PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( θ 12 ) TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET

Transkripsi

1 PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET Skipsi Diaukan Untuk Meenui Saa Satu Syaat Mepeoe Gea Saana Sains Poga Studi Fisika Oe: THOMAS JOKO KRISMANTO NIM: 346 PROGRAM STUDI FISIKA JURUSAN FISIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 8 i

2 INTER PLANET ANGLE ( EFFECT ON THE TRAJECTORY FORM OF TWO PLANETS SYSTEM Sciption Pesented as Patia Fufient of te equieents to obtain te Saana Sains Degee In Pysics By: THOMAS JOKO KRISMANTO NIM: 346 PHYSICS STUDY PROGRAM PHYSICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 8 ii

3

4

5 Keidupan ini adaa beaa dai waktu ke waktu sapai kita tak dapat easakan panas dinginnya dunia. Seua begitu uda bagi keauan dan tekat yang kuat. Ku pesebakan skipsi ini buat bapak dan ibu dan ketiga kakakku Isbandini,Heiyanto dan Si Astuti v

6

7 PENGARUH SUDUT ANTAR PLANET ( TERHADAP BENTUK LINTASAN SISTEM DUA PLANET ABSTRAK Tea diakukan studi teadap pengau sudut ( untuk siste dua panet yang engobit pusat yang saa secaa nueik engunakan paket poga Mape. Hasi yang dipeoe enunukkan bawa besa sudut anta panet ( enentukan bentuk intasan panet. vii

8 INTER PLANET ANGLE ( EFFECT TO THE TRAJECTORY FORM OF TWO PLANETS SYSTEM ABSTRACT Inte panet ange ( effect to te taectoy fo of two panets syste wic obiting te sae cente ave been pefoed nueicay using Mape poga packet. Te obtained esuts sow tat te inte panet ange ( vaue deteine te panet taectoy fo. viii

9 KATA PENGANTAR Syuku kepada Tuan Yesus yang seau ebibing penuis daa setiap detik keidupan penuis seaa penuisan skipsi ini. Suatu keoatan yang besa bagi saya dapat epeoe kesepatan eaai agungnya aa seesta kaya tangan Tuan yang sepuna seaa epeaai iu fisika. Banyak piak yang tea ebantu saya daa enyeesaikan kaya iia ini yang ebuat saya seau bedii dan au teus. Oe kaena itu dengan enda ati saya engucapkan banyak teiakasi kepada:. Bapak Ds. Ds. Vet Asan Daanik, M.Si sebagai dosen pebibing yang dengan sangat saba dan sepenu ati seta euangkan waktu di saat ibu untuk ebibing saya daa enyeesaikan skipsi ini. Saya tekesan dengan awaban uda setiap saya enanyakan asi pekeaan saya dan suatu a yang tidak saya paai, itu ebuat tak ada yang suit bagi saya yang ada anyaa au dan au teus.. Bapak, Ibu, Kakak dan seuu keuaga besa yang tea ebei dukungan dan seangat penu, dukungan keuaga tak teniai bagi saya. 3. Dekan Fakutas Sains dan Teknoogi I.G.Heiako,S.J S.S.,BST.,M.Sc.,M.A. beseta staf. 4. Dosen poga studi fisika Ibu I. Si Agustini Suandai, M.Si, Bapak ix

10 D. Ign Edi Santoso, M,Si, Bapak Pof. Liek Wiado, Bapak Ds.BA. Tipto Suitno, M.T, APU, Bapak Ds. Abetus Setyoko, M.Si (aau, Bapak Pasetyadi, S.Si, dan Ibu Dwi Nugaeni Rositawati, S.Si. 5. Laboan poga studi fisika Bapak Sugito, Mas Agus, Mas Sis yang banyak ebantu saya daa penggunaan aboatoiu seaa studi. 6. Pegawai Seketaiat Fakutas Sains dan Teknoogi. 7. Pegawai Pepustakaan unit kapus III Paingan. 8. Seua tean di Poga Studi Fisika angkatan yang saa-saa beuang seta tean beda angkatan yang saa-saa beuang daa enyeesaikan skipsi yang tidak bisa saya sebutkan satu pesatu. Teiakasi atas segaa dukungan dan sangatnya. 9. Tean-tean MUDIKA yang seau ebei seangat dan engibu.. Kepada vitus copusoft yang tea einai saya satu unit kopute dan p seaa penuisan skipsi seta ebei dukungan baik atei aupun sangat yang tak pena pada. MAJU dan SUKSES untuk vitus copusoft dan enadi besa untuk enoong sesaa..teia kasi kepada keuaga bapak ibu Wayudi yang tak enti-enti enanyakan skipsi seaa satu taun ini, itu sangat ebei dukungan dan seangat bagi saya.. Buat teen-teen yang ada disekeiingku yang tak bisa saya sebutkan satu pesatu, teiakasi atas doa dan dukungannya.god Bess. x

11 Saya enyadai bawa skipsi ini asi au dai sepuna, oe kaena itu kitik dan saan yang ebangun diteia dengan senang ati. Yoyakata, Januai 8 Penuis T. Joko Kisanto xi

