PERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
|
|
- Hengki Wibowo
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL Siswanto Jurusan Matematika FMIPA UNS Abstrak Misalkan R himpunan bilangan real. Aljabar Max-Plus adalah himpunan R = R { } dilengkapi dengan operasi maksimum ( ) dan penjumlahan ( ). Setiap matriks persegi atas aljabar Max-Plus dapat dikaitkan dengan perrmanen dan dominan. Dari aljabar Max-Plus dapat dibentuk aljabar Max-Plus interval yaitu himpunan yang anggotanya merupakan interval-interval tertutup dalam R atau I(R) dilengkapi dengan operasi maksimum dan penjumlahan. Dapat dibentuk himpunan matriks persegi atas aljabar Max-Plus interval. Dalam penelitian ini, akan dikaji tentang permanen dan dominan matriks atas aljabar Max-Plus interval, hubungan antara permanen dan dominan, serta bideterminan matriks atas aljabar Max-Plus interval. Dari hasil penelitian diperoleh formula permanen dan dominan, dominan selalu lebih kecil atau sama dengan permanen dan formula bideterminan. Kata kunci : Permanen, dominan, matriks, aljabar Max-Plus interval. PENDAHULUAN Aljabar Max-Plus telah digunakan untuk memodelkan dan menganalisis secara aljabar masalah perencanaan, komunikasi, produksi, sistem antrian dengan kapasitas berhingga, komputasi parallel, dan lalu lintas. (Bacelli, et.al, 2001). Aljabar Max-Plus adalah himpunan R = R {ε} dilengkapi operasi maksimum ( ) dan plus ( ) dengan R himpunan bilangan real dan ε =. Elemen identitas terhadap maksimum dan plus berturut-turut adalah dan 0. Dapat dibentuk himpunan matriks berukuran n n yang elemenelemennya merupakan elemen dalam R, ditulis R. Himpunan R selanjutnya disebut himpunan matriks atas aljabar Max-Plus. Himpunan R dilengkapi dengan operasi maksimum dan plus merupakan dioid yaitu semiring yang idempoten (Akian, et. al, 1994; Bacelli, et al, 2001; Farlow, 2009) Dalam aljabar konvensional, telah dibahas mengenai determinan matriks beserta sifat-sifatnya (Hefferon, 2001; Meyer, 2000). Sejalan dengan pembahasan tersebut yaitu tentang determinan suatu matriks di dalam aljabar konvensional beserta sifatsifatnya, Farlow (2009) telah membahas determinan matriks di dalam aljabar Max-Plus. Namun, terdapat perbedaan antara pengertian determinan matriks di dalam aljabar konvensional dan di aljabar Max-Plus. Hal ini disebabkan tidak adanya invers terhadap 45
2 penjumlahan di dalam aljabar Max-Plus. Istilah determinan matriks di dalam aljabar Max-Plus digantikan oleh permanen dan dominan suatu matriks. Untuk menyelesaikan masalah jaringan dengan waktu aktifitas bilangan kabur seperti penjadwalan kabur dan sistem antrian kabur, aljabar Max-Plus telah digeneralisasi menjadi aljabar Max-Plus interval. Aljabar Max-Plus interval yaitu I( ) max dilengkapi dengan operasi dan. Dari generalisasi ini muncul himpunan matriks atas aljabar Max-Plus interval yaitu I(R) merupakan himpunan matriks berukuran m n yang elemenelemennya dalam I(R) (Rudhito, 2011). Jika m = n diperoleh himpunan matriks persegi, yaitu I(R). Selanjutnya, dengan adanya matriks atas aljabar Max-Plus interval dan penelitian yang dilakukan oleh Farlow (2009) yaitu tentang permanen dan dominan matriks atas aljabar Max- Plus, hubungan antara permanen dan dominan, serta bideterminan matriks atas aljabar Max-Plus memungkinkan untuk diteliti konsep-konsep tersebut di dalam aljabar Max-Plus interval. Oleh karena itu, dalam penelitian ini penulis ingin mengkaji tentang permanen dan dominan matriks atas aljabar Max-Plus interval, hubungan antara permanen dan dominan, serta bideterminan matriks atas aljabar Max-Plus interval. Sebelum dibahas hasil penelitian, diberikan hal-hal yang diperlukan untuk penelitian ini. Adapun hal-hal yang diperlukan yaitu definisi, lema, dan teorema tentang aljabar Max-Plus, matriks atas aljabar Max-Plus, permanen dan dominan matriks atas aljabar Max- Plus, aljabar Max-Plus interval serta matriks atas aljabar Max-Plus interval. Berikut adalah definisi tentang aljabar Max-Plus dan matriks dalam aljabar Max-Plus beserta operasinya (Bacelli, et al, 2001; Cuninghame- Green, 2004; Farlow, 2009; Konigsberg, 2009). Definisi 1.1. Misalkan himpunan bilangan real, didefinisikan himpunan R = R {ε} dengan dan e = 0. Struktur aljabar dari R yang dilengkapi dengan operasi yaitu maksimum dan yaitu plus merupakan semifield idempoten, selanjutnya disebut aljabar Max-Plus dan dinotasikan dengan R = (R ;, ). Definisi 1.2. Himpunan matriks berukuran n m dengan elemen-elemen dalam R dinotasikan dengan R yaitu R = a a R ; i = 46
