PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY

Transkripsi

1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY Any Muanalifah August 9, 2010

2 Latar Belakang Latar Belakang Teori himpunan fuzzy berkembang pesat saat ini. Banyak sekali masalah-masalah nyata yang diselesaikan dengan teori himpunan fuzzy. Baru-baru ini bermunculan teori-teori baru yang berhubungan dengan teori himpunan fuzzy, seperti topologi fuzzy, aljabar fuzzy, program linear fuzzy, dll. Aljabar Max-Plus adalah semua himpunan bilangan real dengan operasi dan yang masing-masing didefinisikan sebagai maximum dan penjumlahan. Aljabar max-plus banyak digunakan pada masalah yang berhubungan dengan sinkronisasi seperti penjadwalan, antrian, proses produksi, dll. Pada proses produksi dengan sistem iteraktif multiprosesor dapat dimodelkan dengan sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus bentuk A x b = C x d, dengan A dan C matriks yang elemen-elemennya menyatakan lamanya waktu yang dibutuhkan mesin ke-j untuk menyelesaikan suatu produk, x j adalah waktu awal yang diperlukan mesin untuk memproduksi masing-masing produk, b i dan d i adalah waktu tertentu yang dibutuhkan jika produk belum selesai diproduksi

3 Latar Belakang Latar Belakang Pada beberapa penerapan, ada masalah yang lebih tepat digambarkan dengan bilangan fuzzy, seperti masalah penjadwalan, antrian yang memerlukan waktu aktifitas/waktu tunggu di dalam sistemnya. Waktu biasanya tidak selalu tetap sekian jam, ataupun sekian menit, tetapi pada kenyataannya bisa berupa perkiraan sehingga lebih tepat digunakan bilangan fuzzy. Dalam tesis ini dibahas tentang penyelesaian sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy. Sistem dibahas linear dua sisi yang akan di teliti dalam tesis ini adalah bentuk A x b = C x d. Sistem persamaan linear tersebut terlebih diubah menjadi sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus interval dengan pendekatan α cut. Selanjutnya akan dicari penyelesaiannya berupa vektor x T = [x 1, x 2,..., x n] dengan n N

4 Rumusan Masalah Rumusan Masalah Bagaimana mencari penyelesaian sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy?

5 Batasan Masalah Batasan Masalah Batasan masalah dalam penelitian ini adalah : a. Bilangan fuzzy yang digunakan adalah bilangan fuzzy segitiga bentuk (a 1, a, a 2 ) dengan fungsi keanggotaannya x a 1, a a a 1 x a; 1 a µ a(x) = 2 x a, a x a 2 a 2; 0, lainnya. b. Sistem persamaan Linear yang dicari solusinya adalah sistem persamaan linear dua sisi dengan bentuk A x b = C x d, dimana matriks A dan C adalah matriks fuzzy, yaitu matriks yang elemen-elemennya terdiri atas bilangan fuzzy segitiga. Sedangkan b dan d adalah vektor fuzzy, yaitu vektor yang elemen-elemennya berupa bilangan fuzzy segitiga c. Operasi-operasi aritmatika pada bilangan fuzzy segitiga didefinisikan menggunakan α cut-nya

6 Tujuan Penelitian Tujuan Penelitian Berdasarkan permasalahan maka tujuan dari penelitian ini adalah: Mencari vektor penyelesaian bilangan fuzzy segitiga x yang memenuhi sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus bilangan fuzzy dengan bentuk A x b = C x d

7 Manfaat Penelitian Manfaat yang didapat dari pengerjaan penelitian ini adalah sebagai berikut: a. Memberikan langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy dimana bilangan fuzzy yang digunakan adalah bilangan fuzzy segitiga bentuk (a 1, a, a 2 ) dengan fungsi keanggotaannya x a 1, a a a 1 x a; 1 a µ a(x) = 2 x a, a x a 2 a 2; 0, lainnya. b. Memberikan kemudahan untuk mendapatkan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy yang dapat digunakan untuk memodelkan suatu permasalahan nyata. c. Mengembangkan suatu kajian mengenai bilangan fuzzy dalam Aljabar Max-Plus.

