ANTI -FUZZY - SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING AHMAD SYAFI IH

Transkripsi

1 ANTI -FUZZY - SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING AHMAD SYAFI IH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA* Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor Bogor, Juli 2014 Ahmad Syafi ih NIM G

4 ABSTRAK AHMAD SYAFI IH Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring Dibimbing oleh TEDUH WULANDARI MAS OED dan MUHAMMAD ILYAS Teori himpunan fuzzy dikembangkan oleh LA Zadeh telah menginspirasi para matematikawan untuk melakukan penelitian struktur aljabarnya Tujuan karya ilmiah ini adalah membuktikan beberapa karakteristik dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring Terdapat empat teorema yang dibahas pada karya ilmiah ini Teorema pertama membuktikan hubungan antara anti -fuzzy - subgrup kiri dengan endomorfisma dari near ring Kemudian teorema kedua membuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu near ring Terakhir, teorema ketiga dan keempat membuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda Pembuktian dari keempat teorema tersebut merupakan karakteristik dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring Kata kunci: anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring, himpunan -fuzzy, near ring ABSTRACT AHMAD SYAFI IH Anti -Fuzzy Left - Subgroup of Near Ring Supervised by TEDUH WULANDARI MAS OED dan MUHAMMAD ILYAS Fuzzy set theory developed by LA Zadeh has inspired mathematicians conducting research on algebraic structure The objective of this paper is to study the characteristics of anti -fuzzy left - subgroup of near ring There are four theorems discussed in this paper The first theorem showed the relationship between anti -fuzzy left - subgroup and endomorphism of a near ring The second theorem proved the properties of epimorphism of anti -fuzzy left - subgroup of a near ring Finally, the third and fourth theorems showed the characterization of anti -fuzzy of a different near ring The proofs of all the theorems constitute the characteristic of anti -fuzzy left - subgroup of near ring Keywords: anti -fuzzy left - subgroup of near ring, -fuzzy set, near ring

5 ANTI -FUZZY - SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING AHMAD SYAFI IH Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014

6

7 Judul Skripsi : Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring Nama : Ahmad Syafi ih NIM : G Disetujui oleh Teduh Wulandari Mas oed, MSi Pembimbing I Muhammad Ilyas, MSi, MSc Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah - fuzzy, dengan judul Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri dari Near Ring Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Teduh Wulandari Mas oed, MSi dan Bapak Muhammad Ilyas, MSi, MSc selaku Pembimbing Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Drs Siswandi, MSi selaku Dosen Penguji, Ketua Departemen Matematika Bapak Dr Toni Bakhtiar, MSc beserta jajaran staf dosen lainnya dan staf pendukung departemen Matematika yang telah membantu selama tahap penyelesaian karya ilmiah ini Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada Ayah dan Ibu tercinta, seluruh keluarga, dan Entri Sulastri atas segala doa, dukungan, dan kasih sayangnya Semoga karya ilmiah ini bermanfaat Bogor, Juli 2014 Ahmad Syafi ih

9 DAFTAR ISI PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan 1 TINJAUAN PUSTAKA 1 PEMBAHASAN 5 SIMPULAN DAN SARAN 10 Simpulan 10 Saran 10 DAFTAR PUSTAKA 11 RIWAYAT HIDUP 12

10

11 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Teori himpunan fuzzy yang diperkenalkan oleh LA Zadeh pada tahun 1965 banyak diterapkan dalam pengembangan Informasi Terintegrasi Riset Ilmu Pengetahuan dan Teknologi (Riptek) Salah satu contoh kasusnya yaitu, penerapan aplikasi teori himpunan fuzzy untuk analisis citra dan pengenalan polanya Kemudian para matematikawan melakukan penelitian terkait fuzzy yang dilihat dari struktur aljabarnya, baik dari teori grup, teori ring, maupun teori aljabar lainnya Abou-Zoid pada tahun 1991 memperkenalkan kumpulan dari sub near ring fuzzy dan mempelajari ideal fuzzy dari near ring Konsep ini dibahas oleh banyak peneliti di antaranya YU Cho, B Davvas, WA Dudek, YB Jun, KH Kim Selanjutnya A Solairaju dan R Nagarajan pada tahun 2008 memperkenalkan struktur baru dari grup -fuzzy dan mempelajari kumpulan -fuzzy -subgrup kiri dari near ring dengan menghubungkan -norm YU Cho dan YB Jun pada tahun 2005 dalam tulisannya juga memperkenalkan fuzzy intuitionistic -subgrup dari near ring dan mempelajari sifat-sifat yang terkait Kumpulan dari intuitionistic - fuzzy semi-primality di semigrup diperkenalkan oleh KH Kim dan YB Jun pada tahun 2000 dalam tulisannya On Fuzzy R-Subgroups of Near Rings Dalam karya ilmiah ini, akan diperkenalkan anti -fuzzy -N subgrup kiri dari near ring dan membahas beberapa karakteristik yang terkait Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi ulang dari tulisan A Solairaju, P Sarangapani, R Nagarajan, dan P Muruganantham yang berjudul Anti -Fuzzy M-Subgroups of Near Rings Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini adalah membahas beberapa karakteristik dari anti -fuzzy -N subgrup kiri dari near ring, antara lain sebagai berikut: 1 Membuktikan hubungan antara anti -fuzzy - subgrup kiri dan endomorfisma dari near ring, 2 Membuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu near ring, 3 Membuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan terlebih dahulu beberapa teori-teori dasar yang akan digunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini, di antaranya sebagai berikut:

12 2 Definisi II1 (Grup) Grup adalah himpunan tak kosong yang tertutup di bawah operasi dan memenuhi aksioma-aksioma berikut: 1 Operasi biner bersifat assosiatif,, 2 Terdapat unsur identitas kiri dan kanan,, 3 Terdapat unsur invers kiri dan kanan, (Fraleigh 1997) Contoh Grup Himpunan bilangan bulat (, bilangan rasional, dan bilangan real di bawah operasi penjumlahan Definisi II2 (Subgrup) Misalkan grup dan, disebut subgrup dari jika merupakan grup di bawah operasi biner yang sama dengan operasi biner pada (Fraleigh 1997) Contoh Subgrup Himpunan bilangan subgrup dari himpunan bilangan di bawah operasi penggandaan Berikutnya akan dijelaskan definisi ring dan near ring Definisi II3 (Ring) Himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, dan, disebut ring jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: 1 grup komutatif, 2 Operasi biner bersifat assosiatif,, 3 Hukum distributif kiri berlaku,, Hukum distributif kanan berlaku, (Fraleigh 1997) Contoh Ring Himpunan bilangan, dan bilangan kompleks adalah ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian aritmatika Definisi II4 (Near Ring Kiri) Himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, dan, disebut near ring kiri jika memenuhi aksioma-aksioma berikut: 1 grup, 2 Operasi biner bersifat assosiatif,, 3 Memenuhi sifat distributif kiri, Himpunan bagian dari near ring disebut -subgrup dari sedemikian sehingga, 1 subgrup dari, 2, 3, Jika memenuhi 1) dan 2) saja, maka disebut -subgrup kiri dari, Jika memenuhi 1) dan 3) saja, maka disebut -subgrup kanan dari (Solairaju et al 2013)

13 Selanjutnya akan dijelaskan definisi homomorfisma grup, homomorfisma ring, homomorfisma near ring kiri, epimorfisma, ring dari endomorfisma, grup dengan operator, - subgrup dari, dan - homomorfisma Definisi II5 (Homomorfisma Grup) Misalkan dan keduanya grup Fungsi disebut homomorfisma grup jika memenuhi (Fraleigh 1997) Contoh Homomorfisma Grup Misalkan fungsi dan didefinisikan, maka adalah sebuah homomorfisma grup karena ketika diambil sembarang berakibat Definisi II6 (Homomorfisma Ring) Misalkan dan keduanya ring Fungsi disebut homomorfisma ring jika memenuhi dua kondisi berikut: 1, 2, (Fraleigh 1997) Contoh Homomorfisma Ring sembarang Didefinisikan fungsi dengan ( ) Jika diambil maka berlaku: ( ) ( ) ( ), dan 3 sehingga ( ) ( ) ( ) disebut homomorfisma ring Definisi II7 (Homomorfisma Near Ring Kiri) Misalkan dan keduanya near ring Fungsi disebut homomorfisma near ring kiri jika memenuhi, (Solairaju et al 2013) Definisi II8 (Epimorfisma) Misalkan dan keduanya grup Fungsi adalah homomorfisma disebut epimorfisma jika merupakan homomorfisma yang surjektif, yaitu sehingga (Fraleigh 1997) Definisi II9 (Ring dari Endomorfisma) Misalkan sebuah grup abelian Sebuah homomorfisma dari pada dirinya sendiri disebut endomorfisma dari Misalkan himpunan dari semua endomorfisma dari adalah hom Akibat komposisi dua homomorfisma dari ke dalam dirinya merupakan suatu homomorfisma, maka dapat didefinisikan

14 4 perkalian pada hom sebagai komposisi fungsi dan perkalian tersebut bersifat assosiatif (Fraleigh 1997) Definisi II10 (Grup dengan Operator) Sebuah grup dengan operator yang terdiri dari grup dan sembarang himpunan, himpunan operator-operator, bersama dengan sebuah operasi dari perkalian luar dari setiap elemen di oleh setiap elemen di dari kiri sehingga memenuhi kondisi berikut: i), ii), (Fraleigh 1997) Definisi II11 ( - Subgrup dari ) Misalkan grup, adalah himpunan operator kiri, dan adalah himpunan operator kanan Jika maka dikatakan sebagai - grup Jika subgrup dari - grup juga merupakan - grup maka himpunan tersebut disebut - subgrup dari Hal tersebut juga berlaku untuk satu operator, baik dari kiri saja maupun dari kanan saja (Chellapa dan Manemaran 2010) Definisi II12 ( - Homomorfisma) Misalkan dan keduanya - grup Fungsi adalah homomorfisma Jika dan ( ) maka disebut - homomorfisma (Chellapa dan Manemaran 2010) Berikutnya akan dijelaskan definisi himpunan fuzzy, -fuzzy, -fuzzy sub near ring kiri, anti -fuzzy - subgrup kiri, S-norm, serta karakterisasi anti - fuzzy Definisi II13 (Himpunan Fuzzy) Misalkan adalah suatu kumpulan objek dan adalah elemen dari Himpunan fuzzy di didefinisikan sebagai himpunan pasangan berurutan, dimana adalah membership function (MF) untuk himpunan fuzzy MF memetakan setiap anggota ke nilai keanggotaan antara 0 dan 1 (Jang 1997) Definisi II14 ( -Fuzzy) Misalkan sembarang himpunan dan adalah grup Fungsi disebut sebagai himpunan -fuzzy di (Subramanian dan Chellapa 2010) Definisi II15 ( -Fuzzy Sub Near Ring Kiri) Misalkan adalah near ring Himpunan -fuzzy di disebut -fuzzy sub near ring kiri jika: 1, 2, (Solairaju et al 2013)

15 Definisi II16 (Anti -Fuzzy - Subgrup Kiri) Sebuah himpunan -fuzzy disebut anti -fuzzy M-N subgrup kiri dari near ring pada jika memenuhi: 1, 2, (Solairaju et al 2013) Definisi II17 (S-norm) Sebuah S-norm adalah fungsi yang harus memenuhi beberapa kondisi berikut: (S1), (S2) jika, (S3), (S4) ( ) (Solairaju et al 2013) Definisi II18 (Karakterisasi Anti -Fuzzy) Misalkan epimorfisma dan adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring, maka dikatakan karakteristik anti -fuzzy jika, (Solairaju et al 2013) 5 PEMBAHASAN Pada bab ini akan dibuktikan beberapa teorema tentang anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring Pertama akan dibuktikan hubungan antara anti - fuzzy - subgrup kiri dan sebuah endomorfisma dari near ring Kemudian akan dibuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu near ring Terakhir, akan dibuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda Pada teorema pertama akan dibuktikan hubungan antara anti -fuzzy - subgrup kiri dan sebuah endomorfisma yang juga merupakan anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring Ilustrasinya yaitu, misalkan adalah sebuah fungsi yang anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring, dan adalah sebuah endomorfisma dari Kemudian akan dibuktikan bahwa dan yang dioperasikan oleh fungsi komposisi,, juga merupakan anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring Teorema 1 Jika adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring dan adalah endomorfisma dari, maka adalah anti -fuzzy - subgrup dari Bukti: Diketahui adalah near ring adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring, didefinisikan

16 6 sehingga memenuhi: i), ii), adalah endomorfisma dari, didefinisikan Ilustrasi untuk dan berturut-turut sebagai berikut: [0,1] t Akan dibuktikan bahwa adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari, didefinisikan sehingga harus memenuhi: i), ii), Ilustrasinya sebagai berikut: [0,1] t Bukti: i) ( ( ) ) ( ) ii) (( ) ) Pada teorema kedua akan dibuktikan sifat epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari suatu near ring Ilustrasinya yaitu, misalkan fungsi epimorfisma dari near ring ke near ring dan adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari Kemudian ada fungsi yang merupakan pre image dari di bawah Selanjutnya akan dibuktikan bahwa tersebut juga merupakan sebuah anti -fuzzy - subgrup kiri dari

17 7 Teorema 2 Suatu epimorfisma dari anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring Bukti: Misalkan dan adalah near ring dan fungsi adalah epimorfisma, artinya sehingga adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari, didefinisikan sehingga memenuhi: i), ii), Ilustrasinya sebagai berikut: [0,1] t adalah preimage dari di bawah fungsi Akan dibuktikan bahwa adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari, didefinisikan sehingga harus memenuhi: i), ii), Ilustrasinya sebagai berikut: [0,1] t Karena adalah preimage dari maka didefinisikan, Bukti: i)

18 8 ( ( ) ) ii) Pada dua teorema terakhir, yaitu teorema ketiga dan keempat akan dibuktikan karakterisasi anti -fuzzy dari near ring yang berbeda Ilustrasinya yaitu, misalkan fungsi epimorfisma dari near ring ke near ring Teorema ketiga akan membuktikan bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari, jika sebelumnya diketahui bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari Sedangkan teorema keempat kebalikan dari teorema ketiga, akan membuktikan bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari, jika sebelumnya diketahui bahwa fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari Teorema 3 Misalkan adalah epimorfisma adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari, maka adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari Bukti: Diketahui dan adalah near ring dan fungsi epimorfisma, artinya sehingga adalah anti -fuzzy - subgrup dari, didefinisikan sehingga memenuhi: i), ii), Ilustrasinya sebagai berikut: [0,1] t Akan dibuktikan bahwa adalah anti -fuzzy - subgrup dari didefinisikan sehingga harus memenuhi: i), ii),

19 9 Ilustrasinya sebagai beikut: [0,1] t Bukti: i) ii) Teorema 4 Misalkan epimorfisma Jika adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari, maka adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari Bukti : Diketahui dan adalah near ring dan fungsi epimorfisma, artinya sehingga adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari, didefinisikan sehingga memenuhi: i), ii), Ilustrasinya sebagai berikut: [0,1] t Akan dibuktikan bahwa anti -fuzzy - subgrup kiri dari, didefinisikan sehingga harus memenuhi: i), ii),

20 10 Ilustrasinya sebagai berikut: [0,1] t Bukti: i) ii) SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Dari pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya diperoleh beberapa karakteristik anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring Pertama, jika diketahui sebuah anti -fuzzy - subgrup kiri dan endomorfisma dari sebuah near ring, maka fungsi komposisinya juga merupakan sebuah anti -fuzzy - subgrup kiri dari near ring tersebut Kedua, jika diketahui suatu fungsi di near ring adalah anti -fuzzy - subgrup kiri dari, maka fungsi pre image-nya juga merupakan anti -fuzzy - subgrup kiri dari Ketiga, jika fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] merupakan anti -fuzzy, maka fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] juga merupakan anti -fuzzy Berlaku juga untuk sebaliknya Jika fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] merupakan anti -fuzzy, maka fungsi yang membawa setiap elemen di ke [0,1] juga merupakan anti -fuzzy Saran Karya ilmiah ini membahas tentang -fuzzy pada near ring Bagi yang berminat untuk melanjutkan karya ilmiah ini terkait dengan -fuzzy dapat membahas tentang teori near ring maupun teori grup lainnya, misalkan tentang struktur pada -fuzzy -subgrup kiri, struktur pada -fuzzy Gama subgrup, Bi Polar -fuzzy, dan yang lainnya

21 11 DAFTAR PUSTAKA Chellapa B, Manemaran SV Product of Anti -Fuzzy Left - Subgroups of Near Rings under Triangular Conorms International Journal of Computer Applications 12(1):37-42 Fraleigh JB 1997 A First Course in Abstract Algebra United States of America (US): Addision Wealey Publishing Company Jang JSR 1997 Neuro-Fuzzy dan Soft-Computing Prentice-Hall, New Jersey (US) Solairaju A, Sarangapani P, Nagarajan R, Muruganantham P 2013 Anti -Fuzzy -Subgroups of Near Rings International Journal of Mathematics Trends and Technology 4(8): Subramanian S, Chellapa B 2010 Structures on Q-Fuzzy Left -Subgroups of Near Rings under Triangular Norms International Journal of Computer Applications 11(1):37-39

22 12 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Pamekasan pada tanggal 13 September 1991 dari ayah Jatim dan ibu Satenni Penulis berkewarganegaraan Indonesia dan beragama Islam Penulis adalah putra kedua dari dua bersaudara Tahun 2004 penulis lulus dari SD Negeri Polagan 1 Kec Galis Kab Pamekasan, tahun 2007 penulis lulus dari SMP Negeri 1 Galis Kec Galis Kab Pamekasan, dan tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Pamekasan Kab Pamekasan Pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) dan diterima sebagai mahasiswa departemen Matematika FMIPA IPB dengan pilihan minor Statistika Terapan Penulis juga mendapatkan beasiswa Bidikmisi selama empat tahun Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi staf pengajar bimbingan belajar Gugus Mahasiswa Matematika (Bimbel Gumatika) mata kuliah Kalkulus dan tutor mahasiswa Tingkat Persiapan Bersama (TPB) IPB mata kuliah Landasan Matematika tahun ajaran 2012/2013 Penulis juga aktif sebagai Ketua Departemen Keilmuan himpunan profesi Matematika, Gumatika IPB periode Pada tahun yang sama penulis juga menjadi Ketua Pengguyuban OMDA (Organisasi Mahasiswa Daerah) Madura Selain itu, penulis juga aktif dalam mengikuti kegiatan seperti kepanitiaan IPB Mathematics Challenge 2013 sebagai Ketua Divisi Logistik dan Transportasi, kepanitiaan Matematika Ria sub Pesta Sains Nasional 2013 sebagai Ketua Pelaksana