PENGGAMBARAN GRAFIK DALAM PROSES SIMULASI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK TAK MANTAP (UNSTEADY)

Transkripsi

1 Jural Ilmah STMIK U Budyah Vol., No., Maret 0 PENGGAMBARAN GRAFIK DALAM PROSES SIMULASI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK TAK MANTAP (UNSTEADY) Fasal Tfta Zay Jurusa Tekolog Iformas, STMIK U BudyahIdoesa, Bada Aceh ABSTRAK Peyelesaa model matematka tak matap secara umerk da aaltk serta peracaga peggambara grafk hasl peyelesaa umerk da aaltk dbahas ds. Model yag aka dselesaka adalah persamaa gelombag sederhaa yag terdr atas kasus. Utuk kasus pertama mempuya masalah la u( x,0) da kasus mempuya masalah la awal u( x,0) x. Peyelesaa umerk yag dlakuka terdr dar 3 metode, yatu metode beda maju terhadap waktu, metode Lax da metode Lax yag dmodfkas. Utuk peyelesaa aaltk dlakuka dega megguaka metode kurva karakterstk. Hasl perhtuga dplot dega meracag sebuah prosedur pemrograma utuk peggambara grafk dega perhtuga trasformas skala. Plot grafk dcoba berulag ulag dega x da t yag berbeda. Hasl meujuka bahwa perhtuga teras dega 0 aka berhet bla dlakuka put x 0. 5 t Gambar peyelesaa umerk pada sudah meujuka kecederuga yag sama dega peyelesaa aaltk. Kata Kuc : Metode Karakterstk, Masalah Nla Awal, Lax. I. PENDAHULUAN Peerapa matematka dalam berbaga masalah lmah telah dguaka pada hampr semua dspl lmu. Peerapa erat kataya dega suatu baga yag ada dalam matematka yag dkeal dega pemodela matematka. Dega pemodela matematka dapat dracag suatu model yag meggambarka suatu pola atau gejala alam tertetu. Gejala tersebut tdak haya berupa gejala alam tetap dapat juga hasl rekayasa mausa. Dalam kata aka dkaj suatu masalah pemodela matematka yag dsajka melalu rumusa Persamaa Dferesal Parsal (PDP) tgkat satu, ler da terdr dar dua varabel bebas, yatu masalah persamaa gelombag sederhaa. Aalss yag aka dlakuka adalah dega meetuka peyelesaa umerk da peyelesaa dega metode-metode yag ada utuk kemuda dsmulaska dalam betuk peggambara grafk yag berubah dalam satua waktu (t) tertetu. Proses smulas yag berlagsug tetuya berasal dar formulas model persamaa gelombag sederhaa. Smulas adalah tekk umerk yag dlakuka pada suatu eksperme dega megguaka computer, yag melbatka jes model matematka tertetu dega model logka yag meggambarka suatu kelakua yag berjala atau berubah dalam suatu perode waktu tertetu (Naylo, 996). Model matematka selajutya dsmulaska dega megguaka computer. Utuk meghaslka tampla grafk dbutuhka suatu prosedur bahasa pemrograma komputer yag medukug proses perhtuga da sekalgus peggambara grafk haslya. Bahasa pemrograma Fortra sagat bak utuk smulas umerk da masalah lmah yag kompleks da membutuhka perhtuga yag bayak, khususya dalam bdag Computatoal Flud Dyamc (CFD) yag pada umumya megguaka Fortra. Suatu kedala yag dtemu dalam pegguaa bahasa tersebut adalah masalah peggambara hasl dega plot grafk yag vsualsasya megguaka software la, msalya software Matlab. Hal demka tetu mejad kedala karea perubaha proses yag sedag berjala secara lagsug tdak terlhat. Gelombag merupaka suatu feomea meark yag terjad pada perstwa alam maupu hasl rekayasa mausa. Gelombag yag terjad pada umumya membutuhka medum peratara, yatu gelombag mekak. Terdapat juga gelombag yag tdak membutuhka medum peratara, yatu gelombag elektromagetk (Hallday da M, 996). Kedua gelombag

