f 1 2 Hu u H u Fu ˆ( k 1 k) f. (2.5.22) 1 Karena 1 uk ˆ( 1 k) uk ( 1) uk ˆ( jk), maka (2.5.22) dapat j dtuls kembal menjad Hu 1 F u( k 1) uˆ( k j k) f 1 j Hu Hu 1 Fuk ( 1) F uk ˆ( jk) f 1 1 j Fukk ˆ( ) Fukk ˆ( ) Fuk ˆ( 1 k) F ukk ˆ( )... F uk ˆ( H 1 k) Fuk ( 1) f Hu Hu Hu u 1 Hu Hu Fukk ˆ( ) Fuk ˆ( 1 k)... j j1 j2 u F uˆ( k H 1 k) Fu( k 1) f. Hu u j j1 j H (2.5.23) Selanjutnya ddefnskan H u Fj dan,..., 1 Hu j, maka (2.5.23) dapat dtuls kembal menjad ukk ˆ( ) Hu Hu H u H u uˆ( k 1 k) Fj Fj F j Fu j ( k 1) f j1 j2 jhu j1 uˆ( k Hu 1 k)

67 H ( k) 1u( k 1) f u ( k) u( k 1) f, 1 (2.5.24) dmana ruas kanan (2.5.24) merupakan suatu vektor yang dketahu nlanya saat k. Dengan langkah-langkah yang sama, akan drubah (2.5.21) dalam ( k). Untuk merubahnya, dgunakan persamaan (2.5.6), sehngga (2.5.21) dapat dtuls sebaga x( k) u( k 1) ( k) G. 1 salkan G, g (2.5.25) dengan g menyatakan kolom terakhr dar G, sehngga pertdaksamaan (2.5.25) dtuls menjad x( k) u( k 1) ( k) g (2.5.26) ( k) x( k) u( k 1) g. (2.5.27) salkan E Ww, maka pertdaksamaan (2.5.19) dtulskan menjad W( k) w W ( k) w. (2.5.28) Kendala pertdaksamaan (2.5.24), (2.5.27), dan (2.5.28) dtulskan dalam bentuk matrks menjad ( 1) 1 u k f ( k) x( k) u( k 1) g. W w (2.5.29) Selanjutnya, akan dkonstrukskan masalah PC berkendala menjad masalah pemrograman kuadratk berkendala. Fungs obektf yang akan dmnmumkan adalah fungs objektf pada (2.5.12) yatu mn ( k) ( k) ( k) (2.5.3) ( k) dengan kendala ( 1) 1 u k f ( k) x( k) u( k 1) g. W w (2.5.31)

68 52 Untuk kasus khusus dmana kendalanya berbentuk nterval, yatu u ( k ) uˆ ( k k) u ( k ),,1,2,..., H 1, maka akan terbentuk l h u matrks yang relatf sederhana. Pembentukannya akan dbahas sebaga berkut. Kendala nterval tersebut dapat dtulskan menjad uˆ( k k) u ( k ) uˆ( k k) u ( k ). h l Untuk,1,2,..., H u 1, kendala datas dapat dtuls menjad uˆ( k k) u ( k) uˆ( k k) u ( k) h l uˆ( k 1 k) u ( k 1) uˆ( k 1 k) u ( k 1) h l uˆ( k H 1 k) u ( k H 1) u h u uˆ( k H 1 k) u ( k H 1). u l u Substtus 1 uk ˆ( 1 k) uk ( 1) uk ˆ( jk) j ke pertdaksamaan datas dperoleh u( k 1) uˆ ( k k) u ( k) uk ( 1) ukk ˆ( ) u( k) h l uk ( 1) ukk ˆ( ) uk ˆ( 1 k) u( k1) uk ( 1) ukk ˆ( ) uk ˆ( 1 k) u( k1) h l u( k 1) uˆ( k k) uˆ( k 1 k)... uˆ( k H 1 k) u ( k H 1) p h u uk ( 1) ukk ˆ( ) uk ˆ( 1 k)... uˆ( k H 1 k) u ( k H 1). p l u Dengan memndahkan suku-suku konstant ke ruas kanan, dperoleh uˆ( k k) u( k1) u ( k) uˆ( k k) u( k1) u ( k) ukk ˆ( ) uk ˆ( 1 k) uk ( 1) u( k1) ukk ˆ( ) uk ˆ( 1 k) uk ( 1) u( k1) h l l h

69 53 ukk ˆ( ) uk ˆ( 1 k)... uk ˆ( H 1 k) uk ( 1) u( kh 1) p h u ukk ˆ( ) uk ˆ( 1 k)... uk ˆ( H 1 k) uk ( 1) u( kh 1). p l u Pertdaksamaan datas dapat dtulskan dalam bentuk matrks menjad 1 ukk ˆ( ) uˆ( k 1 k) uˆ( k 2 k) 1 1 uˆ( k 3 k) uˆ( k Hu 2 k) uˆ( k Hu 1 k) uh ( k) 1 u l ( k) 1 uh ( k 1) 1uk ( 1) ul ( k 1). 1 uh( k Hu 1) 1 ul( k Hu 1) Pertdaksamaan datas bersesuaan dengan pertdaksamaan (2.5.22) dmana 1 uh( k) ul( k) uh( k 1) 1 1, f ul( k 1) uh( k Hu 1) ul( k Hu 1) Berdasarkan uraan datas, teknk kendal PC berkendala menjad masalah pemrograman kuadratk berkendala pertdaksamaan. Salah satu metode yang dapat dgunakan untuk menyelesakan pemrograman kuadratk berkendala pertdaksamaan secara numerk adalah metode actve-set yang sudah dberkan d sub-subbab (2.4.4).

70 54 Contoh Suatu sstem memlk persamaan state space u ( k) xk xk x u2( k) yk ( ) xk ( ), 1 ( 1) ( ) 1,5 1,5, () dengan fung objektf 4 J( k) x( k 1 ) r 1 x( k 1 ) r u( k ) 1 u( k ). Akan dkendalkan state x(k) untuk menuju set pont r 1 dengan horson predks H p 5, horson wndow H 1, dan horson kendal H 5. Smulas w dlakukan dengan 12 langkah waktu nstant. Kendal optmal dtentukan menggunakan persamaan (2.5.14) yang termuat dalam progam ALAB pada Lampran (1). Sstem hasl kendal dapat dsmulaskan sebaga grafk nputoutput (2.5.2) berkut. u 3 Input Waktu Instant -1 Input 2 Output Waktu Instant Waktu Instant Gambar Grafk nput dan output Contoh (2.5.1) Berdasarkan grafk nput-output (2.5.2), dapat dlhat bahwa output mencapa set pont pada waktu nstan ke-8. Sebelum mencapa set pont r = 1, nput 1 dan nput 2 bekerja memberkan kendal optmal yang dhtung oleh kontroler PC sehngga state mencapat set pont.

71 eor Permanan Dnams Kooperatf Dskrt Dketahu terdapat peman. asalah permanan dnams kooperatf memuat peman yang bekerjasama untuk menentukan strateg optmal sedemkan sehngga memnmumkan fungs objektf semua peman. Persamaan dnamk dar masalah permanan kooperatf dapat dnyatakan sebaga persamaan state space LI dskrt, yatu x( k 1) Ax( k) Bu ( k) Bu ( k)... B u ( k), x() x, (2.6.1) n p dengan xk ( ) menyatakan vektor state, u ( k) menyatakan strateg (vektor kendal) peman ke-, A dan B secara berturut-turut merupakan matrksmatrks real konstan berukuran nn dan n p, = 1, 2,,. salkan B B B B dan,,...,,,..., 1 2 (2.6.1) dapat dtulskan sebaga u u1 u2 u, persamaan dferens x( k 1) Ax( k) Bu( k), x() x, (2.6.2) yang merupakan persamaan state space dskrt LI. Solus persamaan dferens tersebut dapat dtentukan dengan prosedur teras sepert pada solus sstem dskrt, yatu k 1 ( ) k 1 (). x k Ax A Bu (2.6.3) Fungs cost untuk waktu proses sepanjang N yang akan dmnmumkan oleh masng-masng peman ke- dasumskan berbentuk kuadratk yang dnyatakan oleh ( ), ( 1 J x ( ) Qx ( ) ( ) ( k), (2.6.4) N1 x k u k k k u k Ru 2 k dengan matrks-matrks Q dasumskan smetrk semdefnt postf dan R dasumskan defnt postf untuk semua. Ddefnskan hmpunan konveks p menyatakan ruang strateg peman ke-, u k u1 k u2 k u k ( ) ( ), ( ),..., ( ) dan uk ( ) dengan 12. Dberkan masalah mnmsas mn J x ( k), u ( k), 1,2,...,, (2.6.5) u

72 56 dengan kendala u. Berdasarkan eorema (2.3.9), J strcly konveks d untuk setap 1,2,...,, sehngga masalah optmsas (2.6.5) merupakan masalah optmsas fungs strcly konveks dengan fungs objektf. Defns Strateg dkatakan solus optmal lengkap masalah optmsas (2.6.5) jka dan hanya jka untuk semua berlaku J ( ) J ( ), untuk setap 1,2,...,. Pada umumnya, solus optmal lengkap tdak dapat dtentukan ketka terdapat konflk antar fungs objektf, yatu ketka suatu strateg menjad optmal untuk satu peman, tetap mengakbatkan hasl peman lan menjad lebh buruk. Sehngga dberkan konsep Pareto effcent atau solus optmal Pareto Solus Pareto Konsep dasar dar Pareto effcent yatu menentukan solus yang sudah tdak dapat dmnmumkan lag oleh semua peman secara smultan. Defns Strateg ˆ dsebut Pareto effcent masalah optmsas (2.6.5) jka hmpunan pertdaksamaan J ( ) J ( ˆ ), 1,...,, (2.6.6) dan palng sedkt satu pertdaksamaan bersfat strct, tdak terjad untuk manapun dengan ˆ. Nla objektf yang berkorespondens yatu J ˆ ˆ 1( ),..., J ( ) dsebut solus Pareto. Hmpunan yang beranggotakan semua solus Pareto dsebut Pareto fronter. Ddefnskan ( 1, 2,..., ) dan 1. Dbentuk 1 kombnas lner konveks dar fungs-fungs objektf (2.6.5) yatu

73 57 ( ) J J( ). Lemma berkut menjelaskan bahwa pemnmum dar 1 ( ) J J( ) merupakan Pareto effcent. 1 Lemma Dberkan. Jka ˆ sehngga ˆ argmn J( ), (2.6.7) 1 maka ˆ adalah Pareto effcent untuk masalah optmsas (2.6.5). Bukt : Dketahu dan Pareto effcent, maka terdapat sehngga dan j J ( ) J ( ˆ ), 1,...,, j J ( ) J ( ˆ ) untuk palng sedkt satu j. Akbatnya, ˆ argmn J( ). Andakan ˆ bukan 1 J ( ) J ( )... J ( ) J ( ˆ ) J ( ˆ )... J ( ˆ ) J ( ) J ( ˆ ). 1 1 Dengan kata lan ˆ bukan pemnmum yang dketahu bahwa ˆ pemnmum effcent. J 1 J 1 ( ). Hal n kontradks dengan ( ). Sehngga ˆ adalah Pareto Selanjutnya dberkan lemma berkut yang menjamn eksstens pembobotan kombnas lner konveks apabla dberkan suatu Pareto effcent. Lemma Dasumskan ruang strateg konveks dan J konveks untuk setap 1, 2,...,. Jka ˆ merupakan Pareto effcent untuk masalah mnmsas (2.6.5), maka terdapat sehngga untuk semua berlaku

74 58 J ( ˆ ) J ( ). (2.6.8) 1 1 Bukt : Untuk semua, ddefnskan hmpunan Z yatu Z : ( ) ( ˆ z z J J ), 1,...,. (2.6.9) Ddefnskan pula Z: Z. Karena ˆ Pareto effcent, maka Z. Karena J konveks, maka Z konveks dan gabungannya juga konveks, yatu Z konveks. Untuk sebarang zz, z Z, dan [,1] berlaku z (1 ) z J ( ) (1 ) J ( ) J ( ˆ ) J (1 ) J ( ˆ ). Sehngga z(1 ) z Z(1 ) Z. Dengan mengambl x, xz, berdasarkan eorema (2.3.2), terdapat p sehngga pz px pz untuk semua z Z. Berdasarkan persamaan (2.6.9), untuk setap 1,...,, dapat dplh blangan z yang relatf besar. Karena p z, berakbat elemen ke- dar p tdak bernla negatf untuk setap 1,...,. Dberkan sebarang zz maka terdapat dan,, 1,.., sehngga z J ( ) J ( ˆ ), 1,..., N. (2.6.1) Oleh karena tu, untuk semua dan untuk semua berlaku p z p J J ( ) ( ˆ ). (2.6.11) 1 Akbatnya untuk semua berlaku 1 p J ( ) J ( ˆ ) 1 1 p J ( ) p J ( ˆ )

