KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL
|
|
- Sukarno Budiono
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 TESIS SM KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL Dian Yuliati NRP DOSEN PEMBIMBING Dr. Subiono, M.S. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA 2016
2 THESIS SM CHARACTERIZATION OF THE SOLUTIONS OF SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS OVER SUPERTROPICAL ALGEBRA Dian Yuliati NRP SUPERVISOR Dr. Subiono, M.S. MASTER S DEGREE DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES SEPULUH NOPEMBER INSTITUTE OF TECHNOLOGY SURABAYA 2016
3 DAFTAR ISI LEMBAR PENGESAHAN... i ABSTRAK... iii ABSTRACT... v KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... ix DAFTAR NOTASI... xi BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian... 4 BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Penelitian Terdahulu Semiring Aljabar Max-Plus Matriks atas Aljabar Max-Plus Penjumlahan Matriks Perkalian Matriks Perpangkatan Matriks Transpose Matriks Matriks Identitas Aljabar Tropical Perluasan Aljabar Tropical Aljabar Supertropical Semiring dengan Ghost Semiring Supertropical Relasi Ghost Surpass Matriks atas semiring Supertropical Penjumlahan Matriks Perkalian Matriks ix
4 2.7.3 Perpangkatan Matriks Transpose Matriks Determinan Minor dan Adjoint Matriks Non Singular dan Singular Matriks Pseudo-Zero Matriks Identitas Pseudo-Invers Matriks Matriks Invertibel Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Max-Plus Sistem Persamaan Linear Aljabar Max-Plus Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Max-Plus Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Supertropical BAB 3 METODE PENELITIAN BAB 4 PEMBAHASAN Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tak Homogen atas Aljabar Supertropical Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Homogen atas Aljabar Supertropical BAB 5 SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran DAFTAR PUSTAKA x
5 DAFTAR NOTASI R max : Aljabar Max-plus : Akhir Contoh : Akhir Definisi : Akhir Teorema dan Lemma : Anggota 1 R : Elemen identitas pada semiring R 0 R : Elemen nol pada semiring R : Gabungan R : Himpunan bilangan real M n (R) : Himpunan matriks ukuran n n dengan entri matriks anggota R R v T G G 0 a v v R : Himpunan dengan anggotanya elemen ghost pada extended semiring tropical : Himpunan dengan anggotanya elemen tangible pada aljabar supertropical : Himpunan dengan anggotanya elemen ghost pada aljabar supertropical : Ideal ghost : Nilai a pada pemetaan ghost : Pemetaan ghost : Relasi ghost surpass pada R : Semiring supertropical : Operasi max : Operasi plus : Untuk setiap xi
6 KATA PENGANTAR Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat, Taufiq, dan Hidayah-Nya, serta junjungan Beliau Rasulullah SAW atas suri teladan yang dibawanya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tesis yang berjudul Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Atas Aljabar Supertropical ini tepat pada waktunya. Tesis ini merupakan sebagian persyaratan kelulusan dalam memperoleh gelar Magister di Program Studi Magister Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Penyusunan Tesis ini tidak lepas dari bimbingan, bantuan, dan dukungan moral maupun spiritual dari banyak pihak. Oleh sebab itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Ibu, Bapak, beserta keluarga tercinta yang selalu memberikan dukungan, doa, dan motivasi agar penulis dapat menyelesaikan Tesis ini. 2. Prof. Ir. Joni Hermana, M.Sc.ES., Ph.D. selaku Rektor Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. 3. Prof. Ir. Djauhar Manfaat, M.Sc., Ph.D. selaku Direktur Program Pascasarjana Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. 4. Dr. Imam Mukhlash, M.T., selaku Ketua Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. 5. Dr. Subiono, M.S., selaku Koordinator Program Studi Pascasarjana Matematika dan juga dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu untuk membimbing, memberikan masukan dan mendorong penulis dalam menyelesaikan Tesis ini. 6. Dr. Haryanto, M.Si., selaku dosen wali yang telah memberikan motivasi, arahan, dan bimbingan selama penulis menempuh kuliah. 7. Bapak / Ibu Dosen penguji yang telah memberikan masukan dan juga motivasi bagi penulis sehingga Tesis ini dapat selesai tepat waktu. vii
7 8. Seluruh dosen Matematika yang telah memberikan bekal dan ilmu pengetahuan serta staf administrasi Program Studi Magister Matematika atas segala bantuannya. 9. Sahabat penulis lainnya atas semua bantuan, semangat, dan dukungannya selama proses penulisan Tesis ini. 10. Keluarga besar Pascasarjana Matematika ITS 2014, dan semua pihak yang telah membantu proses penulisan Tesis ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Terima kasih. Semoga Allah SWT memberikan anugerah dan karunia-nya kepada semua pihak yang telah membantu menyelesaikan Tesis ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan Tesis ini masih banyak kekurangan, sehingga kritik dan saran dari pembaca sangat penulis harapkan untuk perbaikan kedepannya. Kritik dan saran bisa dikirim melalui penulis Akhirnya semoga Tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca, khususnya mahasiswa Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya, Januari 2016 Penulis viii
8
9 KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL Nama Mahasiswa : Dian Yuliati NRP : Dosen Pembimbing : Dr. Subiono, M.S. ABSTRAK Aljabar tropical adalah semiring idempotent sekaligus semifield. Salah satu contoh dari aljabar tropical yang memiliki struktur semiring idempoten sekaligus semifield yaitu aljabar max-plus. Aljabar max-plus didefinisikan sebagai R max = (R ε,, ), dimana R ε = R { } dengan R adalah semua bilangan real, ε, a b max{a, b} dan a b a + b untuk setiap a, b R ε. Berbeda dengan aljabar linear biasa, aljabar max-plus tidak mempunyai elemen invers terhadap operasi. Hal ini yang menyulitkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear A x = b di R max. Oleh karena itu dikonstruksikan struktur baru yang merupakan perluasan dari R max yang disebut extended semiring tropical yang dinotasikan sebagai T = R { } R v v dimana R = R v { } disebut v ideal dari T, v T R disebut pemetaan ghost yang memenuhi v(a) = a, a v R dan v(a) = a v, a R. Secara lebih umum perluasan dari aljabar tropical dinamakan aljabar supertropical. Oleh karena itu dapat digeneralisasikan penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan relasi ghost surpass. Dengan relasi ghost surpass penyelesaian sistem persamaan A x = b akan diperlemah menjadi A x b. Dari hasil penelitian didapatkan bahwa sistem persamaan linear tak homogen A x b atas aljabar supertropical mempunyai solusi n tangible yang tunggal jika dan hanya jika A T dan (adj(a) b) T 0, serta mempunyai penyelesaian tidak tunggal jika dan hanya jika A G 0 ε atau n (adj(a) b) T 0. Sedangkan sistem persamaan linear homogen A x ε atas aljabar supertropical mempunyai penyelesaian trivial jika dan hanya jika A T dan mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika A G 0 ε. Kata kunci : aljabar tropical, aljabar supertropical, sistem persamaan linear. iii
10 CHARACTERIZATION OF THE SOLUTION OF SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS OVER SUPERTROPICAL ALGEBRA Name : Dian Yuliati Student Identity Number : Supervisor : Dr. Subiono, M.S. ABSTRACT Tropical algebra is idempotent semirings and semifields. Max-plus algebra is one of many idempotent semirings and semifields. Max-plus algebra is defined as R max = (R ε,, ), where R ε = R { } with R is the set of real numbers, ε, a b max{a, b} and a b a + b for every a, b R ε. In contrast to conventional linear algebra, there are no inverse elements with respect to in R max. It also causes difficulty when solving linear systems of equations A x = b. Therefore a new structure that generalizes max-plus algebra is constructed and it is called extended tropical semiring, denoted as T = R { } R v where v R = R v { } v is called ideal of T, v T R is called the ghost map satisfying v(a) = a, a R v and v 2 (a) = v(a), a T. Generally, the extension of tropical algebra is called supertropical algebra. Therefore we can generalize the method to solve system of linear equations using ghost surpass relation, then system of linear equations A x = b will be weakened A x b. Based on the results of the study showed that characterization of the solution of n n non-homogeneous system of linear equations A x b over supertropical algebra has a unique n solution if only if A T and (adj(a) b) T 0. Moreover, it has an infinite n numbers of solutions if only if A G 0 ε or (adj(a) b) T 0. While for characterization of the solution of n n system homogeneous of linear equations A x ε over supertropical algebra has a trivial solution if and only if A T and a non-trivial solution if and only if A G 0 ε. Keywords : tropical algebra, supertropical algebra, system of linear equations. v
11 END BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar tropical merupakan salah satu bidang dalam matematika yang telah berkembang selama satu dekade terakhir. Aljabar tropical dipelopori oleh ahli matematika dan komputer Imre Simon, seorang peneliti dari Brazil pada tahun 1980an [1]. Aljabar tropical adalah semiring idempotent sekaligus semifield. Salah satu contoh dari aljabar tropical yang memiliki struktur semiring idempoten sekaligus semifield yaitu aljabar max-plus [2]. Dalam papernya, Izhakian (2009) memperkenalkan struktur baru yang merupakan perluasan dari aljabar max-plus yang disebut extended semiring tropical [3]. Perluasan tersebut muncul untuk mengatasi kesulitan dalam mempelajari polinomial atas aljabar max-plus sehingga dibutuhkan struktur baru yang lebih luas yang mencakup aljabar max-plus. Secara lebih umum perluasan dari aljabar tropical dinamakan aljabar supertropical. Karena aljabar supertropical merupakan kajian yang relatif baru, maka berbagai penelitian mengenai aljabar supertropical terus dilakukan. Pada tahun 2010, Izhakian dan Rowen dalam penelitian yang berjudul Supertropical Algebra membahas tentang faktorisasi polinomial atas aljabar supertropical, penelitian ini menjelaskan bahwa setiap polinomial dapat difaktorkan dalam bentuk linier maupun kuadrat [4]. Pada tahun yang sama, Izhakian dkk dalam penelitian berjudul Supertropical Linear Algebra membahas tentang dasar teori atas aljabar supertropical yang sifat-sifatnya didapatkan dari aljabar linier dengan memanfaatkan relasi ghost surpasses [5]. Masih pada tahun yang sama, Izhakian dan Rowen dalam penelitian Supertropical Polynomial and Resultant membahas mengenai polinomial relatif prima atas aljabar supertropical [6]. Pada tahun 2011, Izhakian dan Rowen melakukan penelitian yang berjudul Supertropical Matrix Algebra, penelitian tersebut membahas tentang teori matriks atas semiring supertropical yaitu jika A dan B keduanya tangible maka 1
12 A B = A B [7]. Kemudian penelitian berlanjut pada Supertropical Matrix Algebra II yang membahas eksistensi adj A dari matriks non singular sehingga didapatkan pseudo-invers kanan dan pseudo-invers kiri yang tunggal sehubungan dengan matriks pseudo-identitas yang bersesuaian dengan A, selain itu juga dibahas sifat adjoint dan penerapannya untuk menghitung vektor eigen atas aljabar supertropical [8]. Pada tahun yang sama, penelitian berlanjut pada Supertropical Matrix Algebra III: Powers of Matrices and Their Supertropical Eigenvalues yang membahas mengenai teori matriks atas aljabar supertropical, polinomial karakteristik serta dekomposisi Jordan dan nilai eigen dari matriks atas aljabar supertropical [9]. Masih pada tahun yang sama, Izhakian dkk mengembangkan penelitian pada teori valuasi atas aljabar supertropical diantaranya berjudul Supertropical Semirings and Supervaluations, Dominance and Transmissions in Supertropical Valuation Theory, Monoid Valuations and Value Ordered Supervaluations dan A Glimpse on Supertropical Valuation Theory. Pada tahun 2012, Izhakian dkk dalam penelitian yang berjudul Dual Spaces and Bilinear Forms in Supertropical Linear Algebra membahas tentang ruang dual dan bentuk bilinear atas aljabar supertropical [10]. Pada tahun yang sama, Adi Niv melakukan penelitian berjudul Factorization of Supertropical Matrices yang membahas mengenai faktorisasi matriks atas aljabar supertropical, didapatkan bahwa tidak semua matriks non singular atas aljabar supertropical bisa difaktorkan menjadi matriks-matriks elementer [11]. Pada tahun 2013, Izhakian dkk melakukan penelitian yang berjudul Supertropical Monoids : Basics and Canonical Factorization membahas mengenai monoid supertropical dan valuasi yang digunakan dalam teori matriks dan geometri tropical [12]. Selanjutnya, pada tahun 2014 Adi Niv dalam penelitian berjudul Characteristic Polynomial of Supertropical Matrices membahas mengenai polinomial karakteristik serta nilai eigen atas aljabar supertropical [13]. Pada tahun 2015, Izhakian dkk melakukan penelitian Supertropical Quadratic Forms I yang menjelaskan mengenai bentuk kuadratik pada modul atas semiring supertropical [14], kemudian penelitian tersebut berlanjut pada Supertropical Quadratic Forms II [15]. Pada tahun yang sama, Adi Niv dalam 2
