Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR
|
|
- Ivan Lesmono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ser : Modul Dskus Fkults Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sstem Komputer & Sstem Iforms HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Toy Hrtoo Bgo
2 KALKULUS DASAR Toy Hrtoo Bgo KATA PENGANTAR Klkulus Dsr dl sl stu mt dskus d Fkults Ilmu Komputer Uversts Nrotm, uku merupk modul utuk meujg mt kul terseut, drpk uku mejd uku pegg g mssw seg modul d out utuk melegkp s dr modul, sy rp pr mssw memc uku-uku l yg sejes, kre modul d out sgt ju dr sempur. Modul / d out dr ttp://log.ud.c.d/rs_tor/fles/8//.pdf,.pdf : terdr dr 7 fles, yk : klkulus-dktt.pdf B. Pedulu. klkulus-dktt.pdf B. Fugs d Lmt Su. s/d. klkulus-dktt.pdf B. Fugs d Lmt Su.4 s/d.7 klkulus-dktt.pdf B. Turu Fugs. klkulus-dktt.pdf B 4. Itegrl klkulus-dktt.pdf B 5. Itegrl Tertetu Su 5. s/d 5..5 klkulus-dktt.pdf B 5. Itegrl Tertetu Su 5..6 Dr ke 7 fles dts, dgug mejd stu, d dpt d dowlod lgsug dr ttp://toyrtoogo.logspot.com///modul-mt-kul.tml, pl Klkulus Dsr, mud-mud modul/d out dpt ergu g semu mssw, Pemg dskus dg dlm 4 kl pertemu, yg terdr dr : I. PENDAHULUAN Sstem Blg Rel Opers Blg Urut Pertdksm Nl Mutlk II. FUNGSI d LIMIT Fugs d Grfk Opers pd Fugs Pegert Lmt III. FUNGSI d LIMIT Teorem Lmt Lmt Kr d :Lmt K Lmt Tk Hgg Kekotu Fugs IV. TURUNAN FUNGSI Pegert Turu Fugs Turu Fugs Kost d Fugs Pgkt V. TURUNAN FUNGSI
3 KALKULUS DASAR Toy Hrtoo Bgo Sft - Sft Turu Atur Rt VI. TURUNAN FUNGSI Turu Fugs Ivers Turu Fugs Implst Turu Tgkt Tgg VII. TURUNAN FUNGSI Turu Fugs Aljr d Fugs Trsede Turu Fugs Prmeter VIII. UJIAN TENGAH SEMESTER IX. INTEGRAL Rumus Dsr Itegrl deg Sustus X. INTEGRAL Itegrl Prsl Itegrl Arcus Tge d Logrtm XI. INTEGRAL Fugs Pec Rsol Ked N D Ked derjt N derjt D Ked Derjt N < Derjt D XII. INTEGRAL Fugs Trgoometr Rumus-rumus Seder Betuk Rs cos d d Rcos s d Itegrl deg mempertk rumus-rumus XIII. INTEGRAL Fugs Trgoometr Susttus y t / Itegrl Rt Rumus Reduks utuk Itegrl Fugs Trgoometr XIV. INTEGRAL Fugs Irrsol Rumus Petg Betuk Irrsol Stu Suku Stu-stuy Betuk Irrsol Sustus Trgoometr XV. INTEGRAL TERTENTU Pegert Itegrl Tertetu Aplks Itegrl XVI. UJIAN AKHIR SEMESTER
4 KALKULUS DASAR Toy Hrtoo Bgo Agk Romw dts, merupk jdwl pertemu, termsuk jdwl Uj, k UTS Uj Teg Semester mupu UAS Uj Akr Semester, sedg jdwl tugs tdk terctum dts, melk tergtug dr stus. Bl pr pemc sekl g memer tm, koreks tu peyempur, peuls megturk term ks seelumy, kre modul pst k mejd le ermft. Ats perty dlm memc modul, peuls megucpk term ks. Nrotm, Novemer Toy Hrtoo Bgo Dose Fkults Ilmu Komputer Uversts Nrotm Sury
5 KALKULUS DASAR Toy Hrtoo Bgo DAFTAR ISI Kt Pegtr... Dftr Is... Hl v. PENDAHULUAN.... Sstem Blg Rel.... Opers Blg.... Urut....4 Pertdksm Nl Mutlk FUNGSI d LIMIT.... Fugs d Grfk.... Opers pd Fugs Pegert Lmt Teorem Lmt....5 Lmt Kr d :Lmt K....6 Lmt Tk Hgg....7 Kekotu Fugs TURUNAN FUNGSI Pegert Turu Fugs Turu Fugs Kost d Fugs Pgkt Sft - Sft Turu Atur Rt utuk Turu Fugs Komposs Turu Fugs Ivers Turu Fugs Implst Turu Tgkt Tgg Turu Fugs Aljr d Fugs Trsede Turu Fugs Rsol Turu Fugs Irrsol Turu Fugs Trgoometr Turu Fugs Sklometr Turu Fugs Logrtm Turu Fugs Ekspoesl Turu Fugs Hperolk... 5 v
6 KALKULUS DASAR Toy Hrtoo Bgo.9 Turu Fugs Prmeter INTEGRAL Rumus Dsr Itegrl deg Sustus Itegrl Prsl Itegrl yg Megslk Arcus Tge d Logrtm Itegrl Fugs Pec Rsol Ked N D Ked derjt N derjt D Ked Derjt N < Derjt D Itegrl Fugs Trgoometr Rumus-rumus Seder Betuk Rs cos d d Rcos s d Itegrl deg mempertk rumus-rumus Susttus y t / Itegrl Rt Rumus Reduks utuk Itegrl Fugs Trgoometr Itegrl Fugs Irrsol Rumus yg perlu dfl Betuk Irrsol Stu Suku Stu-stuy Betuk Irrsol Sustus Trgoometr INTEGRAL TERTENTU Pegert Itegrl Tertetu Aplks Itegrl Lus Der Volume Bed Putr Pjg Kurv Lus Permuk Bed Putr Us tu Kerj Mome d Pust Mss Ttk Bert... 4 v
7 PENDAHULUAN. Sstem Blg Rel Utuk mempeljr klkulus perlu memm s tetg system lg rel, kre klkulus ddsrk pd system lg rel d sftsfty. Sstem lg yg plg seder dl lg sl, ytu,,,... Deg megguk lg sl kt dpt megtug yky uku yg kt mlk, kedr yg mellu sutu jl, org-org yg erd dlm sutu rug d l-ly. Hmpu semu lg sl s dotsk deg N. Jd N {,,, 4, } Jk d dlm mpu semu lg sl kt tmk semu egtfy d ol, mk dperole lg-lg ult, ytu,,,,,,,, Hmpu semu lg ult s dsmolk deg Z. Jd Z {,,,,,,,, } Seljuty utuk megukur esr-esr sepert pjg, ert d rus lstrk mk lg ult tdk memd. Dlm l lg ult tdk dpt memerk ketelt yg cukup. Utuk keperlu mk dpt dguk 9 7 lg-lg rsol, sepert,,, d. Blg rsol ddefsk seg lg yg dpt dtuls deg deg d keduy lg ult d. Deg demk lg-lg ult termsuk lg rsol jug. Blg ult merupk lg rsol se dpt dtuls seg 6. Hmpu semu lg rsol s dotsk deg Q. Jd Q { Z, Z, } Blg rsol yg dpt mejd ukur deg ketelt yg cukup teryt ms tdk dpt mejd ukur semu esr msly pjg ss mrg segtg sku-sku erkut.
8 Gmr Deg megguk lg rrsol mk l terseut d ts tdk mejd msl. Pjg ss mrg segtg sku-sku terseut dl. Blg rrsol yg l tr l, 5, 7, e d π. Sekumpul lg rsol d rrsol esert egtfy d ol lg-lg rel lg yt. Hmpu semu lg rel dotsk deg R. Huug keempt mpu N, Z, Q, d R dpt dytk deg N Z Q R d dgmrk deg dgrm ve erkut. R Q Z N Gmr Ms terdpt sstem lg yg le lus dr system lg rel ytu lg yg secr umum dpt dytk dlm etuk deg d keduy lg ult, tu deg. Blg demk dmk lg kompleks d mpu semu lg kompleks dotsk deg C.
9 Dlm uku lg kompleks tdk dcrk le ljut. Jd, pl dlm uku dseutk sutu lg tp keterg ppu dmksudk dl lg rel.. Opers Blg Pd R tel dkel opers pejuml d perkl. Mslk d y lg rel mk pejuml d y dtuls y d perkl d y dtuls. y tu secr sgkt dtuls y. Sft-sft opers pejuml d perkl pd R dl seg erkut. Hukum komuttf: y y d y y. Hukum sostf: y z y z d yz yz. Hukum dstrutf: y z y z. 4 Eleme-eleme detts: Terdp pejuml: se. Terdp perkl: se.. 5 Ivers lk: Setp lg rel mempuy vers dtf dseut jug egtf yg memeu d setp lg rel yg tdk ol mempuy vers multplktf dseut jug lk ytu yg memeu.. Pegurg d pemg ddefsk deg y y d. y y. Urut Blg-lg rel uk ol dedk mejd du mpu terps ytu lg-lg rel postf d lg-lg rel egtf. Berdsrk fkt dperkelk rels urut < dc kurg dr yg ddefsk deg: < y jk d y jk y postf. < y mempuy rt yg sm deg y >.
10 Sft-sft urut: Trkotom: Jk d y lg-lg rel mk pst erlku sl stu d tr yg erkut: < y tu y tu > y. Trstf: jk < y d y < z mk < z. Pem: < y z < y z 4 Perkl: Jk z postf mk < y z < yz Jk z egtf mk < y z > yz Rels urut dc kurg dr tu sm deg ddefsk deg: y jk d y jk y postf tu ol. Sft-sft dl: Trstf: jk y d y z mk z. Pem: y z y z Perkl: Jk z postf mk y z yz Jk z egtf mk y z yz.4. Pertdksm Pertdksm merupk klmt teruk yg megguk rels <, >, tu. Peyeles sutu pertdksm dl semu lg yg memeu pertdksm terseut yg sy merupk tervl tu gug tervltervl. Mege tervl dpt djelsk seg erkut. Itervl teruk, dl mpu semu lg rel yg le esr dr d kurg dr. Jd, { < < }. Sedgk tervl tertutup [,] dl mpu semu lg rel yg le esr tu sm deg d kurg tu sm deg. Jd [,] { }. Beerp tervl dtujukk dlm dftr erkut. 4
11 Peuls Itervl Peuls Hmpu Dlm Grs Blg, { < < } [, ] { } [, { < }, ] { < }, { < }, ] { }, { > } [, { }, R Coto Pertdksm 7 < < 4 6 < 4 > 5 5 Coto Tetuk mpu peyeles pertdksm 7 < 4. Peyeles: 7 < 4 < 4 5 < 5 > 5 5 Hp: tervl, { > 5 } 5
12 Coto Tetuk mpu peyeles pertdksm 5 6 < 4. Peyeles: 5 6 < 4 < < Hp: tervl [, { < } Coto Tetuk mpu peyeles pertdksm 6 <. Peyeles: 6 < < Hp: tervl, { < < } Coto 4 Tetuk mpu peyeles pertdksm > Peyeles: > > Hp: tervl,, { < tu > } Coto 5 5 Tetuk mpu peyeles pertdksm Peyeles:
13 deg syrt megp? Hp: tervl, ] { < }.5 Nl Mutlk Kosep l mutlk sgt dperluk utuk mempeljr klkulus. Ole kre pemc yg g memm etul kosep-kosep dlm klkulus dsrk mempuy ketrmpl dlm ekerj megguk l mutlk. Defs: Nl mutlk lg rel, dtuls ddefsk deg jk jk < Msl: 5 5, 5 5 5, Sft-sft l mutlk ketdksm segtg 4 Pertdksm yg memut l mutlk Utuk meyelesk pertdksm yg memut l mutlk dpt dguk teorem erkut. 7
14 Teorem:. < < <. > < tu >. Secr fss dpt meytk jrk ke, segg yg memeu < meytk yg jrky ke kurg dr. Secr fss c dpt meytk jrk ke c, segg yg memeu c < meytk yg jrky ke c kurg dr c Coto Tetuk peyeles <. Peyeles: Nl yg memeu < < merupk peyeles pertdksm <. Gmrk peyeles pertdksm terseut pd grs lg. Coto Tetuk peyeles pertdksm <. Peyeles: < < < < < < < 5 Jd, peyelesy dl yg memeu < < 5. Gmrk pd grs lg peyeles pertdksm. 8
15 Coto Tetuk peyeles pertdksm 5. Peyeles: 5 5 tu 5 4 tu 6 4 tu Jd, peyelesy dl yg memeu 4 tu. Gmrk pd grs lg peyeles pertdksm. Coto 4 Adk ε epslo dl lg postf. ε Tujukk w < 5 < ε. 5 Peyeles: ε < 5 < ε 5 5 < ε 5 5 < ε < ε Coto 5 Adk ε epslo dl lg postf, crl lg postf δ sedemk segg < δ 6 8 < ε Peyeles: 6 8 < ε 6 < ε 6 < ε 6 < ε ε < 6 Ole kre tu dpt dpl δ 6 ε. 9
16 Secr mudur dpt dlt w < δ 6 8 < ε. Terkt deg lg kr pgkt du dpt dytk w SOAL Tetuk mpu peyeles pertdksm erkut d gmrk mpu peyelesy pd grs lg < < < > < 4 5. > < <. < 4 7. < 4 9 <. 4 < 8 8. < 5 < < > > 9. 4 > >. > 6.