75 59 p J ( ) p J ( ˆ ) pj( ) pj( ˆ ). (2.6.12) Dengan mengambl p : j1 p j, untuk semua berlaku p p () J (), ˆ pj J 1 1 pj j1 j1 atau J ( ) J ( ˆ ). 1 1 Berdasarkan lemma (2.6.3) dan lemma (2.6.4) dapat dbentuk akbat berkut yang menyatakan bahwa terdapat pemetaan bjektf antara dan Pareto fronter. Akbat Dasumskan 2,,. Dberkan dan konveks dan J strcly konveks untuk semua = 1, ˆ argmn J( ). (2.6.13) 1 Jka ˆ 1 ˆ 2, Pareto fronter. 1 2, maka terdapat pemetaan bjektf antara dan Bukt : Karena konveks dan J konveks tegas untuk semua = 1, 2,,, maka terdapat bjeks antara semua solus ˆ dar masalah optmsas (2.6.13) dengan. Selanjutnya akan dtunjukkan bahwa solus (1) dan (2) dengan ˆ ˆ ˆ, (1) (2) berkorespondens dengan solus Pareto yang berbeda. (1) (2)

76 6 Andakan ada solus Pareto J dengan J( ˆ (1) ) J( ˆ (2) ) untuk beberapa. Hal n berakbat (2) merupakan solus dar masalah optmsas (1) (2) (1) mn J( ). 1 ˆ etap berdasarkan asums, fungs cost tersebut bersfat strcly konveks, sehngga memlk solus mnmum tunggal. Akbatnya, ˆ ( 2) ˆ (1), sehngga terjad kontradks dengan yang dketahu bahwa strateg optmal yang berbeda berkorespondens dengan bjektf antara dan Pareto fronter. () yang berbeda. Jad, terbukt terdapat pemetaan Berdasarkan uraan dan lemma-lemma datas, dapat dbentuk eorema (2.6.6) berkut. eorema (2.6.6) nlah yang memberkan solus Pareto kooperatf dar suatu permanan dnams kooperatf. eorema Dberkan masalah optmsas 1 J x ( k), u ( k) x ( k) Qx ( k) u ( k) Ru ( k). (2.6.14) N 1 2 k mn Dasumskan Q, R>, J ( u) konveks untuk semua 1,...,. Hmpunan semua solus Pareto Kooperatf dberkan oleh J u (, J u (,..., J u (,, 1 2 yang berkorespondens dengan Pareto effcent yang dperoleh dar masalah mnmsas 1 u ( ) arg mn J ( x ( k), u ( k)), (2.6.15) uu dengan kendala xk ( 1) Axk ( ) Bu 1 1( k)... Bu( k), x() x. Bukt : Dberkan fungs cost masng-masng peman 1 J xk ( ) Qxk ( ) u( k) Ru( k), 1,2,...,, N 1 2 k

77 61 k1 k k 1 dengan x k A x A Bu BB1 B2 B u u1 u2 u ( ) ( ),,,...,,,,...,. Ambl sebarang dua nput u(k) dan v(k), dengan u u, u,..., u dan v v, v,..., v. Ddefnskan notas k k 1 k 1 x( k) Ax A Bu ( ), u k k1 k 1 x( k) Ax A Bv ( ). v Akan dbuktkan J konveks. J u(1 ) v 1 N1 1 xu(1 ) v( k) Q xu(1 ) v( k) 2 k (1 ) (1 ) u v R u v N1xu( k) (1 ) xv( k) Qxu( k) (1 ) xv( k) u v R u v 2 k (1 ) (1 ) Berdasarkan eorema (2.1.4), karena Q smetrk semdefnt postf dan R. smetrk defnt postf, maka dapat dfaktorsas menjad Q dan R. 2 2 Ddefnskan k1 k k 1 xu( k) Qx u( k) Q Ax A Bu () maka k1 k k 1 xv( k) Qx v( k) Q A x A Bv( ) u( k) Ru ( k) v( k) Rv ( k), 1 J u(1 ) v N1xu( k) (1 ) xv( k) QQ xu( k) (1 ) xv( k) u v RR u v 2 k (1 ) (1 )

78 62 1 N1 Qx u( k) (1 ) Qx v( k) Qx u( k) (1 ) Qx v( k) 2 k Ru (1 ) Rv Ru (1 ) Rv xu( k) (1 ) xv( k) xu( k) (1 ) xv( k) u v u v N1 1 2 k (1 ) (1 ). Dengan menggunakan defns norma Eucldean x 2 x x yang memenuh ketaksamaan segtga xy x y maka N1 1 J u v x k x k u v (1 ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) 2 2 u v 2 k N xu( k) (1 ) xv( k) u (1 ) v. 2 k Karena x ( k) (1 ) x ( k) 2 x ( k) 2 (1 ) x ( k) 2 u v u v dan u v 2 u 2 v 2 maka (1 ) (1 ), N1 1 J u(1 ) v x ( k) (1 ) x ( k) u (1 ) v u v 2 k N1 1 xu Qx u (1 ) xv Qx v u Ru (1 ) v Rv 2 k N1 N1 xu Qx u u Ru (1 ) xv Qx v (1 ) v Rv k k N1 N1 1 1 (1 ) 2 xu Qx u u Ru xv Qx v v Rv k 2 k J ( u) (1 ) J ( v), yang artnya J konveks untuk setap = 1, 2,,. Berdasarkan lemma (2.6.4) dan akbat (2.6.5), maka hmpunan semua solus Pareto Kooperatf dberkan oleh J u (, J u (,..., J u (,, 1 2 yang berkorespondens dengan Pareto effcent yang dperoleh dar masalah mnmsas

79 63 u ( ) arg mn J( x( k), u( k)), uu 1 dengan kendala xk ( 1) Axk ( ) Bu 1 1( k)... Bu( k), x() x. Berdasarkan eorema (2.6.6) datas, dapat dtentukan Pareto fronter dengan cara menyelesakan masalah mnmsas (2.6.15) untuk beberapa nla. Contoh (2.6.1) memberkan gambaran bagamana permanan dnams kooperatf dskrt dselesakan sehngga dperoleh Pareto fronter. Contoh Dketahu terdapat 2 peman dnyatakan oleh persamaan dnamk x( k 1) x( k) u ( k) u ( k), x Fungs objektf yang akan dmnmalkan masng-masng peman dnyatakan oleh N k J ( x, u ) x ( k) u ( k), N k J ( x, u ) x ( k) u ( k). Dbentuk kombnas lner konveks dar kedua fungs objektf yatu J( x, u, u ) J (1 ) J N1 k N1 k x ( k) u1 ( k) (1 ) x ( k) u2 ( k) x ( k) u ( k) (1 ) u ( k) N1 2 u1( k) u1( k) x ( k). k u2( k) (1 ) u2( k) asalah n dselesakan menggunakan waktu proses N = 2. Pareto effcent dtentukan menggunakan (2.6.15) kemudan dsubsttuskan ke fungs objektf J 1 dan J 2 untuk memperoleh solus Pareto kooperatf untuk nla berjalan dar,1 sampa,9 dengan langkah,1. Langkah-langkah n termuat dalam program ALAB pada Lampran (2), sehngga menghaslkan grafk Pareto fronter yang dberkan oleh Gambar (2.6.1) berkut.

80 64 Gambar Pareto fronter Contoh Gambar (2.6.1) menamplkan grafk Pareto fronter Contoh (2.6.1). Sumbu datar menyatakan nla fungs objektf peman ke-1 (J 1 ), sedangkan sumbu tegak menyatakan nla fungs objektf peman ke-2 (J 2 ). Sehngga ttk-ttk pada Pareto fronter menyatakan solus Pareto J J. 1, Solus Nash-Barganng Berdasarkan eorema (2.6.6), masalah mnmsas (2.6.5) mempunya lebh dar satu solus Pareto. Selanjutnya akan dgunakan konsep Nash-Barganng untuk menentukan solus Pareto yang terbak menurut para peman. Untuk konds tanpa kerjasama (non-cooperatve), maka masng-masng peman dapat menentukan solus mnmax, yatu solus terbak yang dapat dperoleh pada konds-konds terburuk yang dapat terjad. Solus n dsebut ttk dsagreement. Untuk peman ke-, ttk dsagreement dnotaskan sebaga d d d d d d J ( u ), dengan u ( u1, u2,..., u ) dperoleh dar masalah mnmax u d arg mn max J( uk ( )) u u kendala : u ( k), u ( k), (2.6.16) dengan u ( u1, u2,..., u1, u1,..., u) dan Gambar (2.6.2.a) menamplkan konsep Nash-Barganng untuk 2 peman. Daerah

81 65 S merupakan daerah fsbel untuk J yang kurang dar d, dmana d merupakan ttk dsagreement, dan kurva P adalah Pareto fronter. (a) (b) Gambar (a) Konsep Nash-Barganng untuk 2 peman (b) Solus Nash-Barganng N(S,d) Gambar (2.6.2.b) menamplkan solus Nash-Barganng N(S,d). Secara geometrs, solus Nash-Barganng adalah ttk d tep S, yatu bagan dar Pareto fronter, yang menghaslkan perseg panjang terluas (A,N,B,d). Sehngga solus Nash-Barganng, NSd (, ), dtentukan dengan cara memlh ttk d S sehngga perkalan dar selsh J dan d bernla maksmum, yatu N( S, d) arg max d J JS (2.6.17) 1 kendala : J S, J d. Untuk suatu, ddefnskan masalah optmsas max log JS d J (2.6.18) 1 kendala : J S, J d. Berdasarkan eorema (2.3.15), menyelesakan masalah optmsas (2.6.17) sama dengan menyelesakan masalah optmsas (2.6.18). Fungs objektf (2.6.18) dapat dtuls secara ekuvalen menjad

82 d J d J d J d J log log d1 J1 d2 J2 d J d J d J d J log log... log log log... log log d J. Sehngga masalah optmsas (2.6.18) dapat dtuls sebaga max JS logd J (2.6.19) 1 kendala : J S, J d. Bak pada solus Pareto maupun solus Nash-Barganng, masalah optmsasnya memuat pembobotan fungs objektf yang nlanya dtentukan secara bebas oleh para peman. Untuk permanan stats noncooperatve, yerson (1997) memberkan cara untuk menentukan nla yatu berdasarkan kontrbus masng-masng peman. yerson, (1997) menglustraskan cara n dengan sebuah permanan Dvde the Dollars dmana peman 1 adalah seorang kepala keluarga dengan total 4 anggota keluarga, dan peman 2 adalah seorang saja. Peman 1 dan peman 2 akan memperoleh sejumlah uang apabla strateg mereka berjumlah kurang dar atau sama dengan $1, dan $ apabla strateg mereka berjumlah lebh dar $1. yerson (1997) memberkan bobot peman 1 adalah 4 1 5, sedangkan peman 2 dber bobot 2 1 5, hal n dlakukan untuk menyamakan pendapatan perkapta mereka, sehngga Berdasarkan lustras n, dapat dperumum untuk peman, dan pembobotannya adalah 1, 2,..., sedemkan sehngga 1 1. Konsep n akan dgunakan pada teknk kendal PC terdstrbus untuk menentukan pembobotan fungs objektf masng-masng subsstem.

