Cetakan I, Agustus 2014 Diterbitkan oleh: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Pattimura

Transkripsi

1

2 Hak cipta dilindungi Undang-Undang Cetakan I, Agustus 24 Diterbitkan oleh: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Pattimura ISBN: Deskripsi halaman sampul : Gambar yang ada pada cover adalah kumpulan benda-benda langit dengan berbagai fenomena

3 KARAKTERISTIK ELEMEN-ELEMEN DIAGONAL UTAMA PADA MATRIKS ATAS DIU YANG TERDIAGONALISASI E. R. Persulessy Staf Dosen Jurusan Matematika, Fakultas Matematikan dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Pattimura ABSTRAK Matriks yg dapat didiagonalkan memberikan kontribusi yang signifikan dalam proses perhitungan yg melibatkannya. Proses diagonalisasi suatu matriks sangat ditentukan oleh lapangan asal elemen-elemen yang menyusun matriks tersebut. Penelitian ini bertuuan untuk memperkenalkan langkah-langkah diagonalisasi suatu matriks yang elemen-elemennya berasal dari suatu Daerah Ideal Utama (DIU) dan karakteristik elemen di diagonal utama matriks hasil proses diagonalisasi tersebut. Metode yang digunakan dalam peneltian ini adalah metode studi pustaka yang melibatkan proses analisis tentang teori dasar matriks dan ring, terutama DIU, serta operasi-operasi yang berlaku pada matriks, untuk membuktikan suatu teorema yang akan menyaikan langkah-langkah diagonalisasi matriks yang dimaksud. Teorema diagonalisasi tersebut memberikan aminan ekuivalensi antara matriks berukuran s t atas DIU dengan matriks diag d, d2,..., d u dengan u min s, t dan d d... d. 2 u Kata kunci: DIU, matriks diagonal, matriks elementer, unit. PENDAHULUAN Proses diagonalisasi suatu matriks adalah proses yang melibatkan Operasi Baris Elementer (OBE) utk mengenolkan semua elemen matriks tersebut kecuali elemen di diagonal utama. Umumnya elemen suatu matriks berasal dari lapangan yang berbeda. Setiap lapangan memiliki ciri khas yang mempengaruhi proses diagonalisasi matriks. Salah satu lapangan yang telah dikenal adalah Daerah Ideal Utama (DIU). Proses diagonalisasi matriks atas DIU melibatkan matriks A dan B yg berukuran sama dan memenuhi B XAY, dengan X dan Y masing-masing adalah matriks invertibel. Teori dasar tentang ring, terutama DIU, sangat diperlukan karena elemen matriks dalam penelitian ini adalah anggota DIU (Fraleigh, 98). Dasar-dasar pembuktian teorema diagonalisasi atas daerah Euclid dipergunakan sebagai pedoman untuk membuktikan berlakunya teorema tersebut atas DIU (Hartley&Hawkes, 974). Penelitian ini bertuuan untuk memberikan metode yang sistematis untuk mendiagonalkan suatu matriks atas DIU dan memperkenalkan karakteristik matriks diagonal yang merupakan hasil proses diagonalisasi tersebut. Metode yang dihasilkan dari penelitian ini dapat diadikan sebagai pedoman tambahan untuk menemukan metode-metode diagonalisasi matriks atas lapangan yang lain. P R OSIDING 87

4 DASAR TEORI Definisi 2.. Sebuah matriks n n disebut matriks elementer ika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan I n dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal, (Anton, 99). Definisi 2.2. Jika X matriks buursangkar dan dapat ditemukan matriks Y sehingga XY YX I, maka X dikatakan invertibel dan Y disebut invers X, (Anton, 99). Definisi 2.3. Diketahui A dan B dua matriks berukuran sama atas ring R. Matriks B ekuivalen dengan A atas R ika dan hanya ika terdapat matriks invertibel X dan Y sehingga B (Anton, 99). XAY, Definisi 2.4. Jika R ring komutatif dengan elemen satuan, a elemen R disebut unit ika ada b R sehingga ab. Definisi 2.5. Misalkan A s t R. A disebut matriks diagonal ika i a, untuk i. Lemma 2.6. Efek pergandaan awal (pre-multiplying) pada matriks : (i). B i, menukar baris ke-i dengan baris ke- (ii). Bi w, menggandakan baris ke-i dengan w (iii). Bi disebut operasi elementer baris. r, menambahkan r kali baris ke- ke baris ke-i, Efek pergandaan akhir (post-mutiplying) pada matriks : (i). K i, menukar kolom ke-i dengan baris ke- (ii). K (iii). i Ki w, menggandakan kolom ke-i dengan w disebut operasi elementer kolom. r, menambahkan r kali kolom ke- ke kolom ke-i, Definisi 2.7. Suatu Daerah Integral (DI) R disebut DIU, ika untuk setiap ideal A dalam ring R, ada a A dengan sifat A a ra r R. Teorema 2.8. Jika a, b R DI dengan a b dan b a maka ada unit u R sehingga a ub. Definisi 2.9. Misalkan R DIU. Suatu d R disebut elemen prima, ika d dan d bukan unit maka untuk setiap a, b R, ika d ab maka d a atau d b. Definisi 2.. Misalkan R DIU. Suatu d R disebut elemen irredusibel, ika (i). d, (ii). d bukan unit, (iii). untuk setiap a, b R, ika d ab maka a atau b unit. 88 P R OSIDING