17 Buktk w mplks yg dtujukk dl er. <, <, 5. ε. < 6 < ε. 6 ε. 4 < 8 < ε. Dlm sol erkut, jk ε lg postf, crl lg postf δ sedemk segg mplks yg derk er < δ 5 < ε 5. < δ 4 5 < ε
18 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI. Fugs d Grfky Defs Seu fugs f dr mpu A ke mpu B dl sutu tur yg memsgk setp ggot A deg tept stu y ggot B. A dseut dom der sl fugs f d B dseut kodom der kw. Sedgk mpu semu ggot B yg mempuy psg dseut rge der sl. f A B Gmr. Fugs Defs d ts tdk memerk pemts pd dom d kodom. Dom dpt erup mpu yg erggotk org tu yg l, demk pul kodom. Dlm ur seljuty dom d kodom dts pd mpu-mpu lg rel. Utuk memer m fugs dguk uruf tuggl sepert f tu g, tu F, mk f meujukk l yg derk ole f kepd. Jd jk f 4, mk Fugs d Lmt Fugs
19 f 4 4 f 4 5 f 4 f 4 4 Coto Utuk f, crl d sederk:. f4. f4 c. f4 f4 f 4 f 4 d. deg. Peyeles: Coto Utuk f deg der sl {,,,, }, crl der sl fugs f. Peyeles: Fugs d Lmt Fugs
20 Blm utuk seu fugs der sly tdk drc, mk dggp der sl fugs terseut dl mpu lg rel segg tur fugsy ermk d memerk l lg rel. Coto. Der sl f dl { R }.. Der sl gt 9 t dl {t R 9 t }. Apl der sl d der sl seu fugs merupk mpu lg rel, kt dpt memygk fugs tu deg meggmrk grfky pd sutu dg koordt, d grfk fugs f dl grfk dr persm y f. Coto 4 Butl skets grfk dr: f 4 g c Peyeles: Fugs d Lmt Fugs 4
21 . Opers pd Fugs Jk f d g du fugs mk juml f g, sels f g, sl kl fg, sl g f/g d perpgkt f dl fugs-fugs deg der sl erup rs dr der sl f d der sl g, d drumusk seg erkut. f g f g f g f g f g f g f f / g slk g g Coto 5 Jk f d g, tetuk f g, f g, fg, f/g d f. Seljuty gmrl skets grfky. Peyeles: Fugs d Lmt Fugs 5
22 Seljuty ddefsk komposs fugs seg erkut. Jk f d g du fugs deg der sl g merupk der sl f mk komposs g o f memeu g o f g f Coto 6 Jk f d g, tetuk g o f d f o g. Seljuty gmrl skets grfky. Peyeles: g o f g f g f o g f g f 4 Gmr grrfk drk utuk lt.. Pegert Lmt Perkt lmt errt medekt, sepert Sy sud me smp medekt ts kesr sy, tu Jgl kmu medekt z. Utuk memm pegert lmt fugs kt wl deg fugs erkut. f Fugs terseut tdk terdefs d se d ttk f eretuk. Tetp dpt dseldk mege l f d ttk-ttk yg dekt deg medekt. Pertk l f utuk eerp sepert terlt pd dftr d grfk y f dpt dlt pd gmr erkut. Fugs d Lmt Fugs 6
23 y f,5,8,,,,,,?,999,997,99,97,9,7,75, Gmr. Berdsrk forms pd tel d pd grfk meujukk w f medekt pl medekt. Secr mtemts l terseut dtulsk deg lm d dc lmt / utuk medekt dl. Dlm coto kt meguugk lmt deg perlku fugs dekt deg, uky d. Coto Deg megguk eerp l pedekt tetuk s lm Fugs d Lmt Fugs 7
24 Peyeles: y s,8447,5,95885,,998,,99998?,,99998,,998,5,95885,8447 Jd, s lm. Igt keml mege l mutlk. Jk ε dl semrg lg postf, mk jrk f ke lg L kurg dr ε dpt dytk dlm etuk: f L < ε d ekuvle deg L ε < f < L ε yg meujukk w f terletk pd tervl teruk L ε, L ε sepert terlt pd gmr.. Seljuty mslk δ dl sutu lg postf d cukup dekt deg c segg jrk ke c kurg dr δ, tetp c mk < c < δ d ekuvle deg c δ < < c δ yg errt terletk dlm tervl teruk c δ, c δ d dpt dgmrk sepert terlt pd gmr.. Fugs d Lmt Fugs 8
25 f f L ε L L ε c δ c c δ f L < ε < c < δ Gmr. Gmr-gmr dlm Gmr. d Gmr. drpk dpt memudk kt utuk memm defs forml dr lmt seg erkut. Defs Lmt f utuk medekt c dl L, dtuls lm f L c jk d y jk utuk setp lg ε > etppu kecly, terdpt lg δ > sedemk segg pl < c < δ erlku f L < ε. Fugs d Lmt Fugs 9
26 Utuk setp ε > terdpt lg δ > sedemk segg pl < c < δ erlku f L < ε Gmr.4 Coto Buktk w lm Alss pedulu: Mslk ε > semrg, kt rus dpt meemuk lg δ > sedemk segg pl < 4 < δ erlku 7 5 < ε. Pertk 7 5 < ε < ε 4 < ε 4 < ε ε 4 < Fugs d Lmt Fugs
27 Ole kre tu dpt dpl δ ε. Tetu sj dpt dpl lg δ yg kurg dr ε. Bukt: ε Aml semrg lg ε >. Kt pl δ >, ytu δ. Apl < 4 < δ mk erlku 7 5 Jd, terukt lm < δ. ε ε. Coto Buktk w lm 5 Alss pedulu: Mslk ε > semrg, kt rus dpt meemuk lg δ > sedemk segg pl < < δ erlku 5 < ε. Pertk 5 < ε 5 5 < ε < ε < ε ε < < ε Ole kre tu dpt dpl δ ε tu yg le kecl dr ε. Fugs d Lmt Fugs
28 Bukt: ε Aml semrg ε > dpl δ segg < < δ erlku < δ ε < ε Berrt terukt w lm 5. Coto 4 Buktk lm m mc c Alss Pedulu: Utuk setp ε >, k dcr lg δ > sedemk segg pl < c < δ erlku m mc < ε. Pertk: m mc < ε m mc < ε m c < ε ε c < slk m m Dpt dpl δ m ε. Bukt: Utuk m, ukt cukup jels. ε Msl m. Utuk setp ε > dpl δ. Ole krey jk < c < δ m mk erlku m mc m mc m mc Fugs d Lmt Fugs
29 m c < m m ε ε. Fugs d Lmt Fugs
30 Coto 5 Buktk, jk c >, mk lm c c Alss Pedulu Ak dcr lg δ > sedemk segg pl c < ε utuk setp ε >. < c < δ erlku Pertk: c c c c c c c c c c Dpt dpl δ ε c Bukt: Aml semrg ε > dpl δ ε c. Ole krey jk < c < δ mk c ε c erlku c < < ε. c c.4 Teorem Lmt Teorem.4. Mslk lg ult postf, k kostt, sert f d g fugs-fugs yg mempuy lmt d c, mk: lm k k c lm c c lm kf k lm f c c Fugs d Lmt Fugs
31 4 lm [ f g ] lm f lm g c c c 5 lm [ f g ] lm f lm g c c c 6 lm [ f. g ] lm f. lm g 7 8 c c c lm f f c lm, slk lm g g lm g c c lm [ f ] f c lm c c 9 lm f lm f, slk lm f > utuk lg gep. c c c Bukt teorem.4. drk utuk lt. Deg megguk teorem mk peetu l lmt sutu fugs k mejd le mud. Coto 6 Crl lm 5 Peyeles: lm 5 lm teorem lm teorem teorem Coto 7 Crl lm 5 Peyeles: lm 5 lm 5 lm teorem teorem.. 5. Fugs d Lmt Fugs 4
32 Coto 8 Crl lm 5 lm 5 5 Peyeles: lm teorem.. 7 lm lm 5 teorem.. d 9 5 dr coto 7. 5 Igt, etuk f... polom dseut fugs rsol, dseut polom d sl g m m. Teorem.4. Jk f fugs p olom mk lm f fc c Jk f fugs rsol mk lm f fc slk l peyeut d c tdk ol. c Teorem.4. dpt duktk deg megguk teorem.4.. Deg dy teorm.4. mk peetu l lmt fugs polom tu fugs rsol mejd sgt mud, tetuy slk syrt perlu pd teorem terseut utuk fugs rsol dpeu. Fugs d Lmt Fugs 5
33 Coto 9 5 Tetuk lm Peyeles: lm Coto Tetuk lm 6 8 Peyeles: lm Coto 7 Tetuk lm Peyeles: lm 7 Teorem.4. tdk dpt dguk kre l peyeut d dl ol d teorem.4. g 7 jug tdk dpt duguk kre lmt peyeut ol. Tetp, kre lmt pemlg, mk selm medekt terjd pemg lg yg dekt deg lg postf dekt. Hsly dl seu lg postf yg esr d dpt dut esr sekeedk kt deg memrk cukup dekt deg. Dlm l dktk lmty tdk d. Coto sepert k durk le ljut pd g l. Coto Tetuk lm 6 Peyeles: Seelum meco megml lmty terle dulu ddk peyeder pec deg fktorss. 5 lm lm 6 5 lm 7 5 Fugs d Lmt Fugs 6
34 Teorem.4. Teorem Apt Mslk f, g d dl fugs-fugs deg f g utuk setp d sektr c, kecul mugk d c. Jk lm f lm L, c lm g c c mk L. Bukt: Derk lg ε > Kre Kre lm c f L, errt terdpt lg δ > sedemk gg < c < δ f L < ε L ε < f < L ε. lm L, errt terdpt lg δ > sedemk gg c < c < δ L < ε L ε < < L ε Dpl δ m{δ, δ } Apl < c < δ mk erlku L ε < f g < L ε L ε < g < L ε g L < ε Terukt lm g L. c Coto Dpt dseldk w 6 tdk. Tujukk w s lm s. utuk semu yg medekt tetp Fugs d Lmt Fugs 7
35 Peyeles: Mslk f s, g, d, mk lm f 6 d lm, segg dperole s lm lm lm 6 s lm lm 6 Berdsrk teorem.4. mk dpt dsmpulk s lm. SOAL. Utuk fugs f, tugl msg-msg l. f c. f. f 6 d. f t. Utuk fugs gt t, tugl msg-msg l. f c. f 4. f9 d. f 4. Gmrl grfk fugs 4,. f., > g,,, < < 4. Jk f d g, tetuk:. f g d. f / g. f g e. g o f c. f g f. f o g 5. Jk f d g, tetuk: Fugs d Lmt Fugs 8
36 . f g d. f o g. f / g e. f 4 g 4 c. g o f Dlm sol omor 6, uktk lmt-lmt terseut. 6. lm 7 7. lm lm lm. lm Buktk w jk lm f L d lm f M, mk L M. c. Mslk F d G dl fugs-fugs sedemk segg F G utuk semu dekt deg c, kecul mugk d c, uktk w jk lmg mk lm F. c c Utuk sol-sol erkut o. s.d., tetuk l lmt fugs erkut. lm7 4 c lm lm lm 4 u u lm u u 4 8. t 7t 7 lm t 4t 5 t Fugs d Lmt Fugs 9
37 9. w w w 6 lm w 4w 4 w. y y y lm y y y Fugs d Lmt Fugs
38 .5 Lmt Kr d Lmt K Defs Lmt f utuk medekt c dr kr dl L, dtuls lm f L c jk utuk setp lg ε > etppu kecly, terdpt lg δ > sedemk segg pl < c < δ, mk erlku f L < ε. Lmt f utuk medekt c dr k dl L, dtuls lm f L c jk utuk setp lg ε > etppu kecly, terdpt lg δ > sedemk segg pl < c < δ, mk erlku f L < ε. Teorem.5. lm f L jk d y jk lm f lm f L c c c Coto 4 f,, < Tetuk lm f, lm f, d lm f, seljuty gmrk grfk fugs f. Peyeles: lm f lm lm f lm Kre lm f lm f mk lm f. Fugs d Lmt Fugs
39 Coto 5, g Tetuk lm g, lm g, d lm g,, < seljuty gmrk grfk fugs g Tetuk lm g, lm g, d lm g, seljuty gmrk grfk fugs f. Peyeles: lm g lm lm g lm Kre lm g lm g mk lm g tdk d..6 Lmt Tk Hgg Coto 6 Crl lm jk d. Peyeles: Semk medekt, jug semk dekt ± deg, d l mejd sgt esr ±,5 4 ±, 5 lt tel d smpg. Nmpk dr grfk ±, fugs f yg dperltk pd ±,5 4 ±,. gmr.4 w l f dpt dut sgt ±,.. esr deg megml cukup dekt ke. deg demk l f tdk medekt sutu lg, segg lm tdk d. Utuk meujukk jes perlku sepert ug dtujukk dlm coto kt guk ots Fugs d Lmt Fugs
40 lm Hl tdk errt w kt megggp seg sutu lg. Tdk jug ermk w lmt terseut d. Nots terseut yl meytk cr kusus utuk meujukk w lmt terseut tdk d. Secr umum kt tulsk lm f c utuk meujukk l f mejd semk esr ketk semk medekt c. Lmt jes serup, utuk fugs yg mejd egtf tk ergg ketk medekt c dtulsk deg lm f c Coto 7 lm Hl jug dpt derlkuk utuk lmt kr d lmt k lm f lm f c c lm f lm f c c Seu grs c dseut smtot tegk kurf y f jk plg sedkt sl stu dr peryt erkut er: lm f lm f lm f c c c c lm f lm f lm f c Seg coto, sumu Y tu merupk smtot tegk kurv y kre lm. c Fugs d Lmt Fugs
41 Coto 8 Htugl lm π t d lm π t Peyeles: lm t π lm t π s lm cos π s lm cos π lm s π lm π lm π lm π cos s cos.7 Kekotu Fugs Defs Mslk f : A R sutu fugs, mk. Fugs f dktk kotu d c A jk lm f f c. Fugs f dktk kotu pd mpu A jk f kotu dsetp ggot A. c Defs megdug rt w f dktk kotu d c A jk dpeu ketg syrt erkut: lm f d c Nl fc d lm f f c c Fugs d Lmt Fugs 4
42 Coto 9 4,. f, Apk f kotu d? Gmrk grfk fugs f. Peyeles: lm f lm f d 4 lm lm Kre lm f f mk f tdk kotu d. 4 d Gmrk grfk fugs f dserk kepd pemc. 4. f Apk f kotu d? Gmrk grfk fugs f. Peyeles: lm f lm 4 lm lm f tdk d Kre f tdk d, mk f tdk kotu d. Gmrk grfk fugs f dserk kepd pemc. 4 d 4,. f 4, Apk f kotu d? Gmrk grfk fugs f. Fugs d Lmt Fugs 5
43 Peyeles: lm f lm f 4 d 4 lm lm Kre lm f f mk f kotu d. 4 d Gmrk grfk fugs f dserk kepd mssw. 4. f,, < Apk f kotu d? Gmrk grfk fugs f. Peyeles: lm f lm lm f lm Kre lm f lm f mk lm f d Lt keml coto 4. f d Kre lm f f, mk f kotu d. Gmrk grfk fugs f dserk kepd mssw., 5. g, < Apk g kotu d? Gmrk grfk fugs g. Peyeles: lm g lm lm g lm Fugs d Lmt Fugs 6