13 salah satu bagian disertasinya yang berjudul On Pseudo-Inverses of Matrices and Their Characteristic Polynomials in Supertropical Algebra membahas mengenai matriks pseudo-invers atas aljabar supertropical, polinomial karakteristik dan nilai eigen dari matriks pseudo-invers atas aljabar supertropical [16], akan tetapi dalam penelitian tersebut belum dibahas pengembangannya pada sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear merupakan salah satu permasalahan penting dalam matematika karena sebagian besar masalah matematika yang dijumpai dalam aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem persamaan linear. Dalam aljabar linear telah diketahui bahwa sistem persamaan linear terbagi menjadi sistem persamaan linear homogen dan tak homogen. Suatu sistem persamaan linear dalam keterkaitannya dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan diantaranya mempunyai solusi tunggal, solusi banyak dan tidak mempunyai solusi. Keberadaan solusi ini sangat tergantung dari sistem persamaan linear itu sendiri. Sebagai pengembangan dari teori matriks aljabar supertropical maka pada penelitian ini akan dilakukan pembahasan mengenai karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen dan sistem persamaan linear homogen atas aljabar supertropical. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, pokok permasalahan yang dikaji dalam penelitian ini sebagai berikut. 1. Bagaimana karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen atas aljabar supertropical? 2. Bagaimana karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear homogen atas aljabar supertropical? 1.3 Batasan Masalah Agar permasalahan dalam penelitian ini dapat terfokus dan sesuai dengan waktu yang direncanakan, maka perlu dilakukan pembatasan masalah. Batasan yang diberikan dalam penelitian ini adalah matriks yang dibahas adalah matriks persegi. 3
14 1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen atas aljabar supertropical. 2. Menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear homogen atas aljabar supertropical. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Sebagai salah satu referensi bagi peneliti yang berminat mengembangkan penelitian khususnya mengenai sistem persamaan linear atas aljabar supertropical. 2. Sebagai pengembangan ilmu aljabar khususnya aljabar supertropical. 4
15 BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN DASAR TEORI Pada bab ini dijelaskan mengenai kajian pustaka dan landasan teori yang berkaitan dengan penelitian. Kajian pustaka dan landasan teori tersebut meliputi definisi yang menjadi dasar dalam pembahasan pada bab selanjutnya. Pada definisidefinisi tersebut akan diberikan contoh untuk mempertegas maksud dari definisi tersebut. Bagian pertama pada bab ini akan dibahas mengenai penelitian terdahulu, selanjutnya akan dibahas mengenai semiring, aljabar max-plus, aljabar tropical, aljabar supertropical, matriks atas semiring supertropical dan sistem persamaan linear atas aljabar supertropical. 1.1 Penelitian Terdahulu Aljabar max-plus merupakan suatu struktur aljabar (R ε, ) yang tidak mempunyai elemen invers terhadap operasi. Dengan kata lain jika a R ε maka tidak ada b R ε sehingga a b = b a = ε, kecuali jika a = ε dengan ε adalah elemen nol. Selanjutnya, Izhakian (2009) dalam jurnal Communications in Algebra melakukan penelitian yang berjudul Tropical Arithmetic and Matrix Algebra, penelitian tersebut secara khusus memperkenalkan struktur baru yang merupakan perluasan dari aljabar max-plus yang disebut extended semiring tropical [3]. Selanjutnya, perluasan dari aljabar tropical secara umum dinamakan aljabar supertropical. Aljabar supertropical merupakan teori yang relatif baru. Sampai saat ini penelitian mengenai aljabar supertropical telah mengalami perkembangan. Berikut beberapa penelitian mengenai aljabar supertropical diantaranya Izhakian dan Rowen (2010) dalam Advances in Mathematics meneliti tentang Supertropical Algebra. Jurnal tersebut menjelaskan dasar-dasar teori atas aljabar supertropical serta faktorisasi polinomial atas aljabar supertropical yaitu setiap polinomial atas aljabar supertropical dapat difaktorkan baik dalam bentuk linier maupun kuadrat [4]. 5
16 Selanjutnya Izhakian dan Rowen (2011) dalam Israel Journal Mathematics melakukan penelitian yang berjudul Supertropical Matrix Algebra. Jurnal tersebut membahas mengenai teori matriks atas aljabar supertropical yaitu jika A dan B keduanya tangible maka A B = A B, selain itu A adalah elemen ghost jika baris atau kolom dari A bergantung linier [7]. Masih pada tahun 2011, Izhakian dan Rowen dalam Supertropical Matrix Algebra II, Israel Journal Mathematics secara khusus membahas mengenai eksistensi adj A dari matriks non singular sehingga didapatkan pseudo-invers kanan dan pseudo-invers kiri yang tunggal sehubungan dengan matriks pseudo-identitas yang bersesuaian dengan A. Selain itu juga dibahas sifat adjoint dan penerapannya untuk menghitung vektor eigen atas aljabar supertropical [8]. Selanjutnya peneliti lain yaitu Adi Niv (2015) dalam Journal Linear Algebra and Its Applications melakukan penelitian yang berjudul On Pseudo-Inverses of Matrices and Their Characteristic Polynomials in Supertropical Algebra. Jurnal tersebut membahas mengenai matriks pseudo-invers atas aljabar supertropical, selain itu juga membahas polinomial karakteristik dan nilai eigen dari matriks pseudo-invers atas aljabar supertropical [16]. 1.2 Semiring Definisi 2.1. [17]. Semiring (S, +, ) adalah suatu himpunan tak kosong S disertai dengan dua operasi biner + yang mempunyai makna penjumlahan dan yang mempunyai makna perkalian yang memenuhi aksioma berikut : 1. (S, +) adalah semigrup komutatif dengan elemen netral 0, yaitu a, b, c S memenuhi : a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = 0 + a = a 2. (S, ) adalah semigrup dengan elemen satuan 1, yaitu a, b, c S memenuhi: (a b) c = a (b c) a 1 = 1 a = a 3. Sifat penyerapan elemen netral 0 terhadap operasi, yaitu a S memenuhi : 6
17 a 0 = 0 a = 0 4. Operasi distributif terhadap +, yaitu a, b, c S berlaku : (a + b) c = (a c) + (b c) a (b + c) = (a b) + (a c) Definisi 2.2. [17]. Suatu semiring (S, +, ) disebut semiring komutatif jika terhadap operasi bersifat komutatif, yaitu a, b S maka a b = b a. Definisi 2.3. [17]. Semiring idempoten adalah suatu semiring (S, +, ) dimana pada operasi penjumlahannya berlaku a + a = a, a S. Definisi 2.4. [17]. Suatu semiring (S, +, ) dikatakan semifield jika setiap elemen a di S {0} mempunyai invers terhadap operasi, yaitu untuk setiap a di S {0} terdapat a 1 sedemikian hingga a a 1 = a 1 a = 1. Contoh 2.1. Diberikan himpunan R ε = R {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε beserta operasi biner dan yang didefinisikan sebagai berikut : a b = max {a, b} dan a b = a + b, a, b R ε. Dapat ditunjukkan bahwa (R ε,, ) merupakan semiring idempoten sekaligus semifield dengan elemen netral ε = dan elemen satuan e = 0. Maka untuk a, b, c R ε berlaku : i. (R ε, ) adalah semigrup komutatif a b = b a (a b) c = a (b c) a ε = ε a = a ii. (R ε, ) adalah semigrup komutatif a b = b a (a b) c = a (b c) a e = e a = a 7
18 iii. iv. Elemen netral ε merupakan elemen penyerap terhadap operasi perkalian a ε = ε a = ε Distributif operasi perkalian terhadap penjumlahan (a b) c = (a c) (b c) a (b c) = (a b) (a c) Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa (R ε,, ) merupakan semiring komutatif dan idempoten. Untuk setiap a, b R ε maka berlaku a b = b a dan a a = max {a, a} = a. Selain itu aljabar (R ε,, ) juga merupakan semifield, sebab untuk setiap a R terdapat a sehingga a ( a) = a + ( a) = 0. Selanjutnya, untuk lebih ringkasnya maka penulisan semiring (S, +, ) dituliskan sebagai S. Definisi 2.5. Diberikan semiring R dan S. Pemetaan f R S dikatakan homomorfisma jika a, b R berlaku : f(a + b) = f(a) + f(b) f(a b) = f(a) f(b) Perlu diperhatikan bahwa operasi biner + pada a + b pada umumnya tidak sama pada f(a) + f(b) begitu juga operasi biner pada a b pada umumnya tidak sama pada f(a) f(b). Homomorfisma f dinamakan idempoten bila f 2 = f. 1.3 Aljabar Max-Plus Pada bagian ini akan dibahas beberapa definisi dasar dari aljabar max-plus. Definisi 2.6. [18]. Aljabar max-plus adalah suatu himpunan tidak kosong R ε = R {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε disertai dua operasi biner yang didefinisikan sebagai berikut : a b max {a, b} dan a b a + b, a, b R ε 8
19 Selanjutnya, aljabar max-plus (R ε,, ) cukup dituliskan dengan R max. Berikut ini adalah sifat-sifat yang berlaku dalam aljabar max-plus. Untuk a, b, c R max berlaku : 1. Assosiatif (a b) c = a (b c) (a b) c = a (b c) 2. Komutatif a b = b a dan a b = b a 3. Distributif terhadap a (b c) = (a b) (a c) 4. Eksistensi elemen nol, yaitu ε a ε = ε a = a 5. Eksistensi elemen satuan, yaitu e a e = e a = a 6. Idempoten terhadap a a = a 7. Sifat penyerapan elemen nol ε terhadap operasi a e = e a = a. Aljabar max-plus R max merupakan semiring komutatif dan idempotent, sebab untuk setiap a, b R ε maka berlaku a b = b a dan a a = max {a, a} = a. Selain itu aljabar max-plus R max juga merupakan semifield, sebab untuk setiap a R terdapat a sehingga a ( a) = a + ( a) = 0. Untuk bilangan bulat tak negatif n, pangkat dari x R max dalam aljabar max-plus dinyatakan sebagai berikut : sehingga dapat dituliskan e, untuk n = 0 x n = { x x x, untuk n > 0 n x n = x x x n = n x 9
20 Contoh 2.2. Berikut ini diberikan contoh operasi dan dalam aljabar max-plus. Misal diambil a = 9, b = 8, c = 1 3 dengan a, b, c R max, maka 1. a b = 9 8 = max {9,8} = a b = 9 8 = = a b = 9 8 = 8 9 = a c = = 1 9 = Matriks atas Aljabar Max-Plus Himpunan semua matriks berukuran m n atas aljabar max-plus m n dinotasikan sebagai R max yaitu suatu matriks berukuran m n dengan entri-entri matriks merupakan anggota R max. Untuk m, n N dengan m 0 dan n 0. m n Operasi penjumlahan dan perkalian pada matriks R max merupakan perluasan operasi biner dan pada R max Penjumlahan Matriks Penjumlahan matriks A, B R m n max dinotasikan sebagai A B didefinisikan oleh : [A B] i,j = [a i,j b i,j ] = max {a i,j, b i,j } untuk i m dan j n, dengan m = {1, 2,, m} dan n = {1, 2,, n}. Contoh n n Diberikan matriks A = [ 8 3 8] dan B = [ 6 1 3] dimana A, B R max maka [A B] 1,1 = 1 5 = 5 [A B] 1,2 = 2 2 = 2 [A B] 1,3 = 5 7 = 7 [A B] 2,1 = 8 6 = 8 [A B] 2,2 = 3 1 = 3 10
21 [A B] 2,3 = 8 3 = 8 [A B] 3,1 = 4 2 = 4 [A B] 3,2 = 7 4 = 7 [A B] 3,3 = 2 1 = 2 dengan menggunakan notasi matriks didapat Perkalian Matriks A B = [ 8 3 8] m n Untuk sebarang matriks A R max dan skalar λ R max maka perkalian λ A didefinisikan sebagai [λ A] i,j = λ a i,j untuk i m dan j n, dengan m = {1, 2,, m} dan n = {1, 2,, n}. Untuk sebarang matriks A R m p max didefinisikan sebagai : p n dan B R max perkalian matriks A B [A B] i,j = a i,k b k,j untuk i m dan j n, dengan m = {1, 2,, m} dan n = {1, 2,, n}. Contoh Diberikan matriks A = [ 8 4 3] dan skalar λ = 5 dimana R max, λ R max maka λ a 1,1 = 5 5 = 10 λ a 1,2 = 5 3 = 8 λ a 1,3 = 5 7 = 12 λ a 2,1 = 5 8 = 13 λ a 2,2 = 5 4 = 9 p k=1 11
22 λ a 2,3 = 5 3 = 8 λ a 3,1 = 5 5 = 10 λ a 3,2 = 5 8 = 13 λ a 3,3 = 5 9 = 14 dengan menggunakan notasi matriks didapat Perpangkatan Matriks λ A = [ ] n n Untuk sebarang matriks persegi A R max dan k bilangan bulat positif, pangkat ke- k dari A dinotasikan sebagai : A k = A A A A k untuk k N dengan k 0 dan A 0 = I n. Contoh Diberikan matriks A = [ 7 4 n n 2] dimana A R max maka A 2 = A A = [ 7 4 2] [ 7 4 2] [A A] 1,1 = (1 1) (9 7) (5 5) = = 16 [A A] 1,2 = (1 9) (9 4) (5 8) = = 13 [A A] 1,3 = (1 5) (9 2) (5 9) = = 14 [A A] 2,1 = (7 1) (4 7) (2 5) = = 11 [A A] 2,2 = (7 9) (4 4) (2 8) = = 16 [A A] 2,3 = (7 5) (4 2) (2 9) = = 12 [A A] 3,1 = (5 1) (8 7) (9 5) = = 15 [A A] 3,2 = (5 9) (8 4) (9 8) = = 17 [A A] 3,3 = (5 5) (8 2) (9 9) = = 18 dengan menggunakan notasi matriks didapat 12
23 1.3.5 Transpose Matriks A 2 = [ ] m n Transpose dari matriks A R max dinotasikan dengan A T, didefinisikan sebagai [A T ] i,j = [a j,i ] untuk i m dan j n, dengan m = {1, 2,, m} dan n = {1, 2,, n}. Contoh Diberikan matriks A = [ 2 4 n n 2] dimana A R max maka transpose dari matriks A : A T = [ 2 4 6] Matriks Identitas Matriks identitas I merupakan matriks persegi n n yang didefinisikan sebagai berikut : [I] i,j = { e, ε, untuk i n dan j n, dengan n = {1, 2,, n}. untuk i = j lainnya 1.4 Aljabar Tropical Definisi 2.7. [2]. Aljabar tropical adalah suatu semiring idempotent sekaligus semifield. Contoh 2.3. Diberikan aljabar max-plus R max = (R ε,, ) dimana R ε = R {ε} dengan R adalah himpunan semua bilangan real dan ε beserta operasi biner dan yang didefinisikan sebagai berikut : a b = max {a, b} a b = a + b, a, b R ε. 13
24 Berdasarkan Definisi 2.6 aljabar max-plus R max merupakan semiring idempoten sekaligus semifield. Dengan demikian aljabar max-plus R max adalah aljabar tropical. 1.5 Perluasan Aljabar Tropical Berikut ini akan dijelaskan perluasan dari aljabar tropical dengan mengambil kasus khusus dari aljabar tropical yaitu aljabar maxplus. Aljabar max-plus R max merupakan struktur aljabar yang tidak mempunyai elemen invers terhadap operasi. Dengan kata lain jika a R ε maka tidak ada b R ε sehingga b = b a = ε, kecuali jika a = ε dengan ε adalah elemen nol. Teorema 2.1. [17]. Diberikan semiring R max = (R ε,, ). Idempoten dari berakibat bahwa elemen invers terhadap operasi tidak ada. Bukti : Misalkan bahwa a ε mempunyai suatu invers terhadap yaitu b, didapat a b = ε tambahkan a pada kedua ruas persamaan, didapat a (a b) = a ε (a a) b = a ε dengan sifat idempoten, persamaan menjadi a b = a hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa a b = ε dan a ε. Selanjutnya, aljabar max-plus dikembangkan menjadi struktur semiring yang lebih luas yang disebut extended semiring tropical dengan memunculkan elemen baru yaitu elemen ghost. Definisi 2.8. [4]. Extended semiring tropical dinotasikan sebagai (T,, ) dengan T = R { } R v, dimana R adalah himpunan semua bilangan real dan R v = {a v : a R}. Elemen netral pada T adalah ε dan elemen satuan e 0. 14