2 PeggambaraGrafkDalam Proses Smulas (Fasal Tfta Zay) mempuya peraa yag petg ddalam proses yag terjad secara lmah maupu tak lmah. Gelombag mempuya besara besara sepert ampltude, frekues, pucak gelombag, lembah gelombag da la la. Tampla gambar dapat membatu megaalss formas yag ddapat dega lebh akurat. Proses haya dapat dgambarka dega pemakaa suatu prosedur bahasa pemrograma komputer. Salah satu betuk persamaa gelombag yag mucul ddalam kaja datas dapat drumuska berupa persamaa gelombag sederhaa, yatu : u t cu T u x 0, x, 0 t () Dega kods awal : u( x,0) ( x) x () u meyataka besara gelombag, c meyataka kecepata, x meyataka ruag, t meyataka waktu, da T meyataka perode gelombag (Staley, 98). Peyelesaa aka dlakuka dega peyelesaa umerk da peyelesaa aaltk. Dalam peulsa pedekata yag dlakuka adalah pedekata umerk, sedagka pedekata aaltk dguaka utuk peguja hasl umerk. Batasa masalah yag aka dkaj dalam peulsa, melput aalss persamaa gelombag sederhaa, ler, tgkat satu yag aka dselesaka secara aaltk serta metode umerk. Metode umerk yag dguaka utuk meyelesaka persamaa gelombag sederhaa ada tga metode, yatu metode beda maju terhadap waktu, metode Lax da metode Lax yag dmodfkas. Hasl dar peyelesaaya dgambarka berupa grafk peyelesaa yag berubah terhadap waktu. Grafk peyelesaa dtamplka dalam betuk vsualsas gambar melalu computer. Utuk peggambara dlakuka melalu suatu prosedur pemrograma utuk meamplka grafk, sehgga dperluka berupa peggambara grafk yag berkata dega koordar layar, trasformas da beberapa perhtuga yag berhubuga dega stakpemrograma. Model matematka selajutya dsmulaska dega megguaka komputer. II. METODOLOGI Peelta dlakuka dega beberapa tahap sebaga berkut :. Pemodela persamaa gelombag sederhaa dmula dega pemakaa metode peyelesaa beda hgga, yatu metode beda maju terhadap waktu, metode lax da lax yag dmodfkas. Utuk medapatka data hampra yag aka dplot terlebh dahulu dtetapka la x, t da yag sesua.. Pemodela persamaa gelombag sederhaa dega peyelesaa la awal (metode karakterstk) utuk medapatka solus aaltk yag aka dplot dega la x, t yag sesua. 3. Peracaga proses peggambara plot grafk utuk proses smulas, melput : trasformas objek grafk dar koordat kartesus ke koordat layar, put da output fle serta peulsa skala pada gambar grafk. Proses plot dar model hampra da model sebearya utuk medapatka gambar smulas. Dagram Alr (Flowchart) utuk solus umerk adalah sebaga berkut : Mula Iput x, t, epslo BATASRUANG Isal T, c NILAI AWAL Isal Batas Awal PerhtugadegaMetodebedamajuterhadapwaktu, Lax da Lax dmodfkas Stop Gambar.Dagram Alr(Flowchart)utuk solusumerk