12 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya enyatakan sesunggunya bawa skipsi yang tea saya tuis ini tidak euat kaya oang ain kecuai yang tea disebutkan daa Dafta Pustaka, sebagaiana ayaknya kaya iia. Yogyakata, Januai 8 Penuis T. Joko Kisanto xii

13 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING.... iii HALAMAN PENGESAHAN.... iv HALAMAN MOTTO PERSEMBAHAN... v HALAMAN LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS... vi ABSTRAK.. vii ABSTRACT viii KATA PENGANTAR... ix HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... xii DAFTAR ISI... xiii DAFTAR GAMBAR... xv BAB I. PENDAHULUAN... Lata Beakang Peuusan Masaa...3. Batasan Masaa Tuuan Peneitian Manfaat Peneitian Sisteatika Penuisan Lapoan Peneitian BAB II. DASAR TEORI Huku Kepe Geak Benda dengan Gaya Senta Huku Kekekaan Enegi dan Pesaaan Geak Panet Siste Geak Dua Panet Poinoia Legende. BAB III. METODE PENELITIAN xiii

14 3.. Jenis Peneitian Saana Peneitian Langka-Langka Peneitian.. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Siste Dua Panet Bentuk Lintasan Panet Pebaasan.. 4 BAB V. PENUTUP Kesipuan Saan DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN Lapian A. 46 Lapian B Lapian C. 56 xiv

15 DAFTAR GAMBAR Gaba. Bentuk intasan (obit panet 5 Gaba. Luas yang disapu panet daa waktu t 6 Gaba.3 Inteaksi siste dua panet 9 Gaba 4. Dua panet beinteaksi 3 Gaba 4. Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 35 Gaba 4.3 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 35 3 Gaba 4.4 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 36 6 Gaba 4.5 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 36 9 Gaba 4.6 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 37 Gaba 4.7 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 5 37 Gaba 4.8 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 8 38 Gaba 4.9 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 38 xv

16 Gaba 4. Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 39 4 Gaba 4. Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 39 7 Gaba 4. Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 4 3 Gaba 4.3 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 4 33 Gaba 4.4 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 4 36 xvi

17 BAB I PENDAHULUAN.. Lata Beakang Daa pebaasan tentang astonoi kususnya uku geak panet sangat aang ebaas pengau inteaksi anta panet teadap bentuk intasan panet yang beinteaksi. Pebaasan engenai geak panet anya tebatas pada uku Kepe dan uku Newton secaa uu, yaitu bawa pegeakan panet yang satu sangat bepengau teadap panet yang ain dan bentuk intasannya adaa bebentuk eips (Seas dkk, 987. Huku-uku yang dapat eneaskan posisi dan obit panet diuuskan antaa taun 6 dan 69 oe astono dan ai ateatika Jean Joanes Kepe( Kepe sebagai asisten Tyco Bae (546-6 eanfaatkan data pengaatan yang dikupukan oe Tyco Bae dan engoanya secaa ateatis seingga engasikan peuusan ateatis geak panet. Huku Kepe enyatakan bawa seua panet engobit ataai dan geak seu panet yang teiat dai bui dapat digunakan untuk enentukan secaa tepat posisi dai panet. Huku Kepe enyatakan bawa kedudukan panet teadap ataai seau beuba secaa peiodik dengan bentuk intasan eips (Suwita,. Peubaan kedudukan (posisi panet teadap ataai enunukkan bawa teadi inteaksi anta panet seingga setiap panet epunyai posisi teau dan tedekat dai ataai. Posisi teau dai ataai disebut apeiu, sedangkan posisi tedekat panet dai ataai disebut peieiu.

18 Kaena aasan itua penuis tetaik untuk engkai ebi au tentang inteaksi dua panet teadap geak panet kususnya pengau bentuk intasan panet eatif teadap ataai sebagai fungsi sudut anta panet. Dengan enggunakan pesaaan enegi dan sudut yang tebentuk antaa dua panet yang engobit ataai akan ditentukan bentuk intasan siste dua panet... Peuusan Masaa Bedasakan ata beakang tesebut bawa pengau inteaksi anta panet yang engobit ataai aang dibaas kususnya tekait dengan pengau sudut anta panet teadap bentuk intasan panet, aka yang enadi peasaaan daa peneitian ini adaa bagaiana pengau sudut anta panet teadap bentuk intasan (obit siste dua panet yang engobit titik pusat (ataai..3. Batasan Masaa Masaa yang diteiti dibatasi pada. Inteaksi dua panet yang begeak engobit suatu titik pusat yang saa.. Enegi tota siste dua panet anya epeitungkan enegi kinetik dan enegi potensia gavitasi. 3. Siste dua panet yang beinteaksi. 4. Bentuk intasan geak panet sebagai fungsi sudut anta panet.

