I. PENDAHULUAN. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "I. PENDAHULUAN. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis"

Transkripsi

1 1 I. PENDAHULUAN 1.2 Latar Belakang dan Masalah Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun Aljabar yang dibicarakan sebelum abad kesembilan belas disebut aljabar klasikal, sedangkan aljabar sesudah abad kesembilan belas (hingga sekarang) disebut aljabar modern atau aljabar abstrak (struktur aljabar). Aljabar klasik mempunyai karakteristik bahwa setiap simbol yang dimaksud selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu. Misalnya bilangan bulat, bilangan real, atau bilangan kompleks. Tujuan pokok dari aljabar klasik adalah menggunakan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan suatu permasalahan polinom dan untuk memecahkan suatu persoalan tentang beberapa problema ilmiah, teknik, dan ilmu pengetahuan sosial. (Wahyudin, 1989) Rubik s Cube merupakan sebuah alat permainan yang berbentuk kubus besar yang tersusun dari 27 kubus kecil dengan masing-masing sisinya memiliki warna yang berbeda yaitu merah, kuning, hijau, putih, biru dan oranye. Cara memainkan alat

2 2 ini adalah dengan cara kita diharuskan menyusun sedemikian rupa sehingga setiap sisi dari kubus besar terdiri dari kubus kecil dengan warna sisi yang sama. Rubik s Cube ditemukan oleh pemahat dan arsitek dari Hongaria bernama Profesor Erno Rubik, dan dalam perkembangannya Rubik s Cube terus mengalami perubahan dan penyempurnaan. Douglas Hofstadter adalah orang yang pertama kali mengenalkan Rubik s Cube dalam aljabar abstrak pada bulan Maret tahun Kemudian penjabaran tentang Rubik s Cube mulai banyak ditemui dalam beberapa buku, seperti Inside Rubik s Cube and Beyond karangan Christoph Bandelow. (Darmawan, 2010) Pada penelitian ini akan dibahas tentang konstruksi Rubik s Cube ke dalam bentuk grup. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membuktikan bahwa himpunan sebarang gerakan M pada Rubik s Cube dapat dikonstruksikan ke dalam bentuk grup. 1.3 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Memahami sifat-sifat grup dan aksi grup. 2. Mengenalkan Rubik s Cube dan hubungannya dalam dunia Aljabar Abstrak. 3. Memberikan motivasi bagi pembaca dan peneliti untuk mengkaji lebih dalam permasalahan yang berhubungan dengan struktur aljabar.

3 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup dan subgrup yang akan digunakan dalam hasil dan pembahasan. 2.1 Grup Sebelum definisi grup disajikan, di bawah ini diberikan definisi operasi biner. Definisi Operasi Biner Operasi biner pada suatu himpunan S adalah suatu aturan yang memasangkan setiap pasangan terurut (a,b) dengan a,b S. (Fraleigh, 1975) Dari definisi di atas dapat diperoleh hal-hal berikut: 1. Suatu operasi biner pada S harus terdefinisikan untuk setiap pasangan terurut (a,b) dengan a,b S. 2. Suatu operaasi biner pada S harus memasangkan setiap pasangan terurut (a,b), a,b S dengan elemen yang juga berada di S, artinya S tertutup terhadap operasi biner. 3. Suatu operasi biner harus terdefinisi dengan tunggal (well-defined).

4 4 Contoh-contoh: 1. Operasi penjumlahan biasa (+) pada himpunan bilangan real adalah operasi biner. 2. Misalkan R* =. Penjumlahan biasa (+) bukan operasi biner pada R*, sebab 2 + (-2) = 0 bukan elemen R*. Setelah definisi operasi biner diberikan, selanjutnya diberikan definisi sifat-sifat operasi biner sebagai berikut: Definisi Operasi Biner Komutatif Operasi biner pada S dikatakan komutatif jika a b = b a untuk semua a,b S. (Fraleigh, 1975) Definisi Operasi Biner Asosiatif Operasi biner pada S dikatakan asosiatif jika dan hanya jika ( a b) c = a (b c). untuk semua a, b, c S. (Fraleigh, 1975)

5 5 Setelah definisi dan sifat-sifat operasi biner diberikan, berikut ini disajikan definisi grup beserta dengan sifat-sifatnya. Definisi Grup Suatu grup G, adalah himpunan G yang dilengkapi dengan operasi biner pada G yang memenuhi aksioma berikut: 1. Asosiatif, yaitu a, b, c G berlaku: ( a b) c = a (b c). 2. Terdapat elemen identitas e untuk operasi pada G yaitu e G sedemikian sehingga berlaku e a = a e = a, a G. 3. Untuk setiap a G mempunyai invers a, yaitu terdapat a G sedemikian sehingga a a = a a = e. (Herstein, 1975) Definisi Grup Komutatif (Abelian) Grup G, merupakan grup komutatif (abelian) jika, a b = b a, a, b G. (Dumit & Forte, 2004)

