R E S U M E TRANSFORMASI

Transkripsi

1 R E S U M E TRNSFORMSI Transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan arah asalnya V dan daerah nilainya V juga Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang : 1 Surjektif 2 Injektif Surjektif artinya bahwa pada tiap titik B V ada prapeta Jadi kalau T suatu transformasi maka ada V sehingga B = T () B dinamakan peta dari oleh T dan dinamakan prapeta dari B Injektif artinya : kalau 1 2 dan T ( 1 ) = B 1, T( 2 ) = B 2, maka B 1 B 2 : ungkapan ini setara dengan ungkapan sebagai berikut : Kalau T(P 1 ) = Q 1 dan T(P 2 ) = Q 2 sedangkan Q 1 = Q 2 maka P 1 = P 2 Contohnya : Misalkan V bidang Euclid dan sebuah titik tertentu pada V, ditetapkan relasi T sebagai berikut : i) T() =, jika P = ii) Jika P V P, T(P) = Q dengan Q merupakan titik tengah ruas garis P pakah relasi T merupakan suatu transformasi? Penyelesaian : Yang harus diteliti relasi T sehubungan dengan suatu transformasi, maka diperoleh persyaratan suatu transformasi yaitu : 1 T suatu fungsi dari V ke V 2 T suatu fungsi bijektif Sedangkan persyaratan bahwa suatu fungsi bijektif adalah : a Fungsi tersebut adalah fungsi kepada b Fungsi tersebut adalah fungsi satu satu Jadi, dari uraian tersebut dapat diambil ketentuan bahwa, yang harus dilakukan adalah apakah relasi T yang memenuhi : 1 T fungsi dari V ke V 2 T fungsi bijektif, yakni a T fungsi kepada b T fungsi satu satu

2 Perhatikan, cara menjabarkan jawaban soal contoh 1 tersebut : 1 T fungsi V ke V Titik P V, titik V ada dua kemungkinan : 1 P = 2 P I Untuk P = T(P) = atau = T(P) II Untuk P 1 P V 2 Q titik tengah P atau Q = PQ 3 Q P dan P V Q V 2 T fungsi Bijektif a T fungsi kepada Misal R V dan V ada dua kemungkinan, yaitu : I R = II R I R = T (R) = atau T () = R II R ada M titik tengah R, maka T(M) = R T(M) = (ii) (i) R R b mbil dua titik sembarang misalnya P dan Q V sehingga T (P) = T (Q) Dari keadaan ini, maka terdapat kasus yaitu : P =, Q =, P dan Q untuk P =, T(P) = P =, sedangkan T (P) = T (Q) = Jadi Q = dan P=Q Untuk Q =, T(Q) = Q = telah diketahui bahwa T(P) = T(Q), maka T (P) = Jadi P = dan P = Q Untuk P, dan Q misalkan T (P) = P dan T(Q) = Q maka P Є P dan Q = Q karena P P maka P = P dan karena Q Q maka Q = Q Karena T (P) = T(Q) berarti P = Q dan P = Q dengan demikian P = Q jadi,p dan Q kolinear Karena, P dan Q kolinier dan P = Q dengan P titik tengah P dan titik tengah Q maka P = Q

3 Jadi untuk setiap P,Q V, T (P) = T (Q) mendapatkan P = Q maka T dikatakan sebagai fungsi satu satu, karena T fungsi kepada dan fungsi satu satu, maka T merupakan fungsi bijektif dengan demikian dapatlah kita katakana bahwa T merupakan suatu transformasi

4 PENCERMINN Definisi Suatu pencerminan (reflexi) pada sebuah garis S adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut : (i) Jika P S maka Ms (P) = P (ii) Jika P S maka Ms (P) = P sehingga garis s adalah sumbu PP pencerminan pada garis sselanjutnya kita lambangkan sebagai Ms Garis s dinamakan sumbu reflexi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin Contoh : Misalkan diberikan titik titik, B dan C serta garis g seperti pada gambar dibawah ini B C Lukis : g a) titik sehingga = µg () b) titik B sehingga B = µg (B) c titik C sehingga C = µg (C) Penyelesaian : a Karena = µg () dengan g, maka g merupakan sumbu dari ' rtinya terletak pada sumbu l yang melalui titik dan tegak lurus terhadap g, sehingga apabila { N } = sisi yang berbeda oleh g b Karena B = µg (B) dengan B g, maka B = B l g maka N = N dan dengan terletak pada c Karena C = µg (C) dengan C g, maka g merupakan sumbu dari ' CC, akibatnya C terletak pada garis m yang melalui titik c dan tegak lurus terhadap g, sehingga apabila { m } = sisi yang berbeda oleh g m g maka CM = MC dan C dengan C terletak pada

5 Lukiskan a Buat garis l melalui tegak lurus g Cari{ N } = l g Buatlah garis lurus N sehingga N l dan dan tidak terletak pada sisi yang sama oleh g b Jelas c Buat garis m melalui c tegak lurus g cari M = g Buatlah ruas garis MC sehingga MC l dan c tidak terletak pada sisi yang sama oleh g ' N ' MC N B M C C g Soal latihan halaman 46 7 T : V V, didefinisikan sebagai berikut : pabila P( XY ) maka i) T(P) = ( X + 1, Y ) Untuk X O ii) T(P) = ( X - 1, Y ) Untuk X < O a) pakah T injektif? b) pakah T suatu transformasi? Jawab : T : V V, bila P ( X, Y ) (I) T(P) = ( X + 1, Y ) untuk X 0 T : V V X 0 = ( X + 1, Y ) ( 0 + 1, Y ) Titik ( 1, Y ) ( 1 + 1, Y ) Titik ( 2, Y ) (II) T(P) = ( X - 1, Y ) untuk X < 0 = ( -1-1, Y ) ( -2, Y ) = ( -2-1, Y ) ( -3, Y ) T(P) = V V adalah injektif

6 Soal latihan halaman 50 1 Diketahui dua titik dan B Lukislah garis Q sehingga Mg () = B Tentukan pula Mg (B) Jawab : g Mg () = B Mg (B) = B