19 3.4. Tuuan Peneitian Tuuan peneitian ini adaa untuk. Meuuskan pesaaan geak siste dua panet yang engobit titik pusat assa yang saa.. Menyeesaikan pesaaan geak siste dua panet seingga dipeoe bentuk intasan panet sebagai fungsi sudut yang dibentuk dua panet dengan enggunakan paket poga Mape..5. Manfaat Peneitian Peneitian ini beanfaat untuk: Pengebangan iu pengetauan kususnya pengetauan tentang geak dua panet yang engobit titik pusat yang saa..6. Sisteatika Penuisan Lapoan Peneitian Sisteatika apoan peneitian ini adaa sebagai beikut: BAB I. PENDAHULUAN Daa Bab ini dieaskan uaian engenai ata beakang asaa, batasan asaa, tuuan peneitian, anfaat peneitian, sisteatika penuisan apoan peneitian. BAB II. DASAR TEORI Daa Bab II diabakan dasa teoi yang tekait dengan uku geak panet, yaitu uku Kepe, uku Newton, geak benda dengan gaya senta,

20 4 uku kekekaan enegi dan pesaaan geak panet, siste dua panet dan poinoia Legende. BAB III. METODE PENELITIAN Pada Bab III eneaskan tentang etode peneitian yang ditepu daa peneitian ini. BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Daa Bab IV dibaas tentang siste dua panet yang beinteaksi, bentuk intasan panet dan pebaasan. BAB V. PENUTUP Bab V enyaikan kesipuan dan saan.

21 BAB II DASAR TEORI.. HUKUM KEPLER Keteatuan geak panet dapat dieaskan oe ekanika benda angit yang keudian dikebangkan untuk eneaskan geak dan intasan panet seingga dapat diketaui bentuk obit panet. Kepe ebandingkan data yang dikupukan Tyco Bae (546-6 dengan asi pengaatannya dan keudian engoanya secaa ateatis seingga engasikan tiga bua uku geak panet yang keudian dikena sebagai uku Kepe (Seas dkk, 987. Huku Kepe tesebut adaa:. Panet begeak daa bidang data dengan obitnya bebentuk eips dan ataai sebagai saa satu titik fokusnya (Gaba.. Ini beati kedudukan panet teadap ataai seau beuba. Titik teau dai ataai disebut apeiu dan titik tedekat dai ataai disebut peieiu. D b B C a M A E Gaba. Bentuk intasan (obit panet 5

22 6. Vekto yang engubungkan ataai dengan panet enyapu uas yang saa untuk waktu yang saa (Gaba.. Dai Gaba., ika intasan AB ditepu dengan waktu yang saa dengan intasan CD, aka uas A M B saa dengan C M D. t t A A M v Gaba. Luas yang disapu panet daa waktu t. Jika ai-ai intasan panet adaa dan sudut yang dibentuk seaa waktu t adaa, aka A s. (. Jika t, aka, seingga pesaaan (. dapat dituis enadi A i, atau da d. (.

23 7 3. Rasio kuadat peiode evousi panet (T teadap kubik dai subu eips ( adaa saa untuk seuu panet : T C. (.3 3 Niai tetapan C dapat diabakan dai uku II Newton kususnya tentang geak eingka atau suatu benda begeak daa edan atau gaya senta. Jika suatu benda beassa peiode (T adaa begeak eingka dengan ai-ai, aka T π, (.4 v dengan v adaa kecepatan, dan gaya sentipeta yang bekea saa dengan gaya sentifuga F v. (.5 M Jika F G diasukkan ke pesaaan (.5, aka dipeoe GM, (.6 v dengan G adaa tetapan gaya gavitasi univesa. Dai pesaaan (.4 dan (.6 akinya dipeoe T 3 4π, (.7 GM N dengan G 6,673.. kg Jadi niai konstanta (tetapan C pada pesaaan (.3 adaa

24 8.. Geak Benda dengan Gaya Senta 4π C. (.8 GM Penggunaan uku III Newton bebunyi (Godstein, 95: untuk siste aksi akan seau ada eaksi yang eawan yang besanya saa dengan aksi. Jua uku III Newton diteapkan daa edan gaya senta antaa dua bua benda dan, aka aksi yang diakukan benda petaa teadap benda kedua enibukan eaksi pada benda kedua ( F aa dengan ( F. Jadi dapat dituiskan F aksi F eaksi. ( F akan yang besanya saa dan beawanan Jika aksi tesebut beupa gaya, aka eaksi uga bebentuk gaya. Gaya taik enaik anta dua bua benda beassa dan bebanding uus dengan assa dan seta bebanding tebaik dengan kuadat aak ( anta dan. Jika benda beassa engaai gaya yang aanya seau ke suatu titik yang tetap, aka benda tesebut angaai gaya senta. Gaya yang aanya seau enunu suatu titik yang tetap disebut gaya senta. Conto gaya senta adaa gaya yang diaai oe suatu benda yang engobit benda ain sepeti panet yang engobit ataai sebagai pusat obit panet. Sesuai dengan uku II Newton, gaya F yang diaai suatu benda beassa dengan pecepatan a adaa Vekto posisi dan vekto sudut panet dituis F a (.9 ˆ, (.