83 67 asalah maksmsas (2.6.19) dgunakan untuk menentukan solus Nash- Barganng. Contoh (2.6.2) berkut merupakan kelanjutan dar contoh (2.6.1). Pada contoh (2.6.1), dperoleh solus Pareto sepanjang Pareto fronter. Contoh (2.6.2) berkut memberkan gambaran cara menentukan solus Nash-Barganng. Contoh Dberkan permanan yang memuat dua peman pada contoh (2.6.1). Peman ke-1 menentukan ttk dsagreement dengan masalah optmsas u arg mn max J( uk ( )). d 1 1 u1 u2 Peman ke-2 menentukan ttk dsagreement dengan masalah optmsas u arg mn max J( uk ( )). d 2 2 u2 u1 d d Dperoleh d1 J1( u ) 32 dan d 2 J 2 ( u ) 32, sehngga ttk dsagreement untuk permanan n adalah d (32,32). 3 salkan fungs objektf peman ke-1 dberkan bobot 1 dan fungs 4 1 objektf peman ke-2 dberkan bobot 2, maka masalah optmsas Nash- 4 Barganng dberkan oleh 3 1 max log 32 log 32 J 4 4 kendala : J 32 dan J 32. J J asalah optmsas datas menghaslkan solus J 1 18,3 dan J2 2, yang merupakan solus Nash-Barganng dar permanan n. Langkah-langkah n termuat dalam program ALAB pada Lampran (3). tk dsagreement dan solus Nash-Barganng dapat dlustraskan pada Gambar (2.6.3).

84 68 Gambar tk dsagreement dan Solus Nash-Barganng Contoh (2.6.2) Gambar (2.6.3) menamplkan Pareto fronter dan solus Nash-Barganng untuk masalah permanan contoh (2.6.1). Berdasarkan Gambar (2.6.3), dapat dlhat bahwa solus Nash-Barganng N (18,3;2) merupakan solus Pareto yang yang menghaslkan perseg panjang terluas yang dtark dar ttk dsagreement d (32;32).

85 BAB III KENDALI ODEL PREDIKIF ERDISRIBUSI BERBASIS EORI PERAINAN DINAIS KOOPERAIF eknk kendal PC terdstrbus merupakan sebuah metode untuk mendesan kendal pada systemwde yang berbass PC. eknk kendal PC dterapkan pada masng-masng subsstem dan kendal optmal dtentukan secara terdstrbus, yatu besarnya kendal dhtung oleh semua subsstem secara bersama-sama melalu pertukaran nformas nla kendal dengan memnmumkan fungs objektf subsstem. Konsep n dbentuk berdasarkan teor permanan dnams kooperatf, dmana subsstem danggap sebaga peman yang akan memnmalkan fungs objektfnya masng-masng dengan melakukan kerjasama (kooperatf). eknk kendal PC terdstrbus yang akan dbahas adalah tpe kendal state feedback yatu kendal optmal dtentukan berdasarkan umpan balk state sstem. 3.1 odel Systemwde Plant Dberkan plant yang terdr dar subsstem. Ddefnskan yang menyatakan hmpunan blangan-blangan nteger 1,2,3,...,. etode state space dgunakan untuk menyatakan model matematka dar systemwde plant. odel systemwde yang akan dbahas terdr dar tga macam, yatu model terdesentralsas, model nteraks, dan model composte. odel terdesentralsas memuat persamaan state space masng-masng subsstem secara ndependen, sedangkan model nteraks memuat persamaan state space yang menyatakan nteraks antar subsstem. odel terdesentralsas dan model nteraks dgabungkan sehngga dperoleh model composte. odel composte nlah yang akan dgunakan untuk menyusun teknk kendal PC terdstrbus. odel composte dplh karena memuat persamaan state space masng-masng subsstem sekalgus memuat nteraks antar subsstem. 69

86 odel erdesentralsas odel terdesentralsas adalah model yang memperhatkan setap subsstem secara ndependen, sehngga model n tdak memuat nteraks antar subsstem (nteraks danggap nol). Dberkan model terdesentralsas untuk setap subsstem dengan yang dnyatakan oleh persamaan state space dskrt LI yatu x ( k 1) A x ( k) B u( k), (3.1.1a) y( k) C x ( k), (3.1.1b) n m x, z u, dan y berturut-turut menyatakan state, nput, dan output, A n n, n m, z n B C merupakan matrks-matrks konstan odel Interaks Dberkan sebarang subsstem. Efek dar nteraks subsstem terhadap subsstem j, j dnyatakan oleh persamaan state space LI dskrt x ( k 1) A x ( k) B u ( k), (3.1.2a) j j j j j y ( k) C x ( k), (3.1.2b) j j j1 dengan j nj j x menyatakan state nteraks, u menyatakan nput j m subsstem j, dan z y menyatakan output subsstem ke- yang sudah n memuat nteraks,,, j n j n j m j z n A j j Bj C j merupakan matrksmatrks konstan odel Composte odel composte merupakan gabungan dar model terdesentralsas dan model nteraks. Untuk setap subsstem, vektor state model terdesentralsas x dtambahkan dengan state yang dtmbulkan dar efek nteraks dengan semua subsstem yang lan. State model composte subsstem dnyatakan oleh

87 71 n x x1,, x,, x, n n j1 j. odel composte dnyatakan oleh persamaan state space dskrt LI berkut dengan x ( k 1) Ax ( k) Bu ( k) W u ( k), (3.1.3a) j j j y( k) Cx( k), (3.1.3b) A 1 A A, B B, Wj B j, A C C C C, 1 merupakan matrks-matrks konstan. Dasumskan state equlbrum dar model composte (3.1.3) adalah nol. 3.2 odel Predks Systemwde Plant odel yang dgunakan untuk membentuk predks adalah model composte (3.1.3). Untuk sebarang subsstem, predks state dan predks masukan pada waktu nstant k j, j berdasarkan nla awal pada saat k secara berturut-turut dnyatakan oleh xˆ k j k n dan ˆ m u k j k. Berdasarkan pada PC klask, untuk menentukan state dan nput predks dperlukan parameter panjang horson. Pada pembahasan n, dgunakan panjang horson predks berhngga H p, horson wndow H w = 1, dan horson kendal H u = H p. Predks state model composte untuk setap substem sepanjang horson predks H p dtentukan dengan prosedur rekursf berkut. xˆ ( 1 ) ( ) ˆ ( ) ˆ k k Ax k Bu k k Wjuj( k k), xˆ ( k 2 k) Axˆ ( k 1 k) Buˆ ( k 1 k) W uˆ ( k 1 k) j j j j

88 72 A ( ) ˆ ( ) ˆ Ax k Bu k k Wjuj( k k) j Buˆ ( k 1 k) W uˆ ( k 1 k) j j j A x( k) ABuˆ ( k k) Buˆ ( k 1 k) 2 AW uˆ ( k k) W uˆ ( k 1 k), j j j j j j xˆ( k 3 k) Axˆ ( k 2 k) Buˆ ( k 2 k) W uˆ ( k 2 k) j j j 2 A ( ) ˆ ( ) ˆ ( 1 ) x k ABu k k Bu k k A AW ˆ ( ) ˆ juj k k Wjuj( k 1 k) j j Buˆ ( k2 k) W uˆ ( k 2 k) j j j A x( k) A Buˆ ( k k) ABuˆ ( k 1 k) Buˆ ( k 2 k) 3 2 A W uˆ ( k k) AW uˆ ( k 1 k) W uˆ ( k 2 k), 2 j j j j j j j j j Hp Hp1 ˆ ˆ ˆ p p x( k H k) A x( k) A Bu ( k k) Bu ( k H 1 k) A W uˆ ( k k) W uˆ ( k H 1 k). Hp1 j j j j p j j Predks state sepanjang horzon H p dapat dtuls sebaga xˆ ( k 1 k) A 2 ˆ ( 2 ) A x k k 3 xˆ ( k 3 k) A x( k) Hp xˆ ( k H p k) A B uˆ ( kk) AB B ˆ u( k1 k) 2 A B AB B uˆ ( k2 k) Hp1 Hp2 Hp3 A uˆ ( k H p 1 k) B A B A B B

89 73 j Wj uˆ j ( kk) AW j Wj ˆ uj ( k1 k) 2 A Wj AW j Wj uˆ j ( k 2 k). Hp1 Hp2 Hp3 A uˆ j( k Hp 1 k) Wj A Wj A Wj W j salkan A uˆ ( ) kk B 2 A ˆ ( 1 ) AB 3 B u k k A 2 u ˆ ( 2 ),, u k k f A B AB B E, Hp 1 Hp 2 Hp 3 uˆ ( k H p 1 k) H A p B A B A B B A Wj AW j Wj 2 E j j j j A W AW W, Hp 1 Hp 2 Hp 3 A Wj A Wj A Wj W j maka state predks model composte sepanjang horzon H p dapat dtuls menjad xˆ ( k 1 k) xˆ ( k 2 k) xˆ ( k 3 k) fx ( k) Eu ( k) Eu j j ( k). j xˆ ( k H p k) (3.2.1) eknk kendal PC terdstrbus akan dselesakan secara numerk, sehngga algortma PC terdstrbus yang akan dbentuk memuat teras. salkan q menyatakan teras algortma n. Sehngga state predks (3.2.1) dtulskan sebaga

90 74 xˆ ( k 1 k) xˆ ( k 2 k) xˆ ( k 3 k) f x k E u k E u k xˆ ( k H p k) q1 ( ) ( ) j j ( ). j (3.2.2) 3.3 Fungs Objektf Systemwde Plant Stage cost, yatu cost pada setap waktu nstan k dar masng-masng subsstem, ddefnskan oleh 1 L x( k), u( k) x( k) Qx ( k) u( k) Ru ( k), 2 (3.3.1) dengan Q, dan R adalah matrks pembobotan yang smetrs. Fungs cost subsstem untuk horson berhngga H p ddefnskan oleh H p 1 ( ), ( ); ( ) ( 1 ), ( ). (3.3.2) xˆ k uˆ k x k L xˆ k j k uˆ k j k j salkan dagq(),..., Q( H p 1), dag R(), R(1),..., R( H p 1), state predks model composte (3.2.2) dsubsttuskan ke fungs objektf (3.3.2), sehngga dperoleh xˆ ( k), uˆ ( k); x ( k) Hp 1 j 1 ˆ ( 1 ) ˆ ( 1 ) ˆ x k j k Qx k j k u ( k j k ) Ru ˆ ( k j k ) 2 1 f x k E u k E u k 2 q1 ( ) ( ) j j ( ) j q1 fx( k) Eu( k) Ejuj ( k) u( k) u( k) j

91 75 1 x k f u k E u k E 2 q1 ( ) ( ) j ( ) j j q1 fx( k) Eu( k) jejuj ( k) u( k) u( k) j 1 q1 x( k) f fx ( k) Eu ( k) jeu j j ( k) 2 j q1 u( k) E fx( k) Eu ( k) jeu j j ( k) j q1 q1 uj ( k) Ej fx ( k) Eu( k) jejuj ( k) j j u ( k) u ( k) j 1 q1 x( k) f fx( k) x( k) f Eu( k) x( k) f jejuj ( k) 2 j q1 u( k) E fx ( k) u ( k) E Eu ( k) u ( k) E jejuj ( k) j j u ( k) E f x ( k) u ( k) E q1 q1 j j j j j j q1 q1 uj ( k) Ej jejuj ( k) j u ( k) u ( k) 1 u( k) u( k) u( k) E Eu( k) 2 x ( k) f E u ( k) u ( k) E f x ( k) E u ( k) j q1 q1 u ( k) E jejuj ( k) uj ( k) Ej jeu ( k) j j 1 x k f f x k x k f E u k 2 q1 ( ) ( ) ( ) j j j ( ) j u q j ( k) E ( ) q ( ) q j j fx k u j k Ej jeju j ( k). j j j

92 76 Karena 1 x k f f x k x k f E u k 2 q1 ( ) ( ) ( ) j j j ( ) j q1 q1 q1 uj ( k) Ej j fx ( k) uj ( k) Ej jejuj ( k) j j j konstanta dan penambahan konstanta pada fungs objektf suatu masalah optmsas tdak mempengaruh ttk optmal, maka konstanta tersebut dapat dhlangkan dar fungs objektf, sehngga (3.3.2) dapat dtuls menjad 1 ˆ ( ), ˆ x k u( k); x( k) u( k) u( k) u( k) E Eu( k) 2 x( k) f E u ( k) u ( k) E f x ( k) 3.4 Feasble-Cooperaton PC Dberkan q1 q1 u ( k) E jejuj ( k) uj ( k) Ej jeu( k). j j (3.3.3) m menyatakan hmpunan kendal fsbel untuk aks kendal u ( k j) untuk j,1,..., H p 1 masng-masng subsstem. Dasumskan hmpunan merupakan hmpunan tdak kosong dan konveks yang memuat ttk asal d nterornya ( ). salkan menyederhanakan, ddefnskan xˆ ( k), uˆ ( k); x ( k) u ( k) masalah PC untuk systemwde ddefnskan oleh masalah optmsas 1. Untuk 1. Secara umum, mn ( uk ( )) u( k) (3.4.1) kendala : u ( k), 1,2,...,. asalah optmsas PC (3.4.1) merupakan masalah optmsas PC tersentralsas karena varabel optmsasnya adalah uk ( ). Sebagamana

