INTEGRAL-Z. Siti Khabibah, Farikhin, Bayu Surarso Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang, 50275

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "INTEGRAL-Z. Siti Khabibah, Farikhin, Bayu Surarso Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang, 50275"

Ivan Oesman
6 tahun lalu
Tontonan:

1 INTEGRAL-Z Siti Khih, Frikhi, By Srrso Jrs Mtetik FMIPA UNDIP Serg Jl. Prof. H. Soedrto, SH, Telg, Serg, 5275 Astrk: Kosep egei itegrl-z terkit deg keerd deritif kt. St fgsi F yg terderitif kt pd [,] diotsik deg F s (). Jik dipehi st fgsi f sedeiki sehigg F s ()f() k f k teritegrl-z pd [,]. Syrt ckp d perl st fgsi teritegrl-z dlh hw fgsi terset hrslh koti. Kt Kci: Deritif kt, Itegrl-Z PENDAHULUAN Dl teori dsr Klkls dikel eerp teori egei itegrl, tr li itegrl Newto, itegrl Rie, d itegrl Leesge. Pd perlih d ke-9 pr Mtetikw erpedpt hw sift fgsi-fgsi koti d teori itegrl Rie tidk ckp tk dpt eyelesik perslh-perslh lisis. Kedi sekitr wl d ke-2 diperkelk st teori kr yg edsri kosep itegrl Leesge. Itegrl Leesge sediri tepty diperkelk pd th 92. Seplh th kedi tetikw Percis, A.Dejoy, eyjik pegitlk teori itegrl Leesge yg dikel deg teori itegrl Dejoy Khss. Pd th 96 Rlph Hestock eperkelk st defiisi itegrl yg dieri itegrl Hestock. Pd pelis tgs khir ii k dihs egei teori itegrl yg erkit deg deritif kt yit itegrl-z. Teori ii diperkelk oleh L Ship pd wl d ke-2. DERIVATIF KUAT Seel kosep itegrl-z dihs leih jh, terleih dhl k diperkelk st deritif yg erhg deg kosep itegrl-z yit deritif kt. Defiisi. Dierik F:[,] R d [,]. Fgsi F() diktk terderitif kt ke F s ( ) di, jik tk setip ε> terdpt δ> sedeiki sehigg tk setip [,] ( δ, +δ) erlk F() s F ( ) < ε Bilg F s ( ) diset ili deritif kt di. Cotoh 2 : Dierik F:[-,] R deg F().Tjkk hw F() terderitif kt di d F s (). Peyelesi : Ail serg ε> di terdpt δε sedeiki sehigg tk setip [,] ( δ,δ) erlk F( ) <ε Kre [,] serg k terkti F terderitif kt di d F s (). Teore 3. Dierik F:[,] R d [,], jik F s ( ) d k ili F s ( ) tggl. Teore 4. Dierik F,G:[,] R fgsi yg terderitif kt di [,] k. fgsi αf terderitif kt di tk setip α R d (αf) s ( ) αf s ( ). fgsi F+G terderitif kt di d (F+G) s ( ) F s ( )+G s ( ) c. fgsi FG terderitif kt di d (FG) s ( ) F s ( )G( )+F( )G s ( ) Teore 5. Dierik F:[,] R d [,], jik F s ( ) d k F ( ) d d F s ( ) F ( ). ' ' 84

2 SIFAT DASAR INTEGRAL-Z Dl pehs egei kosep itegrl-z fgsi yg diicrk dlh fgsi yg koti yg erili rel d didefiisik pd selg terttp d terts. St prtisi P pd selg [,] dlh st hip erhigg {,,, } sedeiki sehigg < <. <. Fgsi f:[,] R diktk ooto ik pd [,] jik tk setip,y [,] deg <y erlk f() f(y). Fgsi g:[,]. R diktk ooto tr pd [,] jik tk setip,y [,] deg <y erlk g(y) g(). Fgsi f:[,] R diktk teritegrl-z pd [,], f Z[,],jik terdpt fgsi F:[,] R sedeiki sehigg F s ()f() tk setip [,]. Nili itegrl-z dri f pd [,] ditlis Z f()d F()-F(). Cotoh 6 : Dierik fgsi f:[-,] R deg f() tk setip [-,]. Tjkk hw fgsi f Z[-,] d Z f ( ) d 2 Peyelesi: Didefiisik fgsi F:[-,] R deg F() tk setip [-,], sehigg dipehi F( ) y) y tk setip,y [-,]. Megigt cotoh 2 k F s ()f() pd[-,]. Jdi fgsi f Z[-,] d Z f ( ) d F()-F(-)2. Teore 7. Fgsi f:[,] R d f Z[,] k ili itegrly tggl. Teore 8. Fgsi f:[,] R d f Z[,] k f Z[c,d] tk setip [c,d] [,]. Teore 9. Dierik f:[,c] R. Jik f Z[,] d f Z[,c] k f Z[,c] d erlk c f()d Z f()d + Z Z f()d. c Teore. Jik f,g Z[.] d α,β R k αf+βg Z[.] d Z [ αf() βg() ]d β Z g()d. + α Z f()d + Teore. Dierik fgsi f,g Z[.]. Jik f() g() tk setip [,] k Z f()d Z g()d. SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP Teore 2. (Syrt Perl. Jik f Z[,] k f() koti pd [,]. Bkti : Dikethi f Z[,] errti terdpt F:[,]. R d F s ()f() tk setip [,] yit tk setip ε> terdpt δ > sedeiki sehigg tk setip [,] ( δ,+δ ) erlk F() ε () < 2 Ail serg ( δ,+δ ). Kre F s ( ) d k terdpt δ 2 > sedeiki sehigg tk setip [,] ( δ 2, +δ 2 ) erlk F() ε ( ) < 2 85

3 Jik [,] ( δ 2, +δ 2 ) ( δ,+δ ) diperoleh F() F() f() ( ) f() + ( ) F() F() () + ( ) < 2 ε + 2 ε ε Dri ri dits, dipilih δi{δ, δ 2 } sehigg tk setip ε> terdpt δ> sedeiki sehigg tk setip deg <δ erlk f() ( ) <ε. Hl ii errti f() koti di [,]. Kre serg elee pd [,] k f() koti pd [,]. Teore 3. (Syrt Ckp). Jik f:[,] R koti pd [,] k f Z[,]. Bkti: Dikethi f koti pd [,] errti f koti di setip titik pd [,]. Ail serg [,], tk setip ε> terdpt δ> sedeiki sehigg tk setip [,] d < δ erlk f() ( ) < ε. Kre f koti pd [,] k f R[,] d terdpt F:[,] R deg F()R f(t)dt tk setip [,]. Utk δ yg s dipilih serg [,] ( δ, +δ) sedeiki sehigg erlk F() F() f( )() ( ) F() ( )() R f()d R R (f() ( ))d R f() f( < R εd ε Kre [,] ( δ, +δ) k f Z[,]. ) d f( )d Dri ked teore dits dpt dietk st teore r yit Teore 4. Dierik f:[,] R, k f Z[,] jik d hy jik f koti pd [,]. Teore 5. Fgsi f:[,] R,f Z[,] k f R[,] d erlk R f()d Z f()d Teore 5 tidk erlk seliky, yki st fgsi yg teritegrl Rie el tet teritegrl-z. TEOREMA KEKONVERGENAN Dl epeljri teori itegrl slh yg ckp erik tk diteliti dlh kekoerge ris fgsi yg teritegrl. Pd teori itegrl-z dikel st teore kekoerge yit 86

4 Teore 6. (Teore Kekoerge Serg). Dikethi f :[,] R, f Z[,] d li f f serg pd [,] k f Z[,] d li f d fd. Bkti : Dikethi ) f Z[,], k ert Teore 4 f koti. 2) li f f serg pd [,] Dri ) d 2) k f koti pd [,]. Kre f koti pd [,] k f Z[,]. Dikethi li f f serg pd [,] k erlk kriteri Cchy yit tk setip ε> terdpt ilg sli sedeiki sehigg tk setip, d tk setip [,] erlk f ( ) ( ) <ε. f Z[,] k terdpt fgsi priitif F () f d. Ak diktik {F ():,2,3, }ris ilg Cchy F ( ) F ( ) Z f ( ) d Z f ( ) d Z ( f ( ) ( )) d Z f ( ) ( ) d < ε(-) Sehigg tk setip ε> terdpt ilg sli sedeiki sehigg tk setip, d tk setip [,] erlk F ( ) F ( ) <ε( ). Hl ii errti {F ():,2,3, } Cchy. Kre {F ()} Cchy k {F ()} koerge, ktk li ( ) F( ). Kre serg elee pd [,] errti F {F } koerge ke F. Seljty k diktik hw F s ()f() yit tk setip ε> terdpt δ> sedeiki sehigg tk setip [,] [-δ,+δ] erlk F( ) ) <ε(3+(-) Ail serg ε> sehigg F( ) ) F( ) F ( ) + F ( ) F ( + F ( + f ( )( ) ) ) F( ) F ( ) + F ( + F ( ) F ( ( )( ) + f ( ) ( ) Utk ε terset d [,] diil sedeiki sehigg tk setip erlk ) F ( ) ) <ε 2) f ( ) ( ) <ε Utk ii diil δ> sedeiki sehigg tk setip [,] [-δ,+δ] erlk F ( ) F ( ( )( ) <ε, tk setip Sehigg diperoleh F( ) ) < ε + ε + ε + ε(- < ε (3+(-) Jdi tk setip ε> terdpt δ> sedeiki sehigg tk setip [,] [ δ,+δ] erlk F( ) ) <ε(3+(-) 87

5 Terkti F s ()f(). Kre F s ()f() k F s () li f d fd F( ) ) Z Koklsi dri Teore 6 tidk erlk jik hy li (F ()-F ()) li Z f d. li ff pd[,]. KESIMPULAN Dri pehs egei teori itegrl-z dpt disiplk :. Fgsi f,g:[,] R teritegrl-z pd [,] d α,β R k αf+βg teritegrl-z pd [,] d + α Z [ αf() βg() ]d Z f()d + β Z g()d. 2. St fgsi f:[,] R k teritegrl-z pd [,] jik d hy jik f koti pd [,]. 3. Jik fgsi f:[,] R teritegrl-z pd [,] k f:[,] R k teritegrl Rie pd [,] d tidk erlk seliky. 4. Itegrl liit st ris fgsi f :[,] R yg teritegrl-z pd [,] k s deg liit itegrl ris fgsi f :[,] R jik f :[,] R koerge serg ke fgsi f:[,] R pd [,]. DAFTAR PUSTAKA []. Apostol, To M, Mtheticl Alysis, Secod Editio, Addiso-Wesley Plishig Copy Ic, USA, 98. [2]. Brtle, Roert G, Itrodctio to Rel Alysis, Joh Wiley d Sos. Ic, New York, 992. [3]. Bishop, Erret, Fodtio of Costrctie Alysis, McGrw-Hill. Ic, New York, 967. [4]. Frikhi, Itegrl Dejoy Khss pd [,], Skripsi, FMIPA UGM, 998. [5]. Prcell, Edwi J, Klkls d Geoetri Alitis, Alih hs Drs. I Nyo Ssil, MSc, Jilid l, Edisi keept, Erlgg, Jkrt, 995. [6]. Soetri, R, Alisis Rel I, PT. Krik, Uiersits Terk, 993. [7]. Yg Kere d L Ship, Strog Deritie d its Coseqece, Jorl of Mthetics Stdy, Vol 27, Chi,

dokumen-dokumen yang mirip

BAB IV INTEGRAL RIEMANN

Itegrl Rie BAB IV INTEGRAL RIEMANN Utuk epeljri leih ljut tetg kosep itegrl Rie, k leih ik jik pec ehi eerp hl erikut. A. Prtisi Defiisi 4.1 Dierik itervl tertutup [, ], hipu terurut d erhigg P = { = x