6 6 Definisi Misalkan himpunan G = { g 1., g 2,, gn} merupakan grup terhingga dengan g 1 = 1, diperoleh tabel grup dengan operasi perkalian terhadap himpunan G merupakan suatu matriks M nxn dengan i dan j adalah indeks pada elemen grup g i g j. (Dumit & Forte, 2004) Teorema Jika G, grup, maka berlaku : 1. ( a G) (a -1 ) -1 = a 2. (a b) -1 = b -1 a -1 (Herstein, 1975). Teorema Jika G, adalah sebuah grup, maka berlaku : (i) (ii) c G dan c c = c c = e. a, b, c G berlaku a b = a c b= c dan b a= c a b= c (kanselasi kiri dan kanan). (iii) (iv) ( a G) (a -1 ) -1 = a. a, b G, maka persamaan a x = b dan y a = b memiliki (Hungerford, 1974) penyelesaian yang unik pada G, yaitu x = a -1 b dan y = b a -1.

7 7 Bukti : Jika e adalah elemen identitas sedemikian sehingga e = e e = e. Diperoleh, (i) cc = c c -1 (c c) = c -1 c (c -1 c) c = c -1 c e c = e c = e Dengan cara yang sama, juga diperoleh pembuktian terhadap aksioma (ii), (iii) dan (iv). Definisi Subgrup Diberikan grup G, dan himpunan S G S G Gambar 1. S subgrup G (S G) Himpunan S disebut subgrup jika untuk operasi biner yang sama pada G yaitu, S juga merupakan grup. Jadi S subgrup dalam G,, jika: 1. Tertutup, ( s 1, s 2 S) (s 1 s 2 ) S 2. Asosiatif, ( s 1, s 2, s 3 S) (s 1 s 2 ) s 3 = s 1 (s 1 s 2 ) 3. Terdapat elemen netral, ( e S) ( s S) sehingga e s = s e = s 4. Mempunyai elemen invers, ( s S) ( s -1 S) sehingga s s -1 = s -1 s= e. (Fraleigh, 1975).

8 8 Proposition Suatu himpunan bagian H dari grup G merupakan subgrup jika dan hanya jika, (1) H 0, (2) Untuk semua x, y H, x y -1 H. (Lang, 2002) 2.2 Aksi Grup Definisi Aksi Grup Sebuah aksi grup (kanan) dari grup (G, ) pada himpunan tak kosong A merupakan sebuah pemetaan A x G A (ini berarti, bila a A dan g G, maka elemen lain dari A dapat diperoleh dari a g) dan memenuhi dua sifat yaitu: 1. (a g 1 ) g 2 = a (g 1 g 2 ) untuk setiap g 1,g 2 G, dan a A. 2. a e = a, dengan a A dan e adalah elemen identitas dari G. Berdasarkan pada syarat pertama, a.g 1 A sehingga (a.g 1 ).g 2 masih merupakan anggota A. Di lain pihak, g 1. g 2 G sehingga a. (g 1. g 2 ) juga merupakan anggota A. (Herstein, 1975)

9 9 Contoh Grup (Z, +) beraksi terhadap himpunan bilangan real R dengan a.g =g+a, untuk setiap g Z dan a R. Akan ditunjukkan aksi grup (Z, +) terhadap himpunan R bernilai valid jika memenuhi dua sifat yaitu: 1. (a.g1).g 2 = a.(g1. g 2 ), g1, g 2 Z dan a R. 2. a. 0 = a, dimana 0 adalah elemen identitas dari Z. Bukti : 1. Diberikan sebarang g1, g 2 Z dan a R. (a.g1).g 2 = (a.g1)+ g 2 = (a+g1)+ g 2 = a+ (g1+ g 2 ) = a. (g1+ g 2 ) = a.(g1. g 2 ), g Z dan a R. Terbukti bahwa (a.g1).g 2 = a. (g1.g 2 ), a R dan g1, g 2 Z. 2. Untuk sebarang a R dan 0 Z, berlaku a.0 = 0 + a = a. Jadi terbukti bahwa aksi grup (Z, +) terhadap himpunan R bernilai valid.

10 10 III. METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan di semester ganjil tahun ajaran 2009/2010 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA) Universitas Lampung. 3.2 Metode Penelitian Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1. Mengumpulkan bahan-bahan berupa buku-buku dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini. 2. Mempelajari teori grup, subgrup dan aksi grup. 3. Mengkonstruksikan himpunan sebarang gerakan M pada Rubik s Cube ke dalam bentuk grup dengan terlebih dahulu mendefinisikan operasi binernya.