3 PeggambaraGrafkDalam Proses Smulas (Fasal Tfta Zay) Selajutya, dagram alr utuk prosedur peggambara grafk dapat dlhat pada gambar. Mula Iput data x(), y() dabayakya data Urutka datax() Dkut data dega data y() Tetapkauruta dex padamasg masg data x(), y() Trasformaska data x() da y() mejadxplot() dayplot() Perhtugautukmeghaslka data skalautuksumbu x dasumbu y Perhtugautukmeghaslka data plot utukskalaxdaskalay Perhtugautukpegubaha data skalaxplotdaskalayplotdega tpe real mejad data character dalamlabelxda label y Plot data x() da data y() sesuadegadek Plot label x da label y dega data trasformas Stop Gambar.Dagram Alr(Flowchart)utuk Peggambaragrafk III. HASIL DAN PEMBAHASAN Peggambara model matematka dterapka pada jes persamaa gelombag sederhaa, yatu persamaa kuas ler da berorde satu. Tjaua utuk persamaa gelombag sederhaa dbag atas kasus dega kods awal yag berbeda.. Solus aaltk Tjaua kasus yag aka dselesaka adalah persamaa gelombag sederhaa sepert persamaa () da () dega megambl c, T, 0 x 0, 0 t 0 maka : PDP : u t u x u 0, 0 t 0 Dega masalah la awal : Kasus I : Kods Awal : u ( x,0), 0 x 0 Kasus II : Kods Awal : u( x,0) x, 0 x 0 Peyelesaa dlakuka terbag atas lagkah. Lagkah pertama dega peetua persamaa karakterstk. Pada lagkah peyelesaa dlakuka haya berdasarka pada model PDP saja. Lagkah kedua dega meyelesaka masalah la awal utuk masg masg kasus I da Kasus II. Solus la awal kasus : t u( x, t) e Solus la awal kasus : t u( x, t) ( x t) e (3) (4). Perbadga hasl umerk da aaltk Peroleha data smulas secara keseluruha ada 4 data, yatu data perhtuga aaltk, data perhtuga umerc metode beda maju terhadap waktu, data perhtuga umerc metode lax, data perhtuga umerc metode modfkas Lax. Keempat data dapat dsajka dalam betuk table dmaa kolom meujuka pertambaha waktu da bars meujuka pertambaha ruag. Tetap dkareaka data terlalu besar sehgga utuk meyajka utuk masg masg data tdak dmugkka maka peyaja haya dlakuka dalam betuk table waktu akhr utuk setap ruag. Perhtuga umerc utuk metode beda maju terhadap waktu, Lax da modfkas Lax dlakuka dega teras terhadap waktu da 3

4 PeggambaraGrafkDalam Proses Smulas (Fasal Tfta Zay) ruag. Perhtuga la batas awal utuk kasus satu u( 0,) da utuk batas akhr dguaka beda mudur pada betuk turua terhadap waktu sedagka pada kasus dua la batas awal u( 0, t) 0 da utuk batas akhr dguaka beda mudur pada betuk turua terhadap waktu. Perhtuga beda mudur pada batas akhr dguaka agar la ke u dapat dhtug tapa megguaka la ke u. Pegheta teras dlakuka dega batasruag megambl jumlah epslo yag 0 aka lebh kecl dar dar yag dtetuka yag aka lebh kecl Utuk perhtuga umerc put la dcoba pertama sekal dega t 0., x 0. 5 da batas selag terval ruag terdapat dar 0 sampa 0 dega la 0 tetap hasl perhtuga tdak koverge. Dar pegulaga hasl meujuka bahwa semak kecl la t maka hasl dapat koverge. Semak besar pegambla perbadga atara t dega x da pegambla batas selag terval ruag maka hasl cederug utuk tdak koverge. Pegambla la perode (T ) yag besar, perbadga atara t dega x yag kecl juga aka mempercepat kekovergea tetap tdak mejam bahwa hasl umerc aka meujuka kecedruga yag sama dega hasl aaltk. Dega demka la la put harus bear bear tepat. Pada metode beda maju terhadap waktu da metode modfkas lax dapat lebh cepat koverge dbadgka dega metode lax sela tu gambar hasl pada metode lax sagat bayak ttk yag meympag jauh dar gambar plot ttk yag sebearya bla dbadgka dega metode beda maju terhadap waktu da metode modfkas lax. Setelah dlakuka pegputa berulag ulag maka hasl yag sudah meujuka kecederuga dega grafk aaltk dperoleh dega t 0. 00, x 0.5 da batas selag terval ruag terdapat dar 0 sampa 0, batas waktu dtetuka dega pegambla la epslo =0 - serta T 0. Pada kasus satu hasl lebh cepat koverge bla dbadgka dega kasus dua. Pada kasus satu peyelesaa umerc dega metode beda maju terhadap waktu berhet pada teras ke dega batas ruag e 003, 0 metode Lax berhet pada teras ke 7 dega batas ruag E 003 da metode lax yag dmodfkas berhet pada teras ke 07 dega batas ruag E Kasus dua peyelesaa umerc dega metode beda maju terhadap waktu berhet pada teras ke 994 dega batas ruag E 003, 0 metode Lax berhet pada teras ke 3 dega batas ruag E 003 da 0 metode lax yag dmodfkas berhet pada teras ke 90 dega batas ruag E Hasl peroleha la perhtuga akhr terhadap ruag kasus satu dapat dlhat pada tabel da peroleha la perhtuga akhr terhadap ruag kasus dua dapat dlhat pada tabel. 4

5 PeggambaraGrafkDalam Proses Smulas (Fasal Tfta Zay) Ruag Tabel. Haslperhtuga t akhrkasussatu Beda Maju Terhadap Waktu Lax Modfkas Lax Aaltk t akhr Galat Aaltk t akhr Galat Aaltk t akhr Galat E-0.00E E E E-0.00E E-0 9.8E E-0 9.9E E-03.00E E E E E E-04.00E E E E E E-05.00E E E E E E-06.00E E E E E E-07.00E E E E E E-08.00E E E E E E-09.00E E E E E E-0.00E E-0.00E E-0.3E E-.00E E-.0E E-.3E Tabel. Haslperhtuga t akhrkasusdua Ruag Beda Maju Terhadap Waktu Lax Modfkas Lax Aaltk t akhr Galat Aaltk t akhr Galat Aaltk t akhr Galat E E E E E E-0-3.5E E E E-0.89E E-04.6E E-0.66E E E E E E-0.43E E-0 5.0E E E E E E-0.4E E E E-0.64E E E E E-0.05E E E E-0.46E E E E-0.87E E E E-0 3.8E E E Plot gambar Utuk meggambarka peyelesaa PDP dapat dguaka subroute peggambara grafk yag telah dbuat utuk memplot ttk ttk hasl perhtuga. Pada subroute peggambara grafk yag telah dracag terdr atas 4 subroute, yatu plot, plot, plot3 da plot4. Proses peggabara pada keempat subroute mempuya dasar perhtuga yag sama berupa trasformas data mejad data yag dapat dplotka dalam koordat layar. Tjaua utuk keempat subroute haya dlakuka pada subroute plot. Hal dlakuka karea pada ketga subroute laya haya dlakuka peggabuga utuk data doma da data rage yag berbeda kemuda perhtuga selajutya tetap sama dega subroute plot. Ada alasa megapa trasformas dbutuhka dalam peggambara grafk, yatu : 5

6 PeggambaraGrafkDalam Proses Smulas (Fasal Tfta Zay). Ttk asal yag berbeda atara kordat kartesus dega koordat layar pada motor terhadap waktu. Utuk jelasya perhatka gambar- gambar berkut.. Pajag sumbu x da sumbu y yag terbatas pada koordat layar sedagka koordat kartesus mempuya retag dar sampa 4. Rumus trasformas Rumusa yag dguaka utuk metrasformaska dar data sebearya (data()) mejad data yag aka dplotka (dataplot()) adala sebaga berkut : Gambar 3.Plot grafkperhtugaterhadap waktukasussatu (5) Beberapa tekk pemrograma laya juga dterapka dalam melakuka proses peggambara plot grafk pada motor. Gambar grafk hasl perhtuga terhadap ruag akhr pada kasus satu utuk metode beda maju terhadapwaktu sudah tdak bayak megalam peympaga yag mecolok, tetap pada metode Lax da modfkas lax terdapat bayak la yag megalam peympaga. Walaupu demka pada metode beda maju terhadap waktu la hasl perhtuga kurag medekat la aaltk bla dbadgka dega la pada metode lax da modfkas lax. Pada gambar grafk perhtuga terhadap waktu utuk metode beda maju terhadap waktu sult utuk daalsa apakah sudah medekat dega betuk gambar aaltk. I dkareaka perhtuga dega metode beda maju terhadap waktu berhet pada teras pertama. Jad haya dua ttk yag dplotka pada gambar yatu, ttk t=0 da ttk terakhr. Utuk gambar peyelesaa dega metode modfkas lax lebh medekat dega grafk aaltk bla dbadgka dega grafk perhtuga metode lax. Pada gambar hasl perhtuga terhadap ruag akhr pada kasus dua perhtuga ketga sudah meujuka kecederuga yag sama, yatu berupa grafk ekspoesal. Begtu pula halya dega gambar grafk hasl perhtuga Gambar 4.Plot grafkperhtugaterhadap waktukasusdua IV. KESIMPULAN Dar hasl pembahasa dapat dambl beberapa kesmpula sebaga berkut :. Metode beda maju terhadap waktu, lax da modfkas lax dapat dguaka utuk meyelesaka model matematka dega betuk usteady secara umerc. Pegambla la x, t sagat meetuka bag hasl peyelesaa yag ddapatka. 3. Utuk peyelesaa model gelombag sederhaa secara umrk gambar grafk sudah memperlhatka keederuga dega gambar grafk aaltk dperoleh dega pegambla al x 0. 5 da t 0.00 dega epslo ( )

7 PeggambaraGrafkDalam Proses Smulas (Fasal Tfta Zay) 4. Khusus pada metode lax pegambla la x da la t yag besar aka berpegaruh pada hasl yag tdak stabl dmaa bayak terjad peympaga ttk yag besar. Walaupu juga terjad pada metode beda maju terhadap waktu da metode modfkas lax tetap terdapat perbedaa yag sagat mecolok pada metode lax. 5. Utuk meggambarka plot grafk harus melalu suatu trasformas skala dar koordat kartesus ke koordat layar. Salah satu trasformas yag dapat dguaka sepert pada persamaa Hasl racaga subroute plot, plot, plot3, plot4 tdak haya dapat meggambarka grafk fugs tetap juga berupa hmpua ttk ttk acak. 7. Hasl perbadga aaltk da umerc sudah meujuka kecederuga yag sama. REFERENSI Aderso, J.D Computatoal Flud Dyamcs A Itroducto d Edto. Sprger. Germay. Des, G.Z. A Frst Course I Dfferetal Equatos Wth Applcatos. Prdle Weber ad Schmdt. USA. Fzo, N da Ladas, G Persamaa Dferesal Bsas Dega Peerapa Modere eds Ketga. Erlagga. Jakarta. Hallday da M, Davd Fska Eds Ketga Jld. Erlagga. Jakarta. Kreyszg, Erw Advace Egeerg Mathematcs 6 th Edto. Jho Wlley ad Sos Ic, New York. Mcrosoft Team Programmer s Gude Mcrosoft Fortrapowerstato. Mcrosoft Corporato. USA. Naylo, T.H Computer Smulato Techques. Jho Wlley ad Sos. USA. Staley, J.F. 98. Partal Dfferetal Equatos For Scetst Ad Egeers. Jho Wlley ad Sos. USA. Tradmodjo. 99. Metode Numerk. Beta Offset. Yogyakarta. Purcell, E.J da Varberg, D Kalkulus Da Geometr Aalts Jld. Erlagga. Jakarta. 7