DIFERENSIASI DAN INTEGRASI NUMERIK

Transkripsi

1 DIFERENSISI DN INTEGRSI NUMERIK Deress Numerk Forwrd, Cetrl Cetered, & Bckwrd Derece; Turu Pertm & Kedu Itegrs Numerk Trpezodl Rule & Smpso s Rule; Lebr Ikreme Tetp & Berub dy/lss_umerk/prl7 by: st dyr kolso deress d tegrs umerk DIFERENSISI NUMERIK dy Msly: y, d g dcr rg pd d Berdsrk des mtemtk: dy lm Δ d Δ Δ Pd deress umerk yg seder, rg Δ ddekt deg sebu blg kecl ε, segg k dperole: Cr orwrd: Cr bckwrd: Cr cetrl cetered: dy d dy d dy d ε ε ε ε ε Meurut teor: pedekt deg cetrl merupk yg terbk. mk kecl ε, sl mk bk ε ε y d y d? - Vsulss Grk Nl turu y pd dpt devlus deg memtk l-l d sektr dlm l : - d y Keterg: : Forwrd derece ppro. : Bckwrd derece ppro. : Cetered derece ppro. : True dervtve Coto Ilustrt: Pd gerk lurus sutu bed, poss jrk dr ttk tertetu bed tersebut pd berbg wktu dpt dytk deg persm: t deg dlm meter d t dlm detk Poss bed pd berbg wktu dpt dcr: t detk m 5 8 Kecept rt-rt: dr t gg t? dr t gg t? dr t gg t? Kesmpuly:.

2 Utuk kecept tetp: v jrk wktu Yg dtujukk ole speedometer: kecept sest Msl, g dcr kecept sest pd st t Hl dpt ddekt deg kecept rt-rt tr t d t,: t, t, v,,,, Jk Δt yg dpk leb kecl: t, t, Δt,: v,,,, Δt,: v, t,, t,,, Kecept sest: v lm Δt t Δt Δt Jk megguk Δt yg mk kecl, mk l kecept rt-rt k medekt kecept sest. t d dt Bdgk deg deress secr ltk: Pd t : Kesmpul: d t v t dt v t d dt t PENJBRN FIRST FORWRD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE TITIK DRI DERET TYLOR Eksps deret Tylor d sektr utuk pedekt orwrd: * Ο error bk suku-suku yg megdug turu leb tgg, segg: deg: step sze ormul rst orwrd te-dvded derece ttk PENJBRN FIRST BCKWRD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE TITIK DRI DERET TYLOR Eksps deret Tylor d sektr utuk pedekt bckwrd: ** Ο error bk suku-suku yg megdug turu leb tgg, segg: ormul rst bckwrd te-dvded derece ttk

3 PENJBRN FIRST CENTERED FINITE-DIVIDED DIFFERENCE TITIK DRI DERET TYLOR Pedekt cetered meggbugk kedu pedekt sebelumy: Ο segg: error ormul rst cetered tedvded derece ttk ** * Kurgk ** dr *, mk: PENJBRN FIRST FORWRD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE TITIK DRI DERET TYLOR Eksps deret Tylor d sektr utuk pedekt orwrd: Ο error ormul rst orwrd te-dvded derece ttk * *** Klk * deg, seljuty kurgk ke ***, mk: segg: PENJBRN SECOND FORWRD FINITE-DIVIDED DIFFERENCE TITIK DRI DERET TYLOR Eksps deret Tylor d sektr utuk pedekt orwrd: Ο error ormul secod orwrd te-dvded derece ttk * *** Klk * deg, seljuty kurgk dr ***, segg: segg: SECR UMUM Secr umum, proses pejbr deress umerk utuk ksus: Turu yg melbtk juml ttk dt leb byk, Turu yg leb tgg dpt dlkuk deg megeksps deret Tylor d sektr d megkut lgk-lgk mpuls ljbr yg sm log deg beberp pejbr d ts. Secr umum, berlku: step sze semk kecl, megguk juml ttk dt semk byk. Hsl pedekt turu k semk bk jk:. Pedekt cetered derece memberk sl yg leb bk dbdgk deg orwrd d bckwrd derece.

4 Forwrd te-dvded-derece: UNTUK TURUNN PERTM DN KEDU ttk Turu pertm: Ο Bckwrd te-dvded-derece: UNTUK TURUNN PERTM DN KEDU ttk Turu pertm: Ο ttk Ο ttk Ο Turu kedu: Turu kedu: ttk Ο ttk Ο ttk 5 Ο ttk 5 Ο Cetered te-dvded-derece: UNTUK TURUNN PERTM DN KEDU ttk ttk ttk 5 ttk Turu pertm: Turu kedu: 8 8 Ο Ο Ο Ο CONTOH SOL: Guk te dvded derece ppromto orwrd, bckwrd, d cetered utuk meetuk l turu pertm dr ugs:,,5,5,5, pd,5, megguk step sze,5. Ulg pertug deg megguk,5 d,. Bdgk sl-sly!

5 CONTOH PLIKSI: Berkut dl dt ketk sebu reks omoge-ser dlm rektor sstem btc soterml t [] met, C [] mol.m - : t C t C t C t C t C 5, 5 7, 5,5 75,5879,8 5 9,7 5,578 55,598 8,579 5, 5, 5,,7 85,5, 5,89,8 5,99 9,777 5,79 9,97 5,5 7,759 95,, Tetuk l-l kecept reks: d C r d t pd setp ttk dt, dg megguk te-dvded derece cr: orwrd, b bckwrd, d c cetered cetrl. Bdgk ketgy d bdgk jug deg peuru secr ltk yk deg mellu proses curve-ttg DERIVTIVES OF UNEQULLY SPCED DT Utuk sekumpul dt-dt yg melbtk tervl yg tdk sm msl: dt yg dperole dr eksperme, l turuy dpt dperkrk mellu pedekt terpols poloml Lgrge orde du. Deg megguk ttk dt yg berdekt: -, -,,, d, Mellu peuru secr ltk, dperole: merupk l yg g devlus turuy CONTOH PLIKSI: Reks somerss ser se cr: B berlgsug dlm sebu rektor btc, d megslk dt kosetrs terss C vs wktu t sbb.: t met C mol/l, 5,5,5,,5,5 Jk persm lju reks dytk dlm betuk: d C r k C 7,5, d t mk besry orde reks d lju reks spesk k dpt dtetuk. d C Guk deress umerk utuk meetuk: d t 8 5 INTEGRSI NUMERIK Persol tegrs umerk:. Fugs persm tuggl deg vrbel tuggl Trpezodl rule; Smpso s Rule Msl: Peyeles tegrl berbetuk: b d yg k dpeljr pd bg. Betuk persm deresl PD, bk tuggl mupu smult Metode: Euler, Heu, Moded Euler; Ruge-Kutt Msl: Peyeles PD berbetuk: d y d y P. y Q,y,z d d tuggl d z,y,z d smult 5

6 FORMUL NEWTON-COTES Formul tegrs Newto-Cotes merupk bss peyeles tegrs umerk utuk ksus persm deg vrbel tuggl. Ide dsr: Meggtk betuk ugs persm yg kompleks deg dt-dt dlm betuk tbel. Seljuty, dlkuk proses curve-ttg terdp dt-dt tersebut, segg dperole ugs persm yg mud dtegrlk. Itegrl ugs dr b gg b dpt dtulsk sbb.: I d deg: ugs poloml berorder m m m m m Igt kembl bw: Utuk membetuk poloml berorder m, mk dbutuk sekurg-kurgy m ttk dt. TRPEZOIDL RULE Merupk betuk tegrs Newto-Cotes yg plg seder megguk pedekt poloml orde stu ler y y b Itegrl I b Itegrl tr d b: b I d deg: orde stu b b TRPEZOIDL RULE Mk: Secr geometr: b b I d b b I. b b b I b. b b b I b. ormul trpezodl rule I bermk lus der d bw kurv y Lus trpesum lebr rert pjg ss sejjr b Lus der yg drsr: I b. MULTIPLE-PPLICTION TRPEZOIDL RULE Composte Trpezodl Rule Itervl dr d b dbg mejd bg-bg kecl kreme segme yg msg-msg selebr, berjuml bu. b b y b Bts-bts tervl dber deks,,,, sg: Msg-msg bg dggp berbetuk trpesum. Hrg tegrl yg merupk lus d bw kurv y dr s.d ddekt deg pejuml dr lus trpesum-trpesum tsb. I.

7 Deg demk, jk tersed dt-dt berkut: y mk: y y y b I d d I d d d - y - - y I I Jk juml semk besr, mk sl tegrs k semk bk. ormul composte trpezodl rule CONTOH SOL: Perkrk tegrl: dr gg b,8 deg megguk metode trpezodl: segme, b segme, Bdgk sl-sly! c segme, d d segme, Sebg perbdg, peyeles secr ltk utuk tegrl dl,5 5 SIMPSON S RULE megguk pedekt poloml orde du kudrt Jk tersed ttk dt: y y y y Itegrl tr d : I d deg: orde du Persm yg mellu ketg ttk dt tsb. d ts dpt ddekt deg terpols poloml Lgrge orde du Deg demk: I d d Setel mellu proses tegrs d mpuls ljbr, dperole: deg: [ ] I, secr grk: ormul Smpso s / rule 7

8 MULTIPLE-PPLICTION SIMPSON S / RULE Composte Smpso s / Rule Idetk deg peuru ormul composte trpezodl rule, metode dpt djbrk sbb.: I d d d I : I j,,5 j,, deg: ormul composte Smpso s / rule d berup blg gep CONTOH SOL: Perkrk tegrl: dr gg b,8 deg megguk metode Smpso /: segme, b segme, d Bdgk sl-sly! c segme, Bdgk jug deg sl yg dperole deg metode trpezodl! Peyeles secr ltk utuk tegrl :,5 5 INTEGRSI DGN LEBR SEGMEN TK SM Pd kebyk stus, ksus tegrs deg lebr segme kreme sm sergkl justru tdk byk djump. Msly, dt-dt yg dperole mellu eksperme d lbortorum. Utuk ksus sepert, metode composte trpezodl rule dpt dterpk, deg cr yg sgt detk deg ksus lebr segme yg sm. b I d d I d d d deg: I lebr segme ke,,, CONTOH PLIKSI: Sebu reks omoge se gs: R mempuy lju reks pd 5 o C sebesr: r C / mol / lter.det k Cmpur reks yg berup 5%-mol d 5%-mol ert dumpk ke dlm sebu rektor lr pp yg beropers pd 5 o C d 5 tm. C,5 mol/lter. Tetuk spce-tme yg dbutuk gr tercp kovers 8%. Keterg: Persm kerj rektor lr pp: X X d X τ C C r k C Pd ksus : ε / / d X,8 C X / ε d X k X / X X ε 8

9 Peyeles: Metode yg bs dtempu:. Itegrs secr grk. Itegrs secr ltk. Itegrs umerk Peyeles secr ltk: Itegrl lus der d bw kurv /,8 X,8,8 X d X d X rc s X X,8 X X Cob d ulg kembl mellu peyeles secr umerk! Slk pl sedr metode yg k d guk CONTOH PLIKSI KNDUNGN IR dlm PDTN BSH Msl sutu pdt betuk bol berjr-jr R, megdug r deg kdr tdk sergm: g HO r C C o cm R deg r jrk ke pust bol. Ig dcr juml r yg d dlm pdt m d kdr r rt-rty C v lss: Msl: Dtju eleme volume deg tebl dr R Juml r pd eleme volume dm r dr Kre dr sgt kecl, mk kdr r pd bg tersebut prkts dpt dggp sergm, segg: dm.π.r.dr.c mss H O volume kdr Deg tegrs dperole: m m r R dm. π. r.c.dr m Jk dmbl: C, g/cm ; R 5 cm Deg tegrs umerk, dperole: m.. g Kdr r rt-rt: mss m C v. volume π R r r R r m. π.c o. r.. dr R r g cm Lt Sol #: Tetuk l turu pertm ugs-ugs berkut deg pedekt orwrd derece ttk Ο d ttk Ο, bckwrd derece ttk Ο d ttk Ο, sert cetrl/cetered derece ttk Ο d ttk Ο : y 5 pd, deg lebr lgk,5,,, d, b y e pd, deg lebr lgk,5,,, d,5 Bdgk d berk lss terdp sl pertug yg d perole! Bdgk jug deg sl yg dperole mellu pertug secr ltk! 9

10 Lt Sol #: Dt berkut dkumpulk pd st pegs tgk b bkr myk: t, met V, brrel,5 5,5,7 5,88, 9, Htugl lju lr myk yg terkumpul pd setp wktu pegmt Q dv/dt., Lt Sol #: Pd suu tetp, sebu proses termodmk megukur perub tek terdp perub volume sstem, d dperole dt berkut: Tek, P kp Volume, V m,5 8 Htugl kerj W yg terlbt selm proses tersebut, deg tegrs secr umerk. Dketu: W P dv 8 7 Lt Sol #: Kpsts ps r H Ol sebg ugs suu dpt dytk dlm persm: Cp 8, 7,5. T,8. T R T dlm Kelv R tetp gs uversl. Htugl besry ps sesbel Q yg dbutuk utuk memsk mol r dr T 5 o C gg T 85 o C. Guk tegrs secr umerk deg metode trpezodl, d b Smpso /. Guk tervl T sebesr 5 o C. Ps sesbel per mol: Q Cp dt