STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS

Transkripsi

1 STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS

2 Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi di atas memenuhi ketentuan atau aksioma tertentu

3 Pengantar Struktur Aljabar Struktur aljabar dengan satu himpunan dan satu operasi grup, semi grup, monoid, grupoid

4 Sruktur aljabar dengan satu himpunan dan lebih dari satu operasi gelanggang, lapangan, daerah integral, dll

5 Struktur aljabar dengan dua himpunan dan beberapa operasi ruang vektor, modul, dll

6 GRUP dan SUBGRUP

7 Operasi Biner (def 1.4.1) Bila A suatu himpunan, maka suatu Operasi biner T : A x A A adalah pemetaan yang mengawankan setiap pasang (a,b) A x A dengan satu unsur c A Notasi: T(a,b) = c a T b = c a. b = c, di mana a, b, c A.

8 Operasi biner Dengan kata lain Terdapat operasi antara unsur-unsur dalam himpunan A yang bersifat tertutup, setiap dua unsur dalam A, bila dioperasikan menghasilkan unsur ketiga yang juga unsur dalam A kembali.

9 Operasi Biner Dalam bahasa matematika: ( a,b A ) ( c A) a * b = c dimungkinkan c = a atau c = b atau a dan c b. c

10 Contoh Operasi Biner Operasi (+) dan (.) pada himp bil bulat (Z) Coba cek! Operasi * pada Z + dengan n*m = n m. Apakah biner?

11 GRUPOID Definisi Suatu himpunan tidak kosong G dengan operasi biner ( *) di dalamnya, disebut grupoid Notasi: (G, *)

12 Contoh Grupoid (Z,+) (G,*) dgn G = { x, y, z } dan * x y z x x y y y y x y z z y x

13 Grupoid Abel Grupoid dengan sifat komutatif Jika (G, *) maka x, y G berlaku x * y = y * x

14 Semi Grup Definisi Suatu grupoid (G, * ) disebut semi-grup, apabila terhadap operasi biner dalam G berlaku sifat asosiatif sebagai berikut: x, y, z G berlaku (x * y) * z = x * (y * z)

15 Contoh Semi Grup (Q,.) berlaku (n. m). p = n.( m. p ), n,m,p Q.

16 LATIHAN Bila R =R {-1} himpunan bil riil tanpa -1 dan operasi dalam R ditentukan sbb: x*y = x + y + xy, dengan x, y R. Apakah operasi * merupakan operasi biner?

17 LATIHAN Manakah di antara struktur aljabar berikut mrpk grupoid, grupoid yang komutatif dan yang berupa semi-grup: a). Operasi biner * dalam Z dgn a* b = a - b b). Operasi biner * dalam Q dgn a * b = ab + 1 c). Operasi biner * dalam Z + dgn a * b = 2 a b

18 LATIHAN Bila S himpunan berhingga, A(S) = { f : S S / f pemetaan bijektif } maka A(S) merupakan semi-grup terhadap operasi komposisi, jelaskan!

19 Sifat-sifat istimewa dalam grupoid Idempoten Mempunyai unsur identitas Mempunyai unsur invers Sifat-sifat tersebut kadang terdapat pada grupoid

20 Sifat idempoten Suatu unsur a G disebut idempoten jika a* a = a Contoh: 1. Unsur 0 dalam semi-grup ( Z,+ ) 2. Unsur 1 dan 0 dalam Semi-grup ( Z,. ) Latihan : Tentukan unsur idempotent pada Z 4 dan Z 6

21 Unsur Identitas Suatu unsur e G disebut unsur identitas kiri jika berlaku sifat: x G maka berlaku e * x = x. unsur e disebut identitas kanan jika x G maka x * e = x. Identitas kiri = identitas kanan e tunggal

22 Contoh unsur Identitas Unsur 0 dalam ( Z, + ) Unsur 1 dalam (Z,. ) unsur 1 dalam Z 6 dengan operasi perkalian modulo 6

23 Unsur Invers Pada grupoid ( G, * ) dgn unsur identitas e, unsur a G dikatakan mempunyai invers jika terdapat unsur a -1 G yang memenuhi a -1 *a = e = a * a -1

24 Contoh unsur invers Setiap n dalam (Z,+) mempunyai invers yaitu (-n). G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti pada tabel sebagai berikut: * a b c a b a c b a b c unsur identitas : b a -1 =a dan b -1 =b, c -1 =? c a c a

25 Perhatikan tabel berikut G = { a, b, c } dengan operasi biner seperti pada tabel sebagai berikut: tentukan unsur identitas dan unsur inversnya? * a b c a b a c b a b c c a c b

26 GRUP Semi grup yang memuat unsur identitas dan setiap unsurnya mempunyai invers merupakan struktur aljabar yang disebut grup.

27 Grup (def 2.1.4) Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup jika di dalam G terdapat operasi biner, misalkan. yang memenuhi sifat - sifat a,b,c G berlaku : a). Assosiatif : a. ( b. c ) = ( a. b ). c b). e G a. e = e. a = a c). a G a -1 G a. a -1 = a -1. a = e

28 Grup (def ) Suatu himpunan tidak kosong G merupakan suatu grup jika di dalam G terdapat operasi * dan unsur-unsur dalam G memenuhi sifat a) tertutup: a,b G maka a *b = c dengan c G b) Assosiatif : a,b,c G berlaku a*(b*c ) = (a*b) *c c). e G a * e = e * a = a, a G d). a G a -1 G a * a -1 = a -1 * a = e

29 Contoh Grup A(S) = { f : S S / f pemetaan bijektif, S } dengan operasi komposisi (Z, +) (Z 6, +) Bagaimana dengan (Z,.) dan (Z 6,.), apakah keduanya Grup?

30 LATIHAN Apabila G = { 1, -1, i, -i } di mana i 2 = -1 dengan operasi dalam G adalah perkalian bilangan kompleks, Selidiki apakah ( G,. ) merupakan suatu grup.

31 LATIHAN Apakah struktur aljabar brkt mrpk suatu grup, bila jawab ya, buktikan dan bila jawab bukan, syarat grup mana yang tidak dipenuhi a). Himpunannya Z dengan operasi yang ditentukan a * b = ab b). Pada 2Z = { 2n / n Z } dengan operasi sebagai berikut: a * b = a + b

32 LATIHAN Selidiki manakah struktur aljabar berikut membentuk grup: a). Z = { 2n + 1 / n Z } dengan operasi + b). Z dengan operasi yang ditentukan a * b = a + b + 1

33 LATIHAN Buktikan dengan menggunakan tabel bahwa Z 4 merupakan grup terhadap penjumlahan modulo 4.

34 LATIHAN Himpunan H = { 1, 2, 3 } dengan operasi perkalian modulo 4, apakah merupakan grup? Bila bukan, syarat mana yang tidak dipenuhi. Bagaimana dengan himpunan K={1, 2, 3, 4} terhadap operasi perkalian modulo 5, jelaskan dengan bukti.

35 Grup Komutatif Apabila dalam grup G juga dipenuhi sifat a b = b a untuk setiap a,b G, maka grup G disebut sebagai grup komutatif Contoh : (Z, +)

36 Grup Komutatif Bagaimana dengan (Z,.)? Bukan merupakan grup karena tidak setiap unsur Z mempunyai invers

37 Grup Komutatif Jika M 2 (R) adalah semua matriks bertipe 2 x 2 dengan elemen-elemennya diambil dari himpunan bilangan riil, apakah merupakan suatu grup komutatif terhadap operasi perkalian matriks?

38 Jika M 2 (R) adalah semua matriks bertipe 2 x 2 dengan elemen-elemennya diambil dari himpunan bilangan riil, bukanlah suatu grup terhadap operasi pergandaan matriks. Jawab: Pandang M 0 2 (R ), jelas bahwa tidak mempunyai invers di dalam M 2 (R) Jadi M 2 (R) bukan grup terhadap pergandaan matriks. 38