93 77 djelaskan pada latar belakang peneltan n, PC tersentralsas sangat sukar untuk dselesakan terutama apabla systemwde memuat subsstem-subsstem yang relatf banyak. Sehngga, dlakukan solus pendekatan dengan cara menyelesakannya secara terdstrbus. Ada beberapa cara pendekatan untuk menyelesakan masalah optmsas PC secara terdstrbus, salah satunya adalah dengan memberkan pembobotan pada masng-masng fungs objektf, yatu dengan membentuk fungs objektf yang mengukur pengaruh kontrol lokal terhadap performans systemwde secara keseluruhan. Ada banyak plhan yang dapat dbuat, bentuk yang palng sederhana adalah membentuk kombnas konveks tegas dar fungs objektf semua subsstem. salkan u k u k uk ( ), ( ) ( ), (3.4.2) r r dengan u ( ) 1 ( ),..., 1( ), 1( ),..., ( ) k u k u k u k u k untuk u( k) dan u ( k) dengan State predks dar model composte sudah dsubsttuskan ke fungs objektf, sehngga xˆ uˆ x k u u u x k, ; ( ),,..., ; ( ). (3.4.3) 1 2 Untuk setap subsstem, ddefnskan oleh w r, w 1, fungs objektf yang baru r1 r ( ) ( ), ( ). (3.4.4) u k w u k u k r r r1 Untuk menentukan kendal optmal, dlakukan proses negosas yang memuat teras dan pertukaran nla kendal antar subsstem yang dlakukan pada q q q waktu sampel. salkan u ( ) ( ),..., ( ) k u k u k H p, dengan q menyatakan ndeks teras saat k ( q 1,2,..., qmax ). salkan q q * q * q * q * u ( ) 1 ( ),..., 1 ( ), 1 ( ),..., ( ) k u k u k u k u k menyatakan nla optmal dar u ( k), j 1,..., 1, 1,...,. rayektor masukan optmal q j u q* ( k ) dperoleh dar solus masalah optmsas FC-PC yang ddefnskan oleh

94 78 1 () : Feasble-Cooperaton PC ( q) q1 q1 q1 q1 rr 1 1 r uˆ r1 u ( k) argmn w u ( k),..., u ( k), u ( k), u ( k),..., u ( k); x ( k) kendala : uˆ ( k j k), j H 1, uˆ ( k j k), j H, x ( k) xˆ ( k), r. r r p p Fungs objektf dar optmsas FC-PC dapat dsederhanakan sebaga 1 w xˆ ( k), uˆ ( k); x ( k) w u ( k) u ( k) u ( k) E Eu( k) x ( k) f E u ( k) u ( k) E f x ( k) j j u k E E u k q1 ( ) j j j ( ) q1 uj ( k) Ej jeu( k) w u( k) u( k) u( k) E Eu( k) 1 w x( k) f Eu( k) u( k) E fx( k) q1 q1 w u ( k) E jejuj ( k) uj ( k) Ej jeu( k). 1 j j (3.4.5) Suku pertama (3.4.5) dapat dtuls sebaga : 1 1 wu ( k) u ( k) wu ( k) E E u ( k) u ( k) w we E u ( k) ( ) u k ( ) 2 w we Eu k 1 1 ( ) u k w we E wj j wjej jej u ( k ). 2 j

95 79 Suku kedua (3.4.5) dapat dtuls sebaga : wx ( k) f E u ( k) wx ( k) f E u ( k) wx( k) f E u ( k) wx ( k) f E u ( k) wx ( k) f E u( k) j j j j j j1 we f x ( k) w E f x ( k) u ( k). Suku ketga (3.4.6) dapat dtuls sebaga : 1 q1 q1 w u( k) E jejuj ( k) uj ( k) Ej jeu( k) 1 j j q1 w 2 uj ( k) Ej jeu( k) 1 j w u ( k) E E u ( k) q1 j j j 1 j j1, jl1 q1 we l l leljuj ( k) u( k). Berdasarkan penjabaran datas, (3.4.5) menjad 1 w u ( k), u ( k); x ( k) j j j j j j1 j1, jl1 1 ( ) u k w we E wj j wjej jej u ( k ) 2 j we f x( k) w E f x ( k) u ( k) q1 we l l leljuj ( k) u( k).

96 8 Berdasarkan penyederhanaan datas, masalah optmsas FC-PC untuk setap subsstem untuk setap teras q dapat dtuls menjad 2 () : Feasble-Cooperaton PC dengan 1 q q q1 q mn u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q k u k r k juj k u k u ( k) 2 j1, j q kendala : u ( k) (),..., ( 1), (), (1),..., ( 1) dag Q Q H dag R R R H, p p w we E wjej jej, j we l l lelj j l1 r( k) we f x ( k) w E f x ( k) j j j j j j E A 2 B Wj A AB AW j Wj B, E 3 j A, f. H 1 H p1 p A B W B A Wj j Hp A Bentuk fungs objektf pada optmsas 2 dapat dbentuk menjad 1 dengan 2 q q1 ( ), ( ) j j ( ) j1, j1 u k r k u k yang merupakan bentuk umum pemrograman kuadratk pada Subbab (2.3.4). Bentuk n dapat mempermudah dalam penyelesaan optmsas pada ALAB. Berdasarkan masalah optmsas FC-PC, dapat drumuskan algortma untuk menentukan solus optmal q* u. Flow chart algortma n termuat pada Lampran (5). Algortma FC-PC : Dberkan u, x ( k),,,, q ( k), q1, K, K 1 max

97 81 whle for some and q qmax( k) do u q arg( ) u wu (1 w) u q q q1 ransmt u u q q1 q u ke setap subsstem terkoneks j end do q q 1 end whle Pada algortma FC-PC, trayektor state untuk setap subsstem pada q q q q q saat teras ke-q dperoleh sebaga x x u1, u2,..., u; xk ( ). Iteras dbatas hanya sampa qmax ( k ), tetap teras dapat berhent sebelum qmax ( k ) apabla error semua subsstem sudah kurang dar tolerans error yang dberkan. 3.5 Skema Nash-Barganng PC erdstrbus Sebuah permanan dapat dtulskan sebaga tupel,, dengan N 1,2,..., N, N N menyatakan hmpunan para peman, menyatakan hmpunan berhngga dar strateg yang dapat dlakukan oleh peman ke-, dan : menyatakan fungs payoff peman ke- (Akra, 25). 1 2 asalah PC terdstrbus dapat dtulskan sebaga tupel,,, sehngga PC terdstrbus dapat dpandang sebuah permanan dmana para pemannya adalah subsstem, strateg dar peman adalah masukan kendal, dan payoff dberkan oleh nla fungs cost subsstem. Selanjutnya, kendal optmal PC terdstrbus akan dtentukan berdasarkan solus Nash-Barganng sepert pada permanan dnams kooperatf dskrt yang dberkan pada Subbab (2.6).

98 Solus Nash-Barganng PC erdstrbus Berdasarkan teor permanan dnams kooperatf pada Subbab (2.6), solus Nash-Barganng dar masalah PC terdstrbus ddefnskan sebaga masalah optmsas 3 () : Nash-Barganng PC uˆ( k) 1 max d( k) ( uk ( )) kendala : ( u( k)) d ( k) u ( k), 1,..,. (3.5.1) dengan d() k menyatakan ttk dsagreement subsstem yang dberkan oleh d d d ( k) u ( k) dan u ( k ) dtentukan dengan mencar solus mnmax, yatu 4 () : tk Dsagreement PC mnmax uk ( ) u( k) u( k) kendala : u ( k) u ( k). (3.5.2) Berdasarkan optmsas (2.6.17)-(2.6.19), menyelesakan masalah optmsas (3.5.1) sama dengan menyelesakan masalah optmsas (3.5.3) berkut. u( k) 1 max w log d ( k) ( u( k)) kendala : ( u( k)) d ( k) u ( k), 1,..,. (3.5.3) Berdasarkan hasl datas, maka masalah Nash-Barganng PC dapat dselesakan secara terdstrbus sebaga masalah optmsas (3.5.4) berkut.

99 83 5 () : Nash-Barganng PC u ( k) r1 max w log d ( k) ( u ( k), u ( k)) r r r kendala : ( u ( k), u ( k) d ( k) r r u ( k). (3.5.4) odel Negosas Nash-Barganng PC odel negosas Nash-Barganng terdr dar langkah-langkah yang akan memberkan solus Nash-Barganng secara numerk untuk subsstem setap waktu k, pada setap teras q, q 1,2,..., q max. Pada, algortma untuk menyelesakan Nash-Barganng PC adalah sebaga berkut. Flow chart algortma n termuat pada Lampran (6). 1. Dberkan konds awal xk ( ), semua subsstem menghtung ttk d dsagreement d( k) u ( k) berdasarkan masalah optmsas d u ( k) argmnmax uk ( ) kendala : u ( k) u ( k) u ( k) u ( k) masng-masng secara terpsah 2. Setap subsstem mengrmkan ttk dsagreement ke subsstem lan 3. Setap subsstem menyelesakan masalah optmsas q q1 max log ( ) ( ( ), ( )) q wr dr k r u k u k u ( k) r1 (3.5.5) (3.5.6) q q1 kendala : r( ( ), ) r( ), 1,.., q u k u d k r u ( k) 4. Jka (3.5.6) fsbel, maka q* ( ) arg u k menjad solus optmal ( u q* ( k) memenuh q* q1 r( u ( k), u ) dr( k) ), kemudan subsstem ke- memperbaru aks kendal masng-masng sebaga kombnas konveks

100 84 u k wu k w u k. Jka tdak fsbel, subsstem ke- q q q1 ( ) ( ) (1 ) ( ) memperbaru aks kendal u k wu k w u k. Pada langkah q d q1 ( ) ( ) (1 ) ( ) d n, untuk q = 1, maka u ( k ) djadkan konds awal oleh subsstem untuk menyelesakan optmsas (3.5.6). Untuk q 1, q u 1 ( k) dgunakan sebaga konds awal (3.5.6). 5. Setap peman mengrm aks kendal ke peman lan. Jka q q1 u ( k) u ( k),( ) untuk semua, atau jka q qmax, atau jka waktu maksmum untuk menghtung kendal optmal sudah tercapa, q elemen pertama dar barsan kendal u ( k ) daplkaskan ke sstem dan setap subsstem kembal ke langkah 1. Selan tu, setap subsstem kembal ke langkah 3. Pada saat k 1, konds awal subsstem untuk menyelesakan (3.5.6) dtentukan dengan pergeseran barsan kendal qend * qend * ( 1) ( 1 ),..., ( p ), u k u k k u k H k, dengan u q * end ( k j k) menyatakan nla kendal optmal untuk subsstem saat teras q end saat waktu k j yang dberkan konds awal saat k. Pada model negosas n, subsstem hanya mengkomunkaskan ttk dsagreement pada setap k, dan subsstem hanya mengrm barsan kendal pada setap teras q. 3.6 Sfat-sfat PC erdstrbus Berdasarkan algortma FC-PC dan model negosas Nash-Barganng PC dapat dturunkan beberapa sfat berkut. Proposs asalah optmsas Nash-Barganng PC (3.5.4) merupakan masalah optmsas konkaf. Bukt : asalah optmsas (3.5.4) dapat dtuls kembal menjad

101 85 u ( k) r1 mn w log d ( k) ( u ( k), u ( k) r r r kendala : ( u ( k), u ( k) d ( k) r u ( k), 1,.., enurut eorema (2.3.5), fungs log f( x) merupakan fungs konveks jka f( x) dan f( x) adalah fungs konveks. Fungs log d ( k) ( u ( k), u ( k) memenuh kendala d ( k) ( u( k), u ( k)) r r r r dan d ( k) ( u ( k), u ( k) r r merupakan fungs konveks karena d r tertentu dan ( u( k), u ( k) Sehngga log d ( k) ( u ( k), u ( k) r r r konveks. konveks. Berdasarkan eorema (2.3.4), r r r konveks karena merupakan kombnas r1 fungs w log d ( k) ( u ( k), u ( k) konveks dar fungs-fungs konveks. Sehngga masalah optmsas (3.5.4) adalah masalah optmsas konkaf. Karena masalah optmsas (3.5.4) merupakan masalah optmsas konkaf, maka berdasarkan eorema (2.3.13), apabla terdapat pemaksmal lokal, maka pemaksmal lokal tersebut adalah pemaksmal global Fsbltas Algortma PC erdstrbus Untuk menganalss fsbltas teras dar algortma PC terdstrbus, dberkan preposs (3.6.2) berkut. Proposs Barsan kendal untuk subsstem yang dperoleh dar algortma PC terdstrbus pada waktu k dengan konds fsbel awal adalah fsbel untuk waktu k, k 1, k 2,..., dengan 1,..,. Bukt : (1) Algortma FC-PC. Pada setap teras q saat k, dketahu q u arg( ) dengan adalah optmsas fungs konveks untuk setap. Pada setap teras, update kendal subsstem adalah u wu (1 w) u. Karena q q q1

102 86 adalah hmpunan konveks, maka sebarang kombnas konveks dar q u dan q 1 u termuat d. Sehngga barsan kendal untuk subsstem yang d haslkan dar algortma FC-PC adalah fsbel untuk semua teras q 1,2,..., qend, saat k. (2) odel negosas Nash-Barganng. Karena ( u( k), u ( k) adalah fungs konveks, dan karena u q dan d ( k) dan u ( k) ada untuk semua teras 1,2,...,. salkan r keduanya hmpunan konveks, maka q 1,..., qend, untuk semua u ( k) menyatakan solus nsal saat k. pada model negosas Nash-Barganng, saat teras q = 1 subsstem memperbaru aks 1 d( q) kendalnya sebaga u ( k) wu ( k) (1 w) u ( k). Karena u ( k) dan konveks, maka sebarang kombnas konveks dar d u ( k ) dan u ( k ) termuat d. Sehngga u 1 ( k) untuk 1,2,...,. Jka saat teras q = 1 saat k subsstem memperbaru aks kendal sebaga u k wu k w u k. Karena q q ( ) ( ) (1 ) ( ) u ( k), u ( k), dan konveks, maka sebarang kombnas konveks dar u ( k ) dan u ( k) termuat d. Sehngga u 1 ( k) untuk 1,2,...,. Saat teras q = 2, u 1 ( k), maka u 2 ( k). Begtu pula untuk barsan teras q 2,3,..., qend. Sehngga barsan kendal untuk subsstem yang d haslkan dar model negosas Nash-Barganng adalah fsbel untuk semua teras q 1,2,..., qend, saat k. Untuk waktu k 1, konds awal subsstem untuk optmsas dberkan oleh pergeseran barsan kendal qend * qend * ( 1) ( 1 ),..., ( p ), u k u k k u k H k. njau kembal H p dan j 1. Karena q u end * ( k ) fsbel, maka q u end ( k j) untuk j 1,2,..., H p. Akbatnya u ( k1). Sehngga barsan masukan kendal yang dhaslkan oleh algortma FC-PC dan model negosas Nash-Barganng PC untuk subsstem termuat d untuk waktu

103 87 k 1. Analog untuk waktu k 2, k 3,.... Jad, barsan masukan kendal yang dhaslkan oleh algortma PC terdstrbus untuk subsstem adalah fsbel untuk waktu k, k 1, k 2, Kestablan Sstem Lngkar ertutup PC erdstrbus salkan pada saat k, teras algortma PC terdstrbus dnotaskan oleh q(k) dan berakhr pada teras ke p. salkan untuk setap, p p p p u ( ) ( ),, ( ),1,..., ( ), 1 k u k u k u k H p (3.6.1) menyatakan solus dar algortma PC terdstrbus setelah p teras dengan 1 2 ( k) x ( k), x ( k),..., x ( k) menyatakan state model composte saat k. Berdasarkan konsep PC, kendal yang daplkaskan ke subsstem adalah p u ( k) u ( k),. Nla kendal n daplkaskan ke sstem sebaga state feedback. Proposs (3.6.2) menjamn eksstens trayektor masukan fsbel untuk semua subsstem saat k dan q(), kemudan ekss juga untuk semua k. Salah satu plhan trval untuk trayektor masukan fsbel awal saat k adalah u( k j k), j,. Hal n mungkn dlakukan karena berdasarkan asums awal, hmpunan kendal admssble, masngmasng tdak kosong dan memuat ttk asal ddalamnya. Untuk dapat menjamn kestablan, teknk kendal PC terdstrbus bekerja dbawah kedua asums berkut. Asums Semua model nteraks adalah stabl, yatu A j stabl untuk j. Asums Untuk setap, pasangan A, B bersfat stablzable. Asums Untuk setap, Q() Q (1)... Q( H 1) Q dan p R() R (1)... R ( H 1) R p

104 88 Asums (3.6.1) dperlukan untuk menjamn kestablan sstem lngkar tertutup PC terdstrbus dbawah state feedback. Asums (3.6.2) merupakan syarat perlu suatu sstem dapat dstablkan. Asums (3.6.3) merupakan asums yang dperlukan pada pendefnsan fungs cost yang akan djadkan fungs Lyapunov. q q q Lemma Barsan nla fungs objektf u1, u2,..., u; ( k) yang dhaslkan dar algortma PC terdstrbus adalah fungs tdak nak terhadap teras q. Bukt : Karena q* u pemnmal maka q 1 q 1 *( q ) q 1 q 1 q 1 q 1 q u 1 1,..., u 1, u, u1,..., u ; ( k) u1, u2,..., u ; ( k) njau kembal bahwa q q q q q q u1, u2,..., u; ( k) wr ru1, u2,..., u; ( k) r1 w u, u,..., u ; ( k)... q q q w u, u,..., u ; ( k) q q q 1 2 Berdasarkan pengamblan kendal baru u wu (1 w) u, maka q q* q 1 r r u, u,..., u ; ( k) w wu (1 w) u, wu (1 w ) u,..., Karena q q q q* q1 q q r1 konveks, maka w u (1 w ) u ; ( k) q* q1 w wu (1 w) u, w u (1 w ) u,..., q* q1 q* q w u (1 w ) u ; ( k)... q* q1 w wu (1 w) u, wu (1 w ) u,..., q* q1 q* q w u (1 w ) u ; ( k) q* q1 q q q q* q1 q1 u1 u2 u k w1 1u1 u2 u k q1 q1 q* w u1, u2,..., u ; ( k),,..., ; ( ),,..., ; ( )...

105 89 r1 w u, u,..., u, u, u,..., u ; ( k) q1 q1 q1 *( q) q1 q1 r r 1 2 r1 r r u, u,..., u ; ( k) q1 q1 q1 1 2 q q q q Karena 1 q 1 q u 1 1, u2,..., u; ( k) u1, u2,..., u ; ( k) untuk setap q, maka q q q barsan u1, u2,..., u; ( k) tdak nak. Pada saat k, msalkan u sehngga barsan kendal Hp () 1 (),..., (); () (),,...,,. Karena nt( ), u () fsbel. Ddefnskan J u u menyatakan nla fungs cost dengan kendal awal nol dan state awal (). salkan saat k, untuk, ddefnskan qk ( 1) qk ( 1) u ( k) u ( k 1),1,..., u ( k 1), H p 1,,,... dan 1 ( ), 2( ),..., ( ) (3.6.2) u k u k u k menyatakan hmpunan kendal fsbel yang bersesuaan dengan fungs cost J H ( k) u1 ( k), u2( k),..., u( k); ( k) Sehngga nla fungs cost setelah teras q(k) dnotaskan oleh 1 qk ( ) qk ( ) qk ( ) Hp p. J ( k) u ( k),..., u ( k); ( k). (3.6.3) Lemma Saat k, msalkan algortma PC terdstrbus dawal dengan nla kendal u( k j k), j,. Jka untuk semua k, setap PC terdstrbus dawal dengan strateg maka ( 1) ( 1) ( ) qk u ( 1),1,..., qk ( 1), 1 k u k u k H p, k1 qk ( ) Hp Hp Hp Hp j 1 ( ) ( ) () ( ), () J k J k J wl x j J (3.6.4) untuk qk ( ) dan semua k.

106 9 Bukt : Akan dbuktkan menggunakan nduks. Saat k =, algortma PC terdstrbus dawal dengan kendal awal u( k j k), j,, akbatnya J () J q() () dan J () J () J () Hp Hp. Hp Hp Hp sehngga (3.6.4) dpenuh untuk k =. Untuk k = 1, ddapat q (1) (1) () (), () J J J wl x u q(1) () Hp Hp Hp 1 () (), J wl x J Hp 1 Hp (). Sehngga (3.6.4) dpenuh untuk k = 1. Dasumskan benar untuk k > 1. aka untuk k + 1, ( 1) ( 1) ( ) ( ), ( ) J k J k J k wl x k u k qk ( 1) qk ( ) qk ( ) Hp Hp Hp 1 q( k) Hp 1 ( ) ( ), J k wl x k () ( ), J wl x j J Hp j 1 Hp (). k erbukt untuk k + 1. Jad, terbukt benar untuk semua k. Lemma datas akan dgunakan untuk menunjukkan kestablan dalam art Lyapunov. Untuk membuktkan kestablan, dgunakan teorema kestablan Lyapunov (2.3.6) pada Subbab (2.3). eorema Dberkan algortma PC terdstrbus. salkan asums-asums (3.6.1)-(3.6.3) dpenuh. aka ttk ekulbrum adalah stabl asmtotk untuk sstem lngkar tertutup qk ( ) qk ( ) ( 1) ( ) ( ), j j ( ),, (3.6.5) j x k Ax k Bu k W u k untuk semua () n dan q( k) 1,2,..., qmax( k)

107 91 qk ( ) Bukt : Kanddat fungs Lyapunov adalah J ( k) Hp. salkan q q q x (,1), (,2),... x x menyatakan trayektor state subsstem yang q q dhaslkan oleh trayektor masukan u 1 ( ),..., u ( ) setelah teras ke-q dengan state awal. Fungs cost dberkan oleh dmana, ( ) 1 ( ),..., ( ); ( ) J k u k u k k qk ( ) qk ( ) qk ( ) Hp Hp 1 qk ( ) qk ( ) w L x ( k), l, u ( k), l 1 l qk ( ), ( ), x k l Qx k l H 1 ( ) ( ) p qk 1 w ( ) ( ) 1 2 qk l u ( k), l Ru ( k), l qk qk ( ) Q R kesemuanya defnt postf dan x ( k), x ( k),. qk ( ) Pertama, akan dtunjukkan bahwa J ( k) qk ( ) Lyapunov. Karena J ( k) qk ( ) (2.2.6), J ( k) Hp Hp kontnu d Hp merupakan fungs berbentuk kuadratk, maka menurut eorema ( 1) ( ) ( 1) ( ) J J k J k q qk qk Hp Hp Hp untuk semua ( k) n. Berdasarkan lemma (3.6.5), dperoleh qk ( ) ( ) J k J k qk ( ) ( ) Hp Hp merupakan fungs Lyapunov d qk ( ) fungs cost J ( k) Hp n qk ( ). Sehngga, menurut defns (2.4.4), JH ( k) n. Karena, Q R kesemuanya defnt postf, dan merupakan bentuk kuadratk dar matrks-matrks Q dan qk ( ) R, maka menurut Defns (2.3.7) dan eorema (2.3.8), J ( k) qk ( ) postf, yatu J k semua Hp Hp p defnt n ( ) untuk semua ( k), ( k), qk ( ) dan qk ( ) k. Karena J ( k) Hp merupakan fungs Lyapunov defnt postf, maka menurut eorema (2.4.5), ttk ekulbrum adalah stabl. Selanjutnya akan dbuktkan bahwa ( 1) ( ) q qk qk J J ( k 1) J ( k) Hp Hp Hp

108 92 Karena Karena Q, R kesemuanya defnt postf, maka menurut eorema (2.3.9), J qk ( ) Hp q q q ( k) konveks tegas. Sehngga u1, u2,..., u; ( k) turun, akbatnya yang artnya qk ( 1) ( ) J k J k qk ( 1) ( ) Hp Hp ( 1) ( ) ( 1) ( ) qk ( ) qk ( ) J ( k) J ( k) J J k J k q qk qk Hp Hp Hp Hp Hp merupakan barsan untuk pk ( ) dan semua k Sehngga, menurut eorema (2.4.5), ttk ekulbrum adalah stabl asmtotk.

109 BAB IV APLIKASI KENDALI ODEL PREDIKIF ERDISRIBUSI PADA KANAL IRIGASI Kanal rgas merupakan systemwde plant yang memuat beberapa reach yang salng bernteraks dan mencakup area yang luas. Untuk mengoperaskan kanal rgas sehngga palng aman dan efsen, hal yang palng krusal adalah mengatur ketnggan ar sehngga sesua dengan yang dkehendak, terutama pada konds ekstrm. Perangkat utama kanal rgas adalah pompa dan pntu ar (gate). eknk kendal PC terdstrbus akan daplkaskan pada kanal rgas yang memuat 5 reach. 4.1 odel atematka Kanal Irgas Kanal rgas yang akan dbahas terdr dar 5 reach yang dlustraskan pada Gambar (4.1.1). Dasumskan tdak ada gangguan pada kanal rgas sepert gangguan penambahan volume ar karena hujan, kebocoran pada alran ar, atau gangguan lannya. Gambar Kanal rgas 5 reach. Sstem kanal rgas d bag menjad 5 subsstem, masng-masng subsstem terdr dar reach dan kontroler lokal yang terletak d upstream gate masng-masng reach. Subsstem ke-4 dan ke-5 memlk dua kontroler lokal, 93

110 94 yatu upstream gate dan pompa pada downstream. odel dar masng-masng subsstem dbentuk berdasarkan volume ar d reservor yang dpengaruh oleh upstream n-flow (alran masuk dar hulu) dan downstream out-flow (alran keluar menuju hlr). Gambar Ilustras asng-masng Reach salkan h( k ) menyatakan tngg ar (m) pada reach saat k, s A menyatakan luas permukaan ar (m 2 n out ) untuk reach, Q dan Q secara berturutturut menyatakan n-flow (m 3 /s) dan out-flow (m 3 /s) untuk reach yang dukur pada upstream dan downstream. Ddefnskan q menyatakan debt alran ar yang melewat gate ke-, p 4 dan p 5 berturut-turut menyatakan debt alran ar yang melewat pompa d reach 4 dan 5. Berdasarkan hukum konservas massa, Q out n out out Q 1 untuk 1,2,3 dan Q4 p4, Q5 p5. salkan ketnggan ar (meter) pada reach saat k adalah h (k), maka volume ar reach saat k adalah s h( k). A (m 3 ). salkan s menyatakan waktu samplng. Perubahan volume ar pada reach pada saat k ke k +1 dnyatakan oleh persamaan s n out A h( k 1) h( k) sq ( k) Q ( k). (4.1.1) Sehngga model yang berlaku pada reach dnyatakan oleh s n out h( k 1) h( k) Q ( k) Q ( k), s A (4.1.2) s n s out h( k 1) h( k) Q ( k) Q ( k). s s A A (4.1.3)

111 odel erdesentralsas Kanal Irgas odel terdesentralsas menyatakan model pada masng-masng subsstem secara ndependent. Satu buah subsstem pada kanal rgas terdr dar gate dan reach. salkan x ( k) h( k), untuk masng-masng subsstem, model terdesentralsas dnyatakan oleh 1) Subsstem 1 x ( k 1) x ( k) q ( k) A x ( k) B q ( k), s s A1 y ( k) x ( k) C x ( k), ,, dan 1. s dengan A11 B11 C s 11 A1 2) Subsstem 2 x ( k 1) x ( k) q ( k) A x ( k) B q ( k), s s A2 y ( k) x ( k) C x ( k) ,, dan 1. s dengan A22 B22 C s 22 A2 3) Subsstem 3 x ( k 1) x ( k) q ( k) A x ( k) B q ( k, s s A3 y ( k) x ( k) C x ( k) dan 1. s dengan A33 1, B33, C s 33 A3 4) Subsstem 4 x ( k 1) x ( k) q ( k) p ( k) s s s 4 s 4 A4 A4 4( ) 4( ) s s q k q k x44( k) A44x44( k) B44, s s A4 A p 4 4( k) p4( k) y ( k) x ( k) C x ( k) A 1, B, dan C 1. s s dengan s s 44 A4 A4

112 96 5) Subsstem 5 x ( k 1) x ( k) q ( k) p ( k) s s s 5 s 5 A5 A5 5( ) 5( ) s q k q k s x55( k) 55 55( ) 55, s s A x k B p 5 5 5( k) A A p5( k) y ( k) x ( k) C x ( k) ,, dan 1. s s dengan A55 B55 s s C55 A5 A odel Interaks Kanal Irgas odel nteraks menyatakan efek yang dtmbulkan dar suatu subsstem. salkan x ( k ) menyatakan efek pada subsstem yang dtmbulkan oleh j subsstem j, dalam kasus n menyatakan efek perubahan ketnggan ar pada subsstem. Berdasarkan persamaan (4.1.3), model nteraks antar subsstem pada kanal rgas dnyatakan oleh persamaan-persamaan berkut. 1) Interaks subsstem 1 dengan subsstem 2 adalah pengurangan volume ar d reach 1 yang berpndah ke reach 2 melalu gate 2, dnyatakan oleh x ( k 1) q ( k) B q ( k), s 12 s A1 s dengan B12. s A 1 2) Interaks subsstem 2 dengan subsstem 3 adalah pengurangan volume ar d reach 2 yang berpndah ke reach 3 melalu gate 3, dnyatakan oleh x ( k 1) q ( k) B q ( k), s 23 s A2 s dengan B23. s A 2 3) Interaks subsstem 2 dengan subsstem 5 adalah pengurangan volume ar d reach 2 yang berpndah ke reach 3 melalu gate 5, dnyatakan oleh x ( k 1) q ( k) B q ( k), s 25 s A5

113 97 s dengan B25. s A 5 4) Interaks subsstem 3 dengan subsstem 4 adalah pengurangan volume ar d reach 3 yang berpndah ke reach 4 melalu gate 4, dnyatakan oleh x ( k 1) q ( k) B q ( k), s 34 s A3 s dengan B34. s A 3 Untuk nteraks antara subsstem dan j yang tdak dtulskan datas, artnya tdak terjad nteraks xj odel Composte Kanal Irgas odel composte menggabungkan model desentralsas dan model nteraks. odel composte untuk sstem kanal rgas untuk masng-masng subsstem adalah sebaga berkut. 1) odel composte untuk subsstem 1 dberkan oleh s x11( k 1) 1 x11( k) s 1 12( 1) 12( ) A s x k x k s A1 x13 ( k 1) x13( k) q1 ( k) q2( k) x ( k 1) ( ) x k Ax ( k) Bq ( k) W q ( k), x15 ( k 1) x15( k) x11( k) x12( k) y1( k) 1 1 x13( k) C1x1( k), x14( k) x15( k)

114 98 dengan x ( k) 1 s 11 s 1 12( ) A s x k s A1 1 x13( k) x ( k), A, B, W, 14( ) x k x15( k) dan C ) odel composte untuk subsstem 2 dberkan oleh x ( k1) x ( k) s x22( k 1) 1 x22( k) s A x ( k 1) x ( k) q ( k) x ( k1) x ( k) s sq3( k) q5( k) A2 s s A x25( k 1) x25( k) x ( k) 21 1 s x22( k) s A x ( k) q ( k) x ( k) 24 x25( k)

115 99 5( ) s q k s q 3( k ) A 2 p5 ( k) s s A2 q5( k) A2x2( k) B2q2( k) W23q3( k) W25, p 5( k ) x21( k) x22( k) y2( k) x23( k) C2x2( k), x24( k) x25( k) dengan x ( k) 21 s x22( k) 1 s A2 2 x23( k) 2 2 x ( k), A, B, x24( k) x25( k) s W23 s, W25, A2 s s A2 dan C

116 1 3) odel composte untuk subsstem 3 dberkan oleh x31( k 1) x31( k) x32( k 1) x32( k) s x33( k 1) 1 x33( k) s q3( k) A3 x34( k 1) x34( k) A x35( k 1) x35( k) s s 3 q ( k) 4 x31( k) x ( k) 32 s q4( k) 1 x33( k) sq3 ( k) A3 s p4( k) x 34( k) s A 3 x35( k) q4( k) Ax 3 3( k) Bq 3 3( k) W34, p 4( k ) x31( k) x32( k) y3( k) 1 1 x33( k) C3x3( k), x34( k) x ( k) dengan 35 x31( k) x ( k) 32 s 3 x33( k) s ( ) A s x k s A 3 x35( k) x ( k), A, B, W, dan C3 1 1.

117 11 4) odel composte untuk subsstem 4 dberkan oleh x41( k 1) x41( k) x42( k 1) x42( k) x43( k 1) x43( k) q4( k) s p ( k) 4 s x44( k 1) 1 x44( k) s s A 4 A 4 x45( k 1) x45( k) x41( k) x ( k) 42 q4( k) x43( k) 4( ) s p k s 1 x44( k) s s A4 A 4 x45( k) q ( k) A x k B p k 4 4 4( ) 4, 4( ) x41( k) 42( ) x k y4( k) 1 x43( k) C4x4( k), x44( k) x45( k) dengan x41( k) 42( ) x k x ( k) x ( k), A, B, ( ) 1 s s x k s s A 4 A4 x45( k) dan C 4 1.

118 12 5) odel composte untuk subsstem 5 dberkan oleh x51( k 1) x51( k) x52 ( k 1) x52( k) x53( k 1) x53( k) q5( k) x54 ( k 1) x54( k) x55( k 1) 1 x55( k) A s s s s 5 A5 x51( k) ( ) x k 52 q5( k) x53( k) 5( ) 54( ) p k x k 1 55( ) s s x k s s A5 A5 q ( k) A x k B p k 5 5 5( ) 5, 5( ) x51( k) 52( ) x k y5( k) 1 x53( k) C5x5( k), x54( k) x55( k) dengan p ( k) 5 x51( k) 52( ) x k x5( k) x53( k), A5, B5, x ( k) dan C 54 55( ) s s x k 1 s s A5 A5 5 1.

119 13 Selanjutnya, ddefnskan state dan keluaran untuk subsstem ke-, yatu x ( k 1) x1( k 1) x ( k 1) q( k), 1,2,3, u( k) q( k), 4,5, x 4( k 1) p( k) x 5( k 1) 2 x 3( k 1) sehngga, state model composte dapat dtuls kembal sebaga x( k1) Ax( k) Bu( k) W u ( k) x ( k 1) A x ( k) B u ( k) W u ( k) W u ( k) x ( k 1) A x ( k) Bu ( k) W u ( k) x ( k 1) A x ( k) B u ( k) x ( k 1) A x ( k) Bu ( k) atau dapat dtulskan sebaga x1( k 1) A1 x1( k) B11 W12 2( 1) 2 2( ) x k A x k B22 x3( k 1) A3 x3( k) u1( k) u2( k) x ( k 1) A x ( k) ( 1) ( ) x5 k A 5x5 k W W u ( k) u ( k) u ( k), B B 33 3 W B44 55 y1( k) C1 x1( k) 2( ) 2 2( ) y k C x k y3( k) C3 x3( k). y ( k) C x ( k) y5( k) C 5x5( k)

120 14 Berdasarkan uraan datas, dperoleh matrks-matrks sstem 1 1 A1, A2, A3 1, A4, A s s A 1 s s A2 s B1, B2, B3 s, B4, B5. A3 s s s s A4 A 4 s s s s A5 A5 s s A1 s W12, W23 s, W25, W34. A2 s s A s 3 s A2 4.2 Deskrps Systemwde Kanal Irgas PC terdstrbus akan daplkaskan pada kanal rgas yang dberkan oleh P.J. Overloop (26). Luas permukaan masng-masng reach dberkan oleh abel (4.2.1). abel Luas permukaan reach kanal rgas Reach A s (m 2 )

121 15 asng-masng gate memlk kapastas maksmum 2,8 m 3 /s dan masngmasng pump memlk kapastas maksmum 2 m 3 /s. Waktu samplng yang dgunakan adalah s = 24 detk dan horson predks sepanjang 5 step (2 ment). Berdasarkan parameter-parameter tersebut, matrks-matrks model composte untuk sstem n dberkan oleh B1, B2, B3, B4, B5, W12, W23, W25, W Fungs Objektf Kanal Irgas atrks pembobotan cost masng-masng subsstem adalah 1 untuk pembobotan state, dan 4 untuk pembobotan nput. Stage cost masng-masng subsstem ddefnskan oleh 1 L x, u x ( k) Qx ( k) u ( k) Ru ( k) 2 (4.2.1) dengan Q 1, R 4, 1,2,3,4,5. Fungs objektf subsstem ke- untuk horson berhngga H p = 5 ddefnskan oleh H p 1 xˆ ( k), uˆ ( k); x ( k) L xˆ ( k j k), uˆ ( k j k) j 4 1 ˆ ( ) ˆ ( ) ˆ x k j k Qx k j k u ( k j k ) Ru ˆ ( k j k ) 2 j (4.2.2)