25 v Dalam hal ini R = R v { } merupakan ideal dari T disebut ideal ghost. v v Sedangkan pemetaan v T R disebut pemetaan ghost. Untuk setiap x R maka v(x) = x merupakan pemetaan identitas dan untuk setiap a R maka v(a) = a v. Definisi 2.9. [3]. Diberikan Extended semiring tropical T. Didefinisikan relasi urutan parsial pada T sebagai berikut : Untuk a, b R, a v, b v R v dan x, y T berlaku : 1. x, x T \ { }. 2. Untuk setiap bilangan real a b maka a b, a b v, a v b, dan a v b v. 3. a a v untuk setiap a R. Aksioma 2.1. [3]. Diberikan Extended semiring tropical T. Notasi max adalah maksimum pada urutan. Operasi biner dan pada T memenuhi aksioma sebagai berikut. Untuk a, b R, a v, b v R v dan x, y T maka 1. x = x = x untuk setiap x T. 2. x y = max {x, y} kecuali x = y. 3. a a = a v a v = a a v = a v a = a v. 4. x = x = untuk setiap x T. 5. a b = a + b untuk semua a, b R. 6. a v b = a b v = a v b v = (a + b) v. Contoh 2.7. Berikut ini diberikan contoh operasi biner dan yang berlaku dalam extended semiring tropical T = 5 = = max {2,5} = = 2 v 2 v = 2 2 v = 2 v 2 = 2 v 4. 5 = 5 = = = v 4 = 5 4 v = 5 v 4 v = (5 + 4) v = 9 v 1.6 Aljabar Supertropical 15
26 Perluasan dari aljabar tropical secara umum dinamakan aljabar supertropical. Struktur dari semiring supertropical merupakan perumuman dari T. Diberikan semiring R T { } G dan suatu ideal G 0 G { } disebut ideal ghost yang merupakan ideal dari semiring R. Pemetaan v R G 0 disebut pemetaan ghost, pemetaan v merupakan pemetaan homomorfisma idempoten yang memenuhi v(x) = x x, x R dan v 2 (x) = v(x). Dalam hal ini T = R G 0 adalah himpunan yang anggotanya elemen tangible. Sedangkan G adalah himpunan yang anggotanya merupakan elemen ghost Semiring dengan Ghost Definisi [19]. Semiring dengan ghost (R, G 0, v) adalah semiring R (dengan elemen netral 0 R dan elemen satuan 1 R ), G 0 = G 0 R disebut ideal ghost, sedangkan v R G 0 disebut pemetaan ghost yang memenuhi : v(x) = x x, x R Untuk x G 0, pemetaan ghost merupakan pemetaan identitas yang memenuhi v(x) = x, x G 0 Pemetaan ghost merupakan pemetaan homomorfisma idempoten yang memenuhi v 2 (x) = v(x), x R Semiring Supertropical Definisi [19]. Semiring supertropical merupakan semiring dengan ghost (R, G 0, v) yang memenuhi beberapa sifat tambahan yaitu a, b R berlaku : jika a v = b v maka a b = a v dan jika a b maka a b {a, b} Contoh 2.8 Diberikan Extended semiring tropical dinotasikan (T,, ) dengan T = R { } R v, dimana R adalah himpunan semua bilangan real dan R v = {a v : a R}. Elemen netral pada T adalah ε dan elemen satuan e 0. v Dalam hal ini R = R v { } merupakan ideal dari T disebut ideal ghost. 16
27 v v Sedangkan v T R disebut pemetaan ghost, untuk setiap x R maka v(x) = x merupakan pemetaan identitas dan untuk setiap a R maka v(a) = a v. Dalam hal ini himpunan R diidentifikasi sebagai T yaitu himpunan yang anggotanya merupakan elemen tangible, R v diidentifikasi sebagai G yaitu himpunan yang anggotanya merupakan elemen ghost dan extended semiring tropical T diidentifikasi sebagai R. Dengan demikian extended semiring tropical T adalah kasus khusus dari semiring supertropical R. Kasus khusus dari semiring supertropical yang akan digunakan untuk pembahasan pada Bab IV adalah extended semiring tropical T yang akan dituliskan sebagai R Relasi Ghost Surpass Pada semiring supertropical R, untuk setiap a R maka a a = hanya berlaku untuk a = sedangkan untuk setiap a T maka a a = a v dan untuk setiap a G maka a a = a. Selanjutnya akan diperkenalkan suatu relasi ghost surpass pada R berikut ini. Definisi [8]. Diberikan semiring supertropical R. Relasi merupakan relasi ghost surpass pada R yang didefinisikan sebagai berikut : a b jika a = b c untuk beberapa c G 0 Berikut diberikan beberapa sifat relasi ghost surpass pada R. Untuk setiap a, b, c R berlaku : 1. Sifat antisimetri jika a b dan b a, maka a = b. 2. Sifat transitif jika a b dan c d, maka a c b d dan a c b d 3. Sifat tidak simetri untuk setiap a T, a v a akan tetapi a a v. Contoh 2.9. Berikut ini diberikan contoh sifat relasi ghost surpass pada R. 17
28 Untuk setiap a, b, c R berlaku : 1. Untuk a = b = 8 maka a b dan b a berlaku sifat antisimetri. 2. Untuk 6 v 5 v dan 9 9 berlaku sifat transitif karena 6 v 9 5 v dan 6 v 9 5 v 9 15 v 14 v. 3. Untuk 4 T maka 4 v 4 akan tetapi 4 4 v berlaku sifat tidak simetri. Selanjutnya, pada himpunan R akan digunakan relasi ghost surpass sebagai pengganti dari relasi " =. 1.7 Matriks atas Semiring Supertropical Matriks persegi atas semiring supertropical dinotasikan sebagai M n (R) yaitu suatu matriks berukuran n n dengan entri-entri matriks merupakan anggota R. Operasi penjumlahan dan perkalian pada matriks M n (R) merupakan perluasan operasi biner dan pada R. Selanjutnya, relasi ghost surpass pada R juga dapat diperluas pada matriks M n (R). Jika A B maka a i,j b i,j untuk setiap i dan j Penjumlahan Matriks Penjumlahan matriks A, B M m n (R) dinotasikan sebagai A B didefinisikan oleh : [A B] i,j = [a i,j b i,j ] untuk i m dan j n. Contoh Diberikan matriks A = [ 7 4 2] dan B = [ 8 2 3] dimana A, B M n (R) maka [A B] 1,1 = 1 5 = 5 [A B] 1,2 = 2 3 = 3 [A B] 1,3 = 5 6 = 6 [A B] 2,1 = 7 8 = 8 [A B] 2,2 = 4 2 = 4 18
29 [A B] 2,3 = 2 3 = 3 [A B] 3,1 = 5 6 = 6 [A B] 3,2 = 8 4 = 8 [A B] 3,3 = 9 1 = 9 dengan menggunakan notasi matriks didapat A B = [ 8 4 3] Perkalian Matriks Untuk sebarang matriks A M m n (R) dan skalar λ R maka perkalian λ A didefinisikan sebagai : [λ A] i,j = λ a i,j untuk i m dan j n. Untuk sebarang matriks A M m p (R) dan B M p n (R) perkalian matriks A B didefinisikan sebagai : untuk i m dan j n. [A B] i,j = a i,k b k,j p k=1 Contoh Diberikan matriks A = [ 8 4 3] dan skalar λ = 2 dimana A M n (R), λ R maka λ a 1,1 = 2 5 = 7 λ a 1,2 = 2 3 = 5 λ a 1,3 = 2 7 = 9 λ a 2,1 = 2 8 = 10 λ a 2,2 = 2 4 = 6 λ a 2,3 = 2 3 = 5 λ a 3,1 = 2 5 = 7 19
30 λ a 3,2 = 2 8 = 10 λ a 3,3 = 2 9 = 11 dengan menggunakan notasi matriks didapat λ A = [ ] Contoh Diberikan matriks A = [ 7 4 2] dan B = [ 7 4 2] dimana A, B M n (R) maka [A B] 1,1 = (1 3) (2 7) (5 5) = = 10 [A B] 1,2 = (1 2) (2 4) (5 8) = = 13 [A B] 1,3 = (1 5) (2 2) (5 9) = = 14 [A B] 2,1 = (7 3) (4 7) (2 5) = = 11 [A B] 2,2 = (7 2) (4 4) (2 8) = = 10 [A B] 2,3 = (7 5) (4 2) (2 9) = = 12 [A B] 3,1 = (5 3) (8 7) (9 5) = = 15 [A B] 3,2 = (5 2) (8 4) (9 8) = = 17 [A B] 3,3 = (5 5) (8 2) (9 9) = = 18 dengan menggunakan notasi matriks didapat A B = [ ] Perpangkatan Matriks Untuk sebarang matriks persegi A M n (R) dan k bilangan bulat positif, pangkat ke-k dari A dinotasikan sebagai : A k = A A A A k untuk k N dengan k 0 dan A 0 = I n. 20
31 Contoh Diberikan matriks A = [ 7 4 2] dimana A M n (R) maka A 2 = A A = [ 7 4 2] [ 7 4 2] [A A] 1,1 = (1 1) (2 7) (5 5) = = 10 [A A] 1,2 = (1 2) (2 4) (5 8) = = 13 [A A] 1,3 = (1 5) (2 2) (5 9) = = 14 [A A] 2,1 = (7 1) (4 7) (2 5) = = 11 [A A] 2,2 = (7 2) (4 4) (2 8) = = 10 [A A] 2,3 = (7 5) (4 2) (2 9) = = 12 [A A] 3,1 = (5 1) (8 7) (9 5) = = 15 [A A] 3,2 = (5 2) (8 4) (9 8) = = 17 [A A] 3,3 = (5 5) (8 2) (9 9) = = 18 dengan menggunakan notasi matriks didapat A 2 = [ ] Transpose Matriks Transpose dari matriks A M n (R) dinotasikan dengan A T, didefinisikan sebagai [A T ] i,j = [a j,i ] untuk i n dan j n. Contoh v Diberikan matriks A = [ ] dimana A M n (R) maka transpose dari matriks A : A T = [ 2 4 6]. 3 v
32 1.7.5 Determinan Definisi [8]. Determinan supertropical dari matriks A M n (R) didefinisikan sebagai : A = a 1,σ(1) a 2,σ(2) a n,σ(n) σ S n dimana σ S n dengan S n adalah himpunan semua permutasi {1,2,, n}. Dalam hal ini determinan supertropical disebut juga dengan permanen. Contoh v Diberikan matriks A = [ ] dimana A M n (R) Banyaknya permutasi dari {1, 2, 3} adalah 3! = 6 permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) maka A = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) A = (1 4 1) (1 2 6) (2 2 1) (2 2 5) (3 v 2 6) (3 v 4 5) A = v 12 v = 12 v Minor dan Adjoint Definisi Diberikan matriks A M n (R), minor entri a i,j dinyatakan dengan M i,j dan didefinisikan sebagai determinan dari matriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Sedangkan kofaktor dari a i,j dituliskan sebagai cof i,j = cof 11 cof 1n M i,j. Matriks kofaktor dari A ditulis sebagai Cof(A) = [ ]. cof n1 cof nn Sedangkan adjoin A dinyatakan sebagai adj(a) = (Cof(A)) T 22
33 Determinan dari A dapat dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i atau sepanjang kolom ke j sebagai berikut : 1. Ekspansi baris ke i 2. Ekspansi kolom ke j Contoh n A = a ij cof i,j (A) j=1 n A = a ij cof i,j (A) Diberikan matriks A = [ 4 1 3] dimana A M n (R) v 9 Cof(A) = [ 6 3 v 7] 6 5 v 7 determinan A dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama n i=1 A = a ij cof i,j (A) A = a 11 cof 11 a 12 cof 12 a 13 cof 13 A = (2 8) (3 5 v ) (1 9) A = 10 8 v 10 = 10 v. determinan A dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua j=1 n A = a ij cof i,j (A) i=1 A = a 12 cof 12 a 22 cof 22 a 32 cof 32 A = (3 5 v ) (1 5 v ) (5 5 v ) A = 8 v 6 v 10 v = 10 v Matriks Non Singular dan Singular Definisi [19]. Suatu matriks persegi A M n (R) atas aljabar supertropical disebut non singular jika A T dan singular jika A G 0. 23
34 Contoh Diberikan matriks A = [ 1 1 2] dimana A M n (R) permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) maka A = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) A = (1 1 3) (1 2 1) (5 1 3) (5 2 3) (2 1 1) (2 1 3) A = = 10 T. Karena A T sehingga matriks A non singular. Contoh Diberikan matriks A = [ 1 1 2] dimana A M n (R permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) Maka A = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) A = (1 1 1) (1 2 2) (5 1 1) (5 2 0) (2 2) (2 1 0) A = = 7 v G 0. Karena A G 0 sehingga matriks A singular Matriks Pseudo-Zero Definisi [16]. Matriks pseudo-zero Z G atas aljabar supertropical merupakan matriks persegi n n yang didefinisikan sebagai berikut : 24
35 [Z G ] i,j = { ε, untuk i = j ε atau a v G 0, lainnya untuk i n dan j n, dengan n {1, 2,, n} Matriks Identitas Definisi [16]. Matriks identitas I merupakan matriks persegi n n yang didefinisikan sebagai berikut : [I] i,j = { e, ε, untuk i = j lainnya untuk i n dan j n, dengan n {1, 2,, n}. Definisi [16]. Matriks pseudo-identitas I G atas aljabar supertropical merupakan matriks persegi n n yang didefinisikan sebagai berikut : e, untuk i = j [I G ] i,j = { ε atau a v G 0, lainnya untuk i n dan j n. Dalam hal ini I G sama dengan I Z G. Definisi [16]. Matriks pseudo-identitas ghost I G atas aljabar supertropical merupakan matriks persegi n n yang didefinisikan sebagai berikut [ I G ] i,j = { ev, untuk i = j ε atau a v G 0, lainnya untuk i n dan j n. Dalam hal ini I G sama dengan I v Z G Pseudo-Invers Matriks Definisi [16]. Diberikan matriks A M n (R), pseudo-invers A dari A atas aljabar supertropical didefinisikan sebagai : jika A T jika A G 0 dengan A ε. A = 1 R A adj(a) A = ( 1 R A ) v adj(a) 25
36 Contoh Diberikan matriks A = [ 1 1 2] dimana A M n (R) permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) maka A = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) A = (1 1 3) (1 2 1) (5 1 3) (5 2 3) (2 1 1) (2 1 3) A = = 10. karena A = 10 T matriks A non singular. maka pseudo-invers dari A dan Cof(A) = [ 8 5 8] 7 3 v adj(a) = [ v ] A = 1 R A adj(a) A = R 10 [ v ] A = 10 [ v ] A = [ v ] v 2 v A A = [ 1 1 2] [ v ] = [ 4 v 0 2 v ] = I G v 1 v 0 Berdasarkan Contoh 2.19 didapatkan perkalian A A = I G menghasilkan pseudo-identitas. 26
37 Contoh Diberikan matriks A = [ 1 1 2] dimana A M n (R grup permutasi dari {1, 2, 3} adalah (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1) maka A = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) A = (1 1 1) (1 2 2) (5 1 1) (5 2 0) (2 1 2) (2 1 0) A = = 7 v. karena A = 7 v G 0 matriks A singular. maka pseudo-invers dari A dan 4 2 v 3 Cof(A) = [ 6 2 v 5] 7 3 v adj(a) = [ 2 v 2 v 3 v ] A = ( 1 R A ) v adj(a) A = ( 1 v R 7 ) [ 2 v 2 v 3 v ] A = ( 7) v [ 2 v 2 v 3 v ] v 1 v 0 v A = [ 5 v 5 v 4 v ] 4 v 2 v 1 v v 1 v 0 v 0 v 0 v 1 v A A = [ 1 1 2] [ 5 v 5 v 4 v ] = [ 2 v 0 v 1 v ] = I v 2 v 1 v 3 v 1 v 0 v Berdasarkan Contoh 2.20 didapatkan perkalian A A = I G menghasilkan pseudo-identitas ghost. G 27
38 Matriks Invertibel Definisi [16]. Suatu matriks A M n (R) invertibel jika terdapat matriks B M n (R) sedemikian hingga berlaku A B = B A = I. Definisi [7]. Suatu matriks persegi A M n (R) pseudo-invertibel atas aljabar supertropical jika terdapat matriks persegi B M n (R) sedemikian hingga A B dan B A adalah pseudo-identitas. Jika A pseudo-invertibel maka B adalah pseudo-invers dari A. Contoh Diberikan matriks A = [ 1 1 2] dan B = [ v ], dimana A, B M n (R) maka v 2 v A B = [ 1 1 2] [ v ] = [ 4 v 0 2 v ] = I G v 1 v 0 dalam hal ini matriks B disebut pseudo-invers kanan dari A, sedangkan I G merupakan pseudo-identitas kanan dari A v 0 v B A = [ v ] [ 1 1 2] = [ 4 v 0 3 v ] = I G v 1 v 0 dalam hal ini matriks B disebut pseudo-invers kiri dari A, sedangkan I G merupakan pseudo-identitas kiri dari A. Contoh v 1 v 0 v Diberikan matriks A = [ 1 1 2] dan B = [ 5 v 5 v 4 v ], dimana A, B v 2 v 1 v M n (R) maka v 1 v 0 v 0 v 0 v 1 v A B = [ 1 1 2] [ 5 v 5 v 4 v ] = [ 2 v 0 v 1 v ] = I G v 2 v 1 v 3 v 1 v 0 v 28
