DIKTAT MATEMATIKA I. Penyusun : Ir. Zainuddin Ginting, MT Ir. Amri Ismail

Transkripsi

1 DIKTAT MATEMATIKA I Peyusu : Ir. Zudd Gtg, MT Ir. Amr Isml JURUSAN TEKNIK KIMIA, FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MALIKUSSLEH LHOKSEUMAWE,

2 KATA PENGANTAR Mtemtk I merupk mt kul wj tgkt I d jurus Tekk Km Uversts Mlkussle, uku merupk modul utuk meujg mt kul terseut, drpk mssw dpt mejdk uku seg dktt dout. Peyusu dktt utuk ertuju utuk megefektfk proses pemeljr. ugs dktt, g Dose seg pegjr, sedgk g Mssw seg peggt uku ctt. Dktt Mtemtk I ersk teor d sol-sol utuk dpt dselesk d rum,, segg wktu pemeljr dpt seefektf mugk utuk dperguk erdskus d megerjk yk peyeles sol-sol d dep kels. Peuls megrpk msuk dr pr mssw d pemc, segg dktt dpt le sempur dkemud r. Releut, Agustus Peuls, Z udd G tg

3 DAFTAR ISI Kt Pegtr... Dftr Is... Hl v. PENDAHULUAN.... Sstem Blg Rel.... Opers Blg.... Urut....4 Pertdksm Nl Mutlk FUNGSI d LIMIT.... Fugs d Grfk.... Opers pd Fugs Pegert Lmt Teorem Lmt....5 Lmt Kr d :Lmt K....6 Lmt Tk Hgg....7 Kekotu Fugs TURUNAN FUNGSI Pegert Turu Fugs Turu Fugs Kost d Fugs Pgkt Sft - Sft Turu Atur Rt utuk Turu Fugs Komposs Turu Fugs Ivers Turu Fugs Implst Turu Tgkt Tgg Turu Fugs Aljr d Fugs Trsede Turu Fugs Rsol Turu Fugs Irrsol Turu Fugs Trgoometr Turu Fugs Sklometr Turu Fugs Logrtm Turu Fugs Ekspoesl Turu Fugs Hperolk... 5

4 .9 Turu Fugs Prmeter INTEGRAL Rumus Dsr Itegrl deg Sustus Itegrl Prsl Itegrl yg Megslk Arcus Tge d Logrtm Itegrl Fugs Pec Rsol Ked N D Ked derjt N derjt D Ked Derjt N < Derjt D Itegrl Fugs Trgoometr Rumus-rumus Seder Betuk Rs cos d d Rcos s d Itegrl deg mempertk rumus-rumus Susttus y t / Itegrl Rt Rumus Reduks utuk Itegrl Fugs Trgoometr Itegrl Fugs Irrsol Rumus yg perlu dfl Betuk Irrsol Stu Suku Stu-stuy Betuk Irrsol Sustus Trgoometr INTEGRAL TERTENTU Pegert Itegrl Tertetu Aplks Itegrl Lus Der Volume Bed Putr Pjg Kurv Lus Permuk Bed Putr Us tu Kerj Mome d Pust Mss Ttk Bert... 4

5 PENDAHULUAN. Sstem Blg Rel Utuk mempeljr klkulus perlu memm s tetg system lg rel, kre klkulus ddsrk pd system lg rel d sftsfty. Sstem lg yg plg seder dl lg sl, ytu,,,... Deg megguk lg sl kt dpt megtug yky uku yg kt mlk, kedr yg mellu sutu jl, org-org yg erd dlm sutu rug d l-ly. Hmpu semu lg sl s dotsk deg N. Jd N {,,, 4, } Jk d dlm mpu semu lg sl kt tmk semu egtfy d ol, mk dperole lg-lg ult, ytu,,,,,,,, Hmpu semu lg ult s dsmolk deg Z. Jd Z {,,,,,,,, } Seljuty utuk megukur esr-esr sepert pjg, ert d rus lstrk mk lg ult tdk memd. Dlm l lg ult tdk dpt memerk ketelt yg cukup. Utuk keperlu mk dpt dguk 9 7 lg-lg rsol, sepert,,, d. Blg rsol ddefsk seg lg yg dpt dtuls deg deg d keduy lg ult d. Deg demk lg-lg ult termsuk lg rsol jug. Blg ult merupk lg rsol se dpt dtuls seg 6. Hmpu semu lg rsol s dotsk deg Q. Jd Q { Z, Z, } Blg rsol yg dpt mejd ukur deg ketelt yg cukup teryt ms tdk dpt mejd ukur semu esr msly pjg ss mrg segtg sku-sku erkut.

6 Gmr Deg megguk lg rrsol mk l terseut d ts tdk mejd msl. Pjg ss mrg segtg sku-sku terseut dl. Blg rrsol yg l tr l, 5, 7, e d π. Sekumpul lg rsol d rrsol esert egtfy d ol lg-lg rel lg yt. Hmpu semu lg rel dotsk deg R. Huug keempt mpu N, Z, Q, d R dpt dytk deg N Z Q R d dgmrk deg dgrm ve erkut. R Q Z N Gmr Ms terdpt sstem lg yg le lus dr system lg rel ytu lg yg secr umum dpt dytk dlm etuk deg d keduy lg ult, tu deg. Blg demk dmk lg kompleks d mpu semu lg kompleks dotsk deg C.

7 Dlm uku lg kompleks tdk dcrk le ljut. Jd, pl dlm uku dseutk sutu lg tp keterg ppu dmksudk dl lg rel.. Opers Blg Pd R tel dkel opers pejuml d perkl. Mslk d y lg rel mk pejuml d y dtuls y d perkl d y dtuls. y tu secr sgkt dtuls y. Sft-sft opers pejuml d perkl pd R dl seg erkut. Hukum komuttf: y y d y y. Hukum sostf: y z y z d yz yz. Hukum dstrutf: y z y z. 4 Eleme-eleme detts: Terdp pejuml: se. Terdp perkl: se.. 5 Ivers lk: Setp lg rel mempuy vers dtf dseut jug egtf yg memeu d setp lg rel yg tdk ol mempuy vers multplktf dseut jug lk ytu yg memeu.. Pegurg d pemg ddefsk deg y y d. y y. Urut Blg-lg rel uk ol dedk mejd du mpu terps ytu lg-lg rel postf d lg-lg rel egtf. Berdsrk fkt dperkelk rels urut < dc kurg dr yg ddefsk deg: < y jk d y jk y postf. < y mempuy rt yg sm deg y >.

8 Sft-sft urut: Trkotom: Jk d y lg-lg rel mk pst erlku sl stu d tr yg erkut: < y tu y tu > y. Trstf: jk < y d y < z mk < z. Pem: < y z < y z 4 Perkl: Jk z postf mk < y z < yz Jk z egtf mk < y z > yz Rels urut dc kurg dr tu sm deg ddefsk deg: y jk d y jk y postf tu ol. Sft-sft dl: Trstf: jk y d y z mk z. Pem: y z y z Perkl: Jk z postf mk y z yz Jk z egtf mk y z yz.4. Pertdksm Pertdksm merupk klmt teruk yg megguk rels <, >, tu. Peyeles sutu pertdksm dl semu lg yg memeu pertdksm terseut yg sy merupk tervl tu gug tervltervl. Mege tervl dpt djelsk seg erkut. Itervl teruk, dl mpu semu lg rel yg le esr dr d kurg dr. Jd, { < < }. Sedgk tervl tertutup [,] dl mpu semu lg rel yg le esr tu sm deg d kurg tu sm deg. Jd [,] { }. Beerp tervl dtujukk dlm dftr erkut. 4

9 Peuls Itervl Peuls Hmpu Dlm Grs Blg, { < < } [, ] { } [, { < }, ] { < }, { < }, ] { }, { > } [, { }, R Coto Pertdksm 7 < < 4 6 < 4 > 5 5 Coto Tetuk mpu peyeles pertdksm 7 < 4. Peyeles: 7 < 4 < 4 5 < 5 > 5 5 Hp: tervl, { > 5 } 5

10 Coto Tetuk mpu peyeles pertdksm 5 6 < 4. Peyeles: 5 6 < 4 < < Hp: tervl [, { < } Coto Tetuk mpu peyeles pertdksm 6 <. Peyeles: 6 < < Hp: tervl, { < < } Coto 4 Tetuk mpu peyeles pertdksm > Peyeles: > > Hp: tervl,, { < tu > } Coto 5 5 Tetuk mpu peyeles pertdksm Peyeles:

11 deg syrt megp? Hp: tervl, ] { < }.5 Nl Mutlk Kosep l mutlk sgt dperluk utuk mempeljr klkulus. Ole kre pemc yg g memm etul kosep-kosep dlm klkulus dsrk mempuy ketrmpl dlm ekerj megguk l mutlk. Defs: Nl mutlk lg rel, dtuls ddefsk deg jk jk < Msl: 5 5, 5 5 5, Sft-sft l mutlk ketdksm segtg 4 Pertdksm yg memut l mutlk Utuk meyelesk pertdksm yg memut l mutlk dpt dguk teorem erkut. 7

12 Teorem:. < < <. > < tu >. Secr fss dpt meytk jrk ke, segg yg memeu < meytk yg jrky ke kurg dr. Secr fss c dpt meytk jrk ke c, segg yg memeu c < meytk yg jrky ke c kurg dr c Coto Tetuk peyeles <. Peyeles: Nl yg memeu < < merupk peyeles pertdksm <. Gmrk peyeles pertdksm terseut pd grs lg. Coto Tetuk peyeles pertdksm <. Peyeles: < < < < < < < 5 Jd, peyelesy dl yg memeu < < 5. Gmrk pd grs lg peyeles pertdksm. 8

13 Coto Tetuk peyeles pertdksm 5. Peyeles: 5 5 tu 5 4 tu 6 4 tu Jd, peyelesy dl yg memeu 4 tu. Gmrk pd grs lg peyeles pertdksm. Coto 4 Adk ε epslo dl lg postf. ε Tujukk w < 5 < ε. 5 Peyeles: ε < 5 < ε 5 5 < ε 5 5 < ε < ε Coto 5 Adk ε epslo dl lg postf, crl lg postf δ sedemk segg < δ 6 8 < ε Peyeles: 6 8 < ε 6 < ε 6 < ε 6 < ε ε < 6 Ole kre tu dpt dpl δ 6 ε. 9

14 Secr mudur dpt dlt w < δ 6 8 < ε. Terkt deg lg kr pgkt du dpt dytk w SOAL Tetuk mpu peyeles pertdksm erkut d gmrk mpu peyelesy pd grs lg < < < > < 4 5. > < <. < 4 7. < 4 9 <. 4 < 8 8. < 5 < < > > 9. 4 > >. > 6.