122 16 Setap gate memlk kapastas maksmum 2,8 m 3 /s dan setap pump memlk kapastas maksmum 2 m 3 /s, sehngga u 2,8, 1,2,3 dan 2,8 u, 4,5 2 untuk setap detk. Karena waktu samplng s = 24 s, maka untuk setap gate dan setap pump selama waktu samplng k memlk kapastas maksmum 672 m 3 /s dan 48 m 3 /s, sehngga u( k j) 672, 1,2,3 dan ( ) 672 u k j, 4,5 48 untuk setap j. Parameter-parameter tersebut akan menjad kendala pada optmsas FC- PC dan juga optmsas pada model negosas Nash-Barganng PC. 4.4 Aplkas FC-PC Pada Kanal Irgas Algortma FC-PC pada Bab III akan daplkaskan pada persamaan model composte dan fungs objektf dar kanal rgas. Untuk melhat hasl aplkas n, dlakukan smulas dengan ALAB yang akan menghaslkan grafk nput dan output dar sstem kanal rgas dan juga total cost yang dhaslkan. Dar hasl smulas tersebut, dapat danalss performans dar teknk kendal n asalah Optmsas FC-PC Pada Kanal Irgas Pada aplkas n, state masng-masng subsstem yatu ketnggan ar akan dbawa ke ttk 5 meter. Karena fungs objektf yang dgunakan pada aplkas n adalah fungs objektf sebaga regulator (yatu membawa state ke ttk nol), maka ttk 5 meter danggap sebaga ttk nol. Sebaga konsekuensnya, nla state awal akan menjad negatf. Nla state awal sesungguhnya adalah 2 untuk subsstem 1, 2, dan 3, sedangkan state awal subsstem 4 dan 5 adalah. Sehngga nla awal yang akan dgunakan pada masalah optmsas FC-PC adalah x1( k) x2( k) x3( k) 2, dan x 4 ( k) x 5 ( k) 5. Berdasarkan FC-PC pada Bab III, masalah optmsas FC-PC kanal rgas untuk setap subsstem saat teras q dapat dtuls sebaga

123 17 () : FC-PC Kanal Irgas 1 q q q1 q mn u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q k u k r k juj k u k u ( k) 2 j1, j kendala : u ( k j k) 672, 1,2,3 672 u( k j k), 4,5 48 j H p 1 dengan dag Q(), Q(1), Q(2), Q (3), Q (4), dag R (), R (1), R (2), R (3), R (4), 5 5 w we E wjej jej j we l l l Elj j l1 r( k) we f x ( k) w E f x ( k), j j j j j j 5,, A 2 B W j A 3 AB j j B AW W A,, E E j f. 4 4 A AW B B j W j 5 A Hasl Smulas FC-PC Pada Kanal Irgas Smulas dlakukan menggunakan program ALAB (Lampran 7). Smulas n menggunakan nla state awal x 1 ( k) x 2 ( k) x 3 ( k) 2, dan x ( k) x ( k) 5 untuk dengan perode kendal 3 step atau 12 ment. Smulas 4 5 dlakukan dengan dua pendekatan. Pendekatan pertama menggunakan nla bobot kombnas konveks dar kelma fungs objektf adalah sama yatu w 1 5 untuk setap. Pendekatan kedua menggunakan bobot kombnas lner konveks yang proporsonal terhadap beban kendal, dalam hal n adalah volume ar yang harus dtambahkan subsstem ke reach sehngga mencapa ketnggan yang dngnkan,

124 18 yatu w1,3871, w2,2354, w3,356, w4,42, dan w5,317. Hasl smulas berupa grafk nput-output masng-masng subsstem dberkan oleh Gambar (4.4.1). (a) (b) (c) (d) (e) Gambar Hasl smulas FC-PC dengan nla w sama

125 19 Grafk pada Gambar (4.4.1) adalah grafk nput-output masng-masng subsstem untuk kasus 1, yatu nla w sama untuk semua subsstem. Grafk-grafk tersebut adalah hasl smulas pada program ALAB yang termuat pada lampran (7). Grafk dengan tpe stars menunjukkan nla nput kendal masngmasng subsstem, sedangkan grafk dengan tpe dot menunjukkan nla output, dalam hal n adalah ketnggan ar yang sudah dtransformaskan dmana ttk 5 meter danggap sebaga ttk nol. Hal n juga berlaku untuk grafk-grafk pada Gambar (4.4.2), Gambar (4.5.1), dan Gambar (4.5.2). (a) (b) (c) (d)

126 11 (e) Gambar Hasl smulas FC-PC dengan w proporsonal terhadap beban kendal (volume reach) enurut eorema (3.6.4), sstem lngkar tertutup hasl kendal PC terdstrbus memlk ttk equlbrum yang stabl asmtotok. Berdasarkan hasl smulas, yatu Gambar (4.4.1) dan (4.4.2), dapat dlhat bahwa state masngmasng subsstem untuk nla w sama (kasus 1) dan nla w proporsonal dengan volume reach (kasus 2) semuanya menuju ke state equlbrum (stabl asmtotk), yang artnya hasl aplkas n sesua dengan hasl analtk eorema (3.6.4). Selanjutnya akan dlhat waktu yang dbutuhkan oleh subsstem untuk mencapa state equlbrum untuk kasus 1 dan kasus 2. Pada Gambar (4.4.1.d), state mencapa ttk nol sektar ment ke-12, sedangkan untuk Gambar (4.4.2.d), state belum mencapa ttk nol pada ment yang sama. Sebalknya, pada Gambar (4.4.2.c), state mencapa ttk nol sektar ment ke-2, sedangkan pada Gambar (4.4.1.c), state mencapa ttk nol sektar ment ke-12. Hal n menunjukkan bahwa untuk beberapa subsstem, kasus 1 mencapa state equlbrum lebh cepat dbandng kasus 2. Sebalknya, untuk beberapa subsstem kasus 2 mencapa state equlbrum lebh cepat dbandng kasus 2. Berdasarkan hasl n, tdak dapat dtentukan performans mana yang lebh bak dantara kedua kasus n jka dlhat dar waktu yang dbutuhkan untuk mencapa state ekulbrum untuk masngmasng subsstem. Pada akhr bab n, akan dseldk nla total cost yang dhaslkan.

127 Aplkas Nash-Barganng PC Pada Kanal Irgas odel negosas Nash-Barganng PC akan daplkaskan pada kanal rgas. Hasl aplkasnya dsmulaskan dalam bentuk grafk nput-output. Nlanla awal yang dgunakan adalah sama sepert pada aplkas FC-PC. Pertama, pembobotan kombnas lner konveks pada fungs objektf subsstem adalah sama, yatu 1 untuk semua subsstem (kasus 3). Kedua, pembobotan untuk 5 setap subsstem proporsonal terhadap beban kendal (volume reach) yatu w1,3871, w2,2354, w3,356, w4,42, dan w5,317 dan w,9 (kasus 4) odel Negosas Nash-Barganng PC Pada Kanal Irgas odel negosas Nash-Barganng PC yang dberkan pada pembahasan subbab (3.5.2) akan daplkaskan pada kanal rgas. Fungs objektf subsstem yang dgunakan adalah fungs objektf (4.2.2) Hasl Smulas NB- PC Pada Kanal Irgas Smulas dlakukan menggunakan program ALAB (Lampran 8). Smulas n menggunakan nla state awal x 1 ( k) x 2 ( k) x 3 ( k) 2, dan x () k x () k 5untuk dengan perode kendal 3 step atau 12 ment. Hasl 4 5 smulas berupa grafk nput-output masng-masng subsstem dberkan oleh Gambar (4.5.1). (a) (b)

128 112 (c) (d) (e) Gambar Hasl smulas model negosas Nash-Barganng PC dengan propors w sama Grafk-grafk pada Gambar (4.5.1) adalah grafk nput-output masngmasng subsstem untuk kasus 3, yatu nla w sama untuk semua subsstem. Grafk-grafk tersebut adalah hasl smulas pada program ALAB yang termuat pada Lampran (8). Grafk dengan tpe stars menunjukkan nla nput kendal masng-masng subsstem, sedangkan grafk dengan tpe dot menunjukkan nla output, dalam hal n adalah ketnggan ar yang sudah dtransformaskan dmana ttk 5 meter danggap sebaga ttk nol. Hal n juga berlaku untuk grafk-grafk pada Gambar (4.5.2) tetap menggunakan nla w yang proporsonal dengan volume reach.

129 113 (a) (b) (c) (d) (e) Gambar Hasl smulas Nash-Barganng PC dengan w proporsonal terhadap volume reach

130 114 Berdasarkan Gambar (4.5.1) dan (4.5.2), dapat dlhat bahwa state semua subsstem adalah stabl asmsotk, yatu konvergen ke ttk equlbrum, hasl n menunjukkan hasl yang sesua dengan hasl analtk eorema (3.6.4). Sama halnya pada hasl smulas aplkas FC-PC pada kanal rgas, untuk kedua kasus datas, terdapat beberapa subsstem untuk kasus 3 yang mencapa ttk equlbrum yang lebh cepat dbandng kasus 4, sebalknya, ada pula yang lebh lambat. Sehngga performans kedua kasus n tdak dapat dbandngkan dengan cara menyeldk waktu yang dbutuhkan untuk mencapa ttk ekulbrum dar masng-masng subsstem. Pada subbab selanjutnya, dseldk nla total cost yang dhaslkan dar kasus 1 sampa kasus 4. Berdasarkan grafk nput-output yang dhaslkan dar smulas datas, dapat damat bahwa teknk kendal PC terdstrbus bekerja menghtung nla kendal optmal yang daplkaskan ke sstem sedemkan sehngga state sstem menuju ttk nol. Sebaga lustras bagamana teknk kendal n bekerja, khusus untuk subsstem ke-4 (Gambar d) dan subsstem ke-5 (Gambar e) yang masng-masng memlk dua nput, yatu alran masuk melalu gate (nput 1) dan alran keluar melalu pump (nput 2), dapat d lhat bahwa apabla state mash kurang dar nol, maka nput 1 bekerja menambahkan ar, sedangkan nput 2 sama dengan nol. Begtu pula sebalknya, apabla state melebh ttk nol, maka nput 1 sama dengan nol dan nput 2 bekerja mengeluarkan ar, walaupun pada gambar-gambar datas tdak terlhat karena nlanya sangat kecl dbandngkan skala grafk yang dgunakan. Hal nlah yang menunjukkan peran kendal pada kasus n, bagamana teknk kendal PC terdstrbus bekerja mengendalkan state ketnggan ar dar kanal rgas 5 subsstem yang salng bernteraks. 4.6 Perbandngan Performans FC-PC dan NB-PC Pada Kanal Irgas Pada subbab n, akan dbandngkan nla cost yang dhaslkan oleh FC- PC dan NB-PC untuk kasus w sama dan kasus w proporsonal. Perbandngan cost untuk masng-masng subsstem dan total cost untuk masng-masng kasus dberkan oleh abel (4.6.1) berkut.

131 115 Sub Sstem () abel Perbandngan cost FC-PC dan NB-PC kanal rgas FC-PC (w sama) FC-PC (w proporsonal terhadap volume reach) NB-PC (w sama) NB-PC (w proporsonal terhadap volume reach) 1 26, ,67 46, , , , , , , ,585 73, , ,1 177,4 918,9722 2, , 297, , ,8764 otal 3.367,4 1553, 2.16, ,1 Jka dtnjau dar cost yang dhaslkan pada abel (4.6.1), khusus untuk aplkas n, NB-PC memberkan total cost yang lebh kecl dbandngkan FC- PC. Berdasarkan tabel datas, dapat dlhat bahwa ada beberapa cost subsstem dmana FC-PC lebh kecl dbandng NB-PC, tetap ada yang sebalknya. Hal n menunjukkan bahwa kta tdak dapat membandngkan cost masng-masng subsstem, tetap hanya dapat dbandngkan total cost dar semua subsstem. Hasl smulas datas merupakan hasl smulas aplkas PC terdstrbus pada kanal rgas 5 subsstem dengan konfguras sepert pada Gambar (4.1.1). Untuk konfguras yang berbeda ataupun banyaknya subsstem yang berbeda, perbandngan cost yang dhaslkan belum tentu sama dengan hasl datas, sehngga perlu dlakukan smulas khusus untuk sstem yang dkendalkan.