5 Teorema 2.. Jika a, b R DI maka pernyataan berikut ekuivalen : a). a b dan b a, b). Ra = Rb, c). Ada unit u R sehingga b ua Seminar Nasional Basic Science VI F-MIPA UNPATTI Definisi 2.2. Suatu R DI disebut daerah faktorisasi tunggal (DFT), ika:. Setiap elemen di R yang bukan nol dan bukan unit dapat disaikan sebagai hasil ganda elemen irredusibel sebanyak berhingga 2. Jika a pp 2 pn dan b qq 2 qn dengan p, p2,, pn, q, q2,, q n elemen irredusibel maka m = n dan setelah penukaran indeks Teorema 2.3. Setiap DIU adalah DFT. p i dan q i bersekawan. Teorema 2.4. Jika a, b R DIU maka a dan b memiliki pembagi persekutuan terbesar d dan d = ra + sb, untuk suatu r, s R. Sifat 2.5 Misalkan G, Im, H, J adalah matriks-matriks buursangkar atas ring R yang masing-masing berukuran mm, mm, n n dan p p. Selanutnya, K dan L adalah matriks berukuran q n dan p n atas R, (Brown, 992). Jika H Im H m n m n G L m p mn L ; J Im J m p m p ; K G K m q m n maka a). Fakta G KH m q m n KH G JL m p mn JL b). Fakta 2 Jika H dan J matriks invertibel maka H dan J matriks invertibel. c). Fakta 3 Jika p q maka G JKH m p m n J K H. P R OSIDING 89

6 d). Fakta 4 Jika K e). Fakta 5 Jika n X dengan X suatu matriks maka p maka G HJ mn m p HJ K X dengan f). Jika H dan J matriks invertibel maka H J matriks invertibel.. X G X. HASIL PENELITIAN Misalkan R adalah DIU. Akibatnya untuk setiap r R\ berlaku r wpp 2 pn, dengan w unit, p i prima anggota R, n bilangan bulat positif dan mungkin pi p untu suatu i, (i n, n) karena berlaku Teorema Faktorisasi Tunggal. Dibentuk fungsi : R \ Akibatnya untuk setiap r R r dengan aturan perkawanan n umlah elemen prima yang menyusun r. rr r r r, r R \. matriks C Diketahui A a kl matriks berukuran s t dengan A atas R, dengan d C C serta d membagi habis semua elemen matriks C. Pada proses ini terdapat tiga kasus yang mungkin teradi, yaitu ). dan i a a a a, 2). a a a, 3). Proses I a a a. i i akl R DIU. Akan ditentukan Jika A bukan matriks nol maka dengan serangkaian operasi baris elementer dapat diasumsikan a. 9 P R OSIDING

7 Kasus Karena a ai dan a a i, maka a q a dan ai pia, untuk suatu pi, q (i s, t diperoleh matriks D ). Dengan operasi elementer kolom K q A, dengan a D D dan baris B p i i R pada A Jika a membagi habis elemen D maka diperoleh matriks C. Jika tidak berarti i d D a d. Dengan operasi baris B pada D, diperoleh matriks dengan d ' i i a dan d ' ' ' D' d d. Diperoleh kasus 2. Kasus 2 Karena a Aa a, maka ada d R Ra Ra Rd. Sehingga d a maka Jadi berlaku d a Jadi, xy d y. dengan d fpb a, a D' d ' kl, d dan y, y R a dy dan a dy dengan d a. Jika y, berarti y unit. Jadi d a. Sehingga a a kontradiksi.. Kemudian d x dy x dy d x y d y x x R d x a x a, akibatnya, Selanutnya, dibentuk matriks S yang berukuran t t, dengan dan det S det B Matriks x y I 2 S x y It, It I 2 det det. x y B I 2 x y adalah matriks berukuran. P R OSIDING 9

8 Karena, I 2 I 2 det B x y y x 2 2 x I 2 y y x 2 x y y I x 2 x y x y x y 2 x y maka S B It I det det det atau S adalah matriks invertibel. Jadi, matriks AS A atas R, dengan a a2 a a t x y a 2 a22 a2 a 2t I 2 AS x y as as2 as ast It a x a x a a y a y a a a x a x a a y a y a a as x asx as2 as y as y as a 2 t t Misalkan AS B b kl maka dan b a x a x d b a y a y dy d y y dan b i yang lain adalah kombinasi linier dari A a kl. Proses selesai untuk kolom ke-. Proses dilanutkan untuk kolom yang lain yang memenuhi kasus 2 hingga akhirnya diperoleh matriks ' A a A atas R dengan kl a a 2 a 22 a 2t A' a s a s2 a st st 92 P R OSIDING

9 dan a d a. Jika a a i, 2 i s, diperoleh kasus. Jika a uga membagi semua, maka dengan operasi elementer baris a, (2 i s, 2 t) i Bi qi,2i s pada A diperoleh C. Jika ada a i A', (2 i s, 2 t), hingga a a i maka dengan operasi elementer baris a ai B diperoleh kasus 2. Tetapi ika ada a A i s maka diperoleh kasus 3. Kasus 3 i Karena a A' a a, maka ada q R Ra Ra Rq i i i ', 2 sehingga dengan q fpb a, a, q dan i. Sehingga r r R a qr a qr dan q a, i i i, dan i i 2 h h R q h a h a sehingga h r h r. i i. Kemudian Proses dilanutkan seperti pada kasus 2 dengan membentuk matriks T yang berukuran s s dengan h hi Ii 2 T ri r Isi dan dengan det T det B det Is i Pada akhirnya diperoleh matriks a a 2 a t a 22 a 2t A a s2 a st det I. kl s i A a A atas R, dengan dan a q p d a. Jika a a, 2 t, diperoleh kasus. Jika a membagi semua a i, 2 i s, 2 t, maka dengan operasi elementer kolom a i, 2 i s, 2 t, sehingga a a i diperoleh kasus 2. Proses dilanutkan kembali. Tetapi ika proses dilanutkan dan mengingat K r t, pada A diperoleh C. Jika ada,2 a p a maka dengan operasi elementer baris B P R OSIDING 93

10 berhingga, maka akhirnya diperoleh matriks W w A atas R dengan w unit maka w w i s t kolom Ki g, i yang memenuhi i s, t, diperoleh matriks C. Proses II kl w. Jadi. Dengan operasi elementer baris Bi gi w g w, w g w dengan i i i, dan g g R untuk Setelah diperoleh matriks C, proses I dapat dilakukan pada matriks C yang berukuran s t Jika tanpa merubah baris dan kolom matriks C. St dan s S T matriks invertibel berukuran t t dan s s x2 y I dan T It 3 t x y2 maka menurut Sifat 2.5.a., berlaku h2 h i I Isi i3 s ri r2 d d C S t C S t merupakan kasus 2 yaitu c C c c, 3 t Dan d d T s C T t C merupakan kasus 3 yaitu c C c c, 3 i s i2 22 i2., dengan Setelah berhingga langkah proses I pada C diperoleh matriks C' C atas R, dengan d2 C ' C dan d2 membagi habis setiap elemen C. Jadi telah diperoleh matriks C' Catas R, dengan 94 P R OSIDING

11 d d2 C ' C dan d d 2 serta d membagi habis setiap elemen C. Seminar Nasional Basic Science VI F-MIPA UNPATTI Selanutnya, proses I dilakukan pada C tanpa mengubah baris dan 2 serta kolom dan 2 matriks C. Akhirnya diperoleh matriks diag(,,, ) dengan u min{ s, t} D d d2 d u dan d d2 d u serta D Aatas R. Kesimpulan PENUTUP. Suatu matriks A yang berukuran s t atas DIU akan ekuivalen dengan suatu matriks diag(,,, ) d d d dengan u min s, t 2 u. 2. Elemen-elemen diagonal utama matriks A berukuran s t atas DIU memenuhi d d2 d u. DAFTAR PUSTAKA Anton, H. 99. Alabar Linier Elementer, Edisi Kelima. Erlangga, Jakarta. Brown, W.C Matrices Over Commutative Rings. Michael Dekker. Inc, New York. Fraleigh, J. B, 98. A First Course in Abstract Algebra, Second Edition. Addison-Wesley Publishing Company, Massachusets. Hartley, B. and Hawkes, T.O Ring Modules and Linear Algebra. Spottiswoode, Ballantyne & Co.Ltd. London and Cholchester. P R OSIDING 95

12 96 P R OSIDING