PRAKTIKUM 1 MODELING DAN ANALISIS

Transkripsi

1 PRAKTIKUM MODELING DAN ANALISIS KESALAHAN A. TUJUAN PEMBELAJARAN. Model Mtemtk. Memhm Deret Tlor. Memhm Glt 4. Memhm lgortm d pembc lowchrt B. DASAR TEORI. Model Mtemtk Model dbut utuk memudhk org dlm meglss sutu permslh, dsmpg utuk meghemt wktu, b, d jug megurg resko. Deg d sstem komputer g demk cggh st, mk pemodel mejd lebh mudh d m dlkuk. Dr s lhrlh smuls g megguk komputer utuk meruk hl-hl g d d du t, g dpt dlss, devlus d ddptk hsl, sert dpt dulg kppu deg hsl g sm. Pemodel mtemtk dperluk utuk membtu meelesk permslh reks permslh rl). Gmbr thppemroses mslh reks g secr lts sult dselesk seljut dbw ke betuk model mtemtk d dselesk secr mtemts, ljbr tu sttstk d komputs. Apbl telh dperoleh peeles mtemtk proses seljut megmplemetsk hsl mtemts ke mslh reks sbb:

2 Gmbr. Skem model Mtemtk sumber Komputs umerc deg mthlb,ard P). Memhm Deret Tlor Metode umerc dguk utuk meelesk persol dm perhtug secr ltk tdk dpt dguk. Metode umerc bergkt dr pemkr bhw permslh dpt dselesk deg megguk pedekt-pedekt g dpt dpertggug-jwbk secr ltk. Metode umerk dsjk dlm betuk lgortm-lgortm g dpt dhtug secr cept d mudh.pedekt g dguk dlm metode umerk merupk pedekt lss mtemts. Sehgg dsr pemkr tdk kelur juh dr dsr pemkr lts, h sj pemk grs d tekk perhtug g mudh merupk pertmbg dlm pemk metode umerk. Pd umum ugs-ugs g betuk kompleks dpt dsederhk mejd ugs hmpr dlm betuk ugs poloml g lebh sederh. Fugs poloml lebh mudh dphm kelku. Apbl kt melkuk pekerj htug deg

3 megguk ugs g sesugguh, mk k kt dptk hsl solus eksk solus sejt). Tetp bl kt melkuk pekerj htug deg megguk ugs hmpr, mk k kt dptk hsl solus hmpr solus pedekt). Perbed tr solus eksk d solus hmpr terletk pd d glt pd solus hmpr. Glt pd solus umerk hrus dhubugk deg seberp telt poloml dlm meghmpr ugs g sesugguh. Bs dlm meghmpr ugs g sesugguh, org megguk p g dsebut deg deret Tlor. Deret Tlor bs dguk utuk kutks tu perkr besr keslh. Tp mellu pembukt Mtemtk deret Tlor dpt drumusk : m ) 0 ) ' 0 ) '' 0 ) ).!! m! Adk d semu turu,,,, kotu d dlm tervl [,b], mslk 0 [,b], mk utuk l dsektr 0 d [,b], ) ddlm deret Tlor: Cotoh: Hmpr ugs ) = cos) ke dlm deret Tlor dsektr 0 = Peeles: Meetuk turu cos) terlebh dhulu ) = cos) ) = -s) ) = -cos) ) = s), d seterus berdsrk persm dts, s) dhmpr deg deret Tlor: cos ) cos) s))! Dmslk = m, mk: m cos ) cos) m s) cos ) 9,999,4899m 4,9968m! cos)) m cos) s). 6,7449m.! m s)). Meggt bhw lgortm g dkembgk dlm metode umerk dlh lgortm pedekt mk dlm lgortm tersebut k mucul stlh ters tu pegulg proses perhtug. Deg kt l perhtug dlm metode umerk dlh perhtug g

4 dlkuk secr berulg-ulg utuk terus-meerus dperoleh hsl g m medekt l peeles ect. Perhtk slh betuk ormuls dlm metode umerc dlh: = Terlht bhw hsl ters ke dlh hsl ters ke - sebelum) deg dtmbh - g merupk l perbk. Sehgg dpt dktk bhw semk bk ters g dguk, mk l semk medekt l ect tu semk bk hsl g dperoleh. Deg megguk metode pedekt semcm, tetuk setp l hsl perhtug k mempu l error l keslh/glt). Dlm ls metode umerc, keslh mejd petg rt. Kre keslh dlm pemk lgortm pedekt k meebbk l keslh g besr, tetu tdk dhrpk. Sehgg pedekt metode ltk sellu membhs tgkt keslh d tgkt kecept proses g k terjd.. Als Keslh Keslh umerk dlh keslh g tmbul kre d proses pedekt. Hubug keslh d peeles ˆ e dlh l g seber l eksk ) dlh l pedekt g dhslk dr metode umerk e dlh keslh umerk. prosetse tr keslh Keslh rksol dlh prosetse tr keslhd l seber e ˆ 00% Pd bk permslh keslh rksol d ts sult tu tdk bs dhtug, kre l eksk tdk dkethu. Sehgg keslh rksol dhtug berdsrk l pedekt g dperoleh: Perhtug keslh semcm dlkuk utuk mecp ked koverges pd sutu proses ters. 00% e 00% 4

5 C. TUGAS PENDAHULUAN Crlh cotoh permslh g megguk solus eksk d solus umerk. D. PERCOBAAN. Betuklh deret Tlor utuk ugs ) = l ) dsektr 0 =. p= d pol /7. Tetuk glt berhubug deg 4 gk dbelkg kom.. Butlh lowcht dr ksus meetuk blg terkecl dr blg. E. LAPORAN RESMI Kumpulk hsl percob d ts. 5

6 PRAKTIKUM PENYELESEIAN PERASAMAAN NONLINIER PART A. TUJUAN PEMBELAJARAN. Dpt memodelk ugs megguk guplot. Dpt melkuk peggt rge setelh melkuk plottg sebuh ugs megguk guplot. Dpt melkuk sclg utuk sebuh ugs B. DASAR TEORI Peeles persm o ler dlh peetu kr-kr persm o ler.dm kr sebuh persm ) =0 dlh l-l g meebbk l ) sm deg ol. Deg kt l kr persm ) dlh ttk potog tr kurv ) d sumbu X. Guplot merupk pergkt luk pembut grk berbss commd-le. Guplot dlm prktkum Metode Numerk t dguk utuk melkuk pegecek pkh progrm g kt but sudh meghslk kelur sesu deg g dhrpk. Berkut dlh beberp ugs g ddukug dlm guplot: Fucto Hsl bs) cos) s) l mutlk dr, rc-cose dr rc-se dr 6

7 t) rc-tget dr cos) cose dr, dlm rds. cosh) hperbolc cose dr, dlm rds er) error ucto dr ep) ugs epoetl dr, bss e ver) ugs verse error dr vorm) verse dstrbus orml dr log) log dr, bss e log0) log dr, bss 0 orm) ugs dstrbus orml Guss rd) pseudo-rdom umber geertor sg) jk > 0, - jk < 0, 0 jk =0 s) s dr, dlm rds sh) hperbolc se dr, dlm rds sqrt) kr dr t) tget dr, dlm rds th) hperbolc tget dr, dlm rds PLOTING Plotg dlh proses utuk medptk grk dlm guplot. Plotg dlm guplot dpt megguk dt g kt smp dlm sebuh le tupu deg megguk ugs-ugs g sudh dsedk oleh guplot sepert d ts. Mslk kt k melht grk dr ugs F)=e -, mk kut lgkh berkut :. Jlk progrm wguplot g d pd drektor GNU setelh dlkuk stllg 7

8 Gmbr. drektor GNU. Sehgg mucul tmpl sebg berkut Gmbr. Meu GNUPlot. Ketkk perth plot ep-)- d commd prompt-, kemud eter Gmbr. Meggmbr ugs epoesl 4. Sehgg ddptk kelur grk sebg berkut 8

9 Gmbr.4 grk Epoesl MENENTUKAN RANGE Jk ugs F)=e - d ts kt selesk sebg persm ler, mpk bhw perpotog ugs deg sumbu X tdk jels pd l berp. Sehgg dbutuhk proses peetu rge utuk l deg jgku g lebh kecl. Utuk proses peetu rge, mk kutlh lgkh berkut :. Lkuk perkr pd berp terjd perpotog deg =0. Msl dr ugs d ts sektr tr -5 s/d 5.. Plh Aes pd meu, plh X Rge sehgg Nmpk sepert gmbr berkut: 9

10 Gmbr.5 Xrge. Isk -5 pd lower boud Gmbr.6 lower boud 4. Isk 5 pd upper boud Gmbr.7 upper boud 5. Sehgg pd commd le otomts terdpt perth 0

11 Gmbr.8 Gmbr bts pd commd le 6. Lkuk plottg lg deg megetkk plot ep-)- sehgg ddptk kelur grk sebg berkut: Gmbr.9 grk ep-)- SCALING Sclg dlh proses peskl utuk medptk l g kurt pd persm ler sehgg ddptk jwb l pd perpotog sumbu X. Utuk medptk l g kurt dlh deg mecob skl g lebh kecl lg smp ddptk l g kurt.. Nmpk dr hsl plottg d ts bhw perpotog deg sumbu X terjd pd l tr 0 smp deg. Utuk medptk l kurt skl dpt dperkecl deg megulg perth set rge [0:] pd commd prompt d melkuk plotg lg.

