G-1 SEGITIGA SIKU-SIKU PADA TRIGONOMETRI RASIONAL DI LAPANGAN HIMPUNAN BILANGAN RIIL DAN LAPANGAN HIMPUNAN BILANGAN BULAT MODULO 17

Transkripsi

1 PROSIDING ISBN : G- SEGITIG SIKU-SIKU PD TRIGONOMETRI RSIONL DI LPNGN HIMPUNN BILNGN RIIL DN LPNGN HIMPUNN BILNGN BULT MODULO Dwi Pungkas Haruadi, Idha Sihwaningrum, ri Wardayani Program Studi Matematika Universitas Jenderal Soedirman pungkas_kazaivie@yahoo.co.id, idhasihwaningrum@yahoo.com, ariwardayani@yahoo.co.id bstrak Pada makalah ini dibahas mengenai sifat dan contoh segitiga siku-siku pada trigonometri rasional, khususnya di lapangan himpunan bilangan riil dan lapangan himpunan bilangan bulat modulo. Sifat segitiga siku-siku yang diberikan didasarkan pada quadrance dan spread dari sisi-sisinya. Kata kunci: trigonometri rasional, lapangan himpunan bilangan riil, lapangan himpunan bilangan bulat modulo, segitiga siku-siku, quadrance, spread.. PENDHULUN Seperti halnya pada trigonometri klasik, pada trigonometri rasional juga dibahas mengenai garis dan segitiga. Hanya saja, bahasan pada trigonometri klasik hanya dilakukan pada lapangan himpunan bilangan riil R, sedangkan bahasan pada trigonometri rasional dilakukan pada berbagai lapangan himpunan bilangan seperti lapangan R, lapangan himpunan bilangan kompleks, dan lapangan F p (yaitu lapangan himpunan bilangan bulat modulo p, dengan p bilangan prima). Wildberger (005) membahas garis dan segitiga pada trigonometri rasional secara umum. Sementara itu, Sinaga (0) membahas garis pada trigonometri rasional secara khusus, yaitu pada lapangan. F Karena segitiga dibentuk oleh garis-garis yang menghubungkan tiga titik yang tidak segaris, maka hasil-hasil mengenai garis pada lapangan F dapat digunakan untuk membahas segitiga dengan lapangan F. Khususnya, pada makalah ini akan dibahas mengenai segitiga siku-siku di lapangan F. gar sifat segitiga siku-siku di lapangan tersebut dapat dipahami dengan lebih jelas, pada makalah ini diberikan pembanding, yaitu segitiga siku-siku di lapangan R (pada trigonometri rasional). Definisi dan teorema akan diambil dari Wildberger (005), tetapi bukti teorema secara rinci dan contoh-contoh diberikan penulis. Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema Penguatan Peran Matematika dan Pendidikan Matematika untuk Indonesia yang Lebih Baik" pada tanggal 9 November 0 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIP UNY

2 PROSIDING ISBN : PEMBHSN. Titik, Garis, dan Segitiga Pada trigonometri rasional, titik : [ x, y] adalah pasangan bilangan terurut dengan bilangan x dan y disebut koordinat dari. Garis l a : b: c didefinisikan sebagai proporsi tiga di antara dua kurung siku dengan sifat a dan b tidak boleh keduanya bernilai nol. Kemudian, garis l melalui titik apabila ax by c 0. Misal diberikan titik : [ x, y ] dan : [ x, y ]. Sisi adalah garis dari titik ke titik dan garis sisi adalah garis yang melalui titik dan. Persamaan garis sisi l : diberikan oleh y y : x x : x y x y. Sebagai contoh, untuk titik [4,8] dan [9, ], pada lapangan R, diperoleh garis sisi l 5:5: 60 (lihat Gambar ). Y [4,8] 0 [9,] l 5 : 5 : 60 X Gambar. Sisi di lapangan R Sementara itu, pada lapangan F, untuk titik yang sama, diperoleh garis sisi l 5 : 5: 8. Pada lapangan F, sisi (lihat Gambar ) tidak sama dengan sisi (lihat Gambar ). kan tetapi, garis sisi sama dengan garis sisi. Pada Gambar dan, sisi dan sisi direpresentasikan dengan kotak yang terdiri dari kotak hitam dan lingkaran merah. Gambar. Sisi di lapangan F Gambar. Sisi di lapangan F Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIP UNY Yogyakarta, 9 November 0 MG-

3 PROSIDING ISBN : Titik : [ x, y ], : [ x, y ], dan : [ x, y ] tidak segaris (collinear points) apabila x y x y + x y x y + x y x y 0. Selanjutnya, tiga titik yang tidak segaris dapat membentuk segitiga, seperti definisi berikut. Definisi. (Segitiga, (Wildberger, 005)). Segitiga adalah garis dari titik ke titik, kemudian dari titik ke titik, setelah itu dari titik kembali lagi ke titik, dengan titik,, dan tidak segaris. Contoh Diberikan titik [, 5], [5, 5], dan [7,]. Pada lapangan R, titik,, dan tidak segaris. Dengan demikian, pada lapangan R dapat dibentuk segitiga (lihat Gambar 4). Y k 8 : 8 :60 [7,] [,5] [5,5] l 0 : : 60 0 m 8 : 4 : 4 Gambar 4. Segitiga di lapangan R X Pada lapangan F, titik,, dan juga tidak segaris. Oleh karena itu, pada lapangan F dapat dibentuk segitiga (lihat Gambar 5). Selain segitiga, pada lapangan F juga dapat dibentuk segitiga (lihat Gambar 6). Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIP UNY Yogyakarta, 9 November 0 MG-

4 PROSIDING ISBN : Gambar 5. Segitiga di lapangan F Gambar 6. Segitiga di lapangan F Pada lapangan R, selain segitiga juga dapat dibentuk segitiga. kan tetapi, pada lapangan R, representasi segitiga sama dengan segitiga. Jadi, pada lapangan R, segitiga sama dengan segitiga. Namun, hal tersebut berbeda pada segitiga di lapangan F. Pada lapangan F, segitiga tidak sama dengan segitiga.. Segitiga Siku-Siku Salah satu jenis dari segitiga adalah segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku merupakan bentuk khusus dari suatu segitiga karena mempunyai dua buah sisi yang saling tegak lurus, seperti definisi berikut. Definisi. (Segitiga siku-siku, (Wildberger, 005)). Segitiga merupakan segitiga siku-siku apabila segitiga tersebut mempunyai dua buah sisi yang saling tegak lurus. Misal diberikan sisi dan sisi. Sisi 4 tegak lurus sisi 4 apabila garis sisi l : tegak lurus garis sisi k : 4. Sementara itu, garis l a : b : c tegak lurus garis k a : b : c apabila a a b b 0. Berikut diberikan contoh segitiga siku-siku di lapangan R dan lapangan F. Contoh Diberikan titik [5, ], [7,5], dan [,0]. Pada lapangan R, titik,, dan tidak segaris sehingga dapat dibentuk segitiga (lihat Gambar 7). Pada segitiga tersebut, garis sisi adalah garis l : : 54, garis sisi adalah garis k 5 : 5 : 0, sedangkan garis sisi adalah garis m 7 : 7 : 4. Garis m tegak lurus garis k karena Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIP UNY Yogyakarta, 9 November 0 MG-4

5 PROSIDING ISBN : (7)(5) ( 7)(5) 0. Dengan demikian, sisi tegak lurus sisi. Jadi, segitiga merupakan segitiga siku-siku di lapangan R. Y [7,5] m 7 : 7 : 4 [,0] k 5 : 5 : 0 [5,] 0 l : : 54 X Gambar 7. Segitiga siku-siku di lapangan R Selanjutnya, titik,, dan juga tidak segaris pada lapangan F. Jadi, pada lapangan F juga dapat dibentuk segitiga (lihat Gambar 8). Pada segitiga tersebut, garis sisi adalah garis l 5: :, garis sisi adalah garis k 5: 5 :9, sedangkan garis sisi adalah garis m 7 :0 :. Garis m tegak lurus garis k karena (7 5) (0 5) 0. Dengan demikian, sisi tegak lurus sisi. Jadi, segitiga juga merupakan segitiga siku-siku di lapangan F. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIP UNY Yogyakarta, 9 November 0 MG-5

6 PROSIDING ISBN : Gambar 8. Segitiga siku-siku di lapangan F Salah satu sifat segitiga siku-siku adalah segitiga siku-siku tersebut memenuhi Teorema Phytagoras. Teorema ini berhubungan dengan quadrance (kuadrat jarak) dari sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Quadrance merupakan ukuran bentangan antara dua buah titik pada trigonometri rasional. Misal diberikan titik : [ x, y ] dan : [ x, y ], maka quadrance dari sisi adalah Q (, ) ( x x ) ( y y ). Teorema. (Teorema Phytagoras, (Wildberger, 005)). Misalkan pada segitiga, quadrance dari sisi adalah Q : Q (, ), quadrance dari sisi adalah Q : Q (, ), dan quadrance dari sisi adalah Q : Q (, ). pabila sisi tegak lurus sisi, maka Q Q Q. Bukti. Misalkan titik : [ x, y ], : [ x, y ], dan : [ x, y ]. Garis sisi adalah garis y y : x x : x y x y, sedangkan garis sisi adalah garis y y : x x : x y x y. Jika sisi tegak lurus sisi, maka garis y y : x x : x y x y tegak lurus garis y y : x x : x y x y. kibatnya, ( y y )( y y ) ( x x )( x x ) 0. Selanjutnya, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q Q Q x x y y x x y y x x y y x x x x y y y y x x x x y y y y x x x x y y y y x x x y y y x x y y x x y y x x x y y y x x y y x x y y y y y y y y y x x x x x x x y y y y y y y x x x x x x x ( y y )( y y ) ( x x )( x x ) 0 0. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIP UNY Yogyakarta, 9 November 0 MG-6

7 PROSIDING ISBN : Dengan demikian, terbukti bahwa Q Q Q. Bukti Teorema. secara garis besar sudah diberikan oleh Wildberger (005). Pada makalah ini, penulis memberikan bukti Teorema. dengan lebih rinci. Contoh Pada Contoh, segitiga siku-siku dibentuk oleh titik [5, ], [7,5], [,0]. Pada lapangan R, quadrance dari sisi adalah Q : Q (, ) ( 7) (0 5) 50, quadrance dari sisi adalah Q : Q (, ) (5 ) (0) 98, dan quadrance dari sisi adalah Q : Q (, ) (7 5) (5 ) 48. Dengan demikian, Q Q Q. Jadi, Teorema Phytagoras berlaku pada segitiga siku-siku di lapangan R. Selanjutnya, untuk segitiga siku-siku di lapangan F, quadrance dari sisi adalah Q : Q (, ) ( 7) (0 5) = 6, quadrance dari sisi adalah Q : Q (, ) (5 ) ( 0) =, dan quadrance dari sisi adalah Q : Q (, ) (7 5) (5 ) =. Dengan demikian, Q Q 6 Q. Jadi, Teorema Phytagoras berlaku pada segitiga siku-siku di lapangan F. dan Kemudian, ukuran bentangan antara dua buah garis pada trigonometri rasional dinyatakan dengan menggunakan spread. Misal diberikan sisi dan sisi. Jika garis sisi 4 adalah garis l a : b : c dan garis sisi 4 adalah garis k a : b : c, maka spread dari sisi ab ab dan sisi 4 adalah s (l, k) =. pabila sisi dan sisi 4 tegak lurus, maka s a b a b (l, k) =. Oleh karena segitiga siku-siku mempunyai dua buah sisi yang tegak lurus, maka berdasarkan spread diperoleh sifat berikut. kibat.4. Salah satu spread pada segitiga siku-siku bernilai satu. Contoh 4 Pada Contoh, segitiga siku-siku dibentuk oleh sisi,, dan. Pada lapangan R, garis sisi adalah garis l : : 54, garis sisi adalah garis k 5 : 5 : 0, sedangkan garis sisi adalah garis m 7 : 7 : 4. Dengan demikian, spread dari sisi dan sisi adalah s (l, k) = 49 74, spread dari sisi dan sisi Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIP UNY Yogyakarta, 9 November 0 MG-7

8 PROSIDING ISBN : adalah s (k, m) =, dan spread dari sisi dan sisi adalah s (m, l ) = Jadi, benar bahwa salah satu spraed pada segitiga siku-siku di lapangan R bernilai. Selanjutnya, untuk segitiga siku-siku di lapangan F, garis sisi adalah garis l 5: :, garis sisi adalah garis k 5: 5 :9, sedangkan garis sisi adalah garis m 7 :0 :. Dengan demikian, spread dari sisi dan sisi adalah s (l, k) =, spread dari sisi dan sisi adalah s (k, m) =, dan spread dari sisi dan sisi adalah s (m, l ) =. Jadi, benar bahwa salah satu spraed pada segitiga siku-siku di lapangan F bernilai.. KESIMPULN Pada trigonometri rasional, segitiga dibentuk dari tiga titik tidak segaris yang dihubungkan satu sama lain dengan suatu garis. Pada lapangan R, segitiga sama dengan segitiga. Namun, pada lapangan F, segitiga tidak sama dengan segitiga. Segitiga yang mempunyai dua buah sisi yang saling tegak lurus dinamakan segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku di lapangan R dan lapangan F memenuhi teorema Phytagoras. Teorema ini menyatakan bahwa jumlah quadrance dari sisi-sisi segitiga siku-siku yang saling tegak lurus sama dengan quadrance dari sisi yang lainnya. Selain itu, segitiga siku-siku di lapangan R dan lapangan F juga mempunyai sifat bahwa salah satu spread pada segitiga siku-siku tersebut bernilai satu. 4. UCPN TERIMKSIH Penulis mengucapkan terima kasih kepada Idha Sihwaningrum yang telah meluangkan waktunya untuk proses penulisan makalah ini. Penelitian ini dilakukan dengan dana penelitian fundamental 0 dengan nomor kontrak: 55.5/UN.0/PN/0. 5. DFTR PUSTK Certicom., 000, Standards for Efficient Cryptography : Elliptic Curve Cryptography, diunduh dari: [Diakses pada 5 Juni 0]. Goodman, F.M., 0, lgebra bstract and Concrete, merika Serikat: Prentice-Hall. Grillet, P.., 007, bstract lgebra, nd Edition, New York: Springer Science and Business Media, LLC. Judson, T.W., 0, bstract lgebra Theory and pplications, merika Serikat: Virginia Commonwealth University Mathematics. Sinaga, D.H., 0, Garis di Lapangan Himpunan Bilangan Bulat Modulo, Skripsi, Purwokerto: Universitas Jenderal Soedirman. Sukirman., 005, Pengantar Teori Bilangan, Yogyakarta: Manggar Kreator. Wildberger, N.J., 005, Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universal Geometry, ustralia: Wild Egg Pty Ltd. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIP UNY Yogyakarta, 9 November 0 MG-8