SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS SISKA MARYANA DEWI

Transkripsi

1 SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS SISKA MARYANA DEWI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skrisi berjudul Sifat Oerasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi embimbing dan belum diajukan dalam bentuk aa un keada erguruan tinggi mana un. Sumber informasi yang berasal atau dikuti dari karya yang diterbitkan mauun tidak diterbitkan dari enulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skrisi ini. Dengan ini saya melimahkan hak cita dari karya tulis saya keada Institut Pertanian Bogor. Bogor, November 2014 Siska Maryana Dewi NIM G

4 ABSTRAK SISKA MARYANA DEWI. Sifat Oerasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus. Dibimbing oleh SISWANDI dan FARIDA HANUM. Karya ilmiah ini membahas sifat-sifat oerasi dalam aljabar -lus dan sifat-sifat yang dialikasikan ada matriks serta eksistensi invers matriks dalam aljabar -lus. Oerasi-oerasi matriks yang daat dialikasikan dalam aljabar -lus meliuti oerasi enjumlahan dan erkalian antar matriks, matriks transose, matriks identitas, matriks segi angkat ke-k, serta erkalian matriks dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks dalam aljabar -lus yaitu sifat asosiatif (untuk oerasi enjumlahan dan erkalian), komutatif (hanya untuk oerasi enjumlahan), dan distributif. Eksistensi invers suatu matriks A nxn dalam aljabar -lus daat diastikan ada jika dan hanya jika A meruakan erkalian matriks ermutasi P dan matriks diagonal D( i ). Kata kunci: matriks, aljabar -lus ABSTRACT SISKA MARYANA DEWI. Proerties of Oerations and Existence of the Inverse Matrix in Max-Plus Algebra. Suervised by SISWANDI dan FARIDA HANUM. This aer discusses the roerties of oerations in -lus algebra and roerties that valid for the matrix and existence of the inverse matrix in -lus algebra. The oerations that can be alied in -lus algebra includes oerations of addition and multilication between matrices, transose of a matrix, the identity matrix, the k-th rank of a square matrix, and the matrix multilication by a scalar. Proerties that valid for the matrix in -lus algebra is an associative roerties (for addition and multilication oerations), commutative (only for addition oeration), and distributive. The existence of the inverse matrix nxn A in -lus algebra can be guarantied if and only if A is a multilication of a ermutation matrix P and a diagonal matrix D( i ). Keywords: matrix, -lus algebra

5 SIFAT OPERASI DAN EKSISTENSI INVERS SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS SISKA MARYANA DEWI Skrisi sebagai salah satu syarat untuk memeroleh gelar Sarjana Sains ada Deartemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7 Judul Skrisi : Sifat Oerasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus Nama : Siska Maryana Dewi NIM : G Disetujui oleh Drs Siswandi, MSi Pembimbing I Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Deartemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur enulis anjatkan keada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah berjudul Sifat Oerasi dan Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-lus ini daat enulis selesaikan. Shalawat dan salam enulis curahkan keada Nabi Muhammad SAW, beserta sahabat dan umatnya. Ucaan terima kasih enulis ucakan keada Baak Drs Siswandi, MSi dan Ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku dosen embimbing I dan II atas semua ilmu, kesabaran, dan motivasi, serta Baak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku dosen enguji dan Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath atas segala saran dalam enulisan karya ilmiah ini. Penulis juga ingin mengucakan terima kasih keada seluruh dosen di Deartemen Matematika atas semua ilmu yang telah diberikan, serta staf dan egawai atas bantuan dan elayanannya selama ini. Karya ilmiah ini enulis ersembahkan untuk baak, ibu, kakak, adik, dan keluarga. Terima kasih atas semua doa, dukungan, dan kasih sayang yang tiada habisnya. Penulis juga mengucakan terima kasih keada teman-teman Matematika 44, kakak-kakak dan adik-adik tingkat di Institut Pertanian Bogor, teman-teman kos, dan semua ihak yang tak henti memberikan dukungan serta bantuan dalam menyelesaikan karya ilmiah ini. Selain itu, enulis juga ingin memberikan terima kasih keada Suer Junior, khususnya Cho Kyuhyun karena secara tidak langsung telah memberi motivasi agar tidak menyerah dalam mengejar endidikan. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, November 2014 Siska Maryana Dewi

9 DAFTAR ISI PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 TINJAUAN PUSTAKA 1 HASIL DAN PEMBAHASAN 5 Sifat Oerasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus 5 Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus 12 SIMPULAN DAN SARAN 15 Simulan 15 Saran 15 DAFTAR PUSTAKA 16 RIWAYAT HIDUP 17

10

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Aljabar -lus ertama kali muncul ada tahun 1956 dalam aer Kleene yang berjudul Reresentation of events in nerve sets and finite automa. Dalam aljabar -lus, yang menjadi fokus utama adalah semi ring R {ε} R dengan oerasi dan. Saat ini aljabar -lus telah banyak dikembangkan untuk menyelesaikan berbagai macam ermasalahan matematika, seerti ada kombinatorika, otimasi, dan aljabar geometri. Berdasarkan (Subiono 2013) Aljabar -lus juga digunakan dalam teori kontrol, enjadwalan mesin, sistem even diskrit (SED), sistem manufaktur, jaringan komunikasi, sistem roses aralel, kontrol lalu lintas, dan lain-lain. Karya Ilmiah ini meruakan hasil enjabaran kembali karya Kesie G. Farlow yang berjudul Max-Plus Algebra yang membahas mengenai dasar-dasar aljabar -lus beserta kaitannya dengan beberaa konse matematika seerti, matriks, vektor, teori graf, bahkan samai rantai Markov. Dalam karya ilmiah ini hanya akan dibahas sifat-sifat dan eksistensi invers matriks dalam aljabar lus. Tujuan Penelitian Tujuan enulisan karya ilmiah ini adalah membahas sifat-sifat oerasi dan eksistensi invers suatu matriks dalam aljabar -lus. TINJAUAN PUSTAKA Matriks Definisi 1 (Matriks) Matriks adalah beberaa skalar yang disusun secara emat ersegi anjang menurut baris dan kolom. Skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya, biasa digunakan ( ), [ ], atau. Matriks diberi nama dengan huruf besar, misalnya A, B, dan lain-lain. Sedangkan elemen-elemen matriks ditulis dengan huruf kecil, misalnya a 11, b 21, dan lain-lain. Kadang suatu matriks A daat ditulis A a. (Sutojo et al. 2010)

12 2 Oerasi-oerasi ada matriks: 1. Penjumlahan matriks Misalkan diketahui matriks A b berukuran m n, maka A b b b b a b b b b n n m1 m2 mn A+B a + a berukuran m n dan matriks B a a a a a a a a a n n m1 m2 mn dan B. Penjumlahan A dan B didefinisikan sebagai : ( a11 b11 ) ( a12 b12 ) ( a1 n b1 n) ( 21 21) ( ) ( 2 n 2 n) a b a b a b a b ( am 1 bm 1) ( am2 bm 2) ( amn bmn ) b 2. Perkalian matriks dengan skalar Misalkan k suatu skalar, maka erkalian k dengan matriks A a berukuran mn didefinisikan dengan ka11 ka12 ka1 n n ka k a ka ka ka ka kam1 kam2 kamn 3. Perkalian matriks Hasil erkalian matriks A a berukuran m dan matriks B b berukuran n adalah matriks C c berukuran m n, dengan nilai c ai 1b1 j ai 2b2 j... aibj aikbkj, untuk i 1, 2,..., m dan j 1, 2,..., n. Definisi 2 (Transos Matriks) Suatu matriks A a berukuran m n, maka transos dari A adalah matriks A T berukuran nm yang didaatkan dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari A T. k1

13 3 A T a a a a a a a a a m m2 1n 2n mn (Sutojo et al. 2010) Definisi 3 (Matriks Identitas) Matriks identitas adalah matriks yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainnya adalah 0. Matriks identitas dinotasikan dengan I I (Sutojo et al. 2010) Definisi 4 (Invers Matriks) Sebuah matriks segi A berukuran nn disebut memiliki invers jika ada suatu matriks B, sehingga AB BA I. Matriks B disebut invers matriks A dan daat ditulis A -1. (Sutojo et al. 2010) Aljabar Max-Plus Definisi 5 (Semigru) Semigru adalah suatu himunan dengan oerasi biner asosiatif. (Fraleigh 1997) Definisi 6 (Semiring (S, +, )) Suatu semiring (S, +, ) adalah suatu himunan tak kosong S disertai dengan dua oerasi biner + dan yang memenuhi aksioma berikut: 1. (S, +) meruakan semigru yang komutatif dengan elemen netral 0, yaitu x, y, z S memenuhi x + y y + x (x + y) + z x + (y+ z) x x 2. (S, ) adalah semigru dengan elemen satuan 1, yaitu x, y, z S memenuhi (x y) z x (y z) x 1 1 x 3. Sifat absorbing elemen netral 0 terhada oerasi, yaitu x S memenuhi x 0 0 x 0

14 4 4. Oerasi bersifat distributif terhada +, yaitu x, y, z S berlaku (x + y) z (x z) + (y z) x (y + z) (x y) + (x z) (Subiono 2013) Definisi 7 (Aljabar Max-Plus) Aljabar -lus adalah suatu semi ring (R,, ) dengan R {ε} R. R adalah himunan semua bilangan real dan ε yang memenuhi oerasi dan yang didefinisikan sebagai berikut : xy, R, x y (x, y) maksimum (x, y). x y x + y. Biasanya cuku ditulis R. Contoh : 3 (-7) (3, (-7)) 3 3 (-7) 3 + (-7) -4 Sifat-sifat aljabar -lus Untuk setia x, y, z R akan memenuhi 1. Sifat asosiatif, yaitu : x (y z) (x y) z dan x (y z) (x y) z 2. Sifat komutatif, yaitu : x y y x dan x y y x 3. Sifat distributif, yaitu : x (y z) (x y) (x z) 4. Ada elemen nol terhada oerasi, yaitu ε, dengan ε. x ε ε x x 5. Ada elemen satuan terhada oerasi, yaitu e, dengan e 0. x e e x x (Farlow 2009) 6. Ada elemen invers terhada oerasi, Jika x ε maka ada bilangan tunggal y sehingga x y e. 7. Ada elemen absorbing terhada oerasi, yaitu ε, sehingga x ε ε x ε. 8. Sifat idemoten terhada oerasi, yaitu x x x (Farlow 2009) Bukti : 1. x (y z) (x, (y, z)) (x, y, z) ( (x, y), z) (x y) z x (y z) x + (y + z) (x + y) + z (x y) z 2. x y (x, y) (y, x) y x x y x + y y + x y x 3. x (y z) x + (y, z) (x + y, x + z) (x y) (x z)

15 5 4. x ε (x, ) (, x) ε x x 5. x e x x e x x 6. Misalkan x R dengan x ε, maka y R y -x dan x + y x + (-x) 0 sehingga x y e 7. x ε x + ( ) ( ) + x ε x ε 8. x x (x, x) x Definisi 8 (Pangkat Aljabar Max-Plus) Untuk x R dan n, x angkat n didefinisikan dengan : n x x x... x. 0 Jika x ε, maka x e. Jika α R, maka x αx. k Jika k > 0, maka ε (jika k 0, maka tidak terdefinisi). k Sifat-sifat oerasi angkat dalam aljabar -lus Untuk setia m, n, x R berlaku : m 1. x x n ( m n) x m n 2. ( x ) x Bukti : 1. 1 x m x n ( m ) 1x x m y ( x y) m m x x n mx + nx (m+n)x m n 2. ( x ) ( mx) n nmx x x m x n ( m ) ( m n) x 1x x m y mx + my m(x+y) ( x y) m (Farlow 2009) HASIL DAN PEMBAHASAN Sifat Oerasi Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus Bagian ini akan mendefinisikan matriks dalam R. Matriks berukuran m n untuk m, n dan elemen-elemennya R dalam aljabar -lus m dinotasikan dengan n mn. Suatu matriks A daat ditulis sebagai berikut

16 6 a11 a12 a1 n n A a a a am1 am2 amn Nilai untuk baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dinotasikan dengan a atau sebagai A. Oerasi enjumlahan dan erkalian dari matriks dalam aljabar -lus hamir serua dengan oerasi enjumlahan dan erkalian dalam matriks dalam aljabar biasa dengan + dan didefinisikan sebagai dan. Definisi 9 1. Untuk enjumlahan matriks A, B mn dinotasikan dengan A B dan didefinisikan sebagai : A B a b ( a, b ) mk 2. Untuk erkalian matriks A dan matriks B dengan A B dan didefinisikan sebagai : il kxn, dinotasikan k A B j1 ( a b jl ) j 1,2,..., k (a + b jl ) 3. Matriks transos A dalam aljabar -lus dinotasikan dengan A T dan T didefinisikan A. A ji 4. Matriks identitas n n dalam aljabar -lus dinotasikan dengan E dan didefinisikan sebagai : e jika i j E jika i j 5. Untuk matriks segi A angkat ke-k (dengan k bilangan bulat ositif) dalam aljabar -lus dinotasikan dengan A A A k A... k kali k A dan didefinisikan sebagai : 0 Untuk k 0, didefinisikan A E. 6. Untuk sebarang matriks A mn dan sebarang skalar α R, didefinisikan erkalian skalar α A sehingga : A A α Sifat-sifat suatu matriks dalam aljabar -lus: 1. Sifat asosiatif, yaitu : A (B C) (A B) C dan A (B C) (A B) C 2. Sifat komutatif, yaitu : A B B A dan A B B A

17 7 Bukti : 3. Sifat distributif, yaitu : A (B C) (A B) (A C) 1. Sifat asosiatif a). A (B C) (A B) C Misalkan A, B, C menyatakan kolom matriks, maka : A (B C) ( A( B C)) a ( b c ) a (( b, c )) ( a,( b, c )) ( a, b, c ) (A B) C (( AB) C)) ( a b ) c ( a, b ) c mn, i menyatakan baris matriks dan j (( a, b ), c ) ( a, b, c ) Terbukti A (B C) (A B) C. b). A (B C) (A B) C m Misalkan A, B q qn, C, i menyatakan baris matriks dan j menyatakan kolom matriks, maka : A (B C) ( A( B C)) q ail blk ckj k 1 q ail blk ckj l1 k1 q a b c l1k1 il lk kj (A B) C (( AB) C)) ail blk ckj l1 q a b c k1 l1 q l1k1 il lk kj a b c il lk kj Terbukti A (B C) (A B) C.

18 8 Karena terbukti A (B C) (A B) C dan A (B C) (A B) C, maka sifat asosiatif dalam matriks aljabar -lus berlaku untuk oerasi enjumlahan dan erkalian. 2. Sifat komutatif a). A B B A Misakan A, B mn menyatakan kolom matriks, maka : A B ( A B ) ( a b ) ( a, b ) B A ( B A ) ( b a ) ( b, a ) ( a, b ) Terbukti A B B A. b). A B B A m Misalkan A dan B j menyatakan kolom matriks, maka : A B ( A B k 1 ik ) a b kj ( a b ) k ik kj m n, i menyatakan baris matriks dan j n, i menyatakan baris matriks dan Sedangkan B A belum tentu bisa dioerasikan karena dalam oerasi erkalian matriks aljabar matriks banyaknya kolom matriks ertama harus sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Oleh karena itu, B A hanya bisa dioerasikan jika banyaknya kolom matriks B sama dengan banyaknya baris matriks A (n m), sehingga sifat komutatif dalam matriks aljabar -lus hanya berlaku untuk oerasi enjumlahan. 3. Sifat distributif A (B C) (A B) (A C) m Misalkan A, B, C n, i menyatakan baris matriks dan j menyatakan kolom matriks, maka : A (B C) ( A( B C)) a ( b c ) k1 k1 ik kj kj ( a b a c ) ik kj ik kj aik bkj aik ckj k1 k1

19 9 ( A B) ( A C)) (A B) (A C) Terbukti A (B C) (A B) (A C). Contoh: Diberikan A 2 5, B e 3 1 e 1 6 dan C maka: A B 2 5 e 3 1 e 1 6 ( 2,1) (5, e) ( e, 1) (3, 6) 1 5 e e A B e ((( 2) 1),(5 ( 1))) ((( 2) e),(5 ( 6))) (( e 1),(3 ( 1))) (( e e),(3 ( 6))) ( 1, 4) ( 2, 1) 4 1 (1, 2) ( e, 3) 2 e A T 2 e 5 3 Matriks identitas dalam aljabar -lus untuk matriks berukuran 22 adalah: e E e Matriks identitas dalam aljabar -lus untuk matriks berukuran 33 adalah: e E e e A e 3 e 3 (( 2) ( 2),5 e) (( 2) 5,5 3) ( e ( 2),3 e) ( e 5,3 3) ( 4,5) (3,8) 5 8 ( 2,3) (5,6) 3 6 Diberikan α 3, maka : 2 5 α A 3 e 3 3 ( 2) 35 3e 33 3 ( 2) 3 5 3e Contoh untuk sifat asosiatif :

20 e 3 2 A (B C) e (1,3) ( e, 2) e 3 ( 1,1) ( 6, 4) e ( 2,3) (5, e) e ( e,1) (3,4) e 3 2 (A B) C e ( 2,1) (5, e) 3 2 ( e, 1) (3, 6) (1,3) (5, 2) e ( e,1) (3,4) Terlihat bahwa A (B C) (A B) C e 3 2 A (B C) e ((1 3),( e1)) ((1 ( 2)),( e 4) e 3 ((( 1) 3),(( 6) 1)) ((( 1) ( 2)),(( 6) 4)) 2 5 (4,1) ( 1,4) e 3 (2, 5) ( 3, 2) e ((( 2) 4),(5 2)) ((( 2) 4),(5 ( 2))) (( e 4),(3 2)) (( e 4),(3 ( 2))) (2,7) (2,3) 7 3 (4,5) (4,1) e (A B) C 3 2 e ((( 2) 1),(5 ( 1))) ((( 2) e),(5 ( 6))) 3 2 (( e 1),(3 ( 1))) (( e e),(3 ( 6))) 1 4 ( 1,4) ( 2, 1) 3 2 (1,2) ( e, 3) 1 4

21 e 1 4 ((4 3),(( 1) 1)) ((4 ( 2)),(( 1) 4)) ((2 3),( e1)) ((2 ( 2)),( e 4)) (7, e) (2,3) 7 3 (5,1) ( e,4) 5 4 Terlihat bahwa A (B C) (A B) C. Contoh untuk sifat komutatif : e A B e e 2 5 B A 1 6 e 3 Terlihat bahwa A B B A. ( 2,1) (5, e) ( e, 1) (3, 6) (1, 2) ( e,5) ( 1, e) ( 6,3) 1 5 e e e A B e ((( 2) 1),(5 ( 1))) ((( 2) e),(5 ( 6))) (( e 1),(3 ( 1))) (( e e),(3 ( 6))) ( 1, 4) ( 2, 1) 4 1 (1, 2) ( e, 3) 2 e 1 e 2 5 B A 1 6 e 3 ((1 ( 2)),( e e)) ((1 5),( e 3)) ((( 1) ( 2)),(( 6) e)) ((( 1) 5),(( 6) 3)) ( 1, e) (6,3) e 6 ( 3, 6) (4, 3) 3 4 Tidak terlihat bahwa A B B A. Contoh sifat distributif: e 3 2 A (B C) e (1,3) ( e, 2) e 3 ( 1,1) ( 6, 4) e e (( 2) 3),(5 1)) ((( 2) e),(5 4)) (( e 3),(3 1)) (( e e),(3 4))

22 12 (1,6) ( 2,9) (3,4) ( e,7) e (A B) (A C) e e ((( 2) 1),(5 ( 1))) ((( 2) e),(5 ( 6))) (( e 1),(3 ( 1))) (( e e),(3 ( 6))) ((( 2) 3),(5 1)) ((( 2) ( 2)),(5 4)) (( e 3),(3 1)) (( e ( 2)),(3 4)) ( 1,4) ( 2, 1) (1, 6) ( 4,9) (1,2) ( e, 3) (3, 4) ( 2, 7) (4,6) ( 1,9) 2 e 4 7 (2,4) ( e,7) Terlihat bahwa A (B C) (A B) (A C) Eksistensi Invers Suatu Matriks dalam Aljabar Max-Plus Definisi 10 nn Dalam aljabar -lus, matriks A dikatakan memiliki invers kanan jika ada sebuah matriks B sehingga A B E, dan B disebut invers dari A, ditulis 1 B A. Definisi 11 nn Dalam aljabar -lus, matriks A dikatakan memiliki invers kiri jika ada sebuah matriks B sehingga B A E, dan B disebut invers dari A, ditulis 1 B A. Definisi 12 Dalam aljabar -lus, matriks ermutasi A adalah matriks yang ada setia baris dan kolomnya memuat teat satu elemen e dan elemen yang lainnya adalah ε. Jika emetaan : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} adalah suatu ermutasi, maka didefinisikan matriks ermutasi P dengan e jika i ( j) jika i ( j) Sehingga elemen kolom ke-j dari P memunyai e di baris ke- ( j). Perkalian kiri oleh P memermutasikan baris dari matriks, sehingga baris ke-i dari matriks A namak sebagai baris ke- ( j) dari matriks P A.

23 13 Contoh : Diberikan : {1, 2} {1, 2} (1) 2 (2) 1 maka: e jika 1 (1) 11 jika 1 (1) e jika 1 (2) 12 jika 1 (2) e jika 2 (1) e jika 2 (1) jika 2 (2) jika 2 (2) Matriks ermutasinya adalah, 11., 12 e., 21 e., 22. e e. Definisi 13 Jika 1, 2,..., n R, i maka matriks diagonal didefinisikan sebagai : D( i ) n Teorema 1a. Matriks A, memunyai invers kanan jika dan hanya jika ada n n ermutasi dan nilai i, i {1, 2,..., n} sedemikian rua sehingga A P D( i ). n Teorema 1b. Analog terhada Teorema 1a, matriks A n, memunyai invers kiri jika dan hanya jika ada ermutasi dan nilai, i {1, 2,..., n} sedemikian rua sehingga A D( i ) P. Bukti. Angga ada matriks B sedemikian rua sehingga A B E. Hal ini mengakibatkan bahwa : k ( a b ) e 0 untuk setia i... (1) ik ki k ( a b ) ε - untuk setia i j... (2) ik kj dan (1) untuk setia i ada suatu nilai k sehingga aik bki e. Ini berarti ada suatu fungsi k () i dengan ai () i dan b () ii. Dari ersamaan (2) daat ditemukan untuk semua i j... (3) ai ( j) i

24 14 Karena ai () i ai ( j) untuk i j, berarti bahwa adalah suatu injeksi dan ada suatu ermutasi. Persamaan (3) menunjukkan bahwa ai () i adalah satusatunya elemen dari kolom ke- () i dari matriks A yang nilainya bukan. Misalkan A P A. Baris ke- () i dari A adalah baris ke-i matriks A, yang memunyai elemen lebih besar dari dalam kolom ke- () i. Maka dari itu, semua elemen diagonal dari matriks A lebih besar dari. Hal ini juga berarti bahwa matriks A hanya memunyai satu elemen selain dalam setia kolom, sehingga P A A D( i ) dengan a. 1 () ii Misalkan 1. Karena P P E, maka A P D( i ). n n Sebaliknya, diasumsikan bahwa A P dengan D( i ) i dan 1. Jika ini benar, dimisalkan B, i D( i ) P 1 i i, sehingga A B P D( i ) D( i ) P 1 P P 1 E. Jadi, A B E dan B adalah invers kanan dari matriks A. Teorema ini memberikan karakteristik invers matriks dalam aljabar lus. Berdasarkan ini, daat diketahui bahwa matriks yang memunyai invers meruakan suatu ermutasi matriks diagonal. Contoh: 2 Misal A, maka A memunyai invers kanan karena diambil dari P 1 e 1 dan D( i ) sehingga : e 2 e 1 P D( i ) e 2 (( 1),( e )) (( ),( e 2)) (( e1),( )) (( e ),( 2)) (, ) (,2) (1, ) (, ) 2 A 1 nn Teorema 2. Untuk A, B jika A B E maka B A E, dan B adalah suatu matriks unik yang ditentukan oleh matriks A. Bukti. Berdasarkan teorema 1, daat diketahui bahwa A P D( i ) untuk beberaa nilai i dan ermutasi. Telah diketahui bahwa B D( i ) P 1 adalah invers kiri dari matriks A. Jika A B E, maka B B (A B)

25 ( B A) B E B B, hal ini menunjukkan bahwa B adalah suatu matriks unik yang ditentukan oleh matriks A dan juga invers kiri dari matriks A. 15 nn Teorema 3. Jika A dan B maka A B juga memunyai invers. nn adalah matriks yang memunyai invers, Bukti. Berdasarkan teorema 1, daat diketahui bahwa a A P D( ) dan B D( b ) P. a a i a maka A B P D( ) D( b ) P. i Hasil erkalian dua matriks diagonal adalah matriks diagonal, maka A B P D( ) P. a a i b i i i Hal ini membuktikan bahwa A B meruakan ermutasi matriks diagonal, maka A B juga memunyai invers. b b b SIMPULAN DAN SARAN Simulan Berbagai oerasi terhada suatu matriks daat dialikasikan dalam bentuk aljabar -lus. Oerasi-oerasi tersebut meliuti oerasi enjumlahan dan erkalian antarmatriks, matriks transos, matriks identitas, matriks segi angkat ke-k, serta erkalian matriks dengan skalar. Sifat- sifat yang berlaku untuk matriks dalam aljabar -lus yaitu sifat asosiatif (oerasi enjumlahan dan erkalian), komutatif (hanya oerasi enjumlahan), dan distributif. Selain itu, invers suatu matriks A berukuran n n dalam aljabar -lus daat damin ada jika dan hanya jika A meruakan erkalian matriks ermutasi P dan matriks diagonal D( i ). Saran Masih banyak hal yang ada dalam aljabar -lus yang belum dibahas dalam karya ilmiah ini, termasuk imlementasi nyata dari manfaat aljabar lus dalam berbagai bidang. Saya berhara akan ada yang melanjutkan karya ilmiah ini agar lebih memahami eneraan aljabar -lus.

26 16 DAFTAR PUSTAKA Farlow, KG Max-Plus Algebra [Tesis]. Virginia (US): Virginia Polytechnic Institute and State University. Subiono Aljabar Maxlus dan Teraannya. Surabaya (ID): Institut Seuluh Noember. Fraleigh, JB A First Course in Abstract Algebra. New York (US): Addison-Wesley. Sutojo T, N Bowo, Z.A Erna, Astuti S, Rahayu Y, Mulyanto E Teori dan Alikasi Aljabar Linier dan Matriks. Yogyakarta (ID): Penerbit ANDI.

27 17 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Kuningan, Jawa Barat ada tanggal 18 Juli 1989 dari asangan baak Hadi dan ibu Amilah. Penulis meruakan anak ketiga dari emat bersaudara. Pada tahun 2007, enulis lulus dari MA Husnul Khotimah dan ada tahun yang sama enulis diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih mayor Matematika dan minor Ilmu Komunikasi. Selama mengikuti erkuliahan, enulis mendaatkan beasiswa Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM) ada semester ganjil samai semester ganjil Penulis ernah aktif di berbagai organisasi seerti DKM Al-Hurriyah IPB, BEM FMIPA IPB, dan SERUM-G IPB serta menjadi anitia dalam MPKMB, MPF, MPD, LKCM, Pesta Sains, dan lain-lain.