12 Gmbr.0 grk ep-)- pd rge [0:]. Jk msh belum jels jgku bs dperkecl pd tr 0.4 smp deg 0.6 set rge [0.4:0.6] pd commd prompt. Sehgg ddptk kelur sebg berkut: Gmbr. grk ep-)- pd rge [0.4:0.6]. D sup lebh jels bs dperkecl pd tr 0.56 smp deg 0.58 set rge [0.565:0.57] pd commd prompt.

13 Gmbr. grk ep-)- pd rge [0.565:0.57] 4. D sup lebh jels bs dperkecl pd tr smp deg set rge [0.567:0.568] pd commd prompt. Sehgg pd =0.567 merupk solus utuk persm ler F)=e - Gmbr. grk ep-)- pd rge [0.567:0.568]

14 MENELUSURI TITIK PUNCAK Utuk beberp ugs, kt bs melkuk peelusur ttk puck. Peelusur ttk puck dlh deg melkuk peetu rge d sclg pd sumbu Y. Sebg cotoh jk d ugs F)=e -.s)mk peelusur ttk puck dlh sebg berkut:. Lkuk plotg utuk ugs F)=e -.s) pd l 0 s/d Gmbr. grk F)=e -.s) pd l 0 s/d. Lkuk sclg pd sumbu X deg l mul dr 0. s/d 0.4 deg perth set rge[0.:0.4], sehgg ddptk grk berkut : Gmbr.4 grk F)=e -.s) pd l 0. s/d 0.4 4

15 . Lkuk sclg pd sumbu Y deg l mul dr 0.4 s/d 0.45 deg perth set rge[0.4:0.45], sehgg ddptk grk berkut Gmbr.5 grk F)=e -.s) pd l 0.4 s/d Lkuk lg sclg pd sumbu Y deg l mul dr 0.4 s/d 0.45 deg perth set rge[0.4:0.45] d sclg pd sumbu X pd l 0. s/d 0.5, sehgg ddptk grk berkut Gmbr.6 grk F)=e -.s) pd l 0.4 s/d Ddptk ttk puck pd l =0.7 d =0.4. 5

16 C. TUGAS PENDAHULUAN Istl GNU Plot pd computer sudr, d bclh Meu Help. D. PERCOBAAN. Lkuk percob utuk lgkh-lgkh dlm plotg, peetu rge d sclg g sudh durk d ts.. Lkuk plotg, peetu rge d sclg utuk ugs F)=e Lkuk plotg, peetu rge d sclg utuk ugs F)=*e - +cos*) 4. Lkuk plotg, peetu rge d sclg utuk ugs F)= * ep-) 5. Lkuk plotg, peetu rge d sclg utuk ugs F)=sqrt-*)- sqrt*-) 6. Lkuk plotg, peetu rge, sclg d peelusur ttk puck utuk ugs F)=e -.cos) E. LAPORAN RESMI Kumpulk hsl percob d ts, sertk hsl l jk semu ugs d ts dselesk deg persm ler. 6

17 PRAKTIKUM PENYELESEIAN PERASAMAAN NONLINIER PART A. TUJUAN PEMBELAJARAN Memhm d mmpu meerpk : o Peetu Rge o Tbelg o Peggu Metode o Metode Bseks o Metode Regul Fls o Metode Iters Sederh o Metode Newto Rphso o Metode Sect B. DASAR TEORI.. TEORI PERSAMAAN NON LINEAR Peeles persm o ler dlh peetu kr-kr persm o ler. Akr sebuh persm ) =0 dlh l-l g meebbk l )=0. Deg kt l kr persm ) dlh ttk potog tr kurv ) d sumbu X. Gmbr..Peeles Persm No Ler 7

18 Peeles persm ler bs g kt temu dlh m c 0dm m d c dlh kostt gk g berd d dep sebuh vrbel), sehgg dpt dhtug deg: c m c 0 m Peeles persm kudrt b c 0 dpt dhtug deg megguk rumus ABC. b b 4c Beberp persm poloml g sederh dpt dselesk theorem ss. Sehgg tdk memerluk metode umerk dlm meelesk, kre metode ltk dpt dlkuk.tetp bgm meelesk persm g megdug usur blg turl, sepert : e 0 Tmpk sederh, tetp utuk meelesk persm o ler merupk metode pecr kr secr berulg-ulg... PENYELESAIAN MENCARI NILAI AKAR DARI PERSAMAAN NON LINEAR METODE TERTUTUP A. METODE TABEL Sutu rge [, b] mempu kr bl ) d b) berlw td tu memeuh ).b)<0. Lht gmbr grk d bwh : Kre ).b)<0 mk pd rge =[,b] terdpt kr. 8

19 Kre ).b)>0 mk pd rge =[,b] tdk d kr. Gmbr.: Grk Peetu kr Persm Secr sederh, utuk meelesk persm o ler dpt dlkuk deg megguk metode tble tu pembg re.dm utuk [, b] tu d tr d b dbg sebk N bg d pd msg-msg bg dhtug l ) sehgg dperoleh sebuh tbel. Dr tbel, bl dtemuk ) 0 tu medekt ol mk dpt dktk bhw k dlh peeles persm k ) 0. Bl tdk d k ) g sm deg ol, mk dcr l ) d ) g berlw td, k k k bl tdk dtemuk mk dktk tdk mempu kr utuk = [,b], d bl dtemuk mk d pedpt utuk meetuk kr persm : Bl ) < ) mk k dlh peeles Bl tdk k dlh peeles tu dpt dktk peeles berd d tr k d k. Berkut dlh peggmbr secr grs dr metode tbel: Gmbr.: Metode Tbel secr Grs Gmbr d ts mejelsk bhw peeles dperoleh deg membg = [,b] sebk-bk hgg dperoleh sutu grs g mellu kr persm d l dr grs tersebut dlh peeles dr persm ) = 0. Sebg cotoh, cr kr dr persm ) e. Guk Mcrosot Ecel utuk membut skets progrm dr metode tbel. 9

20 Gmbr.4: Grk ugs ) e deg GNU Plot Gmbr.5: Gmbr peggu metode tbel deg Ms. Ecel Algortm Metode Tbel : ) Desk ugs ) ) Tetuk rge utuk g berup bts bwh bwh d bts ts ts. ) Tetuk jumlh pembg N 4) Htug step pembg h H = ts N bwh 0

21 5) Utuk = 0 s/d N, htug = bwh +.h = ) 6) Utuk I = 0 s/d N dcr k dm *. Bl k ) = 0 mk k dlh peeles *. Bl k ). k+ ) < 0 mk : - Bl k ) < k+ ) mk k dlh peeles - Bl tdk k+ dlh peeles tu dpt dktk peeles berd d tr k d k+. B. Metode Bseks Ide wl metode dlh metode tble, dm re dbg mejd N bg.h sj metode bseks membg rge mejd bg, dr du bg dplh bg m g megdug d bg g tdk megdug kr dbug.hl dlkuk berulgulg hgg dperoleh kr persm. Gmbr.6. Metode Bseks

22 Utuk megguk metode bseks, terlebh dhulu dtetuk bts bwh ) d bts ts b).kemud dhtug l tegh : = b Dr l perlu dlkuk pegecek keberd kr. Secr mtemtk, sutu rge terdpt kr persm bl ) d b) berlw td tu dtulsk : ). b) < 0 Setelh dkethu dbg m terdpt kr, mk bts bwh d bts ts d perbhru sesu deg rge dr bg g mempu kr. Sebg cotoh, utuk meelesk persm e 0, deg megguk rge =[0,], mk dperoleh tbel bseks sebg berkut: Gmbr.7: Gmbr peggu metode Bseks deg Ms. Ecel Algortm Metode Bseks: ) Desk ugs ) g k dcr kr ) Tetuk l d b ) Tetuk torels e d ters mksmum N 4) Htug ) d b) 5) Jk ).b)>0 mk proses dhetk kre tdk d kr, bl tdk dljutk 6) Htug r = 7) Htug r) b 8) Bl r).)<0 mk b=r d b)=r), bl tdk =r d )=r)

23 9) Jk b- <e tu ters>ters mksmum mk proses dhetk d ddptk kr = r, d bl tdk, ulg lgkh 6. C. Metode Regul Fls Metode regul ls dlh metode pecr kr persm deg memtk kemrg d selsh tgg dr du ttk bts rge. Sepert hl metode bseks, metode bekerj secr ters deg melkuk updte rge.ttk pedekt g dguk oleh metode regul-ls dlh : X = b. b. b Deg kt l ttk pedekt dlh l rt-rt rge berdsrk F).Metode regul ls secr grs dgmbrk sebg berkut : Gmbr.8. Metode Regul Fls Cotoh tbel skets progrm deg ugs ) e :

24 Gmbr.9: Gmbr peggu metode Regul Fls deg Ms. Ecel Algortm Metode Regul Fls:. Desk ugs ). Tetuk bts bwh ) d bts ts b). Tetuk tolers error e) d ters mksmum N) 4. Htug F = ) d Fb = b) 5. Utuk ters I = s/d tu error > e r = F b). F b) F ). b F ) Htug F = ) Htug error = F Jk F.F <0 mk b = r d Fb = Fr jk tdk = r d F = Fr. 6. Akr persm dlh r. METODE TERBUKA. Metode Iters Metode ters sederh dlh metode g memshk deg sebg g l sehgg dperoleh : = g). Sebg cotoh utuk meelesk persm e = 0 mk persm d ubh mejd : = e tu g) = e.g) lh g mejd dsr ters pd metode ters sederh.metode ters sederh secr grs dpt djelsk sebg berkut : 4

