TRANSFORMASI GEOMETRI

Transkripsi

1 TRNSFORMSI GEOMETRI. TRNSLSI Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini. Candra berpindah lajur ke kiri dan baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi satuan ke kiri dan satuan ke atas yang ditulis sebagai Kemudian, Dimas berpindah lajur ke kiri dan baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi satuan ke kiri dan satuan ke bawah yang ditulis sebagai Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengan translasi, diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik N (a-,b+).kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut N a, b N' a, b a Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan T maka b ' P x a, y b. Secara matematis, ditulis sebagai berikut. diperoleh bayangannya P a T b ' x, y P x a, y b Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan c T ' d '' Didapat, P x a, y b P x a c, y b d Perhatikan '' '' P x a c, y b d P x a c, y b d '' Ini berarti P x a c, y b d diperoleh dengan mentranslasikan x y T c d bahwa P, dengan a c T Translasi T ini merupakan translasi T dilanjutkan dengan T, yang ditulis b d sebagai T T

2 a c a c Oleh karena T dan T maka T T b d b d P x, y ditranslasikan dengan T dilanjutkan dengan translasi T kibatnya, titik menghasilkan bayangan ac TT '' P sebagai berikut bd '' x, y P x a c, y b d P Sifat: Dua buah translasi berturut-turut a c diteruskan dengan dapat digantikan b d a c dengan translasi tunggal b d Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. Contoh: p. Translasi T memetakan titik (,) ke titik '(4,6) q a. Tentukan translasi tersebut! b. Tentukanlah bayangan segitiga BC dengan titik sudut (, ), B(3, 4), dan C( 5, 6) oleh translasi tersebut. c. Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban b ditranslasikan lagi dengan T Tentukan bayangannya! d. Translasikan segitiga BC dengan translasi T T. Samakah jawabannya dengan jawaban c? Jawaban p T q ' a., p, q 4,6 Diperoleh +p = 4 sehingga p = 3 +q = 6 sehingga q = 4 3 Jadi translasi tersebut adalah 4 T 3 b. translasi T artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik ', B', dan C' dari segitiga BC dengan translasi T, kalian memperoleh segitiga 'B'C' sebagai berikut B 3 T 4, ' 3, 4 ' 4,6 3 T 4 3,4 B' 3 3,4 4 B' 6,8 3 T 4 5,6 C' 5 3,6 4 C',0 C Jadi bayangan segitiga BC adalah segitiga 'B'C' dengan titik '(4,6), B'(6,8), dan C'(-,0) T c. ' 4,6 '' 4,6 '' 3,5 ' ' T 6,8 '' 6,8 B'' 5,7 T 4,6 '',0 '' 3,9 Jadi bayangan segitiga 'B'C' adalah segitiga ''B''C'' dengan titik ''(3,5), B''(5,7) dan C''(-3,9)

3 d. translasi titik T T B 3 4 3, 3 ', 3 ' 3,5 3,4 3 B' 3,4 3 B' 5,7 3 5,6 C' 5,6 3 C' 3,9 C Jadi bayangan segitiga BC adalah segitiga 'B'C' dengan titik '(3,5), B'(5,7) dan C'(- 3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d. 5 T!. Tentukan bayangan lingkaran (x-3) + (y+) = 4 jika ditranslasikan Jawab mbil sembarang titik P(a,b) pada lingkaran (x-3) + (y+) = 4 sehingga diperoleh (a- 3) + (b+) = 4 Translasikan titik P dengan 5 T sehingga diperoleh 5 a, b P'' a 5, b P Jadi titik P'(a-5, b+) Perhatikan bahwa: a'= a - 5. Dari persamaan (*), didapat a = a' 5. b'= b +. Dari persamaan (*), didapat b = b' -. Dengan mensubstitusi nilai a dan b ini ke persamaan (*), akan Diperoleh (a' 5-3) + (b' - +) = 4 (a' ) + (b' - ) = 4 Jadi bayangan dari (a' + 5-3) + (b' - +) = 4 jika ditranslasikan 5 dengant adalah (a' + ) + (b' - ) = 4 B. REFLEKSI Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. pakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? mati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan. Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa: Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu Q = Q dan PB = P B. Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku. Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi. Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

4 Rumus Matriks x y sb. x, ' x, y x' 0 x sumbu-x 0 y x y sb. y, ' x, y x' 0 x sumbu-y 0 y y x x, y ' y, x x' 0 x y=x 0 y y x x, y ' y, x x' 0 x y=-x 0 y x k x, y ' k x, y x=k y k x, y ' x, k y y=k, q x, y p ' x', x' p cos80 sin80 x p titik Sama dengan rotasi pusat (p,q) (p,q) q sin80 cos80 y q sejauh 80 0,0 x, y ' x, y x' 0 x titik pusat (0,0) 0 y y mx x, y ' x', x' cos sin x x cos y sin sin cos y y=mx,m=tan xsin y cos α y x k x, y ' x', x' 0 x 0 y k y=x+k 0 y k k x k y x k x, y ' x', x' 0 x 0 y k y=-x+k 0 y k k x k SIFT-SIFT a. Dua refleksi berturut-turut sebuah merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah. b. Pengerjaan dua refleksi dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan. rah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip. c. Pengerjaaan dua refleksi dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran titik potong dari kedua sumbu pencerminan. dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif. d. Pengerjaan dua refleksi berurutan dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat: Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran. Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan. rah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

5 C. ROTSI Rotasi Rumus Matriks Rotasi dengan R0, x, y ' x', x' cos pusat (0,0) x cos y sin dan sudut sin putar α xsin y cos Rotasi dengan RP, x, y ' x', x' cos pusat P(a,b) a x acos y bsin dan sudut sin putar α b x asin y bcos sin x cos y sin x a a cos y b b Keterangan α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam α - : arah putaran searah putaran jarum jam SIFT-SIFT Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan: Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri. D. DILTSI ini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k. Jika k > atau k < -, maka hasil dilatasinya diperbesar Jika - < k <, maka hasil dilatasinya diperkecil Jika k =, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan Dilatasi Rumus Matriks Dilatasi dengan pusat (0,0), k x, y 0 ' kx, ky x' k 0 x dan faktor dilatasi k 0 k y Dilatasi dengan pusat P(a,b) P, k x, y ' x', x' k 0 x a a dan faktor dilatasi k a kx a 0 k y b b b k y b E. KOMPOSISI TRNSFORMSI DENGN MRIKS Matriks yang bersesuaian dengan transformasi geometri Transformasi Rumus Matriks Identitas x, y ' x, y x' 0 x 0 y Translasi p q x y x' x p, ' x p, y q y q x y sb. x, ' x, y x' 0 x sumbu-x 0 y x y sb. y, ' x, y x' 0 x sumbu-y 0 y

6 y=x y=-x x=k y=k (p,q) titik titik pusat (0,0) y=mx,m=tan α y=x+k y=-x+k Rotasi dengan pusat (0,0) dan sudut putar α Rotasi dengan pusat P(a,b) dan sudut putar α y x, y ' y, x x y x, y ' y, x x x k, y ' k x, y x y k, y ' x, k y x, q, y p ' x', x Sama dengan rotasi pusat (p,q) sejauh 80 0,0 x, y ' x, y y mx x, y ' x', x cos y sin xsin y cos y x k x, y ' x', y k x k y x k x, y ' x', y k x k R0, x, y ' x', x cos y sin x y xsin y cos RP, x, y ' x', ' a x acos y bsin ' b x asin y bcos x' 0 x' 0 x 0 y x 0 y x' p cos80 q sin80 x' 0 x' cos sin 0 x y sin80 x p cos80 y q sin x cos y x' 0 x 0 0 y k k x' 0 x 0 0 y k k x' cos sin x' cos sin sin x cos y sin x a a cos y b b Dilatasi dengan pusat (0,0) dan factor dilatasi k Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k, k, y 0 ' kx, ky x P, k x, y ' x', x' a kx a b ky b dengan x' k 0 x' k 0 0 x k y 0 x a a k y b b Komposisi transformasi. komposisi dua translasi berurutan Diketahui dua translasi T a c T dan b d T. Jika translasi T dilanjutkan translasi maka dinotasikan dan translasi tunggalnya adalah T=T +T =T +T (sifat komutatif).. komposisi dua refleksi berurutan a. refleksi berurutan dua sumbu sejajar Jika titik (x,y) direfleksikan x=a dilanjutkan x=b. Maka bayangan akhir adalah ' x', yaitu: x'=(b-a)+x T T

7 =y Jika titik (x,y) direfleksikan y=a dilanjutkan y=b. Maka bayangan akhir adalah ' x', yaitu: x'=x =(b-a)+y b. refleksi dua sumbu saling tegak lurus Jika titik (x,y) direfleksikan x=a dilanjutkan y=b (dua sumbu yang saling tegak lurus) maka bayangan akhir adalah ' x', sama dengan rotasi titik (x,y) dengan pusat titik potong dua sumbu () dan sudut putar 80 c. refleksi dua sumbu yang saling berpotongan Jika titik (x,y) direleksikan g dilanjutkan h, maka bayangan akhirnya adalah ' x', dengan pusat perpotongan g dan h dan sudut putar α(α sudut antara g dan h) serta arah putaran dari g ke h. Catatan tan m m l k m k m m m gradien l gradien k k l l d. sifat komposisi refleksi Komposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidak komutatif kecuali komposisi refleksi sumbu x dilanjutkan sumbu y (dua sumbu yang saling tegak lurus). 3. rotasi berurutan yang sepusat a. Diketahui rotasi R (P(a,b),α) dan R (P(a,b),β), maka transformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasi R dilanjutkan R adalah rotasi R(P(a,b),α+β) b. Rotasi R dilanjutkan R sama dengan rotasi R dilanjutkan R 4. komposisi transformasi Diketahui transformasi a c b dan T d T p r q s maka transformasi tunggal dari transformasi: a. T dilanjutkan T (T T ) adalah T=T. T b. T dilanjutkan T (T T ) adalah T=T. T Catatan T. T = T. T 5. bayangan suatu kurva/bangun oleh dua transformasi atau lebih Contoh: Tentukan bayangan -4x+y=5 oleh pencerminan y=x dilanjutkan 3 translasi! Jawab: misal titik P(x,y) pada -4x+y=5 P(x,y) dicerminkan y=x, bayangannya P'(y,x) 3 P'(y,x) ditranslasi. Bayangannya P''(y+3, x+)=p''(x'',') Jadi x'' = y +3 y = x''-3 ' = x + x = ' - persamaan -4x+y=5-4(' -) + (x'' - 3) = 5-4' x'' 3 = 5 x'' - 4'= 0 jadi bayangan akhirnya adalah x - 4y= 0 6. luas bangun hasil tranformasi Jika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lain-lain) ditransformasikan maka: a. Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi : translasi, refleksi, dan rotasi. b. Luas bangun bayangan berubah untuk transformasi dilatasi, yaitu jika luas bangun mulamula L setelah didilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun bayangannya adalah L'=k +L

8 SOL TRNSFORMSI GEOMETRI () Transformasi geometri yang akan kita pelajari ada 4 Yaitu. Translasi ( pergeseran ). Dilatasi ( perbesaran ) 3. ( pencerminan) 4. Rotasi ( perputaran ). TRNSLSI Notasi : P (x,y ) P ( x,y ) x = x + h y = y + k Bila dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi : x y x y x h y k x h y k = = matriks translasi koordinat titik asal koordinat bayangan / peta Contoh. Sebuah titik ( 3,5 ) ditranslasikan menjadi 3 titik dengan translasi T = 3. Diketahui sebuah x + 3y = 6 Tentukan bayangannya jika itu ditranslasikan oleh T = Diket sebuah 3x y = 6 Tentukan bayangannya jika itu ditranslasikan oleh T =. Sebuah titik ( -3,5 ) ditranslasikan menjadi titik dengan _aying translasi T = 3 5.Sebuah lingkaran ( x 3 ) + ( y + ) = 9 ditranslasikan oleh T = bayangannya. 3 Tentukan

9 KOMPOSISI TRNSLSI Jika T adalah translasi dan T adalah translasi Maka jika titik (x,y) ditranslasikan oleh T = oleh T = c d a b dan dilan jutkan maka bayangannya adalah T T (x,y ) ( x,y ) x y ` ` c d = x` = a + c Y` = b + d a b + Contoh Sebuah titik ( -3,5 ) ditranslasikan menjadi titik dengan translasi T = 3 dilanjutkan T = 3 T T (x,y ) ( x,y ) T T P (3,- ) P ( x,y ) x y ` ` 5 3 = 3 + x` = = 8 Y = 3 - = P ( 8, ) Persamaan lingkaran : x + y + x - 6y + 4 = 0 Bayangannya : ( x 8 ) + ( y ) = 3 x + y 6x - 4y + 59 = 0 Kerjakan seperti contoh di atas.sebuah lingkaran x + y 6x + 4y - 3 = 0 ditranslasikan oleh T = 3 Tentukan bayangannya. dilanjutkan T = x y ` ` 3 = x` = 3 + (-) = Y = = Jadi (, ) 3 +. Sebuah lingkaran x + y 6 + 4y + 4 = 0 ditranslasikan oleh T = T = Tentukan bayangannya. dilanjutkan x + y 6 x + 4 y + 4 = 0 : - : - Pusat ( 3, - ) ; - Jari jari r = 3 ( ) 4 = 3. Diket sebuah 4x 3y = Tentukan bayangannya jika itu ditranslasikan oleh T = dilanjutkan T = 3 Untuk mencari bayangan lingkaran kita translasikan Pusat lingkarannya sbb :

10 Dilatasi Dilatasi dengan pusat O (0,0) O ( 0,0), P (x,y ) P ( x,y ) x = k x y = k y k adalah faktor skala O(0,0) adalah pusat dilatasi Contoh :. Sebuah titik ( 3,5 ) didilatasikan menjadi titik dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala 7. Tentukan koordinat bayangannya O (0,0), k 7 (3,5 ) ( x,y ) x = 7. 3 = y = 7. 5 = 35 jadi (,35). Sebuah titik ( -3, ) didilatasikan menjadi titik dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala. Tentukan koordinat bayangannya Dilatasi dengan pusat P (a,b) P ( a, b), k (x,y ) ( x,y ) x - a = k ( x a ) y - b = k ( y b ) 5. Sebuah titik (,-3 ) didilatasikan menjadi titik dengan pusat dilatasi P(,3) dan faktor skala 4 P (,3), 4 (, -3) ( x,y ) x - = 4( ) = -4 + x = - y - (-3) = 4 (-3 3 ) y= = 7 jadi (-,7) 6. Sebuah titik (,-3 ) didilatasikan menjadi titik dengan pusat dilatasi P(4,-) dan faktor skala Sebuah titik ( -4,6 ) didilatasikan menjadi titik dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala -. Tentukan koordinat bayangannya 7. Sebuah titik ( 4,-3 ) didilatasikan menjadi titik dengan pusat dilatasi P(-3,) dan faktor skala 4. Sebuah titik ( 6,-6 ) didilatasikan menjadi titik dengan pusat dilatasi O(0,0) dan faktor skala -. Tentukan koordinat bayangannya

11 8. Sebuah titik (,-3 ) dan B( -3.) didilatasikan menjadi titik dan B dengan pusat dilatasi P(3,) dan faktor skala 5 Tentukan panjang hasil transformasi. 0. Garis x + 5y 3 = 0 dirotasikan dengan pusat O bersudut, dilanjutkan refleksi sumbu x Tentukan persamaan bayangan tersebut 9. Diketahui M adalah refleksi x = 5, D adalah dilatasi dengan pusat P(-,3) dan factor skala 6. Tentukan bayangan titk (,-4) oleh M dilanjutkan D gambarkan. Diketahui lingkaran ( x ) + ( y + ) = 4 y = - x dilanjutkan didilatasikan dgn faktor skala 3 dan dan pudat (,3 ) gambarkan 4 REFLEKSI ( PENCERMINN ). Terhadap x = h Notasi M x = h M x = h P (x,y ) P ( x, y ) x = x + ( h x ) = h - x y = y B. Terhadap y = k Notasi M y = k M y = k P (x,y ) P ( x, y ) x = x y = y + ( k y ) = k y 6. Sebuah titik ( 3,8 ) dicerminkan x = 5

12 9. Sebuah titik ( -,7 ) dicerminkan y = Sebuah titik ( 3,- 4 ) dicerminkan x = - 5 Jawab 8. Diket sebuah 3x - y = 6 Tentukan bayangan nya jika itu dicerminkan x = 5 0. Sebuah titik ( 3, 4 ) dicerminkan x = - 5 dilanjutkan dicerminkan grs y = Jawab.Diket sebuah -3x + y = 6 Tentukan bayangan nya jika itu dicerminkan y = 5 Pencerminan sumbu yang sejajar. Pencerminan sumbu yg sejajar dng sb y M x = k M x = h P ( x,y ) M x = k M x = h P`( x`, y` ) rtinya pencerminan x = h dilanjutkan x = k, yang dikerjakan dulu ditulis dibelakang. Rumus : M x = k M x = h P ( x,y ) P`( x`, y` ) X ` = x + ( k h ) Y ` = y B. Pencerminan sumbu yg sejajar dng sb x M y = k M y = h P ( x,y ) M y = k M y = h P`( x`, y` ) rtinya pencerminan y = h dilanjutkan y = k, yang dikerjakan dulu ditulis dibelakang. Rumus : M y = k M y = h P ( x,y ) P`( x`, y` ) x ` = x y ` = y + ( k h ) 4. Diketahui titik P(, - 4 )

13 . Diketahui titik P(3,6 ) x = 5 dilanjutkan x = 8 M x = 8 M x = 5 P ( 3,6 ) P`( x`, y`) X ` = x + ( 8 5 ) = = 9 Y ` = 6 Jadi koordinat P` ( 9,6 ). Diketahui titik P(3,- 4 ) x = dilanjutkan x = 7 y = dilanjutkan y = 5 M y = 5 M y = P (,-4 ) P`( x`, y`) X ` = x = Y ` = y + ( 5 ) = = Jadi koordinat P` (, ) 5. Diketahui titik P( -, 5 ) y = 3 dilanjutkan y = 8 3. Diketahui x + y = 3 x = dilanjutkan x = 7 6. Diketahui x + y = 6 y = dilanjutkan y = 3 Pencerminan dengan matriks Transformasi Matriks Transformasi Matriks M x = M y = M x=h = h x y M y= x = M y= -x = M y=k = x k y 9. Diketahui titik P( -3, 5 ) y = x dilanjutkan x = 3 dan gambarkan

14 7. Diketahui segitiga BC dengan ( -4,6 ) B ( -,-5 ) dan C( 8,5 )dicerminkan grs y = x Tentukan bayangannya dan gambarkan 8. Diketahui titik P(, - 5 ) y = - x dilanjutkan y = 3 dan gambarkan 0. Diketahui lingkaran ( x ) + ( y + ) = 4 y = - x dilanjutkan y = dan gambarkan. ROTSI R ( O, ) Notasi : P (x,y ) P ( x,y ) rotasi x y Sudut/besar/arah Rotasi Pusat rotasi cos sin sin x cos y =. Sebuah titik ( 3,5 ) dirotasikan menjadi titik dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi Diketahui sebuah x + 3y = 6 Tentukan bayangannya jika itu dirotasikan dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi Diketahui sebuah x + 4y = 8 Tentukan bayangannya jika itu dirotasikan dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi 80 0

15 . Sebuah segitiga BC dengan ( 6,0 ), B(- 3,4) dan C(,5) dirotasikan menjadi titik BC dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi 60 0 dan gambarkan 5. Sebuah lingkaran ( x 3 ) + ( y + ) = 9 Tentukan bayangannya jika lingkaran itu dirotasikan dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi Diket sebuah 3x - y = 6 Tentukan bayangannya jika itu dengan pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi 90 0 dilanjutkan dicerminkan y = x dan gambarkan. 0. Sebuah titik ( -3,5 ) dirotasikan menjadi titik dengan pusat rotasi P(, 4 ) dan arah rotasi 60 0 Rotasi dengan pusat P(a,b) dengan arah R ( P(a,b), ) Notasi : P (x,y ) P ( x,y ) Pusat rotasi P(a,b) x y cos sin sin x a cos y b = 9. Sebuah titik ( 3,5 ) dirotasikan menjadi titik dengan pusat rotasi P(,) dan arah rotasi Diketahui sebuah 3x + y = 6 Tentukan bayang annya jika itu dirotasikan dengan pusat rotasi P(,- ) dan arah rotasi 90 0