3 Vol. 7, No. 2, Desember , 2,, n; j = 1, 2,, m. Elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A R dinyatakan oleh [ A ] ij. a ij atau Definisi 1.3. Berikut beberapa operasi matriks dalam Aljabar Max-Plus : a. Untuk matriks A, B didefinisikan A B dengan [A B] = a b = max [a, b ]. b. Untuk A R, R, B R, didefinisikan A B dengan [A B] = a b = max {,, } [a, b ] c. Tranpose dari matrik ditulis T A dan didefinisikan seperti dalam aljabar [ A T ] ij [ A] ji konvensional d. Matriks identitas Max-Plus ditulis E, dengan E R didefinisikan : e, jika i = j [E] = ε, jika i j. e. Matriks netral Max-Plus ditulis E, dengan E R didefinisikan [E] = ε. f. Untuk suatu matriks A R dan bilangan bulat positif k, pangkat k dari A ditulis A didefinisikan oleh A = A A. Untuk k = 0, A = E. g. Untuk sebarang matriks A Rmaxn n dan α Rmax, α A didefinisikan oleh [α A] = α [A]. Himpunan R dilengkapi dengan operasi dan ditulis R = (R ;, ) merupakan semiring idempoten dengan elemen netral dan elemen identitas masingmasing adalah E dan E. Berikut definisi dan lema yang berkaitan dengan fungi eksponensial, serta permanen dan dominan matriks atas aljabar Max-Plus disajikan sebagai berikut (Farlow, 2009) : Definisi 1.4. Jika p (0, ) (0, ) dan u [, ), didefinisikan p e jika dan hanya jika lim s ln (p) = u. Lema 1.5. Jika f e dan g e maka f + g = e ( ) dan fg = e ( ). Untuk membuktikan Lema 1.5 digunakan Definisi 1.4. Dalam aljabar konvensional, misalkan A = (a ) R yaitu matriks berukuran n n, determinan matriks A adalah det (A) = sign (σ) a () dimana P 47
4 menyatakan himpunan semua permutasi dari { 1, 2,, n } dan sign (σ) adalah tanda dari permutasi σ. Jika σ permutasi genap maka sign (σ) adalah +, sedangkan jika σ permutasi ganjil maka sign (σ) adalah. Misalkan A = a R, permanen dari matriks A didefinisikan hampir sama dengan determinan matriks A R tetapi sign (σ) dihilangkan. Untuk tetap mempertahankan sign (σ) didefinisikan bideterminan dari matriks A R. Definisi 1.6. Untuk matriks A = (a ) R permanen dari A didefinisikan perm (A) = a (), dengan P adalah himpunan semua permutasi dari { 1, 2,, n }. Berikut adalah definisi dari dominan. Untuk merumuskan dominan matriks A R digunakan matriks z dengan z adalah variabel. Matriks z adalah matriks berukuran n n dengan elemen z. Definisi 1.7. Dominan dari matriks A didefinisikan : dom(a) = pangkat tertinggi dalam det (z ), jika det (z ) 0 ε, jika det (z ) = 0 Dengan mengingat lema 1.5 jika z diganti dengan s e diperoleh definisi tentang matriks e dan definisi dom (A) yang merupakan bentuk lain dari definisi dom (A) pada Definisi 1.7 sebagai berikut : Definisi 1.8. Diberikan matriks A = (a ) R, matriks e mempunyai elemen e dimana a R adalah elemen dari A [e ] = e. atau dapat ditulis, Definisi 1.9. Misalkan A R, dom(a) = lim s ln det(e ), jika det(e ) 0 ε, jika det(e ) = 0 Menurut Definisi 1.4, dikatakan bahwa det (e ) e (). Hubungan serupa dipenuhi untuk permanen yaitu perm (e ) e (). 48
5 Vol. 7, No. 2, Desember 2012 Karena perm (A) adalah maksimum dari nilai diagonal untuk semua permutasi kolom pada matriks A maka dom (A) perm (A). Sifat ini disajikan pada lema berikut : Lema Misalkan A R maka dom (A) perm (A). Definisi Untuk A R, misalkan bahwa w (σ) = a () a () a (), P himpunan permutasi genap dan P permutasi ganjil dari { 1, 2,, n }. Bideterminan dari A adalah Bidet (A) = (A) (A) dengan (A) = w (σ) dan (A) = w (σ). Dengan memperhatikan definisi dari bideterminan dan permanen suatu matriks A R, diperoleh bahwa permanen dari matriks A adalah perm (A) = (A) (A). Selanjutnya, disajikan konsep aljabar Max-Plus interval dan matriks di dalamnya (Rudhito, 2011). Interval tertutup x dalam R adalah suatu himpunan bagian dari R yang berbentuk x = x, x = x R x x x. Interval x dalam R disebut interval Max-Plus. Suatu bilangan x R dapat dinyatakan sebagai interval [x,x]. Definisi Dibentuk I(R) = x = x, x x, x R, ε m x mx ε, dengan ε = [ε,ε]. Pada himpunan I(R) didefinisikan operasi " " dan " " dengan x y = [ x y, x y ] dan x y = [ x y, x y ] untuk setiap x, y I(R). Himpunan I(R) dilengkapi dengan operasi dan merupakan semiring idempoten komutatif dengan elemen netral ε = [ε, ε] dan elemen satuan 0 = [0,0]. Selanjutnya disebut aljabar Max-Plus interval dan dinotasikan dengan I(R) = I(R) ;,. Definisi Untuk x = [ x, x ], y = [ y, y ] I(R) didefinisikan x y x y = y x y dan x y. Definisi Himpunan matriks berukuran m n dengan elemen-elemen dalam I(R) yaitu I(R) = A = A A I(R) ; i = 1, 2,, m, j=1, 2,, n. Matriks anggota I(R) disebut matriks interval Max-Plus. Selanjutnya matriks interval Max-Plus cukup disebut dengan matriks interval. Definisi Struktur aljabar dari I(R) yang dilengkapi dengan operasi 49