11 11 IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dibahas tentang bagian-bagian dalam Rubik s Cube beserta notasinya, konstruksi Rubik s Cube ke dalam bentuk grup dan aksi grup pada Rubik s Cube Notasi Balok Pada Rubik s Cube Rubik s Cube adalah sebuah permainan yang tersusun dari 27 kubus kecil, yang mana biasa disebut kubus. Rubik s Cube memiliki tiga elemen atau bagian utama, yaitu center (kubus pusat), edge (kubus runcing), dan corner piece (kubus sudut). Kubus-kubus yang berada dipojok disebut kubus sudut. Setiap kubus sudut memiliki 3 bagian dan terdapat 8 kubus sudut. Kubus dengan 2 bagian disebut kubus runcing dan terdapat 12 kubus runcing. Terakhir, kubus dengan satu bagian disebut kubus pusat dan terdapat 6 kubus pusat. Kubus Sudut Kubus Runcing Kubus Pusat Gambar 2. Bagian Rubik s Cube

12 12 Notasi balok dalam Rubik s Cube dapat diartikan sebagai berbagai gerakan atau putaran yang harus dilakukan untuk menyelesaikan Rubik s Cube. Kumpulan dari notasi-notasi balok dapat menjadi algoritma. Dalam metode penyelesaian Rubik s Cube secara umum, terdapat empat jenis notasi gerakan yaitu notasi tunggal, notasi ganda, notasi iris dan notasi rotasi. Berikut ini akan dijelaskan notasi-notasi tersebut. 1. Notasi Tunggal F (Front) F'(Front inverse) B (Back) B'(Back inverse) R (Right) R'(Right inverse) L (Left ) L (Left inverse) U(Up) U (Up inverse) D (Down) D'(Down inverse) = sisi depan kubus diputar searah jarum jam. = sisi depan kubus diputar berlawanan searah jarum jam. = sisi belakang kubus diputar searah jarum jam. = sisi belakang kubus diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi kanan kubus diputar searah jarum jam. = sisi kanan kubus diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi kiri kubus diputar searah jarum jam. = sisi kiri kubus diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi atas kubus diputar searah jarum jam. = sisi atas kubus diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi bawah kubus diputar searah jarum jam. = sisi bawah kubus diputar berlawanan arah jarum jam. 2. Notasi Ganda f = sisi depan dan tengah kubus diputar searah jarum jam. f = sisi depan dan tengah kubus diputar berlawanan arah jarum jam. b = sisi belakang dan tengah diputar searah jarum jam.

13 13 b' r r' = sisi belakang dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi kanan dan tengah diputar searah jarum jam. = sisi kanan dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. 1 = sisi kiri dan tengah diputar searah jarum jam. l' u u' d d' = sisi kiri dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi atas dan tengah diputar searah jarum jam. = sisi atas dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi bawah dan tengah diputar searah jarum jam. = sisi bawah dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. 3. Notasi Iris M (Middle) = sisi tengah vertikal diputar searah jarum jam. M (Middle inverse) = sisi tengah vertikal diputar berlawanan arah jarum jam. E (Equator) = sisi tengah horizontal diputar searah jarum jam. E (Equator inverse) = sisi tengah horizontal diputar berlawanan arah jarum jam. S (Slice) = sisi tengah iris diputar searah jarum jam. S (Slice inverse) = sisi tengah iris diputar berlawanan arah jarum jam. 4. Notasi Rotasi x (x axis) = Rubik s Cube diputar ke atas dengan berpatokan pada sumbu x. x'(x axis inverse) = Rubik s Cube diputar ke bawah dengan berpatokan pada sumbu x y (y axis) = Rubik s Cube diputar ke kiri dengan berpatokan pada sumbu y.

14 14 y (y axis inverse) = Rubik s Cube diputar ke kanan dengan berpatokan pada sumbu y. z (z axis) = Rubik s Cube diputar searah jarum jam dengan berpatokan pada sumbu z. z (z axis inverse) = Rubik s Cube diputar berlawanan arah jarum jam dengan berpatokan pada sumbu z. Berikut ini diberikan contoh pergerakan Rubik s Cube dengan menggunakan notasi tunggal : F U R U Maka gerakan yang dimaksud adalah sisi depan kubus diputar searah jarum jam - sisi atas kubus diputar searah jarum jam - sisi kanan kubus diputar searah jarum jam - sisi atas kubus diputar berlawanan arah jarum jam. Berikut ini adalah contoh posisi kubus dari hasil sebarang gerakan M pada Rubik s Cube Gambar 3. Contoh Posisi Rubik s Cube.

15 Konstruksi Rubik s Cube Ke dalam Bentuk Grup. Semua gerakan yang mungkin dilakukan terhadap Rubik s Cube dapat dibuat ke dalam suatu himpunan G. Contoh : Dilakukan suatu gerakan F-U-R-f terhadap Rubik s Cube, maka gerakan yang dimaksud adalah sisi depan Rubik s Cube diputar searah jarum jam diikuti dengan memutar sisi atas searah jarum jam lalu sisi kanan diputar searah jarum jam kemudian sisi depan dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. Dua gerakan akan dianggap sama jika gerakan tersebut menghasilkan konfigurasi yang sama. Contoh : Perputaran 180 searah jarum jam sama dengan perputaran 180 berlawanan arah jarum jam. Contoh : Misalkan G adalah himpunan semua gerakan yang dilakukan terhadap Rubik s Cube. Misalkan M 1, M 2 G, operasi biner pada himpunan G dapat didefinisikan sebagai, jika M 1 dan M 2 adalah dua gerakan, maka M 1 M 2 merupakan gerakan yang lain dimana dilakukan gerakan M 1 terlebih dahulu lalu dilakukan gerakan M 2.

16 16 Setelah menghimpun semua gerakan yang mungkin dilakukan pada Rubik s Cube ke dalam suatu himpunan G dan mendefinisikan operasi biner pada G, selanjutnya dibuktikan (G, ) merupakan grup. untuk membuktikan (G, ) merupakan grup, harus ditunjukkan memenuhi 4 aksioma berikut: (i). Tertutup ( M 1, M 2 G) M 1 * M 2 G. Bukti: Misalkan dilakukan gerakan M 1 dan M 2 pada Rubik s cube, dengan M 1 = F-U-F dan M 2 = f-u. Karena M 1 M 2 adalah gerakan dimana dilakukan gerakan M 1 terlebih dahulu lalu dilakukan gerakan M 2, maka dapat dituliskan, M 1 M 2 = F-U-F-f-U Dengan kata lain M 1 M 2 juga merupakan gerakan pada Rubik s Cube, sehingga M 1 M 2 juga merupakan elemen G. Jadi terbukti bahwa operasi tertutup. (ii). Asosiatif. ( M 1, M 2, M 3 G ) (M 1 M 2 ) M 3 = M 1 (M 2 M 3 ). Bukti : Misalkan M 1, M 2 dan M 3 masing-masing adalah suatu gerakan yang dilakukan terhadap Rubik s Cube, dengan M 1 M 2 = B M = u E M 3 = F R x.

17 17 Karena operasi pada G tertutup, maka M 1 M 2 juga merupakan gerakan pada Rubik s Cube, yaitu M 1 M 2 = B M u E. Selanjutnya, (M 1 M 2 ) M 3 juga merupakan gerakan pada Rubik s Cube, yaitu (M 1 M 2 ) M 3 = B M u E F R X. Di sisi lain, M 2 M 3 juga merupakan gerakan pada Rubik s Cube, yaitu M 2 M 3 = u E F R X. Kemudian M 1 (M 2 M 3 ) juga merupakan gerakan pada Rubik s Cube, yaitu M 1 (M 2 M 3 ) = B M u E F R X. Karena (M 1 M 2 ) M 3 dan M 1 (M 2 M 3 ) menghasilkan konfigurasi gerakan yang sama, maka: (M 1 M 2 ) M 3 = M 1 (M 2 M 3 ), M 1, M 2, M 3 G (iii) ( e G ) ( M G ) sehingga e M = M e = M. Bukti: Misalkan e merupakan gerakan kosong (tidak bergerak) yang dilakukan terhadap Rubik s Cube, maka M e berarti bahwa dilakukan gerakan M terlebih dahulu lalu tidak melakukan gerakan apapun. Dan e M berarti bahwa tidak melakukan gerakan apapun terhadap Rubik s Cube terlebih dahulu lalu melakukan gerakan M. Dapat dituliskan M e = e M = M, M G. Sehingga terbukti bahwa terdapat elemen identitas e pada G.

18 18 (iv) ( M G ) ( M G) sehingga M M = M M = e. Bukti: Misalkan M merupakan suatu gerakan yang dilakukan pada Rubik s Cube dan M merupakan kebalikan atau invers dari gerakan M. Sehingga M M adalah dilakukan gerakan M kemudian dikembalikan kembali gerakan tersebut, dengan kata lain sama halnya dengan tidak melakukan gerakan. Gerakan M M, adalah dilakukan terlebih dahulu gerakan kebalikan dari M lalu dilakukan gerakan M tersebut. Hasilnya adalah sama dengan tidak melakukan gerakan karena posisi Rubik s Cube tidak berubah. Karena aksioma (i), (ii), (iii) dan (iv) terpenuhi, maka terbukti bahwa (G, ) merupakan grup. 4.3 Aksi Grup Pada Rubik's Cube Misalkan K merupakan himpunan sebarang konfigurasi dari Rubik s cube, dimana konfigurasi pada Rubik s cube diartikan sebagai susunan kubus yang terjadi dalam Rubik s cube. Jika Rubik s Cube berada dalam konfigurasi C K, kemudian dilakukan gerakan M G, maka Rubik s Cube akan berada pada sebuah konfigurasi baru. Sehingga konfigurasi ini dinyatakan sebagai C M K. Dapat dituliskan, K x G K

19 19 Misalkan M1, M2 G, aksi grup (G, ) pada himpunan K bernilai valid jika memenuhi dua sifat yaitu: 1. (C M1) M2 = C (M 1 M 2 ), C K. 2. C e = C, dengan C K dan e adalah elemen identitas dari G. Bukti: 1. Akan dibuktikan bahwa (C M1) M2 =. Misalkan Rubrik s Cube bermula pada konfigurasi C. Jika dilakukan gerakan M 1, maka konfigurasinya menjadi C M 1. Kemudian dilakukan gerakan M 2, maka konfigurasinya berubah menjadi (C M 1 ) M 2. Karena M 1 M 2 G, maka (C M 1 ) M 2 menghasilkan konfigurasi yang sama pada C (M 1 M 2 ). Dalam Rubrik s Cube, dua gerakan dianggap sama jika gerakan tersebut menghasilkan konfigurasi yang sama. Dengan kata lain, terbukti bahwa (C M 1 ) M 2 = C (M 1 M 2 ) Untuk setiap konfigurasi C K dan M 1, M 2 G. 2. Akan dibuktikan bahwa C e = C Jika e adalah elemen identitas dari G, dimana e merupakan gerakan kosong (tidak menggerakkan apa-apa) pada Rubrik s Cube, maka C e = C karena konfigurasi pada Rubik s Cube tidak berubah sama sekali. Jadi terbukti bahwa aksi grup pada Rubik s Cube bernilai valid.

20 20 Contoh G beraksi terhadap himpunan K = { C 1,C 2 } dari Rubik s Cube yang memiliki kubus sudut yang berbeda. Kemudian jika C 1 dan C 2 adalah konfigurasi dari Rubik s Cube dengan kubus sudut yang berbeda, maka gerakan M G menyebabkan kubus sudut tersebut menjadi dua kubus sudut berbeda C dan C 2 dapat dituliskan, (C 1 C 2 ) M = (C 1 1 C 1 2 ), M G. Dengan C e = c, e merupakan elemen identitas dari c K. Contoh G adalah suatu grup yang beroperasi pada Rubik s Cube, dimana G merupakan semua gerakan yang dilakukan pada Rubik s cube dan G beraksi pada himpunan G (beraksi pada dirinya sendiri) dengan a g = g -1 a g, untuk setiap g G dan a G. Akan dibuktikan bahwa G beraksi pada G dengan memenuhi dua syarat yaitu: 1. (a g1) g 2 = a (g1 g 2 ), g1, g 2 G dan a G. 2. g e = g,dengan e adalah elemen identitas dari G dan g G. Bukti : 1. Akan dibuktikan bahwa (a g1) g 2 = a (g1 g 2 ), g1, g 2 G dan a G. (a g1) g 2 = (g1-1 a g1) g 2 = g 2-1 ( g1-1 a g1) g 2 = (g 2-1 g1-1 ) a ( g1 g 2 )

21 21 = (g1 g 2 ) -1 a ( g1 g 2 ) = a (g1 g 2 ), g G dan a G. 2. Akan dibuktikan bahwa g e = g, g G. G adalah suatu operasi terhadap Rubik s Cube, dimana elemen-elemennya merupakan semua gerakan yang dilakukan terhadap Rubik s Cube. Dan g merupakan elemen dari G. Jika e adalah elemen identitas dari g, dimana e dianggap sebagai gerakan kosong atau tidak menggerakkan Rubik s Cube sama sekali, maka g.e = g karena konfigurasi Rubik s Cube tidak berubah. Jadi terbukti bahwa grup G beraksi terhadap dirinya sendiri dengan a. g = g -1. a. g, untuk setiap g G dan a G.

22 22 V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Pergerakan pada setiap kubus dalam Rubik s Cube merupakan operasi biner terhadap himpunan sebarang gerakan G. Himpunan G merupakan grup karena bersifat tertutup terhadap operasi, bersifat asosiatif, memiliki elemen identitas dan memiliki invers untuk setiap gerakan M dalam himpunan G. Dengan menotasikan Rubik s Cube ke dalam bentuk notasi tunggal, notasi ganda, notasi iris dan notasi rotasi dapat mempermudah dalam mengkonstruksikan Rubik s Cube ke dalam bentuk grup. Untuk setiap gerakan M1 dan M2 elemen G, aksi grup ( G, ) pada himpunan sebarang konfigurasi K dalam Rubik s Cube bernilai valid karena memenuhi dua sifat aksi grup. 5.2 Saran Penelitian mengenai konstruksi Rubik s Cube ke dalam bentuk grup ini masih dapat diteruskan ke dalam bentuk struktur aljabar lainnya, misalnya dengan mengkonstruksikan ke dalam bentuk ring dan homomorfisme, atau ke dalam bentuk Cyclic Group.

23 23 DAFTAR PUSTAKA Darmawan, Ardi Jago Main Rubik Dari Nol. Wahyu Media Plus Multimedia, Jakarta. Dummit, DS. Forte, RM Abstract Algebra, Third Edition. John Wiley & Sons, Inc. New York. Fraleigh, J.B A First Course in Abstract Algebra, Second Edition. Addison- Wesley Publishing Company, Inc., California. Herstein, I.N Topics in Algebra. John Wiley & Sons, Inc. New York. Hungerford, T.W Algebra. Springer-Verlag New York, Inc. New York. Lang, Serge Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition. Springer-Verlag New York, Inc. New York. Wahyudin Aljabar Modern. Tarsito, Bandung.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,

Lebih terperinci

1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan

1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan 1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen

Lebih terperinci

ANALISIS PENYELESAIAN RUBIK 2X2 MENGGUNAKAN GRUP PERMUTASI

ANALISIS PENYELESAIAN RUBIK 2X2 MENGGUNAKAN GRUP PERMUTASI βeta p-issn: 2085-5893 e-issn: 2541-0458 Vol. 4 No. 2 (Nopember) 2011, Hal. 151-161 βeta2011 ANALISIS PENYELESAIAN RUBIK 2X2 MENGGUNAKAN GRUP PERMUTASI Abdurahim 1, Mamika Ujianita Romdhini 2, I Gede Adhitya

Lebih terperinci

ORDER UNSUR DARI GRUP S 4

ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 142 147 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 FEBYOLA, YANITA, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com

2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com 2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut

Lebih terperinci

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh

RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang

Lebih terperinci

KONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA

KONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA KONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA I Ketut Suastika Pend. Matematika Univ. Kanjuruhan Malang Suastika_cipi@yahoo.co.id Abstrak Pada tulisan ini, penulis mencoba mengkonstruksi homomorfisma grup

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR: RING

STRUKTUR ALJABAR: RING STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari

Lebih terperinci

TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS

TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom BAB 9 RING POLINOM Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan

Lebih terperinci

GELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.

GELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal. Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

II. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu

II. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih

Lebih terperinci

0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d

0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d 1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang

Lebih terperinci

Teorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring

Teorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Teorema-Teorema Utama somorphisma pada ear-ring Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia urusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra

SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah

Lebih terperinci

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya

Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

GRUP DAN HOMOMORFISMA GRUP PADA RUBIK REVENGE DWI TANTY KURNIANINGTYAS

GRUP DAN HOMOMORFISMA GRUP PADA RUBIK REVENGE DWI TANTY KURNIANINGTYAS GRUP DAN HOMOMORFISMA GRUP PADA RUBIK REVENGE DWI TANTY KURNIANINGTYAS DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012 ABSTRAK DWI TANTY KURNIANINGTYAS.

Lebih terperinci

Sifat-Sifat Ideal Utama dan Ideal Maksimal dalam Near-Ring

Sifat-Sifat Ideal Utama dan Ideal Maksimal dalam Near-Ring PRISMA (208) PRISMA, Prosiding Seminar Nasional Matematika https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Sifat-Sifat Ideal Utama dan Ideal Maksimal dalam Near-Ring Zulfia Memi Mayasari Fakultas MIPA,

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori

Lebih terperinci

AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO

AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu

Lebih terperinci

Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)

Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA, PS S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematiika, Yogyakarta - 55281 Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika

BAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika 1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.

Lebih terperinci

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan

II. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini

Lebih terperinci

Sifat Lapangan pada Bilangan Kompleks

Sifat Lapangan pada Bilangan Kompleks Jurnal Analisa 3 (1) (2017) 70-75 p-issn: 2549-5135 http://journal.uinsgd.ac.id/index.php/analisa/index e-issn: 2549-5143 Sifat Lapangan pada Bilangan Kompleks Ida Nuraida 1,a) 1 Prodi Pendidikan Matematika

Lebih terperinci

RANK DARI GRUP DIHEDRAL TIGA (D 3 ) YANG BERAKSI

RANK DARI GRUP DIHEDRAL TIGA (D 3 ) YANG BERAKSI RANK DARI GRUP DIHEDRAL TIGA (D 3 ) YANG BERAKSI ATAS X (1) Teuis Siti Nurlaela 1,a), Esih Sukaesih 1) 1 UIN Sunan Gunung Djati, Jl. A.H. Nasution No. 105 Bandung a) email: teuis.siti@gmail.com Abstrak

Lebih terperinci

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN

Himpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada

Lebih terperinci

BAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +

BAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi + 5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,

Lebih terperinci

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat

Lebih terperinci

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup

Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan

Lebih terperinci

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);

II. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif); II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai landasan teori penelitian ini yaitu teori grup dan teori graf. Pada bagian pertama akan dibahas tentang teori

Lebih terperinci

SUBGRUP C-NORMAL DAN SUBRING H R -MAX

SUBGRUP C-NORMAL DAN SUBRING H R -MAX SUBGRUP C-NORMAL DAN SUBRING H R -MAX Kristi Utomo 1, Nikken Prima Puspita 2, R. Heru Tjahjana 3, Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang kristiu24@gmail.com

Lebih terperinci

KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring

KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi

Lebih terperinci

Volume 9 Nomor 1 Maret 2015

Volume 9 Nomor 1 Maret 2015 Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lebih terperinci

GRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA

GRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA GRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA Siti Rohmawati 1, Dr.Agung Lukito, M.S. 2 1 Matematika, Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Gedung

Lebih terperinci

UNNES Journal of Mathematics

UNNES Journal of Mathematics UJM 6 (1) 2017 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm STRUKTUR DAN SIFAT-SIFAT K-ALJABAR Deni Nugroho, Rahayu Budhiati Veronica, dan Mashuri Jurusan Matematika, FMIPA,

Lebih terperinci

PENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK DALAM PERKULIAHAN STRUKTUR ALJABAR (The Logical Identification Approach on the Subject of Abstract Algebra)

PENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK DALAM PERKULIAHAN STRUKTUR ALJABAR (The Logical Identification Approach on the Subject of Abstract Algebra) PENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK DALAM PERKULIAHAN STRUKTUR ALJABAR (The Logical Identification Approach on the Subject of Abstract Algebra) Antonius Cahya Prihandoko 1 Abstract: The logical identification

Lebih terperinci

A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif

A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Puguh Wahyu Prasetyo 2, Vika Yugi Kurniawan 3, Sri Wahyuni 4 1 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 2 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 3

Lebih terperinci

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa

Lebih terperinci

Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal

Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit

Lebih terperinci

JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL Z 2. Ari Wardayani

JMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL Z 2. Ari Wardayani JMP : Volume 4 Nomor, Desember 01, hal. 79-88 MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL Z PADA MODUL R ATAS GAUSSIAN INTEGERS Ari Wardaani Universitas Jenderal Soedirman ariwardaani@ahoo.co.id ABSTRACT.

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,

Lebih terperinci

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

Elvri Teresia br Sembiring adalah Guru Matematika SMA Negeri 1 Berastagi

Elvri Teresia br Sembiring adalah Guru Matematika SMA Negeri 1 Berastagi PENERAPAN SIFAT-SIFAT GRUP PENJUMLAHAN MODULO 12 DAN 24 PADA JAM Elvri Teresia br Sembiring Abstrak Makalah ini membahas mengenai penerapan sifat-sifat grup penjumlahan modulo 12 (Z 12 ) dan modulo 24

Lebih terperinci

SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP

SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP JMP : Volume 6 Nomor, Juni 0, hal. 33 - SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP Fatkhur Rozi, Ari Wardayani, dan Suroto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman email : cahcilacap07@yahoo.com

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat

Lebih terperinci

Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial

Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Vol. 11, No. 1, 63-70, Juli 2014 Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 ABSTRAK Teori bilangan adalah cabang ilmu Matematika yang mempelajari

Lebih terperinci

SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN

SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Struktur Aljabar/PMK 719 2. Jumlah SKS : 4 SKS 3. Jurusan / Program Studi : TMIPA / Tadris Matematika 4. Tujuan

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.

II. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian

Lebih terperinci

ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL. (Skripsi) Oleh ALI ABDUL JABAR

ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL. (Skripsi) Oleh ALI ABDUL JABAR ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL Skripsi Oleh ALI ABDUL JABAR FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017 ABSTRAK ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG

Lebih terperinci

IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring

IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 41 46 (2013) IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring YOHANA YUNET BAKARBESSY 1, HENRY W. M. PATTY

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan

Lebih terperinci

BAB IV IMPLEMENTASI DAN PENGUJIAN

BAB IV IMPLEMENTASI DAN PENGUJIAN BAB IV IMPLEMENTASI DAN PENGUJIAN Pada bab ini akan dilakukan implementasi dan pengujian terhadap aplikasi yang dibangun. Tahapan ini dilakukan setelah analisis dan perancangan selesai dilakukan dan selanjutnya

Lebih terperinci

PERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT

PERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT PERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT SKRIPSI Untuk memenuhi sebagai persyaratan Mencapai derajat Sarjana S-1 Program Studi Matematika Diajukan Oleh : Moch. Widiono 09610030

Lebih terperinci

Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar

Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA

Lebih terperinci

BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF

RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal. 63 70. RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Eka Wulan Ramadhani, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani INTISARI Rank dari matriks

Lebih terperinci

SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN

SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Struktur Aljabar/PMK 719 2. Jumlah SKS : 3 SKS 3. Jurusan / Program Studi : PMIPA / Pendidikan Matematika 4.

Lebih terperinci

RING ABELIAN DAN MODUL ABELIAN. Oleh: Andri Novianto (1) Elah Nurlaelah (2) Ririn Sispiyati (2) ABSTRAK

RING ABELIAN DAN MODUL ABELIAN. Oleh: Andri Novianto (1) Elah Nurlaelah (2) Ririn Sispiyati (2) ABSTRAK RING ABELIAN DAN MODUL ABELIAN Oleh: Andri Novianto (1) Elah Nurlaelah (2) Ririn Sispiyati (2) ABSTRAK Dalam tulisan ini akan diperkenalkan modul abelian sebagai perluasan dari ring abelian. Misalkan suatu

Lebih terperinci

Diktat Kuliah. Oleh:

Diktat Kuliah. Oleh: Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional

Lebih terperinci

SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II

SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.

Lebih terperinci

Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi

Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi Subjudul (jika diperlukan) [TNR14, spasi 1] Suroto, Ari Wardayani Jurusan Matematika

Lebih terperinci

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.

BAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN BULAT

SISTEM BILANGAN BULAT SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat

Lebih terperinci

Isomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil

Isomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil Vol. 1, No. 1, 1-8, Juli 015 Isomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil Amir Kamal Amir 1 Abstrak Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan identitas 1, adalah suatu

Lebih terperinci

PENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK UNTUK MENGATASI KESULITAN MAHASISWA DALAM MEMAHAMI DEFINISI DAN TEOREMA PADA STRUKTUR ALJABAR LANJUT 1

PENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK UNTUK MENGATASI KESULITAN MAHASISWA DALAM MEMAHAMI DEFINISI DAN TEOREMA PADA STRUKTUR ALJABAR LANJUT 1 PENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK UNTUK MENGATASI KESULITAN MAHASISWA DALAM MEMAHAMI DEFINISI DAN TEOREMA PADA STRUKTUR ALJABAR LANJUT 1 Antonius Cahya Prihandoko 2 Abstract Many students who take the Advanced

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan dari skripsi

Lebih terperinci

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =

BAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b = BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya

STRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks

Lebih terperinci

Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif

Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia

Lebih terperinci

SOAL. Pada himpunan bilangan real, selidiki apakah merupakan grup terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut: PEMBAHASAN

SOAL. Pada himpunan bilangan real, selidiki apakah merupakan grup terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut: PEMBAHASAN Halo! Kali ini aku mau membahas soal ujian tengah semester (UTS) mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar I di Prodi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2014/2015. Dosen pengampunya adalah Bu Sri Wahyuni.

Lebih terperinci

BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut

BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.

Lebih terperinci

TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP

TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP KELOMPOK 8 1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093) 2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094) 3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123) 4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan

Lebih terperinci

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 SEMIGRUP KANSELATIF BERDASARKAN KONJUGAT Muhammad Ilham Fauzi (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Lebih terperinci

IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL

IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Vol 11, No 1, 71-76, Juli 2014 IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty Abstrak Teori gelanggang merupakan salah satu bagian di matematika

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

PENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

PENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas

BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian

Lebih terperinci

Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3

Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Lebih terperinci