15 Buktk w mplks yg dtujukk dl er. <, <, 5. ε. < 6 < ε. 6 ε. 4 < 8 < ε. Dlm sol erkut, jk ε lg postf, crl lg postf δ sedemk segg mplks yg derk er < δ 5 < ε 5. < δ 4 5 < ε

16 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI. Fugs d Grfky Defs Seu fugs f dr mpu A ke mpu B dl sutu tur yg memsgk setp ggot A deg tept stu y ggot B. A dseut dom der sl fugs f d B dseut kodom der kw. Sedgk mpu semu ggot B yg mempuy psg dseut rge der sl. f A B Gmr. Fugs Defs d ts tdk memerk pemts pd dom d kodom. Dom dpt erup mpu yg erggotk org tu yg l, demk pul kodom. Dlm ur seljuty dom d kodom dts pd mpu-mpu lg rel. Utuk memer m fugs dguk uruf tuggl sepert f tu g, tu F, mk f meujukk l yg derk ole f kepd. Jd jk f 4, mk

17 f 4 4 f 4 5 f 4 f 4 4 Coto Utuk f, crl d sederk:. f4. f4 c. f4 f4 f 4 f 4 d. deg. Peyeles: Coto Utuk f deg der sl {,,,, }, crl der sl fugs f. Peyeles:

18 Blm utuk seu fugs der sly tdk drc, mk dggp der sl fugs terseut dl mpu lg rel segg tur fugsy ermk d memerk l lg rel. Coto. Der sl f dl { R }.. Der sl gt 9 t dl {t R 9 t }. Apl der sl d der sl seu fugs merupk mpu lg rel, kt dpt memygk fugs tu deg meggmrk grfky pd sutu dg koordt, d grfk fugs f dl grfk dr persm y f. Coto 4 Butl skets grfk dr: f 4 g c Peyeles: 4

19 . Opers pd Fugs Jk f d g du fugs mk juml f g, sels f g, sl kl fg, sl g f/g d perpgkt f dl fugs-fugs deg der sl erup rs dr der sl f d der sl g, d drumusk seg erkut. f g f g f g f g f g f g f f / g slk g g Coto 5 Jk f d g, tetuk f g, f g, fg, f/g d f. Seljuty gmrl skets grfky. Peyeles: 5

20 Seljuty ddefsk komposs fugs seg erkut. Jk f d g du fugs deg der sl g merupk der sl f mk komposs g o f memeu g o f g f Coto 6 Jk f d g, tetuk g o f d f o g. Seljuty gmrl skets grfky. Peyeles: g o f g f g f o g f g f 4 Gmr grrfk drk utuk lt.. Pegert Lmt Perkt lmt errt medekt, sepert Sy sud me smp medekt ts kesr sy, tu Jgl kmu medekt z. Utuk memm pegert lmt fugs kt wl deg fugs erkut. f Fugs terseut tdk terdefs d se d ttk f eretuk. Tetp dpt dseldk mege l f d ttk-ttk yg dekt deg medekt. Pertk l f utuk eerp sepert terlt pd dftr d grfk y f dpt dlt pd gmr erkut. 6

21 y f,5,8,,,,,,?,999,997,99,97,9,7,75, Gmr. Berdsrk forms pd tel d pd grfk meujukk w f medekt pl medekt. Secr mtemts l terseut dtulsk deg lm d dc lmt / utuk medekt dl. Dlm coto kt meguugk lmt deg perlku fugs dekt deg, uky d. Coto Deg megguk eerp l pedekt tetuk s lm 7

22 Peyeles: y s,8447,5,95885,,998,,99998?,,99998,,998,5,95885,8447 Jd, s lm. Igt keml mege l mutlk. Jk ε dl semrg lg postf, mk jrk f ke lg L kurg dr ε dpt dytk dlm etuk: f L < ε d ekuvle deg L ε < f < L ε yg meujukk w f terletk pd tervl teruk L ε, L ε sepert terlt pd gmr.. Seljuty mslk δ dl sutu lg postf d cukup dekt deg c segg jrk ke c kurg dr δ, tetp c mk < c < δ d ekuvle deg c δ < < c δ yg errt terletk dlm tervl teruk c δ, c δ d dpt dgmrk sepert terlt pd gmr.. Fugs d Lmt Fugs 8

23 f f L ε L L ε c δ c c δ f L < ε < c < δ Gmr. Gmr-gmr dlm Gmr. d Gmr. drpk dpt memudk kt utuk memm defs forml dr lmt seg erkut. Defs Lmt f utuk medekt c dl L, dtuls lm f L c jk d y jk utuk setp lg ε > etppu kecly, terdpt lg δ > sedemk segg pl < c < δ erlku f L < ε. Fugs d Lmt Fugs 9

24 Utuk setp ε > terdpt lg δ > sedemk segg pl < c < δ erlku f L < ε Gmr.4 Coto Buktk w lm Alss pedulu: Mslk ε > semrg, kt rus dpt meemuk lg δ > sedemk segg pl < 4 < δ erlku 7 5 < ε. Pertk 7 5 < ε < ε 4 < ε 4 < ε ε 4 < Fugs d Lmt Fugs

25 Ole kre tu dpt dpl δ ε. Tetu sj dpt dpl lg δ yg kurg dr ε. Bukt: ε Aml semrg lg ε >. Kt pl δ >, ytu δ. Apl < 4 < δ mk erlku 7 5 Jd, terukt lm < δ. ε ε. Coto Buktk w lm 5 Alss pedulu: Mslk ε > semrg, kt rus dpt meemuk lg δ > sedemk segg pl < < δ erlku 5 < ε. Pertk 5 < ε 5 5 < ε < ε < ε ε < < ε Ole kre tu dpt dpl δ ε tu yg le kecl dr ε. Fugs d Lmt Fugs

26 Bukt: ε Aml semrg ε > dpl δ segg < < δ erlku < δ ε < ε Berrt terukt w lm 5. Coto 4 Buktk lm m mc c Alss Pedulu: Utuk setp ε >, k dcr lg δ > sedemk segg pl < c < δ erlku m mc < ε. Pertk: m mc < ε m mc < ε m c < ε ε c < slk m m Dpt dpl δ m ε. Bukt: Utuk m, ukt cukup jels. Msl m. Utuk setp ε > dpl δ m ε. Ole krey jk < c < δ mk erlku m mc m mc m mc Fugs d Lmt Fugs

27 m c < m m ε ε. Fugs d Lmt Fugs

28 Coto 5 Buktk, jk c >, mk lm c c Alss Pedulu Ak dcr lg δ > sedemk segg pl c < ε utuk setp ε >. < c < δ erlku Pertk: c c c c c c c c c c Dpt dpl δ ε c Bukt: Aml semrg ε > dpl δ ε c. Ole krey jk < c < δ mk c ε c erlku c < < ε. c c.4 Teorem Lmt Teorem.4. Mslk lg ult postf, k kostt, sert f d g fugs-fugs yg mempuy lmt d c, mk: lm k k c lm c c lm kf k lm f c c Fugs d Lmt Fugs

29 4 lm [ f g ] lm f lm g c c c 5 lm [ f g ] lm f lm g c c c 6 lm [ f. g ] lm f. lm g 7 8 c c c lm f f c lm, slk lm g g lm g c c lm [ f ] f c lm c c 9 lm f lm f, slk lm f > utuk lg gep. c c c Bukt teorem.4. drk utuk lt. Deg megguk teorem mk peetu l lmt sutu fugs k mejd le mud. Coto 6 Crl lm 5 Peyeles: lm 5 lm teorem lm teorem teorem Coto 7 Crl lm 5 Peyeles: lm 5 lm 5 lm teorem teorem.. 5. Fugs d Lmt Fugs 4

30 Coto 8 Crl lm 5 lm 5 5 Peyeles: lm teorem.. 7 lm lm 5 teorem.. d 9 5 dr coto 7. 5 Igt, etuk f... polom dseut fugs rsol, dseut polom d sl g m m. Teorem.4. Jk f fugs p olom mk lm f fc c Jk f fugs rsol mk lm f fc slk l peyeut d c tdk ol. c Teorem.4. dpt duktk deg megguk teorem.4.. Deg dy teorm.4. mk peetu l lmt fugs polom tu fugs rsol mejd sgt mud, tetuy slk syrt perlu pd teorem terseut utuk fugs rsol dpeu. Fugs d Lmt Fugs 5

31 Coto 9 5 Tetuk lm Peyeles: lm Coto Tetuk lm 6 8 Peyeles: lm Coto 7 Tetuk lm Peyeles: lm 7 Teorem.4. tdk dpt dguk kre l peyeut d dl ol d teorem.4. g 7 jug tdk dpt duguk kre lmt peyeut ol. Tetp, kre lmt pemlg, mk selm medekt terjd pemg lg yg dekt deg lg postf dekt. Hsly dl seu lg postf yg esr d dpt dut esr sekeedk kt deg memrk cukup dekt deg. Dlm l dktk lmty tdk d. Coto sepert k durk le ljut pd g l. Coto Tetuk lm 6 Peyeles: Seelum meco megml lmty terle dulu ddk peyeder pec deg fktorss. 5 lm lm 6 5 lm 7 5 Fugs d Lmt Fugs 6

32 Teorem.4. Teorem Apt Mslk f, g d dl fugs-fugs deg f g utuk setp d sektr c, kecul mugk d c. Jk lm f lm L, c lm g c c mk L. Bukt: Derk lg ε > Kre Kre lm c f L, errt terdpt lg δ > sedemk gg < c < δ f L < ε L ε < f < L ε. lm L, errt terdpt lg δ > sedemk gg c < c < δ L < ε L ε < < L ε Dpl δ m{δ, δ } Apl < c < δ mk erlku L ε < f g < L ε L ε < g < L ε g L < ε Terukt lm g L. c Coto Dpt dseldk w 6 tdk. Tujukk w s lm s. utuk semu yg medekt tetp Fugs d Lmt Fugs 7

33 Peyeles: Mslk f s, g, d, mk lm f 6 d lm, segg dperole s lm lm lm 6 s lm lm 6 Berdsrk teorem.4. mk dpt dsmpulk s lm. SOAL. Utuk fugs f, tugl msg-msg l. f c. f. f 6 d. f t. Utuk fugs gt t, tugl msg-msg l. f c. f 4. f9 d. f 4. Gmrl grfk fugs 4,. f., > g,,, < < 4. Jk f d g, tetuk:. f g d. f / g. f g e. g o f c. f g f. f o g 5. Jk f d g, tetuk: Fugs d Lmt Fugs 8

34 . f g d. f o g. f / g e. f 4 g 4 c. g o f Dlm sol omor 6, uktk lmt-lmt terseut. 6. lm 7 7. lm lm lm. lm Buktk w jk lm f L d lm f M, mk L M. c. Mslk F d G dl fugs-fugs sedemk segg F G utuk semu dekt deg c, kecul mugk d c, uktk w jk lmg mk lm F. c c Utuk sol-sol erkut o. s.d., tetuk l lmt fugs erkut. lm7 4 c lm lm lm 4 u u lm u u 4 8. t 7t 7 lm t 4t 5 t Fugs d Lmt Fugs 9

35 9. w w w 6 lm w 4w 4 w. y y y lm y y y Fugs d Lmt Fugs

36 .5 Lmt Kr d Lmt K Defs Lmt f utuk medekt c dr kr dl L, dtuls lm f L c jk utuk setp lg ε > etppu kecly, terdpt lg δ > sedemk segg pl < c < δ, mk erlku f L < ε. Lmt f utuk medekt c dr k dl L, dtuls lm f L c jk utuk setp lg ε > etppu kecly, terdpt lg δ > sedemk segg pl < c < δ, mk erlku f L < ε. Teorem.5. lm f L jk d y jk lm f lm f L c c c Coto 4 f,, < Tetuk lm f, lm f, d lm f, seljuty gmrk grfk fugs f. Peyeles: lm f lm lm f lm Kre lm f lm f mk lm f. Fugs d Lmt Fugs

37 Coto 5, g Tetuk lm g, lm g, d lm g,, < seljuty gmrk grfk fugs g Tetuk lm g, lm g, d lm g, seljuty gmrk grfk fugs f. Peyeles: lm g lm lm g lm Kre lm g lm g mk lm g tdk d..6 Lmt Tk Hgg Coto 6 Crl lm jk d. Peyeles: Semk medekt, jug semk dekt ± deg, d l mejd sgt esr ±,5 4 ±, 5 lt tel d smpg. Nmpk dr grfk ±, fugs f yg dperltk pd ±,5 4 ±,. gmr.4 w l f dpt dut sgt ±,.. esr deg megml cukup dekt ke. deg demk l f tdk medekt sutu lg, segg lm tdk d. Utuk meujukk jes perlku sepert ug dtujukk dlm coto kt guk ots Fugs d Lmt Fugs

38 lm Hl tdk errt w kt megggp seg sutu lg. Tdk jug ermk w lmt terseut d. Nots terseut yl meytk cr kusus utuk meujukk w lmt terseut tdk d. Secr umum kt tulsk lm f c utuk meujukk l f mejd semk esr ketk semk medekt c. Lmt jes serup, utuk fugs yg mejd egtf tk ergg ketk medekt c dtulsk deg lm f c Coto 7 lm Hl jug dpt derlkuk utuk lmt kr d lmt k lm f lm f c c lm f lm f c c Seu grs c dseut smtot tegk kurf y f jk plg sedkt sl stu dr peryt erkut er: lm f lm f lm f c c c c lm f lm f lm f c Seg coto, sumu Y tu merupk smtot tegk kurv y kre lm. c Fugs d Lmt Fugs

39 Coto 8 Htugl lm π t d lm π t Peyeles: lm t π lm t π s lm cos π s lm cos π lm s π lm π lm π lm π cos s cos.7 Kekotu Fugs Defs Mslk f : A R sutu fugs, mk. Fugs f dktk kotu d c A jk lm f f c. Fugs f dktk kotu pd mpu A jk f kotu dsetp ggot A. c Defs megdug rt w f dktk kotu d c A jk dpeu ketg syrt erkut: lm f d c Nl fc d lm f f c c Fugs d Lmt Fugs 4

40 Coto 9 4,. f, Apk f kotu d? Gmrk grfk fugs f. Peyeles: lm f lm f d 4 lm lm Kre lm f f mk f tdk kotu d. 4 d Gmrk grfk fugs f dserk kepd pemc. 4. f Apk f kotu d? Gmrk grfk fugs f. Peyeles: lm f lm 4 lm lm f tdk d Kre f tdk d, mk f tdk kotu d. Gmrk grfk fugs f dserk kepd pemc. 4 d 4,. f 4, Apk f kotu d? Gmrk grfk fugs f. Fugs d Lmt Fugs 5

41 Peyeles: lm f lm f 4 d 4 lm lm Kre lm f f mk f kotu d. 4 d Gmrk grfk fugs f dserk kepd mssw. 4. f,, < Apk f kotu d? Gmrk grfk fugs f. Peyeles: lm f lm lm f lm Kre lm f lm f mk lm f d Lt keml coto 4. f d Kre lm f f, mk f kotu d. Gmrk grfk fugs f dserk kepd mssw., 5. g, < Apk g kotu d? Gmrk grfk fugs g. Peyeles: lm g lm lm g lm Fugs d Lmt Fugs 6

42 Kre lm g lm g mk lm g tdk d. lt keml coto 5 Kre lm g tdk d, mk g tdk kotu d Teorem.7.. Fugs polom fugs suku yk kotu pd R.. Jk fugs-fugs f d g keduy kotu d c d k semrg kostt mk fugs f g, f g, kf, f /g sl lm g jug kotu d c.. Jk g fugs yg kotu d c d f fugs kotu d gc mk f o g kotu d c. c SOAL. Tetuk lmt sepk erkut:. lm. lm, < c. f,,, > lm f, lm f, lm f, d lm f. Apk fugs-fugs erkut kotu d? t 8, t t. t, t Fugs d Lmt Fugs 7

43 . t,, 8 4 t t t t c. g <,, d. f >,, 4. f > <,,,. Apk f kotu d?. Apk f kotu d? 4. > <,,, g. Apk g kotu d?. Apk g kotu d? Fugs d Lmt Fugs 8

44 TURUNAN FUNGSI. Pegert Turu Fugs Defs Turu fugs f dl fugs f yg ly d c dl f c f c f c lm slk lmt d. Coto Jk f 4, mk turu f d dl f f f lm lm lm lm lm lm 4 Jk f mempuy turu d setp ggot dom mk f f f lm dy Jk y f turu y tu turu f dotsk deg y, tu, tu f, tu d df d Turu Fugs 8

45 Coto Jk f 4, mk turu f d semrg dl f f f lm 4 4 lm 4 4 lm 6 lm 6 lm 6 lm 6. Turu Fugs Kost d Fugs Pgkt. Jk f k deg k kost utuk setp f fugs kost, mk f. Bukt: f f f lm k k lm. Jk f utuk setp f fugs detts, mk f. Bukt: f f f lm lm lm.. Jk f deg lg ult postf, utuk setp, mk f. Bukt: f f f lm lm Turu Fugs 9

46 lm lm lm... lm Coto Jk f 5, mk turu f dl f 5 4. Sft-sft Turu Jk k sutu kostt, f d g fugs-fugs yg terdfereslk, u d v fugsfugs dlm segg u f d v g mk erlku:. Jk y ku mk y ku. Jk y u v mk y u v. Jk y u v mk y u v 4. Jk y u v mk y u v u v 5. Jk y v u u ' v uv ' mk y v Coto 4. Jk f 5, mk f Jk f 5, mk f 5 4. Jk f 5, mk f Jk f 5 4 7, mk f Jk f , mk f Turu Fugs 4

47 6. Jk f p deg p lg ult egtf mk f deg p, segg f.. f p p u. Deg megguk turu y dperole v.4 Atur Rt utuk Turu Fugs Komposs Utuk meetuk turu y deg cr meglk ersm keseml fktor kemud mecr turu polom erderjt 6 tetul sgt melelk. Cr yg mud utuk meetuk turu y dl deg megguk tur rt. Atur Rt Mslk y fu d u g meetuk fugs komposs yg drumusk deg y fg f o g. Jk g terdfereslk d d f terdfereslk d u g mk y f o g terdfereslk d d y f o g f g g tu dy d dy du du d Fugsí komposs dpt dperlus mejd komposs fugs, 4 fugs d seterusy. Jk y fu u gv v yk y f o g o mk dy d dy du du dv dv d Turu Fugs 4

48 Coto 5 Tetuk turu y Peyeles: Mslk u 4 du d y u 9 dy 9u 8. du dy dy du 9u 8 7 d du d Turu Fugs Ivers Mslk y f d f mempuy vers f segg f y. Deg megguk tur rt pd f y dperole d df y d dy d dy d dy dy d dy d dy d.6 Turu Fugs Implst Fugsí mplst secr umum dpt dtuls seg f, y deg y seg fugsí dlm. Coto fugs mplst: y 8 y 7y Coto 6 dy. Tetuk dr fugsí yg drumusk deg y 8 d Peyeles: Apl kedu rus y 8 dturuk terdp, mk dperole: Turu Fugs 4

49 dy 6 d dy 6 d dy. Tetuk dr fugsí yg drumusk deg y 7y d Peyeles: Apl kedu rus y 7y dturuk terdp, mk dperole: 6 y dy dy 7 d d dy 7 6 y d dy 6 y d 7.7 Turu Tgkt Tgg Jk fugs dturuk mk turuy, ytu f jug erup fugs segg ole jd f mempuy turu tersedr yg dytk ole f f. Fugs yg f ru dseut turu kedu dr f kre d merupk turu dr turu f. Deg ots Lez kt tulsk turu kedu dr y f seg Nots l dl f D f d d dy d y d d Coto 7 Jk f 4 7 8, tetuk f. Peyeles: f 7 utuk mecr f kt turuk f : d f 7 d 6 Coto 8 Jk f 5 4 7, tetuk f. Turu Fugs 4

50 Peyeles: f d d d 4 7 d d f [ ] d d [5 4 d 4 7] [ 5 4] d d d 4 4 d d d d d 5 5 d 4 4 d Turu Fugs Aljr d Fugs Trsede Fugs Fugs Aljr Fugs Rsol Fugs Irrsol Fugs Trgoometr Fugs Sklometr Fugs Trsede Fugs Logrtm Fugs Ekspoesl Fugs Hperolk.8. Turu Fugs Rsol Coto-coto tetg turu yg durk seelumy coto dl coto-coto turu fugs rsol. Jd turu fugs rsol tdk perlu ds keml..8. Turu Fugs Irrsol Fugs Irrsol dl kr dr fugs-fugs rsol Turu Fugs 44

51 Coto 9 Tetuk turu y deg lg ult postf Peyeles: y y d segg y dy Coto dy d Tetuk turu y Peyeles: y d dy y 4 4 y 4 Deg tur rt dperole: y Turu Fugs Trgoometr Ak dcr turu fugs kosus seg erkut. Igt: cos cos cos s s. Jk f cos, mk f f f lm cos cos lm cos cos s s cos lm cos cos s s lm cos cos s s lm lm cos s lm cos lm lms lm cos. s. s Turu Fugs 45

52 Jd, jk f cos, mk f s Alog: jk f s, mk f cos jk f tg, mk f sec jk f ctg, mk f cosec jk f sec, mk f sec tg jk f cosec, mk f cosec ctg.8.4 Turu Fugs Sklometr Fugs sklometr dl vers fugs trgoometr. Ak dcr turu vers fugs sus rcus sus erkut. y rc s s y y d cos y dy dy d cos y cos y Jd, jk y rc s, mk y Turu Fugs 46

53 Alog: jk y rc cos, mk y jk y rc tg, mk y jk y rc ctg, mk y jk y rc sec, mk y jk y rc cosec, mk y.8.5 Turu Fugs Logrtm Ak dcr turu f l erkut. f f f lm l l lm l lm l lm l lm. lm l Turu Fugs 47

54 lm l lm l lm Meggt lml f l lm f d Segg dperole: f lm l lm lm e l lm lm l e Jd, jk f l, mk f Seljuty jk y log mk turuy dpt dcr seg erkut. y l log y l Segg y l l l l Turu Fugs 48

55 Jd, jk y log, mk y l.8.6 Turu Fugs Ekspoesl Ak dcr turu y seg erkut. y l y l l y l l y l l y l d Segg dy l y dy Dperole y l. d l Jd, jk y, mk y l Kususy utuk e, jk y e, mk y e l e e Jd, jk y e, mk y e Turu Fugs 49

56 .8.7 Turu Fugs Hperolk Defs s e e cot t e e e e cos e e sec cos e e t s cos e e e e csc s e e Jk f s, mk deg megguk turu fugs ekspoesl dperole f ' d e e d e e e e cos. Jd, jk f s, mk f cos.9 Turu Fugs Prmeter Apl dsjk persm eretuk: ft y gt mk persm dseut persm prmeter dr d y, d t dseut dy prmeter. Dr etuk prmeter dpt dcr deg cr seg d erkut. Dr ft detuk t deg fugs vers dr f. Nmpk w y gt merupk etuk fugs komposs y gt g Turu Fugs 5

57 dy dy Dperole d dt segg dy d dt d dy dy tu d dt dy dt d dt d dt SOAL dy Crl utuk yg erkut d. y y. y 4 6. y. y 4. y 7. y dy Deg tur rt tetuk utuk yg erkut d 8. y y y s 5. y y cos 4. y s 7. y rcs 4. y cos 4 8. y rctg 4 8. y s 9. y l y 4. y e 9 Tetuk turu fugsí mplst erkut. y y y. 4 9y 6 7. y y. y 4 8. y s y 4. y 6 9. cos y y 5. y 9y. 6 y y y Turu Fugs 5

58 dy Tetuk utuk fugís prmeter erkut d. y 9t 4. l t 9 s t y t 7. y 9t t 9 5. e rc s t y cosec t. l 9t 6. y sec t y s t tg t Turu Fugs 5

59 Itegrl 4 INTEGRAL Defs 4.. Fugs F dseut t turu tegrl tk tetu dr fugs f pd mpu D jk utuk setp D. F f Fugs tegrl tk tetu f dotsk deg f d d f dmk tegr. d Jd d Coto f d f. s, s 5, s 7 dl fugs-fugs tegrl tk tetu dr cos pd seluru grs rel, se dervtf merek sm deg cos utuk semu. Sft 4..: Mslk f d g mempuy t turu d k sutu kostt, mk. kf d k f d. [ f g ] d f d g d Teorem 4.. Jk F d G keduy tegrl tk tetu dr f pd tervl I, mk F d G ersels sutu kostt pd I Jd F G C deg C semrg kostt. Akt 4..4 Jk F sutu fugs tegrl tk tetu dr f, mk deg C kostt semrg. f d F C. Tor, Klkulus Itegrl 5

60 Itegrl 4. Rumus Dsr. d. d C,. d rc t C l C, rc cot C. e d e C. 4. d l d rc s C C, rc cos C > 5. s d cos C. d rc sec C 6. cos d s C rc csc C 7. sec d t C 4. s d cos C 8. csc d cot C 5. cos d s C 9. sec t d sec C. csc cot d csc C SOAL Tetuk:. d. d. d 4. s d 5. d Tor, Klkulus Itegrl 54

61 Itegrl 4. Itegrl deg Susttus 6 Msl: Tetuk 5 d Utuk meyelesk permsl sepert dpt dguk tur sepert pd teorem erkut. Teorem 4.. Jk u g yg ddefsk pd tervl I mempuy vers g u d fugs-fugs g d g keduy mempuy dervtf yg kotu pd tervly msg-msg, d f kotu pd tervl d m g ddefsk, mk Coto 6 Tetuk 5 d f { g } g ' d f u du Peyeles: Susttusk u 5 du d du d 6 6 mk 5 d 5 d u 6 du Coto 6 Tetuk 5 d u C 7 5 C Peyeles: Susttusk u 5 du 6 d du 6 d Tor, Klkulus Itegrl 55

62 Itegrl 6 6 mk 5 d 5 6 d 6 u 6 du u C 7 5 C Coto 4 Tetuk cos d Peyeles: Susttusk u du d du d mk cos d cosu du s u C s C SOAL Tetuk:. 9 d 6. d 4 9 d. 5 d d 8. 4 d 4. d l sl 5. d s 9. e cos d 4. e d Tor, Klkulus Itegrl 56

63 Itegrl 4. Itegrl Prsl Msl: Tetuk e d Mslk: u f f ' d du f ' d du u ' d v g g ' d dv g ' d dv v ' d d uv uv f g f ' g f g ' d d uv f ' g d f g ' d duv duv Jk kedu rus dtegrlk, dperole uv v du u dv u dv uv v du u ' v d uv ' d v du u dv Coto 5 Tetuk e d Peyeles: Mslk u du d dv e d v e d segg e d e e d e e d e e C e Coto 6 Tetuk e d Peyeles: Mslk u dv e d du d v e d e Tor, Klkulus Itegrl 57

64 Itegrl segg e d e e d e e d e e e C e e e C Coto 7 Tetuk cos d 5. Peyeles: Mslk u du d dv cos d v cos d s segg cos d s s d s cos C Coto 8 Tetuk e cos d Peyeles: Mslk u e segg e cos d e du e d dv cos d v cos d s s e s e s e d s d msl u e du e d dv s d v s d Dperole e cos d e e cos d e cos d e { e e s cos cos d } e s e cos cos e d e e s e cos cos e d s e cos s e cos C cos Tor, Klkulus Itegrl 58

65 Itegrl SOAL Tetuk:. s d 6. e s d. s d 7. rcs d. l d 8. rct d 4. e d e d. l l l d d 4.4 Itegrl yg Megslk Arcus Tge d Logrtm Igt: d rc t C Berdsrk rumus d ts dpt duktk w utuk kostt, mk erlku: d rc t C 4.4. Pertk peyeut dlm tegr. Seljuty k dcr c d Jk f c deg D 4 4c <, mk f deft postf d sellu dpt dw ke etuk f p deg p c > segg d c p d d deg megguk 4.4. dpt dperole d c rct C 4.4. p p deg p c Tor, Klkulus Itegrl 59

66 Itegrl Coto 9 Tetuk Peyeles: d Deg megguk rumus 4.4. dperole d rc t C Coto Tetuk 9 d Peyeles: Deg megguk rumus 4.4. dperole d rc t C Coto Tetuk d 5 Peyeles: c 5 p 5 4 Deg rumus 4.4. dperole d rc t 5 Atu secr lgsug deg cr erkut: d 5 d rc t C 4 C Seljuty gt: d l C Deg rumus dpt dtujukk w g ' g d l g C 4.4. Tor, Klkulus Itegrl 6

67 Itegrl Coto Tetuk d 4 Peyeles: Deg rumus 4.4. dperole d l 4 C 4 Coto 5 Tetuk d 6 Peyeles: 5 6 d 6 d 6 6 d 6 d 6 l 6 d 4 l 6. rc t l 6 rc t C C SOAL Tetuk: 5. d 5. d d 6. 5 d 6. t s d d cos 7. 4 d d d 4 7 Tor, Klkulus Itegrl 6

68 Itegrl 4.5 Itegrl Fugs Pec Rsol P o... deg dmk poloml fugsí suku yk erderjt. Fugs kost P o o dpt dpdg seg poloml erderjt ol. N Fugs pec rsol dl fugs eretuk deg N d D polomlpoloml. D Ur mege tegrl fugs pec rsol dpt dperc utuk eerp ksus seg erkut Ked N D Jk N D mk erdsrk rumus 4.4. dperole: N d l D C D d sud ds pd g 4.4 segg tdk perlu dulg Ked derjt N derjt D Lkuk pemg N ole D segg dperole etuk N R Q deg derjt R < derjt D D D Q dl polom, segg tegrly sgt mud. Coto. d d d d... 6 Kepd pemc dperslk utuk meljutk peyeles kedu coto dlm coto d ts. Deg demk yg perlu dpeljr le ljut dl ked dm derjt N < derjt D d N D Tor, Klkulus Itegrl 6

69 Itegrl 4.5. Ked Derjt N < Derjt D Pd pems N D. Tp megurg umumy pemcr, dml koefse suku pgkt tertgg dr dlm D dl stu. Utuk N megtug d, terle dulu tegr dps mejd pecpec D prsly. Coto 4 Jd 6 6 dpt dpec mejd pec-pec prsl erkut d 6 d d d d d 5 d l l 5l C Kre seelum melkuk pegtegrl terle dulu ddk pems N mejd pec-pec prsly, mk seelumy perlu dpeljr D N cr mems mejd pec-pec prsly terseut. D Mems Pec Mejd Pec Prsl Dlm pemcr tetp dsumsk: derjt N < derjt D koefse suku pgkt tertgg dr dlm D dl stu N d D tdk lg mempuy fktor persekutu Tor, Klkulus Itegrl 6

70 Meurut ked fktor-fktor D, dlm memsk N D Itegrl mejd pecpec prsly dpt dedk mejd 4 ked, ytu:. Semu fktor D ler d erl. Semu fktor D ler tetp d yg sm erulg c. D mempuy fktor kudrt d semu fktor kudrty erl d. D mempuy fktor kudrt yg sm.. Semu fktor D ler d erl Mslk fktor-fktor D dl,, c, d d, mk D c d. Detuk N D A B C D c d seg sutu detts dlm, segg utuk setp l yg derk mk l rus kr d l rus k dlm sm. Kostt A, B, C, d D dl kostt-kostt yg ms k dcr ly. Coto 5 Psk Peyeles: ts pec-pec prsly. 4 6 Detuk A B C A B C 6 6 A B C utuk A4 A utuk B B utuk 6 C 4 C 5 Jk l A, B, d C dsusttusk ke dlm mk dperole Tor, Klkulus Itegrl 64

71 Itegrl segg d 6 5 d d d l l 5l C Pd g djump etuk d. Semu fktor D ler tetp d yg sm erulg Mslk fktor-fktor D dl,, c, c, d, d, d d, mk D c d. Seljuty detuk N D A B C D E F G c c d d d Pertk suku-suku pec d rus k terutm yg sesu deg kr sm c d d. Coto 6 Psk Peyeles: ts pec-pec prsly. Detuk A B C D 4 A B C D utuk D utuk 7A utuk A B C D utuk 8A 4B C D Dr keempt persm terseut dperole: 6 A, B, C, D Jd Tor, Klkulus Itegrl 65

72 Itegrl Seljuty dpt dcr tegrl d d d d d... d Pd g djump etuk d d d,,... c. D mempuy fktor kudrt d semu fktor kudrty erl Igt teorem dlm ljr erkut. Teorem: Akr-kr tdk rel persm derjt tgg deg koefse rel sepsg-sepsg ersekw, rty jk sutu kr mk jug kr persm tu Berdsrk teorem terseut mk pl kr persm D mk demk jug, segg sl stu fktor D dl { }{ } yg deft postf. Msl D p q { }{ c d } mk perlu detuk N D A p B q C D E F G q c d 5 Coto 7 Psk Peyeles: ts pec-pec prsly. Detuk A B C A B C utuk A utuk A C utuk A B C Setel dcr l-l A, B, d C dperole A, B, d C, segg Tor, Klkulus Itegrl 66

73 Itegrl Jd d d d Pd g djump etuk d, d,,..., d d B AX d. D mempuy fktor kudrt yg sm Berdsrk teorem dlm g c d ts mk pl merupk kr erlpt k dr persm D mk demk jug, d fktor-fktor dr D yg sesu deg kr-kr dl { } k. Msl D p q { }{ c d } mk perlu detuk D N } { d c J H d c G F E D q C q B p A } { d c L K Coto 8 Psk 5 ts pec-pec prsly. Peyeles: Deg cr sepert yg tel derk seelumy ddptk 5 Tor, Klkulus Itegrl 67

74 Itegrl 5 Jd d d d d AX B Pd g dpt mucul etuk d,,,..., d { } N Dlm mecr d D kt ddpk kepd empt jes tegrl yg eretuk: d d,,... AX B d AX B 4 { } d,,,... Tg etuk yg pertm tel dpt dselesk megguk teor-teor yg sud derk. Adpu tegrl etuk keempt dpt dselesk deg susttus y seg erkut. AX B Ay A B d { } dy { y } A d y A B { y } { y } Itegrl utuk suku pertm pd rus terkr uk msl kre eretuk du,,,... Sedgk tegrl pd suku keduy dpt du mejd u A B A B dy dy { y } y A B Utuk megtug tegrl dt { t } dt { t } deg t y dy dpt dguk rumus reduks erkut Tor, Klkulus Itegrl 68

75 Itegrl dt { t } t t dt { t } Dlm tuls tdk derk ukt rumus reduks terseut. Coto 9 Selesk 4 Peyeles: 4 d d. 4 4 d 4 d 4 4 d d 4 4 { 9} d d 4 4 { 9} 4 4 { 9 [ / ] } 8 {[ / ] } d d d Utuk 8 8 {[ / ] } {[ / ] } d d susttusk t, dt d segg { t } dt t. dt. t. t { } dt t t t rctt 7 t { } t Tor, Klkulus Itegrl 69

76 Itegrl Jd 4 d 7 rct. rct 7 6 rct {[ / ] } d rct 7 54 C. LATIHAN. d 4 4. d 4. d 5. 4 d. d 4 6. d 4.6 Itegrl Fugs Trgoometr 4.6. Rumus-rumus Seder cos d s C t d l cos C s d cos C cot d l s C sec d t C sec t d sec C csc d cot C csc cot d csc C sec d l sec t C csc d l csc cot C 4.6. Betuk Rs cos d d Rcos s d Jk R fugs rsol mk Rs cos d R s ds R y dy Tor, Klkulus Itegrl 7

77 Itegrl Rcos s d R cos dcos R t dt Deg meggt rumus cos s, mk: Rs, cos Rcos, s cos d R y, y dy s d R t, t dt Coto. cos s 7 cos d. s d 4.6. Itegrl deg mempertk rumus-rumus s s y y cos y } s cos y y s y } cos cos y y cos y } s cos } cos cos } Coto Crl. s s d. s cos d. cos cos d 4. s d 4 5. s d Susttus t y Jk Rs, cos fugs rsol dlm s d cos, mk R s, cos d megguk susttus dpt dw mejd tegrl fugs rsol dlm y deg y t. Tor, Klkulus Itegrl 7

78 Itegrl y t rc t y d dy y Seljuty pertk y y Mempertk gmr d ts dpt dpm w y s d cos y y s s. s cos y y y y y y Jd s. y Deg megguk rumus cos cos. dperole y cos y y t y cot y y Coto d Crl:. s d. cos d. s cos 4. csc d Tor, Klkulus Itegrl 7

79 Itegrl Itegrl Rt Jk tegr fugs rsol dlm t sj, mk dpt djdk tegrl fugs rsol dlm y deg susttus y t, segg rc t y d dy d. y R y t d dy y R Jd Coto Crl:. t d. d t Rumus Reduks utuk Itegrl Fugs Trgoometr Jk lg ult postf, mk: s cos d y d t dy deg y cos dt deg t s Utuk lg gep postf dpt dguk rumus: cos s t cot sec csc s cos d cos d cos s d s d t d t d cot d cot d s sec d sec d cos csc d csc d Bukt rumus-rumus d ts tdk derk dlm tuls. Tor, Klkulus Itegrl 7

80 Itegrl LATIHAN 4.7 Itegrl Fugs Irrsol Dlm tuls ds eerp jes tegrl fugs rrsol. Pd dsry tegrl dselesk deg megu tegrl rrsol mejd tegrl rsol, k rsol ljr mupu trgoometr Rumus yg perlu dfl d rcs C d rc sec C d l C 4 d l C 5 d rcs C 6 d l C 7 d l C Du rumus pertm mud dw ke etuk rumus tegrl dsr deg susttus y. Sedgk rumus-rumus yg l dpt duktk deg megguk metode yg k dtergk pd g Tor, Klkulus Itegrl 74

81 Itegrl 4.7. Betuk Irrsol Stu Suku Jk tegr y memut etuk rrsol dr stu mcm suku, msly, mk tegrl dpt djdk tegrl rsol deg susttus kelpt persekutu terkecl dr pgkt-pgkt kr. y dm Coto 4 d y 6 6 dml susttus, segg y d d 6y 5 dy 4.7. Stu-stuy Betuk Irrsol c Dlm l c seg stu-stuy etuk rrsol d dlm tegr, mk tegr dpt djdk rsol deg susttus c tu y, jk > c y c, jk c Deg susttus yg pertm dperole ke dlm etuk rsol dlm y kl dy. y c y d d dpt dytk Coto 5 d dml susttus 6 6 y, segg y y 6y d d dy. Seljuty dpt dselesk sepert y y tegrl rsol Susttus Trgoometr Deg mempertk rumus trgoometr cos s d t sec etuk-etuk rr sol erkut dpt djdk etuk rsol fugs trgoometr. Tor, Klkulus Itegrl 75

82 Itegrl Betuk Susttus Dferesl s θ d cosθ dθ sec θ d secθ tθ dθ t θ d sec θ dθ Coto 6. Buktk d rcs C. Guk susttus s θ utuk meetuk. Crl d 6 9 d LATIHAN 4.7. d. d. 4. d 4 d 4 8 Tor, Klkulus Itegrl 76

83 5 INTEGRAL TERTENTU Itegrl Tertetu 5. Pegert Itegrl Tertetu Defs 5.. Prts P pd tervl [,] dl sutu suset ergg P {,,,, } dr [,] deg < < < <. Jk P {,,,, } prts pd [,] mk Norm P, dtuls P, ddefsk seg P m{ -,,,, }. Coto :. Pd tervl [, ], sutu prts P {,,,,, }mempuy orm: P m{,,,, } m{,, 65, 5, } 5. Jk f fugs yg ddefsk pd [,], P {,,,, } sutu prts pd [,], w [ -, ], d Δ -, mk [,]. f w Δ dseut Juml Rem f pd y f w w w w 4 w w Tor, Klkulus Itegrl 77

84 Itegrl Tertetu Coto : Fugs f pd [, ] ddefsk deg f d P {,,,,, } prts pd [, ]. Dpl ttk-ttk: w, w, w, w 4, w 5. 9 w fw Δ fw.δ w fw 4 Δ fw.δ 4 w fw Δ 6 5 fw.δ w 4 fw 4 4 Δ 4 fw 4.Δ w 5 fw 5 9 Δ 5 fw 5.Δ 5 9 Juml Rem fugs f terseut pd tervl [, ] ersesu deg prts P d ts 5 dl f w Δ. 9 Jk P {,,,,,,, } prts pd [, ] d w, w, w, w 4, w 5, w 6, sert w 7 4 tetuk juml Rem fugs f pd [, ] ersesu deg prts P. Defs 5... Jk f fugs yg terdefs pd [,] mk: lm f w Δ L jk d y jk P utuk setp lg postf ε terdpt lg postf δ segg utuk setp prts P {,,,, } pd [,] deg P < δ, erlku f w Δ L < ε.. Jk f fugs yg terdefs pd [,] d lm f w Δ d, mk lmt terseut P dmk tegrl tertetu Itegrl Rem fugs f pd [,]. Seljuty f dktk tegrle pd [,] d tegrly dtuls f d. Jd f d lm f w Δ P. Jk f tegrle pd [,] mk:. f d f d. Jk mk f d f d Tor, Klkulus Itegrl 78

85 Itegrl Tertetu Dr defs 5.. g dpt dpm w jk f >, mk f d lm f w Δ secr geometrs meytk lus der d w kurv P y f, d ts sumu X, d tr grs d. Coto : Jk f, tetuk d. Peyeles: But prts pd [, ] deg megguk tervl g yg sm pjg. Jd pjg setp tervl g dl Δ 5. Dlm setp tervl g [ -, ] prts terseut dml w. Y f Ak dcr l lm f w Δ. P X 5 Δ Δ 5 Δ 5. :.Δ 5. :.Δ Kre utuk setp,,,, dpl w mk w, segg Tor, Klkulus Itegrl 79

86 fw w 5 Itegrl Tertetu 5 Jd juml Rem fugs f pd [, ] ersesu deg prts P terseut dl f w Δ { } 5 5 Jk P mk, segg: 5 lm f w Δ lm 5 P 7 Jd d 7. Coto 4: Tetuk d. Peyeles: Dlm l f utuk setp [,]. Aml semrg prts P {,,,, } pd [,] d semrg ttk w [ -, ],,,,,, mk Tor, Klkulus Itegrl 8

87 f w Δ. Δ d Δ - Itegrl Tertetu - Jd lm f w Δ lm P P Deg demk d. Teorem 5.. Teorem Fudmetl Klkulus Jk f tegrle pd [,] d F sutu t turu dr f pd [,] tu F f utuk setp [,], mk : F F s dtuls [ F ] f d F F Bukt: Aml semrg prts P {,,,, } pd [,]. Kre F f utuk setp [,] mk F f utuk setp [ -, ],,,,,. Berdsrk teorem l rt-rt mk terdpt w [ -, ] segg F F - F w - fw -,,,, Dperole: f w Δ f w { F F } {F F } {F F } {F F } {F F - } F F F F Tor, Klkulus Itegrl 8

88 lm f w Δ lm{ F F } F F. P P Itegrl Tertetu Jd f d F F Coto 5 d [ ] Coto 6 Tetuk tegrl erkut.. d π. s d π { } { } 7. Teorem 5..4 Jk f tegrle pd [,] d c, mk f d f d Teorem 5..5 c c f d. kf d k f d k kostt. { f g } d f d g d. Jk f utuk setp [,] mk f d. 4. Jk f g utuk setp [,] mk f d g d Tor, Klkulus Itegrl 8

89 Itegrl Tertetu 5. Aplks Itegrl 5.. Lus Der Berdsrk pegert tegrl tertetu Itegrl Rem pd defs 5.. d ur d ts dpt dpm w jk f >, mk f d secr geometrs meytk lus der d tr kurv d. Jd y f d sumu X sert dts ole grs-grs A f Coto 7 Tetuk lus der tertutup yg dts ole kurv y, sumu X, grs d grs. Peyeles: A d [ ] d { } { } 7. Coto 8 Tetuk lus der tertutup yg dts ole kurv. Peyeles: y, sumu X, grs d grs Tor, Klkulus Itegrl 8

90 Y Itegrl Tertetu y f y g X Seljuty jk sutu der dts ole du kurv y f d y g sert grs-grs d sepert gmr d ts, mk lus dery dl seg erkut Coto 9 { f g } A d 4 Tetuk lus der tertutup yg dts ole kurv y d y. Peyeles: Meetuk ts-ts dcr deg meetuk kr-kr persm yg dpt kt temuk kr-kry dl d. 4 Y 4 y y 4 segg lusy dl A d 5 5 X Tor, Klkulus Itegrl 84

91 Seljuty jk sutu der dts ole du kurv ϕy Itegrl Tertetu d ψ y sert grs-grs y c d y d sepert gmr d w, mk lus dery dl seg erkut Y d { ψ y ϕ y } A c dy d ϕy ψ y c X Coto Tetuk lus der tertutup yg dts ole kurv Peyeles: Y 4 y 4 y 4 d 4 y 4. y 4 X Meetuk ts-ts deg mecr kr-kr persm dperole y d y 4. y 4 ekuvle deg y 4 d 4 y 4 y y 4 ekuvle deg y 4 4 yg Tor, Klkulus Itegrl 85

92 Itegrl Tertetu 4 4 segg lusy dl A y 4 y dy { y 4 y } dy Volume Bed Putr. Metode Cc Y y f fw w X Jk der yg dts kurv y f, sumu X, grs-grs d dputr megellg sumu X seg sumu putr, mk volume ed putr yg terjd dpt dcr seg erkut. Dut prts P {,,,, } pd [,]. Utuk setp,,, dpl stu ttk w [ -, ], seljuty dut perseg pjg deg pjg fw d ler Δ -. Jk perseg pjg dputr terdp sumu X, mk dperole slder mpr deg volume ΔV π { f w } Δ f Δ Akty dperole juml Rem ΔV π { f w } Δ Apl P mk dperole volume ed putr yg dmksud, ytu Tor, Klkulus Itegrl 86

93 V X π lm P { f w } Δ Itegrl Tertetu Jd π { f } d V X π { f } d Seljuty pl der yg dts ole dts ole du kurv y f d y g sert grs-grs d sepert gmr d w dputr megellg sumu X seg sumu putr, mk volume ed yg terjd dl V X π [ { f } { g } ] d Y y f y g X Deg cr sm, jk der yg dts kurv ϕy, sumu Y, grs-grs y c d y d dputr megellg sumu Y seg sumu putr, mk volume ed putr yg terjd dl. V Y π d { ϕ y } c Demk pul pl der yg dts ole du kurv ψ y d ϕy sert grs-grs y c d y d dputr megellg sumu Y seg sumu putr, mk volume ed yg terjd dl dy Tor, Klkulus Itegrl 87

94 V Y π d [ { ψ y } { ϕ y } ] c dy Itegrl Tertetu Coto Tetuk volume ed putr yg terjd pl der tertutup yg dts ole kurv y, sumu X d grs 4 dputr megellg sumu X. Peyeles: Y y 4 X 4 { } VX π d π d π 8π 4 4 Coto Tetuk volume ed putr yg terjd pl der tertutup yg dts ole kurv y, sumu Y d grs dputr megellg sumu Y. Peyeles: Y y Kre V Y y mk y, segg { y} dy π y dy π y π π 5 5 X Tor, Klkulus Itegrl 88

95 Coto Itegrl Tertetu Tetuk volume ed putr yg terjd pl der tertutup yg dts ole du kurv y d y 8 Peyeles: dputr megellg sumu X. Dpt dcr w perpotog kedu kurv dl d, d, 4. Jk y 8 m k y 8. Pertk gmr erkut. V X [{ 8} { } ] d π [ 8 ] d π 4 π π 5 Tetuk pul pl der terseut dputr megellg sumu Y. 5. Metode Kult Tug Pertk gmr d smpg. Volume ed pejl rug tr tug esr d kecl dl V π r π r π r r π r r r r Tor, Klkulus Itegrl 89

96 r r π r r Rumus dpt dtuls seg V π r Δr Itegrl Tertetu r deg r r d Δ r r r Mslk dketu der dts ole kurv y f, sumu X sert grs-grs d. Apl der terseut dputr megellg sumu Y seg sumu putry, mk volume ed putr yg terjd dpt dcr seg erkut. Dut prts P {,,,, } pd [,]. Utuk setp,,, dpl stu ttk w [ -, ], seljuty dut perseg pjg deg pjg fw d d ler Δ -. Jk perseg pjg dputr terdp sumu Y, mk dperole tug mpr deg volume Akty dperole juml Rem Δ V π w f w Δ ΔV π w f w Δ Apl P mk dperole volume ed putr yg dmksud, ytu V Y π lm w f w Δ P Tor, Klkulus Itegrl 9

97 π f d Itegrl Tertetu Jd V π f d Y Seljuty pl der yg dts ole dts ole du kurv y f d y g sert grs-grs d sepert gmr d w dputr megellg sumu Y seg sumu putr, mk volume ed yg terjd dl Y [ V π f g d Y y f ] y g Δ X Deg cr sm, mslk dketu der dts ole kurv ψ, sumu Y sert grs-grs y c d y d. Apl der terseut dputr megellg sumu X seg sumu putry, mk volume ed putr yg terjd dl Y d d V π yψ y dy X c y ψ c X Tor, Klkulus Itegrl 9

98 Itegrl Tertetu Demk pul pl der yg dts ole du kurv ψ y d ϕy sert grs-grs y c d y d sepert gmr d w dputr megellg sumu X seg sumu putr, mk volume ed yg terjd dl d [ ψ y y ] V π y ϕ dy X c Y d ϕy ψ y c X Coto 4 Tetuk volume ed putr yg terjd pl der tertutup yg y, sumu X, d grs dputr megellg sumu Y. Peyeles: dts ole kurv V Y 4 π d π 4 d π 4 8 π Coto 5 Dketu sutu der tertutup dts ole kurv grs r y, sumu X, d grs t. t Dlm l r > d t >. Jk der terseut dputr megellg sumu X, tetuk volume ed yg terjd deg du cr. Tor, Klkulus Itegrl 9

99 Itegrl Tertetu Peyeles: Cr I Deg metode cc V X t r π t d Y r π t r π t t π r t d t r r y t t X Cr II Deg metode kult tug. Kre r y, mk t t r y V X r t π y t y dy r Y π t r π t y y y r dy y r π t r r π r t r r t r t y t t r y t X 5.. Pjg Kurv Mslk sutu kurv mulus derk ole persm prmeter ft, y gt, t. Pjg kurv terseut dpt dcr seg erkut. Tor, Klkulus Itegrl 9

100 Itegrl Tertetu Dut prts P {t, t, t,, t } pd [,] deg t < t < t < < t, mk kurv k terg mejd g ole ttk-ttk Q, Q, Q,, Q -, Q. Pertk gmr erkut. Pd g ke, pjg usur Q - Q, ytu kt perole Δ s dpt ddekt ole Δw. Deg Pytgors Δ w Δ Δy [ f t f t ] [ g t g t ] Seljuty erdsrk Teorem Nl Rt-rt pd Dervtf tetu terdpt t t, t d tˆ t, t demk segg f t f t f ' t t t tu f deg Δt t t. Ole kre tu dperole g t g t g 'ˆ t t t g t f t f ' t Δt t g t g 'ˆ t Δt Δ w [ f ' t Δt ] [ g 'ˆ t Δt ] [ f ' t ] [ g 'ˆ t ] Δt Tor, Klkulus Itegrl 94

101 d pjg polygo dr segme grs Itegrl Tertetu Δw [ f ' t ] [ g 'ˆ t ] Δt Apl P mk dperole pjg kurv seluruy dl L [ f ' t ] [ g 'ˆ t ] Δt [ f ' t ] [ g ' t ] lm P dt Jd tu [ f ' t ] [ g ' t ] L dt L d dt dy dt dt Jk persm kurvy dl y f deg, mk L dy d d jk persm kurvy dl ψy deg c y d, mk Coto 6 L Htugl kellg lgkr y r. Peyeles: d c d dy Lgkr terseut dpt dtuls dlm persm prmeter seg d dy r cos t, y r s t deg t π, segg r s t d r cost. dt dt π Akty L r s t r cos t dt r dt [ r t] r Coto 7 π Megguk tegrl tugl pjg rus grs yg meguugk ttk P, d Q5,. d dy π π Tor, Klkulus Itegrl 95

102 Itegrl Tertetu Peyeles: dy Persm rus grs PQ dl y, segg. Ole kre tu 5 d 5 5 L d 5 d Coto 8 Megguk tegrl tugl pjg kurv y dr, d 4, 8. Peyeles: dy y, mk. Ole krey d 4 4 L d Dferesl Pjg Busur 9 4 d ,6 8 Mslk f sutu fugs yg dpt ddfereslk pd [, ]. Utuk setp, ddefsk s seg s [ f ' u] mk s dl pjg kurv y fu dr ttk, f ke ttk, f, segg du Y s ' ds d [ f ' ] dy d s, f, f X Tor, Klkulus Itegrl 96

103 Ole krey dferesl pjg kurv ds dpt dtuls seg Itegrl Tertetu ds dy d Seljuty l dpt dtuls dlm etuk-etuk d d d dy ds dy tu ds dt dy dt dt Utuk keperlu meggt, dpt pul dtuls dlm etuk: ds d dy 5..4 Lus Permuk Bed Putr Kt mul deg mecr rumus utuk lus permuk selmut kerucut terpcug. Mslk jr-jr lgkr ls kerucut terpcug dl r d jr-jr lgkr tsy r sedgk pjg rus grs pd pemgu kerucut tr du lgkr tu rusuk kerucut terpcug l, mk lus selmut kerucut terpcug tu dl A r r π l Apl seu kurv pd sutu dg dputr megellg seu grs pd dg tu, mk sly erup permuk ed putr deg lus permuk dpt dcr seg erkut. Tor, Klkulus Itegrl 97

104 Itegrl Tertetu Pemutr terdp sumu X Mslk sutu kurv mulus pd kudr pertm derk ole persm prmeter ft, y gt, t. Dut prts P {t, t, t,, t } pd [,] deg t < t < t < < t, mk kurv terg mejd g. Mslk Δs pjg kurv g ke d y ordt seu ttk pd g. Apl kurv tu dputr megellg sumu X, mk k memetuk sutu permuk d g Δs k memetuk permuk g. Lus permuk g dpt dmpr ole lus kerucut terpcug, ytu π y Δ. s Apl kt jumlk lus-lus d kemud megml lmty deg memut P, kt k memperole sl yg kt defsk seg lus permuk ed putr terseut. Jd lusy dl A lm π yδs P ** * π y ds Deg megguk rumus A terseut d ts, kt rus memer rt yg tept pd y, ds, d ts-ts pegtegrl * d **. Mslk pl permuk tu teretuk ole kurv y f,, yg dputr megellg sumu X, mk kt perole utuk lusy: Coto 9 ** A π y ds π f [ f * ' ] d Tetuk lus permuk ed putr pl kurv sumu X. y, 4, dputr megellg Tor, Klkulus Itegrl 98