44 Kre lm g lm g mk lm g tdk d. lt keml coto 5 Kre lm g tdk d, mk g tdk kotu d Teorem.7.. Fugs polom fugs suku yk kotu pd R.. Jk fugs-fugs f d g keduy kotu d c d k semrg kostt mk fugs f g, f g, kf, f /g sl lm g jug kotu d c.. Jk g fugs yg kotu d c d f fugs kotu d gc mk f o g kotu d c. c SOAL. Tetuk lmt sepk erkut:. lm. lm, < c. f,,, > lm f, lm f, lm f, d lm f. Apk fugs-fugs erkut kotu d? t 8, t t. t, t Fugs d Lmt Fugs 7
45 . t,, 8 4 t t t t c. g <,, d. f >,, 4. f > <,,,. Apk f kotu d?. Apk f kotu d? 4. > <,,, g. Apk g kotu d?. Apk g kotu d? Fugs d Lmt Fugs 8
46 TURUNAN FUNGSI. Pegert Turu Fugs Defs Turu fugs f dl fugs f yg ly d c dl f c f c f c lm slk lmt d. Coto Jk f 4, mk turu f d dl f f f lm lm lm lm lm lm 4 Jk f mempuy turu d setp ggot dom mk f f f lm dy Jk y f turu y tu turu f dotsk deg y, tu, tu f, tu d df d Turu Fugs 8
47 Coto Jk f 4, mk turu f d semrg dl f f f lm 4 4 lm 4 4 lm 6 lm 6 lm 6 lm 6. Turu Fugs Kost d Fugs Pgkt. Jk f k deg k kost utuk setp f fugs kost, mk f. Bukt: f f f lm k k lm. Jk f utuk setp f fugs detts, mk f. Bukt: f f f lm lm lm.. Jk f deg lg ult postf, utuk setp, mk f. Bukt: f f f lm lm Turu Fugs 9
48 lm lm lm... lm Coto Jk f 5, mk turu f dl f 5 4. Sft-sft Turu Jk k sutu kostt, f d g fugs-fugs yg terdfereslk, u d v fugsfugs dlm segg u f d v g mk erlku:. Jk y ku mk y ku. Jk y u v mk y u v. Jk y u v mk y u v 4. Jk y u v mk y u v u v 5. Jk y v u u ' v uv ' mk y v Coto 4. Jk f 5, mk f Jk f 5, mk f 5 4. Jk f 5, mk f Jk f 5 4 7, mk f Jk f , mk f Turu Fugs 4
49 6. Jk f p deg p lg ult egtf mk f deg p, segg f.. f p p u. Deg megguk turu y dperole v.4 Atur Rt utuk Turu Fugs Komposs Utuk meetuk turu y deg cr meglk ersm keseml fktor kemud mecr turu polom erderjt 6 tetul sgt melelk. Cr yg mud utuk meetuk turu y dl deg megguk tur rt. Atur Rt Mslk y fu d u g meetuk fugs komposs yg drumusk deg y fg f o g. Jk g terdfereslk d d f terdfereslk d u g mk y f o g terdfereslk d d y f o g f g g tu dy d dy du du d Fugsí komposs dpt dperlus mejd komposs fugs, 4 fugs d seterusy. Jk y fu u gv v yk y f o g o mk dy d dy du du dv dv d Turu Fugs 4
50 Coto 5 Tetuk turu y Peyeles: Mslk u 4 du d y u 9 dy 9u 8. du dy dy du 9u 8 7 d du d Turu Fugs Ivers Mslk y f d f mempuy vers f segg f y. Deg megguk tur rt pd f y dperole d df y d dy d dy d dy dy d dy d dy d.6 Turu Fugs Implst Fugsí mplst secr umum dpt dtuls seg f, y deg y seg fugsí dlm. Coto fugs mplst: y 8 y 7y Coto 6 dy. Tetuk dr fugsí yg drumusk deg y 8 d Peyeles: Apl kedu rus y 8 dturuk terdp, mk dperole: Turu Fugs 4
51 dy 6 d dy 6 d dy. Tetuk dr fugsí yg drumusk deg y 7y d Peyeles: Apl kedu rus y 7y dturuk terdp, mk dperole: 6 y dy dy 7 d d dy 7 6 y d dy 6 y d 7.7 Turu Tgkt Tgg Jk fugs dturuk mk turuy, ytu f jug erup fugs segg ole jd f mempuy turu tersedr yg dytk ole f f. Fugs yg f ru dseut turu kedu dr f kre d merupk turu dr turu f. Deg ots Lez kt tulsk turu kedu dr y f seg Nots l dl f D f d d dy d y d d Coto 7 Jk f 4 7 8, tetuk f. Peyeles: f 7 utuk mecr f kt turuk f : d f 7 d 6 Coto 8 Jk f 5 4 7, tetuk f. Turu Fugs 4
52 Peyeles: f d d d 4 7 d d f [ ] d d [5 4 d 4 7] [ 5 4] d d d 4 4 d d d d d 5 5 d 4 4 d Turu Fugs Aljr d Fugs Trsede Fugs Fugs Aljr Fugs Rsol Fugs Irrsol Fugs Trgoometr Fugs Sklometr Fugs Trsede Fugs Logrtm Fugs Ekspoesl Fugs Hperolk.8. Turu Fugs Rsol Coto-coto tetg turu yg durk seelumy coto dl coto-coto turu fugs rsol. Jd turu fugs rsol tdk perlu ds keml..8. Turu Fugs Irrsol Fugs Irrsol dl kr dr fugs-fugs rsol Turu Fugs 44
53 Coto 9 Tetuk turu y deg lg ult postf Peyeles: y y d segg y dy Coto dy d Tetuk turu y Peyeles: y d dy y 4 4 y 4 Deg tur rt dperole: y Turu Fugs Trgoometr Ak dcr turu fugs kosus seg erkut. Igt: cos cos cos s s. Jk f cos, mk f f f lm cos cos lm cos cos s s cos lm cos cos s s lm cos cos s s lm lm cos s lm cos lm lms lm cos. s. s Turu Fugs 45
54 Jd, jk f cos, mk f s Alog: jk f s, mk f cos jk f tg, mk f sec jk f ctg, mk f cosec jk f sec, mk f sec tg jk f cosec, mk f cosec ctg.8.4 Turu Fugs Sklometr Fugs sklometr dl vers fugs trgoometr. Ak dcr turu vers fugs sus rcus sus erkut. y rc s s y y d cos y dy dy d cos y cos y Jd, jk y rc s, mk y Turu Fugs 46
55 Alog: jk y rc cos, mk y jk y rc tg, mk y jk y rc ctg, mk y jk y rc sec, mk y jk y rc cosec, mk y.8.5 Turu Fugs Logrtm Ak dcr turu f l erkut. f f f lm l l lm l lm l lm l lm. lm l Turu Fugs 47
56 lm l lm l lm Meggt lml f l lm f d Segg dperole: f lm l lm lm e l lm lm l e Jd, jk f l, mk f Seljuty jk y log mk turuy dpt dcr seg erkut. y l log y l Segg y l l l l Turu Fugs 48
57 Jd, jk y log, mk y l.8.6 Turu Fugs Ekspoesl Ak dcr turu y seg erkut. y l y l l y l l y l l y l d Segg dy l y dy Dperole y l. d l Jd, jk y, mk y l Kususy utuk e, jk y e, mk y e l e e Jd, jk y e, mk y e Turu Fugs 49
58 .8.7 Turu Fugs Hperolk Defs s e e cot t e e e e cos e e sec cos e e t s cos e e e e csc s e e Jk f s, mk deg megguk turu fugs ekspoesl dperole f ' d e e d e e e e cos. Jd, jk f s, mk f cos.9 Turu Fugs Prmeter Apl dsjk persm eretuk: ft y gt mk persm dseut persm prmeter dr d y, d t dseut dy prmeter. Dr etuk prmeter dpt dcr deg cr seg d erkut. Dr ft detuk t deg fugs vers dr f. Nmpk w y gt merupk etuk fugs komposs y gt g Turu Fugs 5
59 dy dy Dperole d dt segg dy d dt d dy dy tu d dt dy dt d dt d dt SOAL dy Crl utuk yg erkut d. y y. y 4 6. y. y 4. y 7. y dy Deg tur rt tetuk utuk yg erkut d 8. y y y s 5. y y cos 4. y s 7. y rcs 4. y cos 4 8. y rctg 4 8. y s 9. y l y 4. y e 9 Tetuk turu fugsí mplst erkut. y y y. 4 9y 6 7. y y. y 4 8. y s y 4. y 6 9. cos y y 5. y 9y. 6 y y y Turu Fugs 5
60 dy Tetuk utuk fugís prmeter erkut d. y 9t 4. l t 9 s t y t 7. y 9t t 9 5. e rc s t y cosec t. l 9t 6. y sec t y s t tg t Turu Fugs 5
61 Itegrl 4 INTEGRAL Defs 4.. Fugs F dseut t turu tegrl tk tetu dr fugs f pd mpu D jk utuk setp D. F f Fugs tegrl tk tetu f dotsk deg f d d f dmk tegr. d Jd d Coto f d f. s, s 5, s 7 dl fugs-fugs tegrl tk tetu dr cos pd seluru grs rel, se dervtf merek sm deg cos utuk semu. Sft 4..: Mslk f d g mempuy t turu d k sutu kostt, mk. kf d k f d. [ f g ] d f d g d Teorem 4.. Jk F d G keduy tegrl tk tetu dr f pd tervl I, mk F d G ersels sutu kostt pd I Jd F G C deg C semrg kostt. Akt 4..4 Jk F sutu fugs tegrl tk tetu dr f, mk deg C kostt semrg. f d F C. Tor, Klkulus Itegrl 5
62 Itegrl 4. Rumus Dsr. d. d C,. d rc t C l C, rc cot C. e d e C. 4. d l d rc s C C, rc cos C > 5. s d cos C. d rc sec C 6. cos d s C rc csc C 7. sec d t C 4. s d cos C 8. csc d cot C 5. cos d s C 9. sec t d sec C. csc cot d csc C SOAL Tetuk:. d. d. d 4. s d 5. d Tor, Klkulus Itegrl 54
63 Itegrl 4. Itegrl deg Susttus 6 Msl: Tetuk 5 d Utuk meyelesk permsl sepert dpt dguk tur sepert pd teorem erkut. Teorem 4.. Jk u g yg ddefsk pd tervl I mempuy vers g u d fugs-fugs g d g keduy mempuy dervtf yg kotu pd tervly msg-msg, d f kotu pd tervl d m g ddefsk, mk Coto 6 Tetuk 5 d f { g } g ' d f u du Peyeles: Susttusk u 5 du d du d 6 6 mk 5 d 5 d u 6 du Coto 6 Tetuk 5 d u C 7 5 C Peyeles: Susttusk u 5 du 6 d du 6 d Tor, Klkulus Itegrl 55
64 Itegrl 6 6 mk 5 d 5 6 d 6 u 6 du u C 7 5 C Coto 4 Tetuk cos d Peyeles: Susttusk u du d du d mk cos d cosu du s u C s C SOAL Tetuk:. 9 d 6. d 4 9 d. 5 d d 8. 4 d 4. d l sl 5. d s 9. e cos d 4. e d Tor, Klkulus Itegrl 56
65 Itegrl 4. Itegrl Prsl Msl: Tetuk e d Mslk: u f f ' d du f ' d du u ' d v g g ' d dv g ' d dv v ' d d uv uv f g f ' g f g ' d d uv f ' g d f g ' d duv duv Jk kedu rus dtegrlk, dperole uv v du u dv u dv uv v du u ' v d uv ' d v du u dv Coto 5 Tetuk e d Peyeles: Mslk u du d dv e d v e d segg e d e e d e e d e e C e Coto 6 Tetuk e d Peyeles: Mslk u dv e d du d v e d e Tor, Klkulus Itegrl 57
66 Itegrl segg e d e e d e e d e e e C e e e C Coto 7 Tetuk cos d 5. Peyeles: Mslk u du d dv cos d v cos d s segg cos d s s d s cos C Coto 8 Tetuk e cos d Peyeles: Mslk u e segg e cos d e du e d dv cos d v cos d s s e s e s e d s d msl u e du e d dv s d v s d Dperole e cos d e e cos d e cos d e { e e s cos cos d } e s e cos cos e d e e s e cos cos e d s e cos s e cos C cos Tor, Klkulus Itegrl 58
67 Itegrl SOAL Tetuk:. s d 6. e s d. s d 7. rcs d. l d 8. rct d 4. e d e d. l l l d d 4.4 Itegrl yg Megslk Arcus Tge d Logrtm Igt: d rc t C Berdsrk rumus d ts dpt duktk w utuk kostt, mk erlku: d rc t C 4.4. Pertk peyeut dlm tegr. Seljuty k dcr c d Jk f c deg D 4 4c <, mk f deft postf d sellu dpt dw ke etuk f p deg p c > segg d c p d d deg megguk 4.4. dpt dperole d c rct C 4.4. p p deg p c Tor, Klkulus Itegrl 59
68 Itegrl Coto 9 Tetuk Peyeles: d Deg megguk rumus 4.4. dperole d rc t C Coto Tetuk 9 d Peyeles: Deg megguk rumus 4.4. dperole d rc t C Coto Tetuk d 5 Peyeles: c 5 p 5 4 Deg rumus 4.4. dperole d rc t 5 Atu secr lgsug deg cr erkut: d 5 d rc t C 4 C Seljuty gt: d l C Deg rumus dpt dtujukk w g ' g d l g C 4.4. Tor, Klkulus Itegrl 6
69 Itegrl Coto Tetuk d 4 Peyeles: Deg rumus 4.4. dperole d l 4 C 4 Coto 5 Tetuk d 6 Peyeles: 5 6 d 6 d 6 6 d 6 d 6 l 6 d 4 l 6. rc t l 6 rc t C C SOAL Tetuk: 5. d 5. d d 6. 5 d 6. t s d d cos 7. 4 d d d 4 7 Tor, Klkulus Itegrl 6
70 Itegrl 4.5 Itegrl Fugs Pec Rsol P o... deg dmk poloml fugsí suku yk erderjt. Fugs kost P o o dpt dpdg seg poloml erderjt ol. N Fugs pec rsol dl fugs eretuk deg N d D polomlpoloml. D Ur mege tegrl fugs pec rsol dpt dperc utuk eerp ksus seg erkut Ked N D Jk N D mk erdsrk rumus 4.4. dperole: N d l D C D d sud ds pd g 4.4 segg tdk perlu dulg Ked derjt N derjt D Lkuk pemg N ole D segg dperole etuk N R Q deg derjt R < derjt D D D Q dl polom, segg tegrly sgt mud. Coto. d d d d... 6 Kepd pemc dperslk utuk meljutk peyeles kedu coto dlm coto d ts. Deg demk yg perlu dpeljr le ljut dl ked dm derjt N < derjt D d N D Tor, Klkulus Itegrl 6
71 Itegrl 4.5. Ked Derjt N < Derjt D Pd pems N D. Tp megurg umumy pemcr, dml koefse suku pgkt tertgg dr dlm D dl stu. Utuk N megtug d, terle dulu tegr dps mejd pecpec D prsly. Coto 4 Jd 6 6 dpt dpec mejd pec-pec prsl erkut d 6 d d d d d 5 d l l 5l C Kre seelum melkuk pegtegrl terle dulu ddk pems N mejd pec-pec prsly, mk seelumy perlu dpeljr D N cr mems mejd pec-pec prsly terseut. D Mems Pec Mejd Pec Prsl Dlm pemcr tetp dsumsk: derjt N < derjt D koefse suku pgkt tertgg dr dlm D dl stu N d D tdk lg mempuy fktor persekutu Tor, Klkulus Itegrl 6