6 dan dinotasikan dengan I(R) = I(R) ;, merupakan dioid (semiring yang idempoten), sedangkan I(R) merupakan semimodul atas I(R). Definisi Untuk A I(R) didefinisikan matriks A = [A ] R dan A = [A ] R masing-masing disebut matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks interval A. Definisi Diberikan matriks interval A I(R), dengan A dan A masingmasing adalah matriks batas bawah dan matriks batas atas dari matriks A. Didefinisikan interval matriks dari A yaitu A, A = A R A A A dan I(R ) = A, A A I(R), dimana A A A A = A. Definisi Untuk α I(R), A, A, B, B I(R ) didefinisikan i. α A, A = α A, α A ii. A, A B, B = A A, B B 2. Untuk A, A I(R ), B, B I(R ) didefinisikan A, A B, B = A A, B B. Teorema Struktur aljabar dari I(R ) yang dilengkapi dengan operasi dan dinotasikan dengan I(R ) = (I(R ) ;, ) merupakan dioid (semiring yang idempoten), sedangkan I(R ) merupakan semimodul atas I(R). Semiring I(R) = I(R) ;, ) isomorfis dengan semiring I(R ) = (I(R ) ;, ) dengan pemetaan f: I(R) I(R ) I(R). f(a) = A, A, A Semimodul I(R) atas I(R) isomorfis dengan semimodul I(R ) atas I(R). Dengan demikian untuk setiap matriks interval A selalu dapat ditentukan interval matriks A, A dan sebaliknya untuk setiap interval matriks A, A I(R ) dengan A, A R dapat ditentukan matriks interval A I(R) dimana A, A I(R) untuk setiap i dan j. Dengan demikian matriks interval A I(R) dapat dipandang sebagai interval matriks A, A I(R ). Interval matriks A, A I(R ) disebut interval matriks yang bersesuaian dengan matriks interval A I(R) dan dilambangkan dengan A A, A. Akibat isomorfisme di atas 50
7 Vol. 7, No. 2, Desember 2012 maka berlaku : α A α A, α A, A B A B, A B dan A B A B, A B. PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas hasil penelitian ini. Hasil penelitian meliputi permanen dan dominan dari suatu matriks atas aljabar Max-Plus interval, hubungan antara permanen dan dominan, serta bideterminan matriks atas aljabar Max-Plus interval. Misalkan A I(R) dengan A A, A dan A = a, A = a R. Karena A A, A maka a a untuk setiap i. j {1, 2,, n}. Oleh karena itu, perm A = perm (A) = a () a () dengan P adalah himpunan semua permutasi dari {1, 2,, n}. Permanen matriks A I(R) didefinisikan sebagai berikut : Definisi 2.1. Diberikan matriks A I(R) dengan A A, A. Permanen matriks A didefinisikan perm (A) = perm A, perm A. Untuk mendefinisikan dominan suatu matriks A I(R) digunakan matriks z dengan z adalah variabel. Matriks z adalah matriks berukuran n n dengan elemen z [, ] = [z, z ]. Definisi 2.2. Dominan matriks A I(R) dengan A A, A, didefinisikan dom (A) = min dom A, dom A, dom A, dengan doma = pangkat tertinggi dalam det (z ), jika det (z ) 0 ε, jika det (z ) = 0 dan doma = pangkat tertinggi dalam det z, jika det z 0 ε, jika det z = 0 Dengan mengingat lemma 1.5 jika z diganti dengan definisi berikut : s e diperoleh Definisi 2.3. Diberikan matriks A I(R) dengan A A, A, matriks e mempunyai elemen e [, ] = [e, e ] dimana a R adalah elemen dari A dan a R adalah elemen dari A. Dengan memperhatikan Definisi 1.7 dan Definisi 1.9, bahwa definisi dominan matriks A I(R) pada Definisi 2.2 ekuivalen dengan definisi dominan pada definisi sebagai berikut : 51
8 Definisi 2.4. Misalkan matriks A I(R) dengan A A, A, dom (A) = min dom A, dom A, dom A, dengan doma = lim s ln det(e ), jika det(e ) 0 ε, jika det(e ) = 0 dan doma = lim s ln det(e ), jika det e 0 ε, jika det e = 0. Menurut Definisi 1.4, dapat dikatakan bahwa det(e () ) e dan det(e ) e (). Hubungan serupa dipenuhi untuk permanen yaitu perm (e ) () e dan perm e e (). Karena perm (A) dan perm (A) adalah maksimum dari nilai diagonal untuk semua permutasi kolom dalam matriks A dan A maka diperoleh lema berikut : Lema 2.5. Misalkan A I(R) Bukti : Perhatikan bahwa, dom (A) = min dom A, dom A, dom A dan perm (A) = perm A, perm A. Menurut lema 1.10, jika A R maka dom (A) perm (A). Dalam hal ini, dapat ditulis bahwa, jika A R maka dom (A) perm (A). Oleh karena itu, karena A, A R maka dom A perm A dan dom A perm A. dengan A A, A maka dom (A) perm (A). Terdapat 2 kemungkinan : a. dom (A) = dom A, dom A perm A, perm A = perm (A), b. dom (A) = dom A, dom A dom A, dom A perm A, perm A = perm (A). Oleh karena itu, dom (A) = min doma, doma, doma perm A, perm A = perm (A). 52
