Transformasi Bidang Datar

Transkripsi

1 Bab 5 Transformasi Bidang Datar Sumber: img57.imageshack.us Pada bab ini, nda akan diajak untuk menentukan kedudukan, jarak ang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam dimensi dua sehingga nda dapat menerapkan transformasi bangun datar menentukan kedudukan, jarak, ang melibatkan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi dua, serta menerapkan transformasi bangun datar. Pada Bab, nda telah mempelajari pemetaan pada bilangan real, aitu suatu aturan ang menghubungkan suatu bilangan real dengan bilangan real lainna. Pada bab ini, nda akan mempelajari pemetaan pada bangun geometri, aitu transformasi geometri. Transformasi geometri adalah suatu aturan ang menghubungkan suatu titik di suatu bidang geometri (misalna bidang datar) dengan titik lain pada bidang tersebut. Pada bab ini, nda akan mempelajari empat macam transformasi geometri pada bangun datar, aitu translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), dilatasi (perbesaran atau perkalian), dan rotasi (perputaran). Tranformasitransformasi tersebut sangat erat kaitanna dalam kehidupan seharihari, contohna adalah baangan suatu objek pada cermin datar merupakan hasil transformasi objek tersebut pada cermin. Jika tinggi objek itu 5 cm dan tinggi cermin lebih besar dari tinggi objek? Berapakah tinggi baangan objek pada cermin? nda akan dapat menjawabna setelah mempelajari bab ini dengan baik.. Translasi B. Refleksi C. Rotasi D. Dilatasi E. Komposisi Transformasi Transformasi Bidang Datar 55

2 Peta Konsep Materi tentang Transformasi Bidang Datar dapat digambarkan sebagai berikut. Transformasi Bidang Datar Jenisjenis Transformasi Komposisi Transformasi Translasi Refl eksi Rotasi Dilatasi a baanganna b (, ) æææ Æ ' ( + a, + b) baangan terhadap garis baangan terhadap pusat rotasi baangan terhadap pusat dilatis (, ) æææ Æ ' (, ) (, ) æææ Æ ' (, ) (, ) æææ Æ ' (, ) (, ) æææ Æ ' (, ) a (, ) æææ Æ ' (a, ) b (, ) æææ Æ ' (, b ) Pusat Rotasi (, ) ' cos θ sin θ ' sin θ+ cos θ Pusat Rotasi (a, b) ' a + ( a)cos θ ( b)sin θ ' b + ( a)sin θ + ( b)cos θ Pusat Dilatasi [O, k] (, ) Æ '(k, k) Pusat Dilatasi [p, k] (, ) Æ '(a + k( a), b + k( b)) Soal Pramateri Kerjakan soalsoal berikut, sebelum nda mempelajari bab ini.. Tuliskanlah ciriciri bidang datar berikut.. Jelaskan ang dimaksud dengan: a. Jajargenjang c. Belahketupat a. absis c. transformasi b. Trapesium d. Laanglaang b. ordinat d. isometri. Tuliskanlah rumus luas dari bidang datar berikut a. Segitiga c. Belahketupat b. Trapesium d. Persegipanjang 56 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

3 Translasi Sebelum mempelajari materi translasi, perhatikan transformasi pada titik (, ) berikut. Y ' T (,) ' '(',') Baangan titik (, ) oleh transformasi T menghasilkan baangan dari titik, aitu titik '(', '). Jika titiktitik ang ditransformasikan terletak pada suatu bangun geometri maka akan terbentuk suatu bangun baru ang bentukna sama dengan bangun semula, hana berbeda posisi. Jadi dapat disimpulkan bahwa Transformasi pada bangun geometri merupakan suatu aturan ang memindahkan suatu bangun geometri dari satu posisi ke posisi lain dengan tidak mengubah bentuk bangun tersebut. Transformasi ang tidak mengubah ukuran dan bentuk bangun disebut transformasi isometri, di antarana translasi (pergeseran), refl eksi (pencerminan), dan rotasi (putaran). dapun transformasi ang tidak isometri adalah dilatasi (perkalian) karena ukuran baangan dapat diperbesar atau diperkecil. Pada subbab ini nda akan mempelajari konsep translasi, sedangkan transformasi lain akan dipelajari pada subbabsubbab selanjutna. Translasi (pergeseran) adalah transformasi ang memetakan suatu titik pada titik lain sebagai baanganna. Fungsi ang memetakan titik tersebut sepanjang sumbu (horizontal) dan dilanjutkan pada sumbu (vertikal). Translasi dinatakan a oleh pasangan terurut dengan a merupakan komponen b translasi pada arah sumbu dan b merupakan komponen translasi pada arah sumbu. Translasi dapat dibaangkan dengan memindahkan objekobjek di sekitar kita. Misalna pada pemindahan meja. pada gambar berikut. X Gambar 5. Transformasi titik (, ) menjadi '(', ') Kata Kunci transformasi translasi koordinat cartesius absis ordinal isometri Transformasi Bidang Datar 57

4 Gambar 5. Translasi sebuah meja meja dipindah sepanjang garis lurus meja posisi meja mulamula T meter meja' ' meter posisi meja setelah dipindah T a b Gambar 5. Titik (, ) ditranslasikan oleh diperoleh baangan '(', ') aitu '( + a, + b) Pada Gambar 5., meja dipindahkan sepanjang garis lurus sejauh m ke kanan dan m ke atas oleh suatu translasi T, sehingga meja berpindah ke meja. Dengan membaangkan meja adalah suatu titik pada bidang koordinat Cartesius maka diperoleh Gambar 5.. Y ' (,) + a T '(',') ' b + b Pada Gambar 5. tampak, titik (,) ditranslasikan oleh a translasi T sepanjang garis lurus sejauh a satuan ke kanan b dan b satuan ke atas. Baangan dari titik ang diperoleh titik (+a, +b). Contoh tersebut memperjelas definisi berikut. a Jika titik (,) ditranslasikan oleh translasi T b maka diperoleh baangan dari, aitu (, ) dengan + a dan + b X a Translasi T b pada titik (, ) dapat ditulis a T : (, ) fi (, ) b di mana jika a >, maka arah pergeseranna adalah a satuan ke kanan (menuju positif) 58 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

5 jika a < maka arah pergeseranna adalah a satuan ke kiri (menuju positif). jika b > maka arah pergeseranna adalah b satuan ke atas (menuju positif). jika b < maka arah pergeseranna adalah b satuan ke bawah (menuju positif). Contoh Soal 5. Tentukanlah baangan titiktitik berikut terhadap translasi T. a. (, ) jika ditranslasikan oleh T b. B( 4, ) jika ditranslasikan oleh T c. C(, ) jika ditranslasikan oleh T Sumber : hokkaido.jp Gambar 5.4 Mendorong benda adalah contoh translasi d. D(, ) jika ditranslasikan oleh T Untuk menentukan baanganna, gunakan persamaan translasi berikut. ' + a dan ' + b a. Diketahui (, ) dan T Diperoleh ' + a + 4 ' + b + maka,, a, dan b. Jadi, baangan dari titik (, ) jika ditranslasikan oleh T adalah '(4,). b. Diketahui B( 4, ) dan T maka 4,, a, dan b. Diperoleh, ' + a 4 + ( ) 5 ' + b + 4 Jadi, baangan dari titik B( 4, ) jika ditranslasikan oleh T adalah B'( 5,4). c. Diketahui C(, ) dan T maka,, a, dan b. Diperoleh ' + a + ' + b ( ) + ( ) 5 Transformasi Bidang Datar 59

6 5 B' 4 B 5 4 D D' 4 5 ' 4 5 C C' Gambar 5.5 Jadi, baangan dari titik C(, ) jika ditranslasikan oleh T adalah C'(, 5). d. Diketahui D(, ) dan T dan b. Diperoleh, maka,, a, ' + a ( ) + ( ) ' + b ( ) + ( ) Jadi, baangan dari titik D(, ) jika ditranslasikan oleh T adalah D'(, )., B, C, dan D beserta baanganna ', B', C' dan D' oleh translasi T. nda juga dapat menentukan aturan tranlasi jika diketahui titik asal dan baanganna. Pelajarilah contoh soal berikut. Contoh Soal 5. Jika baangan dari titik (, ) adalah '(, ) maka tentukanlah aturan translasina. Diketahui (, ) dan '(, ) maka,, ', dan '. Dengan menggunakan persamaan translasi ' + a dan ' + b diperoleh + a a + a b 4 Jadi, translasi ang memetakan titik (, ) ke titik '(, ) adalah T 4. Pada Contoh Soal 5. dan 5., nda telah mempelajari translasi sebuah titik. Selanjutna, translasi juga dapat dilakukan pada beberapa titik, contohna pada Contoh Soal 5. berikut. Contoh Soal 5. Cermatilah sketsa denah penataan satuan ruangan sebuah kantor berikut. Keterangan,,,dan 4 kursi tamu meja tamu 4 6 kursi sekretaris 7 meja sekretaris 8 lemari arsip 8 6 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

7 Kemudian tata ruang kantor tersebut hendak diubah menjadi seperti denah berikut Tentukanlah translasi dari setiap benda ang terletak pada ruang kantor tersebut. Perhatikanlah translasi ang dilakukan oleh kursi tamu (), dan lemari arsip (8) berikut Kursi tamu () berpindah 5 satuan ke kanan 8 dan satuan ke bawah maka translasina 5 adalah T, sedangkan lemari arsip (8) berpindah satuan ke kanan dan 4 8 satuan ke atas maka translasina adalah T 8 4 Dengan cara ang sama, diperoleh tranlasi bendabenda dalam, ruang kantor sebagai berikut. Translasi pada (), (), (4), (5), (6), dan (7) berturutturut adalah T 4, T, T 4, T 5, T 6 6, T 4 7. Evaluasi Materi 5. Kerjakanlah soalsoal berikut di buku latihan nda.. Tentukan baangan dari titiktitik berikut 4 ang ditranlasikan oleh T. a. (, 5) b. B(, ) c. C(6, 7) d. D(, 5). Baangan dari titik P(4, 5) ang di translasikan oleh T dalah P'(,6). Tentukan translasi T. Transformasi Bidang Datar 6

8 . Perhatikan gambar berikut. 5 4 ' Tentukan translasi T ang memetakan segitiga BC ke ' B' C'. C B C' B' 4. Diketahui koordinat titik sudut suatu segiempat BCD adalaah (,), B(5,), C(5, 4), dan D(,4). a. Jika titiktitik sudut tersebut ditranslasi kan oleh translasi T ang memetakan segitiga BC pada soal nomor, tentukan koordinat baangan dari titiktitik tersebut. b. Gambarkan segiempat BCD dan baang an na pada bidang koordinat Cartesius (gunakan kertas berpetak), kemudian tentukan keliling dan luas segiempat BCD. B Refleksi Refleksi (pencerminan) adalah suatu transformasi ang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan menggunakan sifat benda dan baanganna pada cermin datar. Pada refleksi, jarak benda dengan cermin sama dengan jarak baanganna pada cermin. Garis ang menghubungkan titiktitik pada benda dengan titiktitik pada baanganna tegak lurus dengan cermin, serta ukuran dan bentuk baangan sama dengan bentuk benda. Perhatikan gambar berikut. Sumber : Gambar 5.6 orang ang sedang bercermin cermin baangan dari orang ang sedang bercermin Ukuran dan bentuk ikan sama dengan baanganna. Kata Kunci refleksi sumbu refleksi matriks refleksi Pada bidang geometri, cermin dilukis sebagai sebuah garis lurus, seperti sumbu, sumbu, garis, garis, dan lain sebagina. Misalkan (, ) adalah titik pada bidang koordinat Cartesius, sumbu adalah cermin, dan '(', ') adalah baangan dari terhadap sumbu maka jarak ke sumbu sama dengan jarak ' ke sumbu dan garis ' tegak lurus dengan sumbu. 6 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

9 ' Garisgaris ang berfungsi sebagai cermin disebut sumbu cermin atau sumbu refleksi. Pada subbab ini, nda akan mempelajari refleksi terhadap sumbu, refleksi terhadap sumbu, refleksi terhadap garis, refleksi terhadap garis, refleksi terhadap garis a, dan refleksi terhadap garis b. Pelajarilah uraian berikut. Gambar 5.7 Refleksi titik terhadap sumbu. Refleksi Terhadap Sumbu Misalkan (, ) adalah titik pada bidang koordinat Cartesius dan '(',') adalah baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu. Bagaimanakah menentukan titik '? Perhatikan grafik berikut. B' B Pada gambar 5.8, titik (, ) dan B(, ) direfleksikan terhadap sumbu, sehingga diperoleh titik '(, ) dan B'(, ). Lihatlah, jarak titik dan ' dengan sumbu adalah sama, aitu satuan dan garis ' tegak lurus dengan sumbu. Jadi, baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(, ). Perhatikan diagram berikut. tetap ' Gambar 5.8 Refleksi titik dan B terhadap sumbu (, ) Æ '(, ) absis : Æ ordinat : Æ berubah tanda Transformasi Bidang Datar 6

10 Jelajah Matematika Leonardo da Vinci (45 59) Seorang seniman dan ahli teknik berkebangsaan Italia, Leonardo da Vinci adalah salah seorang jenius dari zaman Renaissance. Ia ang membuat lukisan paling terkenal sepanjang massa, aitu "monalisa" dan "The Last Supper", Da vinci selalu mengisi buku catatanna dengan berbagai penemuan dan inovasi ilmiah. Ia dapat menggambar dengan tangan kanan dan menulis dengan tangan kiri serta menggunakan tulisan cermin untuk mencatat pekerjaanna. Sumber: Jarak titik B dan B' dengan sumbu sama, aitu satuan dan garis BB' tegak lurus dengan sumbu. Jadi baangan dari titik B(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah B'(, ). Perhatikan diagram berikut. tetap B(, ) Æ B'(, ) absis : Æ ordinat : Æ berubah tanda Dari contoh tersebut tampak koordinat baangan ang dihasilkan mempunai absis (koordinat ) ang nilai dan tandana sama dengan absis titik sebelumna. dapun, ordinatna hana berubah tanda. tetap (, ) Æ '(, ) absis : Æ ordinat : Æ berubah tanda Jadi, secara umum definisi refleksi adalah sebagai berikut. Jika (, ) direfleksikan terhadap sumbu maka diperoleh baanganna, aitu '(', '), dengan persamaana sebagai adalah ' dan ' Ditulis sumbu (, ) '(, ) Persamaan ' dan ' disebut persamaan transformasi refleksi. Contoh Soal 5.4 Tentukan baangan dari titiktitik berikut ang direfleksikan terhadap sumbu, kemudian gambarkan baanganna pada bidang koordinat Cartesius. a. (, ) c. C(, 4) b. B(5, ) d. D(, ) a. Titik (, ) fi dan maka diperoleh ' dan '. Jadi, baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(, ). b. Titik B(5, ) fi 5 dan maka ' 5 dan ' ( ). Jadi, baangan dari titik B(5, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(5, ). 64 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

11 c. Pada titik C(, 4) fi dan 4 maka ' dan ' 4. Jadi, baangan dari titik C(, 4) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(,4). d. Pada titik D(, ) fi dan maka ' dan ' ( ). Jadi, baangan dari titik D(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(, ). C 4 D' B' 4 5 B Gambar 5.9 D C' 4 ' Titik (, ), B (5,), C (, 4) dan D (, ) direfl eksikan terhadap sumbu diperoleh ' (, ), B' C' (, 4), dan D' (, ) Seperti pada translasi, nda juga dapat menentukan refleksi pada beberapa titik ang membentuk suatu bidang datar. Bidang datar ang dihasilkan akan sama bentuk dan ukuranna. Perhatikan Contoh Soal 5.5 berikut. Contoh Soal 5.5 Diketahui segitiga BC dengan titiktitik sudutna, aitu (, 4), B(, ), dan C(4, 6). Gambarlah baangan dari segitiga BC ang direfleksikan terhadap sumbu pada bidang koordinat Cartesius. Diketahui titiktitik sudut segitiga (, 4), B(, ), dan C(4, 6). Untuk mendapatkan baangan dari segitiga BC ang direfleksikan terhadap sumbu, tentukan terlebih dahulu koordinat baangan dari titiktitik sudutna. Baangan dari (, 4) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(, 4). Baangan dari B(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah B'(, ). Transformasi Bidang Datar 65

12 Baangan dari C(4, 6) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah C'(4, 6). Baangan dari segitiga BC diperoleh dengan menghubungkan titiktitik '(, 4), B'(, ), dan C'(4, 6) seperti pada Gambar 5. berikut. 6 C 5 4 B B Gambar 5. Segitiga BC direfl eksikan terhadap sumbu menghasilkan segitiga 'B'C' ' C' Pada gambar tersebut terlihat segitiga BC kongruen dengan segitiga 'B'C'. Persamaan transformasi dapat diterjemahkan dalam bentuk matriks. nda dapat menentukan baangan suatu titik ang transformasikan dengan menggunakan operasi perkalian dua buah matriks. Untuk refleksi terhadap sumbu, perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi berikut. ' dan ' Jika persamaan tersebut diuraikan, diperoleh ' + ' + ( ) maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. ' ' disebut matriks refleksi terhadap sumbu. 66 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

13 67 Transformasi Bidang Datar Contoh Soal 5.6 Dengan menggunakan matriks refleksi terhadap sumbu, tentukan baangan titiktitik berikut. a. (, ) c. C(, 4) b. B(5, ) d. D(, ) a. Pada titik (, ), dan maka diperoleh ' ' ( ) ) + + ( ( Diperoleh ' dan '. Jadi, baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu' adalah '(, ). b. Pada titik B(5, ), 5 dan maka diperoleh ' ' ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( + + ( ( 5 Diperoleh ' 5 dan '. Jadi, baangan dari titik B(5, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(5, ). c. Pada titik C(, 4), dan 4 maka diperoleh ' ' ( ) ( ( ( ) ( ( ( ) ) + + ( ( 4 Notes Matriks refl eksi terhadap sumbu adalah

14 Diperoleh ' dan ' 4. Jadi, baangan dari titik C(, 4) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(, 4). d. Pada titik D(, ), dan maka diperoleh ' ' ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( + ( ( ) + ( ( Diperoleh ' dan '. Jadi, baangan dari titik D(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(, ).. Refleksi terhadap Sumbu nda telah mempelajari cara menentukan baangan ang direfleksikan pada sumbu. Sekarang, nda akan mempelajari sumbu. Sebelumna perhatikan Gambar 5. berikut. ' Gambar Refl eksi terhadap sumbu B B' Pada gambar tersebut, titik dan B tegak lurus terhadap sumbu. Perhatikan, jarak titik dan ' dengan sumbu sama, aitu satuan dan garis ' tegak lurus dengan sumbu. Jadi, baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(, ). Perhatikan diagram berikut. berubah tanda (, ) Æ '(, ) absis : Æ ordinat : Æ tetap Jarak titik B dan B' dengan sumbu sama, aitu 4 satuan dan garis BB' tegak lurus dengan sumbu. Jadi, baangan dari titik B( 4, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah B'(4, ). 68 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

15 berubah tanda B( 4, ) Æ B'(4, ) absis : 4 Æ 4 ordinat : Æ tetap Dari contohcontoh tersebut tampak koordinat baangan ang dihasilkan mempunai absis ang nilaina sama dengan absis titik sebelumna tetapi tandana berubah. Untuk ordinatna, nilai dan tandana sama dengan ordinat titik sebelumna. berubah tanda (, ) Æ '(, ) absis : Æ ordinat : Æ tetap Secara umum, refleksi terhadap sumbu dapat didefinisikan sebagai berikut Search Ketik: mapok. Pada situs ini, nda dapat mempelajari transformasi geometri ang terdiri atas translasi, refleksi, rotasi, dilatsi, serta komposisina. Jika (, ) direfleksikan terhadap sumbu, maka diperoleh baanganna, aitu '(', '), dengan ' dan ' ditulis (, ) sumbu '(, ) Persamaan ' dan ' disebut persamaan transformasi refleksi terhadap sumbu. Contoh Soal 5.7 Tentukan baangan dari (, 4) dan B(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu. (, 4) maka dan Dengan menggunakan persamaan transformasi refleksi terhadap sumbu, aitu ' dan ' diperoleh, ' ' 4 Jadi, baangan dari (,4) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(, 4). B(, ) maka dan ' ( ) ' Transformasi Bidang Datar 69

16 Jadi, baangan dari B(, 4) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah B'(, ). ' 4 B B' Gambar 5. Refl eksi titik (, 4) dan B(, ) terhadap sumbu diperoleh '(, 4) dan B'(, ) Contoh soal berikut adalah contoh refleksi suatu bangun terhadap sumbu. Pelajarilah dengan baik, agar nda memahami na. Contoh Soal 5.8 Koordinatkoordidat titik sudut suatu bidang BCD adalah (, ), B(6, ), C(, 5), dan D(, ). Gambarkan baangan dari bangun tersebut jika direfleksikan terhadap sumbu dan tentukan nama bangun dari baangan ang terbentuk. Pertama tentukan baangan dari titiktitik (, ), B(6, ), C(, 5), dan D(, ) ang direfleksikan terhadap sumbu. Baangan dari (, ) adalah '(, ) Baangan dari B(6, ) adalah B'( 6, ) Baangan dari C(, 5) adalah C'(, 5) Baangan dari D(, ) adalah D'(, ) Pada refleksi, baangan ang terbentuk akan memiliki bentuk dan ukuran ang sama dengan benda. Bidang BCD merupakan belahketupat sehingga 'B'C'D' adalah belahketupat. C' 5 C Gambar 5. B' D' D B Benda dan hasil refl eksi sama bentuk dan ukuran 6 ' 6 7 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

17 Sama seperti terhadap sumbu, refleksi terhadap sumbu juga memiliki persamaan matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi berikut. ' ' Jika persamaan tersebut diuraikan akan, diperoleh ' ( ) + ' + maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. ' ' disebut matriks refleksi terhadap sumbu. Notes Matriks refl eksi terhadap sumbu adalah Contoh Soal 5.9 Dengan menggunakan matriks refleksi, tentukan baangan dari titik ( 5, ) ang direfleksikan terhadap sumbu. Diketahui ( 5, ) maka 5 dan. Persamaan matriks refleksi terhadap sumbu adalah sebagai berikut Diperoleh ' ' ' ' 5 ( (5) + ( ( (5) + 5 Jadi, baangan ( 5, ) ang direfleksikan terhadap sumbu adalah '(5, ). Transformasi Bidang Datar 7

18 . Refleksi terhadap Garis Perhatikan Gambar 5.4 berikut. Q ' 5 4 Gambar 5.4 Refleksi terhadap garis 4 5 P Pada Gambar 5.4 tersebut, titik (, 4) direfleksikan terhadap garis. Jarak ke garis sama dengan jarak ' ke garis. Garis ' tegak lurus dengan garis. Jadi '(4, ) adalah baangan dari titik (, 4). Bagaimanakah hubungan antara koordinat titik dengan koordinat baanganna? Pada Gambar 5.4 tampak panjang OP OQ dan P 'Q. Jadi panjang O O'. Jadi, segitiga 'OQ sama dengan segitiga OP sehingga diperoleh, OQ OP atau ordinat ' absis 'P P atau absis ' ordinat sama (, 4) '(4, ) sama Secara umum, refleksi terhadap garis dapat didefinisikan sebagai berikut. Jika (, ) direfleksikan terhadap garis maka diperoleh baangan dari, aitu '(', '), dengan ' dan ' ditulis (, ) '(, ) Persamaan ' dan ' disebut persamaan transformasi refleksi terhadap garis. 7 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

19 Contoh Soal 5. Tentukan baangan dari titik (, ) dan B(4, ) ang direfleksikan terhadap garis. Baangan ditentukan dengan menggunakan rumus ' ' Pada (, ), dan diperoleh ' ' Jadi, baangan dari titik (, ) adalah '(, ). Pada B(4, ), 4 dan diperoleh ' ' 4 Jadi, baangan dari titik B(4, ) adalah B'(, 4). B' 4 4 ' B Gambar 5.5 Titik (, ) dan B(4, ) direfl eksikan terhadap garis diperoleh '(, ) dan B(, 4) Berikut adalah contoh soal refleksi beberapa titik ang membentuk suatu bidang pada garis. Contoh Soal 5. Koordinatkoordinat titik sudut suatu segiempat BCD adalah (, ), B(5, 4), C(7, ), dan D(5, ). Tentukan: a. baangan dari titiktitik sudut segiempat BCD jika titiktitik sudut tersebut direfleksikan terhadap garis, b. luas segiempat BCD dan 'B'C' D' tersebut. a. (, ) Æ '(, ) Jadi, baangan dari (, ) adalah '(, ). B(5, 4) Æ B'( 4, 5) Transformasi Bidang Datar 7

20 Gambar 5.6 Jadi, baangan dari B(5, 4) adalah B'( 4, 5). C(7, ) Æ C'(, 7) Jadi, baangan dari C(7, ) adalah C'(, 7). D(5, ) Æ D'(, 5) Jadi, baangan dari D(5, ) adalah D'(, 5). b. Berikut adalah gambar segiempat BCD dan baanganna, aitu ', B', C', D'. B' 4 C' ' D' D C 7 Luas BCD sama dengan luas 'B'C'D'. 4 B Segiempat ang terbentuk adalah laanglaang BCD dengan panjang diagonal C 4 satuan dan panjang diagonal DB 6 satuan. Rumus luas laanglaang adalah diagonal diagonal, maka diperoleh L C DB 4 6 Luas laanglaang BCD adalah satuan luas, sehingga luas laanglaang 'B'C'D' juga satuan luas. Notes Matriks refl eksi terhadap garis adalah Sama seperti refleksi terhadap sumbu dan sumbu, refleksi terhadap garis dapat ditentukan dengan menggunakan matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi refleksi berikut. ' ' Jika persamaan di atas diuraikan, diperoleh ' + ' + maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. ' ' disebut matriks refleksi terhadap garis. 74 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

21 Contoh Soal 5. Dengan menggunakan matriks refleksi, tentukan baangan dari titik ( 7, ) ang direfleksikan terhadap garis dengan menggunakan matriks refleksi. Diketahui ( 7, ) maka 7 dan. Dari persamaan matriks ' ' diperoleh ' ' 7 ( ( 7) + ( ( ) ( ( 7) + ( ( ) 7 Jadi, baangan dari ( 7, ) ang direfleksikan terhadap garis adalah '(, 7). 4. Refleksi terhadap Garis Garis adalah kedudukan titiktitik koordinat ang memenuhi persamaan atau. Contohna titik (, ) dan (, ) terdapat pada garis. Perhatikanlah uraian berikut, agar nda memahami refleksi terhadap garis. P Gambar 5.7 ' Titik (, ) dan B(4, ) direfl eksikan terhadap garis diperoleh '(, ) dan B(, 4) Pada gambar misalkan, titik (, ) direfleksikan terhadap garis. Jarak baangan dari, aitu titik ', ke garis sama dengan jarak ke garis. Garis ' tegak lurus dengan garis. Jadi, '(, ) adalah baangan dari titik (, ). Transformasi Bidang Datar 75

22 Kemudian, hubungan antara koordinat titik dan koordinat baanganna adalah sebagai berikut. Pada gambar tampak panjang OP OQ dan P 'Q. Jadi panjang O O'. Jadi, segitiga 'OQ sama dengan segitiga OP. OQ OP atau ordinat ' absis 'P P atau absis ' ordinat berubah tanda (, ) '(, ) berubah tanda Jadi, secara umum refleksi terhadap garis dapat didefinisi kan sebagai berikut. Jika (, ) direfleksikan terhadap garis, maka diperoleh baangan dari, aitu '(', '), dengan ' dan ' ditulis (, ) '(, ) Persamaan ' dan ' disebut persamaan transformasi refleksi terhadap garis. Contoh Soal 5. Tentukan baangan dari titik ( 6, 5) ang direfleksikan terhadap garis. Baangan ditentukan dengan menggunakan persamaan transformasi refleksi terhadap garis, aitu ' ' Pada ( 6, 5), 6 dan 5 maka diperoleh ' 5 ' ( 6) 6 Jadi, baangan dari titik ( 6, 5) adalah '( 5, 6). Pelajarilah contoh soal berikut, agar nda memahami refleksi beberapa titik ang membentuk bangun datar terhadap garis. 76 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

23 Contoh Soal 5.4 Koordinatkoordinat titik sudut suatu segiempat BCD adalah (, ), B(8, ), C(6, ), dan D(, ). Tentukan: a. baangan dari titiktitik sudut segiempat BCD jika direfleksikan terhadap garis. b. luas segiempat BCD tersebut. a. (,) Æ '(, ) Jadi, baangan dari (, ) adalah '(, ). B(8, ) ÆB'(, 8) Jadi, baangan dari B(8, ) adalah B'(, 8). C(6,) ÆC'(, 6) Jadi, baangan dari C(6, ) adalah C'(, 6). D(, ) ÆD'(, ) Jadi, baangan dari D(, ) adalah D'(, ). b. Bidang datar dan baangan ang terbentuk terlihat pada gambar berikut. D C B D' C' 6 B' 8 Segiempat ang terbentuk adalah trapesium BCD dengan panjang B 7 satuan tinggi DP satuan, dan panjang DC satuan. Oleh karena itu, luas trapesium BCD adalah (B + DC)DP (7 + ) 5 satuan. Seperti refleksi pada garis garis lain, refleksi pada garis juga dapat dilakukan menggunakan matriks. Persamaan transformasi refleksi pada garis adalah sebagai berikut. ' ' Transformasi Bidang Datar 77

24 Notes Matriks refl eksi terhadap garis adalah Jika persamaan tersebut diuraikan diperoleh ' + ( ) ' ( ) + sehingga diperoleh persamaan matriks berikut. ' ' disebut matriks refleksi terhadap garis. Contoh Soal 5.5 Dengan menggunakan matriks refleksi, tentukan baangan dari titik (8, 5) ang direfleksikan terhadap garis. Diketahui (8, 5) maka 8 dan 5. Oleh persamaan matriks refleksi terhadap garis adalah sebagai berikut. ' ' Dengan demikian, diperoleh ' ' ( ) ( ( 5) () 8 8+ ( 5) 5 8 Jadi, baangan dari titik (8, 5) adalah '(5, 8). 5. Refleksi terhadap Garis a Garis a adalah garis ang sejajar sumbu dan berjarak a satuan dari sumbu, contohna. Pelajarilah uraian berikut agar nda memahami refleksi terhadap garis a. 78 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

25 a (, ) '(', ') a a a ' a ' a + a a Gambar 5.8 Titik (, ) direfl eksikan terhadap garis a diperoleh '(, ) dengan ' a dan ' Pada Gambar 5.8, tampak bahwa baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap garis a adalah sebagai berikut. ' + (a ) + a a ' sehingga diperoleh '(a, ). Secara umum, refleksi terhadap garis a dapat didefinisikan sebagai berikut. Jika (, ) direfleksikan terhadap garis a, maka diperoleh baangan dari, aitu '(', '), dengan ' a ' atau dapat ditulis a (, ) '(a, ) ' a dan ' disebut persamaan transformasi refleksi terhadap garis a. Contoh Soal 5.6 Koordinatkoordinat titik sudut suatu segitiga BC adalah (4, ), B(6, ), dan C(, 4). Tentukan baangan dari titiktitik tersebut jika direfleksikan terhadap garis. Diketahui garis a Baangan ditentukan dengan persamaan refleksi garis a berikut. ' a ' Transformasi Bidang Datar 79

26 Pada titik (4, ), 4 dan diperoleh ' a ( ) 4 8 ' Jadi, baangan dari (4, ) adalah '( 8, ) Pada titik B(6, ), 6 dan, diperoleh ' a ( ) 6 ' Jadi, baangan dari B(6, ) adalah B'(, t) Pada titik C(, 4), dan 4, diperoleh ' a ( ) 5 ' 4 Jadi, baangan dari C(, 4) adalah C'( 5, 4). Segitiga BC dan baangan ', B', C' ang terbentuk tampak seperti gambar berikut. C' 4 C B' B Gambar 5.9 Segita BC' direfleksikan terhadap garis diperoleh 'B'C'. 9 ' Refleksi terhadap Garis b dapun, garis b adalah garis ang sejajar sumbu dan bejarak b satuan dari sumbu. Perhatikan Gambar 5. berikut. ' (', ') b Gambar 5. b b b Refleksi titik (, ) terhadap garis b diperoleh '(', ') dengan ' dan ' b (, ) b b + (b ) b Pada gambar tersebut, tampak bahwa baangan dari titik (, ) ang direfleksikan terhadap garis b memenuhi 8 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

27 persamaan berikut. ' ' + (b ) + b b sehingga diperoleh '(, b ) Secara umum, refleksi terhadap garis b dapat didefinisikan sebagai berikut. Jika (, ) direfleksikan terhadap garis b maka diperoleh baangan dari, aitu '(', '), dengan ' ' b atau dapat ditulis [O, k] (, ) '(, b ) ' dan ' b disebut persamaan refleksi terhadap garis b Contoh Soal 5.7 Koordinatkoordidat titik sudut suatu segiempat BCD adalah (, ), B(5, ), C(, ), dan D(, ). Tentukan baangan dari titiktitik tersebut jika direfleksikan terhadap garis. Diketahui garis b Baangan ditentukan dengan persamaan refleksi terhadap garis b berikut. ' ' b Pada titik (, ), dan, diperoleh ' ' b ( ) 7 Jadi, baangan dari (, ) adalah '(, 7) Pada titik B(5, ), 5 dan diperoleh ' 5 ' b 5 Jadi, baangan dari B(5, ) adalah B'(5, 5) Pada titik C(, ), dan diperoleh ' ' b Jadi, baangan dari C(, ) adalah C'(, ) Pada titik D(, ), dan, diperoleh ' ' b 5 Jadi, baangan dari D(, ) adalah D'(, 5). Segiempat BCD dan baanganna 'B'C'D' ang terbentuk tampak pada gambar berikut. Transformasi Bidang Datar 8

28 7 ' D' B' C' C D B Gambar 5. Refl eksi segiempat BCD terhadap garis. 4 5 Evaluasi Materi 5. Kerjakanlah soalsoal berikut di buku latihan nda.. Tentukan baangan dari titik P(, 5) dan Q (4, 7) ang direfleksikan terhadap a. sumbu b. sumbu. Tentukan baangan dari titik (5, ) dan B( 6, ) ang direfleksikan terhadap a. garis b. garis. Tentukan baangan dari titik S(, 6) dan T(, ( 5) ang direfleksikan terhadap a. garis 4 b. garis 4. Diketahui koordinatkoordinat titik sudut segiempat BCD adalah (, ), B(6, ), C(8, 5), dan D(, 5) a. Tentukan baangan dari titiktitik sudut tersebut jika titik tersebut direfleksikan terhadap sumbu. b. Gambarkan segiempat tersebut dan baanganna pada bidang koordinat Cartesius. (gunakan kertas berpetak) c. Tentukan luas segiempat BCD. Kata Kunci rotasi pusat rotasi sudut rotasi C Rotasi Rotasi (perputaran) adalah suatu transformasi ang memindahkan suatu titik pada bangun geometri dengan memutar titik tersebut terhadap titik pusatna. Untuk mudahna, baangkan suatu rotasi pada sebuah roda. Jika pada roda tersebut terdapat titik, posisi titik akan berpindah ketika roda tersebut diputar atau dirotasikan terhadap titik pusat roda tersebut. rtina, titik berpindah akibat putaran roda. Perhatikan gambar berikut. 8 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

29 ' P Q P P O " titik pusat roda roda sebelum diputar a roda setelah diputar sejauh θ 45 berlawanan arah dengan arah jarum jam b Gambar 5. (a) dan (b) menunjukkan suatu rotasi pada titik pada roda terhadap pusat roda P. rah rotasi dapat berlawanan dengan arah putaran jarum jam atau searah dengan arah putaran jarum jam. Jika arah rotasi berlawanan dengan arah jarum jam maka dinamakan arah positif (+). Jika arah rotasi searah dengan arah jarum jam maka dinamakan arah negatif ( ). Besar sudut rotasi q adalah sudut ang terbentuk dari besarna rotasi ang terjadi. Suatu rotasi R, terhadap pusat rotasi P dan sudut rotasi q dinotasikan dengan R [P, q]. Contoh Soal 5.8 roda setelah diputar setelah θ 45 searah dengan arah jarum jam c Gambar 5. Posisi dan baangan ' setelah berotasi Untuk membahas hasil pemasaran suatu produk selama tahun ang dilakukan oleh 7 kantor cabang maka diadakan rapat ang dilakukan menggunakan meja bundar seperti gambar. Jika kursi ditempati oleh direktur H pemasaran kantor pusat, kemudian kursi B 8 B, C, D, E, F, G, dan H ditempati oleh direktur pemasaran kantor cabang daerah G F E O 4 D B, C, D, E, F, G, dan H.. Selanjutna, jika meja tersebut diputar (dirotasikan) dengan rotasi, R [O, 9 ] tentukanlah pasangan nomor pada meja dengan huruf pada kursi ang terjadi sebagai hasil rotasi. Rotasi ang dinatakan oleh R []9, berarti rotasi terhadap titik sebesar 9 searah putaran jarum jam, perhatikan gambar berikut. Setelah meja diputar sejauh 9 searah jarum jam maka seluruh titik berputar bersama meja, pada ilustrasi di samping, diperlihatkan titik ang mulamula berpasangan dengan kursi berputar sejauh 9 dan menebabkan titik berpasangan dengan kursi C, demikian juga titik 5 ang mulamula berpasangan C G 5 9 E 5 O 9 C Transformasi Bidang Datar 8

30 dengan kursi E berputar sejauh 9 dan menebabkan titik 5 berpasangan dengan kursi G Setelah meja diputar sejauh 9, maka pasangan titik,,,4,5,6,7, dan 8 pada meja terhadap kursi, B, C, D, E, F,G, dan H adalah sebagai berikut. H B G 5 O C F 4 E Diperoleh, titik,,, 4, 5, 6, 7, dan 8 masingmasing berpasangan dengan kursi C, D, E, F, G, H,, dan B. D. Rotasi terhadap Titik Pusat O(, ) Misalkan titik pada roda dipindahkan pada bidang koordinat cartesius, maka koordinat titik adalah (, ). Jika titik (, ) dirotasikan terhadap titik pusat O(, ) sejauh q dan baangan ang dihasilkan adalah '(', '), dapatkah nda tentukan koordinat (', ')? Perhatikanlah Gambar 5. berikut. Gambar 5. Titik (. ) dirotasikan terhadap titik pusat O(, ) sejauh θ berlawanan arah putaran jarumjam. '(', ') ' ' O (, ) Terdapat hubungan antara ' dan ' dengan dan dan sudut putaran q, aitu ' cos q sin q ' sin q + cos q Jika titik (, ) dirotasikan terhadap titik pusat O(, ) sejauh q atau dinotasikan R [O, q] maka baangan dari titik adalah '(', '), di mana ' cos q sin q dan ' sin q + cos q atau ditulis (, ) Æ ' ( cos q sin q, sin q + cos q) 84 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

31 Persamaan ' cos q sin q dan ' sin q + cos q disebut persamaan transformasi rotasi terhadap titik pusat O(, ) sejauh q atau R [O, q]. Contoh Soal 5.9 Tentukan baangan dari titik P(, ) jika dirotasikan terhadap: a. R [, ] b. R [. ] Titik P(, ) maka dan. cos, sin, cos( ), sin( ) Baangan titik P ditentukan dengan menggunakan persamaan transformasi R [O, q] ' cos q sin q ' sin q + cos q a. R [O, ] diperoleh ' cos sin ' sin + cos + + Jadi, baangan dari titik P(, ) ang dirotasikan sejauh terhadap titik pusat O (, ) adalah P' +, b. R [O, ] diperoleh ' cos ( ) sin( ) + ' sin( ) + cos( ) + + Jadi, baangan dari titik P(, ) jika dirotasikan sejauh terhadap titik pusat O (,) adalah P' +, +. Rotasi terhadap titik pusat O(, ) dapat pula dinatakan dalam bentuk matriks. Perhatikan kembali persamaan transformasi rotasi berikut. ' cos q sin q ' sin q + cos q Gambar 5.4 Sumber : ndonetwork.co.id unan adalah contoh tranformasi rotasi. Notes Matriks rotasi terhadap pusat O(, ) adalah cos q sin q sin q cos q Transformasi Bidang Datar 85

32 Jelajah Matematika Sumber: Huruf Braille digunakan oleh para tuna netra untuk membaca. Huruf Braille berupa kode titik ang timbul dan dapat dibaca dengan menentuhna. Kode ini digunakan pertama kali oleh siswa tuna netra berusia 5 tahun asal Prancis, aitu Louise Braille. B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Perhatikan oleh nda, huruf Braille pada gambar. Huruf E merupakan refleksi dari huruf I. Huruf D merupakan rotasi dari huruf H. Dapatkah nda menemukan pasangan hurufhuruf lain hasil refleksi dan rotasi pada huruf Braille? Sumber: Kalkulus dan Geometri nalisis Jilid, 99 Jika persamaan tersebut diuraikan, diperoleh ' cos q sin q ' sin q + cos q maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. ' cos q sin q ' sin q cos q cos q sin q O(, ). sin q cos q Contoh Soal 5. disebut matriks rotasi terhadap titik pusat Dengan menggunakan matriks rotasi, tentukan baangan dari titik P(5, 5) ang dirotasikan terhadap titik pusat O(, ) sejauh 9. Diketahui P(5, 5), maka 5 dan 5. cos 9 dan sin 9. maka diperoleh cos q sin q sin q cos q cos 9 sin9 5 sin 9 cos Jadi, baangan dari titik P(5, 5) adalah P'( 5, 5).. Rotasi terhadap Titik Pusat P(a, b) Jika titik P(, ) dirotasikan terhadap titik pusat P(a, b) sejauh q, maka baangan dari titik adalah '(', '), dengan ' a + ( a)cos q ( b) sin q ' b + ( a) sin q + ( b) cos q Persamaan tersebut merupakan persamaan transformasi rotasi terhadap titik pusat (a, b) sejauh q pelajarilah contoh soal berikut. 86 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

33 Contoh Soal 5. Tentukan baangan dari titik P(, ) ang dirotasikan terhadap titik pusat M(, ( ) sejauh 9. Diketahui P(, ) maka dan. Titik pusat M(, ( ) maka a dan b. cos 9 dan sin 9. Baangan ditentukan dengan menggunakan persamaan ' a + ( a) cos q ( b) sin q ' b + ( a) sin q + ( b) cos q maka diperoleh ' + ( ) cos 9 ( ) sin 9 + ' + ( ) sin 9 + ( ) cos Jadi, baangan titik P(, ) adalah P'(, ). P' Gambar 5.5 M Titik P(, ) dirotasikan sejauh 9 terhadap pusat M(, ) P Evaluasi Materi 5. Kerjakanlah soalsoal berikut di buku latihan nda.. Titik (, 4) dirotasikan sejauh 9 terhadap titik pusat O(, ), tentukan baanganna jika arah putaranna a. berlawanan dengan arah putaran jarum jam, b. searah dengan arah putaran jarum jam (sin 9, cos 9, sin ( 9 ), cos ( 9 ) ).. Tentukan baangan dari titik P(4, 4) jika dirotasikan terhadap titik pusat O(, ) sejauh a. c. 6 b. 45 d. 9 (sin, cos, sin 45, cos 45, sin 6, cos 6 ).. Diketahui koordinatkoordinat titik sudut segitiga BC adalah (5, ), B(8, ), dan C(4, ). Tentukan baangan dari titiktitik sudut segitiga tersebut jika dirotasikan terhadap titik pusat O(, ) sejauh 9 searah dengan arah putaran jarum jam. 4. Tentukan baangan dari titik P( 4, ) ang dirotasikan terhadap titik pusat M(, ( ) sejauh 9. Transformasi Bidang Datar 87

34 Kata Kunci dilatasi pusat dilatasi faktor dilatasi Gambar 5.6 Ilustrasi dilatasi pada perpindahan lemari D Dilatasi nda telah mempelajari tiga jenis transformasi, aitu translasi, refleksi, dan rotasi. Ketiga jenis transformasi ini termasuk transformasi isometri, aitu transformasi ang menghasilkan baangan kongruen (sama ukuran dan sebangun) dengan benda. Sekarang, nda akan mempelajari transformasi keempat, aitu dilatasi ang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) tetapi tidak mengubah bentuk. Dilatasi tidak termasuk transformasi isometri karena tidak menghasilkan baangan ang kongruen. Dilatasi (perkalian) adalah suatu transformasi ang memindahkan suatu titik pada bangun geometri ang bergantung pada titik pusat dilatasi dan faktor (skala) dilatasi. kibatna, baangan dari bangun geometri ang didilatasi berubah ukuranna (membesar atau mengecil). Untuk mudahna, baangkan bangun ang didilatasi adalah mobil ang sedang melaju ke arah nda. Dari jauh mobil tampak kecil. Ketika mendekat mobil tampak semakin besar, dan ketika menjauh mobil tampak mengecil kembali. Dilatasi dapat pula dianalogikan dengan mendekatkan suatu objek atau menjauhkan suatu objek dari nda. Perhatikan Gambar 5.6 berikut. tembok posisi lemari mulamula tembok titik pusat dilatasi O m posisi lemari setelah dipindahkan sejauh m mendekati orang a tembok lantai posisi lemari setelah dipindahkan sejauh m dari posisi mulamula menjauhi orang m O m m 4 m m lantai,5 m O m m m m lantai b c faktor dilatasi faktor dilatasi 88 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

35 Pada gambar (a), posisi lemari sebelum dipindahkan adalah m dari titik pusat dilatasi O, aitu perpotongan antara tembok dengan lantai. Tinggi lemari mulamula (menurut orang ang sedang berdiri) adalah m. Pada gambar (b), lemari dipindahkan ke arah orang ang sedang berdiri sejauh m. Jarak lemari dengan titik pusat dilatasi menjadi 4m atau kali posisi mulamula. Lemari tampak membesar. Tinggi lemari menjadi m atau tinggi mulamula. 4 m m m m Jelajah Matematika faktor dilatasi faktor dilatasi Dengan demikian lemari dikatakan mengalami dilatasi dengan titik pusat O dan faktor dilatasi. Begitu juga ketika lemari dipindahkan ke arah kiri sejauh m dari posisi awalna. Jarak lemari dengan titik pusat dilatasi menjadi m atau posisi mulamula. Lemari tampak mengecil. Tinggi lemari menjadi,5 m atau tinggi mulamula. m m,75 m m faktor dilatasi faktor dilatasi Jadi, lemari mengalami dilatasi dengan titik pusat O dan faktor skala dilatasi atau ditulis È O, Í Î. pa ang dimaksud dengan faktor dilatasi? Faktor dilatasi adalah perbandingan antara jarak baangan dari pusat dilatasi dengan jarak titik mulamula dari titik pusat dilatasi. faktor 4 jarak lemari dari titik O setelah dipindahkan m dilatasi m jarak lemari dari titik O mulamula Sumber: Beberapa seniman, dalam melukis miniatur bisana menggunakan Pantograf untuk memberikan rincian ang lebih besar. Pantograf tersebut tersusun atas jajargenjangjajargenjang ang disambung menambung. Pada pantograf terdapat suatu titik, ang menentukan apakah gambar akan diperbesar atau diperkecil ( dilatasi), atau bahkan dapat dirotasikan. faktor dilatasi m m jarak lemari dari titik O setelah dipindahkan jarak lemari dari titik O mulamula Misalkan k adalah faktor dilatasi maka berlaku hubungan berikut. Jika k > maka bangun baangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Jika < k < maka bangun baangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Transformasi Bidang Datar 89

36 Jika < k < maka bangun baangan diperkecil dan terletak berlawanan terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Jika k < maka bangun baangan diperbesar dan terletak berlawanan terhadap pusat dilatasi dan bangun semula.. Dilatasi terhadap Titik Pusat O(,) Telah nda ketahui, bahwa faktor dilatasi adalah perbandingan antara jarak baangan dari pusat dilatasi dengan titik mulamula dari pusat dilatasi. Misalkan k adalah faktor dilatasi, (, ) adalah titik ang didilatasikan, dan '(', ') adalah baangan dari. Jika pusat dilatasi adalah O(, ), maka faktor dilatasi k adalah sebagai berikut. O' k O Perhatikan Gambar 5.7 berikut. ' '(', ') Gambar 5.7 Dilatasi titik (, ) terhadap titik O(, ) O P (, ) Q ' Pada Gambar 5.7, tampak segitiga PO dan segitiga 'QO O' sebangun. Oleh karena k kemudian segitiga PO dan O 'QO sebangun maka berlaku OQ OP k atau ' k atau ' k Q P k atau k atau ' k Jadi, diperoleh baangan dari (, ) adalah '(k, k) Dengan demikian, uraian tersebut memperjelas definisi dilatasi berikut. Jika titik (, ) didilatasikan terhadap titik pusat O(, ) dengan faktor dilatasi k, maka baangan dari adalah '(', ') dengan ' k ' k ditulis [O, k] (, ) '(k, k) 9 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

37 Persamaan ' k dan ' k disebut persamaan transformasi dilatasi terhadap titik pusat O(, ) dengan faktor dilatasi k. Contoh Soal 5. Diketahui segitiga BC dengan koordinatkoordinat titiktitik sudutna adalah (, ), B(, ), dan C(, ).Tentukan: a. baangan dari titiktitik sudutna jika dilatasi terhadap titik pusat O(, ) dengan faktor dilatasi. b. luas dari baangan bangun BC. a. Diketahui faktor dilatasi k. (, ) B(, ) C(, ) ææ Æ ' ( ( ), ( )) ' (6, 6) [ O, æ ] [ O, æ ] ææ Æ B' ( ( ), ( )) B' (, 6) [ O, æ ] ææ Æ C' ( ( ), ( )) C' (4, ) b. Gambar segitiga BC dan baanganna segitiga 'B'C' terlihat pada gambar berikut. C B 6 B' 5 4 C' ' Gambar 5.8 Dilatasi segitiga BC oleh faktor dilatasi terhadap pusat O(, ) segitiga 'B'C' diperbesar dan berlawanan arah dengan segitiga BC. Pada segitiga ' B' C', panjang 'B' 6 4 satuan, dan panjang CP 4 satuan. Luas segitiga 'B' ' B' C' CP satuan. Sama seperti transformasi sebelumna, dilatasi juga dapat dilakukan dengan perkalian dua matriks. Perhatikan kembali persamaan dilatasi terhadap titik pusat O(, ) berikut. ' k ' k Jika persamaan tersebut diuraikan, diperoleh ' k + ' + k Transformasi Bidang Datar 9

38 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi 9 Contoh Soal 5. Dengan menggunakan matriks, tentukan baangan dari titik ( 5, ) ang dilatasi terhadap titik pusat O(, ) dengan faktor dilatasi. Diketahui ( 5, ) atau 5 dan dan k. Baangan ditentukan dengan persamaan matriks berikut. k k ' ' maka diperoleh ' ' ( ) 5 ( 5 ( ( ) ( ( ( ) 5 ( 5 ( ( ) ( ( Jadi, baangan dari titik ( 5, ) adalah '( 5, 9). Notes Matriks dilatasi adalah k k dengan k adalah faktor dilatasi. Dilatasi terhadap Titik Pusat P(a, b) Sebelumna, nda telah belajar dilatasi terhadap titik pusat O(, ). Sekarang, nda pelajari dilatasi terhadap titik pusat P(a, b). Perhatikanlah gambar berikut. ' b a k( a) '(', ') '(, ) b k'( b) b + k ( b) ' a + k( a) a ' O P Gambar 5.9 Titik (, ) didilatasi oleh faktor dilatasi k terhadap titik pusat P(a, b) Maka diperoleh persamaan matriks sebagai berikut. k k ' ' k k disebut matriks dilatasi terhadap titik pusat O(, ).

39 Secara umum, definisi dilatasi terhadap titik pusat P(a, b) dengan faktor skala k adalah sebagai berikut. Jika titik (, ) didilatasikan terhadap titik pusat P(a, b) dengan faktor dilatasi k maka baangan titik adalah '(', ') dengan ' a + k( a) ' b + k( b) ditulis [P, k] (, ) '(a + k( a), b+ k( b)) ' a + k( a) dan ' b + k( b) disebut persamaan dilatasi terhadap titik pusat P(a, b). Contoh Soal 5.4 Gambarlah baangan segitiga BC dengan titiktitik sudutna (5, ), B(6, ), dan C(, ) ang didilatasi terhadap titik pusat dilatasi P(, ) dengan faktor dilatasi. Pertama tentukan terlebih dahulu baangan dari titiktitik sudutna. Diketahui titik pusat dilatasi adalah P(, ) maka a dan b. Faktor dilatasi k. Baangan ditentukan dengan menggunakan persamaan dilatasi terhadap titik pusat P(a, b) ' a + k( a) ' b + k( b) Untuk (5, ) maka 5 dan. ' + ( )(5 ) + ( 8) 7 ' + ( )( ) + Jadi, baangan dari (5, ) adalah '( 7, ). Untuk B(6, ) maka 6 dan. ' + ( )(6 ) + 9 ' + ( )( ) + ( ) Jadi, baangan dari B(6, ) adalah B'( 9, ). Untuk C(, ) maka dan. ' + ( )( ) + ( 4) ' + ( )( ) + ( 4) Jadi, baangan dari C(, ) adalah C'(, ). Bangun datar ang terbentuk adalah sebagai berikut. 9 B' ' 7 C' P C B Gambar 5. Segitiga BC dilatasi oleh faktor dilatasi k terhadap pusat P(, ) Transformasi Bidang Datar 9

40 Tugas Siswa 4. Sebuah perusahaan memiliki gudang ang memiliki ukuran panjang dan lebar sebagai berikut. D C Jika gudang tersebut direnovasi bentuk atau posisina menjadi persegi panjang ' B' C' D' 8 m seperti ang terlihat pada point a), b), dan c) berikut, maka tentukanlah titik pusat dilatasi dan faktor dilatasina. 6 m B a) D' C' b) B' 6 m ' 8 m 6 m D C D C C' D' 8 m ' B m D' 6 m B Evaluasi Materi 5.4 Kerjakanlah soalsoal berikut di buku latihan nda.. Tentukan baangan titik (4, 5) jika didilatasi oleh: a. (O, ) c. O, b. (O, ) d. (O, ). Diketahui titiktitik sudut segitiga BC adalah (, ), B(4, ), dan C(, ). a. Tentukan baangan dari titiktitik sudut segitiga BC jika didilatasi oleh ( O, ) b. Gambarkan segitiga BC dan baanganna pada kertas berpetak.. Jika P'(8, 4) adalah baangan dari P(, ) ang didilatasi oleh (O, k), ) tentukan nilai k. 4. Titik Q(5, 7) didilatasi terhadap titik pusat P(, ) dengan faktor dilatasi. Tentukan: a. baangan dari titik Q, b. gambarkan titik Q dan baanganna pada kertas berpetak, 94 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

41 E Komposisi Transformasi Pada subbabsubbab sebelumna, nda telah mempelajari transformasitransformasi tunggal. Pada subbab ini, nda akan mempelajari komposisi transformasi, aitu transformasi ang dikerjakan dua kali atau lebih secara berurutan. Kata Kunci komposisi Transformasi T ang dilanjutkan dengan transformasi T terhadap suatu titik dapat ditulis (T T T ) () Æ (T ()). Lambang T T (dibaca T dot T ) menatakan transformasi T dikerjakan dahulu, kemudian dilanjutkan dengan transformasi T. Sebaikna T Tmenatakan transformasi T dikerjakan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan T. Untuk lebih jelasna, pelajarilah Contoh Soal 5.5 berikut. Contoh Soal 5.5 Jika T adalah translasi terhadap, T adalah refleksi terhadap sumbu, dan T adalah rotasi terhadap pusat O(, ) sejauh 9 searah jarum jam. Tentukan baangan titik ( 4, ) oleh transformasi berikut. a. T T b. T T a. T T () artina titik ditranslasikan terhadap T, kemudian dilanjutkan oleh T, aitu refleksi terhadap sumbu. (, ) T æ Ææ Æ' ( + a, + b) '( + a, + b) T ææ Æ''( + a, ( + b)) ( 4, ) maka 4,, a, dan b Diperoleh, ( 4, ) maka 4,, a, dan b Jadi, baangan titik ( 4, ) oleh T T adalah ''(, 5). b. T T ( ) artina titik ditransformasi oleh T, aitu dirotasikan oleh R(, 9 ), kemudian dilanjutkan oleh transpormasi oleh T, aitu translasi terhadap. cos ( 9 ) dan sin ( 9 ) (, ) T æ Ææ Æ'( ( ), ( ) + ) '(, ) T æ Ææ Æ'( + a, + b) ( 4, ) maka 4,, a dan b Diperoleh ( 4, ) T T æææ Æ''( +, ( 4) + ) Jadi, baangan titik ( 4, ) oleh komposisi T T adalah ''(4, 6) Transformasi Bidang Datar 95

42 Solusi Cerdas Baangan titik (4, ) oleh pencerminan terhadap garis dilanjutkan pencerminan terhadap garis 5 adalah... a. ''(8, 5) b. ''(, ) c. ''(8, ) d. ''(4, 5) e. ''(, ) Jawab (, ) Æ ''((n m)+, ) (4, ) Æ ''((5 )+ 4, ) Jadi, baangan titik adalah '' adalah ''(, ) Jawaban: b UN SMK,4 Selain dengan cara seperti pada contoh soal 5.6 komposisi transformasi juga dapat dilakukan dengan menggunakan perkalian matriks ang sesuai dengan transformasi ang ditanakan. Sebelumna lakukanlah kegiatan berikut. Kegiatan Siswa Menemukan Hubungan antara Komposisi Transformasi T T atau T T dan Matriks Transformasi M dan M. Langkah Kerja:. Misalkan sebuah titik sembarang (, ) akan ditransformasikan oleh transformasi T dahulu kemudian dilanjutkan dengan transformasi T. Misalkan, matriks transformasi T dan T aitu M dan M memiliki bentuk umum M a c p M r b d dan q s. Tentukan hasil transformasi (, ) oleh T. ' M ' º + º º + º Kemudian, lanjutkan dengan transformasi T. '' M ' '' ' º + º º + º...(*) Dalam persamaan (*). nda telah memperoleh matriks T T, aitu komposisi transformasi dari ( ) º + º º + º ( T T ). Untuk melihat kaitan matriks ( T T )...(**) dengan matriks M dan M, coba nda lakukan perkalian M M dan M M. M M a b p c d r M M p q a r s c nalisis: q s º+º º+º b d º+º º+º...(***)...(****) Perhatikan matriks komposisi transformasi T T dalam (**) dan perkalian matriks transformasi M M dan M M. Kemudian, natakan persamaan ang menghubungkan T T dengan M dan M. 96 ktif Menggunakan Matematika Kelas XI SMK/MK Rumpun Sosial, dministrasi Perkantoran, dan kutansi

43 Jika T adalah transformasi ang bersesuaian dengan Èa a matriks M Í Îa a dan T adalah transformasi ang È b b bersesuaian dengan matriks M Í Î b b maka komposisi transformasi sebagai berikut. T T bersesuaian dengan perkalian matriks Èa a È b b M M Í Îa a Í Î b b T T bersesuaian dengan perkalian matriks Èb b a a M M Í b b È Í Î Îa a Pada subbabsubbab sebelumna, nda telah mempelajari matriksmatriks ang mewakili suatu transformasi untuk mengingatkan nda, berikut adalah tabel matriksmatriks ang mewakili suatu transformasi. No Jenis Transformasi Pemetaan Matriks. Translasi (, ) Æ '( + a, + b) [a b].. 4 Refleksi terhadap sumbu terhadap sumbu terhadap garis terhadap garis Rotasi [O, 9 ] [O, 9 ] [O. 8 ] Dilatasi [O, k] (, ) Æ '(, ) (, ) Æ '(, ) (, ) Æ '(, ) (, ) Æ '(, ) (, ) Æ '(, ) (, ) Æ '(, ) (, ) Æ '(, ) (, ) Æ '(k, k) È Í Î È Í Î È Í Î È Í Î È Í Î È Í Î È Í Î Èk o Í Îo k Transformasi Bidang Datar 97