39 dalam hal ini matriks B disebut pseudo-invers kanan dari A, sedangkan I G merupakan pseudo-identitas ghost kanan dari A 3 v 1 v 0 v v 2 v 1 v B A = [ 5 v 5 v 4 v ] [ 1 1 2] = [ 4 v 0 v 3 v ] = I G 4 v 2 v 1 v v 1 v 0 v dalam hal ini matriks B disebut pseudo-invers kiri dari A, sedangkan I G merupakan pseudo-identitas ghost kiri dari A. 1.8 Sistem Persamaan Linear Atas Aljabar Max-Plus Berikut diberikan penjelasan mengenai sistem persamaan linear aljabar max-plus dan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear atas aljabar max-plus Sistem persamaan Linear Aljabar Max-Plus Sistem persamaan linear max-plus A x = b tidak selalu mempunyai penyelesaian. Sebagai contoh : Contoh Selesaikan A x = b di R max, jika A = [ 4 3 ], x = [ x 2 ] dan, b = [ 6] 0 x 3 2 dalam bentuk perkalian matriks dapat ditulis sebagai : sistem diatas ekuivalen dengan x 1 x [ 4 3 ] [ x 2 ] = [ 6] 0 x 3 2 (0 x 1 ) (10 x 2 ) ( x 3 ) = 2 ( x 1 ) (4 x 2 ) (3 x 3 ) = 6 ( x 1 ) ( x 2 ) (0 x 3 ) = 2 sistem persamaan A x = b tersebut tidak punya penyelesaian, sebab bila punya x 1 penyelesaian berarti ada x = [ x 2 ] sehingga x 3 didapat x [ 4 3 ] [ x 2 ] = [ 6] 0 x
40 ( x 1 ) ( x 2 ) (0 x 3 ) = 2 (0 x 3 ) = 2 x 3 = 2 ( x 1 ) (4 x 2 ) (3 x 3 ) = 6 (4 x 2 ) 5 = 6 x 2 = 2 (0 x 1 ) (10 x 2 ) ( x 3 ) = 2 x 1 12 = 2 terlihat bahwa tidak akan ada x 1 R max sehingga x 1 12 = 2 max{x 1, 12} = 2. Jadi A x = b tidak punya penyelesaian. Contoh tersebut menjelaskan bahwa A x = b di R max belum tentu mempunyai penyelesaian. Sedangkan A x b selalu punya penyelesaian. Untuk itulah masalah penyelesaian A x = b diperlemah dengan mendefinisikan konsep subpenyelesaian berikut ini. m n Definisi [20]. Diberikan A R max dan b R m max. Vektor x n R max disebut suatu sub-penyelesaian sistem persamaan linear A x = b jika vektor x tersebut memenuhi A x b. Sub-penyelesaian sistem persamaan A x = b selalu ada karena untuk x = ε didapat A x = ε b. Definisi [20]. Suatu subpenyelesaian x dari sistem sistem A x = b disebut sub-penyelesaian terbesar sistem A x = b jika x x untuk setiap subpenyelesaian x dari sistem A x = b. m n Teorema 2.2. [20]. Diberikan A R max dengan unsur-unsur setiap kolomnya tidak semuanya sama dengan ε dan b R m max. Sub-penyelesaian terbesar A x = b ada dan diberikan oleh x dengan x j = max( b i + A ij ) i untuk setiap i = 1, 2, 3,, m dan j = 1, 2, 3,, n. Bukti : A 11 x 1 A 12 x 2 A 1n x n b 1 A A x b { 21 x 1 A 22 x 2 A 2n x n b 2 A m1 x 1 A m2 x 2 A mn x n b n 30
41 n ( (A ij x j ) b i, i) j=1 (A ij x j ) b i, i, j (A ij + x j ) b i, i, j karena unsur setiap kolom dari matriks A tidak semuanya sama dengan ε, maka untuk setiap j selalu ada i sehingga A ij ε yang berarti A ij ada. Mengingat untuk setiap a R max berlaku a ε = ε dan a ε = a maka koefisien-koefisien A ij = ε tidak akan berpengaruh pada nilai A x, sehingga berlaku : (A ij + x j ) b i, i, j (A ij + x j b i, i, j dengan A ij ε) (x j b i A ij, i, j dengan A ij ε) (x j min(b i A ij ), j dengan A ij ε) i ( x j max( b i + A ij ), j) i Jadi sub-penyelesaian sistem A x = b di atas adalah setiap vektor x yang setiap komponen-komponennya memenuhi x j = max( b i + A ij ), j. i Jika vektor x = [x 1, x 2,, x n] T didefinisikan dengan x j = max( b i + A ij ) i untuk setiap j = 1, 2,, n, maka diperoleh : ( x j = max( b i + A ij ) j) (x j = min(b i A ij ), j dengan A ij ε) i i (x j (b i A ij ), i, j dengan A ij ε) n ( (A ij x j) b i, i) j=1 (A ij x j b) Jadi vektor x tersebut merupakan sub-penyelesaian sistem A x = b. Karena x j max( b i + A ij ) = x j, j maka x j x j, j. Akibatnya x x. Jadi i vektor x tersebut merupakan sub-penyelesaian terbesar sistem A x = b. 31
42 Dengan demikian, maka diketahui cara untuk menyelesaikan sistem persamaan A x = b. Langkah pertama terlebih dahulu dihitung sub-penyelesaian terbesarnya, kemudian diperiksa sub-penyelesaian terbesar tersebut memenuhi sistem persamaan atau tidak. Untuk menghitung sub-penyelesaian terbesar sistem persamaan A x = b, dapat diperhatikan bahwa : x 1 x 2 x = [ ] = x n max( b i + A i1 ) i ( b i + A i2 ) max i [ max( b i + A im ) ] max(a i1 b i ) i max(a i2 b i ) = i [ max(a im b i ) ] i A 11 ( b 1 ) A 21 ( b 2 ) A m1 ( b m ) A = [ 12 ( b 1 ) A 22 ( b 2 ) A m2 ( b m ) ] = A T ( b) A 1n ( b 1 ) A 2n ( b 2 ) A mn ( b m ) Sub-penyelesaian terbesar A x = b dapat ditentukan dengan langkah pertama menghitung x = A T ( b) atau x = (A T ( b)). i Contoh Selesaikan A x = b di R max, jika x 1 5 A = [ ], x = [ x 2 ], b = [ 4] x 3 3 dalam bentuk perkalian matriks dapat ditulis sebagai x 1 5 [ ] [ x 2 ] = [ 4] x 3 3 akan ditentukan penyelesaian terbesar sistem persamaan tersebut dengan terlebih dahulu menentukan sub-penyelesaian terbesarnya. Pertama dihitung x = A T ( b) x = A T ( b) = [ ] [ 4] = [ 1]
43 1 x = [ 1 ] karena [ ] [ 1 ] = [ 4], maka [ 1 ] merupakan penyelesaian sistem Selanjutnya akan diberikan contoh sistem persamaan linear aljabar max-plus yang mempunyai sub-penyelesaian terbesar akan tetapi tidak mempunyai penyelesaian sebagai berikut. Contoh Selesaikan A x = b di R max, jika x A = [ 2 1 3], x = [ x 2 ], b = [ 6] x 3 4 dalam bentuk perkalian matriks dapat ditulis sebagai x [ 2 1 3] [ x 2 ] = [ 6] x 3 4 akan ditentukan penyelesaian terbesar sistem persamaan tersebut dengan terlebih dahulu menentukan sub-penyelesaian terbesarnya x = A T ( b) = [ 2 1 2] [ 6] = [ 0] x = [ 0 ] Karena [ 2 1 3] [ 0 ] = [ 2] [ 6], maka [ 0 ] bukan merupakan penyelesaian sistem. Akan tetapi persamaan linear tersebut memiliki sub-penyelesaian terbesar yang bukan merupakan penyelesaian Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Max-Plus 33
44 Berdasarkan [17] telah dijelaskan mengenai karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear atas aljabar max-plus sebagai berikut : R max Diberikan sistem persamaan A x = b dengan A R m n max, x n dan b R m max. Sistem persamaan A x = b yang terdiri dari n persamaan dan n peubah dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut A x = b atau a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 b [ ] [ ] = [ 2 ] a n1 a n2 a nn x n b n (a 11 x 1 ) (a 12 x 2 ) (a 1n x n ) = b 1 (a 21 x 1 ) (a 22 x 2 ) (a 2n x n ) = b 2 (a n1 x 1 ) (a n2 x 2 ) (a nn x n ) = b n Kasus yang pertama dibahas ada suatu penyelesaian dan beberapa elemen dari b adalah ε. Tanpa menghilangkan keumumannya, persamaan dapat disusun ulang sehingga elemen-elemen yang berhingga disusun dengan urutan yang pertama, didapat : dapat dituliskan sebagai : b 1 a 1,1 a 1,2 a 1,n x 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n x 2 [ ] [ ] b = k a n,1 a n,2 a n,n x n [ ] (a 1,1 x 1 ) (a 1,2 x 2 ) (a 1,n x n ) = b 1 (a k,1 x 1 ) (a k,2 x 2 ) (a k,n x n ) = b k (a k+1,1 x 1 ) (a k+1,2 x 2 ) (a k+1,n x n ) = (a n,1 x 1 ) (a n,2 x 2 ) (a n,n x n ) = Lakukan penomoran ulang pada peubah untuk j sehingga a k+1,j,, a n,j = ε 34
45 terjadi pertama, didapatkan A 1 A 2 [ ] A 3 [ dengan matriks A 1 berukuran k l. Misalkan : x 1 x l x l+1 x n ] b 1 x 1 b = [ ] dan x = [ ] b k x l b 1 b = k [ ] Catatan bahwa : A x = b mempunyai penyelesaian, maka x l+1,, x n = dan A 1 x = b. Jadi A x = b mempunyai penyelesaian bila dan hanya bila x adalah penyelesaian dari A 1 x = b dan penyelesaian dari A x = b adalah x x = [ ] Oleh karena itu, penyelesaian dari A x = b dengan beberapa elemen b takhingga dapat direduksi ke bentuk A 1 x = b dengan semua elemen dari b berhingga. Jadi pembahasan persamaan A x = b dapat ditekankan pada semua elemen b berhingga. Bila A x = b mempunyai penyelesaian, maka : a ij x j b i, i n, j n jika dituliskan secara terpisah untuk setiap i didapat didapat a i1 + x 1 b 1 atau x 1 b 1 a i1 x 1 b 1 a 11 x 1 b 2 a 21 x 1 b n a n1 atau x 1 min{(b 1 a 11 ), (b 2 a 21 ),, (b n a n1 ) } Jadi, jika sistem mempunyai penyelesaian maka harus memenuhi x 1 min{(b 1 a 11 ), (b 2 a 21 ),, (b n a n1 ) } 35
46 dengan demikian penyelesaian x yang mungkin memenuhi x 1 min{(b 1 a 11 ), (b 2 a 21 ),, (b n a n1 ) } x 2 min{(b 1 a 12 ), (b 2 a 22 ),, (b n a n2 ) } x n min{(b 1 a 1n ), (b 2 a 2n ),, (b n a nn ) } Jadi calon penyelesaian dari A x = b yang dinotasikan dengan x adalah dengan x 1 x 2 x = [ ], x 1 = min{(b 1 a 11 ), (b 2 a 21 ),, (b n a n1 ) } x 2 = min{(b 1 a 12 ), (b 2 a 22 ),, (b n a n2 ) } x n = min{(b 1 a 1n ), (b 2 a 2n ),, (b n a nn ) } Selanjutnya didefinisikan matriks discrepancy (ketidaksesuaian) dinotasikan D A,b dengan x n b 1 a 11 b 1 a 12 b 1 a 1n b D A,b = [ 2 a 21 b 2 a 22 b 2 a 2n ] b n a n1 b n a n2 b n a nn minimum dari setiap kolom D A,b adalah elemen dari x. Selanjutnya didefinisikan matriks tereduksi ketaksesuaian R A,b sebagai berikut : dengan R A,b = [r i,j ] r i,j = { 1, jika d i,j = minimum dari kolom ke j 0, yang lainnya Dalam hal ini matriks D A,b dan R A,b dapat digunakan untuk menentukan perilaku penyelesaian dari sistem persamaan A x = b. Dengan demikian dapat diketahui kekonsistenan dan ketunggalan dari penyelesaian A x = b. Berikut diberikan contoh kasus penyelesaian sistem persamaan A x = b. Contoh 2.26 Kasus A x = b mempunyai penyelesaian tunggal 36
47 Selesaikan A x = b, jika A = [ ], x = [ x 2 ] dan, b = [ 6] x 3 3 didapatkan matriks D A,b dan R A,b sebagai berikut : D A,b = [ ] dan R A,b = [ 0 1 0] terlihat bahwa setiap kolom matriks R A,b hanya terdapat tepat satu elemen bernilai 1. Hal ini menandakan bahwa A x = b hanya mempunyai tepat satu penyelesaian x dengan elemen-elemennya adalah minimum dari setiap kolom matriks D A,b yaitu 5 x = [ 24] 3 hal ini bisa di cek sebagai berikut : max( 4, 33,1) 1 A x = [ ] [ 24] = [ max( 9, 6, 11) ] = [ 6] = b max( 3, 23, 7) 3 Dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa : Pada baris pertama nilai maksimum dicapai hanya satu kali, dengan demikian persamaan baris pertama menetapkan elemen x 3 = 3. Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris kedua menetapkan elemen x 2 = 24. Pada baris ketiga didapatkan nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris ketiga menetapkan elemen x 1 = 5. Setiap elemen-elemen yang sudah dipilih ini tidak bisa diubah, bila diubah yang lain maka akan membentuk pertaksamaan. Karena pada keseluruhan baris nilai maksimum hanya dicapai satu kali, maka hanya terdapat satu cara untuk mencapai persamaan pada semua baris yaitu dengan menetapkan elemen x 1 = 5, x 2 = 24, x 3 = 3. Dengan demikian persamaan A x = b memiliki penyelesaian tunggal. x 1 Contoh 2.27 Kasus A x = b mempunyai penyelesaian tak hingga banyak 37
48 Selesaikan A x = b, jika A = [ ], x = [ x 2 ] dan, b = [ 1] x 3 3 didapatkan matriks D A,b dan R A,b sebagai berikut : D A,b = [ ] dan R A,b = [ 0 1 0] terlihat bahwa setiap kolom matriks R A,b terdapat setidaknya satu elemen bernilai 1, sedangkan pada baris ke-1 terdapat nilai 1 lebih dari satu. Hal tersebut menandakan bahwa A x = b mempunyai banyak penyelesaian x. Elemenelemen minimum dari setiap kolom matriks D A,b yaitu 1 x = [ 17] 2 Hal ini bisa di cek sebagai berikut : max(2, 26, 2) 2 A x = [ ] [ 17] = [ max( 3, 1, 10) ] = [ 1] = b max(3, 16, 6) 3 dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa : Pada baris pertama nilai maksimum dicapai dua kali yaitu pada saat elemen x 1 = 1 dan elemen x 3 = 2. Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris kedua menetapkan elemen x 2 = 17. Pada baris ketiga nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris ketiga menetapkan elemen x 1 = 1. Elemen-elemen yang sudah dipilih yaitu x 2 = 17 dan x 1 = 1 tidak bisa diubah, bila diubah yang lain maka baris kedua dan ketiga akan membentuk pertaksamaan. Karena persamaan baris ketiga telah menetapkan x 1 = 1, maka dengan menetapkan elemen x 3 < 2 pada baris pertama tetap membentuk persamaan dan tidak akan mengubah persamaan pada baris lain. Sehingga persamaan pada semua baris akan tercapai dengan menetapkan elemen x 1 = 1, x 2 = 17, x 3 < 2. Dengan demikian A x = b memiliki penyelesaian tak hingga banyak yaitu x 1 38
49 1 x = [ 17] untuk setiap p 3 < 2 p 3 Contoh Kasus A x = b tidak mempunyai penyelesaian Selesaikan A x = b, jika A = [ ], x = [ x 2 ] dan, b = [ 2] x 3 3 didapatkan matriks D A,b dan R A,b sebagai berikut : D A,b = [ ] dan R A,b = [ 0 1 0] Terlihat bahwa tidak semua kolom matriks R A,b setidaknya memuat satu elemen bernilai 1, yaitu pada baris ke-3 semua elemennya bernilai 0. Hal tersebut menandakan bahwa A x = b tidak mempunyai penyelesaian. Elemen-elemen minimum dari setiap kolom matriks D A,b yaitu 0 x = [ 16] 3 Selanjutnya bisa di cek bahwa : max(1, 25, 1) 1 1 A x = [ ] [ 16] = [ max( 4, 2, 11) ] = [ 2] < [ 2] = b max(2, 15, 7) 2 3 Dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa : Pada baris pertama nilai maksimum dicapai dua kali yaitu pada saat elemen x 1 = 0 dan elemen x 3 = 3. Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris kedua menetapkan elemen x 2 = 17. Pada baris ketiga tidak terdapat elemen yang dapat mencapai nilai maksimum yang bisa membentuk persamaan, sehingga baris ketiga membentuk pertaksamaan. Oleh karena itu persamaan pada baris ketiga tidak tercapai. Dengan demikian A x = b tidak mempunyai penyelesaian. x 1 39
50 Berdasarkan Contoh 2.26 sampai 2.28 didapatkan matriks R A,b untuk penyelesaian tunggal, tak hingga banyak dan tidak mempunyai penyelesaian sebagai berikut : Solusi tunggal Solusi tak hingga banyak Tidak mempunyai penyelesaian D A,b = [ ] D A,b = [ ] D A,b = [ ] R A,b = [ 0 1 0] R A,b = [ 0 1 0] R A,b = [ 1 0 1] Berikut diberikan Teorema mengenai beberapa hal yang telah dibahas. Teorema 2.3 [17]. Diberikan persamaan A x = b dengan A R m n max, x n dan b R m max. Bila suatu baris dari matriks R A,b semua elemennya bernilai R max 0, maka persamaan A x = b tidak punya penyelesaian. Bila setidaknya pada setiap baris matriks R A,b paling sedikit memuat sebuah elemen bernilai 1, maka A x = b mempunyai penyelesaian. Bukti. Tanpa menghilangkan keumuman, misalkan baris ke-k dari R A,b semua elemennya bernilai 0 dan andaikan bahwa x adalah suatu penyelesian dari persamaan A x = b, maka : Jadi x j min{b l a l,j } < (b k a k,j ), l n. x j + a k,j < b k untuk semua j. Dengan demikian x tidak memenuhi persamaan ke- k. Hal ini bertentangan dengan x adalah suatu penyelesaian dari A x = b. Jadi x bukan penyelesaian dari A x = b sehingga A x = b tidak punya penyelesaian. Berikutnya, andaikan x bukan penyelesaian dari A x = b maka x j < b k a k,j untuk semua k, j. Jadi : max{a k,j + x j} b k, j n dan bila x bukan penyelesaian dari A x = b, maka ada suatu k dengan karena max{a k,j + x j} < b k, j n x j = min{b l a l,j } untuk beberapa l 40
51 maka tidak ada elemen di baris ke- k pada matriks R A,b yang bernilai 1. Hal ini bertentangan bahwa setiap baris dari matriks R A,b setidaknya memuat elemen yang bernilai 1. Jadi haruslah x adalah suatu penyelesaian dari A x = b. Teorema 2.3 tersebut menjelaskan eksistensi dari penyelesaian A x = b. Eksistensi tersebut belum menjelaskan bilamana A x = b memiliki penyelesaiaan tunggal dan tidak tunggal. Untuk hal tersebut diperlukan definisi sebagai berikut : Definisi 2.25 [17]. Elemen bernilai 1 pada suatu baris R A,b dinamakan elemen peubah tetap bila nilai 1 hanya muncul sekali pada baris tersebut atau bila nilai 1 berada pada kolom yang sama seperti halnya nilai 1 hanya satu-satunya pada baris tersebut. Sedangkan sisa nilai 1 lainnya dinamakan elemen slack. Berikut ini diberikan matriks R A,b yang didapat dari Contoh 2.26 dan 2.27 untuk mempertegas Definisi 2.25 mengenai elemen peubah tetap dan elemen slack. Solusi tunggal Solusi tak hingga banyak R A,b = [ 0 1 0] R A,b = [ 0 1 0] Dari tabel tersebut dapat dijelaskan beberapa hal sebagai berikut : Berdasarkan Contoh 2.26 didapat matriks D A,b = [ ] dan R A,b = [ 0 1 0] semua elemen 1 adalah peubah tetap. Persamaan baris pertama menetapkan elemen x 3 = 3, Persamaan baris kedua menetapkan elemen x 2 = 24, dan Persamaan baris ketiga menetapkan elemen x 1 = 5. Setiap elemen-elemen yang sudah dipilih tidak bisa diubah, bila diubah maka tidak akan memenuhi A x = b. Berdasarkan Contoh 2.27 didapat matriks 41
52 D A,b = [ ] dan R A,b = [ 0 1 0] semua elemen 1 adalah peubah tetap. Sedangkan sisa nilai 1 lainnya dinamakan elemen slack. Pada Contoh 2.26 terdapat satu elemen slack. Pada baris pertama terdapat dua kemungkinan yaitu menetapkan elemen x 1 atau x 3. Persamaan baris kedua menetapkan elemen x 2, dan persamaan baris ketiga telah menetapkan elemen x 1. Karena elemen x 1 tidak bisa dirubah, maka pada baris pertama dengan menetapkan elemen x 3 < 2 akan membentuk persamaan karena maksimum hanya dicapai satu kali dan tidak akan mengubah persamaan lain. Dengan demikian, dengan menetapkan x 1 = 1, x 2 = 17 dan x 3 < v 2 persamaan semua baris selalu benar. Berikut ini diberikan penjelasan mengenai hal yang telah dibahas. Teorema 2.4 [17]. Diberikan persamaan A x = b dengan A R m n max, x n m R max dan b R max dan diasumsikan A x = b mempunyai penyelesaian. Bila setiap baris dari matriks R A,b hanya ada satu anggota yang bernilai 1, maka persamaan A x = b mempunyai penyelesaian tunggal. Bila ada elemen slack pada matriks R A,b maka A x = b mempunyai penyelesaian tidak tunggal. Bukti. Bila disetiap baris R A,b hanya ada satu elemen bernilai 1, maka disetiap baris R A,b ada suatu elemen peubah tetap dan tidak ada elemen slack. Dengan demikian semua elemen x tetap, jadi penyelesaian tunggal. Selanjutnya, misalkan r i,j adalah satu elemen slack pada R A,b dan x adalah penyelesaian dari A x = b. Karena r i,j bukan elemen peubah tetap, maka tidak ada elemen peubah tetap pada kolom ke- j dari matriks R A,b. Jadi persamaan bisa dicapai tanpa menggunakan elemen x j. Dengan demikian walaupun x j menunjukkan nilai maksimum yang mungkin untuk elemen ini, akan tetapi untuk setiap nilai yang lebih kecil atau samadengan x j tidak akan mempengaruhi eksistensi persamaan baris yang telah ditetapkan. 1.9 Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Supertropical 42
53 Sebagaimana dalam aljabar linear biasa, sistem persamaan linear atas aljabar supertropical terbagi menjadi sistem persamaan tak homogen dan sistem persamaan homogen. Dalam aljabar supertropical, akan digunakan relasi ghost surpass pada R sebagai pengganti dari relasi =. Sistem persamaan tak homogen atas aljabar supertropical dinyatakan sebagai A x b. Sedangkan bila semua entri dari b = ε, maka sistem persamaan A x ε disebut sistem persamaan homogen atas aljabar supertropical. 43
54 BAB III METODE PENELITIAN Pada bagian ini diuraikan beberapa metode penelitian yang digunakan untuk mencapai tujuan penelitian. 1. Studi Literatur. Pada tahap ini, dikaji dan diuraikan teori-teori yang mendukung proses penelitian. Diantaranya penelitian terdahulu, semiring, aljabar max-plus, aljabar tropical, perluasan aljabar tropical, aljabar supertropical dan sistem persamaan linear atas aljabar max-plus dan aljabar supertropical. 2. Menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen atas aljabar supertropical. Berdasarkan kajian teori dan pengamatan pada beberapa definisi, teorema dan contoh pada kasus-kasus tertentu, maka pada tahap ini dilakukan karakterisasi terhadap penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen atas aljabar supertropical. Karakterisasi terhadap penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen adalah memiliki penyelesaian tunggal atau tidak tunggal. 3. Menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear homogen atas aljabar supertropical. Berdasarkan kajian teori dan pengamatan pada beberapa definisi, teorema dan contoh pada kasus-kasus tertentu, maka pada tahap ini dilakukan karakterisasi terhadap penyelesaian sistem persamaan linear homogen atas aljabar supertropical. Karakterisasi terhadap penyelesaian sistem persamaan linear homogen adalah memiliki penyelesaian trivial atau tak trivial. 4. Membuat Simpulan Berdasarkan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen maupun homogen atas aljabar supertropical, dilakukan proses pembuatan simpulan. Simpulan dibuat untuk menjawab rumusan masalah. 45
55 BAB IV PEMBAHASAN Pada bab ini akan dipaparkan pembahasan mengenai karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear atas aljabar supertropical. Pembahasan diawali dengan menentukan karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear tak homogen yang kemudian dilanjutkan pada sistem persamaan linear homogen. Adapun karakterisasi penyelesaian yang dibahas pada sistem persamaan linear tak homogen adalah mempunyai penyelesaian tunggal atau tidak tunggal. Sedangkan karakterisasi penyelesaian yang dibahas pada sistem persamaan linear homogen adalah mempunyai penyelesaian trivial atau tak trivial. 4.1 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tak Homogen atas Aljabar Supertropical Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan bahwa aljabar max-plus merupakan suatu struktur aljabar (R ε,, ) yang tidak mempunyai elemen invers terhadap operasi. Dengan kata lain, jika a R ε maka tidak ada b R ε sehingga a b = ε, kecuali jika a = ε dengan ε adalah elemen nol. Hal ini yang menyulitkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear A x = b di R max. Sebagai motivasi dari pembahasan sistem persamaan linear tak homogen, akan diberikan sistem persamaan tak homogen di R max sebagai berikut. Selesaikan A x = b di R max, jika A = [ 4 3 ], x = [ x 2 ] dan, b = [ 6] 0 x 3 2 dalam bentuk perkalian matriks dapat ditulis sebagai : x 1 x [ 4 3 ] [ x 2 ] = [ 6] 0 x 3 2 sistem diatas ekuivalen dengan (0 x 1 ) (10 x 2 ) ( x 3 ) = 2 47
56 ( x 1 ) (4 x 2 ) (3 x 3 ) = 6 ( x 1 ) ( x 2 ) (0 x 3 ) = 2 sistem persamaan A x = b tersebut tidak punya penyelesaian, sebab bila punya x 1 penyelesaian berarti ada x = [ x 2 ] sehingga x 3 didapat x [ 4 3 ] [ x 2 ] = [ 6] 0 x 3 2 ( x 1 ) ( x 2 ) (0 x 3 ) = 2 (0 x 3 ) = 2 x 3 = 2 ( x 1 ) (4 x 2 ) (3 x 3 ) = 6 (4 x 2 ) 5 = 6 x 2 = 2 (0 x 1 ) (10 x 2 ) ( x 3 ) = 2 x 1 12 = 2 terlihat bahwa tidak akan ada x 1 R max sehingga Jadi A x = b tidak punya penyelesaian. x 1 12 = 2 max{x 1, 12} = 2. (4.1) Oleh karena itu dikonstruksikan suatu semiring khusus yang merupakan perluasan dari R max sedemikian hingga semua persamaan yang berbentuk persamaan (4.1) mempunyai penyelesaian. Semiring yang merupakan perluasan dari R max disebut extended semiring tropical yang merupakan kasus khusus dari aljabar supertropical. Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan mengenai pengkonstruksian R yang merupakan perluasan dari R max. Dengan struktur semiring yang baru ini maka dapat digeneralisasikan suatu penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan relasi ghost surpass pada R. Pada pembahasan selanjutnya akan digunakan relasi ghost surpass sebagai pengganti relasi =. Dengan relasi ghost surpass penyelesaian sistem persamaan A x = b akan diperlemah menjadi A x b. Diantara kemungkinan penyelesaian A x b yang ada, dapat diklasifikasikan ke dalam penyelesaian tangible, ghost dan nol (ε ). Selanjutnya, pembahasan akan difokuskan pada penyelesaian tangible dan nol (x T 0 n ) dari sistem persamaan A x b. Sistem persamaan A x b mempunyai penyelesaian tunggal yang dapat diperoleh dengan menggunakan aturan Cramer. 48
57 Berikut diberikan penjelasan mengenai relasi ghost surpass pada R. Definisi 4.1. [8]. Diberikan a, b R, maka Definisi 4.2. [8]. Diberikan a R, b T maka a b a = b c untuk beberapa c G 0 dan a b a b G 0 a ε a G 0 Definisi 4.3. [5]. Diberikan a, b T maka a b a = b Definisi 4.4. [8]. Diberikan a G 0, dan b R maka a b a v b Selanjutnya, akan dijelaskan mengenai himpunan penyelesaian dari suatu persamaan dengan menggunakan relasi ghost surpass pada R. Diberikan a T dan x R. Jika diasumsikan persamaan dalam relasi ghost surpass dinyatakan sebagai : 1. x a maka himpunan penyelesaian dari x adalah {a} {b v b T dan b v a } 2. x a v maka himpunan penyelesaian dari x adalah {b v b T dan b v a } 3. x ε maka himpunan penyelesaian dari x adalah {ε} {b v b T } 49
58 Contoh 4.1. Diberikan persamaan dalam relasi ghost surpass sebagai berikut : 1. x 2 himpunan penyelesaian dari x adalah {2} {b v b T dan b v 2 } 2. x 8 v himpunan penyelesaian dari x adalah {b v b T dan b v 8 } 3. x 4 3 himpunan penyelesaian dari x adalah {4} {b v b T dan b v 4 } 4. x 2 v 5 himpunan penyelesaian dari x adalah {5} {b v b T dan b v 5 } 5. x 6 v 3 himpunan penyelesaian dari x adalah {b b T dan b v 6 } {d v d T } Lemma 4.1. Diberikan a T dan b R. Untuk setiap x R berlaku a x b jika dan hanya jika x a 1 b. Bukti : i. Kasus yang pertama : akan ditinjau untuk a T dan b T untuk setiap a T terdapat a 1 = a T sehingga a 1 b T jika x a 1 b akan dibuktikan a x b a x b (a (a 1 b)) b (a a 1 b) b (a a 1 ) b b e b b b b untuk setiap a T dan b T terbukti jika x a 1 b maka a x b. 50
59 ii. Kasus yang kedua : akan ditinjau untuk a T dan b G. untuk setiap a T terdapat a 1 = a T sehingga a 1 b G jika x a 1 b akan dibuktikan a x b a x b (a (a 1 b)) b (a a 1 b) b (a a 1 ) b b e b b b b untuk setiap a T dan b G terbukti jika x a 1 b maka a x b. Teorema 4.1. [21]. Jika a T dan b T. Untuk x T maka x = a 1 b adalah penyelesaian tunggal dari persamaan a x b. Bukti : Berdasarkan lemma 4.1 diketahui bahwa : a x b x a 1 b. Untuk a T dan b T berlaku a 1 b T. Berdasarkan Definisi 4.3, maka diperoleh jika x a 1 b dengan x T dan a 1 b T maka x = a 1 b. Akan dibuktikan bahwa x = a 1 b merupakan penyelesaian tunggal dari persamaan a x b. Misalkan y T juga merupakan penyelesaian dari a x b, maka a y b y a 1 b diketahui bahwa x a 1 b merupakan penyelesaian dari a x b sehingga didapat { x a 1 b y a 1 b karena x T, y T maka berdasarkan Definisi 4.3 didapat bahwa x y x = y. Jadi terbukti bahwa jika y merupakan penyelesaian yang lain dari a x b maka pastilah y = x = a 1 b. Dengan kata lain, penyelesaian dari persamaan a x b adalah tunggal yaitu x = a 1 b. 51
60 Teorema 4.2. [21]. Diberikan a T dan b T. Solusi dari persamaan dengan relasi ghost surpass a x b secara umum dapat ditulis sebagai : x t = x t v dengan beberapa t v G 0. Bukti : Berdasarkan Definisi 4.2 diketahui bahwa : a x b a x b ε a x b G 0 Berdasarkan Teorema 4.1 diperoleh x = a 1 b adalah solusi tunggal dari persamaan a x b. Untuk semua t T dengan jelas dapat diperoleh a t v ε karena a t v G 0 dengan menambahkan persamaan a t v ε pada a x b ε didapat (a t v ) (a x) b ε a (x t v ) b ε sehingga diperoleh penyelesaiannya (a x) (a t v ) b ε (a x) (a t v ) b a (x t v ) b kalikan kedua ruas dengan a 1 dari sebelah kiri diperoleh a 1 a (x t v ) a 1 b e (x t v ) a 1 b (e x) (e t v ) a 1 b x t v a 1 b jika diasumsikan x t = x t v, maka diperoleh x t x berdasarkan Definisi 4.1 diperoleh x t x x t = x t v dengan beberapa t v G 0. Jika t v x maka x t = t v. Oleh karena itu secara umum penyelesaian dari relasi ghost surpass a x b dapat dituliskan sebagai x t = x t v dengan beberapa t v G 0. Persamaan a x b dalam aljabar supertropical menggunakan relasi ghost surpass selalu mempunyai penyelesaian di R. Oleh karena itu R dikatakan sebagai penutup dari R max. 52
61 Relasi ghost surpass pada R dapat diperluas untuk kasus vektor. Selanjutnya akan diberikan beberapa definisi terkait hal tersebut. Definisi 4.5. [8]. Diberikan u R n n dan w T 0, maka (n) u w u w G 0 ekuivalen dengan u i w i u i w i G 0 untuk setiap i n Berdasarkan Definisi 4.5 dapat ditunjukkan bahwa : n 1. Jika u T 0 maka u i w i u i = w i untuk setiap i n. 2. Jika u G (n) 0 maka u i w i u i v w i untuk setiap i n. Definisi 4.6. Diberikan A M n (R), x R n n dan b T 0, maka sistem persamaan A x b A x b G (n) 0. Jika diasumsikan A = [a ij ], maka n p i = a ij x j j=1 diperoleh p i b i p i b i G 0 untuk setiap i n Berdasarkan Definisi 4.6 dapat ditunjukkan bahwa : n 1. Jika p T 0 maka p i b i p i = b i untuk setiap i n. 2. Jika p G (n) 0 maka p i b i p i v b i untuk setiap i n. Selanjutnya akan dibahas mengenai penyelesaian sistem persamaan A x b dalam aljabar supertropical dengan menggunakan aturan Cramer. Sebelumnya akan diberikan beberapa Lemma terkait aturan Cramer. Lemma 4.2. [8]. Diberikan A M n (R), maka berlaku : A adj(a) A I A Bukti : Akan dibuktikan A adj(a) A I A. 53