72 Meurut ked fktor-fktor D, dlm memsk N D Itegrl mejd pecpec prsly dpt dedk mejd 4 ked, ytu:. Semu fktor D ler d erl. Semu fktor D ler tetp d yg sm erulg c. D mempuy fktor kudrt d semu fktor kudrty erl d. D mempuy fktor kudrt yg sm.. Semu fktor D ler d erl Mslk fktor-fktor D dl,, c, d d, mk D c d. Detuk N D A B C D c d seg sutu detts dlm, segg utuk setp l yg derk mk l rus kr d l rus k dlm sm. Kostt A, B, C, d D dl kostt-kostt yg ms k dcr ly. Coto 5 Psk Peyeles: ts pec-pec prsly. 4 6 Detuk A B C A B C 6 6 A B C utuk A4 A utuk B B utuk 6 C 4 C 5 Jk l A, B, d C dsusttusk ke dlm mk dperole Tor, Klkulus Itegrl 64
73 Itegrl segg d 6 5 d d d l l 5l C Pd g djump etuk d. Semu fktor D ler tetp d yg sm erulg Mslk fktor-fktor D dl,, c, c, d, d, d d, mk D c d. Seljuty detuk N D A B C D E F G c c d d d Pertk suku-suku pec d rus k terutm yg sesu deg kr sm c d d. Coto 6 Psk Peyeles: ts pec-pec prsly. Detuk A B C D 4 A B C D utuk D utuk 7A utuk A B C D utuk 8A 4B C D Dr keempt persm terseut dperole: 6 A, B, C, D Jd Tor, Klkulus Itegrl 65
74 Itegrl Seljuty dpt dcr tegrl d d d d d... d Pd g djump etuk d d d,,... c. D mempuy fktor kudrt d semu fktor kudrty erl Igt teorem dlm ljr erkut. Teorem: Akr-kr tdk rel persm derjt tgg deg koefse rel sepsg-sepsg ersekw, rty jk sutu kr mk jug kr persm tu Berdsrk teorem terseut mk pl kr persm D mk demk jug, segg sl stu fktor D dl { }{ } yg deft postf. Msl D p q { }{ c d } mk perlu detuk N D A p B q C D E F G q c d 5 Coto 7 Psk Peyeles: ts pec-pec prsly. Detuk A B C A B C utuk A utuk A C utuk A B C Setel dcr l-l A, B, d C dperole A, B, d C, segg Tor, Klkulus Itegrl 66
75 Itegrl Jd d d d Pd g djump etuk d, d,,..., d d B AX d. D mempuy fktor kudrt yg sm Berdsrk teorem dlm g c d ts mk pl merupk kr erlpt k dr persm D mk demk jug, d fktor-fktor dr D yg sesu deg kr-kr dl { } k. Msl D p q { }{ c d } mk perlu detuk D N } { d c J H d c G F E D q C q B p A } { d c L K Coto 8 Psk 5 ts pec-pec prsly. Peyeles: Deg cr sepert yg tel derk seelumy ddptk 5 Tor, Klkulus Itegrl 67
76 Itegrl 5 Jd d d d d AX B Pd g dpt mucul etuk d,,,..., d { } N Dlm mecr d D kt ddpk kepd empt jes tegrl yg eretuk: d d,,... AX B d AX B 4 { } d,,,... Tg etuk yg pertm tel dpt dselesk megguk teor-teor yg sud derk. Adpu tegrl etuk keempt dpt dselesk deg susttus y seg erkut. AX B Ay A B d { } dy { y } A d y A B { y } { y } Itegrl utuk suku pertm pd rus terkr uk msl kre eretuk du,,,... Sedgk tegrl pd suku keduy dpt du mejd u A B A B dy dy { y } y A B Utuk megtug tegrl dt { t } dt { t } deg t y dy dpt dguk rumus reduks erkut Tor, Klkulus Itegrl 68
77 Itegrl dt { t } t t dt { t } Dlm tuls tdk derk ukt rumus reduks terseut. Coto 9 Selesk 4 Peyeles: 4 d d. 4 4 d 4 d 4 4 d d 4 4 { 9} d d 4 4 { 9} 4 4 { 9 [ / ] } 8 {[ / ] } d d d Utuk 8 8 {[ / ] } {[ / ] } d d susttusk t, dt d segg { t } dt t. dt. t. t { } dt t t t rctt 7 t { } t Tor, Klkulus Itegrl 69
78 Itegrl Jd 4 d 7 rct. rct 7 6 rct {[ / ] } d rct 7 54 C. LATIHAN. d 4 4. d 4. d 5. 4 d. d 4 6. d 4.6 Itegrl Fugs Trgoometr 4.6. Rumus-rumus Seder cos d s C t d l cos C s d cos C cot d l s C sec d t C sec t d sec C csc d cot C csc cot d csc C sec d l sec t C csc d l csc cot C 4.6. Betuk Rs cos d d Rcos s d Jk R fugs rsol mk Rs cos d R s ds R y dy Tor, Klkulus Itegrl 7
79 Itegrl Rcos s d R cos dcos R t dt Deg meggt rumus cos s, mk: Rs, cos Rcos, s cos d R y, y dy s d R t, t dt Coto. cos s 7 cos d. s d 4.6. Itegrl deg mempertk rumus-rumus s s y y cos y } s cos y y s y } cos cos y y cos y } s cos } cos cos } Coto Crl. s s d. s cos d. cos cos d 4. s d 4 5. s d Susttus t y Jk Rs, cos fugs rsol dlm s d cos, mk R s, cos d megguk susttus dpt dw mejd tegrl fugs rsol dlm y deg y t. Tor, Klkulus Itegrl 7
80 Itegrl y t rc t y d dy y Seljuty pertk y y Mempertk gmr d ts dpt dpm w y s d cos y y s s. s cos y y y y y y Jd s. y Deg megguk rumus cos cos. dperole y cos y y t y cot y y Coto d Crl:. s d. cos d. s cos 4. csc d Tor, Klkulus Itegrl 7
81 Itegrl Itegrl Rt Jk tegr fugs rsol dlm t sj, mk dpt djdk tegrl fugs rsol dlm y deg susttus y t, segg rc t y d dy d. y R y t d dy y R Jd Coto Crl:. t d. d t Rumus Reduks utuk Itegrl Fugs Trgoometr Jk lg ult postf, mk: s cos d y d t dy deg y cos dt deg t s Utuk lg gep postf dpt dguk rumus: cos s t cot sec csc s cos d cos d cos s d s d t d t d cot d cot d s sec d sec d cos csc d csc d Bukt rumus-rumus d ts tdk derk dlm tuls. Tor, Klkulus Itegrl 7
82 Itegrl LATIHAN 4.7 Itegrl Fugs Irrsol Dlm tuls ds eerp jes tegrl fugs rrsol. Pd dsry tegrl dselesk deg megu tegrl rrsol mejd tegrl rsol, k rsol ljr mupu trgoometr Rumus yg perlu dfl d rcs C d rc sec C d l C 4 d l C 5 d rcs C 6 d l C 7 d l C Du rumus pertm mud dw ke etuk rumus tegrl dsr deg susttus y. Sedgk rumus-rumus yg l dpt duktk deg megguk metode yg k dtergk pd g Tor, Klkulus Itegrl 74
83 Itegrl 4.7. Betuk Irrsol Stu Suku Jk tegr y memut etuk rrsol dr stu mcm suku, msly, mk tegrl dpt djdk tegrl rsol deg susttus kelpt persekutu terkecl dr pgkt-pgkt kr. y dm Coto 4 d y 6 6 dml susttus, segg y d d 6y 5 dy 4.7. Stu-stuy Betuk Irrsol c Dlm l c seg stu-stuy etuk rrsol d dlm tegr, mk tegr dpt djdk rsol deg susttus c tu y, jk > c y c, jk c Deg susttus yg pertm dperole ke dlm etuk rsol dlm y kl dy. y c y d d dpt dytk Coto 5 d dml susttus 6 6 y, segg y y 6y d d dy. Seljuty dpt dselesk sepert y y tegrl rsol Susttus Trgoometr Deg mempertk rumus trgoometr cos s d t sec etuk-etuk rr sol erkut dpt djdk etuk rsol fugs trgoometr. Tor, Klkulus Itegrl 75
84 Itegrl Betuk Susttus Dferesl s θ d cosθ dθ sec θ d secθ tθ dθ t θ d sec θ dθ Coto 6. Buktk d rcs C. Guk susttus s θ utuk meetuk. Crl d 6 9 d LATIHAN 4.7. d. d. 4. d 4 d 4 8 Tor, Klkulus Itegrl 76
85 5 INTEGRAL TERTENTU Itegrl Tertetu 5. Pegert Itegrl Tertetu Defs 5.. Prts P pd tervl [,] dl sutu suset ergg P {,,,, } dr [,] deg < < < <. Jk P {,,,, } prts pd [,] mk Norm P, dtuls P, ddefsk seg P m{ -,,,, }. Coto :. Pd tervl [, ], sutu prts P {,,,,, }mempuy orm: P m{,,,, } m{,, 65, 5, } 5. Jk f fugs yg ddefsk pd [,], P {,,,, } sutu prts pd [,], w [ -, ], d Δ -, mk [,]. f w Δ dseut Juml Rem f pd y f w w w w 4 w w Tor, Klkulus Itegrl 77
86 Itegrl Tertetu Coto : Fugs f pd [, ] ddefsk deg f d P {,,,,, } prts pd [, ]. Dpl ttk-ttk: w, w, w, w 4, w 5. 9 w fw Δ fw.δ w fw 4 Δ fw.δ 4 w fw Δ 6 5 fw.δ w 4 fw 4 4 Δ 4 fw 4.Δ w 5 fw 5 9 Δ 5 fw 5.Δ 5 9 Juml Rem fugs f terseut pd tervl [, ] ersesu deg prts P d ts 5 dl f w Δ. 9 Jk P {,,,,,,, } prts pd [, ] d w, w, w, w 4, w 5, w 6, sert w 7 4 tetuk juml Rem fugs f pd [, ] ersesu deg prts P. Defs 5... Jk f fugs yg terdefs pd [,] mk: lm f w Δ L jk d y jk P utuk setp lg postf ε terdpt lg postf δ segg utuk setp prts P {,,,, } pd [,] deg P < δ, erlku f w Δ L < ε.. Jk f fugs yg terdefs pd [,] d lm f w Δ d, mk lmt terseut P dmk tegrl tertetu Itegrl Rem fugs f pd [,]. Seljuty f dktk tegrle pd [,] d tegrly dtuls f d. Jd f d lm f w Δ P. Jk f tegrle pd [,] mk:. f d f d. Jk mk f d f d Tor, Klkulus Itegrl 78
87 Itegrl Tertetu Dr defs 5.. g dpt dpm w jk f >, mk f d lm f w Δ secr geometrs meytk lus der d w kurv P y f, d ts sumu X, d tr grs d. Coto : Jk f, tetuk d. Peyeles: But prts pd [, ] deg megguk tervl g yg sm pjg. Jd pjg setp tervl g dl Δ 5. Dlm setp tervl g [ -, ] prts terseut dml w. Y f Ak dcr l lm f w Δ. P X 5 Δ Δ 5 Δ 5. :.Δ 5. :.Δ Kre utuk setp,,,, dpl w mk w, segg Tor, Klkulus Itegrl 79
88 fw w 5 Itegrl Tertetu 5 Jd juml Rem fugs f pd [, ] ersesu deg prts P terseut dl f w Δ { } 5 5 Jk P mk, segg: 5 lm f w Δ lm 5 P 7 Jd d 7. Coto 4: Tetuk d. Peyeles: Dlm l f utuk setp [,]. Aml semrg prts P {,,,, } pd [,] d semrg ttk w [ -, ],,,,,, mk Tor, Klkulus Itegrl 8
89 f w Δ. Δ d Δ - Itegrl Tertetu - Jd lm f w Δ lm P P Deg demk d. Teorem 5.. Teorem Fudmetl Klkulus Jk f tegrle pd [,] d F sutu t turu dr f pd [,] tu F f utuk setp [,], mk : F F s dtuls [ F ] f d F F Bukt: Aml semrg prts P {,,,, } pd [,]. Kre F f utuk setp [,] mk F f utuk setp [ -, ],,,,,. Berdsrk teorem l rt-rt mk terdpt w [ -, ] segg F F - F w - fw -,,,, Dperole: f w Δ f w { F F } {F F } {F F } {F F } {F F - } F F F F Tor, Klkulus Itegrl 8
90 lm f w Δ lm{ F F } F F. P P Itegrl Tertetu Jd f d F F Coto 5 d [ ] Coto 6 Tetuk tegrl erkut.. d π. s d π { } { } 7. Teorem 5..4 Jk f tegrle pd [,] d c, mk f d f d Teorem 5..5 c c f d. kf d k f d k kostt. { f g } d f d g d. Jk f utuk setp [,] mk f d. 4. Jk f g utuk setp [,] mk f d g d Tor, Klkulus Itegrl 8
91 Itegrl Tertetu 5. Aplks Itegrl 5.. Lus Der Berdsrk pegert tegrl tertetu Itegrl Rem pd defs 5.. d ur d ts dpt dpm w jk f >, mk f d secr geometrs meytk lus der d tr kurv d. Jd y f d sumu X sert dts ole grs-grs A f Coto 7 Tetuk lus der tertutup yg dts ole kurv y, sumu X, grs d grs. Peyeles: A d [ ] d { } { } 7. Coto 8 Tetuk lus der tertutup yg dts ole kurv. Peyeles: y, sumu X, grs d grs Tor, Klkulus Itegrl 8
92 Y Itegrl Tertetu y f y g X Seljuty jk sutu der dts ole du kurv y f d y g sert grs-grs d sepert gmr d ts, mk lus dery dl seg erkut Coto 9 { f g } A d 4 Tetuk lus der tertutup yg dts ole kurv y d y. Peyeles: Meetuk ts-ts dcr deg meetuk kr-kr persm yg dpt kt temuk kr-kry dl d. 4 Y 4 y y 4 segg lusy dl A d 5 5 X Tor, Klkulus Itegrl 84
93 Seljuty jk sutu der dts ole du kurv ϕy Itegrl Tertetu d ψ y sert grs-grs y c d y d sepert gmr d w, mk lus dery dl seg erkut Y d { ψ y ϕ y } A c dy d ϕy ψ y c X Coto Tetuk lus der tertutup yg dts ole kurv Peyeles: Y 4 y 4 y 4 d 4 y 4. y 4 X Meetuk ts-ts deg mecr kr-kr persm dperole y d y 4. y 4 ekuvle deg y 4 d 4 y 4 y y 4 ekuvle deg y 4 4 yg Tor, Klkulus Itegrl 85
94 Itegrl Tertetu 4 4 segg lusy dl A y 4 y dy { y 4 y } dy Volume Bed Putr. Metode Cc Y y f fw w X Jk der yg dts kurv y f, sumu X, grs-grs d dputr megellg sumu X seg sumu putr, mk volume ed putr yg terjd dpt dcr seg erkut. Dut prts P {,,,, } pd [,]. Utuk setp,,, dpl stu ttk w [ -, ], seljuty dut perseg pjg deg pjg fw d ler Δ -. Jk perseg pjg dputr terdp sumu X, mk dperole slder mpr deg volume ΔV π { f w } Δ f Δ Akty dperole juml Rem ΔV π { f w } Δ Apl P mk dperole volume ed putr yg dmksud, ytu Tor, Klkulus Itegrl 86
95 V X π lm P { f w } Δ Itegrl Tertetu Jd π { f } d V X π { f } d Seljuty pl der yg dts ole dts ole du kurv y f d y g sert grs-grs d sepert gmr d w dputr megellg sumu X seg sumu putr, mk volume ed yg terjd dl V X π [ { f } { g } ] d Y y f y g X Deg cr sm, jk der yg dts kurv ϕy, sumu Y, grs-grs y c d y d dputr megellg sumu Y seg sumu putr, mk volume ed putr yg terjd dl. V Y π d { ϕ y } c Demk pul pl der yg dts ole du kurv ψ y d ϕy sert grs-grs y c d y d dputr megellg sumu Y seg sumu putr, mk volume ed yg terjd dl dy Tor, Klkulus Itegrl 87
96 V Y π d [ { ψ y } { ϕ y } ] c dy Itegrl Tertetu Coto Tetuk volume ed putr yg terjd pl der tertutup yg dts ole kurv y, sumu X d grs 4 dputr megellg sumu X. Peyeles: Y y 4 X 4 { } VX π d π d π 8π 4 4 Coto Tetuk volume ed putr yg terjd pl der tertutup yg dts ole kurv y, sumu Y d grs dputr megellg sumu Y. Peyeles: Y y Kre V Y y mk y, segg { y} dy π y dy π y π π 5 5 X Tor, Klkulus Itegrl 88
97 Coto Itegrl Tertetu Tetuk volume ed putr yg terjd pl der tertutup yg dts ole du kurv y d y 8 Peyeles: dputr megellg sumu X. Dpt dcr w perpotog kedu kurv dl d, d, 4. Jk y 8 m k y 8. Pertk gmr erkut. V X [{ 8} { } ] d π [ 8 ] d π 4 π π 5 Tetuk pul pl der terseut dputr megellg sumu Y. 5. Metode Kult Tug Pertk gmr d smpg. Volume ed pejl rug tr tug esr d kecl dl V π r π r π r r π r r r r Tor, Klkulus Itegrl 89
98 r r π r r Rumus dpt dtuls seg V π r Δr Itegrl Tertetu r deg r r d Δ r r r Mslk dketu der dts ole kurv y f, sumu X sert grs-grs d. Apl der terseut dputr megellg sumu Y seg sumu putry, mk volume ed putr yg terjd dpt dcr seg erkut. Dut prts P {,,,, } pd [,]. Utuk setp,,, dpl stu ttk w [ -, ], seljuty dut perseg pjg deg pjg fw d d ler Δ -. Jk perseg pjg dputr terdp sumu Y, mk dperole tug mpr deg volume Akty dperole juml Rem Δ V π w f w Δ ΔV π w f w Δ Apl P mk dperole volume ed putr yg dmksud, ytu V Y π lm w f w Δ P Tor, Klkulus Itegrl 9
99 π f d Itegrl Tertetu Jd V π f d Y Seljuty pl der yg dts ole dts ole du kurv y f d y g sert grs-grs d sepert gmr d w dputr megellg sumu Y seg sumu putr, mk volume ed yg terjd dl Y [ V π f g d Y y f ] y g Δ X Deg cr sm, mslk dketu der dts ole kurv ψ, sumu Y sert grs-grs y c d y d. Apl der terseut dputr megellg sumu X seg sumu putry, mk volume ed putr yg terjd dl Y d d V π yψ y dy X c y ψ c X Tor, Klkulus Itegrl 9
100 Itegrl Tertetu Demk pul pl der yg dts ole du kurv ψ y d ϕy sert grs-grs y c d y d sepert gmr d w dputr megellg sumu X seg sumu putr, mk volume ed yg terjd dl d [ ψ y y ] V π y ϕ dy X c Y d ϕy ψ y c X Coto 4 Tetuk volume ed putr yg terjd pl der tertutup yg y, sumu X, d grs dputr megellg sumu Y. Peyeles: dts ole kurv V Y 4 π d π 4 d π 4 8 π Coto 5 Dketu sutu der tertutup dts ole kurv grs r y, sumu X, d grs t. t Dlm l r > d t >. Jk der terseut dputr megellg sumu X, tetuk volume ed yg terjd deg du cr. Tor, Klkulus Itegrl 9
101 Itegrl Tertetu Peyeles: Cr I Deg metode cc V X t r π t d Y r π t r π t t π r t d t r r y t t X Cr II Deg metode kult tug. Kre r y, mk t t r y V X r t π y t y dy r Y π t r π t y y y r dy y r π t r r π r t r r t r t y t t r y t X 5.. Pjg Kurv Mslk sutu kurv mulus derk ole persm prmeter ft, y gt, t. Pjg kurv terseut dpt dcr seg erkut. Tor, Klkulus Itegrl 9
102 Itegrl Tertetu Dut prts P {t, t, t,, t } pd [,] deg t < t < t < < t, mk kurv k terg mejd g ole ttk-ttk Q, Q, Q,, Q -, Q. Pertk gmr erkut. Pd g ke, pjg usur Q - Q, ytu kt perole Δ s dpt ddekt ole Δw. Deg Pytgors Δ w Δ Δy [ f t f t ] [ g t g t ] Seljuty erdsrk Teorem Nl Rt-rt pd Dervtf tetu terdpt t t, t d tˆ t, t demk segg f t f t f ' t t t tu f deg Δt t t. Ole kre tu dperole g t g t g 'ˆ t t t g t f t f ' t Δt t g t g 'ˆ t Δt Δ w [ f ' t Δt ] [ g 'ˆ t Δt ] [ f ' t ] [ g 'ˆ t ] Δt Tor, Klkulus Itegrl 94
103 d pjg polygo dr segme grs Itegrl Tertetu Δw [ f ' t ] [ g 'ˆ t ] Δt Apl P mk dperole pjg kurv seluruy dl L [ f ' t ] [ g 'ˆ t ] Δt [ f ' t ] [ g ' t ] lm P dt Jd tu [ f ' t ] [ g ' t ] L dt L d dt dy dt dt Jk persm kurvy dl y f deg, mk L dy d d jk persm kurvy dl ψy deg c y d, mk Coto 6 L Htugl kellg lgkr y r. Peyeles: d c d dy Lgkr terseut dpt dtuls dlm persm prmeter seg d dy r cos t, y r s t deg t π, segg r s t d r cost. dt dt π Akty L r s t r cos t dt r dt [ r t] r Coto 7 π Megguk tegrl tugl pjg rus grs yg meguugk ttk P, d Q5,. d dy π π Tor, Klkulus Itegrl 95
104 Itegrl Tertetu Peyeles: dy Persm rus grs PQ dl y, segg. Ole kre tu 5 d 5 5 L d 5 d Coto 8 Megguk tegrl tugl pjg kurv y dr, d 4, 8. Peyeles: dy y, mk. Ole krey d 4 4 L d Dferesl Pjg Busur 9 4 d ,6 8 Mslk f sutu fugs yg dpt ddfereslk pd [, ]. Utuk setp, ddefsk s seg s [ f ' u] mk s dl pjg kurv y fu dr ttk, f ke ttk, f, segg du Y s ' ds d [ f ' ] dy d s, f, f X Tor, Klkulus Itegrl 96
105 Ole krey dferesl pjg kurv ds dpt dtuls seg Itegrl Tertetu ds dy d Seljuty l dpt dtuls dlm etuk-etuk d d d dy ds dy tu ds dt dy dt dt Utuk keperlu meggt, dpt pul dtuls dlm etuk: ds d dy 5..4 Lus Permuk Bed Putr Kt mul deg mecr rumus utuk lus permuk selmut kerucut terpcug. Mslk jr-jr lgkr ls kerucut terpcug dl r d jr-jr lgkr tsy r sedgk pjg rus grs pd pemgu kerucut tr du lgkr tu rusuk kerucut terpcug l, mk lus selmut kerucut terpcug tu dl A r r π l Apl seu kurv pd sutu dg dputr megellg seu grs pd dg tu, mk sly erup permuk ed putr deg lus permuk dpt dcr seg erkut. Tor, Klkulus Itegrl 97
106 Itegrl Tertetu Pemutr terdp sumu X Mslk sutu kurv mulus pd kudr pertm derk ole persm prmeter ft, y gt, t. Dut prts P {t, t, t,, t } pd [,] deg t < t < t < < t, mk kurv terg mejd g. Mslk Δs pjg kurv g ke d y ordt seu ttk pd g. Apl kurv tu dputr megellg sumu X, mk k memetuk sutu permuk d g Δs k memetuk permuk g. Lus permuk g dpt dmpr ole lus kerucut terpcug, ytu π y Δ. s Apl kt jumlk lus-lus d kemud megml lmty deg memut P, kt k memperole sl yg kt defsk seg lus permuk ed putr terseut. Jd lusy dl A lm π yδs P ** * π y ds Deg megguk rumus A terseut d ts, kt rus memer rt yg tept pd y, ds, d ts-ts pegtegrl * d **. Mslk pl permuk tu teretuk ole kurv y f,, yg dputr megellg sumu X, mk kt perole utuk lusy: Coto 9 ** A π y ds π f [ f * ' ] d Tetuk lus permuk ed putr pl kurv sumu X. y, 4, dputr megellg Tor, Klkulus Itegrl 98
107 Peyeles: Itegrl Tertetu Mslk f mk f ', segg A π d π 4 d π 4 4 π 7 6 6,8 Apl persm kurv yg ersgkut dketu dlm etuk persm prmeter ft, y gt, t, mk rumus utuk lus permuk mejd: Coto ** A π y ds π g t [ f ' t] [ g ' t] * Tetuk lus permuk ed yg teretuk pl sutu usur dr sklod t s t, y cost, t π dputr megellg sumu X. Peyeles: Y dt X Mslk f t t s t d g t cost, mk f ' t cost d g ' t s t, segg: π A π cost cost s t dt π π cost cost dt π π cost dt Tor, Klkulus Itegrl 99
108 π t 8 π s dt Itegrl Tertetu π t t 8 π cos s dt Deg susttus cos t t u mk du s dt Utuk t u Utuk t π u Jd A u du 6 u u 64 6π π π Pemutr terdp sumu Y Alog: Apl seu kurv pd sutu dg dputr megellg sumu Y, mk sly erup permuk ed putr deg lus permuky dl: Coto ** A π ds * Tetuk lus permuk ed yg teretuk pl kurv y, y dputr megellg sumu Y. Peyeles: Mslk g y y mk y X g ' y y segg ** y A π ds π y * y [ y] π dy π 4π dy Deg demk lus permuk ol deg jr-jr dl 4π. X Tor, Klkulus Itegrl
109 5..5 Us tu Kerj Itegrl Tertetu Dlm fsk kt tu w pl d gy F yg kost meggerkk sutu ed segg ergerk seju d sepjg sutu grs deg r gy d gerk ed sm, mk kerj W yg dlkuk ole gy terseut dl W F. d Apl stu utuk F dl pod stu jrk dl kk mk stu kerj dl kk pod. Apl gy dukur deg stu dye d jrk deg stu setmeter mk stu kerj dl dye cm tu erg. Apl gy dukur deg stu Newto d jrk deg stu meter mk stu kerj dl Newto meter tu joule. Pd keyty sy gy tu tdk kost. Mslk seu ed dgerkk sepjg sumu X dr ttk ke ttk. Mslk gy yg meggerkk ed terseut pd jrk dl F deg F sutu fugs kotu. Utuk meetuk kerj yg dlkuk gy terseut dpt dcr seg erkut. Itervl [,] dg deg megguk prts P {,,,, }. Pd setp tervl g [ -, ] gy F dpt dmpr ole gy kost Fw, deg w [ -, ] utuk setp,,,. Jk Δ -, mk kerj yg dlkuk gy F pd tervl g [ -, ] dl ΔW Fw Δ. Jk djumlk kemud dcr lmty utuk P mk dperole kerj yg dlkuk gy F pd tervl [, ], ytu Jd F w Δ W lm F d P. Aplks pd Pegs W F d Deg megguk okum Hooke yg erlku dlm fsk, gy F yg dperluk utuk merk tu meek pegs seju stu dr ked lm dl F k. D s, k dl kostt d dseut kostt pegs yg ly postf d tergtug pd sft fss pegs. Semk kers pegs, mk semk esr l k. Tor, Klkulus Itegrl
110 Coto Itegrl Tertetu Apl pjg lm seu pegs dl c. Utuk merk d me pegs seju c dperluk gy po. Tetuk kerj yg dlkuk gy utuk merk pegs tu segg pjg pegs 5 c. Peyeles: Meurut okum Hooke gy F yg dperluk utuk merk pegs seju c dl F k.. Dr s dpt dcr l kostt k. Dketu w F, segg k. tu k. Ole kre tu F. Apl pegs dlm ked lm sepjg c meytk, mk pegs deg pjg 5 c meytk w 5, segg 5 75 W d 8,75 4 Jd, kerj utuk merk pegs tu dl 8,75 c pod.. Aplks pd Pemomp Cr Deg megguk prsp-prsp yg sm dpt dtug kerj yg dlkuk pd pemomp cr. Coto Seu tgk eretuk kerucut lgkr tegk peu deg r. Apl tgg tgk kk d jr-jr lgkr tsy 4 kk,. tetuk kerj utuk memomp r segg smp tep tgk. tetuk kerj utuk memomp r segg mecp kk d ts tep tgk. Y Y 4, Δy y Δy 4 y y y 4 y y X X Tor, Klkulus Itegrl
111 Itegrl Tertetu Peyeles:. Letkk tgk dlm system koordt sepert tmpk dlm gmr. Butl skets yg erdmes tg d jug skets pempg dmes du. Mslk r dmsukk ke dlm kerucut-kerucut terpcug orzotl, Ar rus dgkt segg mecp tep tgk. Pertk seu kerucut terpcug ke deg tgg Δy yg erjrk y dr puck kerucut puck kerucut erd d w, memlk jr-jr 4 4 y, mk mempuy volume mpr ΔV π y Δy d erty gy ert F δ π 4 y Δy, deg δ 6,4 dl kepdt r dlm stu po/kk kuk. Gy yg dperluk utuk meggkt r terseut dl sm deg erty d rus dgkt seju y. Jd kerj ΔW δ π 4 y Δ W dl Δy y Krey, pl djumlk kemud dcr lmty dperole 4 4 W δ π 5 y y dy δ π 5 y y 4 4 6,8 Jd kerj utuk memomp r segg smp ke tep tgk dl 6,8 kk pod.. Sepert dlm, sekrg r dlm kerucut terpcug rus dgkt y, segg W 4 4 δ π y y dy δ π 5 y y 4 dy δ π 5 y 4 y 4,69 Jd kerj utuk memomp r segg smp ke tep tgk dl,69 kk pod. Tor, Klkulus Itegrl
112 Itegrl Tertetu 5..6 Mome d Pust Mss Ttk Bert Mslk d du ed msg-msg memlk mss sesr m d m yg dletkk pd pp ermg deg jrk erturut-turut d d d dr ttk peygg pd g-g yg ered. Ked terseut k semg jk dpeu d m d m. m d d m Sutu model mtemts yg k dperole pl pp terseut kt letkk pd sutu system dml yg ttk sly kt mptk deg ttk peygg pp, mk koordt dr mss m dl d d dr mss m dl d. Jd syrt kesemg dl m m m m Hsl kl mss m d jrk err dr sutu ttk tertetu dmk mome prtkel ed terdp ttk terseut. Mome megukur kecederug mss yg megslk sutu putr pd ttk terseut. Syrt supy du mss pd seu grs ermg dl juml mome-mome terdp ttk tu sm deg ol. Ked terseut dpt dperlus utuk sejuml ed prtkel. Juml mome M terdp ttk sl sutu system yg terdr ts mss, ytu m, m,, m yg ered pd,,, pd sumu X dl juml mome msg-msg mss, ytu M m m m m Syrt kesemg d ttk sl dl M. Tetuy ttk sl tedk sellu mejd ttk semg system terseut, kecul dlm l kusus. Ak tetp pst terdpt ttk semg dlm sutu system terseut. Mslk merupk koordt ttk semg system pd sumu X, mk mome terdp ttk terseut rus ol. Jd erlku Tor, Klkulus Itegrl 4
DIKTAT MATEMATIKA I. Penyusun : Ir. Zainuddin Ginting, MT Ir. Amri Ismail
DIKTAT MATEMATIKA I Peyusu : Ir. Zudd Gtg, MT Ir. Amr Isml JURUSAN TEKNIK KIMIA, FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MALIKUSSLEH LHOKSEUMAWE, KATA PENGANTAR Mtemtk I merupk mt kul wj tgkt I d jurus Tekk Km Uversts
Lebih terperinciINTEGRASI NUMERIK. n ax. ax e. a 1. Fungsi yang dapat dihitung integralnya : Fungsi yang rumit misal :
INTEGRASI NUMERIK INTEGRASI NUMERIK D dlm klkulus, terdpt du l petg ytu tegrl d turudervtve Pegtegrl umerk merupk lt tu r yg dguk ole lmuw utuk memperole jw mpr proksms dr pegtegrl yg tdk dpt dselesk ser
Lebih terperinciINTEGRASI NUMERIK C 1. n ax. ax e. cos( 1 1. n 1. x x. 0 Fungsi yang dapat dihitung integralnya : 0 Fungsi yang rumit misal :
INTEGRASI NUMERIK D dlm klkulus, terdpt du l petg ytu tegrl d turudervtve Pegtegrl umerk merupk lt tu r yg dguk ole lmuw utuk memperole jw mpr proksms dr pegtegrl yg tdk dpt dselesk ser ltk. INTEGRASI
Lebih terperinciINTEGRASI NUMERIK. n ax. ax e. n 1. x x. Fungsi yang dapat dihitung integralnya : Fungsi yang rumit misal :
INTEGRASI NUMERIK D dlm klkulus, terdpt du l petg ytu tegrl d turudervtve Pegtegrl umerk merupk lt tu r yg dguk ole lmuw utuk memperole jw mpr proksms dr pegtegrl yg tdk dpt dselesk ser ltk. INTEGRASI
Lebih terperinciDEFINISI INTEGRAL. ' untuk
DEINISI INTEGRAL Dlm mtemtk d eerp stl sepert des, teorem, lemm Istl petg kre meujuk keeksstes Des dl peryt yg erl er kre dsepkt, d tdk perlu duktk Teorem dl peryt yg dpt duktk keery Lemm dl teorem kecl,
Lebih terperinciMetode Numerik. Integrasi Numerik. Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2012 PENS-ITS
Itegrs Numerk Um S d Poltekk Elektrok Neger Sury Topk Itegrl Rem Trpezod Smpso / Smpso /8 Kudrtur Guss ttk Kudrtur Guss ttk INTEGRASI NUMERIK D dlm klkulus, terdpt du l petg ytu tegrl d turudervtve Pegtegrl
Lebih terperincia home base to excellence Mata Kuliah : Kalkulus Kode : TSP 102 Integral Pertemuan - 6
home se to ecellece Mt Kulh : Klkulus Kode : TSP 0 SKS : SKS Itegrl Pertemu - 6 home se to ecellece TIU : Mhssw dpt memhm tegrl fugs d plksy TIK : Mhssw mmpu mecr tegrl fugs Mhssw mmpu megguk tegrl utuk
Lebih terperinciMetode Numerik. Integrasi Numerik. Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2012 PENS-ITS
Itegrs Numerk Um S d Poltekk Elektrok Neger Sury Topk Itegrl Rem Trpezod Smpso / Smpso /8 Kudrtur Guss ttk Kudrtur Guss ttk INTEGRASI NUMERIK D dlm klkulus, terdpt du l petg ytu tegrl d turudervtve Pegtegrl
Lebih terperinciINTEGRASI NUMERIK. n ax. ax e. n 1. Fungsi yang dapat dihitung integralnya : Fungsi yang rumit misal :
INTEGRASI NUMERIK Pegtr Pegtegrl umerk merupk lt tu r yg dguk ole lmuw utuk memperole jw mpr proksms dr pegtegrl yg tdk dpt dselesk ser ltk. Msly dlm termodmk, model Deye utuk megtug kpsts ps dr ed pdt.
Lebih terperinciCATATAN KULIAH Pertemuan XIII: Analisis Dinamik dan Integral (1)
CATATAN KULIAH Pertemu XIII: Alss Dmk d Itegrl () A. Dmk d Itegrs Model Stts : mecr l vrel edoge yg memeuh kods ekulrum tertetu. Model Optms : mecr l vrel plh yg megoptms fugs tuju tertetu. Model Dmk :
Lebih terperinci3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1
SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S Momd Sdq PERTEMUAN : 9- INTEGRASI NUMERIK METODE NUMERIK TEKNIK INFORMATIKA S SKS Momd Sdq MATERI PERKUIAHAN SEBEUM-UTS Pegtr Metode Numerk Sstem Blg d Kesl Peyj Blg Bult & Pe
Lebih terperincix 1 M = x 1 m 1 + x 2 m x n m n = x i
Iterl Tertetu..6 oe d ust ss Ttk Bert slk d du ed s-s elk ss sesr d y dletkk pd pp er de jrk erturut-turut d d d dr ttk pey pd - y ered. Ked terseut k se jk dpeuh d d. d d Sutu odel tets y k dperoleh pl
Lebih terperinciBAB VI ANALISIS REGRESI
BAB VI ANALISIS REGRESI A. Pedhulu Alss regres merupk slh stu lss yg ertuju utuk megethu pegruh sutu vrel terhdp vrel l. Vrel yg mempegruh dseut depedet vrle/vrel es () d vrel yg dpegruh dseut depedet
Lebih terperinciBab 4 ANALISIS REGRESI dan INTERPOLASI
Als Numerk Bh Mtrkuls B 4 ANALISIS RGRSI d INTRPOLASI 4 Pedhulu Pd kulh k dpeljr eerp metde utuk mempredks d megestms dt dskret Dr sutu peelt serg dlkuk peglh dt utuk megethu pl dt tu etuk kurv g dggp
Lebih terperinciA. Pusat Massa Suatu Batang
Perteu 7 Pust ss sutu Kepg, Setrod, d Teore Pppus A. Pust ss Sutu Btg Dskusk!. slk ss,,..., terletk pd tg pdt sgsg d ttk,...,,, d = jrk errh tr ss ke sutu ttk tetp 0 pd tg,,,...,. ss prtkel, oe prtkel
Lebih terperinciINTEGRAL DELTA DAN SIFAT-SIFATNYA. Delta Integral and Properties of Delta Integral
Jurl Brekeg Vol. 7 No. Hl. 3 8 (03) INTEGRAL DELTA DAN SIFAT-SIFATNYA Delt Itegrl d Propertes of Delt Itegrl MOZART WINSTON TALAKUA, MARLON STIVO NOYA VAN DELSEN Stf Jurus Mtemtk, FMIPA, Uptt Alum Jurus
Lebih terperinciINTEGRAL TERTENTU. sebagai P = max{x i x i-1 1 = 1, 2, 3,, n}. a = x 0 x 1 x 2 x n = b. Contoh: Pada interval [ 3, 3], suatu partisi P = { 3, 1 2 , 31
INTEGRAL TERTENTU Defs: Prs P pd ervl [,] dlh suu suse erhgg P = {,,,, } dr [,] deg = < < < < = Jk P = {,,,, } prs pd [,] mk Norm P, duls P, ddefsk seg P = m{ - =,,,, } Cooh: = = Pd ervl [, ], suu prs
Lebih terperinciPENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) INTERPOLASI
PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING) Iterpols : Iterpols er Iterpols Kudrtk Iterpols Poloml Iterpols grge Regres : Regres er Regres Ekspoesl Regres Poloml INTERPOASI Iterpols dguk utuk meksr l tr (termedte
Lebih terperinciCNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
CNHB4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT PENCOCOKAN KURVA Pedhulu Dt g bersl dr hsl pegmt lpg pegukur tu tbel g dmbl dr buku-buku cu. Nl tr turu tegrl mudh dcr utuk
Lebih terperinciNuryanto,ST.,MT. Integral merupakan operasi invers dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah F (x) = f(x), maka F(x) = f(x) dx.
Nuryto,ST.,MT d c. INTEGRAL TAK TENTU KONSEP DASAR INTGRAL f. ALJABAR INTEGRAL f. TRIGONO CONTOH SOAL SOAL LATIHAN UJI KOMPETENSI Itegrl merupk opersi ivers dri turu. Jik turu dri F dlh F = f, mk F = f
Lebih terperinciBAB V ANALISIS REGRESI
BAB V ANALISIS REGRESI Setelh mempeljr mhssw dhrpk dpt : Meghtug prmeter regres Melkuk estms d uj prmeter regres 3 Meemuk model regres g tept Dlm kehdup serg dtemuk d sekelompok peuh g dtr terdpt huug,
Lebih terperincimengambil semua titik sample berupa titik ujung, yakni jumlah Riemann merupakan hampiran luas dari daerah dibawah kurva y = f (x) x i b x
B 4. Peerp Itegrl BAB 4. PENGGUNAAN INTEGRAL 4.. Lus re dtr Perhtik derh di wh kurv y = f () di tr du gris tegk = d = di ts sumu, deg f fugsi kotiu. Seperti pd s medefiisik itegrl tertetu, kit gi itervl
Lebih terperinciGEOMETRI EUCLID EG(2, p n ) UNTUK MEMBENTUK RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG
GEOMETRI EUCLID EG(, p ) UNTUK MEMBENTUK RANCANGAN BLOK TIDAK LENGKAP SEIMBANG Bmg Irwto d Yu Hdyt Jurus Mtemtk FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedrto, S.H, Semrg 5075 Astrt. A Bled Iomplete Blok (BIB) desg
Lebih terperinciINTEGRAL TERTENTU. 5.1 Pengertian Integral Tertentu
INTEGRAL TERTENTU Iegl Teeu. Pege Iegl Teeu Defs.. Ps P pd evl [,] dlh suu suse ehgg P {,,,, } d [,] deg < < <
Lebih terperinciPRAKTIKUM 10 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Eliminasi Gauss Seidel
Prktkum 0 Peyeles Persm Ler Smult - Metode Elms Guss Sedel PRAKTIKUM 0 Peyeles Persm Ler Smult Metode Elms Guss Sedel Tuu : ler smult Mempelr metode Elms Guss Sedel utuk peyeles persm Dsr Teor : Metode
Lebih terperinciREGRESI. Curve Fitting. Regresi Eksponensial. Regresi 1
REGRESI Curve Fttg Regres Ler Regres Ekspoesl Regres Poloml Regres Curve Fttg: Ksus Dberk dt berup kumpul ttk-ttk dskrt. Dperluk estms / perkr utuk medptk l dr ttk-ttk g berd d tr ttk-ttk dskrt t tersebut
Lebih terperinciREGRESI. Curve Fitting Regresi Linier Regresi Eksponensial Regresi Polynomial. Regresi 1
REGRESI Curve Fttg Regres Ler Regres Ekspoesl Regres Poloml Regres Curve Fttg: Ksus Dberk dt berup kumpul ttk-ttk dskrt. Dperluk estms / perkr utuk medptk l dr ttk-ttk g berd d tr ttk-ttk dskrt tersebut
Lebih terperinci1. Aturan Pangkat 3. Logartima
KL UN Mtetk MA IPA 9/ No. KL Ruus. Meetuk egs pert g dperoleh dr perk kespul.. p q. p q. p q ~ (p q) = ~p ~q ~ (eu/etp p) = Ad/Beerp ~p p. ~q q r ~ (p q) = ~p ~q ~ (Ad/Beerp p) = eu/etp ~p q ~p p r p q
Lebih terperinciPEMECAHAN SISTEM PERSAMAAN LINIER NON HOMOGEN DENGAN METODE SAPUAN GANDA CHOLESKY. Oleh : Yusup Fakultas Ilmu Komputer, Universitas AKI Semarang
PEMECAHAN SISTEM PERSAMAAN LINIER NON HOMOGEN DENGAN METODE SAPUAN GANDA CHOLESKY Oleh : Yusup Fkults Ilmu Komputer, Uversts AKI Semrg Astrt The frto of No Homoge Lerty Ajustmet System towr Cholesky Doule
Lebih terperinciPRAKTIKUM 22 Interpolasi Linier, Kuadratik, Polinomial, dan Lagrange
Prktkum. Iterpols Ler, Kudrtk, Poloml d Lgrge PRAKTIKUM Iterpols Ler, Kudrtk, Poloml, d Lgrge Tuju : Mempeljr berbg metode Iterpols g d utuk meetuk ttkttk tr dr buh ttk deg megguk sutu fugs pedekt tertetu.
Lebih terperinciDr.Eng. Agus S. Muntohar Department of Civil Engineering
Pertemu ke-7 Persm Ler Smult Oktober 0 Metode Iters Guss-Sedel Dr.Eg. Agus S. Mutohr Deprtmet of Cvl Egeerg Metode Guss-Sedel Merupk metode ters. Prosedur umum: - Selesk ser lbr vrbel tdk dkethu msg-msg
Lebih terperinci( X ) 2 ANALISIS REGRESI
ANALII REGREI A. PENGERTIAN REGREI ecr umum d du mcm huug tr du vrel tu leh, tu etuk huug d keert huug. Utuk megethu etuk huug dguk lss regres. Utuk keert huug dpt dkethu deg lss korels. Alss regres dperguk
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Populasi merupakan kumpulan dari individu organisme yang memiliki
BAB I PENDAHULUAN. Ltr Belkg Populs merupk kumpul dr dvdu orgsme yg memlk sft tumbuh growth, reks respos terhdp lgkugy, d reproduks. Pd dsry, pertumbuh mkhluk hdup pd sutu populs merupk proses yg berlgsug
Lebih terperinciMatematika Dasar INTEGRAL TENTU . 2. Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran x dan f ( x k ) sebagai
Mtemtik Dsr INTEGRAL TENTU Pegerti tu kosep itegrl tetu pertm kli dikelk oleh Newto d Leiiz. Nmu pegerti secr leih moder dikelk oleh Riem. Mteri pemhs terdhulu yki tetg itegrl tk tetu d otsi sigm k kit
Lebih terperinciAPLIKASI INTEGRAL TENTU
APLIKASI INTEGRAL TENTU Apliksi Itegrl Tetu థ Lus ditr 2 kurv థ Volume ed dlm idg (deg metode ckrm d cici) థ Volume ed putr (deg metode kulit tug) థ Lus permuk ed putr థ Mome d pust mss 1 2 1. LUAS DIANTARA
Lebih terperinciDIGRAF EKSENTRIS PADA DIGRAF SIKEL, DIGRAF KOMPLIT DAN DIGRAF KOMPLIT MULTIPARTIT. Jl. Prof. H. Soedarto SH Semarang 50275
DIGRAF ESENTRIS PADA DIGRAF SIEL DIGRAF OMPLIT DAN DIGRAF OMPLIT MULTIPARTIT Reto tur umlsr d Luc Rtsr Jurus Mtemtk FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedrto SH Semrg 5075 Abstrct The eccetrc dgrph of dgrph ED ( D)
Lebih terperinci1. Kepekatan bakteria pencemar p(t), di dalam secawan teh tarik yang dibiarkan selama beberapa jam diberikan oleh: p(t) = 50e -1.5t + 15e -0.
KKKF BAHAGAN A 6 MARKAH Arh : Jw SEMUA sol. Kepekt kter pecemr pt, d dlm secw teh trk yg drk selm eerp jm derk oleh: pt = 5e -.5t + 5e -.75t Crk ms, t, dlm ut jm yg dperluk utuk kter jk kepekt yg dkehedk
Lebih terperinciDaerah D dibatasi kurva y = f (x) dengan f (x) 0, garis x = a, garis x = b, dan sumbu x. D = {(x,y) a x b, 0 y f (x)} Luas daerah D adalah  Ú.
x x g x x erh ditsi kurv = (x) deg (x), gris x =, gris x =, d sumu x. = {(x,) x, (x)} Lus derh dlh. L = lim x x = x erh ditsi kurv = (x), kurv = g(x), deg (x) g(x), gris x =, d gris x =. = {(x,) x, g(x)
Lebih terperinciBAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGRAL RIEMANN
BAB VI SIFAT-SIFAT LANJUTAN INTEGAL IEMANN Sift-sift Ljut Itegrl iem Teorem 6.1 Jik f [, ] d f [, ] deg < < mk f [, ]. Leih ljut f x dx f x dx + () f x dx f [, ] d f [, ], mislk () f x dx A 1 d () f x
Lebih terperinciHANDS-OUT ANALISIS NUMERIK
HANDS-OUT ANALISIS NUMERIK Oleh : Drs Her Sutro, M T Dew Rchmt, SS, MS JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 8 Pertemu
Lebih terperinciHANDS-OUT METODE NUMERIK
HANDS-OUT METODE NUMERIK Ole : Drs Her Sutro, M T Dew Rcmt, SS, MS JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 8 Pertemu ke :
Lebih terperinciPRAKTIKUM 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Eliminasi Gauss
Prktkum 8 Peyeles Persm Ler Smult Metode Elms Guss PRAKTIKUM 8 Peyeles Persm Ler Smult Metode Elms Guss Tuju : Mempeljr metode Elms Guss utuk peyeles persm ler smult Dsr Teor : Metode Elms Guss merupk
Lebih terperinciDia yang menjadikan matahari dan bulan bercahaya, serta mengaturnya pada beberapa tempat, supaya kamu mengetahui bilangan tahun dan perhitunganya
Pemeljr M t e m t i k... Di g mejdik mthri d ul erch, sert megtur pd eerp tempt, sup kmu megethui ilg thu d perhitug (QS Yuus:5 ) Pedhulu us Sift : - us derh rt dlh ilg riil tk egtif - persegipjg=pjg ler
Lebih terperinciPRAKTIKUM 12 Regresi Linier, Regresi Eksponensial dan Regresi Polinomial
Prktkum. Regres Regres Ler, Regres Ekspoesl, d Regres Poloml Poltekk Elektrok eger Surb ITS 47 PRAKTIKUM Regres Ler, Regres Ekspoesl d Regres Poloml. Tuju : Mempeljr metode peeles regres ler, ekspoesl
Lebih terperinciGo to Siti s file Siti Fatimah/Jurdikmat/UPI 1
Go o S s fle S Fmh/Jrdkm/UPI Movs Jmlh Rem-Iegrl Te Teorem Dsr Klkls Sf-sf Iegrl Te A Dervf-Iegrl Tk e Tekk Pegegrl S Fmh/Jrdkm/UPI Ls Bdg Legkg P P P Emp ss Delp ss S Fmh/Jrdkm/UPI Ls Bdg Legkg P P P
Lebih terperinciMATEMATIKA TEKNIK 2 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS Integrl Fungs Kompleks 4 INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS Sepert hlny dlm fungs rl, dlm fungs kompleks jug dkenl stlh ntegrl fungs kompleks sert sft-sftny Sft kenltkn
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
b LNDSN TEORI. Hmpu Fuzzy Tdk semu hmpu yg dump dlm kehdup sehr-hr terdefs secr els, msly hmpu org msk, hmpu org pd, hmpu org tgg, d sebgy. Msly, pd hmpu org tgg, tdk dpt dtetuk secr tegs pkh seseorg dlh
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Ltr Belkg Smp st, model Regres d model Alss Vrs telh dpdg sebg du hl g tdk berkt. Meskpu merupk pedekt g umum dlm meergk kedu cr pd trf permul, model Alss Vrs dpt dpdg sebg hl khusus model
Lebih terperinciBAB 2 ANAVA 2 JALAN. Merupakan pengembangan dari ANAVA 1 Jalan Jika pada ANAVA 1 jalan 1 Faktor Jika pada ANAVA 2 jalan 2 Faktor
BAB ANAVA JALAN Merupk pegembg dr ANAVA 1 Jl Jk pd ANAVA 1 l 1 Fktor Jk pd ANAVA l Fktor Model Ler Asums: Model efek Tetp! 1,..., 1,..., Stu fktor g dtelt Av 1 l k k 1,,..., 1,,..., b k 1,,..., Du fktor
Lebih terperinciBAB IV INTEGRAL RIEMANN
Itegrl Rie BAB IV INTEGRAL RIEMANN Utuk epeljri leih ljut tetg kosep itegrl Rie, k leih ik jik pec ehi eerp hl erikut. A. Prtisi Defiisi 4.1 Dierik itervl tertutup [, ], hipu terurut d erhigg P = { = x
Lebih terperinci7. APLIKASI INTEGRAL. 7.1 Menghitung Luas Daerah. a.misalkan daerah D = {( x, Luas D =? f(x) Langkah : Contoh : Hitung luas daerah yang dibatasi oleh
7. APLIKASI INTEGRAL MA KALKULUS I 7. Menghtung Lus erh.mslkn erh {(,, f ( ) Lus? f() Lngkh :. Irs menj n gn n lus stu uh rsn hmpr oleh lus perseg pnjng engn tngg f() ls(ler) A f ( ). Lus hmpr oleh jumlh
Lebih terperinciBAB V INTEGRAL DARBOUX
Itegrl Droux BAB V INTEGRAL DARBOUX Pd thu 1875, mtemtikw I.G. Droux secr kostruktif memodifiksi defiisi itegrl Riem deg terleih dhulu medefiisik jumlh Droux ts (upper Droux sum) d jumlh Droux wh (lower
Lebih terperinciAnalisis Variansi satu faktor Single Factor Analysis Of Variance (ANOVA)
BAB 1 Alss Vrs stu fktor Sgle Fctor Alss Of Vrce (ANOVA) ANALISIS VARIANSI SATU FAKTOR D MetStt 1 sudh dkel uj hpotess rt-rt du populs A d B g berdstrbus Norml Bgm jk terdpt lebh dr du populs? Alss vrs
Lebih terperinciKAJIAN BATAS KESALAHAN MINIMUM METODE RUNGE-KUTTA ORDE KEDUA, KETIGA, DAN KEEMPAT
Prosdg Semr Nsol Mtemtk d Terpy 06 p-issn : 550-084; e-issn : 550-09 KAJIAN BATAS KESALAHAN MINIMUM METODE RUNGE-KUTTA ORDE KEDUA, KETIGA, DAN KEEMPAT St Muhwh Uversts Jederl Soedrm st_muhwh@yhoo.co.d
Lebih terperinciSolusi Sistem Persamaan Linear
Sos Sstem Persm Ler Sstem persm er: h persm deg h kow j d dketh, j,,, j? So: z 6 z z () () () persm d kow Jw: z 6.5 z.5 z () () () ems : pers. ().5 pers. () pers. ().5 pers. () z 6.5 z 8z 8 () () () ems
Lebih terperinciJurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 30-37
Jurl Mtemtk Mur d Terp Vol. 4 No. Desember : - 7 PENGGUNN BENTUK SMITH UNTUK MENENTUKN BENTUK KNONIK MTRIKS NORML DENGN ENTRI-ENTRI BILNGN KOMPLEKS Thresye Progrm Stud Mtemtk Uversts Lmbug Mgkurt Jl. Jed..
Lebih terperinciDIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK
DIFERENSISI DN INTEGRSI NUMERIK Deress Numerk Forwrd, Cetrl Cetered, & Bckwrd Derece; Turu Pertm & Kedu Itegrs Numerk Trpezodl Rule & Smpso s Rule; Lebr Ikreme Tetp & Berub dy/lss_umerk/prl7 by: st dyr
Lebih terperinciPENERAPAN PROGRAM LINEAR BERKENDALA FUZZY UNTUK OPTIMISASI PRODUKSI GERABAH
Semr Nsol Iormtk 2 semsif 2 ISSN: 979-2328 UPN Veter Yoykrt 22 Me 2 PENERPN PROGRM LINER BERKENDL FUZZY UNTUK OPTIMISSI PRODUKSI GERBH Eko Hr Prmd Prorm Stud Tekk Iormtk Fkults Ss & Tekolo Uv. St Drm Kmpus
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
Aljr Lier Elemeter MA SKS Silus : B I Mtriks d Opersiy B II Determi Mtriks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. operasi penjumlahan dan operasi perkalian mempunyai sifat-sifat. 1. R merupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.
4 BAB II KAJIAN TEORI A. Sstem Blg Rel es II.A. Sstem blg rel R merpk st sstem ljbr g terhdp opers pejmlh d opers perkl memp st-st sebg berkt:. R merpk grp komtt terhdp opers pejmlh.. R -{} merpk grp komtt
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI. Alss Regres Alss regres dlh tekk sttstk yg ergu utuk memerks d memodelk huug dtr vrel-vrel. Peerpy dpt djump secr lus d yk dg sepert tekk, ekoom, mjeme, lmu-lmu olog, lmu-lmu sosl,
Lebih terperinciAnalisis Variansi satu faktor (Analysis Of Variance / ANOVA)
Alss Vrs stu fktor (Alss Of Vrce / ANOVA) 1. Megethu rcg d eses. Megethu model ler 3. Meuruk Jumlh Kudrt (JK) 4. Melkuk uj lss vrs 5. Melkuk uj perbdg gd Apkh ber kot dlm rokok dpt megkbtk Kker? Sel kker
Lebih terperinciBentuk Umum Perluasan Teorema Pythagoras
Jrl Grde Vol No Jr 6 : 9-4 Betk Umm Perls Teorem Pythors Ml stt By Kerm Ulsr les Jrs Mtemtk Fklts Mtemtk d Ilm Peeth lm Uversts Bekl Idoes Dterm Septemer 5; dset Desemer 5 strk - Peelt memhs perls teorem
Lebih terperinciMA SKS Silabus :
Aljr Lier Elemeter A SKS Silus : B I triks d Opersiy B II Determi triks B III Sistem Persm Lier B IV Vektor di Bidg d di Rug B V Rug Vektor B VI Rug Hsil Kli Dlm B VII Trsformsi Lier B VIII Rug Eige 7//7
Lebih terperinciModul 8. (Pertemuan 12 s/d 16) DERET FOURIER
Modul 8. (Pertemu s/d 6) DERET FOURIER 8. FUNGSI PERIODIK DAN FUNGSI KONTINU TERPOTONG Defiisi Fugsi f diseut fugsi periodik il terdpt p > sedemiki sehigg utuk setip erlku f ( p) f ( ). Nili p > terkecil
Lebih terperinciFUNGSI KARAKTERISTIK. penelitian ini akan ditentukan fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter
IV. FUNGSI KARAKTERISTIK Pd bgi seljuty k dijbrk megei ugsi krkteristik. Pd peeliti ii k ditetuk ugsi krkteristik dri distribusi our-prmeter geerlized t deg megguk deiisi d kemudi k membuktik ugsi krkteristik
Lebih terperinciModel Tak Penuh. Definisi dapat di-uji (testable): nxp
Model T Peuh Defs dpt d-u (testle): Sutu c c 'c 'c H 'c 'c dpt du l d stu set fugs g dpt - ddug m m ' sehgg H er c ' ' slg es ler tu C c ' c m ' Perht : Kre r X p r p m m r c' (X' X) c X' X c' C(X' X)
Lebih terperinciSoal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN - SNMPTN 2008
Sol-sol d Pembhs Mtemtik Dsr SBMPTN - SNMPTN 8 y. Dlm betuk pgkt positif, ( y). A. ( + y ) ( y ) C. ( y ) E. - ( y ) B. - ( + y ) ( y ) D. ( y ) y ( y) y ( y) y y ( y) y (y). (y) y - ( y ) ( y + ) - (-y+
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 2, , Agustus 2002, ISSN :
JURNL MTEMTIK DN KOMPUTER Vol 5 No 07-8 gustus 00 ISSN : 40-858 REFORMULSI DRI SOLUSI -SOLITON UNTUK PERSMN KORTEWEG-de VRIES D Mustkgs d Sutm Jurus Mtemtk FMIP Uversts Dpoegoro bstrct Te soluto o -solto
Lebih terperinciBab 4 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
Bb Peyeles Persm Ler Smult.. Persm Ler Smult Persm ler smult dlh sutu betuk persm-persm yg ser bersm-sm meyjk byk vrbel bebs. Betuk persm ler smult deg m persm d vrbel bebs dpt dtulsk sebg berkut: b b
Lebih terperinciKalkulus 2. Deret Pangkat dan Uji Konvergensi. Department of Chemical Engineering Semarang State University. Dhoni Hartanto S.T., M.T., M.Sc.
Klkulus Deret Pgkt d Uji Kovergesi Dhoi Hrtto S.T., M.T., M.S. Deprtmet o Chemil Egieerig Semrg Stte Uiversity Eperimetl Deret Pgkt Urut d deret sequees d series). Urut gk merupk rgki gk tk terbts jumlh
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. x x. 3.1 Analisis Metode Perhatikan persamaan integral Volterra berikut. x. atau (11)
III PEMBAHASAN 3 Alisis Metode Perhtik persm itegrl Volterr berikut y ( f( λ Ktyt ( ( (8 deg y( merupk fugsi yg k ditetuk sutu kostt f( fugsi sembrg yg dikethui d terdefiisi pd R d K(ty(t sutu fugsi yg
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedr Guw Semester II, 2016/2017 24 Februri 2017 9.6 Deret Pgkt Kulih yg Llu Meetuk selg kekoverge deret pgkt 9.7 Opersi pd Deret Pgkt Melkuk opersi pd deret pgkt yg dikethui jumlhy
Lebih terperinciCATATAN KULIAH Pertemuan IV: Model-model linier dan Aljabar Matriks (2)
TTN KULH ertemu V: Moel-moel ler lr Mtrks (). Mer Mtrks vers Sutu mtrks () mempuy vers l terpt sutu mtrks B, seh B B. Mtrks B seut vers mtrks, tuls -, y merupk mtrks uur skr ermes. Syrt keer r Mtrks vers
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
6 BAB LANDASAN TEORI. Alss Numer Alss umer merup g dr peljr mutr mege pegol orms ormto proessg. Dt g der dl orms msu put ormto, d sl g dperlu dl orms elur output ormto, sedg metode pertug terseut del seg
Lebih terperinciModul II Limit Limit Fungsi
Modul II Limit Kosep it merupk sutu kosep dsr yg petig utuk memhmi klkulus dieresil d itegrl Oleh kre itu seelum kit mempeljri leih ljut tetg klkulus diresil d itegrl, mk kit terleih dhulu hrus mempeljri
Lebih terperinciSistem Bilangan dan Kesalahan. Sistim Bilangan Metode Numerik 1
Sistem Bilg d Keslh Sistim Bilg Metode Numerik Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik s: N ( )...... Sistim Bilg Metode Numerik Cotoh : 673 * 3 6* 7* 3*
Lebih terperinciPRAKTIKUM 8 Penyelesaian Persamaan Linier Simultan Metode Eliminasi Gauss
Prktkum 8 Peyeles Persm Ler Smult Metoe Elms Guss PRAKTIKUM 8 Peyeles Persm Ler Smult Metoe Elms Guss Tuju : smult Mempeljr metoe Elms Guss utuk peyeles persm ler Dsr Teor : Metoe Elms Guss merupk metoe
Lebih terperinciDiijinkan memperbanyak demi kepentingan pendidikan dengan tetap mencantumkan alamat situs
Diijik memperyk demi kepetig pedidik deg tetp mectumk lmt situs LATIH UN IPA. 00-00 KATA PENGANTAR Alhmdulillh peulis pjtk kehdirt Allh SWT., Ats limph rhmt, erkh, d hidyh-ny sehigg peulis dpt meyelesik
Lebih terperinciSistem Bilangan dan Kesalahan. Metode Numerik
Sistem Bilg d Keslh Peyji Bilg Bult Bilg ult yg serig diguk dlh ilg ult dlm sistem ilg desiml yg didefiisik s: N ( )...... Cotoh : 673 * 3 6* 7* 3* Bilg ult deg ilg dsr c didefiisik segi : ( )... c N c
Lebih terperinci1. bentuk eksplisit suku ke-n 2. ditulis barisannya sejumlah berhingga suku awalnya. 3. bentuk rekursi ...
Bris d Deret Defiisi Bris bilg didefiisik sebgi fugsi deg derh sl merupk bilg sli. Notsi: f: N R f( ) = Fugsi tersebut dikel sebgi bris bilg Rel { } deg dlh suku ke-. Betuk peulis dri bris :. betuk eksplisit
Lebih terperinciBAB I KOMBINATORIKA. A. Kaidah Pencacahan Terdapat dua kaidah pencacahan, yaitu kaidah penjumlahan dan kaidah perkaliah.
BAB I KOMBINATORIKA Dr. Al Mhmud (Jurus Peddk Mtemtk FMIPA UNY) Combtorcs hs emerged s ew subject stdg t the crossrods betwee pure d plled mthemtcs, the ceter of bustlg ctvty, smmerg pot of ew problems
Lebih terperinciPENAKSIR RASIO YANG EFISIEN UNTUK RATA-RATA POPULASI MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI ROBUST PADA SAMPING ACAK SEDERHANA.
PENAKI AIO ANG EFIIEN UNTUK ATA-ATA POPULAI MENGGUNAKAN KOEFIIEN EGEI OUT PADA AMPING ACAK EDEHANA M Okto Mork Arsm Ad Hpos rt moktomoo@hoo.co.d Mhssw Progrm Mtemtk Dose Jurus Mtemtk Fkults Mtemtk d Ilmu
Lebih terperinciLATIHAN UN MATEMATIKA IPA
LATIHAN UN MATEMATIKA IPA LATIH UN IPA. 00-00 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI.... Pgkt Rsiol, Betuk Akr d Logritm.... Persm Kudrt...0. Sistem Persm Lier... 4. Trigoometri I...8 5. Trigoometri II...7
Lebih terperinci1 yang akan menghasilkan
Rset Opers Probblstk Teor Per (Ge Theor) Nughthoh Arfw Kurdh, M.Sc Deprteet of Mthetcs FMIPA UNS Lecture 6: Med Strteg: Ler Progrg Method A. Metode Cpur deg Progr Ler Terdpt hubug g ert tr teor per d progr
Lebih terperinciPada Bab 12 kita mengasumsikan bahwa f kontinu pada [a, b] dan mendefinisikan f(x) dx sebagai supremum dari himpunan semua jumlah luas daerah
13. INTEGRAL RIEMANN 13.1 Jumlh Riem Ats d Jumlh Riem Bwh Pd Bb 12 kit megsumsik bhw f kotiu pd [, b] d medefiisik itegrl b f(x) dx sebgi supremum dri himpu semu jumlh lus derh persegi-pjg kecil di bwh
Lebih terperinciPENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN KOEFISIEN INTERVAL ANA FARIDA
PENGOPTIMUMAN PADA MASALAH PEMROGRAMAN LINEAR DENGAN KOEFISIEN INTERVAL ANA FARIDA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR ABSTRAK ANA FARIDA.
Lebih terperinciINVERS MATRIKS MOORE PENROSE ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN (THE MOORE PENROSE INVERSE OF MATRICES OVER COMMUTATIVE RING WITH UNITY)
JURNL MTEMTIK DN KOMPUTER Vol. 7. No., -, prl, ISSN : -858 INVERS MTRIKS MOORE PENROSE TS RING KOMUTTIF DENGN ELEMEN STUN THE MOORE PENROSE INVERSE OF MTRICES OVER COMMUTTIVE RING WITH UNITY Tt Ud SRRM
Lebih terperinciBAB 3. DIFFERENSIAL. lim. Motivasi:
BAB. DIFFERENSIAL Motivsi: bim meetuk rdie ris siu sutu kurv di sutu titik pd kurv bim meetuk kecept sest sutu bed bererk sepj ris lurus Deiisi: mislk dl usi terdeiisi pd sel buk memut. Turu usi di diotsik
Lebih terperinciSOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 (A & B) Dosen: Dr. Asep Juarna Jumlah Soal: 3 Uraian Tanggal Ujian: 02/03/12 Waktu Ujian: 2 jam
SOAL UJIAN AKHIR MATEMATIKA INFORMATIKA 4 A & B Dose: Dr. Asep Jur Jumlh Sol: Uri Tggl Uji: // Wktu Uji: jm jik. Solusi t dlh: t + log, yg dpt dibuktik sbb: t jik t t + [t/ + ] + t/ + t/4 + t/8 + 4 t/
Lebih terperinciKALKULUS BUKAN SEKEDAR KALKULASI. Hendra Gunawan Kampus UNJ, 21 November 2015
KALKULUS BUKAN SEKEDAR KALKULASI Hendr Gunwn Kmpus UNJ, 21 Novemer 2015 MENGAPA KALKULUS? APA YANG DIGARAP? c) Hendr Gunwn 2015) 2 Isc Newton 1643 1727) & Keceptn Sest Mslkn seuh prtkel ergerk sepnjng
Lebih terperinciDiijinkan memperbanyak demi kepentingan pendidikan dengan tetap mencantumkan alamat situs
Diijik memperyk demi kepetig pedidik deg tetp metumk lmt situs LATIH UN IPS. 008 00 KATA PENGANTAR Alhmdulillh peulis pjtk kehdirt Allh SWT., Ats limph rhmt, erkh, d hidyh-ny sehigg peulis dpt meyelesik
Lebih terperinciRangkuman Materi dan Soal-soal
Rgkum Mteri d Sol-sol Dirgkum Oleh: Ag Wiowo, SPd mtikzoe@gmilcom / wwwmtikzoewordpresscom Rigks Mteri d Cotoh Sol Pegerti Limit k d it kiri * f L, rtiy ilm medekti dri k, mk ili f ( medekti L * f L, rtiy
Lebih terperinciRangkuman Materi dan Soal-soal
Rgkum Mteri d Sol-sol Dirgkum Oleh: Ag Wiowo, SPd mtikzoe@gmilcom / wwwmtikzoewordpresscom Rigks Mteri d Cotoh Sol Pegerti Limit k d it kiri * f L, rtiy ilm medekti dri k, mk ili f ( medekti L * f L, rtiy
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER Mter Kulh: Sstem Persm Aljr Ler; Overvew Aljr Mtrks; Metode Elms Guss; Metode Guss-Jord; Metode Itertf (Guss-Sedel & Jco); Metode Thoms # SISTEM PERSAMAAN ALJABAR
Lebih terperinciBAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ. Definisi 3.1 Matriks Toeplitz adalah suatu matriks., dengan nilai,, dan indeks yang
BAB III NORM MATRIKS PADA HIMPUNAN DARI MATRIKS-MATRIKS TOEPLITZ 3. Mtriks Toeplitz Defiisi 3. Mtriks Toeplitz dlh sutu mtriks [ t ; k, j = 0,,..., ] : T =, k j, deg ili,, d ideks yg diguk setip etriy
Lebih terperinci1. Bilangan Berpangkat Bulat Positif
N : Zui Ek Sri Kels : NPM : 800 BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR A. Pgkt Bilg Bult. Bilg Berpgkt Bult Positif Dl kehidup sehri-hri kit serig eeui perkli ilg-ilg deg fktor-fktor yg s. Mislk kit teui
Lebih terperinciCatatan Kecil Untuk MMC
Ctt Keil Utuk MMC Judul : MMC (Metode Meghitug Cept), Tekik ept d uik dlm megerjk sol mtemtik utuk tigkt SMA. Peulis : It Puspit. Peerit : PT NIR JAYA Bdug. Thu :. Tel : 8 + 5 hlm. Berikut dlh tt keil
Lebih terperinciEKSPONEN/PANGKAT, BENTUK AKAR, DAN LOGARITMA. Bilangan a (a 0) disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.
EKSPONEN/PANGKAT, BENTUK AKAR, DAN LOGARITMA theresivei.wordpress.o A. BENTUK PANGKAT BULAT. Pgkt Bult Positif Igt: 5 5 = (-) = -() = Defiisi Bilg erpgkt ult positif : Mislk ilg ult positif d ilg Rel,
Lebih terperinciBAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persm ditemuk hmpir di semu cg ilmu pegethu Dlm idg ilmu ukur sistem persm diperluk utuk mecri titik potog eerp gris yg seidg, di idg ekoomi tu model regresi sttistik
Lebih terperinci