25 Y = =g) 0 X Gmbr.0. Metode Iters Sederh Cotoh tbel skets progrm utuk ugs ) e : Gmbr.: Gmbr peggu metode Iters Sederh deg Ms. Ecel Algortm Metode Iters Sederh:. Desk F) d g). Tetuk tolers error e) d ters mksmum ). Tetuk pedekt wl 0 4. Utuk ters = s/d tu Fters ) X = g - ) Htug F ) 5. Akr dlh terkhr g dperoleh. e 5

26 . Metode ewto rphso Metode ewto rphso dlh metode pedekt g megguk stu ttk wl d medekt deg memperhtk slope tu grde pd ttk tersebut.ttk pedekt ke + dtulsk deg : X + = + Metode ewto rphso dpt dgmbrk sebg berkut : F F 0 X Gmbr Metode Newto Rphso. Cotoh tbel skets progrm utuk ugs ) e : Gmbr.: Gmbr peggu metode Iters Sederh deg Ms. Ecel 6

27 Algortm Metode Newto Rphso:. Desk ugs ) d ). Tetuk tolers error e) d ters mksmum ). Tetuk l pedekt wl 0 4. Htug 0 ) d 0 ) 5. Utuk ters I = s/d tu ) e + = Htug ) d ) 6. Akr persm dlh l g terkhr dperoleh.. Metode sect Metode sect merupk perbk dr metode regul-ls d ewto rphso dm kemrg du ttk dtk scr dskrt, deg megmbl betuk grs lurus g mellu stu ttk. F - 0 = tu, dm m dperoleh dr m = m 0 Bl = F), d dkethu mk ttk ke + dlh : + - = m + - ) Bl ttk + dggp kr persm mk : Y + =0 sehgg dperoleh : - = m + - ) m m tu : + =. m F Persm g mejd dsr pd proses pedekt dm l pedekt dlh : 7

28 Sehgg utuk megguk metode sect dperluk du ttk pedekt 0 d. Kedu ttk pedekt dmbl pd ttk-ttk g dekt gr koverges dpt djm. Algortm Metode Sect :. Desk ugs F). Ambl rge l =, b deg jumlh pembg p. Msukk torels error e) d msukk ters 4. Guk lgortm tbel dperoleh ttk pedekt wl 0 d utuk setp rge g dperkrk terdpt kr dr : F k ) * F k+ )<0 mk 0 = k d = 0 +b-)/p. Sebk guk metode tbel tu grs utuk mejm ttk pedkt dlh ttk pedekt g koverges pd kr persm g dhrpk. 5. Htug F 0 ) d F ) sebg 0 d 6. Utuk ters I = s/d tu F ) e Htug + = F + ) + = 7. Akr persm dlh l g terkhr. C. TUGAS PENDAHULUAN Tulsk dsr-dsr komputs dr metode terbuk d tertutup utuk peelese o ler, Yg bers : dsr teor, lgortm d lowchrt. D. PERCOBAAN. Ddesk persol dr persm o ler deg ugs sebg berkut : = / ). Pegmt wl. Guk Gu Plot utuk medptk kurv ugs persm b. Amt kurv ugs g memotog sumbu c. Dptk du l pedekt wl dtr l b) sebg l =bts bwh) d l b =bts ts) 8

29 . Peuls hsl. Selesek permslh dts deg megguk slh stu metode tertutup b. Selesek permslh dts deg megguk slh stu metode terbuk deg megguk ttk wl dtr d b. c. Akhr ters dtetuk smp deg 0 ters 4. Pegmt terhdp hsl deg mcm-mcm prmeter put. Nl error e) kr dtetuk = sebg pembts ters l ) b. Jumlh ters mksmum c. Bdgk tr d b terhdp hsl g dperoleh d. Pegubh l wl bts bwh d bts ts 9

30 E. LAPORAN RESMI Kumpulk hsl percob d ts Judul Percob : METODE Tertutup Algortm : FORM LAPORAN AKHIR Nm d NRP mhssw FORM LAPORAN AKHIR Lstg progrm g sudh Nm ber d : NRP mhssw Judul Percob : Algortm Pegmt wl. Gmbr kurv ugs deg Gu Plot. Perkr l 0 Hsl percob :. Tbel hsl ters,, ) Lstg. Pegmt progrm g terhdp sudh prmeter ber :. Tolers errore) terhdp jumlh ters N) Tolers Error e) Jumlh Iters N) b. Perubh l wl 0 terhdp ters N) Bts Bwh ) Bts Ats b) Nl Error F)=e) Butlh kesmpul dr jwb d b, kemud gmbrk grk 0

31 Judul Percob : METODE Terbuk Algortm : FORM LAPORAN AKHIR Nm d NRP mhssw Lstg progrm g sudh ber : Pegmt wl. Gmbr kurv ugs deg Gu Plot 4. Perkr l 0 Hsl percob :. Tbel hsl ters,, ). Pegmt terhdp prmeter. Tolers errore) terhdp jumlh ters N) Tolers Error e) Jumlh Iters N) b. Perubh l wl 0 terhdp ters N) X0 Iters Butlh kesmpul dr jwb d b, kemud gmbrk grk

32 PRAKTIKUM 4 PERSAMAAN LINIER SIMULTAN_ A. TUJUAN PEMBELAJARAN Memhm d mmpu meerpk : o OBE o Metode Elms Guss o Metode Guss Jord B. DASAR TEORI Metode Elms Guss merupk metode g dkembgk dr metode elms, tu meghlgk tu megurg jumlh vrble sehgg dpt dperoleh l dr sutu vrble bebs. Cr elms sudh bk dkel. Utuk megguk metode elms Guss, terlebh dhulu betuk mtrk dubh mejd ugmeted mtrk sebg berkut : b b b Metode elms guss, dlh sutu metode dm betuk mtrk d ts, pd bg kr dubh mejd mtrk segtg ts tu segtg bwh deg megguk OBE Opers Brs Elemeter).

33 b b b b c c c 0 0 c c c 0 c c c c d d d d Sehgg peeles dpt dperoleh deg: d c c c c, d d c c c,. c c d 4 4 c c Opers Brs Elemeter OBE) merupk sutu opersol pegubh l eleme mtrk berdsrk brs, tp megubh mtrk. OBE pd brs ke-+k deg dsr brs ke dpt dtulsk deg : k, j k, j c., j dm c dlh kostt pegl g dmbl dr perbdg l dr eleme, d +k, Algortm Elms Guss-tp pvotg sums : deks rr sellu dmul dr 0). Msukk jml ordo mtrks d putk msg-msg eleme ugmeted mtrks A. Utuk kolom ke-, d m : 0 <= < - lkuk OBE opers brs elemeter) sbb : Utuk brs ke-j, d m: + <= j < - htug l kostt c : c = A[j][] / A[][] - Utuk kolom ke-k, d m : 0 <= k < + termsuk kolom g bers vektor b) htuglh : A[j][k] = A[j][k] - c * A[][k]

34 . Isk eleme mtrks pd kolom ke- kolom terkhr dr ugmeted mtrks) ke dlm mtrks vektor b sbb : Utuk brs ke- : 0 <= < b[] = A[][] 4. Htug kr deg cr melkuk substtus mudur sbb : - [-] = b[-]/a[-][-] - Utuk brs ke-k, d m : - >= k >= 0 - sgm = 0 - utuk kolom ke-j, d m : k+ <= j <, htuglh sgm = sgm + A[k][j] * [j] - [k] = b[k] - sgm) / A[k][k] - Utuk deks ke-, d m : 0 <= < tmplk kr [] Algortm Elms Guss-Pvotg sums : deks rr sellu dmul dr 0). Msukk jml ordo mtrks d putk msg-msg eleme ugmeted mtrks A. Msukk l epslo ep) utuk metolerr l pvot. Lkuk pegecek pvot mul dr kolom ke-, d m : 0 <= < lkuk : - pvot = A[][] - besr = ; - jk pvot < ep, mk perlu dlkuk pertukr brs sbb : - utuk brs ke-p, d m : + <= p < lkuk jk pvot < A[p][], mk pvot = A[p][] besr = p - tukr_brs ke- deg brs ke-besr 4. Lkuk pertukr brs ke- deg brs ke-besr - Utuk kolom ke-j, d m : 0 <= j <= lkuk : - temp[j] = A[][j] - A[][j] = A[besr][j] - A[besr][j] = temp[j] 5. Utuk kolom ke-, d m : 0 <= < - lkuk OBE opers brs elemeter) sbb : Utuk brs ke-j, d m: + <= j <. htug l kostt c : c = A[j][] / A[][]. Utuk kolom ke-k, d m : 0 <= k < + termsuk kolom g bers vektor b) htuglh : temp = c * A[][k] A[j][k] = A[j][k] - temp 4

35 6. Isk eleme mtrks pd kolom ke- kolom terkhr dr ugmeted mtrks) ke dlm mtrks vektor b sbb : Utuk brs ke- : 0 <= < b[] = A[][] 7. Htug kr deg cr melkuk substtus mudur sbb : - [-] = b[-]/a[-][-] - Utuk brs ke-k, d m : - >= k >= 0 - sgm = 0 - utuk kolom ke-j, d m : k+ <= j <, htuglh sgm = sgm + A[k][j] * [j] - [k] = b[k] - sgm) / A[k][k] - Utuk deks ke-, d m : 0 <= < tmplk kr [] Ctt: Metode elms guss seber merupk metode elms g serg dguk dlm perhtug mul, h sj tekk megguk model peuls persm buk megguk ugmeted mtrk. Metode merupk pegembg metode elms Guss, h sj ugmeted mtrk, pd sebelh kr dubh mejd mtrk dgol sebg berkut: b b 0 b 0 b d d d d Peeles dr persm ler smult dts dlh l d,d,d,,d d tu: d, d, d,., d Tekk g dguk dlm metode elms Guss-Jord sm sepert metode elms Guss tu megguk OBE Opers Brs Elemeter). H perhtug peeles secr lgsug dperoleh dr l pd kolom terkhr dr setp brs. Algortm Metode Elms Guss-Jord dlh sebg berkut: sums : deks rr sellu dmul dr 0) 5

36 . Msukk jml ordo mtrks d putk msg-msg eleme ugmeted mtrks A. Msukk l epslo ep) utuk metolerr l pvot. Lkuk pegecek pvot mul dr kolom ke-, d m : 0 <= < lkuk :. pvot = A[][] b. besr = ; c. jk pvot < ep, mk perlu dlkuk pertukr brs sbb : - utuk brs ke-p, d m : + <= p < lkuk jk pvot < A[p][], mk pvot = A[p][] besr = p - tukr_brs ke- deg brs ke-besr 4. Lkuk pertukr brs ke- deg brs ke-besr - Utuk kolom ke-j, d m : 0 <= j <= lkuk : - temp[j] = A[][j] - A[][j] = A[besr][j] - A[besr][j] = temp[j] 5. Utuk kolom ke-, d m : 0 <= < - lkuk OBE opers brs elemeter) pd brs-brs d BAWAH dgol sbb : Utuk brs ke-j, d m: + <= j <. htug l kostt c : c = A[j][] / A[][]. Utuk kolom ke-k, d m : 0 <= k < + termsuk kolom g bers vektor b) htuglh : temp = c * A[][k] A[j][k] = A[j][k] - temp 6. Utuk brs ke-j, d m : 0 <= j < lkuk opers utuk mejdk semu eleme pd dgol berl sbb : pvot = A[j][j] Utuk kolom ke-k, d m : 0 <= k < htuglh : A[j][k] = A[j][k] / pvot 7. Utuk kolom ke-, d m : 0 <= < lkuk OBE opers brs elemeter) pd brs-brs d ATAS dgol sbb : Utuk brs ke-j, d m: - >= j >= 0. htug l kostt c : c = A[j][]. Utuk kolom ke-k, d m : 0 <= k <= + termsuk kolom g bers vektor b) htuglh : temp = c * A[][k] A[j][k] = A[j][k] - temp 8. Htug kr deg cr melkuk substtus mudur sbb : 6

37 - Utuk deks ke-, d m : 0 <= < tmplk kr [] = A[][] ) Msukk mtrk A, d vektor B besert ukur ) But ugmeted mtrk [A B] mk deg A ) Utuk brs ke dm = s/d ) Perhtk pkh l, sm deg ol : Bl : pertukrk brs ke d brs ke +k, dm +k, tdk sm deg ol, bl tdk d berrt perhtug tdk bs dljutk d proses dhetk deg tp peeles. Bl tdk : ljutk b) Jdk l dgol mejd stu, deg cr utuk setp kolom k dm k= s/d +, htug, k, k, ) Utuk brs ke j, dm j = + s/d Lkuk opers brs elemeter: utuk kolom k dm k= s/d Htug c = j, Htug j, k j, k c., k ) Peeles, utuk = s/d bergerk dr brs ke smp brs pertm), C. TUGAS PENDAHULUAN Sebuh dustr membut tg mcm produk tu kurs, mej d lemr. Produk produk tersebut membutuhk tg jes bh tu ku pp, ku rg d pku pegut. Perhtk cotoh produk sebg berkut : bh produk 7

38 Spesks produk: kurs membutuhk ku pp, 6 rg d 0 pku. mej membutuhk ku pp, 6 rg d pku lemr membutuhk 0 ku pp, 0 rg d 0 pku Berp jumlh mej, kurs d lemr g dpt dbut bl tersed 08 ku pp, 04 ku rg d 76 pku? Guk metode guss, guss Jord d guss sedel secr mul. D. PERCOBAAN. Implemetsk lgortm d lowchrt g sudh dberk d dkerjk pd lpor pedhulu, llu s lembr lpor khr sepert orm lpor khr g dtetuk. Jlk progrm, kemud tmplk, tulsk ugmeted mtrk d hsl khr peeles persm ler smult prosedur o.. Lkuk peukr brs mtrk persm ler smult : brs II deg brs III pd mtrk wl g dkethu. Jlk progrm kemud tmplk, tulsk ugmeted mtrk d hsl khr peeles persm ler smult dr mtrk g telh dtukr brs. 4. Ap pegruh dr peukr brs pd mtrk prosedur 4. 8

39 E. LAPORAN RESMI FORM LAPORAN AKHIR Nm d NRP mhssw Judul Percob : METODE ELIMINASI GAUSS Jord Algortm : Lstg progrm g sudh ber : Hsl percob :. Augmeted mtrk sl :. Percob dlkuk deg : MAX_ITER= d e=. Utuk l wl =,, ) ) ) ) e Dlkuk mml 4 kl deg 4 l wl g berbed 4. Peeles khr persm ler smult : =. =. =. 5. Ulg lgkh s/d 4 utuk mtrk peukr brs, kemud lkuk utuk mtrk peukr kolom Ap pegruh dr pertukr brs mtrk persm ler smult : Peetu l wl tp vrbel bebs deg jumlh ters khr 9

40 40

41 PRAKTIKUM 5 PERSAMAAN LINIER SIMULTAN A. TUJUAN PEMBELAJARAN o Memhm d mmpu meerpk o Metode Guss Sedel o Pvotg o Cotoh Ksus Persm Ler Smult B. DASAR TEORI Metode ters Guss-Sedel dlh metode g megguk proses ters hgg dperoleh l-l g berubh. Bl dkethu persm ler smult: Berk l wl dr setp = s/d ) kemud persm ler smult dts dtulsk mejd:... b b b Deg meghtug l-l = s/d ) megguk persm-persm d ts secr terus-meerus hgg l utuk setp = s/d ) sudh sm deg l pd ters b b b b 4

42 sebelum mk dperoleh peeles dr persm ler smult tersebut. Atu deg kt l proses ters dhetk bl selsh l = s/d ) deg l pd ters sebelum kurg dr l tolers error g dtetuk. Ctt: Ht-ht dlm meusu sstem persm ler ketk megguk metode ters Guss- Sedel. Perhtk setp koese dr msg-msg pd semu persm d dgol utm ). Letkk l-l terbesr dr koese utuk setp pd dgol utm. Mslh dlh mslh pvotg g hrus ber-ber dperhtk, kre peusu g slh k meebbk ters mejd dverge d tdk dperoleh hsl g ber. Algortm Metode Iters Guss-Sedel dlh sebg berkut: Algortm Elms Guss-Jord sums : deks rr sellu dmul dr 0). Msukk jml ordo mtrks d putk msg-msg eleme ugmeted mtrks A. Msukk l epslo ep) utuk metolerr l pvot. Lkuk pegecek pvot mul dr kolom ke-, d m : 0 <= < lkuk :. pvot = A[][] b. besr = ; c. jk pvot < ep, mk perlu dlkuk pertukr brs sbb : - utuk brs ke-p, d m : + <= p < lkuk jk pvot < A[p][], mk pvot = A[p][] besr = p - tukr_brs ke- deg brs ke-besr 4. Lkuk pertukr brs ke- deg brs ke-besr - Utuk kolom ke-j, d m : 0 <= j <= lkuk : - temp[j] = A[][j] - A[][j] = A[besr][j] - A[besr][j] = temp[j] 5. Utuk kolom ke-, d m : 0 <= < - lkuk OBE opers brs elemeter) pd brs-brs d BAWAH dgol sbb : Utuk brs ke-j, d m: + <= j <. htug l kostt c : c = A[j][] / A[][] 4

43 . Utuk kolom ke-k, d m : vektor b) htuglh : temp = c * A[][k] A[j][k] = A[j][k] - temp 0 <= k < + termsuk kolom g bers 6. Utuk brs ke-j, d m : 0 <= j < lkuk opers utuk mejdk semu eleme pd dgol berl sbb : pvot = A[j][j] Utuk kolom ke-k, d m : 0 <= k < htuglh : A[j][k] = A[j][k] / pvot 7. Utuk kolom ke-, d m : 0 <= < lkuk OBE opers brs elemeter) pd brs-brs d ATAS dgol sbb : Utuk brs ke-j, d m: - >= j >= 0. htug l kostt c : c = A[j][]. Utuk kolom ke-k, d m : 0 <= k <= + termsuk kolom g bers vektor b) htuglh : temp = c * A[][k] A[j][k] = A[j][k] - temp 8. Htug kr deg cr melkuk substtus mudur sbb : - Utuk deks ke-, d m : 0 <= < tmplk kr [] = A[][] C. TUGAS PENDAHULUAN Sebuh dustr membut tg mcm produk tu kurs, mej d lemr. Produk produk tersebut membutuhk tg jes bh tu ku pp, ku rg d pku pegut. Perhtk cotoh produk sebg berkut : bh produk Spesks produk: kurs membutuhk ku pp, 6 rg d 0 pku. mej membutuhk ku pp, 6 rg d pku 4

44 lemr membutuhk 0 ku pp, 0 rg d 0 pku Berp jumlh mej, kurs d lemr g dpt dbut bl tersed 08 ku pp, 04 ku rg d 76 pku? Guk metode guss, guss Jord d guss sedel secr mul. D. PERCOBAAN. Implemetsk lgortm d lowchrt g sudh dberk d dkerjk pd lpor pedhulu, llu s lembr lpor khr sepert orm lpor khr g dtetuk. Jlk progrm, kemud tmplk, tulsk ugmeted mtrk d hsl khr peeles persm ler smult prosedur o.. Lkuk peukr brs mtrk persm ler smult : brs II deg brs III pd mtrk wl g dkethu. Jlk progrm kemud tmplk, tulsk ugmeted mtrk d hsl khr peeles persm ler smult dr mtrk g telh dtukr brs. 4. Ap pegruh dr peukr brs pd mtrk prosedur 4. 44

45 E. LAPORAN RESMI Kumpulk hsl percob d ts, tmbhk dlm lpor resm low chrt FORM LAPORAN AKHIR Nm d NRP mhssw Judul Percob : METODE ELIMINASI GAUSS SEIDEL tm : Algor Lstg progrm g sudh ber : Hsl percob : 5. Augmeted mtrk sl : 6. Percob dlkuk deg : MAX_ITER= d e= 7. Utuk l wl =,, ) ) ) ) e Dlkuk mml 4 kl deg 4 l wl g berbed 8. Peeles khr persm ler smult : =. =. =. 5. Ulg lgkh s/d 4 utuk mtrk peukr brs, kemud lkuk utuk mtrk peukr kolom Ap pegruh dr Pertukr brs tersebut : 45

46 PRAKTIKUM 6 INTEGRASI A. TUJUAN PEMBELAJARAN Memhm d mmpu meerpk Metode Itegrs Rem Metode Trpezod Metode Smpso B. DASAR TEORI Perhtug tegrl dlh perhtug dsr g dguk dlm klkulus utuk bk keperlu. Itegrl secr detve dguk utuk meghtug lusderh g dbts oleh ugs = ) d sumbu. Perhtk gmbr berkut: Gmbr 6. Lus derh kurv Lus derh g drsr L dpt dhtug deg : b L ) d Pd beberp permslh perhtug tegrl, dpt dhtug secr muldeg mudh, tetp pd bk permslh tegrl sult sekl dhtug bhk dpt dktk tdk dpt dhtug secr mul. Pd peerp, perhtug tegrl dguk utuk meghtug lus re pd pet, volume permuk th, meghtug lus d volume-volume bed putr dm ugs ) tdk dtuls, h dguk gmbr utuk mejk l ). Sebg cotoh, dkethu oto derh sebg berkut: 46

47 Gmbr 6. Lus derh Utuk meghtug lus derh g drsr L, perlu dguk ls umerk.kre pol dsjk dlm gmbr deg ktor skl tertetu. Metode tegrl Rem merupk metode tegrl g dguk dlm klkulus, d ddesk deg: b ) d lm 0 0 ) Pd metode, lus g dbts oleh = ) d sumbu dbg mejd N bg pd rge =, b g k dhtug.kemud dhtug tgg dr setp tep ke-i tu ).L dlh lus setp perseg pjg dm L = ) *cos*)*ep-*)+0.5 *cos*)*ep-*) L 0 L L L L - L Lus keseluruh dlh jumlh L d dtulsk : b 47

48 L L L L 0.. L Bl dmbl berkut : 0 L mk ddpt metode tegrl remm sebg b d h 0 Algortm Metode Itegrl Rem: ) Desk ugs ) ) Tetuk bts bwh d bts t tegrs ) Tetuk jumlh pembg re N 4) Htug h=b-)/n 5) Htug L h. N 0 ) Tbel 6. perhtug tegrl deg metode Rem Metode Trpezod Pd metode tegrl Rem setp derh bg dtk sebg empt perseg pjg deg tgg ) d lebr. Pd metode trpezod setp bg dtk sebg trpezum sepert pd gmbr berkut: 48

49 Lus trpesum ke- L ) dlh: L ) ). tu L. D lus keseluruh dhtug deg mejumlhk lus seluruh trpesum: Sehgg dperoleh: L 0 Cotoh ecel Trpezod )=e - s+ h L h L 0 0 Algortm ) Desk ugs ) ) Tetuk l bts bwh, bts ts b, d jumlh pembg N b ) ) Htug h N 4) Utuk =0 smp deg =N htug: 5) Htug h 6) Htug ) 7) Jk I terletk tr 0 d N mk ) 8) Jk =0 tu =N mk tdk dklk. 9) Htug h L 0 0) Htug l tegrl secr eksk / klkulus ) Htug l error = L eksk ) Tmplk l,, d ) dlm betuk tbel, tmplk l L, eksk, d error. 49

50 50 Tbel 6. Metode Trpezod Metode Smpso / Metode tegrs Smpso merupk pegembg metode tegrs trpezod, h sj derh pembg buk berup trpesum tetp berup du buh trpesum deg megguk pembobot bert d ttk tegh sepert telht pd gmbr berkut. Atu deg kt l metode dlh metode rt-rt deg pembobot kudrt. Bl megguk trpesum lus bgu d ts dlh: h h h L Pemk tur smpso dm bobot sebg ttk tegh dklk deg utuk meghtug lus bgu dts dpt dtulsk deg: 4 h h h L Perhtk gmbr berkut: Deg megguk tur Smpso, lus dr derh g dbts ugs ) d sumbu dpt dhtug sebg berkut: h h h h h L 0 Dpt dtulsk deg:

51 h L 0 4 gjl Cotoh ecel Smpso / )=e - s+ gep Algortm ) Desk ugs ) ) Tetuk l bts bwh, bts ts b, d jumlh pembg N b ) ) Htug h N 4) Utuk =0 smp deg =N htug: 5) Htug h 6) Htug ) 7) Jk I terletk tr 0 d N mk:. Jk dlh gep mk ), jk tdk 4 ) 8) Jk =0 tu =N mk ) tetp. h 9) Htug L 0 4 gjl gep 0) Htug l tegrl secr eksk / klkulus ) Htug l error = L eksk Tmplk l,, d ) dlm betuk tbel, tmplk l L, eksk, d error. Tbel 6. Metode Smpso 5

52 C. TUGAS PENDAHULUAN Tulsk dsr-dsr komputs dr metode Rem, Trpezod, d Smpso utuk meelesk tegrs umerk, sebg berku : dsr teor, lgortm d lowchrt D. PERCOBAAN. Ddesk sutu ugs g k dcr l tegrl : = )d 0. Implemetsk lgortm g sudh dberk d dkerjk pd lpor pedhulu, llu s lembr lpor khr sepert orm lpor khr g dtetuk. Jlk progrm, deg memsukk berbg mcm l jumlh pembg re =blh,=n), d tulsk semu hsl g telh dcob mbl N=0, 0, 50, 00, 500 d 000) 4. Htug pul l error dr selsh lus eksk d lus deg semu metode dts 5. Ap pegruh besl kecl l N terhdp error g dhslk 6. Bdgk ketg metode tersebut. 5

53 E. LAPORAN RESMI Kumpulk hsl percob d ts, tmbhk dlm lpor resm low chrt Judul Percob : Algortm : FORM LAPORAN AKHIR Nm d NRP mhssw Lstg progrm g sudh ber : Hsl percob : 9. Rge bts bwh d bts ts = [, ] 0. Jumlh pembg re N =blh) =. Nl L lus deg Metode Smpso =. Nl L lus eksk klkulus) =. Nl e error = No s/d 5 dulg utuk N=0, 0, 50, 00, 500 d 000 Ap pegruh besl kecl l N pd error g dhslk : 5

54 PRAKTIKUM 7 DIFFERENSIASI NUMERIK A. TUJUAN PEMBELAJARAN Memhm d mmpu meerpk o Selsh Mju o Selsh Tegh o Selsh Tegh B. DASAR TEORI Persol meghtug turu ugs cukup bk mucul dlm bdg reks. Msl dlm bdg pegolh ctr mge processg), turu ugs dterpk utuk medeteks ss edge) obek pd sutu ctr lht bg terkhr bb ). Semetr dlm perhtug umerk sedr, turu ugs dlm orde g lebh tgg, ', ", "',, kdgkdg dperluk. Msl utuk meghtug bts-bts glt terpols polom deg rumus tu utuk meghtug glt tegrs umerk deg tur trpesum : Bl persm ugs ) dberk secr eksplst, mk kt dpt meetuk ugs turu, '), "),, +) ), llu megguk utuk meghtug l turu ugs d = t. Sergkl ugs ) tdk dkethu secr eksplst, tetp kt h memlk beberp ttk dt sj. Pd ksus sepert kt tdk dpt meemuk l turu ugs secr 54

55 ltk. Seblk, pd ksus l, meskpu ) dkethu secr eksplst tetp betuk rumt sehgg meetuk ugs turu merupk pekerj g tdk mgkus d tdk prkts, msl pd ugs-ugs berkut : Utuk kedu ksus terkhr, perhtug l turu dpt dkerjk secr umerk umercl deretto tu umercl dervtve). Nl turu g dperoleh merupk l hmpr. Sebgm hl pd tegrs umerk, perhtug turu umerk jug megguk l-l dskrt. Kre tu, ugs dlm betuk tbel merupk betuk lm utuk perhtug turu. PERSOALAN TURUNAN NUMERIK Persol turu umerk lh meetuk hmpr l turu ugs g dberk dlm betuk tbel. Meskpu metode umerk utuk meghtug turu ugs tersed, tetp perhtug turu sedpt mugk dhdr. Als, l turu umerk umum kurg telt dbdgk deg l ugs. Dlm ket, turu dlh lmt dr hsl bg selsh: tu pegurg du buh l g besr +h) - ) ) d membg deg blg g kecl h). Pembg dpt meghslk turu deg glt g besr. Lg pul, jk ugs dhmpr oleh polom terpols p, selsh l ugs mugk kecl tetp turu boleh jd sgt berbed deg l turu sejt. Hl msuk kl sebb turu umerk berst "hlus", d berlw deg tegrs umerk, g tdk bk dpegruh oleh ketdktelt l ugs, kre tegrs pd dsr dlh proses peghlus [KRE88]. Metode selsh mju Utuk meghtug deresl dpt dguk metode selsh mju tu : 55

56 Utuk meghtug deresl mk dmbl h g kecl, kre error dr metode : Gmbr Metode Selsh mju Algortm Selsh Mju dlh sebg berkut: ) Desk ugs ) g k dcr l turu ) Desk ugs turu eksk) seber ) Msukk l pedekt wl : bts bwh, bts ts b, d l step h 4) Utuk = smp deg b htug : ) = h) ) h 5) Tmplk l, ), ) d eksk) Metode selsh tegh merupk metode pegmbl perubh dr du ttk sektr dr ttk g dukur.perhtk selsh mju pd ttk -h dlh : h h D selsh mju pd ttk dlh : h h h Metode selsh tegh merupk rt-rt dr du selsh mju : 56

57 ) = Atu dtulsk : ) = h h h Keslh pd metode dlh : E) = h 6 Tbel 7. metode mju Selsh Tegh Metode selsh tegh merupk metode pegmbl perubh dr du ttk sektr dr ttk g dukur.perhtk selsh mju pd ttk -h dlh: Metode selsh tegh merupk rt-rt dr du selsh mju : Atu dtulsk: Error pd metode dlh: 57

58 Algortm Selsh Tegh dlh sebg berkut ) Desk ugs ) g k dcr l turu ) Desk ugs turu eksk) seber ) Msukk l pedekt wl : bts bwh, bts ts b, d l step h 4) Utuk = smp deg b htug : ) = h h h 4) Tmplk l, ), ) d eksk) Tbel 7. Metode Tegh Selsh Mudur Metode selsh mudur merupk metode pegmbl ttk keblk dr metode mju. Perhtk selsh mudur pd ttk -h dlh : Metode selsh tegh merupk rt-rt dr du selsh mju : 58

59 Error pd metode dlh: Algortm Selsh Mudur dlh sebg berkut:. Desk ugs ) g k dcr l turu.. Desk ugs turu eksk) seber.. Msukk l pedekt wl : bts bwh, bts ts b, d l step h. 4. Utuk = smp deg b htug : 5. Tmplk l, ), ) d eksk) Tbel 7. Mudur C. TUGAS PENDAHULUAN Tulsk dsr-dsr komputs dr ketg metode dts utuk meelesk deress umerk, sebg berkut :.Judul : METODE. Dsr teor dr metode. Algortm d Flowchrt 59

60 D. PERCOBAAN. Ddesk sutu ugs g k dcr l deresl : )=e - s)+. Implemetsk lgortm g sudh dberk d dkerjk pd lpor pedhulu, llu s lembr lpor khr sepert orm lpor khr g dtetuk. Jlk progrm, deg memsukk berbg mcm l h d tulslh semu hsl g telh dcob h= ) 4. Htug pul l error dr selsh l ugs turu eksk d l ugs turu selsh Mudur, dkhr ters dptk rt-rt error 5. Ap pegruh besr kecl l h terhdp l rt-rt error o.4 60

61 E. LAPORAN RESMI FORM LAPORAN AKHIR Nm d NRP mhssw Judul Percob : METODE Algortm Lstg progrm g sudh ber : Hsl percob : 4. Rge bts bwh d bts ts = [, ] 5. Itervl h = Dlkuk mml 4 kl) ) ) eksk) error 6

62 PRAKTIKUM 8 PENYELESAIAN KASUS A. TUJUAN PEMBELAJARAN o Memhm d mmpu meerpk Revew dr Pertemu smp deg 7 B. TUGAS PENDAHULUAN Peljr mter dr prtkum smp deg 7 C. PERCOBAAN. Sebuh sl DTMF mempu persm : s)+s). Tetuk l mksml dr sl tersebut utuk bts 0 s/d, megguk metode Sect.. Tetuk ttk potog kurv = e- deg = utuk bts [-,]. Guk metode Sect d Newto Rphso. Bdgk jumlh ters d keslh.. Guk metode Newto Rphso, Regul Fls d Sect utuk meghtug kr dr 0. Bdgk jumlh ters d keslh. But kesmpul. 4. Perhtk bhw pd ke-4 ttk tersebut dhubugk deg grs lurus, sehgg tmpk ksr. Utuk meghlusk dlkuk pedekt grs deg kurv g dbetuk deg ugs pedekt poloml. Dr ugs poloml g dhslk kurv dpt dgmbrk deg lebh hlus. Mslk pd cotoh dts, 4 ttk g dtujuk dlh,), 7,6), 8,4) d,0). 4 ttk dpt ddekt deg ugs polom pgkt 6

63 5. Tetuk lus dr D. LAPORAN RESMI Kumpulk hsl percob d ts, tmbhk dlm lpor resm low chrt 6

64 PRAKTIKUM 9 PERASAMAAN DEFFRENSIAL BIASA A. TUJUAN PEMBELAJARAN o Memhm d mmpu meerpk Plotg dr persm Deresl B. DASAR TEORI Persm deresl dpt dbedk mejd du mcm tergtug pd jumlh vrbel bebs. Apbl persm tersebut megdug h stu vrbel bebs, persm dsebut deg persm deresl prsl. Derjt order) dr persm dtetuk oleh derjt tertgg dr turu. Sebg cotoh persm deresl bs d bwh dlh berorder stu, kre turu tertgg dlh turu pertm. d d Sedg persm deresl bs berorder du megdug turu kedu sebg turu tertgg, sepert betuk d bwh : d d 0 d d Cotoh persm deresl prsl deg vrbel bebs d t dlh: t 64

65 Peeles persm deresl dlh sutu ugs g memeuh persm deresl d jug memeuh kods wl g dberk pd persm tersebut. D dlm peeles persm deresl secr lts, bs dcr peeles umum g megdug kostt sembrg d kemud megevlus kostt tersebut sedemk sehgg hsl sesu deg kods wl. Metode peeles persm deresl secr lts terbts pd persm-persm deg betuk tertetu, d bs h utuk meelesk persm ler deg koese kost. Mslk sutu persm deresl bs berorder stu, sebg berkut: d 9.) d Peeles dr persm tersebut dlh: C e 9.) g memberk bk ugs utuk berbg l koese C. Gmbr 8., meujukk beberp kemugk dr peeles persm 8.), g tergtug pd l C. Utuk medptk peeles tuggl dperluk orms tmbh, msl l ) d tu turu pd l tertetu. Utuk persm order bs dperluk kods utuk medptk peeles tuggl ). Apbl semu kods dberk pd l g sm msl 0 ), mk permslh dsebut deg problem l wl. Apbl dlbtk lebh dr stu l, permslh dsebut deg problem l bts. Msl persm 8.), dsert kods wl tu = 0, l = tu: 0) 9.) Substtusk persm 9.) ke dlm persm 9.) memberk: tu C e C = 0 Deg demk peeles tuggl g memeuh persm: dlh: d d 0) 65

66 e Gmbr 9.. Peeles persm d d Metode peeles umerk tdk d bts mege betuk persm deresl. Peeles berup tbel l-l umerk dr ugs utuk berbg vrbel bebs. Peeles sutu persm deresl dlkuk pd ttk-ttk g dtetuk secr berurut. Utuk medptk hsl g lebh telt mk jrk tervl) tr ttk-ttk g berurut tersebut dbut semk kecl. Peeles persm 9.) d persm 9.) dlh mecr l sebg ugs dr. Persm deresl memberk kemrg kurve pd setp ttk sebg ugs d. Htug dmul dr l wl g dkethu, msl d ttk 0, 0 ). Kemud dhtug kemrg kurve grs sggug) d ttk tersebut. Berdsr l 0 d ttk 0 d kemrg ugs d ttk-ttk tersebut dpt dhtug l d ttk g berjrk dr 0. Seljut ttk, ) g telh dperoleh tersebut dguk utuk meghtug l d ttk g berjrk dr. Prosedur htug tersebut dulg lg utuk medptk l seljut, sepert pd Gmbr

67 Gmbr 9.. Peeles umerk persm deresl Dlm Mtlb, deresl utuk ugs polom dlh relt mudh. Msl ) = mk mblh koese koese. Cotoh: >> g=[ 5 7 ] g = 5 7 >> h=polderg) h = Betuk-betuk deeresl l jug bs dperoleh plg jk megguk smbolc mth toolbo. Tp tdk setp mtlb dlegkp deg toolbo. Nmu tu tdk mslh, kt k cob membut sedr peeles deg memtk deret Tlor. Deresl Numerk ucto q=dgeuc,,,h); =) ==) ==) ==4)) c=zeros4,7); c,:)=[ ]; c,:)=[ ]; 67

68 c,:)=[ ]; c4,:)=[ ]; =evluc,+ [-:]*h); q=c,:)*' ; q = q/*h^); else dsp' hrus,, tu 4 ');brek ed Peggu ugs dts: Jk kt mempu = cos) d kt k meghtug turu kedu deg =. deg h tu ketelt 0.0 mk dtulsk: >> hsl=dge'cos',,.,.0) hsl = Jk kt g meghtug sebuh deresl dsutu ttk mk kt hrus medesk ugs terlebh dhulu. C. TUGAS PENDAHULUAN Peljr tetg persm dresl bs D. PERCOBAAN Lkuk percob dts deg mthlb E. LAPORAN RESMI Kumpulk hsl percob d ts 68

69 PRAKTIKUM 0 PERASAMAAN DEFFRENSIAL BIASA A. TUJUAN PEMBELAJARAN Memhm d mmpu meerpk o Metode Euler o Metode Tlor Plotg B. DASAR TEORI Betuk persm deresl berkut: ', ) d dlh ugs dlm. Deg megguk pedekt l wl 0, 0 ) mk l-l berkut dt dperoleh deg: h., Deg demk dpt dtk bhw: ) ) Msuk g dperluk dlm meelesk persm deresl deg megguk metode Euler dlh : Nl pedekt wl 0, 0 ) Jumlh ters N Step h ) Kelur g dhslk oleh metode dlh l-l pd setp g bertmbh deg step h. ) Bl d dtbelk k dpt dbetuk grk dr hsl peeles persm deresl tersebut. 69

70 Algortm dr Metode Euler: ) Desk model dr persm deresl dlm,) ) Msukk l pedekt wl 0) d 0) ) Msukk l mksmum ters N d l step h. 4) Utuk =0 smp deg N )=0+h* +)=)+h*),)) 5) Tmplk l ) d ) dlm tble utuk =0 s/d N Metode Tlor dlh sutu metode pedekt g megguk deret Tlor sebg betuk perbk l utuk l ugs secr keseluruh pd peeles persm deresl. Deg memberk l pedekt wl 0, 0 ), peeles dpt dperoleh deg: dm : ' " ), ) ", ) ) ', ) ) 0 ) 0 0 ) ' 0 ) " 0 ) 0 )! k! ', ) ' " ' ) ) ' 0 k k) Algortm dr Metode Tlor: ) Desk model dr persm deresl dlm,) ) Desk model turu ke dr,) ) Msukk l pedekt wl 0) d 0) 4) Msukk l mksmum ters N d l step h. 5) Msukk jumlh suku mksmum K dr deret Tlor g dguk 6) Utuk = smp deg N )=0+h* 70

71 ) 0 K k ) 0) k! k k ) 0, 0) 7) Tmplk l ) d ) dlm tble utuk =0 s/d N C. TUGAS PENDAHULUAN Tulsk dsr-dsr komputs dr metode Euler d tlor utuk meelesk persm deresl sebg berkut:. Judul :. Dsr teor dr metode. Algortm d lowchrt D. PERCOBAAN. Ddesk persol dr persm deresl deg ugs sebg berkut: d d. Tulsk lstg progrm g sudh dbut pd tugs pedhulu, llu s lembr lpor khr sepert orm lpor khr g dtetuk.. Jlk progrm deg memsukk berbg mcm l wl d tulsk semu hsl g telh dcob 4. Bdgk hsl deg megguk peeles ltk e 5. Selesek deg kedu metode. 6. Ap pegruh l wl terhdp peeles persm deresl. 7

72 E. LAPORAN RESMI FORM LAPORAN AKHIR Nm d NRP mhssw Judul percob : METODE Algortm Lstg progrm g sudh ber Hsl percob : Percob dlkuk deg h = d N = Utuk l wl =, ) ) ) e) Dlkuk mml 4 kl) 7

73 Error dukur deg mebdgk hsl komputs deg hsl perhtug ltk. Rtrt selsh Error dlh Pegruh l wl pd peeles persm deresl dlh 7

74 PRAKTIKUM PERASAMAAN DEFFRENSIAL BIASA A. TUJUAN PEMBELAJARAN o Memhm d mmpu meerpk Metode Ruge Kutt B. DASAR TEORI Metode Ruge Kutt Metode Ruge-Kutt membut step g lebh kecl dr perubh l deg membg l perubh tp step mejd sejumlh bg g dtetuk, betuk plg sederh dr metode Ruge Kutt dlh membg bg perubh mejd du bg sehgg : h d. h. dm d dlh l ugs step g dmbl dr betuk ugs persm deresl pd step tegh. Sehgg dperoleh ormuls dr Metode Ruge-Kutt sebg berkut: k k dm: k h., ) k h. h, ) k ) Algortm Metode Ruge Kutt : ) Desk model dr persm deresl dlm,) ) Msukk l pedekt wl 0) d 0) 74

75 75 ) Msukk l mksmum ters N d l step h. 4) Utuk = smp deg N )=0+h* )) ),. h k ) ), ). k h h k ) ) ) k k 5) Tmplk l ) d ) dlm tble utuk =0 s/d N Metode Ruge Kutt 4 Bl pd metode Ruge-Kutt 4, l koese perbk dlh 4 buh, mk pd metode megguk 4 l koese perbk tu k, k, k, k 4 g dberk sebg berkut: 4 6 k k k k dm : ),. h k,. k h h k,. k h h k 4,. k h h k Algortm dr Metode Ruge Kutt 4: ) Desk model dr persm deresl dlm,) ) Msukk l pedekt wl 0) d 0) ) Msukk l mksmum ters N d l step h. 4) Utuk = smp deg N )=0+h*

76 k h. ), )) k h. ) h/, ) k/ ) k h. ) h/, ) k/ ) k4 h. ) h, ) k) ) ) k. k. k k4) 6 6) Tmplk l ) d ) dlm tble utuk =0 s/d N C. Tugs Pedhulu Tulsk dsr-dsr komputs dr metode Ruge Kutt utuk meelesk persm deresl sebg berkut: ) Judul : METODE RUNGE KUTTA 4 ) Dsr teor dr metode Euler ) Algortm d lowchrt D. Percob. Ddesk persol dr persm deresl deg ugs sebg berkut:. d d. Tulsk lstg progrm g sudh dbut pd tugs pedhulu, llu s lembr lpor khr sepert orm lpor khr g dtetuk.. Jlk progrm deg memsukk berbg mcm l wl d tulsk semu hsl g telh dcob 4. Jlk progrm deg memsukk berbg l K, d tulsk semu hsl g telh dcob 5. Bdgk hsl deg megguk peeles ltk e 6. Ap pegruh l wl terhdp peeles persm deresl. 76

77 77 PRAKTIKUM PERSAMAANDIFFERENSIAL TINGKAT TINGGI A. TUJUAN PEMBELAJARAN o Memhm d mmpu meerpk Metode Ruge Kutt B. DASAR TEORI Metode Ruge Kutt Perhtk persm deresl tgkt berkut: d d F d d,, Ubh vrbel: = d z= sehgg dperoleh persm deresl tgkt stu berkut: ),, ' ' z F z z berrt dperoleh ugs msg-msg: ),, ),, ),, z F z g z z Deg megguk metode Ruge-Kutt dperoleh: l l z z k k dm: ),,. z h k ),,. z h g l ),,. l z k h h k ),,. l z k h h g l

78 78 Algortm Metode Ruge Kutt : ) Desk model dr persm deresl dlm,,z) ) Msukk l pedekt wl 0), 0) d z0) dm z0)= 0) ) Msukk l mksmum ters N d l step h. 4) Utuk =0 smp deg N )=0+h* ) ), ),. z h k ) ), ),. z h g l ), ), ). l z k h h k ), ), ). l z k h h g l 5) Tmplk l ), ) d z) dlm tble utuk =0 s/d N Metode Ruge Kutt 4 Perhtk persm deresl tgkt berkut: d d F d d,, Ubh vrbel: = d z= sehgg dperoleh persm deresl tgkt stu berkut: ),, ' ' z F z z berrt dperoleh ugs msg-msg: ),, ),, ),, z F z g z z Deg megguk metode Ruge-Kutt dperoleh: l l z z k k dm: ),,. z h k ),,. z h g l ),,. l z k h h k

79 l k l h. g h, k, z ) l k k k l h. h,, z ) k l h. g h,, z ) h. h, k, z ) 4 l h. g h, k, z ) 4 l Algortm Metode Ruge Kutt 4: ) Desk model dr persm deresl dlm,,z) ) Msukk l pedekt wl 0), 0) d z0) dm z0)= 0) ) Msukk l mksmum ters N d l step h. 4) Utuk =0 smp deg N )=0+h* k h. ), ), z ) l h. g ), ), z ) k h. ) h, ) k/, z ) l/ l h. g ) h, ) k/, z ) l/ k h. ) h, ) k/, z ) l/ l h. g ) h, ) k/, z ) l/ k4 h. ) h, ) k, z ) l l4 h. g ) h, ) k, z ) l 4) Tmplk l ), ) d z) dlm tble utuk =0 s/d N C. Pedhulu Tulsk dsr-dsr komputs dr metode Ruge Kutt 4 utuk meelesk persm deresl sebg berkut: ) Judul : METODE RUNGE KUTTA 4 UNTUK MENYELESAIAKAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL TINGKAT TINGGI ) Dsr teor dr metode Ruge Kutt 4 79

80 ) Algortm d lowchrt D. Percob. Ddesk persol dr persm deresl deg ugs sebg berkut: d d. Tulsk lstg progrm g sudh dbut pd tugs pedhulu, llu s lembr lpor khr sepert orm lpor khr g dtetuk.. Jlk progrm deg memsukk berbg mcm l wl d tulsk semu hsl g telh dcob 4. Bdgk hsl deg megguk peeles ltk s ) 5. Ap pegruh l wl terhdp peeles persm deresl. E. LAPORAN RESMI Kumpulk hsl percob d ts, tmbhk dlm lpor resm low chrt 80

81 PRAKTIKUM INTERPOLASI_ A. TUJUAN PEMBELAJARAN o Memhm d mmpu meerpk o Ler o Lgrge Cotoh Ksus Iterpols B. DASAR TEORI Mempeljr berbg metode Iterpols g d utuk meetuk ttk-ttk tr dr buh ttk deg megguk sutu ugs pedekt tertetu. Metode Iterpols g dpeljr :. Iterpols Ler. Iterpols Kudrtk. Iterpols Poloml 4. Iterpols Lgrge Dsr Teor : Iterpols ler Meetuk ttk-ttk tr dr buh ttk deg megguk grs lurus. 8

82 0.5* Q,) P, ).8.6 P, ) Gmbr.. Kurv utuk terpols ler Persm grs lurus g mellu ttk P, ) d P, ) dpt dtulsk deg: Sehgg dperoleh persm dr terpols ler sebg berkut: Algortm Iterpols Ler: ) Tetuk du ttk P d P deg koordt msg-msg,) d,) ) Tetuk l dr ttk g k dcr ) Htug l deg : 4) Tmplk l ttk g bru Q,) Iterpols Kudrtk 8

83 8 Iterpols Kudrtk dguk utuk mecr ttk-ttk tr dr buh ttk P, ), P, ) d P, ) deg megguk pedekt ugs kudrt. Gmbr.. Kurv utuk terpols kudrtk Utuk memperoleh ttk Q,) dguk terpols kudrtk sebg berkut: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Algortm Iterpols Kudrtk: ) Tetuk ttk put P, ), P, ) d P, ) ) Tetuk l dr ttk g k dcr ) Htug l dr ttk g dcr megguk rumus dr terpols kudrtk: ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ***-9*+ P, ) P, ) P, ) Q,)

84 84 4) Tmplk l d Iterpols Poloml Iterpols poloml dguk utuk mecr ttk-ttk tr dr buh ttk P, ), P, ), P, ),, P N N, N ) deg megguk pedekt ugs poloml pgkt -: 0 Msukk l dr setp ttk ke dlm persm poloml d ts d dperoleh persm smult deg persm d vrble bebs: Peeles persm smult d ts dlh l-l 0,,,,, g merupk l-l koese dr ugs pedekt poloml g k dguk. Deg memsukk l dr ttk g dcr pd ugs poloml, k dperoleh l dr ttk tersebut. Algortm Iterpols Poloml : ) Meetuk jumlh ttk N g dkethu. ) Memsukk ttk-ttk g dkethu ), P utuk =,,,,N ) Meusu ugmeted mtrk dr ttk-ttk g dkethu sebg berkut: J 4) Meelesk persm smult deg ugmeted mtrk d ts deg megguk metode elms guss/jord.

85 5) Meusu koese ugs poloml berdsrk peeles persm smult d ts. J, ),0 6) Memsukk l dr ttk g dkethu 7) Meghtug l dr ugs poloml g dhslk N 0 8) Memplk ttk,) Iterpols Lgrge Iterpols poloml dguk utuk mecr ttk-ttk tr dr buh ttk P, ), P, ), P, ),, P N N, N ) deg megguk pedekt ugs poloml g dsusu dlm kombs deret d ddesk deg: ) N j j j ) Algortm Iterpols Lgrge : ) Tetuk jumlh ttk N) g dkethu ) Tetuk ttk-ttk P, ) g dkethu deg =,,,,N ) Tetuk dr ttk g dcr 4) Htug l dr ttk g dcr deg ormuls terpols lgrge ) N j j j ) 5) Tmplk l,) Dkethu 5 buh ttk sebg berkut: ) ) 85

86 Tetuk ttk-ttk pd =,, 5, 8, 9, d Petujuk: ) Tulsk progrm dr lowchrt g sudh sudr but pd tugs pedhulu. ) Deg megguk sol d ts, jlk progrm d msukk l-l ttk g dkethu d jumlh ttk ) Msukk l-l dr ttk-ttk g dcr 4) Tmplk hsl dr ttk-ttk. 5) Smp semu ttk-ttk bk g dkethu mupu hsl perhtug ke dlm le teks 6) Deg megguk guplot, tmplk grk dr le teks g sudh dbut. E. LAPORAN RESMI Kumpulk hsl percob d ts, tmbhk dlm lpor resm low chrt utuk meghtug l rt-rt dr blg g dputk, htug jumlh totl, htug mksml d mml blg. 86

87 PRAKTIKUM 4 INTERPOLASI_ Iterpols Lgrge Iterpols poloml dguk utuk mecr ttk-ttk tr dr buh ttk P, ), P, ), P, ),, P N N, N ) deg megguk pedekt ugs poloml g dsusu dlm kombs deret d ddesk deg: ) N j j j ) Algortm Iterpols Lgrge : 6) Tetuk jumlh ttk N) g dkethu 7) Tetuk ttk-ttk P, ) g dkethu deg =,,,,N 8) Tetuk dr ttk g dcr 9) Htug l dr ttk g dcr deg ormuls terpols lgrge ) N j j j ) 0) Tmplk l,) Tugs Pedhulu: ) Judul : Iterpols Poloml ) Dsr Teor ) Algortm D Flowchrt 87

88 Perhtk sol berkut : Dkethu 5 buh ttk sebg berkut: ) ) Tetuk ttk-ttk pd =,, 5, 8, 9, d Petujuk: ) Tulsk progrm dr lowchrt g sudh sudr but pd tugs pedhulu. ) Deg megguk sol d ts, jlk progrm d msukk l-l ttk g dkethu d jumlh ttk ) Msukk l-l dr ttk-ttk g dcr 4) Tmplk hsl dr ttk-ttk. 5) Smp semu ttk-ttk bk g dkethu mupu hsl perhtug ke dlm le teks 6) Deg megguk guplot, tmplk grk dr le teks g sudh dbut. 88

89 Lpor Akhr Judul : Iterpols Lgrge Algortm d Flowchrt : Lstg Progrm: Iput : ) ) Output : ) ) ) ) Hsl grk: 89

90 PRAKTIKUM 5 REGRESI A. TUJUAN PEMBELAJARAN o Memhm d mmpu meerpk o Kurv ttg o Ler o Poloml Cotoh Ksus Regres B. DASAR TEORI Regres Ler Regres ler dguk meetuk ugs ler grs lurus) g plg sesu deg kumpul ttk dt, ) g dkethu. m c Gmbr.. Sebr dt deg kurv ler Dlm regres ler g dcr dlh l m d c dr ugs ler =m+c, deg: m N N N N N N N 90

91 c N N m N N m Algortm regres ler ) Tetuk N ttk dt g dkethu dlm, ) utuk =,,,,N ) Htug l m d c deg megguk ormuls dr regres ler d ts ) Tmplk ugs ler 4) Htug ugs ler tersebut dlm rge d step d tertetu 5) Tmplk hsl tbel, ) dr hsl ugs ler tersebut. Regres Ekspoesl Regres ekspoesl dguk meetuk ugs ekspoesl g plg sesu deg kumpul ttk dt, ) g dkethu. Regres ekspoesl merupk pegembg dr regres ler deg memtk ugs logrtm. Perhtk : e b deg melogrtmk persm d ts k dperoleh: l l e b l b tu dpt dtulsk bhw: z b dm z l Deg demk dpt dguk regres ler dlm meetuk ugs ekspoesl g plg sesu deg dt. Algortm regres ekspoesl ) Tetuk N ttk dt g dkethu dlm, ) utuk =,,,,N ) Ubh l mejd z deg z = l 9

92 9 ) Htug l d b deg megguk ormuls dr regres ler d ts 4) Tmplk ugs ekspoesl b e 5) Htug ugs ekspoesl tersebut dlm rge d step d tertetu 6) Tmplk hsl tbel, ) dr hsl ugs ekspoesl tersebut. Regres Poloml Regres poloml dguk meetuk ugs poloml g plg sesu deg kumpul ttk dt, ) g dkethu. Fugs pedekt : 0 Regres poloml tgkt dkembgk dr model mtrk orml sebg berkut: 0 Hsl dr model mtrk orml d ts dlh l-l 0,,,,. Algortm Regres Poloml ) Tetuk N ttk dt g dkethu dlm, ) utuk =,,,,N ) Htug l-l g berhubug deg jumlh dt utuk megs mtrk orml ) Htug l koese-koese 0,,,, deg megguk elms guss/jord 4) Tmplk ugs poloml 0 5) Htug ugs poloml tersebut dlm rge d step d tertetu 6) Tmplk hsl tbel, ) dr hsl ugs poloml tersebut. C. TUGAS PENDAHULUAN ) Judul: Regres Poloml ) Dsr Teor

93 ) Algortm 4) Flowchrt.. Prosedur Percob ) Tulsk progrm dr regres poloml sesu deg lowchrt g sudh dbut pd tugs pedhulu. ) Jlk progrm d sk dt-dt sebg berkut: Jumlh produk Keutug ) Tmplk ugs poloml dr hsl regres ekspoesl. 4) Tmplk tble dr ugs hsl regres poloml pd g sm deg dt 5) Tmplk grk ugs poloml g dhslk. Lpor Akhr ) Judul: Regres Ekspoesl ) Lstg progrm ) Tulsk tbel dt d ts 4) Tulsk ugs ekspoesl hsl regres ekspoesl 5) Gmbrk dt d grs hsl regres 6) Als 9