105 Peyeles: Itegrl Tertetu Mslk f mk f ', segg A π d π 4 d π 4 4 π 7 6 6,8 Apl persm kurv yg ersgkut dketu dlm etuk persm prmeter ft, y gt, t, mk rumus utuk lus permuk mejd: Coto ** A π y ds π g t [ f ' t] [ g ' t] * Tetuk lus permuk ed yg teretuk pl sutu usur dr sklod t s t, y cost, t π dputr megellg sumu X. Peyeles: Y dt X Mslk f t t s t d g t cost, mk f ' t cost d g ' t s t, segg: π A π cost cost s t dt π π cost cost dt π π cost dt Tor, Klkulus Itegrl 99

106 π t 8 π s dt Itegrl Tertetu π t t 8 π cos s dt Deg susttus cos t t u mk du s dt Utuk t u Utuk t π u Jd A u du 6 u u 64 6π π π Pemutr terdp sumu Y Alog: Apl seu kurv pd sutu dg dputr megellg sumu Y, mk sly erup permuk ed putr deg lus permuky dl: Coto ** A π ds * Tetuk lus permuk ed yg teretuk pl kurv y, y dputr megellg sumu Y. Peyeles: Mslk g y y mk y X g ' y y segg ** y A π ds π y * y [ y] π dy π 4π dy Deg demk lus permuk ol deg jr-jr dl 4π. X Tor, Klkulus Itegrl

107 5..5 Us tu Kerj Itegrl Tertetu Dlm fsk kt tu w pl d gy F yg kost meggerkk sutu ed segg ergerk seju d sepjg sutu grs deg r gy d gerk ed sm, mk kerj W yg dlkuk ole gy terseut dl W F. d Apl stu utuk F dl pod stu jrk dl kk mk stu kerj dl kk pod. Apl gy dukur deg stu dye d jrk deg stu setmeter mk stu kerj dl dye cm tu erg. Apl gy dukur deg stu Newto d jrk deg stu meter mk stu kerj dl Newto meter tu joule. Pd keyty sy gy tu tdk kost. Mslk seu ed dgerkk sepjg sumu X dr ttk ke ttk. Mslk gy yg meggerkk ed terseut pd jrk dl F deg F sutu fugs kotu. Utuk meetuk kerj yg dlkuk gy terseut dpt dcr seg erkut. Itervl [,] dg deg megguk prts P {,,,, }. Pd setp tervl g [ -, ] gy F dpt dmpr ole gy kost Fw, deg w [ -, ] utuk setp,,,. Jk Δ -, mk kerj yg dlkuk gy F pd tervl g [ -, ] dl ΔW Fw Δ. Jk djumlk kemud dcr lmty utuk P mk dperole kerj yg dlkuk gy F pd tervl [, ], ytu Jd F w Δ W lm F d P. Aplks pd Pegs W F d Deg megguk okum Hooke yg erlku dlm fsk, gy F yg dperluk utuk merk tu meek pegs seju stu dr ked lm dl F k. D s, k dl kostt d dseut kostt pegs yg ly postf d tergtug pd sft fss pegs. Semk kers pegs, mk semk esr l k. Tor, Klkulus Itegrl

108 Coto Itegrl Tertetu Apl pjg lm seu pegs dl c. Utuk merk d me pegs seju c dperluk gy po. Tetuk kerj yg dlkuk gy utuk merk pegs tu segg pjg pegs 5 c. Peyeles: Meurut okum Hooke gy F yg dperluk utuk merk pegs seju c dl F k.. Dr s dpt dcr l kostt k. Dketu w F, segg k. tu k. Ole kre tu F. Apl pegs dlm ked lm sepjg c meytk, mk pegs deg pjg 5 c meytk w 5, segg 5 75 W d 8,75 4 Jd, kerj utuk merk pegs tu dl 8,75 c pod.. Aplks pd Pemomp Cr Deg megguk prsp-prsp yg sm dpt dtug kerj yg dlkuk pd pemomp cr. Coto Seu tgk eretuk kerucut lgkr tegk peu deg r. Apl tgg tgk kk d jr-jr lgkr tsy 4 kk,. tetuk kerj utuk memomp r segg smp tep tgk. tetuk kerj utuk memomp r segg mecp kk d ts tep tgk. Y Y 4, Δy y Δy 4 y y y 4 y y X X Tor, Klkulus Itegrl

109 Itegrl Tertetu Peyeles:. Letkk tgk dlm system koordt sepert tmpk dlm gmr. Butl skets yg erdmes tg d jug skets pempg dmes du. Mslk r dmsukk ke dlm kerucut-kerucut terpcug orzotl, Ar rus dgkt segg mecp tep tgk. Pertk seu kerucut terpcug ke deg tgg Δy yg erjrk y dr puck kerucut puck kerucut erd d w, memlk jr-jr 4 4 y, mk mempuy volume mpr ΔV π y Δy d erty gy ert F δ π 4 y Δy, deg δ 6,4 dl kepdt r dlm stu po/kk kuk. Gy yg dperluk utuk meggkt r terseut dl sm deg erty d rus dgkt seju y. Jd kerj ΔW δ π 4 y Δ W dl Δy y Krey, pl djumlk kemud dcr lmty dperole 4 4 W δ π 5 y y dy δ π 5 y y 4 4 6,8 Jd kerj utuk memomp r segg smp ke tep tgk dl 6,8 kk pod.. Sepert dlm, sekrg r dlm kerucut terpcug rus dgkt y, segg W 4 4 δ π y y dy δ π 5 y y 4 dy δ π 5 y 4 y 4,69 Jd kerj utuk memomp r segg smp ke tep tgk dl,69 kk pod. Tor, Klkulus Itegrl

110 Itegrl Tertetu 5..6 Mome d Pust Mss Ttk Bert Mslk d du ed msg-msg memlk mss sesr m d m yg dletkk pd pp ermg deg jrk erturut-turut d d d dr ttk peygg pd g-g yg ered. Ked terseut k semg jk dpeu d m d m. m d d m Sutu model mtemts yg k dperole pl pp terseut kt letkk pd sutu system dml yg ttk sly kt mptk deg ttk peygg pp, mk koordt dr mss m dl d d dr mss m dl d. Jd syrt kesemg dl m m m m Hsl kl mss m d jrk err dr sutu ttk tertetu dmk mome prtkel ed terdp ttk terseut. Mome megukur kecederug mss yg megslk sutu putr pd ttk terseut. Syrt supy du mss pd seu grs ermg dl juml mome-mome terdp ttk tu sm deg ol. Ked terseut dpt dperlus utuk sejuml ed prtkel. Juml mome M terdp ttk sl sutu system yg terdr ts mss, ytu m, m,, m yg ered pd,,, pd sumu X dl juml mome msg-msg mss, ytu M m m m m Syrt kesemg d ttk sl dl M. Tetuy ttk sl tedk sellu mejd ttk semg system terseut, kecul dlm l kusus. Ak tetp pst terdpt ttk semg dlm sutu system terseut. Mslk merupk koordt ttk semg system pd sumu X, mk mome terdp ttk terseut rus ol. Jd erlku Tor, Klkulus Itegrl 4

111 tu segg dperole m m... m m m m m... m m m m... m... m m m Itegrl Tertetu m Ttk deg koordt dmk pust mss, ttk dl ttk semg. Pertk w dperole seg sl g mome system terdp ttk sl d juml mss. m M m. Dstrus mss yg kotu pd sutu grs Pertk sepotog kwt lurus deg kepdt mss mss tp stu pjg yg erl. Kt g megetu keduduk ttk ert kwt tu. Utuk kt letkk kwt tu sepjg system koordt deg ts-ts d d dk kepdt d dl δ. Deg megguk prosedur yg sud kt lkuk utuk erg mcm feome d dep, dut prts, metode mpr d dcr lmty, deg mempertk g sepjg Δ, segg Δ m δ Δ erkt Δ M δ Δ, dperole Akry mk dperole m δ d d M δ d δ d M m δ d Coto 4 Kepdt δ sepotog kwt d seu ttk yg terletk cm dr sl stu ujugy dl δ g/cm. Tetuk pust mss kwt tr d. Tor, Klkulus Itegrl 5

112 Peyeles: Itegrl Tertetu Deg mempertk δ jels w kwt dg le ert dr pd d g, segg pust mssy k le dekt ke. Secr pst w pust mssy dl d d 4 [ ] 4 [ ] 7,5. Dstrus mss yg kotu pd dg Pertk prtkel yg msg-msg memlk mss m, m,, m yg terletk pd dg koordt erturut-turut d,,,,,, y. y y m, y m, y m, y m 4 4, y 4 m, y Juml mome prtkel terdp sumu Y dl M Y m m... m Sedgk juml mome prtkel terdp sumu X dl M X y m ym... ym Koordt pust mss system terseut dl, y deg m y m Tor, Klkulus Itegrl 6

113 M m Y m m d y M m X y m m Itegrl Tertetu Persol yg kt dp sekrg dl meetuk pust mss lm, ytu sepotog lempeg tps yg rt. Mslk lm omoge, yg errt kepdt δ dl kost. Utuk sutu lempeg omoge yg eretuk perseg pjg, pust mssy terletk pd perpotog kedu dgoly. Jk dketu lm omoge eretuk perseg pjg L mempuy kepdt mss δ kost d grs lurus l terletk pd dg yg memut lm terseut, mk mome lm L terdp grs l dl M L d m l deg d : jrk pust mss lm L ke grs l m : mss lm yg dpt dtug dr m δ A ds A dl lus lm L lustrs dpt dlt pd gmr erkut. L d l Seljuty pertk lm omoge L deg kepdt mss δ dts ole kurv y f, y g,, d deg g f. Tor, Klkulus Itegrl 7