9 Vol. 7, No. 2, Desember 2012 Selanjutnya, sejalan dengan pembahasan pada aljabar Max-Plus dapat didefinisikan bideterminan matriks A I(R) sebagai berikut : Definisi 2.6. Untuk A = a IRmaxn n dengan A A, A, misalkan bahwa w (σ) = a () a () a () dan w (σ) = a () a () a (), P himpunan permutasi genap dan P permutasi ganjil dari { 1, 2,, n }. Bideterminan matriks A adalah Bidet (A) = A, A A, A dengan A = w (σ), A = w (σ), A = w (σ) dan A = w (σ). Berdasarkan definisi dari bideterminan dan permanen suatu matriks A = a I(R), diperoleh teorema berikut : Teorema 2.7. Misalkan A = a I(R) dengan A A, A. Jika bideterminan matriks A adalah Bidet (A) = A, A dengan A, A A = w (σ), A = w (σ), A = w (σ) dan A = w (σ) P himpunan permutasi genap dan P permutasi ganjil dari { 1, 2,, n } maka permanen matriks A adalah perm (A) = perm A, perm A dengan perm A = A A dan perm A = A A. Bukti : Misalkan A = a I(R) dengan A A, A dan A = a, A = a R. Karena Bidet (A) = A, A maka Bidet (A) = A, A A, A A, A A A, A A = Bidet A, Bidet A. Oleh karena itu, Bidet A = A dan Bidet A = A A. Dengan demikian permanen A matriks A adalah perm (A) = perm A, perm A perm A = A A perm A = A A. KESIMPULAN dengan dan Dari hasil penelitian diperoleh formula permanen dan dominan matriks A I(R), dominan matriks A selalu 53
10 lebih kecil atau sama dengan permanen matriks A dan formula bideterminan matriks A. Setelah dikaji matriks yang mempunyai invers, selanjutnya dapat dikaji lebih lanjut kaitan permanen dan dominan matriks A dengan matriks yang mempunyai invers. DAFTAR PUSTAKA Akian, M., Cohen, G., Gaubert, S., Quadrat, J. P., and Viot, M. (1994). Max-Plus Algebra and Applications to System Theory and Optimal Control. Proceedings of the International Congress of Mathematicians. Zurich, Switzerland. Bacelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., Quadrat, J. P. (2001). Synchronization and Linearity, New York : Joh Wiley & Sons. Cuninghame-Green, R.A. Butkovi c, P. (2004) Bases in Max-Algebra. Linear Algebra and its Applications Farlow, K. G. (2009). Max-Plus Algebra, Master's Thesis submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University in partial fulfillment of the requirements for the degree of Masters in Mathematics. Hefferon, J. (2001). Linear Algebra, Vermont USA : Mathematics, Saint Michael s College Colchester. Konigsberg Z. R. (2009). A Generalized Eigenmode Algorithm for Reducible Regular Matrices over the Max-Plus Algebra. International Mathematical Forum, Meyer, C. D. (2000). Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, New York : The Mac millan Publishing Company. Rudhito, Andy. (2011). Aljabar Max- Plus Bilangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah Penjadwalan dan Jaringan Antrian. Disertasi : Program Studi S3 Matematika FMIPA UGM. Yogyakarta. 54
A-7 KEBEBASAN LINEAR DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-9-4 A-7 KEBEBASAN LINEAR DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL Siswanto 1, Aditya NR 2, Supriyadi W 3 1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA UNS 1 sismipauns@yahoocoid, 2 adityanurrochma@yahoocom,
Lebih terperinciSISTEM MAKS-LINEAR DUA SISI ATAS ALJABAR MAKS-PLUS 1. PENDAHULUAN
SISTEM MAKS-LINEAR DUA SISI ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Kiki Aprilia, Siswanto, dan Titin Sri Martini Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret ABSTRAK.
Lebih terperinciKEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Annisa Rahmawati, Siswanto, Muslich Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret
Lebih terperinciSISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-9-4 SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Anita Nur Muslimah 1, Siswanto 2, Purnami Widyaningsih 3 A-1 Jurusan Matematika FMIPA UNS 1 anitanurmuslimah@yahoo.co.id, 2 sis.mipauns@yahoo.co.id,
Lebih terperinciPOLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Maryatun, Siswanto, dan Santoso Budi Wiyono Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak Polinomial dalam aljabar maks-plus dapat dinotasikan sebagai
Lebih terperinciPOLINOMIAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
POLINOMIAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-4 Harry Nugroho 1, Effa Marta R 2, Ari Wardayani 3 1,2,3 Program Studi Matematika Universitas Jenderal Soedirman 1 harry_nugroho92@yahoo.com 2 marta_effa, 3
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh DEVI SAFITRI 10654004470 FAKULTAS
Lebih terperinciANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS
ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS Maria Ulfa Subiono 2 dan Mahmud Yunus 3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 23 e-mail: ulfawsrejo@yahoo.com subiono28@matematika.its.ac.id
Lebih terperinciPENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG
PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG Mira Amalia, Siswanto, dan Bowo Winarno Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Aljabar merupakan cabang ilmu matematika
Lebih terperinciNilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus Fitri Aryani 1, Tri Novita Sari 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suska.ac.id
Lebih terperinciMASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS
MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS Farida Suwaibah, Subiono, Mahmud Yunus Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya,, e-mail: fsuwaibah@yahoo.com
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Tri Anggoro Putro, Siswanto, Supriyadi Wibowo Program Studi Matematika FMIPA UNS Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY Any Muanalifah August 9, 2010 Latar Belakang Latar Belakang Teori himpunan fuzzy berkembang pesat saat ini. Banyak sekali
Lebih terperinciRESIDUATION OF MATRICES OVER DIOIDS
RESIDUATION OF MATRICES OVER DIOIDS Musthofa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Ari Suparwanto Jurusan matematika FMIPA UGM Abstract A solution of A b in maplus linear system can be determined by
Lebih terperinciMENENTUKAN EIGEN PROBLEM ALJABAR MAX-PLUS
MENENTUKAN EIGEN PROBLEM ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Syarat Memperoleh Gelar Sarjana
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciMASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS oleh DIAN RIZKI NURAINI M0111021 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciSISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANITA NUR MUSLIMAH M01009009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciPENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS Galih Gusti Suryaning Akbar, Siswanto, dan Santoso Budi Wiyono Program Studi Matematika
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum
Lebih terperinciSemi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi Subjudul (jika diperlukan) [TNR14, spasi 1] Suroto, Ari Wardayani Jurusan Matematika
Lebih terperinciPENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Casilda Reva Kartika, Siswanto, dan Sutrima Program Studi Matematika
Lebih terperinciKarakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi dan Tereduksi dalam Aljabar Max-Plus
Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi dan Tereduksi dalam Aljabar Max-Plus Himmatul Mursyidah (1213 201 001) Dosen Pembimbing : Dr. Subiono, M.S. Program Magister
Lebih terperinciUNIVERSITAS INDONESIA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DALAM ALJABAR MAX-PLUS TESIS RIDA NOVRIDA
UNIVERSITAS INDONESIA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DALAM ALJABAR MAX-PLUS TESIS Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar magister sains RIDA NOVRIDA 1006786221 FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas tentang semiring, Aljabar Max-Plus, sifat-sifat
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang semiring, Aljabar Max-Plus, sifat-sifat Aljabar Max-Plus, matriks atas Aljabar Max-Plus, matriks dan graf, nilai eigen dan vektor eigen Aljabar Max-Plus,
Lebih terperinciSimetrisasi Aljabar Max Plus
Simetrisasi Aljabar Max Plus 1, 2 Lutfina Sahroni 1, Fitria 2, Yeni Susanti 3 Mahasiswa S1 Matematika FMIPA UGM 3 Jurusan Matematika FMIPA UGM Abstrak : Aljabar max plus merupakan aljabar yang dilengkapi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem kejadian diskrit (SKD) adalah nama klasifikasi masalah tentang sistem dengan sumber daya berhingga yang digunakan oleh beberapa pengguna untuk mencapai
Lebih terperinciOPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 05, No. 1 (2016), hal 9-18 OPERASI MODIFIKASI ARITMATIKA INTERVAL TERHADAP INVERS MATRIKS INTERVAL Dodi Arianto, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus Himpunan bilangan riil (R) dengan diberikan opersai max dan plus dengan mengikuti definisi berikut : Definisi II.A.1: Didefinisikan εε dan ee 0, dan untuk himpunan
Lebih terperinciHALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN DOSEN YUNOR
HALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN DOSEN YUNOR. Judul Penelitian : Identifikasi Sifat-Sifat Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Max-Plus..Ketua Pelaksana : a. Nama : Musthofa, M.Sc b.
Lebih terperinciALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 313 322. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM
Lebih terperinciKonstruksi Matriks NonNegatif Simetri dengan Spektrum Bilangan Real
J. Math. and Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 4, No. 1, May 007, 17 5 Konstruksi Matriks NonNegatif Simetri dengan Spektrum Bilangan Real Bambang Sugandi 1 dan Erna Apriliani 1 Jurusan Matematika, FMIPA Unibraw,
Lebih terperinciRUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh
Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA oleh BUDI AGUNG PRASOJO M0105001 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini berisi tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berisi penelitian-penelitan yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian
Lebih terperinciKARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL
TESIS SM 142501 KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL Dian Yuliati NRP. 1214 201 002 DOSEN PEMBIMBING Dr. Subiono, M.S. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciKEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANNISA RAHMAWATI M0112010 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciA-10 OPTIMISASI JADWAL PEMESANAN BAKPIA PATHOK JAYA 25 DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA DENGAN SISTEM LINEAR MAX-PLUS WAKTU INVARIANT
A-10 OPIMISASI JADWAL PEMESANAN BAKPIA PAHOK JAYA 25 DAERAH ISIMEWA YOGYAKARA DENGAN SISEM LINEAR MAX-PLUS WAKU INVARIAN Mustofa Arifin 1 dan Musthofa 2 1 Mahasiswa Program Studi Matematika Jurusan Pendidikan
Lebih terperinciINVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN
Saintia Matematika ISSN: 2337-997 Vol 02, No 0 (204), pp 85 94 INVERS SUATU MATRIKS TOEPLITZ MENGGUNAKAN METODE ADJOIN Bakti Siregar, Tulus, Sawaluddin Abstrak: Pencarian invers matriks adalah suatu hal
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciMENENTUKAN LINTASAN TERPENDEK DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS TESIS
UNIVERSITAS INDONESIA MENENTUKAN LINTASAN TERPENDEK DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS TESIS DESSY 0906577324 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA DEPOK JULI
Lebih terperinciKAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 279 284. KAJIAN METODE KONDENSASI CHIO PADA DETERMINAN MATRIKS Adrianus Sumitro, Nilamsari Kusumastuti, Shantika Martha
Lebih terperinciAljabar Maxplus dan Aplikasinya : Model Sistem Antrian
J. Math. and Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 6, No., May 2009, 49 59 Aljabar Maxplus dan Aplikasinya : Model Sistem Antrian Subiono Jurusan Matematika FMIPA ITS, Surabaya subiono2008@matematika.its.ac.id
Lebih terperinciPENJADWALAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR SEKOLAH MENENGAH ATAS MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS
PENJDWLN KEGITN BELJR MENGJR SEKOLH MENENGH TS MENGGUNKN LJBR MX-PLUS Yustinus Hari Suyanto 1, Subiono 2 Graduate of Student Department of Mathematic ITS, Surabaya 1 hari_yustinus@yahoo.co.id, 2 subiono2008@matematika.its.ac.id
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem kejadian diskrit (Discrete-Event System) merupakan suatu sistem yang state space nya berbentuk diskret, sistem yang keadaannya berubah hanya pada waktu
Lebih terperinciKONSTRUKSI BARISAN HITUNG SERAGAM SEIMBANG BERBASIS BARISAN TRANSISI KODE GRAY
Jurnal Wahana Matematika Sains, Volume 10, Nomor 1, April 2016 34 KONSTRUKSI BARISAN HITUNG SERAGAM SEIMBANG BERBASIS BARISAN TRANSISI KODE GRAY N. D. Sintiari, I. N. Suparta, D. Waluyo Jurusan Pendidikan
Lebih terperinciKelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n
Jurnal Matematika, Statistika,& Komputasi Vol.... No... 20... Kelengkapan Ruang l pada Ruang Norm-n Meriam, Naimah Aris 2, Muh Nur 3 Abstrak Rumusan norm-n pada l merupakan perumuman dari rumusan norm-n
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Lebih terperinciORDER UNSUR DARI GRUP S 4
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 142 147 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 FEBYOLA, YANITA, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,
Lebih terperinciPENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL MENGGUNAKAN METODE PANGKAT
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. 0 (017), hal 17 6. PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL MENGGUNAKAN METODE PANGKAT Yuyun Eka Pratiwi, Mariatul Kiftiah,
Lebih terperinciInvers Tergeneralisasi Matriks atas Z p
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Invers Tergeneralisasi Matriks atas Z p Evi Yuliza 1 1 Fakultas MIPA Universitas Sriwijaya evibc3@yahoocom PM A-1 - Abstrak Sebuah matriks
Lebih terperinciKonsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
Lebih terperinciBeberapa Sifat Ideal Bersih-N
JURNAL FOURIER Oktober 216, Vol. 5, No. 2, 61-66 ISSN 2252-763X; E-ISSN 2541-5239 Beberapa Sifat Ideal Bersih-N Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta, Sekip Utara,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Sistem kejadian dinamik diskrit (discrete-event dynamic system) merupakan sistem yang keadaannya berubah hanya pada titik waktu diskrit untuk menanggapi terjadinya
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciBeberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Vol 12, No 2, 153-159, Januari 2016 Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert Firman Abstrak Misalkan adalah operator linier dengan adalah ruang Hilbert Pada operator linier dikenal istilah
Lebih terperinciPROSIDING ISBN : Dhian Arista Istikomah, S.Si, M.Sc 1. Abstrak
KARAKTERISASI E SEMIGRUP Dhian Arista Istikomah, S.Si, M.Sc A- Universitas PGRI Yogyakarta dhian.arista@gmail.com Abstrak Dalam suatu semigrup terdapat himpunan elemen idempoten yang menjadi latar E semigrup
Lebih terperinciBARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU
BARISAN SIMBOL DAN UKURAN INVARIAN FUNGSI MONOTON SEPOTONG-SEPOTONG KONTINU Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60 Abstract. Let g [0 ] [0] is piecewise continuous monotone
Lebih terperinciSYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS CLEAN PADA M 2 (Z) ABSTRACT
SYARAT PERLU DAN SYARAT CUKUP MATRIKS CLEAN PADA M 2 (Z) Miftakhul Rohmah 1, Sri Gemawati 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciTeorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif
Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia
Lebih terperinciMATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL. Anis Fitri Lestari. Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK
MATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL Anis Fitri Lestari Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK Matriks normal merupakan matriks persegi yang entri-entrinya bilangan kompleks
Lebih terperinciPOLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh MARYATUN M0112053 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciSOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 103 108 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SOLUSI POSITIF DARI PERSAMAAN LEONTIEF DISKRIT RASITA ANAS Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciA 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif
A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Puguh Wahyu Prasetyo 2, Vika Yugi Kurniawan 3, Sri Wahyuni 4 1 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 2 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 3
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar yang berkaitan dengan permasalahan, seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan dalam penelitian ini. 2.1 Graf Graf
Lebih terperinciSTABILISASI SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER POSITIF
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 83 89 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER POSITIF LILI ANDRIANI Program Studi Magister Matematika,
Lebih terperinciSistem Linear Max-Plus Interval Waktu Invariant
Siste Linear Max-Plus Interval Waktu Invariant A 11 M. Andy udhito Progra Studi Pendidikan Mateatika FKIP Universitas Sanata Dhara Paingan Maguwoharjo Yogyakarta eail: arudhito@yahoo.co.id Abstrak elah
Lebih terperinciHimpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit
Lebih terperinciPembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial
Vol. 11, No. 1, 63-70, Juli 2014 Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 ABSTRAK Teori bilangan adalah cabang ilmu Matematika yang mempelajari
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciBASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS
BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS oleh PUNDRA ANDRIYANTO M0109057 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS
Lebih terperinci5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS oleh TRI ANGGORO PUTRO M0112100 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar seperti definisi dan teorema yang dijadikan landasan teori dalam penelitian ini. Konsep dasar tersebut berkaitan dengan definisi graf,
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciBAB 2 : DETERMINAN. 2. Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4}
BAB 2 : DETERMINAN PERMUTASI Kita sudah cukup mengenal fungsi-fungsi sinus, fungsi kuadrat, juga fungsi konstant yang memetakan suatu bilangan riil ke bilangan riil. Pada bagian ini akan dipelajari mengenai
Lebih terperinciPENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG
PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG oleh MIRA AMALIA M0113030 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciSPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI KOMPLIT ( ) DENGAN
PROSIDING ISBN : 978 979 6353 3 SPECTRUM PADA GRAF STAR ( ) DAN GRAF BIPARTISI OMPLIT ( ) A. DENGAN Oleh Imam Fahcruddin Mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri
Lebih terperinciPERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS
PERSAMAAN KARAKTERISTIK SUATU MATRIKS DALAM ALJABAR MAX-PLUS oleh ADIMAS BANJAR M0107019 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN
Lebih terperinciBeberapa Sifat Ideal Bersih-N
JURNAL FOURIER Oktober 216, Vol. 5, No. 2, 65-7 ISSN 2252-763X; E-ISSN 2541-5239 Beberapa Sifat Ideal Bersih-N Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta, Sekip Utara,
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciSOLUSI POSITIF DARI SISTEM SINGULAR DISKRIT
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 3 Hal. 77 81 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SOLUSI POSITIF DARI SISTEM SINGULAR DISKRIT BETTY ARYANI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciGeneralized Inverse Pada Matriks Atas
Jurnal Sains Matematika dan Statistika, Vol., No., Juli ISSN 6 - Generalized Inverse Pada Matriks Atas Corry Corazon Marzuki, Yulia Rosita, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan
Lebih terperinciUNIVERSITAS INDONESIA ALJABAR MAX-PLUS YANG SIMETRI TESIS RISDAYANTI
UNIVERSITAS INDONESIA ALJABAR MAX-PLUS YANG SIMETRI TESIS RISDAYANTI 1006786253 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA DEPOK JUNI 2012 UNIVERSITAS INDONESIA ALJABAR
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. aljabar max-plus bersifat assosiatif, komutatif, dan distributif.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Aljabar max-plus adalah himpunan R := R { } dilengkapi dengan operasi a b := max(a,b) dan a b := a + b. Elemen identitas penjumlahan dan perkalian berturut-turut
Lebih terperinciTerapan Aljabar Max-Plus Pada Sistem Produksi Sederhana Serta Simulasinya Dengan Menggunakan Matlab
J. Math. and Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 1, No., Nov. 004, 1 7 Terapan Aljabar Max-Plus Pada Sistem Produksi Sederhana Serta Simulasinya Dengan Menggunakan Matlab Subiono Jurusan Matematika, FMIPA -
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinciSOLUSI REFLEKSIF DAN ANTI-REFLEKSIF DARI PERSAMAAN MATRIKS AX = B
SOLUSI REFLEKSIF DAN ANTI-REFLEKSIF DARI PERSAMAAN MATRIKS AX = B Arrohman 1, Sri Gemawati 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciMATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT. Soleha, Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Surabaya
MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT Soleha, Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Surabaya Abstract. Matrix is diagonalizable (similar with matrix
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciSIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK
Faktor Exacta 10 (2): 154-161, 2017 SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK NONI SELVIA noni.selvia@gmail.com Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik,Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinci