Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono

Transkripsi

1 Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono Departemen Statistika FMIPA IPB

2 Notasi Dasar Matriks A mxn, m A n, [a ij ] mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) a ij adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j

3 Penjumlahan Matriks Penjumlahan matriks m A n dan m B n menghasilkan matriks baru m C n dengan c ij = a ij + b ij untuk semua (i, j) Perhatikan bahwa ukuran matriks A dan B harus sama

4 Penjumlahan Matriks 6 7 A 8 B B A C

5 Penjumlahan Matriks Sifat Dasar Penjumlahan Matriks: Komutatif: A + B = B + A Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C) BUKTIKAN SIFAT DI ATAS

6 Perkalian dengan Skalar Jika c adalah sebuah skalar/konstanta real, dan m A n adalah sebuah matriks real maka c A = m B n dengan b ij = c a ij untuk semua (i, j) Sifat: c (A + B) = ca + cb

7 Perkalian dengan Skalar 6 7 A 6 8 A

8 Perkalian Matriks Perkalian dua buah matriks m A n dan n B p menghasilkan matriks baru m C p dengan n c ij = untuk semua (i, j) k a ik b kj Perhatikan ukuran matriks yang terlibat dalam perkalian

9 Perkalian Matriks A 6 B 6 6 AB C AB C

10 Perkalian Matriks Sifat-sifat Tidak komutatif. AB = BA, may be yes, may be no. A(B + C) = AB + AC c(ab) = (ca)b = A(cB) BUKTIKAN SIFAT-SIFAT di ATAS

11 Transpose (Putaran) Transpose dari matriks m A n dilambangkan A T atau A adalah matriks n B m dengan b ij = a ji untuk semua (i, j)

12 Transpose (Putaran) 6 7 A 6 7 T A B

13 Transpose (Putaran) Sifat-sifat (A ) = A (A + B) = A + B (ca) = ca (AB) = B A BUKTIKAN SIFAT-SIFAT di ATAS

14 Matriks-Matriks Spesial Matriks Persegi Matriks Diagonal Matriks Identitas Matriks Nol Matriks Satuan Matriks Simetrik Matriks Miring Simetrik Matriks Segitiga Atas/Bawah Matriks Idempoten Matriks Ortogonal

15 Matriks Persegi Sebuah matriks m A n dikatakan sebagai matriks persegi jika dan hanya jika m = n, atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

16 Matriks Diagonal Sebuah matriks persegi n A n disebut sebagai matriks diagonal jika dan hanya jika a ij = untuk semua i j A 8 H

17 Matriks Identitas Matriks persegi n A n disebut sebagai matriks identitas dan dilambangkan I n jika dan hanya jika a ij = untuk semua i j a ii = untuk semua i =,,, n Jika m B n adalah sembarang matriks real, maka BI = B Jika n B m adalah sembarang matirks real maka IB = B

18 Matriks Identitas I I

19 Matriks Nol Sebuah matriks m A n disebut sebagai matriks nol dan dilambangkan m O n jika dan hanya jika a ij = untuk semua (i, j) Jika m B n adalah sembarang matriks real, maka BO = O Jika n B m adalah sembarang matirks real maka OB = O

20 Matriks Satuan Sebuah matriks m A n disebut sebagai matriks satuan dan dilambangkan m J n jika dan hanya jika a ij = untuk semua (i, j)

21 Matriks Nol dan Matriks Satuan O x O x J x J x

22 Matriks Simetrik Sebuah matriks persegi n A n disebut sebagai matriks simetrik jika dan hanya jika a ij = a ji untuk semua i j Dengan kata lain n A n disebut sebagai matriks simetrik jika dan hanya jika A = A

23 Matriks Miring Simetrik Sebuah matriks persegi n A n disebut sebagai matriks miring simetrik jika dan hanya jika a ij = -a ji untuk semua (i, j) dan a ii = untuk semua i =,,, n Dengan kata lain n A n disebut sebagai miring matriks simetrik jika dan hanya jika A = -A

24 Simetrik dan Miring Simetrik 9 B 6 K C

25 Matriks Segitiga Atas Sebuah matriks persegi n A n disebut sebagai matriks segitiga atas jika dan hanya jika a ij = untuk semua i > j 6

26 Matriks Segitiga Bawah Sebuah matriks persegi n A n disebut sebagai matriks segitiga bawah jika dan hanya jika a ij = untuk semua i < j 6

27 Matriks Idempoten Sebuah matriks persegi n A n disebut sebagai matriks idempoten jika dan hanya jika AA = A

28 Matriks Ortogonal Sebuah matriks persegi n A n disebut sebagai matriks ortogonal jika dan hanya jika AA = A A = I n

29 Bahan Diskusi Andaikan data tingkat pengeluaran per hari (Rp) mahasiswa Dept Statistika Angkatan 8 dicatat dalam bentuk vektor kolom y berukuran 6 x, nyatakan statistik berikut dalam bentuk notasi matriks. a. Jumlah pengeluaran per hari b. Rata-rata pengeluaran per hari c. Ragam pengeluaran per hari