62 Berdasarkan Definisi 4.2 mengenai relasi ghost surpass, maka untuk membuktikan A adj(a) A I A sama juga dengan membuktikan bahwa : (n) (A adj(a)) ( A I A ) G 0 didapat (A adj(a)) ( A I A ) = [A i,j ] [Cof j,i (A)] A I A = ( A I A ) ( A I A ) G 0 (n) dengan demikian dapat disimpulkan bahwa A adj(a) = A I A. Lemma 4.3. Diberikan A M n (R) dengan partisi dari matriks A yaitu F adalah matriks berukuran (n 1) (n 1) dari A H adalah matriks berukuran 1 (n 1) dari A G adalah matriks berukuran (n 1) 1 dari A dan a n,n adalah elemen tangible dari matriks A sehingga A = [ F G H a ] n,n maka berlaku : A = F G H a = ( F a n,n ) (H adj(f) G) n,n Berikut diberikan formula Cramer dalam aljabar supertropical. n Teorema 4.3. [8]. Diberikan A M n (R) dan b T 0. Untuk setiap penyelesaian x R n dari sistem persamaan A x b (4.2) memenuhi : A x adj(a) b (4.3) maka penyelesaian x = A 1 (adj(a) b). Bukti : Akan ditunjukkan bahwa x = A 1 adj(a) b merupakan penyelesaian dari sistem persamaan A x b. Berdasarkan Lemma 4.2 didapat : 54
63 A adj(a) A I A (4.4) Asumsikan A T, kalikan kedua ruas dari persamaan (4.4) dengan A 1 b dari sebelah kanan didapat (A adj(a)) ( A 1 b ) ( A I A ) ( A 1 b ) A (adj(a) A 1 b) ( A A 1 ) (I A b ) A ( A 1 adj(a) b) (I A b ) A x b. dapat dilihat bahwa x = A 1 adj(a) b merupakan penyelesaian dari sistem persamaan A x b. n Teorema 4.4. [8]. Diberikan A M n (R) dan b T 0. n Jika diasumsikan (adj(a) b) T 0 dan A T, maka x = A 1 (adj(a) b) adalah solusi tunggal dari A x b. Bukti : Akan ditunjukkan bahwa x = A 1 (adj(a) b) merupakan solusi tunggal dari A x b. ketunggalan solusi dari persamaan A x b akan dibuktikan dengan menggunakan induksi matematika. untuk n = 1 jelas, sebab berdasarkan Teorema 4.1 diperoleh a x b x = a 1 b diasumsikan benar untuk n = k 1 akan dibuktikan benar untuk n = k n n Jika diasumsikan partisi dari A M n (R), b T 0 dan x T 0 sebagai berikut : A = [ H a 1,n F G ], b = [b 1 B ], x = [ X ] x n dengan H matriks berukuran 1 (n 1) dari A F matriks berukuran (n 1) (n 1) dari A G matriks berukuran (n 1) 1 dari A B matriks berukuran (n 1) 1 dari b 55
64 X matriks berukuran (n 1) 1 dari x a 1,n adalah elemen tangible dari matriks A b 1 adalah elemen tangible dari vektor b dan x n adalah elemen tangible dari vektor x sehingga persamaan dapat ditulis sebagai dari Lemma 4.2 diketahui bahwa : A x b [ H a 1,n F G ] [ X x n ] [ b 1 B ] A x b { (H X) (a 1,n x n ) b 1 (4.5) (F X) (G x n ) B (4.6) sehingga A adj(a) = A I A A = (adj(a)) 1 A I A A = A (adj(a)) 1 I A A 1 = ( A (adj(a)) 1 I A ) 1 A 1 = A 1 adj(a) (I A ) 1 A 1 = A 1 adj(a) berdasakan Definisi 2.20, maka didapat A = A 1 adj(a) dari persamaan (4.6) diperoleh (F X) B (G x n ) kalikan kedua ruas dengan F dari sebelah kiri, diperoleh F (F X) F (B (G x n )) (F F X) (F B) (F G x n ) X (F B) (F G x n ) X F (B (G x n )) X ( F 1 adj(f)) (B (G x n )) (4.7) substitusikan persamaan (4.7) pada persamaan (4.5), diperoleh 56
65 (H X) (a 1,n x n ) b 1 H ( F 1 adj(f)) (B (G x n )) (a 1,n x n ) b 1 ( F 1 H adj(f)) (B (G x n )) (a 1,n x n ) b 1 ( F 1 H adj(f) B) ( F 1 H adj(f) (G x n )) (a 1,n x n ) b 1 (4.8) kalikan persamaan (4.8) dengan F dari sebelah kiri, diperoleh (H adj(f) B) (H adj(f) (G x n )) F (a 1,n x n ) F b 1 F (a 1,n x n ) (H adj(f) (G x n )) ( F b 1 ) (H adj(f) B) x n (( F a 1,n ) (H adj(f) G)) ( F b 1 ) (H adj(f) B) x n ( F b 1 ) (H adj(f) B) (( F a 1,n ) (H adj(f) G)) dari Lemma 4.3, diperoleh dan sehingga diperoleh A = (( F a 1,n ) (H adj(f) G)) (adj(a) b) n = ( F b 1 ) (H adj(f) B) x n (adj(a) b) n A x n A 1 (adj(a) b) n n n karena (adj(a) b) T 0 dan A T didapat x n T 0 untuk setiap n. Jadi terbukti bahwa : x = A 1 (adj(a) b) merupakan solusi tunggal. 57
66 Dengan kata lain, jika diasumsikan D xi adalah determinan dari matriks yang diperoleh dengan cara mengganti kolom ke-i dari matriks A dengan b sehingga (adj(a) b) i = D xi dan diasumsikan D = A maka persamaan 4.2 : A x adj(a) b menjadi D x adj(a) b x adj(a) b D 1 x i (adj(a) b) i D 1 x i D xi D 1 x i = D 1 D xi n jika D xi T dan D T maka dihasilkan x i T 0 untuk setiap i n, sehingga dengan menggunakan sifat relasi ghost surpass diperoleh x i = D 1 D xi Hal ini sesuai dengan formula Cramer pada aljabar klasik. Berdasarkan Teorema yang telah dibahas, didapatkan syarat perlu dan syarat cukup sistem persamaan A x b atas aljabar supertropical mempunyai penyelesaian tunggal yang tangible yaitu jika dan hanya jika A T dan n (adj(a) b) T 0. Jika kondisi tersebut tidak terpenuhi maka sistem persamaan A x b mempunyai penyelesaian tidak tunggal. Berikut ini diberikan contoh kasus sistem persamaan A x b mempunyai penyelesaian tunggal dan tidak tunggal Penyelesaian A x b dimana A T dalam Aljabar Supertropical Contoh 4.2. Kasus A x b mempunyai penyelesaian tunggal Selesaikan A x b, jika A = [ ], x = [ x 2 ] dan, b = [ 6] x 3 3 penyelesaian A x b dengan menggunakan aturan Cramer D = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) x 1 58
67 D = (1 18 4) (1 8 1) ( 9 4 4) ( 9 8 2) (4 4 1) (4 18 2) D = = 24 T D 1 = D 1 = (1 18 4) (1 8 1) ( 9 6 4) ( 9 8 3) (4 6 1) (4 18 3) D 1 = = 19 T D 2 = D 2 = (1 6 4) (1 8 3) (1 4 4) (1 8 2) (4 4 3) (4 6 2) D 2 = = 0 T D 3 = D 3 = (1 18 3) (1 6 1) ( 9 4 3) ( 9 6 2) (1 4 1) (1 18 2) D 3 = = 21 T. sehingga diperoleh D 1 19 n adj(a) b = [ D 2 ] = [ 0 ] T 0 D 3 1 penyelesaian dari persamaan tersebut adalah hal ini bisa di cek sebagai berikut : x 1 = D 1 D = 19 = = 5 24 x 2 = D 2 D = 0 = 24 0 = x 3 = D 1 D = 21 = = max( 4, 33,1) 1 A x = [ ] [ 24] = [ max( 9, 6, 11) ] = [ 6] = b max( 3, 23, 7) 3 59
68 karena D T dan D xi T untuk setiap i, maka persamaan A x b dalam aljabar supertropical R mempunyai penyelesaian tunggal. Dengan demikian penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian tunggal di R max. Contoh 4.3. Kasus A x b mempunyai penyelesaian tidak tunggal Selesaikan A x b, jika A = [ ], x = [ x 2 ] dan, b = [ 1] x 3 3 penyelesaian A x b dengan menggunakan aturan Cramer D = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) D = (1 18 4) (1 8 1) ( 9 4 4) ( 9 8 2) (4 4 1) (4 18 2) D = = 24 T D 1 = D 1 = (2 18 4) (2 8 1) ( 9 1 4) ( 9 8 3) (4 1 1) (4 18 3) D 1 = = 25 T D 2 = D 2 = (1 1 4) (1 8 3) (2 4 4) (2 8 2) (4 4 3) (4 1 2) D 2 = = 7 T D 3 = D 3 = (1 18 3) (1 1 1) ( 9 4 3) ( 9 1 2) (2 4 1) (2 18 2) D 3 = = 22 v G 0. sehingga diperoleh x 1 60
69 D 1 25 adj(a) b = [ D 2 ] = [ 7 ] T 0 D 3 22 v penyelesaian dari persamaan tersebut adalah hal ini bisa di cek sebagai berikut : x 1 = D 1 D = 25 = = 1 24 x 2 = D 2 D = 7 = 24 7 = x 3 = D 1 D = 22v 24 = 24 22v = 2 v max(2, 26,2) 2 v 2 A x = [ ] [ 17] = [ max( 3,1, 10) ] = [ 1 ] [ 1] = b v max(3, 16, 6 v ) 3 3 karena D T dan terdapat D xi G untuk beberapa i, maka persamaan A x b dalam aljabar supertropical R mempunyai penyelesaian tidak tunggal. penyelesaian tangible dengan k 3 T adalah 1 x = [ 17] untuk setiap k 3 v 2. k 3 n Proposisi 4.1. [8] Diberikan A M n (R) dimana A G 0 ε, b T 0 n dan x T 0 n maka sistem persamaan A x b mempunyai penyelesaian k x R n dengan x adalah kolom ke-i yang tangible dari adj(a) untuk beberapa i n dan k T Penyelesaian A x b dimana A G 0 ε dalam Aljabar Supertropical Contoh 4.4. Kasus A x b mempunyai penyelesaian tidak tunggal Selesaikan A x b, jika x A = [ 4 1 5], x = [ x 2 ] dan b = [ 1] x
70 A = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) A = (1 1 2) (1 5 2) (2 4 2) (2 5 2) (3 4 2) (3 1 2) A = = 9 v G 0. Penyelesaian dari A x b adalah adj(a) = [ 7 5 7] penyelesaian x merupakan kolom ke-i yang tangible dari adj(a) yaitu kolom ke-1, kolom ke-2 dan kolom ke- 3. jika x adalah kolom ke-1 dan kolom ke-3 dari Adj (A), maka hal ini bisa di cek sebagai berikut : 7 x = [ 7] v 1 A x = [ 4 1 5] [ 7] = [ 11 v ] [ 1] v 4 jika x adalah kolom ke-2 dari Adj (A), maka hal ini bisa di cek sebagai berikut : 5 x = [ 5] v 1 A x = [ 4 1 5] [ 5] = [ 9 v ] [ 1] v 4 penyelesaian lain dari A x b adalah p 1 x = k [ p 2 ] p 3 dengan p 1 = 7, p 2 = 7, p 3 = 6 atau p 1 = 5, p 2 = 5, p 3 = 4. Untuk setiap k T yang besar sedemikian hingga memenuhi A x b. 62
71 Dalam hal ini A ε bukan merupakan syarat perlu dari sistem A x b dalam aljabar supertropical R agar memiliki solusi untuk semua nilai b. Contoh 4.5. Diberikan e e ε A = [ e e ε] e e ε A = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) A = (e e ε) (e ε e) (e e ε) (e ε e) (ε e e) (ε e e) D = ε ε ε ε ε ε = ε. Ambil t T dan b i v t untuk semua nilai i, dan x = [t t ε] T maka diperoleh e e ε t max(t, t, ε) t v A x = [ e e ε] [ t] = [ max(t, t, ε) ] = [ t v ]. e e ε ε max(t, t, ε) t v t Dari yang diketahui bahwa b i v t untuk semua nilai i berarti b i v [ t] t berdasarkan perhitungan, maka didapatkan bahwa : meskipun A = ε dapat ditemukan nilai x sehingga memenuhi A x b dengan x = [t t ε] T. Berikut diberikan contoh penyelesaian sistem persamaan linear A x = b dalam aljabar supertropical. Contoh 4.6. Selesaikan A x = b, jika A = [ 1 2 5], x = [ x 2 ] dan, b = [ 1] x 3 2 Penyelesaian A x = b dengan menggunakan matriks D A,b dan R A,b didapatkan matriks D A,b dan R A,b sebagai berikut : x 1 63
72 D A,b = [ 2 3 6] dan R A,b = [ 0 1 0] terlihat bahwa setiap kolom matriks R A,b hanya terdapat tepat satu elemen bernilai 1. Hal ini menandakan bahwa A x = b hanya mempunyai tepat satu penyelesaian x dengan elemen-elemennya adalah minimum dari setiap kolom matriks D A,b yaitu 1 x = [ 3] 4 hal ini bisa di cek sebagai berikut : max(5,3,2) 5 A x = [ 1 2 5] [ 3] = [ max(0,1, 1) ] = [ 1] = b max(0,1,2) 2 Dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa : Pada baris pertama nilai maksimum dicapai hanya satu kali, dengan demikian persamaan baris pertama menetapkan elemen x 1 = 1. Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris kedua menetapkan elemen x 2 = 3. Pada baris ketiga didapatkan nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris ketiga menetapkan elemen x 3 = 4. Setiap elemen-elemen yang sudah dipilih ini tidak bisa diubah, bila diubah yang lain maka akan membentuk pertaksamaan. Karena pada keseluruhan baris, nilai maksimum hanya dicapai satu kali, maka hanya terdapat satu cara untuk mencapai persamaan pada semua baris yaitu dengan menetapkan elemen x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 4. Dengan demikian persamaan A x = b memiliki penyelesaian tunggal. Selanjutnya, persamaan A x = b akan diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer dalam aljabar supertropical sebagai berikut D = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) D = (4 2 2) (4 5 2) (0 1 2) 64
73 (0 5 1) ( 2 1 2) ( 2 2 1) D = = 0 T D 1 = [ 1 2 5] D 1 = (5 2 2) (5 5 2) (0 1 2) (0 5 2) ( 2 1 2) ( 2 2 2) D 1 = = 1 T D 2 = [ 1 1 5] D 2 = (4 1 2) (4 5 2) (5 1 2) (5 5 1) ( 2 1 2) ( 2 1 1) D 2 = = 3 T D 3 = [ 1 2 1] D 3 = (4 2 2) (4 1 2) (0 1 2) (0 1 1) (5 1 2) (5 2 1) D 3 = = 4 T. sehingga diperoleh D 1 1 n adj(a) b = [ D 2 ] = [ 3] T 0 D 3 4 penyelesaian dari persamaan tersebut adalah hal ini bisa di cek sebagai berikut : x 1 = D 1 D = 1 0 = 0 1 = 1 x 2 = D 2 D = 3 0 = 0 3 = 3 x 3 = D 1 D = 4 0 = 0 4 = max(5,3,2) 5 A x = [ 1 2 5] [ 3] = [ max(0,1, 1) ] = [ 1] = b max(0,1,2) 2 65
74 karena D T dan D xi T untuk setiap i, maka penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian tunggal di R max. Selanjutnya, akan diberikan contoh penyelesaian sistem persamaaan linear A x = b dengan A m n (R) adalah matriks berukuran m n dengan entri matriks anggota R. b R n adalah vektor tangible, dan x R m. Contoh 4.7. (Banyak persamaan kurang dari banyak peubah) Selesaikan A x = b, jika A = [ x ], x = [ x 2 ], b = [ 7 x 10 ] 3 A T A x = A T b 2 3 [ 5 8] [ x ] [ x 2 ] = [ 5 8] [ x 10 ] x 1 13 [ ] [ x 2 ] = [ 18] x 3 12 Penyelesaian A x = b dengan menggunakan matriks D A,b dan R A,b didapatkan matriks D A,b dan R A,b sebagai berikut : D A,b = [ 7 2 8] dan R A,b = [ 1 1 1] terlihat bahwa setiap kolom matriks R A,b terdapat setidaknya satu elemen bernilai 1, sedangkan pada setiap baris terdapat nilai 1 lebih dari satu. Hal tersebut menandakan bahwa A x = b mempunyai banyak penyelesaian x. Elemenelemen minimum dari setiap kolom matriks D A,b yaitu 7 x = [ 2] 8 Hal ini bisa di cek sebagai berikut : v [ ] [ 2] = [ 18 v ] v dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa : 66
75 Pada setiap baris nilai maksimum dicapai lebih dari satu kali. Sehingga persamaan pada semua baris akan tercapai dengan menetapkan x 1 = 7, x 2 < 2, x 3 < 8 atau x 1 < 7, x 2 = 2, x 3 < 8 atau x 1 < 7, x 2 < 2, x 3 = 8. Dengan demikian persamaan A x = b memiliki penyelesaian tak hingga banyak yaitu 7 x = [ k 2 ] untuk setiap k 2 < 2 dan k 3 < 8 k 3 k 1 x = [ 2 ] untuk setiap k 1 < 7 dan k 3 < 8 k 3 k 1 x = [ k 2 ] untuk setiap k 1 < 7 dan k 2 < 2 8 Selanjutnya, persamaan A x = b akan diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer dalam aljabar supertropical sebagai berikut. D = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) D = (6 16 4) ( ) ( ) ( ) ( ) (5 16 5) D = = 26 v G D 1 = [ ] D 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D 1 = = 33 v G D 2 = [ ] D 2 = (6 18 4) ( ) ( ) ( ) ( ) (5 18 5) D 2 = = 28 v G D 3 = [ ]
76 D 3 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D 3 = = 34 v G 0. sehingga diperoleh D 1 33 v adj(a) b = [ D 2 ] = [ 28 v ] T 0 D 3 34 v penyelesaian dari persamaan tersebut adalah hal ini bisa di cek sebagai berikut x 1 = D 1 D = 33v 26 v = 26v 33 v = 7 v x 2 = D 2 D = 28v 26 v = 26v 28 v = 2 v x 3 = D 1 D = 34v 26 v = 26v 34 v = 8 v v [ ] [ 2] = [ 18 v ] v penyelesaian tangible lain dengan k T adalah 7 x = [ k 2 ] untuk setiap k 2 < 2 dan k 3 < 8 k 3 k 1 x = [ 2 ] untuk setiap k 1 < 7 dan k 3 < 8 k 3 n k 1 x = [ k 2 ] untuk setiap k 1 < 7 dan k 2 < 2 8 karena D G 0 dan D xi G 0 untuk setiap i, maka persamaan A x = b mempunyai penyelesaian tidak tunggal. Contoh 4.8. (Banyak persamaan lebih dari banyak peubah) 1 2 Selesaikan A x = b, jika A = [ 3 4], x = [ x 3 1 x ], b = [ 6] A T A x = A T b 68
