Rita P Khotimah, Masduki 2) Kata Kunci: metode beda hingga order empat, full multigrid, persamaan Poisson, persamaan Laplace

Transkripsi

1 PENERPN METDE BED HINGG RDER EMPT DN FULL MULTIGRID UNTUK MENYELESIKN PERSMN PISSN DN LPLCE ) (pplication of Forth rder Finite Difference Method and Fll Mltigrid to Solve Poisson and Laplace Eqation) Rita P Khotiah Masdki ) strak Penelitian ini ertjan ntk encari algorita ang akrat dan efisien dala enelesaikan persaaan Poisson dan Laplace. Penggnaan etode eda hingga order epat ertjan agar penelesaian ang dihasilkan leih akrat. Penelesaian persaaan Poisson dan Laplace dengan enggnakan etode eda hingga enghasilkan siste persaaan linear. Untk enelesaikan persaaan linear ang dihasilkan dignakan salah sat etode penelesaian iteratif ait etode Jacoi. Untk siste ang esar penelesaian secara iteratif eerlkan operasi aritatika ang esar pla. kiatna penelesaian dengan enggnakan etode iteratif enjadi tidak efisien. Pada penelitian ini ntk eningkatkan efisiensi penelesaian secara iteratif dignakan teknik Fll Mltigrid. Teknik fll ltigrid dignakan ntk endapatkan nilai awal ang aik agi proses penelesaian secara iterasi. Dari hasil eksperien nerik ntk lia kass diperoleh ahwa penelesaian persaaan Poisson dan Laplace dengan enggnakan etode eda hingga dan ltigrid leih akrat dan efisien. Pada kass efisiensi ang dihasilkan oleh etode eda hingga dan fll ltigrid ntk N= dan N= asing-asing % dan 9%. Pada Kass efisiensi ang dihasilkan oleh etode eda hingga dan fll ltigrid ntk N= dan N= asing-asing % dan 9%. Pada Kass efisiensi ang dihasilkan oleh etode eda hingga dan fll ltigrid ntk N= dan N= asingasing % dan 9.%. Pada Kass efisiensi ang dihasilkan oleh etode eda hingga dan fll ltigrid ntk N= dan N= asing-asing % dan 9.%. Sedangkan pada Kass efisiensi ang dihasilkan oleh etode eda hingga dan fll ltigrid ntk N= dan N= asing-asing 9.% dan 99.%. Kata Knci: etode eda hingga order epat fll ltigrid persaaan Poisson persaaan Laplace ) Diiaai oleh Direktorat Peinaan Penelitian dan Pengadian pada Masarakat Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Noor Kontrak: /SPH/PP/DPM/III/. ) Dosen Jrsan Pendidikan Mateatika FKIP UMS

2 stract This research addresses to find the accrate and efficient algorith to solve Poisson and Laplace eqations. The forth order finite difference ethod sed to get ore accrate soltion. If we solve Poisson and Laplace eqations with finite difference ethod we get the linear eqations sste. Then to solve linear eqations sste we sed Jacoi ethod. For large scale sstes the iteratif soltion need ch ore arithetic operation. Then this ethod will e less efficient. In this research we se fll ltigrid techniqe to iprove the efficient soltion. Fll ltigrid sed to get a good initial vale in this iterative. Nerical eperients show that the Soltion of Poisson and Laplace eqations ore accrate and efficient than the Jacoi ethod. in first case the efficienc of this ethod is aot % and 9% for N= and N=. in second case the efficienc of this ethod is aot % and 9% for N= and N=. in third case the efficienc of this ethod is aot % and 9.% for N= and N=. in forth case the efficienc of this ethod is aot % and 9.% for N= and N=. In fifth case the efficienc of this ethod is aot 9.% and 99.% for N= and N=. Ke Word: forth order finite difference ethod fll ltigrid Poisson eqation Laplace eqation I. PENDHULUN Persaaan diferensial parsial (PDP) erpakan forlasi odel ateatika dari sat fenoena ala. Fenoena aliran panas pada pelat esi aliran air pada sat pipa perkeangan akteri ergetarna senar pada gitar dan lain seagaina erpakan fenoena-fenoena ang dapat diforlasikan secara ateatika dala entk persaaan diferensial. Untk endapatkan penelesaian eksplisit dari PDP dapat dilakkan dengan etode peisahan variael Str Lioville D leert deret Forier apn transforasi Laplace. Tetapi hana sedikit odel PDP ang dapat dicari penelesaian eksplisitna. leh karena it diperlkan penelesaian secara nerik ntk endapatkan penelesaian pendekatan. Spotz dan Care (99 -) enggnakan etode eda hingga order tinggi ntk enelesaikan Persaaan Poisson diensi tiga. Spotz dan Care enrnkan skea etode eda hingga order epat dan order ena ntk enelesaikan Persaaan Poission diensi tiga. Spotz dan Care eandingkan hasil penelesaian secara nerik dengan etode eda hingga standar ait order da. Dari eksperien nerik diperoleh ahwa penelesaian dengan etode eda hingga

3 order tinggi eerikan penelesaian ang leih akrat diandingkan dengan etode eda hingga standar order da. Selain it Zhang dan Sn ( 9-9) jga enggnakan etode eda hingga order epat ntk enelesaikan Persaaan Poisson Singlar. Dari eksperien nerik diperoleh ahwa penggnaan etode eda hingga order epat leih akrat diandingkan etode eda hingga order da. Tetapi sejah ini teknik iterasi ltigrid el dianfaatkan. Gpta et. al. (99 -) enggnakan algorita ltigrid V-ccle ntk enelesaikan Persaaan Poisson. Gpta et. al. enggnakan etode eda hingga order da dan order epat seagai etode diskritisasi persaaan diferensialna. Dala eksperienna Gpta et. al. enggnakan eerapa variasi tehnik ordering dan operator restriksi. Tehnik ordering ang dignakan adalah red-lack for color dan leicograph. Sedangkan operator restriksi ang dignakan adalah fll weighting dan fll injection. Hasil eksperien nerik ennjkkan ahwa penggnaan etode eda hingga order epat ang dikoinasikan dengan operator restriksi fll weighting leih akrat daripada etode eda hingga order da. Zhang (99 9-) eperlas penggnaan etode eda hingga order epat ntk enelesaikan Persaaan Poisson diensi tiga. Zhang jga enggnakan algorita ltigrid V-ccle ntk enelesaikan Persaaan Poisson diensi tiga. Power (9) eerikan entk Persaaan Poisson dan Laplace diensi da seagai erikt Persaaan Poisson f ( Persaaan Laplace (.) (.) dengan ( g( ( ( diana adalah doain persegi dan adalah atas dari doain. Diassikan f fngsi ang sooth. Persaaan (.) dan (.) sering dignakan ntk enggaarkan fenoena gravitasi potensial elektrostatis aliran cairan dan distrisi sh. Untk enelesaikan Persaaan (.) dignakan skea diskritisasi order epat erikt:

4 ] [ f f f f f h i i i (.) dengan koefisien i i adalah. (.) Ini erarti penelesaian Persaaan (.) dengan skea diskritisasi order epat (.) ekivalen dengan penelesaian siste Persaaan linier = (.) dengan T ] [ T ] [ dan = D L U D L U L U D L U D (.) erkran dengan adalah atrik nol D = U = dan L =

5 asing-asing erkran. II. METDE PENELITIN Metode penelitian ang dignakan dala penelitian ini adalalah stdi pstaka dengan dkngan ipleentasi progra koptasi. Dengan stdi pstaka diharapkan diperoleh eragai inforasi ang erhngan dengan Persaaan Poisson dan Laplace Metode Beda Hingga Fll Mltigrid dan eragai algorita dala etode ltigrid. Penggnaan progra koptasi diaksdkan ntk engetahi efisiensi dan akrasi algorita ar ang ditrnkan. III. HSIL DN PEMBHSN Kass. Dierikan persaaan Poisson (.) dengan sarat atas tipe Dirichlet (dala Sith 9) ( (.) ( (. Pada penelitian ini dignakan doain dan kran grid N= dan N=. Nilai awal ang dignakan pada proses iterasi adalah (. Proses iterasi dihentikan jika n n. Hasil eksperien nerik disajikan pada Tael. erikt: Tael.. Error iterasi jlah iterasi dan nit work penelesaian Persaaan (.) N Iterasi Jacoi Fll Mltigrid Error iterasi Iterasi (UW) Error iterasi Iterasi (UW) (). - (.) (). - (.)

6 Pada Tael.. disajikan anakna iterasi nit work serta error ang dihasilkan. Bilangan di dala krng ennjkkan anakna nit work ang diperlkan pada tiap etode ntk asing-asing level. Untk N= penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid eerikan error iterasi leih kecil diandingkan dengan penelesaian dengan etode iterasi Jacoi. Dengan deikian penelesaian Persaaan (.) dengan Fll Mltigrid leih akrat diandingkan enggnakan etode iterasi Jacoi. Selanjtna dari Tael. jga tapak ahwa nit work penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid leih kecil diandingkan penelesaian dengan iterasi Jacoi. Penelesaian dengan Fll Mltigrid eerikan efisiensi seesar %. Selanjtna ntk N= penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid jga eerikan error iterasi leih kecil diandingkan dengan penelesaian dengan etode iterasi Jacoi. Dengan deikian penelesaian Persaaan (.) dengan Fll Mltigrid leih akrat diandingkan dengan enggnakan etode iterasi Jacoi. Selanjtna dari Tael. jga tapak ahwa nit work penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid leih kecil diandingkan penelesaian dengan iterasi Jacoi. Penelesaian dengan Fll Mltigrid eerikan efisiensi seesar 9%. Dengan deikian penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan fll ltigrid leih akrat dan efisien diandingkan dengan etode iterasi Jacoi. Kass. Dierikan persaaan Poisson (.) dengan sarat atas tipe Dirichlet (dala Nakara 99) ( (.) ( (. Nilai awal ang dignakan pada proses iterasi adalah (. Hasil eksperien nerik disajikan pada Tael. erikt:

7 Tael.. Error iterasi jlah iterasi dan nit work penelesaian Persaaan (.) N Iterasi Jacoi Fll Mltigrid Error iterasi Iterasi (UW) Error iterasi Iterasi (UW) (). - (.) (). - (.) Untk N= penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid eerikan error iterasi leih kecil diandingkan penelesaian dengan etode iterasi Jacoi. Dengan deikian penelesaian Persaaan (.) dengan Fll Mltigrid leih akrat diandingkan dengan enggnakan etode iterasi Jacoi. Selanjtna dari Tael. jga tapak ahwa nit work penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid leih kecil diandingkan penelesaian dengan iterasi Jacoi. Penelesaian dengan Fll Mltigrid eerikan efisiensi seesar %. Selanjtna ntk N= penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid jga eerikan error iterasi leih kecil diandingkan dengan penelesaian dengan etode iterasi Jacoi. Dengan deikian penelesaian Persaaan (.) dengan Fll Mltigrid leih akrat diandingkan dengan enggnakan etode iterasi Jacoi. Selanjtna dari Tael. jga tapak ahwa nit work penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid leih kecil diandingkan penelesaian dengan iterasi Jacoi. Penelesaian dengan Fll Mltigrid eerikan efisiensi seesar 9%. Dengan deikian penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan fll ltigrid leih akrat dan efisien diandingkan dengan etode iterasi Jacoi. Kass. Dierikan persaaan Poisson (.) dengan sarat atas tipe Dirichlet (dala Nakara 99) e. ( (.) ( (.

8 Nilai awal ang dignakan pada proses iterasi adalah (. Hasil eksperien nerik disajikan pada Tael. erikt: Tael.. Error iterasi jlah iterasi dan nit work penelesaian Persaaan (.) N Iterasi Jacoi Fll Mltigrid Error iterasi Iterasi (UW) Error iterasi Iterasi (UW) 9. - ().9 - (.) (). - (.) Untk N= penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid eerikan error iterasi leih kecil diandingkan penelesaian dengan etode iterasi Jacoi. Dengan deikian penelesaian Persaaan (.) dengan Fll Mltigrid leih akrat diandingkan dengan enggnakan etode iterasi Jacoi. Selanjtna dari Tael. jga tapak ahwa nit work penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid leih kecil diandingkan penelesaian dengan iterasi Jacoi. Penelesaian dengan Fll Mltigrid eerikan efisiensi seesar %. Selanjtna ntk N= penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid jga eerikan error iterasi leih kecil diandingkan dengan penelesaian dengan etode iterasi Jacoi. Dengan deikian penelesaian Persaaan (.) dengan Fll Mltigrid leih akrat diandingkan dengan enggnakan etode iterasi Jacoi. Selanjtna dari Tael. jga tapak ahwa nit work penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan Fll Mltigrid leih kecil diandingkan penelesaian dengan iterasi Jacoi. Penelesaian dengan Fll Mltigrid eerikan efisiensi seesar 9.%. Dengan deikian penelesaian Persaaan (.) dengan enggnakan fll ltigrid leih akrat dan efisien diandingkan dengan etode iterasi Jacoi. IV. KESIMPULN DN SRN Dari hasil eksperien nerik dapat disiplkan ahwa penelesaian persaaan Poisson dan Laplace dengan etode eda hingga order epat dan fll ltigrid leih akrat dan efisien diandingkan penelesaian dengan etode Jacoi.

9 Leih jah algorita ltigrid eerikan efisiensi % ntk N= dan 9-9% ntk N=. Pada penelitian ini ar dignakan kran grid N= dan N=. Hal ini diseakan keteratasan keapan kopter ang dignakan ntk enghitng grid ang leih esar dengan cepat. Untk it penelitian eriktna ang disarankan adalah enggnakan kopter dengan kalitas ang leih aik (spek leih tinggi) sehingga dapat dilakkan eksperien ntk grid ang leih tinggi (N= ). Selain it perlasan kass-kass ang dijicoakan jga akan eerikan kesiplan ang leih las. V. UCPN TERIMKSIH Ucapan teriakasih peneliti sapaikan kepada DPM Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi Departeen Pendidikan Nasional ang telah eiaai penelitian ini. Leaga penelitian UMS ang telah eerikan inforasi dan pengadinistrasian penelitian ini. Selain it kepada para dosen sejawat ang telah eerikan askan peneliti capkan teriakasih. VI. DFTR PUSTK Ertrk E. and Gokcol G. Forth rder Copact Forlation of Navier Stokes Eqations and Driven Cavit Flow at High Renolds Ners Sitted for International Jornal for Nerical Methods in Flids. Gpta M. M. Koatcho J. Zhang J. 99 Coparison of nd and th rder Discretizations for Mltigrid Poisson Solver Jornal of Coptational Phsics p. -. Li Ming. and Tang Tao. Copact Forth rder Finite Difference Schee for Unstead Viscos Incopressile Flows Jornal of Scientific Copting Vol. No. p. 9-. Nakara S. 99 pplied Nerical Methods with Software Prentice Hall International Editions New Jerse. Power D. 9 Bondar Vale Proles third edition Harcort Brace Jovanovich New York. 9

10 Spotz W. F. and Care G. F. 99 High rder Copact Forlation for the D Poisson Eqation Nerical Methods for Partial Differential Eqations pp Etension of High rder Copact Schees to Tie Dependent Proles Sitted to Nerical Methods for Partial Differential Eqations. Zhang Y. and Sn X. H. High rder Fast Direct Solver for Singlar Poisson Eqations Jornal of Coptational Phsics p. 9-9.