8 Kajian Pustaka Penelitian-penelitian Sebelumnya (Andy Ruditho,2008) Dalam makalahnya, Rudhito membahas tentang sistem persamaan linear max-plus bilangan kabur. Sistem persamaan linear yang dibahas oleh Rudhito mempunyai bentuk A x = b, dimana elemen-elemen matriks A dan vektor b berupa bilangan kabur segitiga (bks) yang mempunyai bentuk (a 1, a, a 2 ) dengan fungsi keanggotaannya x a 1, a a a 1 x a; 1 a µ a(x) = 2 x a, a x a 2 a 2; 0, lainnya. dimana unsur-unsur setiap kolom pada matriknya tidak semuanya sama dengan takhingga, selalu mempunyai subpenyelesaian terbesar. Sistem persamaan linear A x = b kemudian diselesaikan dengan teori subpenyelesaian terbesar. Mencari subpenyelesaian terbesar sistem tersebut dapat dilakukan dengan menentukan terlebih dahulu subpenyelesaian terbesar setiap sistem persamaan linear max-plus interval α cut nya. Selanjutnya dengan menggunakan Teorema dekomposisi dapat ditentukan fungsi keanggotaan subpenyelesaian terbesar bilangan kabur yang dimaksud. Jika subpenyelesaian terbesar bilangan kabur tersebut memenuhi sistem persamaan linearnya, maka subpenyelesaian tersebut merupakan penyelesaian sistem A x = b

9 Kajian Pustaka Penelitian Sebelumnya Dalam perkembangannya muncul banyak sekali perluasaan aljabar max-plus, diantaranya penelitian tentang matriks interval dalam aljabar max-plus yang dilakukan oleh Cechlarova. Cechlarova(2001) telah membahas tentang sistem interval persamaan linear max-separable dimana matriks yang menyusunnya dalah matriks interval. Rudhito., dkk (2008) juga Sistem persamaan linear iteratif max-plus interval dengan sistem persamaan linear yang berbentuk x = A x b. Aminu & Butkovic membahas tentang program linear dengan fungsi ken-dala berupa sistem persamaan linear dua sisi yaitu A x b = C x d. Sistem persamaan linear tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode alternating, kemudian dicari solusi optimal dari permasalahan program linear tersebut. (Aminu & Butkovic,2009).

10 Dasar Teori Aljabar Max-Plus (Heidergott,dkk., 2006,hal 13)Diberikan R ε def = R {ε} dengan R adalah semua bilangan real dan ε def =. Pada R ε didefinisikan operasi berikut: x y def = max{x, y} (1) dan x y def = x + y (2) Example = maks{ 2, 4} = = = 7

11 Dasar Teori Sifat-sifat dalam aljabar max-plus Berikut ini adalah sifat-sifat dalam aljabar max-plus (Heidergott,dkk., 2006, hal 14): a. Assosiatif x, y, z R maks : x (y z) = (x y) z, dan b. Komutatif x, y, z R maks : x (y z) = (x y) z x, y R maks : x y = y xdanx y = y x c. Distributif terhadap x, y, z R maks : x (y z) = (x y) (x z) d. Adanya elemen nol, yaitu ε x R maks : x ε = ε x = x

12 Dasar Teori Lanjutan sifat-sifat dalam aljabar max-plus e. Adanya elemen satuan, yaitu e x R maks : x e = e x = x f. Elemen nol ε adalah absorbing untuk operasi x R maks : x ε = ε x = ε g. Idempoten dari operasi x R maks : x x = x

13 Dasar Teori Matriks Atas Aljabar Max-Plus Himpunan matriks ukuran m n dalam aljabar max-plus dinotasikan oleh R m n max. Untuk m, n N dengan n 0 dan m 0, didefinisikan m def = {1, 2,..., m} dan n def = {1, 2,..., n}. Elemen A R m n max baris ke-i kolom ke-j dinotasikan oleh a i,j untuk i m dan j n matriks A ditulis sebagai a 1,1 a 1,2... a 1,n a 2,1 a 2,2... a 2,n A = a m,1 a m,2... a m,n

14 Dasar Teori Penjumlahan Matriks Penjumlahan matriks A, B R m n max dinotasikan oleh A B didefinisikan oleh Perkalian Matriks Untuk A R m n max untuk i m dan j n. Untuk matriks A R m p max sebagai [A B] i,j = a i,j b i,j = max(a i,j, b i,j ), dan skalar α R max perkalian α A didefinisikan sebagai [α A] i,j def = α a i,j dan B R p n max perkalian matriks A B didefi-nisikan [A B] i,j = p a i,k b k,j k=1 = max k p {a i,k + b k,j },

15 Dasar Teori Perpangkatan Matriks Untuk A R n n max, pangkat ke-k dari A dinotasikan oleh A k didefinisikan sebagai: k def A = A A A... A }{{} k Transpose Matriks Transpose dari A R m n max dinotasikan dengan A T, didefinsikan sebagai [A T ] ij = a ji, untuk i m dan j n Matriks Identitas Matriks identitas { E(n,n) didefinisikan def e, untuk i =j; [E(n, n)] ij = ε, lainnya.

16 Aljabar Max-Plus Interval Aljabar Max-Plus Interval Telah diketahui (R ε,, ) merupakan semiring idempoten dan tidak memuat pembagi nol, dengan elemen netral ε. Didefinisikan I(R) ε = {x = x, x x, x R, ε x x} { ε, ε } Pada I(R) ε didefinisikan dan dengan: x y = x y, x y dan x y = x y, x y, x, y I(R) ε Sifat-sifat dalam aljabar max-plus interval mengikuti sifat-sifat aljabar max-plus biasa.

17 Aljabar Max-Plus Interval Matriks atas Aljabar Max-Plus Interval Untuk setiap matriks interval A I(R) m n max didefinisikan matriks A = (A ij ) R m n max dan A = (A ij ) R m n max, yang berturut-turut disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas matriks interval A. Penjumlahan Matriks Interval Diketahui [A, A], [B, B] I(R) m n max. Didefinisikan: [A, A] [B, B] = [A B, A B] Perkalian Matriks Interval Diketahui [A, A] I(R) m p max, [B, B] I(R) p n max. Didefinisikan: [A, A] [B, B] = [A B, A B]

18 Aljabar Max-Plus Interval Aljabar Max-Plus Simetri Kita definisikan dua anggota baru untuk setiap x R ε : x dan x. Didapatkan 3 himpunan berbeda yaitu: S = R ε. S = { x x R ε}. S = {x x R ε}. Struktur aljabar S max = (S,, ) juga dioid komutatif. Kita Sebut S max dioid simetri dari aljabar max-plus atau cukup aljabar max-plus simetri saja. Jadi S = S S S. S S S = {(ε, ε)} dan ε = ε = ε. Jika x,y R ε, maka x ( y) = x jika x > y (3) x ( y) = y jika x < y (4) x ( x) = x (5)

19 Aljabar Max-Plus Interval Linear Balance Untuk linear balance terdapat beberapa aturan dasar sebagai berikut(schutter,1996): 1: a, b, c S : a c b a b c 2: a, b S S : a b a = b Sekarang kita memberikan himpunan penyelesaian (dengan a R dan x S): Himpunan penyelesaian balance x a adalah {a} {b b R εdanb a} Himpunan penyelesaian balance x a adalah { a} {b b R εdanb a} Himpunan penyelesaian x ε adalah {ε} {b b R} Himpunan penyelesaian balance x a adalah {b b R ε dan b a} { c c R ε dan c a} {d d R ε}.

20 Aljabar Max-Plus Interval Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus A x = b Untuk itu masalah penyelesaian A x = b dapat diperlemah dengan mendefinisikan konsep subpenyelesaian berikut: Diberikan A R m n max dan b R m max. Vektor x R n max disebut suatu subpenyelesaian sistem persamaan linear A x = b jika vektor x tersebut memenuhi A x b. Theorem Diberikan A R m n max dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan ε dan b R m. Subpenyelesaian terbesar A x = b ada dan diberikan oleh x dengan x j = max i { b i + A ij } untuk setiap i = 1,2,...,m dan j = 1,2,...,n.

21 Aljabar Max-Plus Interval Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus A x = B y Cuningham-Green(2003) mengenalkan suatu algoritma yang konvergen ke suatu penyelesaian yang berhingga dari sebarang titik awal berhingga. Metode ini dinamakan Metode Alternating, dengan algoritmanya sebagai berikut: Input: Matriks A dan B ukuran m n, vektor x=x(0) Output : Vektor x dan y 1 Pilih sebarang vektor x yang berhingga. 2 Tetapkan r = 0 dan x(0) = x. 3 Hitung a = A x. 4 Definisikan y = (B T ( a)). 5 Hitunng b = B y. 6 Hitung x = (A T ( b)). 7 Tetapkan r = r + 1 dan ulangi hingga konvergen.

22 Aljabar Max-Plus Interval Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus A x = B x Berikut ini adalah algoritma penyelesaian sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus A x = B x dengan menggunakan metode alternating: Input : Matriks A,B R m n max. Output : vektor x R n max. 1 Pilih sebarang vektor x yang berhingga 2 r = 0 dan x(0) = x 3 Hitung b = B x. 4 Definisikan x = (A T b). 5 Hitung a = A x. 6 Hitung x = (B T a). 7 Ulangi hingga memenuhi A x = B x.

23 Aljabar Max-Plus Interval Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus A x b = C x d Persamaan linear aljabar max-plus dengan bentuk umum : Ax b = Cx d dimana A dan C adalah matriks n n sedangkan b dan d adalah vektor - n. Sistem ini dapat dirubah dalam bentuk canonical untuk kemudian diselesaikan persamaannya. Sistem Ax b = Cx d disebut bentuk canonical jika A, C, b dan d memenuhi: C i,j = ε, jika A ij > C ij, dan A ij = ε jika A ij < C ij d i = ε jika b i > d i dan b i = ε jika b i < d i

24 Aljabar Max-Plus Interval Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Interval Diberikan A I(R) n n max dan b I(R n max). Suatu vektor interval x I(R n max) disebut penyelesaian interval sistem interval x = A x b jika x memenuhi sistem interval tersebut. Theorem Diberikan A I(R) n n max dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan ε dan b I(R n max, dimana A = [A, A] dan b = [b, b]. Subpenyelesaian terbesar A x = b ada dan diberikan oleh vektor interval x = [ (A T ( b)), (A T ( b))].

25 Diagram Penelitian Adapun diagram penelitian ini digambarkan sebagai berikut: Aljabar Max-Plus Aljabar Max-Plus Interval Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Interval Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Sistem Persamaan Linear Dua Sisi Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy

26 Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Diberikan R ε : R {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan fuzzy dan ε := { } (dalam hal ini { } dapat dipandang sebagai bilangan fuzzy dengan α cutnya adalah {, }, untuk setiap α [0, 1]). Pada R ε didefinisikan operasi sebagai berikut: Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan fuzzy dengan α cut berturut-turut adalah a α = [a α, a α ] dan b α = [b α, b α ], dengan a α dan a α berturut-turut adalah batas atas dan batas bawah interval a α, untuk b α analog. 1 a b = max(a, b) adalah bilangan fuzzy dengan α cut: (max(a, b)) α := [max(a α, b α ), max(a α, b α )], untuk setiap α [0, 1] 2 a b = a + b adalah bilangan fuzzy dengan α cut : (a + b) α := [a α + b α, a α + b α ], untuk setiap α [0, 1]

27 Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Definition Diberikan A F (R) n n max dan b F (R) n n max. Suatu vektor bilangan fuzzy x F (R) n max disebut penyelesaian bilangan fuzzy sistem A x = b jika x memenuhi sistem tersebut. Definition Diberikan A F (R) n n max dan b F (R) n n max. Suatu vektor bilangan fuzzy x F (R) n max disebut subpenyelesaian bilangan fuzzy sistem A x = b jika berlaku A x b Definition Diberikan A F (R) n n max dan b F (R) n n max. Suatu vektor bilangan fuzzy x F (R) n max disebut subpenyelesaian terbesar interval sistem A x = b jika x x untuk setiap subpenyelesaian bilangan fuzzy x dari sistem A x = b.

28 Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Berikut diberikan suatu contoh dengan mengambil salah satu tipe bilangan fuzzy yang sederhana, yaitu bilangan fuzzy segitiga dengan fungsi keanggotaan µ a(x) = x a 1, a a 1 a 1 x a; a 2 x a 2 a a x a 2; 0, lainnya. Pendukung (support) a ditas adalah interval terbuka (a 1, a 2 ) dan α cut-nya adalah: { a α (a a1 )α + a = 1, (a 2 a)α + a 2 0 < α 1; (7) a 1, a 2, α = 0. (6)

29 Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Example Dalam matriks dan vektor bilangan fuzzy segitiga (a 1, a, a 2 ) 3, 2, 1 4, 5, 6 ε, ε, ε Misalkan A = 3, 4, 4 ε, ε, ε 3, 2, 0 dan b = 4, 5, 6 7, 8, 10 7, 7, 7 6, 8, 10 9, 10, 11 12, 14, 15 akan ditentukan vektor x yang merupakan sub penyelesaian bilangan fuzzy sistem A x = b. Dengan α cut = 0 maka diperoleh sistem persamaan linear max-plus interval sebagai berikut: 3, 2 4, 6 ε, ε x 1 6, 10 3, 4 ε, ε 3, 0 x 2 = 9, 11 4, 6 7, 10 7, 7 x 3 12, 15 Dengan menggunakan scilab dan toolbox max-plus versi 1.02 diperoleh x = ( 6, 7, 2, 4, 5, 8 ) T

30 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Berikut ini adalah algoritma metode alternating untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua sisi A x b = C d: Input : Matriks A,C R m n max, vektor b,d R n max Output : vektor x R n max Langkah-langkah: 1 Tetapkan matriks Indentitas E R n n max [ 2 A b Bentuk matriks baru A dan B dengan A = C d [ 3 x Tambahkan z sehingga x = z linear [ A b C d ] [ x z ] [ E = E ] y 4 Tetapkan r = 0 dan x(0) = x ( [ ] T [ 5 E A b y = ( E C d ( [ ] T 6 A b Hitung x = ( C d 7 Tetapkan r = r + 1 ] [ E dan B = E ] maka diperoleh sistem persamaan ] [ x z [ E E ] ) ) ] y) 8 Ulangi hingga diperoleh A [x; z] = B y dan nilai z = 0 ) ]

31 Contoh Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Contoh 1 Diketahui sistem persamaan linear dua sisi sebagai berikut: 1, 0, 1 0, 1, 2 3, 4, 4 7, 8, 8 4, 5, 6 1, 2, 3 7, 8, 9 2, 3, 4 5, 6, 7 0, 1, 3 6, 7, 8 2, 1, 0 = x 1 x 2 x 3 x 4 6, 7, 8 5, 6, 9 4, 5, 6 2, 1, 0 1, 0, 1 3, 4, 4 3, 4, 5 0, 1, 2 1, 2, 3 7, 8, 9 1, 0, 2 5, 6, 7 0, 1, 3 5, 6, 7 3, 2, 0 8, 9, 10 6, 8, 10 7, 9, 11 x 1 x 2 x 3 x 4

32 Contoh Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Table: Hasil perhitungan batas-batas α cut vektor penyelesaian sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy pada Contoh 1 α cut x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x

33 Contoh Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Sehingga diperoleh penyelesaian sistem persamaaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy x = ( 2, 3, 4, 7, 8, 8, 1, 2, 3, 1, 1, 2 )

34 Contoh Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Gambar: Grafik α cut dan x 2

35 Contoh Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Gambar: Grafik α cut dan x 3

36 Contoh Sistem Persamaan Linear Dua Sisi dalam Aljabar Max-Plus Bilangan Fuzzy Gambar: Grafik α cut dan x 4

37 Kesimpulan Kesimpulan Sistem persamaan linear dua sisi A x b = C x d dalam aljabar max-plus bilangan fuzzy dimana bilangan fuzzy yang digunakan adalah bilangan fuzzy segitiga dengan bentuk (a 1, a, a 2 ) dan fungsi keanggotaan x a 1, a a a 1 x a; 1 a µ a(x) = 2 x a, a x a 2 a 2; 0, lainnya. dapat diselesaikan dengan menggunakan pendekatan α cut-nya yaitu matriks yang elemen-elemennya berupa bilangan fuzzy diubah dalam bentuk matriks interval. Selanjutnya sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus kemudian diselesaikan dengan menggunakan metode alternating. Untuk sistem persamaan dua sisi alajabar max-plus bilangan fuzzy dengan matriks A dan C R n n max dapat juga dise-lesaikan dengan menggunakan aturan cramer dengan terlebih dahulu diubah ke dalam bentuk sistem linear balance.

38 Saran Saran Saran untuk penelitian selanjutnya adalah: a. Bilangan fuzzy yang digunakan pada sistem persamaan linear dua sisi dalam aljabar max-plus bisa digunakan bilangan fuzzy selain bilangan fuzzy segitiga (a 1, a, a 2 ) dengan fungsi keanggotanya x a 1, a a a 1 x a; 1 a µ a(x) = 2 x a, a x a 2 a 2; 0, lainnya. b. Untuk sistem persamaan linear dua sisi aljabar max-plus bilangan fuzzy de-ngan A,C R n n max dapat dibuat program untuk menghitung nilai determinan pada aturan cramer, sehingga dapat mempermudah penyelesaiannya.