Optimasi Bobot Portofolio dan Estimasi VaR * (Portfolio Weighted Optimization and VaR Estimation)

Transkripsi

1 Otmas Bobot Portofolo dan Estmas VaR * (Portfolo Weghted Otmzaton and VaR Estmaton) Suono, Subanar & Ded Rosad 3 Jurusan Matemata FMIPA UNPAD Bandung, e-mal : fsuono@yahoo.com Jurusan Matemata FMIPA UGM Yogyaarta, e-mal : subanar@yahoo.com 3 Jurusan Matemata FMIPA UGM Yogyaarta, e-mal : dedrosad@ugm.ac.d ABSTRAK Penlaan harga saham, emlhan ombnas otmum, dan enguuran rso suatu ortofolo nvestas meruaan salah satu ersoalan entng bag nvestor. Dalam aer n model ndes tunggal dgunaan untu enlaan harga saham, dan formulas model otmas dembangan dengan menggunaan ten Lagrangean Multler untu menentuan roors asset yang aan dnvestasan. Sedangan tngat rso yang dhada destmas menggunaan Value at Rs. Model-model n dgunaan untu menganalss data harga saham ban Lo dan ban Bum Putera. Kata Kunc : Indes tunggal, ortofolo nvestas, Lagrangean Multler, Value at Rs. ABSTRACT Stoc rce valuaton, combnaton otmum selecton, and rs measurement of the ortfolo nvestment are the mortance roblems for nvestor. In ths aer, the sngle ndex model used for stoc rce valuaton, and the formulaton of otmzaton model develoed by usng Lagrangean Multler for determne the roorton of asset that wll be nvested. Whle the rs level that faced wll be estmated by usng Value at Rs. Ths models are usng to anlzng the stoc rce data of Lo Ban and Bum Putera Ban. Keywords : Sngle ndex, ortfolo nvestment, Lagrangean Multler, Value at Rs.. PENDAHULUAN Dalam menghada esematan nvestas berso, lhan nvestas tda daat hanya mengandalan ada tngat euntungan yang dharaan. Investor harus berseda menaggung rso yang tngg aabla mengharaan untu memeroleh tngat euntungan yang tngg (Bod et al., 999). Oleh arena tu, analss enlaan harga saham, emlhan ombnas saham dalam ortofolo yang otmum, dan enguuran * Dublasan dalam Semnar Nasonal Matemata dan Penddan Matemata d Jurusan Penddan Matemata FMIPA Unverstas Neger Yogyaarta, tanggal 8 November 008. Semnas Matemata dan Penddan Matemata 008-9

2 rso dalam nvestas d asar modal adalah sangat derluan. D snlah model matemata memunya eranan yang sangat entng untu melauan analss embentuan ortofolo tersebut. Model matemata, hususnya model ndes tunggal berusaha memudahan analss nvestas. Hal n arena dalam model ndes tunggal dasumsan bahwa orelas return antara saham terjad dsebaban adanya reson saham tersebut terhada erubahan ada Indes Harga Saham Gabungan (general maret ndex). Pada saat asar memba (dtunjuan oleh ndes asar), harga saham-saham ndvdual juga menngat, deman sebalnya (Gruber et al., 99). Model ndes tunggal n dgunaan untu enlaan saham dalam suatu nvestas. Menurut Kevn et al. (997) dalam onds nvestas yang berso, strateg yang daat dlauan untu mengurang besarnya rso nvestas adalah dengan membentu ortofolo. Untu membentu ortofolo yang otmum salah satunya daat dlauan dengan bantuan otmas menggunaan ten Lagrangean Multler. Sedangan untu menguur besarnya rso daat dgunaan dengan mengestmas Value at Rs (VaR). Perlu detahu, bahwa VaR telah dgunaan secara luas dan menjad standar umum dalam enghtungan reso ada nvestas fnansal. Dalam aer n bertujuan untu melauan analss enlaan harga saham dengan model ndes tunggal, menentuan bobot ombnas ortofolo dengan ten Lagrangean Multler, dan mengestmas besarnya rso dengan menggunaan uuran VaR dalam ortofolo yang yang dbentu.. METODE PENELITIAN Sejalan dengan tahaan analss enlaan harga saham, otmas bobot ortofolo, dan estmas besarnya rso nvestas, dengan deman ertama yang dlauan adalah menghtung return saham dan return asar seert berut n.. Menghtung Return Saham dan Return Pasar Untu menentuan esetas return dan varans saham derluan data return saham dan return asar ta erode eneltan. Menurut Gruber et al. (99) return saham untu ta erode daat dhtung dengan menggunaan rumus sebaga berut: R t P t + = ln (.) Pt Semnas Matemata dan Penddan Matemata

3 d mana Rt adalah return saham ada erode t, dan Pt adalah harga saham ada erode t. Sedangan ndes asar dwal oleh Indes Harga saham Gabungan (IHSG). Dengan cara yang sama return asar dhtung dengan menggunaan rumus sebaga berut: R mt IHSG t + = ln (.) IHSGt d mana R adalah return asar ada erode t, dan IHSG adalah IHSG ada mt erode t. Data return n selanjutnya aan dergunaan untu embentuan model ndes tunggal berut n.. Membentu Model Indes Tunggal Berdasaran Gruber et al. (99) cr utama dar model ndes tunggal adalah bahwa model n dterma ja dan hanya ja asums yang melandasnya denuh. Model ndes tunggal memunya beberaa araterst sebaga berut: () Persamaan dasar R = a + β dan a = α + e, sehngga model ndes tunggal berbentu: R = α + β R + e, dengan =,,..., (.3) m d mana banyanya saham yang danalss. () Berdasaran embentuan ersamaan, rata-rata e adalan nol, atau E( ) = 0 e (3) Berdasaran asums: a. Indes tda berhubungan ( tda berorelas) dengan unque return. E [ e ( R m R m )] = 0 b. Saham berorelas hanya arena memberan reson terhada asar. E [ e. e j ] = 0, untu j (4) Berdasaran defns t a. Varans e adalah [ ] E e = σ e b. Varans R m adalah E [( R ) ] m R m = σ m D mana a adalah unque return saham, α adalah esetas unque return, adalah uuran senstvtas saham terhada asar, dan e β adalah resdual error dar Semnas Matemata dan Penddan Matemata

4 unque return. Data return tersebut d atas dgunaan untu mengestmas berut n..3 Mengestmas α dan β α dan Dalam enlaan saham, rso asar yang laya dertmbangan adalah rso sstemats. Oleh arena tu, nvestor erlu mengestmas besarnya beta sebaga uuran rso asar. Untu menasr beta daat dlauan dengan metode least square. Dar ersamaan (.3) daat deroleh jumlah uadrat terecl resdual error: ε n n = et = ( R α β t ) t = t = Menurunan (.4) terhada arameter deroleh sstem ersamaan: ε α = 0 ε dan = 0 β α dan (.4) β β serta menyamaan dengan nol (.5) Dengan menyelesaan sstem ersamaan (.5) untu arameter β aan ddaat: n n t Rt t Rt ˆ t = t = β = (.6) n n t = R mt n t = n ( t = R mt n ) Sedangan untu arameter α daat dhtung dengan menggunaan ersamaan: ˆ α ˆ = R β (.7) Langah selanjutnya adalah menentuan esetas return dan varans saham sebaga berut..4 Mengestmas Esetas Return dan Varans Saham Berdasaran araterst model ndes tunggal, esetas return saham ndvdual adalah: E [ R ] = E[ α + β + e ] = E [ α ] + E[ β ] + E[ e ] R = α + β (.8) Semnas Matemata dan Penddan Matemata

5 Persamaan (.8) menunjuan bahwa esetas return saham ndvdual terdr dar unque return (tda terengaruh asar) dan tngat euntungan yang berhubungan dengan asar (maret related return). Varans return saham ndvdual dengan menggunaan ndes tunggal daat dhtung melalu ersamaan: E [( R R ) ] = β E[( ) ] + β E[ e ( )] + E[ e ] (.9) Karena araterst (3.a), (4.a) dan (4.b), maa ersamaan (.9) menjad: m σ = β σ + σ e (.0) Persamaan (.0) terlhat bahwa varans return saham ndvdual terdr dar dua e m bagan, yatu unque rs ( σ ) dan rso yang berhubungan dengan asar ( β σ ). Selanjutnya juga destmas ovarans dan orelas antar saham..5 Mengestmas Kovarans dan Korelas Antar Saham Untu menentuan besarnya ovarans antar saham dengan model ndes tunggal daat dlauan sebaga berut: Cov( R, R j ) = E[( R R )( R j R j )] = β β j E [( )] + β j E[ e ( + )] + β E e ( R R )] + E[ e. e ] (.) [ j m m j Berdasaran araterst (3.a) dan (3.b), ersamaan (.) dtuls sebaga: Cov ( R, R j ) = ββ jσ m (.) Dar ersamaan (.) tama bahwa ovarans antar saham hanya dengaruh oleh maret rs (n sesua dengan asums). Inlah yang denal dengan model ndes tunggal. Selanjutnya, berdasaran ersamaan (.), oefsen orelas antar saham, ρ, daat dnyataan dengan: Cov Atau, ddaat ( R, R j ) = ρ jσ σ j = ββ jσ m j m ββ jσ ˆ ρj = (.3) σ σ Setelah masng-masng secara ndvdual dnla dan dlh, selanjutnya menentuan model esetas dan varans return ortofolo berut n. Semnas Matemata dan Penddan Matemata

6 .6 Membentu Model Esetas Return dan Varans Portofolo Msalan w menyataan roors (bobot) asset yang dnvestasan ada saham dalam embentuan ortofolo, dengan deman return ortofolo adalah: Berdasaran ersamaan (.4) esetas return ortofolo deroleh sebaga berut: E[ R ] = E[ w R ] = E[ = = atau deroleh R = w + = = w w ( α + β )] α β = α + β dengan α = w α dan β = w β. = = (.5) Sedangan varans return ortofolo daat dtentuan dengan cara seert d bawah n. σ = E[( R R ) ] = w σ + = = j = w w Cov( R, R j j ); j σ = β σ m + w σ e = (.6) Untu mendaatan roors asset yang teat, dlauan otmas ortofolo sebaga berut n..7 Melauan Otmas Bobot Kombnas Portofolo Msalan seorang nvestor meml fator eengganan (rs averson)θ, n daat destmas dengan cara erbandngan dua ortofolo. Ja seorang nvestor dengan rs averson θ, dengan dua ortofolo yang memunya average rate of return R dan R ~, serta dengan varans dan σ, erbandngan antara dua ortofolo tersebut adalah dengan menyamaan: R ~ = R σ σ ~ ~ θσ θ (.7) Menyelesaan ersamaan (.7) untu θ aan deroleh: Semnas Matemata dan Penddan Matemata

7 ˆ θ ~ R R = (.8) σ ~ σ Otmas bertujuan memasmuman ortofolo daat drumusan sebaga berut: R θσ, sehngga masalah otmas Fungs tujuan: f ( w, w,..., w ) = ( wα + w β ) = = θ ( β σ m + = Fungs endala: g( w, w,..., w ) = w = 0 = w σ e ) (.9) (.0) Dar ersamaan (.9) dan (.0) selanjutnya fungs Lagrangean dbentu sebaga enjumlahan fungs tujuan dan fungs endala, dengan fator multler Lagrange λ sebaga berut: L( w, w,..., w ; λ ) = f ( w, w,..., w ) + λg( w, w,..., w ) (.) Menurunan secara arsal terhada w, w,..., w dan λ, serta menyamaan dengan nol aan deroleh ersamaan-ersamaan: L / w = 0 λ = α + ( R m θσ m ) β + w σ e (.) L / w = 0 λ = α + ( R m θσ m ) β + w σ e (.3) Dan seterusnya hngga: L / w = 0 λ = α + ( θσ m ) β + wσ e (.4) L / λ = 0 = (.5) w = 0 Semnas Matemata dan Penddan Matemata

8 Menyelesaan sstem ersamaan tersebut, aan deroleh w, w,..., w. Penyamaan ersamaan (.4) dengan ersamaan (.) dan menyelesaannya aan deroleh: w θσ m ) w σ e e ( α α) + ( β β)( + = (.6) e Dan sterusnya hngga enyamaan ersamaan (.3) dengan ersamaan (.) dan menyelesaannya deroleh: dan w θσ m ) w σ e e ( α α) + ( β β)( + = (.7) e w = = w Nla-nla roors w, w,..., w (.8) n adalah menunjuan omoss aloas asset (dana) yang aan dnvestasan ada masng-masng saham dalam embentuan ortofolo, agar rate of return on ortfolo nvestment masmum (Tadeln et al., 00). Ahrnya, estmas VaR aan dlauan berut n..8 Mengestmas VaR Estmas VaR secara arametr adalah mengasumsan bahwa return saham berdstrbus normal, dan VaR destmas dengan menggunaan arameter-arameter mean dan devas standar (Ruert,004:348). Perlu detahu bahwa quantle e-α dar dstrbus N( μ, σ ) adalah μ + Φ ( α) σ, oleh arena tu etmas VaR ( α ) adalah: VaR( α) = S { μ + Φ ( α) σ} (.9) Gambar 3. Hubungan antara VaR dengan Devas Standar D mana S adalah besarnya asset yang dnvestasan. Estmas VaR dengan metode n sangat dengaruh oleh devas standar. Semnas Matemata dan Penddan Matemata

9 3. ANALISIS KASUS Data yang danalss adalah harga saham haran Ban Lo dan Bum Putera serta Indes Harga Saham Gabungan (IHSG) nerja 9 har erja terahr tahun 007. Kemudan data n masng-masng dtentuan besarnya nla log return dengan menggunaan ersamaan (.) dan (.). Berdasaran statst desrtf, masngmasng data log return tersebut meml nla mean dan varans seert dberan dalam Tabel 3. berut n. Tabel 3. Mean dan Varans Data Log Retrurn Data Log Return Mean Varans Log Return Lo 0, , Log Return Bum Putera 0,006 0, Log Return IHSG 0, ,050 Regres antara log return saham Lo dan IHSG mengslan ersamaan LIPPO = IHSG, Sedangan regres antara log return saham Bum Puter menghaslan ersamaan BUMPU = IHSG. Resdual uadrat dar regres LIPPO adalah σ el = 0, dan resdual uadrat dar regres Bum Puter adalah = 0, σ eb. Serngal untu menentuan bobot ortofolo nvestas dtentuan berdasaran erbandngan nla data log return saham terahr, yang mana nla data log return saham Lo terahr adalah 0, dan nla data log return saham Bum Putera terahr adalah 0,0809; dengan deman bobot ortofolo untul saham Lo adalah 0,7 dan bobot ortofolo untu saham Bum Putera adalah 0,83. Menggunaan nla-nla bobot n varans ortofolo dhtung dengan menggunaan rumus (.6), haslnya adalah σ = Dengan asums mean log return ortofolo adalah nol, dan dengan tngat sgnfas 5%, serta dengan nvestas awal adalah satu satuan, Value at Rs yang dhtung dengan menggunaan ersamaan (.9) ddaat VaR( 5%) = 0,7. Aan berbeda haslnya ja dgunaan endeatan otmas Lagrangean Multler. Aabla ada ersamaan (.8) ddeat dengan beberaa tngatan enantang rso (rs taer) : 0< a dan beberaa tngatan enghndar rso (rs avers) : a < 0; maa bobot ortofolo bag nvestor rs taer dan bag nvestor rs avers daat dtunjuan dalam Gambar 3. berut n. Semnas Matemata dan Penddan Matemata

10 w Rs Taer/Avers Level w Rs Taer w Rs Taer w Rs Avers w Rs Avers Gambar 3. Graf bobot ortofolo bag nvestor rs taer dan rs avers Tama bahwa bag nvestor yang meml tngat rs taer satu cenderung membag dua aloas modalnya dengan bobot yang sama, yatu 0,5 untu saham Lo dan 0,5 untu saham Bum Putera. Sedangan bag nvestor yang meml tngat rs avers satu aan membag dua aloas modalnya dengan bobot 0,67 untu saham Lo dan 0,33 untu saham Bum Putera. Dengan asums yang sama, yan mean log return ortofolo adalah nol, dan dengan tngat sgnfas 5%, serta dengan nvestas awal adalah satu satuan, Value at Rs yang dhtung dengan menggunaan ersamaan (.9) bag nvestor dengan beberaa tngatan rs taer mauun rs avers seert Gambar 3. berut VaR(5%)% VaR bag Rs Taer VaR bag Rs Avers Rs Taer/Avers Level Gambar 3. Value at Rs untu beberaa tngatan rs taer/avers Tama bahwa ba bag nvestor dengan tngatan rs taer mauun rs avers rendah 0, Value at Rs hamr sama, yan 0,86 bag nvestor rs taer dan 0,89 bag Semnas Matemata dan Penddan Matemata

11 nvestor rs avers. Teta, untu tngatan rs taer/avers yang seman besar, Value at Rs bag nvestor rs taer menurun ceat, sedangan bag nvestor rs avers menngat erlahan. Tama bahwa ada tngatan rs taer/avers, Value at Rs bag nvestor rs taer hanya 0,8 dan bag nvestor rs avers 0,96. Jelaslah bahwa d sn bag nvestor yang sangat berhat-hat tda selalu menghaslan Value at Rs yang rendah atau sebalnya. 4. SIMPULAN DAN SARAN Dar hasl eneltan dan embahasan d atas ahrnya daat dambl esmulan dan saran-saran bag enelt lan yang bermnat menelt lebh lanjut eneltan n. 4. Smulan Hasl otmas bobot ortofolo bag nvestor rs taer dengan tngat rs taer/avers tngg cenderaung membag dua sama besar aloas dananya ada nvestas sahamsaham dalam ortofolonya. Sedangan bag nvestor dengan tngatan rs taer/avers seman tngg teta menjaga secara roorsonal yang berbeda bobot aloas dananya ada nvestas saham-saham dalam ortofolonya. Value at Rs yang dhaslan oleh nvestor dengan tngatan rs taer/avers yang seman tngg justeru seman menurun. Sedangan Value at Rs yang dhaslan oleh nvestor rs avers seman menngat serng dengan seman tnggnya tngatan rs taer/avers. 4. Saran Untu estmas VaR dalam aer n return saham dasumsan berdstrbus normal. Sedangan untu eneltan lan mash daat dembangan bag data return saham yang tda berdstrbus normal, dan juga dengan menggunaan endeatan tme seres. DAFTAR PUSTAKA Alexader, C. (Edtor). (999). Rs Management and Analyss. Volume : Measurng and Modellng Fnancal Rs. New Yor : John Wley & Sons Inc. Dowd, K. (00). An Introducton to Maret Rs Measurement. Unted State Amercan : John Wley & Sons Inc. Bode et al. (999). Investment. Fourth Edton. Sngaore : Irwn / McGraw-Hll. Semnas Matemata dan Penddan Matemata

12 Gruber et al. (99). Modern Portfolo Theory and Investment Analyss. Sngaore : John Wley & Sons, Inc. Joron, P. (004). Ban Tradng Rs and Systemc Rs. Thrd draft : December 004. Ruert, Davd Statstcs and Fnanace an Introducton. New Yor: Srnger. Suono. (00). Model Matemata Pembentuan Portofolo Investas Otmum Dengan Menggunaan Indes Tunggal. Jurnal Matemata Integratf. Vol., No., Arl 00. Tadelln, E. (00). Analss Investas. Yogyaarta : BPFE. Semnas Matemata dan Penddan Matemata