Bahan kuliah Metoda Numerik Jurusan Teknik Sipil FT UGM Yogyakarta

Transkripsi

1 MEOD NUMERIK L Desg 96: 8 Ktes o D:M DocmetsPlksMetod NmerkMetod Nmerk.doc prted o Strd //5 8: ole Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Novemer B kl Metod Nmerk Jrs ekk Spl F UGM Yogkrt

2 PRK Bk erdl Metod Nmerk merpk kl d Jrs ekk Spl F UGM. Bk tdk meelsk secr rc teor-teor merk secr legkp m mems teor-teor merk g serg dgk d lpg. Pemc g g meget secr legkp Metod Nmerk drpk mecr dr c-c d lr k. Bk le merpk petk prkts g mssw S mp prkts d lpg. Dlm k prsp mm teor-teor merk delsk secr sgkt kemd plks delsk. Semog k kecl erg krtk memg sgtl drpk. Yogkrt Novemer Dose Jrs ekk Spl F UGM D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Metod Nmerk Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Pes l. Jck l Mott

3 DFR ISI lm PRK... DFR ISI... DFR GMBR...v. Error: sl & Rmt Pedl Blg Dlm Kompter Uderlow d Overlow..... Des d sl error gk sgk sgct dgts sl dr error..... Rmt Error Propgted Error pd Perkl Propgted Error pd Pemg Propgted Error pd Peml d Pegrg... D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K. Persm No-Ler Metode Bg Pr Bsecto Metode Newto Metode Sek kr dr Persm Poloml.... eor Iterpols..... Metod Bed erg Newto..... Iterpols deg tel ed gg Bed M Bed Mdr Lgrge Beerp kt petg dr ed terg... 7 Metod Nmerk Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. l. Jck l Mott

4 DFR ISI Bk kl. Itegrs Nmers Rms trpesm d Smpso Rms trpesm terkoreks Rms Smpso..... Rms Newto Cotes Rms Newto-Cotes erttp Rms Newto Cotes terk Kdrtr Gss Kdrtr Gss-Legedre Poloml Ortogol Kdrtr Gss-Lqerre Kdrtr Gss-Cesev Kdrtr Gss-Hermte Sstem Persm Ler Elms Gss Elms Gss Jord Elms Gss Jord deg pvot mksmm Rekostrks pemetk scrmled verse Metod Iters Metod Jco Metod Gss-Sedel... 5 D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K 6. Mtrk Nots d Kosep-kosep Pedl Determ d vers Megtg determ deg elems segtg ts Mtrk d Vektor Ege Metode power tk medptk l & vektor ege teresr Persm Deresl Bs Metod Eler Metod Mlt Step Metod rpesm Metod Rge-Ktt RK Metod RK dert d Metod RK erdert tg Metod RK erdert empt Metod Pertm Metod Ked Metod Ketg Metod Predctor-Corrector lgortm Predctor-Corrector... 7 Metod Nmerk Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. l. v Jck l Mott

5 DFR ISI Bk kl DFR PUSK... 7 D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Metod Nmerk Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. l. v Jck l Mott

6 DFR GMBR lm D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Gmr eorem Nl tr... 7 Gmr eorem Nl eg... 8 Gmr Nl eg Itegrl... 9 Gmr Iterprets Deret lor secr geometrs... Gmr 5 Metod Bg Pr tk mecr kr... 7 Gmr 6 Metod Newto tk mecr kr... 8 Gmr 7 Metod Sek tk mecr kr... 9 Gmr 8 Kosep tegrs trpesm... 8 Gmr 9 Kosep tegrs Smpso... Gmr Fgs w tk metod Smpso... Gmr Cr pertm pemd kolom deg eleme pvot... 8 Gmr Cr ked pemd kolom deg eleme pvot... 8 Gmr Cr ked pemd kolom deg eleme pvot... 9 Gmr G-g g eker pd strktr... 6 Gmr 5 Peeles deg Metod Eler... 6 Metod Nmerk l. v Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

7 B. ERROR: SL & RMBNNY.. Pedl eorem..: Nl tr lt Gmr Jk st gs meers pd [ ] d m Imm sert M Spremm mk tk setp lg ζ pd tervl terttp [m M] plg tdk d st ttk ξ [] segg ξ ζ. Kss d d ttk & ū [ ] dm m d M ū D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K m ζ ξ M ū Gmr eorem Nl tr Metod Nmerk l. 7 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott ū

8 Error: sl & Rmt Bk kl eorem..: Nl eg lt Gmr Jk meers pd tervl [] sert tr pertm d dlm tervl. Mk plg tdk d st ttk ξ dm: ' ξ eorem.: Nl eg Itegrl lt Gmr Jk w tdk egt d dpt dtg tegrl pd tervl [] d meers pd [] mk w d ξ w d tk st ttk ξ [] tge ξ D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K ξ ξ Gmr eorem Nl eg eorem..: Deret lor lt Gmr Jk memp tr d tr sell meers pd [] d k [] mk: P R Metod Nmerk l. 8 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

9 Error: sl & Rmt Bk kl o o deg P o ' o... o!! R! t o! tk ξ dtr o d. t dt ξ w grs reeres w Gmr Nl eg Itegrl D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Bkt: ' t dt o Jd: kr dperole: o... t ' t o t ]... ' o ' t dt gt : t td ' t dv v... ' ' ' o o o o o o o " t dt t " t dt t " t dt Metod Nmerk l. 9 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott o o vd o

10 Error: sl & Rmt Bk kl... o o ' " t d t o o ξ! o o...dst. t " t dt...dst. α C p R R p R B p C ξ D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Gmr Iterprets Deret lor secr geometrs Secr geometrs rt: CC' ' ' C' tα kesl pemotog BC ' ' C' B { ' { BC p R ' Jd kesl pemotog ξ Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

11 Error: sl & Rmt Bk kl R o! kostt Δ kostt ξ R dset seg kesl pemotog order t OΔ. o.. Blg Dlm Kompter Kompter mek lg dlm mode t Iteger Flotg pot. Bss lg g dgk dlm kompter rg sekl g decml ss. Hmpr sem kompter memk ss r t vr sepert ss 8 octl d ss 6 edecml. Coto:. Pd ss sem lg terdr dr gk t d. Jd Pd ss 6 sem lg terdr dr/dtk deg gk 9 B F Jd 56C.F D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Jk ss lg st kompter dl β mk st lg o-zero dsmp ddlm etk. σ. t β. β e deg σ - t β- e teger d t L t L t β β β deg σ dset td e dset ekspoe L e U t dset mtss d dset rd. krs dr s lotg-pot st kompter. Ut pemlt δ st kompter dl st lg postp terkecl g memp st w δ > Nl ol ε st kompter dl st lg postp terkecl dm ε > Secr prkts ε d δ dpt dtg s: Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

12 Error: sl & Rmt Bk kl ε. ε ε/. I. ε.g.. GOO δ ε *.... Uderlow d Overlow Jk st lg tdk mmp drepresetsk ole kompter kre e < L t e > U mk k terd der/overlow. Jd setp lg rs erd dlm tervl L U deg L β L- d U β -t β L- Dlm FORRN: Jk st sl tg U mk k terd overlow error d progrm k eret. Jk st sl tg L mk k terd derlow error s l med ol d tg ters erlt... Des d sl error D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Dlm peeles st msl dkeedk w g set g dsmolk seg tetp s w pedektl g ddpt dsmolk seg. Error Utk k keperl k error mtlk g dkeedk melk error relt dr g dtk: Rel 9 Coto: e Jd: Error Rel.7... Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

13 Error: sl & Rmt Bk kl... gk sgk sgct dgts Nl dktk memp m gk sgk terdp k kesl - memp l 5 pd m gk dtg ke k dr gk ozero ddlm. Coto:..... kre pd gk ke kesl < 5 mk gk sgk segg.. dktk memp kre pd gk ke 5 kesl < 5 mk gk sgk segg. 9. dktk memp kre pd gk ke kesl < 5 mk gk sgk segg.. dktk memp... sl dr error D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K. Smplks d sms g dgk tk mer perstw lm ke dlm orml mtemtk.. Kesl/keteledor : kesl rtmtk d progrmmg.. Ketdkpst dlm dt.. Kesl mes. 5. Kesl mtemts dlm kesl pemotog.. Rmt Error Dtetk sem opers rtmtk dgtk deg td ω. Jd ω: - / d ŵ: - / vers kompter Mslk d dl lg g k dgk d kesl terdp d dl ε d η Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

14 Error: sl & Rmt Bk kl Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Jk dlkk tg ŵ mk kesl dl II I ˆ ˆ w w ω ω ω ω I kesl kre rmt propgted error II kesl kre rodg tp copg... Propgted Error pd Perkl εη ε η η ε χ.rel Rel Rel Rel Rel χ εη ε η Jk Rel Rel << mk Rel Rel Rel... Propgted Error pd Pemg... Rel η ε η η ε η ε Rel Rel Rel Rel Jk Rel << mk Rel Rel Rel mpk w pd perkl d pemg kesl relt tdk memesr secr cept.... Propgted Error pd Peml d Pegrg ε ±η ± ± ± Error Error Error ± ±

15 Error: sl & Rmt Bk kl Per tmpk logs tetp tdk k kre tdk dtk dlm kesl relt Coto: π Rel Rel Rel.8 Jd meskp kesl pd dl kecl tetp kesl relt ckp esr mele Rel tp Rel. D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Metod Nmerk l. 5 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

16 B. PERSMN NON-LINIER D dlm mtemtk plks pecr kr persm serg dmp. Bs w lts dr persm dts tdk d segg rs dcr w merk g s dlksk deg metode ters... Metode Bg Pr Bsecto Jk terdpt st g meers [] d < mk mert eorem. plg tdk memp st kr memp st kr []. lgortm D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Bsect kr ε. Htg c : /. Jk c ε mk kr: c d et. Jk {td td c} mk : c k tdk : c. Keml ke lgk omor. Des St deret sl st ters { } dktk me ke ttk deg dert p k p α cα tk eerp l c>. Jk p deret dset me ke ttk secr ler. Pd kss dperlk l c<; c dset l ler dr me. d eerp metode g memtk des g gk ered deg dts t α c α Metod Nmerk l. 6 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

17 Persm No-Ler Bk kl gkt kel metode g pr dtk dlm α c l wl < metode dlg-lg smp s c- < ε c / c / c / r r r α kr sesgg g k dcr Gmr 5 Metod Bg Pr tk mecr kr l >.. Metode Newto D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Deret lor: ' "... t mert eorem. ' " ξ deg ξ dtr d. Jk kr dr sl st dl α mk α α ' d α α ' mk α dpt ddekt deg α " ξ Metod Nmerk l. 7 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott " ξ '

18 Persm No-Ler Bk kl ' deg error " ξ α α ' Utk l ξ α d α d " α α α ' α kostt α Segg metode Newto dktk memp dert kel grs sggg kr sesgg l wl α Gmr 6 Metod Newto tk mecr kr D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K lgortm Newto d ε kr tm err. Keterg : d dl tm dl ters mmm err dl error lg. oter:. peet:d. k peet mk err: d et 5. : - /peet 6. k ε mk err: kr: d et 7. k oter tm mk err: d et 8. oter: oter : d lg lgk. Metod Nmerk l. 8 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

19 Persm No-Ler Bk kl.. Metode Sek Deg meggk st segtg seg dperole Jd BD CD B CE t D kr sesgg l wl E α C l wl B D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Gmr 7 Metod Sek tk mecr kr Metode sek dpt drk dr metode Newto dm ' Dert Koverges: tk metode Newto p tk metode sek p ½ 5 68 tk metode secto p Metod Nmerk l. 9 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

20 Persm No-Ler Bk kl.. kr dr Persm Poloml t p - p B Pd Pers. terdpt perkl & pertm sedgk dlm Pers.B terdpt: perkl & pertm. Ole kre t dlm pemrogrm kompter le dsk etk dlm Pers. kre le ese. Pers. k dtls dlm FORRN med p do - p p* Utk megtg kr dr persm p k dgk Metod Newto. Utk keperl t poloml p k dmodks seg erkt Dsrtk: k k z k k Dr srt p dpt dtls seg p zq deg q - segg p zq q p z qz D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K lgortm: Polew ε tm kr er. Keterg: dl vektor coe. deg dmes tm dl ters mksmm dl vektor coe. dr poloml g r er dl dktor d error.. oter:. : : c :. Utk k - k : k z k c : k zc 5. : z 6. Jk c er : d et 7. : /c 8. Jk ε er : kr: d et 9. Jk oter: tm er: d et Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

21 Persm No-Ler Bk kl. oter: oter : lg lgk ketg. D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

22 B. EORI INERPOLSI Jk kt memp st set dt: mk dlm k d elsk gm rs mecrt poloml g mell dt d ts. Jk poloml dtls seg: p mk k dt dts dssttsk k ddpt persm deg vrel tdk dket t: L M M L Persm dts k dselesk k megslk segg poloml p dpt dcr. D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K.. Metod Bed erg Newto Nots g dgk: [... ] Coto Order : ƒ[ ] ƒ[ ] Order : [ ] Order : [ ] o Order : [ ] [... ] [... ] [ ] [ ] [ ] [ ] - [ ] [ ] Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

23 eor Iterpols Bk kl Rms ed terg Newto: p ƒ[ ] - ƒ[ ] - - ƒ[ ] - ƒ[ ] Coto: Kt t tel ed terg erdsrk poloml ƒ 7 5 [ ] [ ] [ ] [ ] Keterg: B 55 5 B C D E D E 6 F D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Coto tg p.5? p p.5 - p p.5-5 p p.5-5/ lgortm metod ed terg Newto Dvd d. Keterg: d d dl vektor d. Pd st et d k ters ole l [ ]. Kerk s/d lgk tk. Kerk smp deg lgk tk -. d : d -d - / et Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

24 eor Iterpols Bk kl Iterpd t p. Keterg: Pd wl d d dl vektor dr ƒ[ ] d. Pd st et p k ers p t.. p : d. Kerk s/d lgk tk p : d t p 5. et.. Iterpols deg tel ed gg... Bed M Nots: Δƒ ƒ - ƒ deg Utk r Δ r ƒz Δ r ƒz - Δ r ƒz Δ r ƒz dset ed m order r Δ dset opertor ed m D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Coto: Δ ƒ ƒ Δƒ Δ ƒz - Δ ƒz ƒ - ƒ Δ ƒ Δƒ - Δƒ Coto tg : Kt gk poloml 7 5 deg Δƒ Δ ƒ Δ ƒ Δ ƒ Korels tr ed m deg ed terg [ ] [ ] [ ] Δ Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

25 eor Iterpols Bk kl Metod Nmerk l. 5 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K [ ] Δ Secr mm: [ ]!... Δ k drk rms terpols ed m dr rms terpols ed terg Newto. Ddesk α g mekk letk ttk terdp. Jd msl α.6 mk terletk pd rk 6/ dr ke r. Dgk rms tk: k dtk dlm α α α- Jd k αα - α -k k segg p!......! Δ Δ Δ α α α α α α Jk ddesk koese oml s:!... k k k α α α α k> d α mk ddpt rms terpols ed m s: p deg Δ α α Coto tg: p.5? α p ƒ αδƒ p ƒ αδƒ αα- /! /!.75

26 eor Iterpols Bk kl... Bed Mdr Nots: ƒz ƒz - ƒz- r ƒz r ƒz - r ƒz- r Rms terpols α p deg α α ƒ ƒ ƒ ƒ Coto tg: p.5?.5. α.5. p ƒ -α ƒ p p -α-α /! -.5.5/! 8.5 p p -α-α -α /! /! D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K.. Lgrge Poloml Lgrge detk deg omls erkt: Coto: p p p L L... Metod Nmerk l. 6 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

27 eor Iterpols Bk kl Coto: tg p g mell ttk-ttk 5; ; 5 L L L 6 Jd p L 5 L L Beerp kt petg dr ed terg D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K m. [ ] ξ tk ξ X {... } dm X {... }... m m! rt tervl terkecl dm Coto: [ ] ξ! [ ] ' ξ [ ] ' ξ... Metod Nmerk l. 7 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott m terckp! ξ [ ] ξ X { }. Jk dl poloml derd m mk poloml derd m... m m m m... [ ] m deg. Kesl dlm terpols p! deg ξ Η{ } d d [ ] [... ]... ξ < m m > m m

28 B. INEGRSI NUMERIS.. Rms trpesm d Smpso Pd k dcrk cr megtg tegrl secr mers dr I dm [] ergg d p D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Gmr 8 Kosep tegrs trpesm Rms trpesm pd dsr dl medekt deg grs lrs g mell d I [ ] Metod Nmerk l. 8 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

29 Itegrs Nmers Bk kl Metod Nmerk l. 9 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Error: [ ] p gt des ed terg []. Jd error : [ ]d d E ] [ deg rg teg tegrl ddpt: [ ] " ] [ 6 " η η η ξ ξ d E Jk tervl [] dg med ps segg tk -/ d ddpt: [ ] d d I " η deg -. Segg tegrl dpt ddekt deg... I Kesl I terdp I dl E I E " " η η Perl dgt w

30 Itegrs Nmers Bk kl M " " η M kre meers pd mk E " η η [ ] " η " η " ~ Estms kesl smtots E ~ E Lmt Lmt mk { ' ' } E Lmt " d " η " η D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Des: ~ Jk E dl kesl eksk sedgk E dl estms dr mk ~ E dset estms kesl smtots dr E k: ~ ~ E E E Lmt t Lmt E E... Rms trpesm terkoreks ~ Deg meggk E rms trpesm dpt dtgktk med: ~ C I E... { ' ' } Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

31 Itegrs Nmers Bk kl Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K... Rms Smpso Gmr 9 Kosep tegrs Smpso Dlm metode Smpso gs ddekt deg p g mell ttk cc d dm c /. [ ] deg c d c c c c c c c I Kesl: d c c I I E ] [ Hrg teg tegrl tdk dpt dgk kre --c- ergt td pd c. Ddesk: dt t c t t w Beerp kt mege w: ' tk 6 c w w c w w w < < > p c/ cc

32 Itegrs Nmers Bk kl Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Gmr Fgs w tk metod Smpso Jd E dpt dtls seg: ] c d d w c w d c w E ] [ ] [ ] [ ' ] [ 9 5 ] [ ] [ ] [ 5 5 d w c d c w E η η η ξ ξ ξ Jk tervl [] dg med ps -/ tk segg [ ] / 5 / 9 gep d I η deg - Rms Smpso: w / c 6

33 Itegrs Nmers Bk kl I Kesl estms: 5 / / E I I η 9 [... ] η η η [ ] Estms kesl smtots: ~ [ ] E 8.. Rms Newto Cotes D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Rms trpesm d Smpso seetl merpk d rms pertm dr rms Newto-Cotes. Utk -/ tk. Ddesk I deg meggt deg poloml p pd ttk-ttk : I d & p d Deg terpols Lgrge tk p mk deg I l d w w l d... Utk l d tel dsk seg rms trpesm d Smpso. Sekrg tk coto tk megtg w dl: w Jk μ μ mk: d Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

34 Itegrs Nmers Bk kl Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K d d d w μ μ μ μ μ μ μ μ Jk w w w dtg deg cr d ts kr k ddpt tk [ ] 8 I Kesl pd I dtk seg erkt: Utk gep: ] [ C E η η deg μ μ μ μ d C...! Utk gsl: ] [ C E η η deg μ μ μ μ d C...!... Rms Newto-Cotes erttp rms trpesm [ ] " ξ d rms Smpso 9 5 ξ d [ ] ξ d rms Boole ξ d

35 Itegrs Nmers Bk kl ~ Des: Itegrs merk I g medektr I dset memp ~ dert ketept m k: I I tk sem poloml dert ~ m I I tk eerp poloml dert m Coto: Pd rms Newto-Cotes tk dktk memp dert ketept m. Sedgk tk memp dert ketept m 5. mpk w rms Newto Cotes deg gep megslk dert ketept ekstr ddgk deg gsl.... Rms Newto Cotes terk D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K d rms Newto Cotes g tdk meggk sl st t ked ttk d g tervl. Coto g plg seder dl rms ttk teg: d " η η [ ] Rms kompost: d Ι Ε Ι [ L ] E "η η [ ] deg seg ttk teg dr ttk-ttk tk K. Rms Newto Cotes g sedemk dset deg rms terk sedgk rms g terdl dset terttp. : d " ξ : d [ ] " ξ : 5 d [ ] ξ 5 5 : Metod Nmerk l. 5 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

36 Itegrs Nmers Bk kl 5 dm d 5 [ ts w ts ts ] ξ.. Kdrtr Gss D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Pd metod tegrs seelm rms tegrs erdsrk poloml dert red g merpk pedekt deg ml ps semk esr. Kdrtr Gss rms tegrs meggk poloml g dert mk tgg. Seg lstrs: I w d w I d w deg w Fktor pemert { w } d ttk odl { } segg kesl E d w dpl sedemk sm deg ol tk st poloml deg dert setgg mgk. m E L E E L E m m Jd E tk setp poloml dert m l d l E K m. Kss.. Kre prmeter w d segg dperlk persm: E d w w segg d & E d w Kss.. d prmeter w w segg dtk persm: Metod Nmerk l. 6 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

37 Itegrs Nmers Bk kl E d w w tk w t w w w w w w w megslk rms: d memp dert ketelt. Bdgk deg rms Smpso g meggk tg ttk. Kss. tk erdpt prmeter {w } d { } segg terdpt persm: E K t K w K persm dts merpk sstem persm o-ler g peeles tdk sell els. Ole kre t dgk cr l.... Kdrtr Gss-Legedre D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Utk w rms Gss pd tervl [-] dl: d w deg ttk dl kr dr poloml Legedre dert dlm tervl [-]. Fktor pemert dl w K ' P P! η d E [!]! el Gss Legedre ttk d pemoot w ± ± ± Metod Nmerk l. 7 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

38 Itegrs Nmers Bk kl D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K w ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± ± Coto: : d : d Utk tegrl pd tervl mm [] mk dgk trsorms seg erkt: t dt d d w dtg deg kdrtr Gss megslk: d Metod Nmerk l. 8 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

39 Itegrs Nmers Bk kl.. Poloml Ortogol Kdrtr Gss-Legedre meggk poloml ortogol Legedre. d k ml poloml g ortogol. Secr mm st ml poloml g k dset ortogol terdp gs pemert w k : w g g m d w Coto : set {s k} d {cos k} [ g ] d c m D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Poloml Legedre. P ortogol pd tervl [-] terdp w P P d P m [ ] d c m Beerp P : P P P ½ - P ½5 - P ⅛5 - Rms rekrsv: P P P Poloml Lqerre. L ortogol pd tervl [ ] terdp w e - L L m d [ ] d c L Beerp L : L L - L - L Rms rekrsv: m Metod Nmerk l. 9 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

40 Itegrs Nmers Bk kl L L L Poloml Cesev. ortogol pd tervl [-] terdp w / - m d m [ ] d c Beerp : - - Rms rekrsv: D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Poloml Hermte. H ortogol pd tervl [- ] terdp w e e e H H m d [ H ] d c m Beerp H : H H H - H 8 - Rms rekrsv: H H H... Kdrtr Gss-Lqerre e d w Kdrtr dpt dgk tk megtg: Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

41 Itegrs Nmers Bk kl e t t dt e e e w d deg w ktor pemert kr dr poloml Lqerre el. w d dr kdrtr Gss-Lgerre D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K w E E E E E Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

42 Itegrs Nmers Bk kl w E E E E E-.875E E-... Kdrtr Gss-Cesev deg w d w π d cos π... t dt d π D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K... Kdrtr Gss-Hermte e d w el. w d dr kdrtr Gss - Lgerre w ± ± ± ± ± ± Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

43 Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott B D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K 5. SISEM PERSMN LINIER 5.. Elms Gss Elms Gss dgk mecr kr sstem persm ler M Coto: Dt sstem persm: g kr dl d Persm dts dlm etk mtrk dpt dtls seg erkt: [B]{}{} Utk meelsk elms Gss mk detk st mtrk seg erkt: [ ] I B Kt klk rs deg / tmk - rs g r kepd rs d tmk rs g r kepd rs.

44 Sstem Persm Ler Bk kl D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K 7 / 5/ 5/ 8 9 / 7 / 9 / / / Opers dts sm deg pemetk/peg sstem persm sl / med Pertk w opers d ts k dtls dlm etk mtrk dl Selt dlkk opers seg erkt: klk rs deg /5 d tmk 5/ rs g r kepd rs 7 / 9 / / 6 / 5 7 / 5 / 5 7 / 5 9 / 5 7 / 5 / 5 Opers terkr meg sstem persm med: Klk rs deg 5/7. mk ke rs : 6/5 rs g r. mk ke rs : - rs g r 7 / / 9 / / 5 7 / 7 kr tmk ke rs : 7/ rs / 7 / 5 / 7 / 5 / 7 6 / 5 5/ 7 Metod Nmerk l. Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

45 Sstem Persm Ler Bk kl 9/ 5 / 5 7 / 7 67 / 5 / 5 / 7 6 / 5 6 / 5 5/ 7 Jd sstem persm med d verse mtrk [B] dl 9/ 5 67 / 5 6 / 5 / 5 / 5 6 / 5 7 / 7 / 7 5 / 7 5 Dr pegmt: det B Jd kl d resme [ B I ] / 5 / 5 7 / 7 [ I B ] 67 / 5 / 5 / 7 6 / 5 6 / 5 5/ 7 D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K 5.. Elms Gss Jord Pd elms Gss d ts secr grs esr terdr dr eerp lgk:. opers ormlss: eleme dgol d med erl. opers redks: eleme o-dgol d med erl Pd elems Gss Jord opers & dkerk ersm. Coto: [ B I ] Metod Nmerk l. 5 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

46 Sstem Persm Ler Bk kl Normlss rs deg memg deg eleme pvot kemd:. rs - rs g r. rs rs g r 7 / 9 / / 5 / 8 7 / / 5 / 9 / / Normlss rs deg memg deg eleme pvot 5/ kemd:. krg -7/ rs g r dr rs. krg -5/ rs g r dr rs 6 / 5 88/ 5 9 / 5 6 / 5 7 / 5 / 5 7 / 5 9 / 5 7 / 5 7 / 5 / 5 Normlss rs deg memg deg eleme pvot 7/5 kemd:. krg -6/5 rs g r dr rs / 5. krg -6/5 rs g r dr rs 9/ 5 67 / 5 6 / 5 / 5 / 5 6 / 5 7 / 7 / 7 5/ 7 [ I B ] D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K 5 7 det B Elms Gss Jord deg pvot mksmm Jk mtrk [B] memp sl st eleme g memp l kecl sekl ddgk eleme g l mk cr pvotg g seelm dpt memerk sl g tdk krt. Ole kre t dpl eleme pvot g memp l teresr. Coto: Metod Nmerk l. 6 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

47 Sstem Persm Ler Bk kl [ B I ] Dpl eleme 9 seg pvot / 9 6 / 9 / 9 selt dredks seg erkt: 5/ 9 / 5/ 9 / / 9 / Opers : Opers 5/ 9 5/ 9 / 9 6 / 9 88/ 9 / 9 6 / 9 9 / 9 / / / 9 / / 8/ 9 7 / 9 / 9 8/ 9 67 / 9 5/ 9 5/ 7 7 / 7 / 7 6 / 5 9/ 5 67 / 5 III 6 / 5 / 5 / 5? III [ ]? I II D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Dr sl terkr III terlt w kr persm {} dpt dslesk tetp gm mtrk? &?. Seetl [? ] eleme dl eleme [B] - letk tdk etl segg perl dtr tk medptk verse [B] g sesgg. d tr g sgt petg dr sl dts: kr dr [B]{}{} dpt dcr tp megtg [B] -. Htg verse st mtrk le k ddr kre ml e. Utk megemt memor kompter mk pd cr terkr elms Gss Jord deg pvot mksmm sl dr verse dmsk kedlm mtrk [B]. Metod Nmerk l. 7 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

48 Sstem Persm Ler Bk kl 5... Rekostrks pemetk scrmled verse Pemetk I Yg Seml I 5/ 9 5/ 9 / 9 / / / 6 / 9 88/ 9 / 9 dpd 8/ 9 7 / 9 / 9 kolom dr [I] kolom dr [B] dpd Gmr Cr pertm pemd kolom deg eleme pvot Yg Br I 5 / 9 5 / 9 / 9 8 / 9 7 / 9 / 9 / / / 6 / 9 88 / 9 / 9 Pemetk II Yg Seml II dpd D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K 5/ 9 5/ 9 / 9 6 / 9 9 / 9 / 9 / / / 8/ 9 67 / 9 5/ 9 Gmr Cr ked pemd kolom deg eleme pvot Yg Br II 5/ 9 5/ 9 / 9 kolom dr [I] kolom dr [B] 8 / 9 67 / 9 5 / 9 / / / 6 / 9 9 / 9 / 9 dpd Metod Nmerk l. 8 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

49 Sstem Persm Ler Bk kl Pemetk III Yg Seml III dpd 5/ 7 6 / 5 6 / 5 7 / 7 9/ 5 / 5 / 7 67 / 5 / 5 kolom dr [I] kolom dr [B] dpd Gmr Cr ked pemd kolom deg eleme pvot Yg Br III 7 / 7 9/ 5 / 5 / 7 67 / 5 / 5 5 / 7 6 / 5 6 / 5 scrmled verse {} kr dr sstem persm D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K 5.. Metod Iters 5... Metod Jco perl dtr dl tk megslk verse g sesgg Kt s sstem persm: [B]{} {} t L L M M L Metod Jco memetk persm tk medekt persm d ts: Metod Nmerk l. 9 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

50 Sstem Persm Ler Bk kl D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K t B... L k terd t l kecl mk rs ddk pegtr segg Metod dml deg tek l wl { } kemd dmskk kedlm persm B tk megtg {} r. Coto: { } 6 Persm d ts dtls lg: C Vektor wl { } [ ] t t Jd { } [ ] t { } [ ] [ ] t [ ] t [ ] t { } 965 { } 7 { 5 } 996 Metod Nmerk l. 5 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

51 Sstem Persm Ler Bk kl M M { }... [ ] t Dlm metod tg eleme vektor g r meggk eleme vektor g lm Metod Gss-Sedel D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Ddgk deg metod Jco metod Gss-Sedel megtg eleme vektor r deg meggk eleme g r s dtg. Coto: dgk sstem persm g dgk seelm d persm C dpt dgk. Vektor wl { } [ ] t Jd 5 9 { } 8 { } [ ] t [.88.. ] t [ ] t [... ] t { } 995 { } 5 { 5 } t Metod Nmerk l. 5 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

52 B 6. MRIK 6.. Nots d Kosep-kosep Pedl D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K L M M m m L m m L p B M M L p p c c L c p C c M M c c L c p p d d L d q D d M d p d p d L pq q Deg ots dts mk l-l dw erlk:. E B C dl mtrks p deg e c B C C B. F B dl mtrks m p deg Metod Nmerk l. 5 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott k B C B C B C D BD CD Jk B B mk & B dset commte Coto: k k

53 Mtrk Bk kl Metod Nmerk l. 5 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K d B d c C mk 7 5 C B C B 7 C B. d B mk B B B B B d B tmpk tert w -BB -B tert -BB -BB-B. t trpos G t g B C t B t C t BD t D t B t t Jk t mk dl smetrs Coto: t H dl mtrk dgol H dl d tk. Jk dtls seg mtrk dgol H serg dtls [ ] Pertk: H dl mtrk m

54 Mtrk Bk kl D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K HB dl mtrk p H dl mtrk sklr eleme memp l sm t. H B B HB Jk mk H dset mtrk detts d s dtls seg I Coto: H M I I L L d M L I M 5. Jk K I mk K dl k d dset vers dr g s dtls seg -. Mtrk dset o-sgler - d 6. Determ Jk terdpt st mtrk mk dpt dtg determ g der ots det [] det t. Beerp st determ: det t det det - [det] - det B det det B Utk megtg determ dtk eerp des:. Mor dr dl determ dr st - - mtrk g detk dr mtrk dm rs d kolom g ers dg. Koktor dr dl st lg sl perkl tr - dklk deg mor dr d der ots Determ dpt dtg seg: Coto: t det det r r 5 5 s L L L s M koktor koktor koktor Metod Nmerk l. 5 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

55 Mtrk Bk kl koktor koktor koktor det Vektor dl mtrk deg kolom tggl Coto: v v v M M v ' er prodct' dotprodct : v v Beerp st: vw vw v w wvw αv αwvw αv αv α sklr {} t t v v 6.. Determ d vers D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Secr mers determ d vers dpt dselesk deg metode Gss esert vr g sd delsk pd B 5. Jk mtrk dl mk pert-pert dw dl eqvle:. []{} {B} memp peeles g k. []{} errt {}. [] - d. det 6... Megtg determ deg elems segtg ts Deg metode koktor dtg determ st mtr deg eksps terdp kolom pertm. Metod Nmerk l. 55 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

56 Mtrk Bk kl Metod Nmerk l. 56 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K... det Jk dl mtrk segtg ts mk det Jk mtrk tdk segtg mk K L M M L L L M M L L det det Coto: B B B B B B 7 / 6 7 B 5 6 /7 7 B B B B 7 /7 86 /7 /7 7 B 7 /7 /7 /7 7 B B /7 786 /7 /7 /7

57 Mtrk Bk kl Metod Nmerk l. 57 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K 6.. Mtrk d Vektor Ege Pd setp mtrk terdpt st set vektor g dset vektor ege d st set sklr g dset l ege. Vektor dset ege dr mtrk vektor tdl ol d λ dl st sklr g mgk ol l segg [] {} λ{} I Sklr λ dset l ege dr mtrk Pers. I dpt dtls seg: [-λi]{} {} II Pers. II memp peeles deg {} tdk ol k Φλ det -λi Φλ dset gs krkterstk dr mtrk. λ λ λ λ I L M L M M L L Coto: Meetk vektor & l ege mtrk 8 7 } { λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ φ kr dr Φλ dl l ege λ λ λ. Vektor ege tk λ } { Deg elms Gss-Jord B B B B B B

58 Mtrk Bk kl Metod Nmerk l. 58 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K errt terdpt persm ler tk lg tk dket: Jd vektor ege tk λ dl: } { Vektor ege tk λ } { tmpk w rs & detk segg segg terdpt persm: Vektor ege tk λ } { Gss Jord } { } { 6... Metode power tk medptk l & vektor ege teresr. Lgk-lgk:. Rmsk eome sk ke etk []{}λ{}. Prkrk vektor wl {} {}. Htg vektor r {} []{}. Fktork koese teresr {} λ {} 5. Keml ke lgk deg {} {} smp {} {} Coto: etk l & vektor ege dr mtrk Vektor wl: } { } { t

59 Mtrk Bk kl 5.66 [ ] [ ] [ ] [ ] dst kr ddpt λ 9 d { } D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Coto plks: St eleme eretk prmd dlm st ed g dke g-g lr. G orml d geser g ser sm-sm koordt tel dket mk dgk dg pt g mgk terd d esr g orml g eker pd dg t. Kesetmg g-g dlm Gmr seg erkt: F ddzσ ddzτ ddτ z R ldσ mdτ dτ z ldσ lσ mτ τ σl F F z ddτ ddzτ z ddzσ ddτ z R lτ mσ τ σm ddzτ z ddσ z Rz lτ mτ σ σ z z z z z Metod Nmerk l. 59 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

60 Mtrk Bk kl z τ z σ τ d dz d R τ z σ τ R z R R σd R R l τ z σ z τ z R R m ls dg mrg d ½ddz d cosn ld ½ddz d cosn md ½dd d cosnz d Gmr G-g g eker pd strktr Sekrg dlm etk mtrk: σ τ τ z l l τ σ τ z m σ m τ z τ z σ z t []{} λ{} prolem l d vektor ege deg: D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K [Α] mtrk g eleme terdr dr g geser & orml ser sm koordt dket. {} vektor g eleme terdr ts coss sdt dg pt deg sm kordt dcr. λ sklr g merpk/metk g orml/tegg orml g eker pd dg pt dcr. Metod Nmerk l. 6 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

61 B 7. PERSMN DIFFERENSIL BIS Dlm dg tekk serg dmp persm st eome lm g dtk dlm persm deresl s PDB Coto: Prolem l wl: deg Y Prolem l ts: g dm << γ B ' ' γ deg & B dl mtrk d γ & γ kostt g tel dket. D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K lor seres lor megtk w st gs deg st tertet dpt dtk seg......!!! t......!!! Deret k dgk dlm Coto: d d d d Secr lts d d Jd c e c Jk e c c Mk secr lts e Deg deret lor dpt dselesk s: Metod Nmerk l. 6 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

62 Persm Deresl Bs Bk kl Pers. sl ' Jd... / e Gmr 5 Peeles deg Metod Eler D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Cr mers tk meelesk prolem l wl dl deresl gg. Pd metod deres gg peeles pedekt ddpt pd ttk-ttk tg < <... <... < < d l pedekt pd setp dperole deg meggk l-l g ddpt seelm. Y Dt PDB: Peeles sesgg dtls Y segg pers. dts med: Y Y Y Y Metod Nmerk l. 6 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

63 Persm Deresl Bs Bk kl Peeles pedekt dtls d l t dtls seg se ps dgk tk medesk ttk-ttk tg... Jk k ddk perdg peeles pedekt tk eerp l mk dgk tk metk deg ps. 7.. Metod Eler Deg deret lor tg Y deg meggk Y Y Y Y Y ξ deg ξ Rms Eler med:... deg Y Kesl dskrtss dl Y Y ξ D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Coto: PDB Y e Rms Eler t Jk dtelk: Y Y Metod Nmerk l. 6 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

64 Persm Deresl Bs Bk kl Y Y Pertk w kesl mer ½ dr l pertm kre dkeclk ½ kl 7.. Metod Mlt Step Secr mm rms lgk memk dpt dtls seg: Koese p p p... p p dl st kostt d p... Jk p d p metod dset metod lgk p kre p l pedekt seelm dgk tk megtg. Nl... p rs dtg deg cr l. Metod Eler dl metod lgk tggl kre p d. Jk mk Y terdpt pd rs kr segg rms dset rms eksplst. Jk mk Y terdpt drs k mp kr segg dset rms mplst. D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Koese d dpt dtg dr p p... m p p Rms terkr mem w Y dpt ddervksk m kl. Jk mk ddpt rms tk metod ttk teg Metod Nmerk l. 6 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott p

65 Persm Deresl Bs Bk kl Merpk metod lgk gd g eplst. Jk mk ddpt rms trpesm g mplst d merpk metod lgk tggl: [ ] 7... Metod rpesm Metod dpt pl drk dr: Y t t Yt Dtegrsk dr [ ] Y Y t dt t Y t dt Y [ Y Y ] Y ξ ξ segg pedekt med [ Y Y ] Kre rms mplst mk dpt dtg deg ters d secr mm: [ ] D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Lgk-lgk tg:. tel dket/dtg pd lgk seelm.. dprkrk dg rms eksplst mslk dmskk kedlm rs k segg. lgk dlg s/d ketelt g dkeedk Metod Nmerk l. 65 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott dpt dtg Wlp secr mm dpt dselesk deg ters tetp mgk dpt dselesk deg cr l t k tp ters tergtg dr ƒ. Coto: Kre ƒ mk

66 Persm Deresl Bs Bk kl Utk Jk dtelk: Y Y Metod Rge-Ktt RK Metod Rge-Ktt merpk metod lgk tggl g le telt ddgk metod Eler. Sem metod RK dpt dtls seg: deg Φ Φ dset gs pem D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K 7... Metod RK dert d Φ k k k k pq pqk deg dm pq k dtetk kemd. Dt deret lor tk vrel : r s r s r rs [ ] s O r s Metod Nmerk l. 66 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

67 Persm Deresl Bs Bk kl D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K k p k q O Jd Φ Deg deret lor:! [ ] B p q [ ] p q [ ]... [ ] dk dpt dselesk kre d persm deg lg t pq. Bs l dl ½ t. Utk ½ ½ p q Metod Nmerk l. 67 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott 678 [ { }] C slope d slope d dtg dg metod Eler Eler tk Jd metod RK dpt dpdg seg metod predctor-corrector. Lgk predctor:. prkrk deg metod Eler. slope dttk dl. Lgk corrector:. tg slope dttk t. tg slope rert slope. slope./ c. tg sl. Utk p q ½ 7... Metod RK erdert tg k k k 6 [ k k k ] k k k B

68 Persm Deresl Bs Bk kl Metod Nmerk l. 68 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K 7... Metod RK erdert empt 7... Metod Pertm 6 k k k k k k k k k k k 7... Metod Ked 8 k k k k k k k k k k k k k k 7... Metod Ketg Metod l g plg k dgk [ ] 6 k k k k k k k k k k k k k Coto: eksk e Y e Y Dselesk deg RK: Y k k k [ ] k k k

69 Persm Deresl Bs Bk kl k k k [ 8 6 ] [ ] Metod Predctor-Corrector Metod lgk memk erdsrk rms tegrs. Secr mm metod megtegrs PDB pd tervl [ -k ] seg erkt: k d k k k d ddekt poloml dert r Φ d r Itegrs terk d ed terg mdr megslk: D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K tk k r O 5 tk k r O tk k r I O 5 tk k 5 r O 7 Itegrs terttp d ed terg mdr med: tk k r 9 O tk k 5 r 5 II O 5 Metod Nmerk l. 69 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

70 Persm Deresl Bs Bk kl tk k r 5 O Keslt metod lgk memk dl pd st perml elm tertg segg rs rs dtg deg cr l msl metod Eler. Dr sl d ts tmpk w tegrs terk memerk rms eksplst; segg tg tdk meggk ters. Itegrs terttp megslk rms mplst segg memtk ters. Wlp meggk ters tegrs terttp le dsk kre ketelt le tgg. k Coto: Pd I kesl: ξ 5 II kesl: ξ ξ ξ D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Rms dm-bsort eksplst Y Y Y Y ξ.. 5 Y [ ] Y Y Y Y ξ. Y [ ] Y Y Y Y Y ξ Y Y [ 55 Y 59Y 7Y Y ] Y ξ 9 Rms dm Molto mplst Y Y Y Y ζ.. Y [ ] Y Y Y Y ζ. Y [ ] Y Y Y Y Y ζ 5 8. Y Y [ 9Y 9Y Y Y 9 ] 5 Y ζ lgortm Predctor-Corrector Rms -M memtk peeles ters sedgk rms -B tdk tetp -M ketelt le tgg. lgortm predctor-corrector ers megggk ketg ked rms dts seg erkt: Metod Nmerk l. 7 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott 7 7

71 Persm Deresl Bs Bk kl. Gk rms -B tk memperkrk Y predctor; rms -B. Htg Y memk rms -M tp ters deg memk Y l dr corrector; rms-m Coto:. -B-M dert :. Predctor -B. Corrector -B. Rms Mle dert :. Predctor. Corrector [ ] 9 [ 9 9 ] 5 Coto pegg: d d Peeles: tg? D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Ctt: sols eksk Y e Dgk.5 Eler B : -B-M-: [ ] [ ] predctor Metod Nmerk l. 7 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

72 Persm Deresl Bs Bk kl -M-: [ ].5 [ ] predctor - corrector.5 Iters :.8 [ ] Iters : Iters 9: M mpk w lgortm predctor-corrector sd meckp ddgk deg ters. el sl e / Eler -B- -B-M % -85% -5% D:\M Docmets\Plks\Metod Nmerk\Metod Nmerk.doc 8 K Utk lt: tg? deg 5 dgk deg sl 5 Metod Nmerk l. 7 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott

73 DFR PUSK Cr Brce H.. Lter Jmes O. Wlkes ppled Nmercl Metods Jo Wle & Sos New York 969. Spegel R. Mrr eor d Prolems o Sttstcs Scm s Otle Seres McGrw-Hll Itertol Book Comp Sgpore 98. l-k mr Wd Jo R.oole Nmercl Metods Egeerg Prctce Holt Rert d Wsto Ic. New York 986. om 7G Ower s Ml CSIO tkso Kedll E. Itrodcto to Nmercl lss Jo Wle & Sos New York 989. Jmes M.L. G.M. Smt J.C. Wolord ppled Nmercl Metods or Dgtl Comptto wt Fortr d CSMP d Edto Hrper Itertol Edto New York 977. Metod Nmerk l. 7 Ir. Doko Lkto M.Sc. P.D. Jck l Mott