132 BAB V PENUUP 5.1 Kesmpulan Systemwde control merupakan masalah kendal yang memuat beberapa subsstem yang salng bernteraks. Persamaan state space dar systemwde dapat dnyatakan sebaga model composte yang merupakan gabungan dar model terdesentralsas dan model nteraks antar subsstem. asalah kendal n memuat subsstem dan fungs objektf. Dengan memandang subsstem beserta fungs objektfnya sebaga peman, maka masalah n dapat dpandang sebaga masalah permanan dnams kooperatf, yang dapat dselesakan dengan menentukan solus Pareto, kemudan dlanjutkan dengan menentukan solus Nash-Barganng. eknk kendal PC daplkaskan pada masng-masng subsstem, kemudan dselesakan secara terdstrbus, yatu semua subsstem bekerjasama untuk menentukan kendal optmal, dalam hal n menentukan solus Pareto dan Nash-Barganng, dengan melakukan pertukaran nformas nla kendal pada setap teras yang dlakukan. Pada pembahasan n, algortma FC-PC yang akan menghaslkan solus Pareto, kemudan dlanjutkan dengan model negosas Nash- Barganng PC yang akan menghaslkan solus Nash-Barganng. Berdasarkan eorema (3.6.4), algortma PC terdstrbus akan menghaslkan state equlbrum yang stabl asmsotk. eknk kendal PC terdstrbus tersebut daplkaskan pada kanal rgas 5 subsstem dengan konfguras pada Gambar (4.1.1). Berdasarkan smulas menggunakan program ALAB, output untuk semua subsstem konvergen ke state equlbrum, hal n sesua dengan hasl analtk yang dberkan pada eorema (3.6.4). Jka dlhat dar total cost yang dhaslkan, model negosas Nash-Barganng PC menghaslkan total cost yang lebh kecl dar pada FC- PC bak menggunakan w sama ataupun w proporsonal terhadap beban kendal (volume reach). Sedangkan total cost terkecl dberkan oleh Nash-Barganng PC dengan w proporsonal terhadap volume reach. Akan tetap, hasl n adalah 116

133 117 hasl smulas numerk untuk sstem kanal rgas khusus untuk 5 subsstem dengan konfguras Gambar (4.1.1), sehngga perlu smulas lanjut untuk menyeldk hasl untuk banyak subsstem berbeda ataupun konfguras berbeda, ataupun untuk systemwde yang berbeda. 5.2 Saran Pada tess n, model systemwde yang dgunakan pada teknk kendal PC terdstrbus dasumskan tdak ada gangguan. odel gangguan dapat dtambahkan pada model n untuk membentuk teknk kendal PC terdstrbus yang memuat gangguan. eknk kendal PC terdstrbus hanya daplkaskan pada kanal rgas yang terdr dar 5 reach dan konfguras Gambar (4.1.1). Pada peneltan lebh lanjut, dapat dkembangkan aplkas pada kanal rgas untuk reach yang lebh banyak dan dengan konfguras yang berbeda. otal cost yang dhaslkan merupakan hasl smulas khusus untuk konfguras Gambar (4.1.1), sehngga masalah n mash terbuka untuk menyeldk secara teorts bagamana pengaruh pembobotan kombnas lner konveks dar fungs objektf. Selan tu, juga dapat dseldk secara teorts apakah total cost yang dhaslkan oleh solus Nash-Barganng selalu lebh kecl dar solus Pareto atau tdak. Pada tess n dgunakan kanal rgas yang memuat cabang, tetap efek dar percabangan n dabakan, sehngga dapat dtelt lebh lanjut pengaruh dar percabangan terhadap performans sstem kanal rgas. eknk kendal PC terdstrbus juga dapat daplkaskan pada systemwde lan, sepert pada sstem reaktor kma yang memuat beberapa tangk, sstem lalu-lntas yang memuat beberapa persmpangan, atau sstem-sstem lan yang memuat beberapa subsstem yang salng bernteraks.

134 118 DAFAR PUSAKA Anton, H., 1997, Aljabar Lner Elementer, Alh bahasa oleh Pantur Slaban dan I Nyoman Susla, Erlangga, Jakarta. Bazaraa,.S., Sheral, H.D., Shetty, C.., 26, Nonlnear Programmng, heory and Algorthms, 3 rd edton, John Wley and Sons, New Jersey. Boyd, S., Vandenberghe, L., 24, Convex Optmzaton, Cambrdge Unversty Press. Camacho, E.F., Bordons, C., 1999, odel Predctve Control 2 nd Sprnger-verlag, London. edton, Doan,.D.,. Kevczky, and B. De Schutter, An mproved dstrbuted verson of Han s method for dstrbuted PC of canal systems, Proceedngs of the 12th IFAC Symposum on Large Scale Systems: heory and Applcatons, Vlleneuve d Ascq, France, 6 pp., July 21. Engwerda, Jacob, 25, LQ Dynamc Optmzaton and Dfferental Games, John wley & sons, lburg Unversty, Netherlands. Elayd, S., 25, An Introducton to Dfference Equatons, 3 rd Scence and Busness eda, nc., USA. ed., Sprnger Fletcher, R., 2, Practcal ethods of Optmzaton, A Wley-Interscence Publcaton, UK. Larson, R., Falvo, D.C., 29, Elementary Lnear Algebra, 6 th ed., Houghton ffln Harcourt Publshng Company, USA. acejowsk, J.., 21, Predctve Control wth Constrants, Prentce Hall, USA. yerson, R.B., 1997, Game heory Analyss of Conflct, Harvard Unversty Press, England. Narahar, Y., 29, Game heory (Lecture Note Chapter 2), Department of Computer Scence and Automaton, Bangalore, Inda. Ogata, Katsuhko, 1995, Dscrete me Control System, Prentce-Hall, USA. Overloop, V., 26, odel Predctve Control on Open Water Systems, Ph.D hess, Delft Unversty Press, he Netherlands. rench, W. F., 23, Introducton to Real Analyss, Pearson Educaton, USA.

135 119 Valenca, F., Espnosa, J.J., Schutter, B.D., Stankova, K., Feasble-Cooperaton Dstrbuted odel Predctve Control Scheme Based on Game heory, 18 th IFAC World Congress, lano (Italy) August 28 - September 2, 211. Venkat, Aswn N., 26, Dstrbuted odel Predctve Control: heory and Applcatons, UNIVERSIY OF WISCONSIN ADISON, UK. Wang, L., 29, odel Predctve Control System Desgn and Implementaton Usng ALAB, Sprnger, Australa. Nocedal, J., Wrght, S.J., 1999, Numercal Optmzaton, Sprnger-Verlag, New York, nc.

136 LAPIRAN

137 121 Lampran 1 : Program ALAB Contoh (2.5.1) A=.5; B=[ ]; C=1; Q=1; R=1; Hp=5; Hc=12; r=1; xpast=; upast=[;]; QQ=blkdag(Q,Q,Q,Q,Q); RR=blkdag(R,R,R,R,R,R,R,R,R,R); z12=zeros(1,2); k=[r;r;r;r;r]; Ps=blkdag(C,C,C,C,C)*[A;A^2;A^3;A^4;A^5]; Upslon=blkdag(C,C,C,C,C)*[B;B+A*B;B+A*B+A^2*B;B+A*B+A^2*B+A^3*B; B+A*B+A^2*B+A^3*B+A^4*B]; heta=blkdag(c,c,c,c,c)*[b,z12,z12,z12,z12;b+a*b,b,z12,z12,z12; B+A*B+A^2*B,B+A*B,B,z12,z12; B+A*B+A^2*B+A^3*B,B+A*B+A^2*B,B+A*B,B,z12; B+A*B+A^2*B+A^3*B+A^4*B,B+A*B+A^2*B+A^3*B, B+A*B+A^2*B,B+A*B,B]; for p=1:hc Ek = k - Ps*xpast - Upslon*upast; G = 2.*heta'*QQ*Ek; H = heta'*qq*heta + RR; DeltaUkopt = (1/2).*nv(H)*G; Deltau1kopt=DeltaUkopt(1); Deltau2kopt=DeltaUkopt(2); end u1(p)=upast(1)+ Deltau1kopt; u2(p)=upast(2)+ Deltau2kopt; xk(p)=a*xpast + B*upast; yk(p)=xk(p); xpast=xk(p); upast=[u1(p);u2(p)]; k=1:hc; fgure subplot(3,1,1) stars(k,u1) xlabel('waktu Instant') ylabel('input 1') subplot(3,1,2) stars(k,u2) xlabel('waktu Instant') ylabel('input 2') subplot(3,1,3) plot(k,yk,'ob') hold on plot(k,r,'.g') xlabel('waktu Instant') ylabel('output')

138 122 Lampran 2. Program ALAB Contoh (2.6.1) A=1; x=4; p=1; for a=.1:.1:.9 u=[1;1;1;1]; a).*(x^2+u(2)^2+(a*x+u(1)+u(2))+u(4)^2)); [uopt,jopt] = fmnsearch(j,u); J1opt(p)=J1(uopt); J2opt(p)=J2(uopt); p=p+1; end fgure plot(j1opt,j2opt) xlabel('nla Fungs Objektf J1') ylabel('nla Fungs Objektf J2')

139 123 Lampran 3. Program ALAB Contoh (2.6.2) A=1; x=4; u=[2,2,2,2,2]; opton=optmset('algorthm','actve-set'); d1=j1(ds1) d2=j2(ds2) functon [c,ceq]=mynonlncon(u) A=1; x=4; c=u(5)-(x^2+u(1)^2+(a*x+u(1)+u(2))+u(3)^2); ceq=[]; end functon [c,ceq]=mynonlncon2(u) A=1; x=4; c=u(5)-(x^2+u(2)^2+(a*x+u(1)+u(2))+u(4)^2); ceq=[]; end A=1; x=4; u=[1,1,1,1]; d=[32;32]; (x^2+u(1)^2+(a*x+u(1)+u(2))+u(3)^2))+(1/4).*log(d(2)- (x^2+u(2)^2+(a*x+u(1)+u(2))+u(4)^2)))); opton=optmset('algorthm','actve-set'); J1nash=J1(solNash) J2nash=J2(solNash)

140 124 Lampran 4. Flow chart algortma actve-set ULAI Dberkan dan actve-set, r = r r ( r 1) ( r) ( r) ( r) r r 1 Selesakan H a r H a r1 dak Ya 1 r r r1 {} a r untuk mn q, 1 {} r r q r dak a r r mn1,, ar a r dak q Ya Ya * opt r r SELESAI

141 125 Lampran 5. Flow chart algortma FC-PC ULAI u, x( k),, q max,, ( k),, q 1,, 1 u arg( ) q* 1 1 u arg( ) q* 2 2 u arg( ) q* u wu (1 w) u q q* q u wu (1 w ) u q q* q u w u (1 w ) u q q * q 1 u u q q q q1 u u u u q q q q 1 untuk beberapa dan q qmax( k) Ya dak opt q u : u, SELESAI

142 126 Lampran 6. Flow chart model negosas Nash-Barganng ULAI u, x ( k),,,, q 1, q ( k), max u ( k) argmnmax uk ( ) d 1 1 u1 ( k) u 1 ( k) d k u k d 1( ) 1 ( ) d u ( k) arg mn max uk ( ) u ( k) u ( k) d d ( k) u ( k) d( k) d ( x), d ( k),..., d ( k) ( u ( k), u ) r d ( k) r ( u ( k), u ) r d ( k) r

143 u arg( ) q* 1 1 u k wu k w u k q d q1 ( ) ( ) (1 ) ( ) u arg( ) q* u k wu k w u k q d q1 ( ) ( ) (1 ) ( ) u wu (1 w) u q q* q u w u (1 w ) u q q * q 1 u u q q u u q q1 q q 1 untuk beberapa dan q qmax ( k) Ya dak opt q u : u, SELESAI

144 Lampran 7. Program ALAB FC-PC kanal rgas 128

145 129

146 13

147 131

148 132

149 133

150 134

151 135