25 9 ˆ. (. Peubaan ˆ dan ˆ teadap waktu di tuis sebagai beikut dˆ d ˆ, dt dt (. d ˆ d ˆ, dt dt (.3 Kecepatan adia panet v d dt d dˆ ˆ. (.4 dt dt Dai pesaaan (. dan (.4 dipeoe d dt d d ˆ ˆ. (.5 dt dt Jika pesaaan (.5 dituunkan teadap waktu (t, aka dipeoe pecepatan panet a d dt d dt d dt d d d d d ˆ ˆ. (.6 dt dt dt dt dt Pesaaan geak panet untuk beuba daa gaya senta dapat dituis sebagai f ( ˆ a. (.7 Jika pesaaan (.6 diasukkan ke daa pesaaan (.7, aka dipeoe d d d d d d d f ( ˆ ˆ ˆ. (.8 dt dt dt dt dt dt dt Dai pesaaan (.8 teikat bawa d d f (. dt dt, (.9

26 dan d d d d d. (. dt dt dt dt dt Jadi kaau sebua benda begeak daa edan gaya senta, sesuai dengan uku II Newton, benda tesebut anya epunyai pecepatan adia ( a sedangkan pecepatan sudut ( a saa dengan no. Benda yang begeak eingka epunyai oentu sudut ( yang dibeikan oe p, (. dengan p v adaa oentu inie. Jika pesaaan (.4 diasukkan ke pesaaan (., aka dipeoe d d. ˆ ˆ dt dt d d ˆ ˆ ˆ ˆ dt dt d kˆ, (. dt sebab ˆ ˆ dan ˆ ˆ kˆ. Jika niai utak pada pesaaan (. diasukkan ke daa pesaaan (.9, aka dipeoe d f (. 3. (.3 dt Kecepatan panet sebagai fungsi dai kecepatan sudut dibeikan oe

27 d dt d d, (.4 d dt easukkan pesaaan (. ke pesaaan (.4 engasikan Dengan eisakan aka seingga d dt d dt d. (.5 d u, (.6.a d du, (.6.b u du u u d du. (.7 d Jika pesaaan (.7 dituunkan teadap waktu ( t, aka dipeoe d dt d dt d dt d dt du d d d d d d dt du d d u. (.8 d Jika pesaaan (.8 diasukkan ke pesaaan (.3, aka dipeoe

28 f ( d u d 3. (.9 Dengan engganti, aka dipeoe bentuk pesaaan difeensia ode dua u pada pesaaan (.9 enadi d u d u u f ( u. (.3 Sebua benda beassa enegi potensia yang beada daa edan gavitasi epunyai V k, (.3 dengan k GM. Tuunan enegi potensia teadap posisi engasikan gaya atau secaa ateatis atau f ( f dv d k, (.3 ( ku u, (.33 easukkan pesaaan (.33 ke pesaaan (.3 engasikan d u d u k. (.34 Pesaaan difeensia ode dua pada pesaaan (.34 epunyai penyeesaian bebentuk

29 3 k u Acos(, (.35 dengan A tetapan. Kaena u dan, aka pesaaan (.35 dapat dituis enadi k. (.36 A.cos k Jika didefinisikan eksentisitas A e, (.37 k dan, (.38 k aka. (.39 e cos.3. Huku Kekekaan Enegi dan Pesaaan Geak Panet Pesaaan geak dan intasan (obit panet dapat diabakan dai uku kekekaan enegi untuk edan (gaya senta enyatakan bawa ua enegi kinetik (T dan enegi potensia (V adaa konstan, secaa ateatis dituiskan E T V. (.4 Enegi kinetik (T suatu benda (panet beassa ( yang engobit benda ain seau sesuai dengan pesaaan (.5 adaa

30 4 &, (.4 T dengan adaa oentu sudut. Measukkan pesaaan (.4 ke pesaaan (.4 engasikan Jadi kecepatan panet ke aa adaa E & V. (.4 & E V. (.43 Dai kecepatan dipeoe waktu (t tepu panet sebagai fungsi dai posisi ( dt d (.44.a E GM dt d (.44.b E GM t ak in E. d GM. (.44.c Dengan enggunakan pesaaan Lapian B (B. dan (B. penyeesaian untuk pesaaan (.44.c dengan eisakan E a, b GM, dan c. Hasi intega pesaaan (.44.c adaa

31 5 E t GM E E GM 3 4E og GM 4E EGM E 4 3. (.45 ak in Peubaan sudut geak panet sebagai fungsi oentu sudut dapat dipeoe dai pesaaan (., yaitu dt d. (.46 Dengan engganti d dt, pesaaan (.46 enadi & d d. (.47 & Jika pesaaan (.43 diasukkan ke pesaaan (.47 keudian di integakan aka dipeoe d. (.48 E V Dengan easukkan pesaaan (.3, (.6.a dan (.6.b ke pesaaan (.48, enadi du. (.49 E ku u k E Dengan eisakan y, f, g, dan k GM, seta enggunakan Lapian B (B.3, bentuk penyeesaian pesaaan (.49 adaa

32 6 u sin( γ k, (.5 E k dengan γ adaa tetapan intega (konstanta. Jika digunakan uus pada Lapian B (B.4, aka pesaaan (.5 enadi u cos k. (.5 E k Dengan engganti kebai u, pesaaan (.5 enadi k E.cos k, (.5 atau. k. (.53 E.cos k Mengingat pesaaan (.39, eksentisitas untuk pesaaan (.53 adaa E e. (.54 k Jika intasan (obit panet bebentuk ingkaan, aka e, seingga E k, (.55 atau

33 7 k E. (.56 Dengan easukkan pesaaan (.3 ke pesaaan (.56 dipeoe E V. (.57 Jadi enegi tota ( E setenga dai niai enegi potensia (V untuk panet yang engobit dengan intasan bebentuk ingkaan. Dai niai eksentisitas pesaaan (.37 dan (.54 dipeoe k E A, (.58 4 seingga niai eksentisitas sepeti pada pesaaan (.54 E e. k Untuk intasan yang bebentuk eips niai eksentisitas adaa < e < (Godstein, 95. Sebagai conto ditinau intasan patike beassa yang begeak eingka daa edan senta dengan gaya sentipeta saa dengan gaya gavitasi (Aonso, 994. Enegi kinetik patike tesebut adaa v T. (.59 Dengan easukkan pesaaan (.6 ke pesaaan (.59 dipeoe T GM. (.6 Jika pesaaan (.3 dan pesaaan (.6 diasukkan kedaa pesaaan (.4, aka enegi tota ( E siste intasan panet

34 8 GM E. (.6 Jika enegi tota beaga negatif pada pesaaan (.6 enyatakan siste daa intasan tetutup, atinya panet dengan pusat siste teikat satu saa ain (Seno dan Siono, 7, aka pesaaan (.54 enadi E e. (.6 k.4 Siste Geak Dua Panet Dua panet akan saing epengaui. Panet yang satu epengaui panet yang ain atau sebaiknya. Sesuai dengan uku III Newton keadaan gaya itu adaa saa besa dan beawanan aa. Untuk siste dua panet dengan assa dan yang asing-asing panet teetak di dan, dengan ataai sebagai pusat dengan assa M. Gaya dai asing-asing assa teadap pusat yaitu assa dan teadap ataai dengan assa M dituis Untuk gaya inteaksi F d F dt d F dt, (.63, (.64 yang eenui uku gavitasi Newton yaitu bebanding uus dengan assa panet dan bebanding tebaik dengan kuadat aaknya, untuk asing-asing panet yang beinteaksi dengan pusat assa M epunyai gaya sebagai beikut: G M F ˆ, (.65

35 9 G M F ˆ, (.66 Jadi oentu sudut geak eatif assa tetap (besa dan aanya (Zaaa, 997. engeiingi M (pusat gaya beniai Jika daa suatu siste tedapat dua panet aka diantaa kedua panet itu tibu keadaan saing epengaui. Pengau epengaui ini uga begantung pada aak asing-asing panet daa siste itu. Pengau ini bebentuk gaya yaitu gaya intena untuk ebedakan gaya dai ua. Ditinau dua panet dan yang engeiingi pusat assa M yang saa, kedudukan asing-asing adaa dan, kedudukan eatif teadap adaa, aka kita dapatkan bentuk koodinat gaba sebagai beikut: Gaba.3 Inteaksi siste dua panet dengan,, dan, (.67. cos

36 dai gaba..3 dengan uku II Newton dipeoe d F F dt d, (.68 F F dt, (.69 dengan F dan F adaa gaya ektena siste, tanda negatif eupakan aa antaa F dengan beawanan aa aka F F, (Haiday dan Resnick, Poinoia Legende Poinoia Legende didefinisikan sebagai P ( x ( ( 3 x! ( x ( ( ( ( 3 x 4( ( 3 4. (.7 Poinoia Legende sebagai fungsi geneato didefinisikan sebagai: x P ( x, <. (.7 Fungsi diatas disebut fungsi geneato untuk poinoia Legende dan beguna untuk endapatkan sifat-sifat dai poinoia Legende. Peatikan bawa P (x adaa poinoia dengan deaat (Boas, 966. Bebeapa poinoia Legende petaa dituis sebagai beikut: 3 P ( x, P3 ( x (5x 3x, 4 P ( x x, P 4 ( x (35x 3x 3, 8

37 5 3 P ( x (3x, P 5 ( x (63x 7x 5x. 8 (.7 Untuk kasus diatas P (, ( (. P

38 BAB III METODE PENELITIAN 3. Jenis Peneitian Peneitaan yang diakukan daa penuisan sekipsi ini adaa peneitian studi pustaka dan peitungan secaa nueik dengan paket poga Mape. 3. Saana Peneitian Saana peneitian ini diabi dai buku yang ada di UPT Sanata Daa dan intenet yang beubungan dengan uku-uku geak panet didasai pada uku Kepe, uku Newton dan paket poga Mape. 3.3 Langka-Langka Peneitian Langka-angka yang ditepu daa peneitian ini adaa sebagai beikut:. Mengeaboasi uku Kepe dan uku Newton yang tekait dengan geak panet.. Meuuskan bentuk intasan siste dua panet sebagai fungsi sudut anta panet. 3. Menggunakan paket poga Mape untuk engitung (aak panet ke M. 4. Hasi yang dipeoe ditapikan daa betuk Tabe dan Gafik. 5. Menaik kesipuan.

39 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4. Siste Dua Panet Pesaaan enegi dua assa panet dan beinteaksi: Gaba 4. Dua panet beinteaksi Dengan enegi kinetik dan enegi potensia asing-asing panet dituis T &, (4. V k, (4. T &, (4.3 V k, (4.4 V k. (4.5 Enegi tota siste dua panet beinteaksi dituis E T. (4.6 V T V V 3

40 4 Dengan easukkan pesaaan (4.,(4.,(4.3,(4.4 dan (4.5 ke pesaaan (4.6, aka pesaaan enegi tota siste dua panet beinteaksi enadi G M G G M E & &. (4.7 Jika aak eatif antaa dengan dai pesaaan (.67 diasukkan ke pesaaan (4.7, aka dipeoe M G G M E & &.cos G. (4.8 Dengan engeuakan pada enegi potensia eatif antaa dengan aka dipeoe M G G M E & &.cos G. (4.9 Jika diisakan, aka pesaaan (4.9 enadi M G G M E & & [ ].cos G. (4. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

41 5 Dipeoe enegi potensia eatif dai inteaksi assa dan daa bentuk poinoia Legende E & & GM GM G n P ( cos. (4. Dai eisakan asio aak antaa assa dan teadap pusat assa M dipeoe, (4. seingga & &, (4.3 Jika pesaaan (4. dan pesaaan (4.3 diasukkan ke pesaaan (4., aka dipeoe bentuk kekekaan enegi E & & GM GM G n P ( cos. (4.4 Dai pesaaan (4.4 dipeoe pesaaan enegi untuk assa dan kita dapat encai kecepatan dai panet untuk assa

42 6 GM GM E & (cos P G n. (4.5 Dipeoe kecepatan panet dengan assa dai pesaaan enegi yaitu inteaksi antaa dua panet dengan pesaaan sebagai beikut: GM GM E & (cos P G n. (4.6 Dengan eisakan, E p (cos n P G GM GM q, s, dan z, aka bentuk sedeana pesaaan (4.6 enadi s q p z dt d. (4.7 Dai pesaaan (4.7 bentuk intega dai waktu enadi t( ak s q p d z t in.. (4.8 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

43 7 Dengan enggunakan Lapian B (B. dan (B., bentuk penyeesaian pesaaan (4.8 adaa [ ] ak s q p p q p p p q p s q p z t in. og..(4.9 Pesaaan kecepatan sudut dai oentu untuk panet dengan assa dituis dt d. (4. Dengan engganti d dt &, pesaaan (4. enadi d d &. (4. Pesaaan (4.6 diasukkan ke pesaaan (4. dipeoe. GM GM E d d (cos P G n. (4. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

44 8 Dengan eisakan u, (4.3.a aka d du, (4.3.b. (4.3.c du d Jika pesaaan (4.3.c diasukkan ke pesaaan (4., aka dipeoe. GM GM E du d (cos P G n. (4.4 Jika pesaaan (4.3.a diasukkan ke daa pesaaan (4.4 keudian di- integakan, aka dipeoe PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

45 9. M M G u E du (cos u P n. (4.5 Dengan eisakan A, n P M M G B (cos, dan E C. Maka bentuk sedeana pesaaan (4.5 enadi C Bu Au du. (4.6 Jika digunakan Lapian B (B.3, aka penyeesaian untuk pesaaan (4.6 adaa γ AC B B Ax A 4 sin, (4.7 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

46 sin M M G u γ 4. (cos (cos E P P M M G n n, ( sin M M G u γ. (cos (cos E P P M M G n n, ( (cos...sin n P M M G M M G u γ. (cos E P n, (4.3 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

47 sin M M G M M G u γ. (cos (cos E P P n n, ( sin M M G M G u γ. (cos (cos E P P M n n. (4.3 dengan γ adaa tetapan intega (konstanta. Dengan eisakan α, (4.33 β, (4.34 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

48 3 aka pesaaan (4.3 enadi (cos. 4. (cos. sin( n n P M M G E u P M M G β β β α γ. (4.35 Jika digunakan uus pada Lapian B (B.4, aka pesaaan (4.35 enadi (cos 4 (cos. cos n n P M M G E u P M M G β β β α. (4.36 Jika u, aka pesaaan (4.36 enadi cos (cos 4 (cos β α β α β β n n P M M G E P M M G. (4.37 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

49 33 Dengan eisakan α β N,. G K β, 4 G E L β α β, M M W, dan, dipeoe X cos (cos (cos n n P X W L N P X W K, (4.38 cos (cos (cos n n P W X W L N P W X W K. (4.39 Dengan eisakan W K R, W L Y, dan W X H seingga cos (cos (cos n n P H Y N P H R, (4.4 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

50 34 dengan eksentisitas e Y [ H [ P (cos N n ]]. (4.4 Mengacu pada pesaaan (.6 untuk bentuk intasan panet bebentuk eips pada obit tetutup diana enegi tota siste ( E <. Maka eksentisitas dipeoe e Y [ H [ P (cos N n ]]. (4.4 Jadi dengan engganti niai eksentisitas sesuai dengan pesaaan (4.4, aka pesaaan (4.4 enadi R n H P (cos. (4.43 Y N cos n H P (cos 4. Bentuk Lintasan Panet Dai pesaaan (4.43 dan asio aak engacu pada pesaaan (4., aka ika diitung dan dengan ebei niai pada konstanta untuk bebagai sudut dipeoe asi pada Lapian A (Tabe A. Jika Tabe A digaba gafiknya aka dipeoe asi:

51 35 Gaba 4. Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut Gaba 4.3 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 3

52 36 Gaba 4.4 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 6 Gaba 4.5 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 9

53 37 Gaba 4.6 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut Gaba 4.7 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 5

54 38 Gaba 4.8 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 8 Gaba 4.9 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut

55 39 Gaba 4. Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 4 Gaba 4. Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 7

56 4 Gaba 4. Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 3 Gaba 4.3 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut 33

57 4 Gaba 4.4 Bentuk intasan siste dua panet yang engobit pusat assa M secaa kuaitatif untuk sudut Pebaasan Bedasakan uus (4.43 dan (4. dengan engitung secaa nueik eakai paket poga Mape sesuai dengan sintaks poga pada Lapian C dipeoe niai pada Lapian A ( Tabe A dan Gafik pada gaba 4. sapai gaba 4.4 yang enunukkan peubaan bentuk intasan untuk dua panet yang beinteaksi untuk bebagai sudut dengan inteva 3. Pada gaba 4. dan gaba 4.4 sesuai Tabe A epunyai bentuk gafik intasan panet yang saa dengan niai sudut dan sudut 36, niai aak kedua panet yaitu dan engaai kenaikan untuk sudut dai sapai 8 dan engaai penuunan untuk sudut dai 8 sapai 36.

58 4 Pada gaba 4.3 dan gaba 4.3 sesuai Tabe A epunyai bentuk gafik intasan panet yang saa dengan niai sudut 3 dan sudut 33, niai aak kedua panet yaitu dan engaai kenaikan untuk sudut dai sapai 8 dan engaai penuunan untuk sudut dai 8 sapai 36. Pada gaba 4.4 dan gaba 4. sesuai Tabe A epunyai bentuk gafik intasan panet yang saa dengan niai sudut 6 dan 3, niai aak kedua panet yaitu dan engaai kenaikan untuk sudut dai 8 dan engaai penuunan untuk sudut dai 8 sapai 36. sapai Pada gaba 4.5 dan gaba 4. sesuai Tabe A epunyai bentuk gafik intasan panet yang saa dengan niai sudut 9 dan sudut 7, niai aak kedua panet yaitu dan engaai kenaikan untuk sudut dai sapai 8 dan engaai penuunan untuk sudut dai 8 sapai 36. Pada gaba 4.6 dan gaba 4. sesuai Tabe A epunyai bentuk gafik intasan panet yang saa dengan niai sudut dan sudut 4, niai aak kedua panet yaitu dan engaai kenaikan untuk sudut dai sapai 8 dan engaai penuunan untuk sudut dai 8 sapai 36. Pada gaba 4.7 dan gaba 4.9 sesuai Tabe A epunyai bentuk gafik intasan panet yang saa dengan niai sudut 5 dan sudut, niai aak kedua panet yaitu dan engaai kenaikan untuk sudut dai sapai 8 dan engaai penuunan untuk sudut dai 8 sapai 36.

59 43 Pada gaba 4.8 sesuai Tabe A dengan niai sudut 8, niai aak kedua panet yaitu dan engaai kenaikan untuk sudut dai 8 dan engaai penuunan untuk sudut dai 8 sapai 36. sapai Pada gaba 4., gaba 4.3, gaba 4.4, gaba 4.5, gaba 4.6, gaba 4.7 dan gaba 4.8, sesuai Tabe A, dengan niai sudut,3,6,9,,5, 8. Niai aak kedua panet yaitu dan engaai kenaikan untuk sudut dai sapai 3 dan engaai penuunan untuk sudut dai 35 sapai 5 seta engaai kenaikan kebai untuk sudut dai 3 sapai 36. Pada gaba 4.9, gaba 4., gaba 4., gaba 4., gaba 4.3 dan gaba 4.4, sesuai Tabe A, dengan niai sudut 36. Niai aak kedua panet yaitu dan,4,7,3,33, engaai penuunan untuk sudut dai sapai 3 dan engaai penuunan untuk sudut dai 35 sapai 3 seta engaai kenaikan kebai untuk sudut dai 35 sapai 36. Pada Lapian A (Tabe B dipeoe eksentisitas dengan intasan tetutup. Peubaan sudut ( epengaui niai eksentisitas yang akan enyebabkan peubaan pada niai aak panet dan dengan pusat assa M.

60 BAB V PENUTUP 5. Kesipuan Kesipuan yang didapat dai asi dan pebaasan pada peneitian adaa sebagai beikut:. Sudut ( yang tebentuk anta dua panet dan enyebabkan niai eksentisitas intasan panet beuba yaitu aksiu saat sudut ( dan sudut ( 36 dan iniu saat sudut ( 8.. Jaak panet dengan pusat assa M teau pada sudut ( saat sudut ( Inteaksi anta panet epengaui bentuk intasan panet. 5. Saan Saan yang dapat dibeikan untuk enyepunakan dan engebangkan tuisan ini adaa peu diakukan peneitian ebi anut bagiana pengau sudut teadap aak panet ( dengan pusat assa ( M tekait dengan peubaan sudut (. 44

61 DAFTAR PUSTAKA Aonso, M. & Finn, E.J., 994, Dasa-Dasa Fisika Univesitas, Jiid, Edisi, Jakata: Eangga. Buington, R.S., 948, Handbook of Mateatica Tabe and Foua, New Yok: McGaw-Hi Book Copany. Godstein, H.,95, Cassica Mecanics, New Yok: Addison-Wesey Pubising Copany. Haiday, D., & Resnick, R., 984, Fisika, Jiid, Edisi 3, Jakata: Eangga. Seas, W.F., Zeansky, M.W., & Young, H.D., 987, Fisika Univesitas, Jiid, Edisi 6, Jakata: Eangga. Seno, D.K., & Siono, M.Si., 7, Gavitasi, (Onine, (ttp://dwiseno.fisika.ui.edu /kuia/gavitasi.ppt, diakses 3 Novebe 7. Suwita, N.,, Astonoi Dasa, Juusan Fisika Institut Keguuan dan Iu Pendidikan Negei Singaaa. Zaaa, M., 997, Dinaika Siste Zaa Dan Benda Tega, Yogyakata: Lab Fisika Ato dan Inti Fakutas MIPA UGM. 45

62 No. LAMPIRAN A TABEL A ( ( (3 (

63 47 ( No. ( (3 (

64 48 No. ( (9 ( (

65 49 ( No. (9 ( (

66 5 ( No. (8 ( (

67 5 No. ( (8 ( (

68 5 ( No. (7 (3 (33 (

69 53 ( No. (7 (3 (33 (

70 4 Tabe B No. e

71 Lapian B Bebeapa bentuk intega yang digunakan daa peitungan untuk skipsi ini (Buington, 948. Lapian B. x. dx ax bx c b dx ax bx c a a ax bx c. dx ax bx c a Lapian B. og( ax b a. ax bx c untuk a >., Lapian B.3 δ dx µ x η sin δ δx µ γ, untuk δ <, µ 4δη dengan γ adaa tetapan intega (konstanta. Lapian B.4 Ruus Tigonoeti sin( 9 cos, sin( 9 cos. 55

72 LAMPIRAN C Sintaks siste dua Panet Beinteaksi > > G :. : M : 5 : : : : 4 : :. : :.7 : :.5 : E :.8 : pint evaf b.5 $ $ $ $ C ; pint(evaf( a.5 $ ($ C ; pint(evaf( X $ ; pint evaf W M $ C M $ ; b : : a :.5 : X : 8 : W :. : pint evaf N b a; pint evaf K $ b $ G $ ; pint evaf H X W ; > N : : K :.5 5 : H : : pint evaf R K W; pint evaf L sqt(n $ 4 $ $ E $ b G $ ; 56

73 57 > L : : pint evaf Y L W ; fo i fo by 5 to 36 do pint evaf Q(i >.5 $ LegendeP (, evaf(cos(convet(i, units, degees, adians end do; > N : : H : : R : : Y : : Q (...Q (36 : fo i fo by 3 to 36 do fo fo by 5 to 36 do pint evaf [i, ] sqt sqt(n K R (C H$ Q(i C Y (C H$ Q(i $ evaf(cos(convet(, units, degees, adians end do; end do; ; ;

74 58 >,... 36, 36 : fo i fo by 3 to 36 do fo fo by 5 to 36 do pint(evaf(b(i, [[i, ]$ evaf(cos(convet(, units, degees, adians, [i, ]$ evaf(sin(convet(, units, degees, adians ] ; end do; end do; > B(,...B(36, 36 : :.5 : fo i fo by 3 to 36 do wit( pots : a : pot( { [$ seq(b(i,,..36, 5 ] }, stye ine, coo bue : b : pot( { [seq(b(i,,..36, 5 ] }, stye ine, coo ed : dispay( [a, b], view [K43..43, K ] ; end do; > N : : H : : R : : Y : : Q (...Q (36 fo i fo by 3 to 36 do R evaf e(i ; C H$ Q(i end do;