77 [ ] [ 3 4] [ x 1 x ] = [ ] [ 6] [ 11 8 ] [x 1 x ] = [ ] Penyelesaian A x = b dengan menggunakan matriks D A,b dan R A,b didapatkan matriks D A,b dan R A,b sebagai berikut : D A,b = [ ] dan R A,b = [ ] terlihat bahwa setiap kolom matriks R A,b terdapat setidaknya satu elemen bernilai 1. Sedangkan setiap baris ke-2 matriks R A,b terdapat nilai 1 lebih dari satu. Hal tersebut menandakan bahwa A x = b mempunyai banyak penyelesaian x. Elemen-elemen minimum dari setiap kolom matriks D A,b yaitu hal ini bisa di cek sebagai berikut : x = [ 2 1 ] [ 11 8 ] [ 2 12) ] = [max(16, 1 max(9, 9) ] = [16 v ] b. 9 Dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa : Pada baris pertama nilai maksimum dicapai hanya satu kali, dengan demikian persamaan baris pertama menetapkan elemen x 1 = 2. Pada baris kedua nilai maksimum dicapai lebih dari satu kali yaitu pada saat elemen x 1 = 2 dan x 2 = 1. Elemen-elemen yang sudah dipilih yaitu x 1 = 2 tidak bisa diubah, bila diubah yang lain maka baris pertama akan membentuk pertaksamaan. Karena persamaan baris pertama telah menetapkan x 1 = 2, maka dengan menetapkan x 2 < 1 pada baris pertama tetap membentuk persamaan dan tidak akan mengubah persamaan pada baris lain. Sehingga persamaan pada semua baris akan tercapai dengan menetapkan elemen x 1 = 2, x 2 < 1. Dengan demikian A x = b memiliki penyelesaian tak hingga banyak yaitu x = [ 2 k 2 ] untuk setiap k 2 < 1 69
78 Selanjutnya, persamaan A x = b akan diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer dalam aljabar supertropical sebagai berikut. D = (a 11 a 22 ) (a 12 a 21 ) D = (18 8) (11 11) D = = 26 T D 1 = [ 9 8 ] D 1 = (16 8) (11 9) D 1 = = 24 T D 2 = [ 11 9 ] D 2 = (18 9) (16 11) D 2 = = 27 v G 0. sehingga diperoleh [ D 1 D 2 ] = [ v] T 0 n penyelesaian dari persamaan tersebut adalah hal ini dapat dicek sebagai berikut x 1 = D 1 D = 24 = = 2 26 x 2 = D 2 D = 27v 26 = 26 27v = 1 v [ 11 8 ] [ 2 12) ] = [max(16, 1 max(9, 9) ] = [16 9 v ] penyelesaian tangible lain dengan k T adalah x = [ 2 k 2 ] untuk setiap k 2 < 1 karena D T dan D xi G 0 untuk beberapa i, maka persamaan A x = b mempunyai penyelesaian tidak tunggal. 70
79 4.2 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Homogen atas Aljabar Supertropical Pada bagian ini akan dibahas mengenai sistem persamaan linear homogen. Sebagai motivasi dari pembahasan sistem persamaan linear homogen, akan diberikan sistem persamaan homogen di R max sebagai berikut. Selesaikan A x = ε di R max, jika x A = [ ], x = [ x 2 ] 0 x 3 dalam bentuk perkalian matriks dapat ditulis sebagai : sistem diatas ekuivalen dengan x [ ] [ x 2 ] = [ ] 0 x 3 (0 x 1 ) (5 x 2 ) ( x 3 ) = (2 x 1 ) (7 x 2 ) (8 x 3 ) = ( x 1 ) ( x 2 ) (0 x 3 ) = sistem persamaan A x = ε diatas tidak mempunyai penyelesaian tak trivial, x 1 sebab bila punya penyelesaian tak trivial berarti ada x = [ x 2 ] tidak semuanya sama x 3 dengan ε sehingga didapat x [ ] [ x 2 ] = [ ] 0 x 3 ( x 1 ) ( x 2 ) (0 x 3 ) = x 3 = (0 x 1 ) (5 x 2 ) ( x 3 ) = x 1 (5 x 2 ) = terlihat bahwa tidak akan ada x 1, x 2 R max sehingga x 1 (5 x 2 ) =, maka satu-satunya penyelesaian dari sistem tersebut adalah x 1 [ x 2 ] = [ ] x 3 jadi persamaan A x = ε hanya mempunyai penyelesaian trivial dan tidak mempunyai penyelesaian tak trivial. 71
80 Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa dapat dikonstruksikan suatu semiring khusus yang merupakan perluasan dari R max. Sedemikian hingga penyelesaian sistem persamaan linear dapat digeneralisasikan dengan menggunakan relasi ghost surpass di R. Sejalan dengan pembahasan pada bagian sebelumnya, maka dengan menggunakan relasi ghost surpass penyelesaian sistem persamaan A x = ε akan diperlemah menjadi A x ε. Berikut diberikan penjelasan mengenai relasi ghost surpass dalam aljabar supertropical pada persamaan homogen. Definisi 4.7. [5]. Diberikan a R, maka a ε a = ε c untuk beberapa c G 0 Definisi 4.8. [5]. Diberikan a R, maka a ε a G 0 Selanjutnya, akan dijelaskan mengenai himpunan penyelesaian dari suatu persamaan homogen dengan menggunakan relasi ghost surpass pada R. himpunan penyelesaian dari x adalah x ε {ε} {b v b T } Lemma 4.4. [8]. Jika a T dan x T 0 maka persamaan a x G 0 hanya mempunyai penyelesaian trivial x = ε. Bukti : Berdasarkan Definisi 4.8 diketahui bahwa : diperoleh a ε a G 0 a x ε a x G 0 jika a T maka untuk setiap x T 0 hanya terdapat penyelesaian trivial x = ε sehingga memenuhi a x G 0. Selanjutnya, relasi ghost surpass dari persamaan linear homogen atas aljabar supertropical akan diperluas untuk kasus vektor. 72
81 Definisi 4.9. Diberikan u R n, maka (n) u ε u G 0 ekuivalen dengan u i ε u i G 0 untuk setiap i n Definisi Diberikan A M n (R), x R n, maka sistem persamaan (n) A x ε A x G 0 Berikut ini diberikan beberapa definisi terkait penyelesaian A x G (n) 0. Definisi [19]. Suatu himpunan vektor V = {v 1, v 2,.., v n } R (n) dikatakan bebas supertropical, jika n α i v i G 0 (n) i=1 mengakibatkan α i = ε untuk setiap i n. Definisi [19]. Suatu himpunan vektor V = {v 1, v 2,.., v n } R (n) dikatakan bergantung supertropical, jika terdapat skalar α 1,, α n T 0 dimana tidak semua α i = ε sehingga n α i v i G 0 (n) i=1 dengan T 0 T { } dan i n. Contoh-contoh berikut menjelaskan hal-hal yang berkaitan dengan Definisi 4.11 dan Contoh Diberikan V = {v 1, v 2, v 3 } di R 3, dengan v 1 = [ ], v 2 = [ 4 ], v 3 = [ 3 ] 0 vektor v 1, v 2 dan v 3 adalah bebas supertropical. Untuk membuktikan hal tersebut maka harus ditunjukkan bahwa satu-satunya cara agar 73
82 0 10 (3) α 1 [ ] α 2 [ 4 ] α 3 [ 3 ] G 0 0 yaitu jika semua skalar α 1, α 2, α 3 adalah. Persamaan di atas dapat ditulis sebagai suatu sistem linear dengan peubah-peubah α 1, α 2, α 3 sebagai berikut : (0 α 1 ) (10 α 2 ) ( α 3 ) G 0 ( α 1 ) (4 α 2 ) (3 α 3 ) G 0 ( α 1 ) ( α 2 ) (0 α 3 ) G 0 dalam bentuk perkalian matriks dituliskan sebagai Pada baris ketiga didapat α [ 4 3 ] [ α 2 ] G 0 0 α 3 ( α 1 ) ( α 2 ) (0 α 3 ) G 0 α 3 G 0 α 3 =. Pada baris kedua didapat ( α 1 ) (4 α 2 ) (3 ) G 0 (α 2 4) G 0 α 2 =. Pada baris pertama didapat (0 α 1 ) (10 ) ( α 3 ) α 1 =. dengan demikian satu-satunya penyelesaian dari sistem ini adalah (3) α 1 =, α 2 = dan α 3 =. Dari contoh tersebut terlihat bahwa matriks koefisien dari sistem ini adalah non singular. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut : akan dicari determinan dari V 0 10 V = [ 4 3 ] 0 V = (v 11 v 22 v 33 ) (v 11 v 23 v 32 ) (v 12 v 21 v 33 ) (v 12 v 23 v 31 ) (v 13 v 21 v 32 ) (v 13 v 22 v 31 ) V = (0 4 0) (0 3 ) (10 0) (10 3 ) ( ) ( 4 ) V = 4 = 4 T karena V = 4 T, maka V matriks non singular. 74
83 Contoh Diberikan V = {v 1, v 2, v 3 } di R 3, dengan v 1 = [ ], v 2 = [ 4 ], v 3 = [ 2 ] 0 0 vektor v 1, v 2 dan v 3 adalah bergantung supertropical. Untuk membuktikan hal tersebut maka harus ditunjukkan bahwa terdapat skalar α 1, α 2, α 3 T 0 dimana tidak semua α i = ε dengan i = 1,2,3 sehingga 0 2 (3) α 1 [ ] α 2 [ 4 ] α 3 [ 2 ] G persamaan di atas dapat ditulis sebagai suatu sistem linear dengan peubah-peubah α 1, α 2, α 3 sebagai berikut : (0 α 1 ) (2 α 2 ) ( α 3 ) G 0 ( α 1 ) (4 α 2 ) (2 α 3 ) G 0 (0 α 1 ) ( α 2 ) (0 α 3 ) G 0 dalam bentuk perkalian matriks dituliskan sebagai pada baris ketiga didapat α [ 4 2 ] [ α 2 ] G α 3 (0 α 1 ) ( α 2 ) (0 α 3 ) α 1 α 3 G 0 α 1 = α 3. terlihat bahwa dapat ditemukan skalar α 1 = α 3, sehingga untuk setiap skalar α 1, α 3 T 0 dimana α 1 = α 3 akan memenuhi persamaan tersebut, dengan demikian sistem ini mempunyai penyelesaian tak trivial. Dari contoh tersebut terlihat bahwa matriks koefisien dari sistem ini adalah singular. Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut : akan dicari determinan dari V 0 2 V = [ 4 2 ] 0 0 V = (v 11 v 22 v 33 ) (v 11 v 23 v 32 ) (v 12 v 21 v 33 ) (v 12 v 23 v 31 ) (v 13 v 21 v 32 ) (v 13 v 22 v 31 ) V = (0 4 0) (0 2 ) (2 0) (2 2 0) ( 2 0) ( 4 0) V = 4 4 = 4 v G 0 (3) 75
84 karena V = 4 v G 0, maka V matriks singular. Berikut diberikan penjelasan mengenai beberapa hal yang telah dibahas. Vektor-vektor a i dengan i = 1,2,, n dalam ruang vektor V bebas supertropical, ekuivalen dengan (n) x 1 a 1 x 2 a 2 x n a n G 0 dipenuhi hanya untuk x 1 = x 2 = = x n = ε. Bila V = R n maka vektor-vektor a i dengan i = 1,2,, n dalam ruang vektor V atas R bebas supertropical memiliki arti bahwa sistem persamaan linear homogen (n) x 1 a 1 x 2 a 2 x n a n G 0 mempunyai penyelesaian trivial yaitu x i = ε dengan i = 1,2,, n. Bila persamaan homogen ini mempunyai penyelesaian tak trivial, yaitu x i ε untuk beberapa i dengan x i T 0. Hal ini berarti bahwa vektor-vektor a i tersebut tidak bebas supertropical atau bergantung supertropical. Berikut diberikan Teorema mengenai eksistensi dan ketunggalan dari penyelesaian A x ε atas aljabar supertropical. Teorema 4.5. Diberikan A M n (R) maka sistem persamaan A x ε mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika A G 0 ε. Teorema 4.6. Diberikan A M n (R) maka sistem persamaan A x ε mempunyai penyelesaian trivial jika dan hanya jika A T. Selanjutnya, diberikan penjelasan terkait penyelesaian tak trivial dari persamaan A x ε dalam aljabar supertropical. n Proposisi 4.2. [8]. Diberikan A M n (R) dimana A G 0 ε dan x T 0 maka sistem persamaan A x ε mempunyai penyelesaian k x R n dengan x adalah kolom ke-i dari adj(a) untuk beberapa i n dan k T. 76
85 4.4.1 Penyelesaian A x ε dimana A T dalam Aljabar Supertropical Contoh Selesaikan A x ε, jika A = [ ], x = [ x 2 ] x 3 sistem persamaan A x ε A x G 0 (3) x [ ] [ x 2 ] G x 3 ekuivalen dengan (1 x 1 ) (4 x 2 ) ( 1 x 3 ) G 0 (1 x 1 ) (0 x 2 ) (6 x 3 ) G 0 (3 x 1 ) (1 x 2 ) (3 x 3 ) G 0 determinan dari A A = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) A = (1 0 3) (1 6 1) (4 1 3) (4 6 3) ( 1 1 1) ( 1 0 3) A = = 13 T. x 1 (3) A = 13 T, maka penyelesaian dari A x G 0 (3) adalah hal ini bisa di cek sebagai berikut : x 1 ε [ x 2 ] = [ ε] x 3 ε ε ε (3) [ ] [ ε] = [ ε] G ε ε karena A T maka persamaan A x ε dalam aljabar supertropical R mempunyai penyelesaian trivial. Dengan demikian penyelesaian tersebut merupakan penyelesaian trivial di R max. 77
86 4.4.2 Penyelesaian A x ε dimana A G 0 ε dalam Aljabar Supertropical Contoh Selesaikan A x ε, jika A = [ 4 1 5], x = [ x 2 ] x 3 sistem persamaan A x ε A x G 0 (3) x 1 x [ 4 1 5] [ x 2 ] G x 3 ekuivalen dengan (1 x 1 ) (2 x 2 ) (3 x 3 ) G 0 (4 x 1 ) (1 x 2 ) (5 x 3 ) G 0 (2 x 1 ) (2 x 2 ) (2 x 3 ) G 0 determinan dari A A = (a 11 a 22 a 33 ) (a 11 a 23 a 32 ) (a 12 a 21 a 33 ) (a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 21 a 32 ) (a 13 a 22 a 31 ) A = (1 1 2) (1 5 2) (2 4 2) (2 5 2) (3 4 2) (3 1 2) A = = 9 v G 0. A = 9 v G 0, maka penyelesaian dari A x G (3) 0 adalah adj(a) = [ 7 5 7] penyelesaian x merupakan kolom ke-i dari adj(a) yaitu kolom ke-1, 2 dan 3. jika x adalah kolom ke-1 dan kolom ke-3 dari Adj (A), maka 7 x = [ 7] 6 hal ini bisa di cek sebagai berikut : (3) v A x = [ 4 1 5] [ 7] = [ 11 v ] G v (3) 78
87 jika x adalah kolom ke-2 dari Adj (A), maka 5 x = [ 5] 4 hal ini bisa di cek sebagai berikut : v A x = [ 4 1 5] [ 5] = [ 9 v ] G v penyelesaian lain dari A x G 0 (3) adalah (3) p 1 x = k [ p 2 ] p 3 untuk setiap k T dengan p 1 = 7, p 2 = 7, p 3 = 6 atau p 1 = 5, p 2 = 5, p 3 = 4. 79
88 BAB V SIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan yang telah diberikan, dapat dibuat simpulan serta saran untuk pengembangan dan perbaikan penelitian selanjutnya. 5.1 Simpulan Simpulan yang dapat diambil dari hasil penelitian dan pembahasan yang telah diberikan adalah sebagai berikut : 1. Penyelesaian sistem persamaan A x b atas aljabar supertropical n dengan A M n (R), b T 0 dan x R n terbagi menjadi penyelesaian tangible, ghost, dan nol. 2. Sistem persamaan tak homogen A x b atas aljabar supertropical n dengan A M n (R), b T 0 dan x R n mempunyai penyelesaian tangible yang tunggal jika dan hanya jika A T dan (adj(a) b) n T 0. Serta mempunyai penyelesaian tangible yang tidak tunggal jika dan n hanya jika A G 0 ε atau (adj(a) b) T Sistem persamaan homogen A x ε atas aljabar supertropical dengan A M n (R), dan x R n mempunyai penyelesaian trivial jika dan hanya jika A T. Serta mempunyai penyelesaian tak trivial jika dan hanya jika A G 0 ε. 5.2 Saran Saran untuk penelitian selanjutnya adalah a. Metode yang digunakan untuk menentukan penyelesaian sistem persamaan linear A x b atas aljabar supertropical bisa digunakan metode lain selain aturan Cramer dan matriks A tidak persegi. b. Untuk sistem persamaan A x b dengan A M n (R) dapat dibuat program untuk menghitung nilai determinan pada aturan Cramer, sehingga dapat mempermudah penyelesaiannya. 81
89 DAFTAR PUSTAKA [1] History of Tropical Algebra, (tanggal akses : 1 Mei 2015), ( en.m.wikipedia.org/wiki/tropical_geometry). [2] Litvinov, G. L., (2005), The Maslov Dequantization, Idempotent and Tropical Mathematics : a Very Brief Introduction, arxiv : v1. [3] Izhakian, Z., (2009), Tropical Arithmetic and Matrix Algebra, Communications in Algebra, 37 : 4, hal [4] Izhakian, Z., dan Rowen, L., (2010a), Supertropical Algebra, Advances in Mathematics, 225, hal [5] Izhakian, Z., Knebush, M., dan Rowen, L., (2010b), Supertropical Linear Algebra, Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, ISSN [6] Izhakian, Z., dan Rowen, L., (2010c), Supertropical Polynomials and Resultants, Journal of Algebra, 324, hal [7] Izhakian, Z., dan Rowen, L.,(2011a), Supertropical Matrix Algebra, Israel Journal Mathematics, 182, hal [8] Izhakian, Z., dan Rowen, L.,(2011b), Supertropical Matrix Algebra II : Solving Tropical Equations, Israel Journal Mathematics, 186, hal [9] Izhakian, Z., dan Rowen, L.,(2011c), Supertropical Matrix Algebra III : Power of Matrices and Their Supertropical Eigenvalues, Journal of Algebra, 341, hal [10] Izhakian, Z., Knebush, M., dan Rowen, L., (2012), Dual Space and Bilinear Forms in Supertropical Linear Algebra, Journal Linear and Multilinear Algebra, 60 : 7, hal [11] Niv, Adi., (2012), Factorization of Supertropical Matrices, arxiv : v1. 83
90 [12] Izhakian, Z., Knebush, M., dan Rowen, L., (2013), Supertropical Monoids : Basics and Canonical Factorization, Journal of Pure and Applied Algebra, 217, hal [13] Niv, Adi., (2014), Characteristic Polynomials of Supertropical Matrices, Communications in Algebra, 42, hal [14] Izhakian, Z., Knebush, M., dan Rowen, L., (2015a), Supertropical Quadratic Forms I, Journal of Pure and Applied Algebra, article in press. [15] Izhakian, Z., Knebush, M., dan Rowen, L., (2015b), Supertropical Quadratic Forms II, arxiv : v1. [16] Niv, Adi., (2015), On Pseudo-Inverses of Matrices and Their Characteristic Polynomials in Supertropical Algebra, Linear Algebra and Its Applications, 471, hal [17] Subiono, (2015), Aljabar Min-Max Plus dan Terapannya Versi 3.0.0, Jurusan Matematika, ITS, Surabaya. [18] Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J., dan Quadrat, J.P., (2001), Synchronization and Linearity, John Wiley & Sons, New York. [19] Izhakian, Z., Rhodes, J., dan Rowen, L., (2011), Supertropical Algebra and Representation, Join work. [20] Rudhito, Andy., (2003), Sistem Linear Max-Plus Waktu Invariant, Tesis : Pascasarjana Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. [21] Gaubert, S., (1992), Theorie des Systemes Lineaires dans les Dioides, Ph.D Theses, Ecole des Mines de Paris, Perancis. 84
91 BIODATA PENULIS Penulis yang memiliki nama lengkap Dian Yuliati lahir di Madiun, 14 Juli Penulis telah menempuh pendidikan formal mulai dari SD Negeri 1 Sebayi, SMP Negeri 1 Saradan, dan SMA Negeri 1 Mejayan Madiun. Setelah lulus dari SMA, penulis melanjutkan studi S1 di Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Surabaya. Penulis lulus sarjana dengan tujuh semester dengan mendapat gelar Sarjana Pendidikan. Penulis melanjutkan studi S2 di Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya pada tahun 2014 dengan NRP Untuk membentuk jaringan atau membutuhkan informasi yang berhubungan dengan Tesis ini, penulis dapat dihubungi melalui dian.yuliati2014@gmail.com. 85
BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciTUGAS AKHIR SM 1330 GRUP ALTERNATING A. FARIS UBAIDILLAH NRP Dosen Pembimbing Dr. Subiono, MS.
TUGAS AKHIR SM 1330 GRUP ALTERNATING A. FARIS UBAIDILLAH NRP 1202 100 043 Dosen Pembimbing Dr. Subiono, MS. JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Lebih terperinciSISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANITA NUR MUSLIMAH M01009009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh DEVI SAFITRI 10654004470 FAKULTAS
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA oleh BUDI AGUNG PRASOJO M0105001 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciPERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
PERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL Siswanto Jurusan Matematika FMIPA UNS sis.mipauns@yahoo.co.id Abstrak Misalkan R himpunan bilangan real. Aljabar Max-Plus adalah himpunan
Lebih terperinciKEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANNISA RAHMAWATI M0112010 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY Any Muanalifah August 9, 2010 Latar Belakang Latar Belakang Teori himpunan fuzzy berkembang pesat saat ini. Banyak sekali
Lebih terperinciANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS
ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS Maria Ulfa Subiono 2 dan Mahmud Yunus 3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 23 e-mail: ulfawsrejo@yahoo.com subiono28@matematika.its.ac.id
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciDiagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan
Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan Fitri Aryani 1, Rahmadani 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suskaacid Abstrak
Lebih terperinciPOLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh MARYATUN M0112053 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciTeorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif
Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia
Lebih terperinciInvers Tergeneralisasi Matriks atas Z p
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Invers Tergeneralisasi Matriks atas Z p Evi Yuliza 1 1 Fakultas MIPA Universitas Sriwijaya evibc3@yahoocom PM A-1 - Abstrak Sebuah matriks
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS oleh TRI ANGGORO PUTRO M0112100 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciSemi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi Subjudul (jika diperlukan) [TNR14, spasi 1] Suroto, Ari Wardayani Jurusan Matematika
Lebih terperinciBASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS
BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS oleh PUNDRA ANDRIYANTO M0109057 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS
Lebih terperinciSISTEM MAKS-LINEAR DUA SISI ATAS ALJABAR MAKS-PLUS 1. PENDAHULUAN
SISTEM MAKS-LINEAR DUA SISI ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Kiki Aprilia, Siswanto, dan Titin Sri Martini Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret ABSTRAK.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciNilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus Fitri Aryani 1, Tri Novita Sari 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suska.ac.id
Lebih terperinciPENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH DENGAN ALJABAR MAX-PLUS
PENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH DENGAN ALJABAR MAX-PLUS oleh CAESAR ADHEK KHARISMA M0109017 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciMODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS
MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciA-7 KEBEBASAN LINEAR DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-9-4 A-7 KEBEBASAN LINEAR DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL Siswanto 1, Aditya NR 2, Supriyadi W 3 1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA UNS 1 sismipauns@yahoocoid, 2 adityanurrochma@yahoocom,
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam Shalawat serta salam
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini berisi tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berisi penelitian-penelitan yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciHALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN DOSEN YUNOR
HALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN DOSEN YUNOR. Judul Penelitian : Identifikasi Sifat-Sifat Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Max-Plus..Ketua Pelaksana : a. Nama : Musthofa, M.Sc b.
Lebih terperinciPENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG
PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG oleh MIRA AMALIA M0113030 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciMENENTUKAN EIGEN PROBLEM ALJABAR MAX-PLUS
MENENTUKAN EIGEN PROBLEM ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Syarat Memperoleh Gelar Sarjana
Lebih terperinciDIMENSI PARTISI SUBGRAF TERINDUKSI PADA GRAF TOTAL ATAS RING KOMUTATIF
Prosiding Seminar Nasional Pendidikan Sains Tahun 2014 Inovasi Pendidikan Sains dalam Menyongsong Pelaksanaan Kurikulum 2013 Surabaya 18 Januari 2014 DIMENSI PARTISI SUBGRAF TERINDUKSI PADA GRAF TOTAL
Lebih terperinciDERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL
DERET KOMPOSISI DARI SUATU MODUL SKRIPSI Oleh : ANI NURHAYATI J2A 006 001 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS DIPONEGORO SEMARANG 2010
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciOPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 05, No. 1 (2016), hal 9-18 OPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL Dodi Arianto, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Apabila ditinjau dari struktur aljabar, semiring S merupakan generalisasi dari ring. Sifat idempoten terhadap operasi penjumlahan yang diberikan pada semiring
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas tentang semiring, Aljabar Max-Plus, sifat-sifat
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang semiring, Aljabar Max-Plus, sifat-sifat Aljabar Max-Plus, matriks atas Aljabar Max-Plus, matriks dan graf, nilai eigen dan vektor eigen Aljabar Max-Plus,
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciKarakterisktik Elemen Satuan Pada Semiring Pseudo-Ternary Matriks Atas Bilangan Bulat Negatif
Prosiding Seminar Nasional Aljabar USD 216-25- Karakterisktik Elemen Satuan Pada Semiring Pseudo-ernary Matriks Atas Bilangan Bulat Negatif Maxrizal 1 dan Baiq Desy Aniska Prayanti 2 1 Jurusan Sistem Informasi,
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Aljabar abstrak merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika. Aljabar abstrak merupakan sistem matematika yang terdiri dari suatu himpunan yang dilengkapi oleh
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciMASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS
MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS Farida Suwaibah, Subiono, Mahmud Yunus Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya,, e-mail: fsuwaibah@yahoo.com
Lebih terperinciPENJADWALAN PEMANDU WISATA DI KERATON KASUNANAN SURAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS
PENJADWALAN PEMANDU WISATA DI KERATON KASUNANAN SURAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS oleh ADITYA WENDHA WIJAYA M0109003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciCourse of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung
Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciPENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS oleh GALIH GUSTI SURYANING AKBAR M0111039 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciMENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh: IRMA
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciPOLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Maryatun, Siswanto, dan Santoso Budi Wiyono Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak Polinomial dalam aljabar maks-plus dapat dinotasikan sebagai
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem kejadian diskrit (Discrete-Event System) merupakan suatu sistem yang state space nya berbentuk diskret, sistem yang keadaannya berubah hanya pada waktu
Lebih terperinciNEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA. Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275
NEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto 1, Bambang Irawanto 2, Nikken Prima Puspita 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 5275 1 suryoto_math@undip.ac.id
Lebih terperinciSATUAN PERKULIAHAN. 10 menit -apersepsi -motivasi Diberikan dalam bahasa Inggris 100% 2 Kegiatan inti:
I. IDENTITAS MATA KULIAH II. SATUAN PERKULIAHAN b. Materi pokok : Pengenalan Bentuk SPL dengan variabel d. Pertemuan ke : e. Waktu : menit STANDAR KOMPETENSI DAN INDIKATOR Mahasiswa memiliki keterampilan
Lebih terperinciMASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS oleh DIAN RIZKI NURAINI M0111021 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciIDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP
Vol 2 No 2 Bulan Desember 2017 Jurnal Silogisme Kajian Ilmu Matematika dan Pembelajarannya http://journal.umpo.ac.id/index.php/silogisme IDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP Info Artikel Article History: Accepted
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciAPLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK
APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK oleh AHMAD DIMYATHI M0111003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciA 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif
A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Puguh Wahyu Prasetyo 2, Vika Yugi Kurniawan 3, Sri Wahyuni 4 1 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 2 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 3
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciProduk Cartesius Semipgrup Smarandache
Jurnal Matematika Vol. 2 No. 2, Desember 2012. ISSN : 1693-1394 Produk Cartesius Semipgrup Smarandache Yuliyanti Dian Pratiwi Sekolah Tinggi Teknik Wiworotomo Purwokerto e-mail: dianhilal@gmail.com Abstract:
Lebih terperinciMENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE
MENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE Rini Pratiwi 1*, Rolan Pane 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Tri Anggoro Putro, Siswanto, Supriyadi Wibowo Program Studi Matematika FMIPA UNS Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas
Lebih terperinciPOLINOMIAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
POLINOMIAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-4 Harry Nugroho 1, Effa Marta R 2, Ari Wardayani 3 1,2,3 Program Studi Matematika Universitas Jenderal Soedirman 1 harry_nugroho92@yahoo.com 2 marta_effa, 3
Lebih terperinciIDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL PRIME IDEAL AND MAXIMAL IDEAL IN A POLYNOMIAL RING
IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawati Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin (UNHAS)
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinci