I. PENDAHULUAN. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis
|
|
- Widyawati Wibowo
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 1 I. PENDAHULUAN 1.2 Latar Belakang dan Masalah Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun Aljabar yang dibicarakan sebelum abad kesembilan belas disebut aljabar klasikal, sedangkan aljabar sesudah abad kesembilan belas (hingga sekarang) disebut aljabar modern atau aljabar abstrak (struktur aljabar). Aljabar klasik mempunyai karakteristik bahwa setiap simbol yang dimaksud selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu. Misalnya bilangan bulat, bilangan real, atau bilangan kompleks. Tujuan pokok dari aljabar klasik adalah menggunakan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan suatu permasalahan polinom dan untuk memecahkan suatu persoalan tentang beberapa problema ilmiah, teknik, dan ilmu pengetahuan sosial. (Wahyudin, 1989) Rubik s Cube merupakan sebuah alat permainan yang berbentuk kubus besar yang tersusun dari 27 kubus kecil dengan masing-masing sisinya memiliki warna yang berbeda yaitu merah, kuning, hijau, putih, biru dan oranye. Cara memainkan alat
2 2 ini adalah dengan cara kita diharuskan menyusun sedemikian rupa sehingga setiap sisi dari kubus besar terdiri dari kubus kecil dengan warna sisi yang sama. Rubik s Cube ditemukan oleh pemahat dan arsitek dari Hongaria bernama Profesor Erno Rubik, dan dalam perkembangannya Rubik s Cube terus mengalami perubahan dan penyempurnaan. Douglas Hofstadter adalah orang yang pertama kali mengenalkan Rubik s Cube dalam aljabar abstrak pada bulan Maret tahun Kemudian penjabaran tentang Rubik s Cube mulai banyak ditemui dalam beberapa buku, seperti Inside Rubik s Cube and Beyond karangan Christoph Bandelow. (Darmawan, 2010) Pada penelitian ini akan dibahas tentang konstruksi Rubik s Cube ke dalam bentuk grup. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membuktikan bahwa himpunan sebarang gerakan M pada Rubik s Cube dapat dikonstruksikan ke dalam bentuk grup. 1.3 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Memahami sifat-sifat grup dan aksi grup. 2. Mengenalkan Rubik s Cube dan hubungannya dalam dunia Aljabar Abstrak. 3. Memberikan motivasi bagi pembaca dan peneliti untuk mengkaji lebih dalam permasalahan yang berhubungan dengan struktur aljabar.
3 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup dan subgrup yang akan digunakan dalam hasil dan pembahasan. 2.1 Grup Sebelum definisi grup disajikan, di bawah ini diberikan definisi operasi biner. Definisi Operasi Biner Operasi biner pada suatu himpunan S adalah suatu aturan yang memasangkan setiap pasangan terurut (a,b) dengan a,b S. (Fraleigh, 1975) Dari definisi di atas dapat diperoleh hal-hal berikut: 1. Suatu operasi biner pada S harus terdefinisikan untuk setiap pasangan terurut (a,b) dengan a,b S. 2. Suatu operaasi biner pada S harus memasangkan setiap pasangan terurut (a,b), a,b S dengan elemen yang juga berada di S, artinya S tertutup terhadap operasi biner. 3. Suatu operasi biner harus terdefinisi dengan tunggal (well-defined).
4 4 Contoh-contoh: 1. Operasi penjumlahan biasa (+) pada himpunan bilangan real adalah operasi biner. 2. Misalkan R* =. Penjumlahan biasa (+) bukan operasi biner pada R*, sebab 2 + (-2) = 0 bukan elemen R*. Setelah definisi operasi biner diberikan, selanjutnya diberikan definisi sifat-sifat operasi biner sebagai berikut: Definisi Operasi Biner Komutatif Operasi biner pada S dikatakan komutatif jika a b = b a untuk semua a,b S. (Fraleigh, 1975) Definisi Operasi Biner Asosiatif Operasi biner pada S dikatakan asosiatif jika dan hanya jika ( a b) c = a (b c). untuk semua a, b, c S. (Fraleigh, 1975)
5 5 Setelah definisi dan sifat-sifat operasi biner diberikan, berikut ini disajikan definisi grup beserta dengan sifat-sifatnya. Definisi Grup Suatu grup G, adalah himpunan G yang dilengkapi dengan operasi biner pada G yang memenuhi aksioma berikut: 1. Asosiatif, yaitu a, b, c G berlaku: ( a b) c = a (b c). 2. Terdapat elemen identitas e untuk operasi pada G yaitu e G sedemikian sehingga berlaku e a = a e = a, a G. 3. Untuk setiap a G mempunyai invers a, yaitu terdapat a G sedemikian sehingga a a = a a = e. (Herstein, 1975) Definisi Grup Komutatif (Abelian) Grup G, merupakan grup komutatif (abelian) jika, a b = b a, a, b G. (Dumit & Forte, 2004)
6 6 Definisi Misalkan himpunan G = { g 1., g 2,, gn} merupakan grup terhingga dengan g 1 = 1, diperoleh tabel grup dengan operasi perkalian terhadap himpunan G merupakan suatu matriks M nxn dengan i dan j adalah indeks pada elemen grup g i g j. (Dumit & Forte, 2004) Teorema Jika G, grup, maka berlaku : 1. ( a G) (a -1 ) -1 = a 2. (a b) -1 = b -1 a -1 (Herstein, 1975). Teorema Jika G, adalah sebuah grup, maka berlaku : (i) (ii) c G dan c c = c c = e. a, b, c G berlaku a b = a c b= c dan b a= c a b= c (kanselasi kiri dan kanan). (iii) (iv) ( a G) (a -1 ) -1 = a. a, b G, maka persamaan a x = b dan y a = b memiliki (Hungerford, 1974) penyelesaian yang unik pada G, yaitu x = a -1 b dan y = b a -1.
7 7 Bukti : Jika e adalah elemen identitas sedemikian sehingga e = e e = e. Diperoleh, (i) cc = c c -1 (c c) = c -1 c (c -1 c) c = c -1 c e c = e c = e Dengan cara yang sama, juga diperoleh pembuktian terhadap aksioma (ii), (iii) dan (iv). Definisi Subgrup Diberikan grup G, dan himpunan S G S G Gambar 1. S subgrup G (S G) Himpunan S disebut subgrup jika untuk operasi biner yang sama pada G yaitu, S juga merupakan grup. Jadi S subgrup dalam G,, jika: 1. Tertutup, ( s 1, s 2 S) (s 1 s 2 ) S 2. Asosiatif, ( s 1, s 2, s 3 S) (s 1 s 2 ) s 3 = s 1 (s 1 s 2 ) 3. Terdapat elemen netral, ( e S) ( s S) sehingga e s = s e = s 4. Mempunyai elemen invers, ( s S) ( s -1 S) sehingga s s -1 = s -1 s= e. (Fraleigh, 1975).
8 8 Proposition Suatu himpunan bagian H dari grup G merupakan subgrup jika dan hanya jika, (1) H 0, (2) Untuk semua x, y H, x y -1 H. (Lang, 2002) 2.2 Aksi Grup Definisi Aksi Grup Sebuah aksi grup (kanan) dari grup (G, ) pada himpunan tak kosong A merupakan sebuah pemetaan A x G A (ini berarti, bila a A dan g G, maka elemen lain dari A dapat diperoleh dari a g) dan memenuhi dua sifat yaitu: 1. (a g 1 ) g 2 = a (g 1 g 2 ) untuk setiap g 1,g 2 G, dan a A. 2. a e = a, dengan a A dan e adalah elemen identitas dari G. Berdasarkan pada syarat pertama, a.g 1 A sehingga (a.g 1 ).g 2 masih merupakan anggota A. Di lain pihak, g 1. g 2 G sehingga a. (g 1. g 2 ) juga merupakan anggota A. (Herstein, 1975)
9 9 Contoh Grup (Z, +) beraksi terhadap himpunan bilangan real R dengan a.g =g+a, untuk setiap g Z dan a R. Akan ditunjukkan aksi grup (Z, +) terhadap himpunan R bernilai valid jika memenuhi dua sifat yaitu: 1. (a.g1).g 2 = a.(g1. g 2 ), g1, g 2 Z dan a R. 2. a. 0 = a, dimana 0 adalah elemen identitas dari Z. Bukti : 1. Diberikan sebarang g1, g 2 Z dan a R. (a.g1).g 2 = (a.g1)+ g 2 = (a+g1)+ g 2 = a+ (g1+ g 2 ) = a. (g1+ g 2 ) = a.(g1. g 2 ), g Z dan a R. Terbukti bahwa (a.g1).g 2 = a. (g1.g 2 ), a R dan g1, g 2 Z. 2. Untuk sebarang a R dan 0 Z, berlaku a.0 = 0 + a = a. Jadi terbukti bahwa aksi grup (Z, +) terhadap himpunan R bernilai valid.
10 10 III. METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilakukan di semester ganjil tahun ajaran 2009/2010 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (MIPA) Universitas Lampung. 3.2 Metode Penelitian Adapun langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1. Mengumpulkan bahan-bahan berupa buku-buku dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini. 2. Mempelajari teori grup, subgrup dan aksi grup. 3. Mengkonstruksikan himpunan sebarang gerakan M pada Rubik s Cube ke dalam bentuk grup dengan terlebih dahulu mendefinisikan operasi binernya.
11 11 IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dibahas tentang bagian-bagian dalam Rubik s Cube beserta notasinya, konstruksi Rubik s Cube ke dalam bentuk grup dan aksi grup pada Rubik s Cube Notasi Balok Pada Rubik s Cube Rubik s Cube adalah sebuah permainan yang tersusun dari 27 kubus kecil, yang mana biasa disebut kubus. Rubik s Cube memiliki tiga elemen atau bagian utama, yaitu center (kubus pusat), edge (kubus runcing), dan corner piece (kubus sudut). Kubus-kubus yang berada dipojok disebut kubus sudut. Setiap kubus sudut memiliki 3 bagian dan terdapat 8 kubus sudut. Kubus dengan 2 bagian disebut kubus runcing dan terdapat 12 kubus runcing. Terakhir, kubus dengan satu bagian disebut kubus pusat dan terdapat 6 kubus pusat. Kubus Sudut Kubus Runcing Kubus Pusat Gambar 2. Bagian Rubik s Cube
12 12 Notasi balok dalam Rubik s Cube dapat diartikan sebagai berbagai gerakan atau putaran yang harus dilakukan untuk menyelesaikan Rubik s Cube. Kumpulan dari notasi-notasi balok dapat menjadi algoritma. Dalam metode penyelesaian Rubik s Cube secara umum, terdapat empat jenis notasi gerakan yaitu notasi tunggal, notasi ganda, notasi iris dan notasi rotasi. Berikut ini akan dijelaskan notasi-notasi tersebut. 1. Notasi Tunggal F (Front) F'(Front inverse) B (Back) B'(Back inverse) R (Right) R'(Right inverse) L (Left ) L (Left inverse) U(Up) U (Up inverse) D (Down) D'(Down inverse) = sisi depan kubus diputar searah jarum jam. = sisi depan kubus diputar berlawanan searah jarum jam. = sisi belakang kubus diputar searah jarum jam. = sisi belakang kubus diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi kanan kubus diputar searah jarum jam. = sisi kanan kubus diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi kiri kubus diputar searah jarum jam. = sisi kiri kubus diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi atas kubus diputar searah jarum jam. = sisi atas kubus diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi bawah kubus diputar searah jarum jam. = sisi bawah kubus diputar berlawanan arah jarum jam. 2. Notasi Ganda f = sisi depan dan tengah kubus diputar searah jarum jam. f = sisi depan dan tengah kubus diputar berlawanan arah jarum jam. b = sisi belakang dan tengah diputar searah jarum jam.
13 13 b' r r' = sisi belakang dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi kanan dan tengah diputar searah jarum jam. = sisi kanan dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. 1 = sisi kiri dan tengah diputar searah jarum jam. l' u u' d d' = sisi kiri dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi atas dan tengah diputar searah jarum jam. = sisi atas dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. = sisi bawah dan tengah diputar searah jarum jam. = sisi bawah dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. 3. Notasi Iris M (Middle) = sisi tengah vertikal diputar searah jarum jam. M (Middle inverse) = sisi tengah vertikal diputar berlawanan arah jarum jam. E (Equator) = sisi tengah horizontal diputar searah jarum jam. E (Equator inverse) = sisi tengah horizontal diputar berlawanan arah jarum jam. S (Slice) = sisi tengah iris diputar searah jarum jam. S (Slice inverse) = sisi tengah iris diputar berlawanan arah jarum jam. 4. Notasi Rotasi x (x axis) = Rubik s Cube diputar ke atas dengan berpatokan pada sumbu x. x'(x axis inverse) = Rubik s Cube diputar ke bawah dengan berpatokan pada sumbu x y (y axis) = Rubik s Cube diputar ke kiri dengan berpatokan pada sumbu y.
14 14 y (y axis inverse) = Rubik s Cube diputar ke kanan dengan berpatokan pada sumbu y. z (z axis) = Rubik s Cube diputar searah jarum jam dengan berpatokan pada sumbu z. z (z axis inverse) = Rubik s Cube diputar berlawanan arah jarum jam dengan berpatokan pada sumbu z. Berikut ini diberikan contoh pergerakan Rubik s Cube dengan menggunakan notasi tunggal : F U R U Maka gerakan yang dimaksud adalah sisi depan kubus diputar searah jarum jam - sisi atas kubus diputar searah jarum jam - sisi kanan kubus diputar searah jarum jam - sisi atas kubus diputar berlawanan arah jarum jam. Berikut ini adalah contoh posisi kubus dari hasil sebarang gerakan M pada Rubik s Cube Gambar 3. Contoh Posisi Rubik s Cube.
15 Konstruksi Rubik s Cube Ke dalam Bentuk Grup. Semua gerakan yang mungkin dilakukan terhadap Rubik s Cube dapat dibuat ke dalam suatu himpunan G. Contoh : Dilakukan suatu gerakan F-U-R-f terhadap Rubik s Cube, maka gerakan yang dimaksud adalah sisi depan Rubik s Cube diputar searah jarum jam diikuti dengan memutar sisi atas searah jarum jam lalu sisi kanan diputar searah jarum jam kemudian sisi depan dan tengah diputar berlawanan arah jarum jam. Dua gerakan akan dianggap sama jika gerakan tersebut menghasilkan konfigurasi yang sama. Contoh : Perputaran 180 searah jarum jam sama dengan perputaran 180 berlawanan arah jarum jam. Contoh : Misalkan G adalah himpunan semua gerakan yang dilakukan terhadap Rubik s Cube. Misalkan M 1, M 2 G, operasi biner pada himpunan G dapat didefinisikan sebagai, jika M 1 dan M 2 adalah dua gerakan, maka M 1 M 2 merupakan gerakan yang lain dimana dilakukan gerakan M 1 terlebih dahulu lalu dilakukan gerakan M 2.
16 16 Setelah menghimpun semua gerakan yang mungkin dilakukan pada Rubik s Cube ke dalam suatu himpunan G dan mendefinisikan operasi biner pada G, selanjutnya dibuktikan (G, ) merupakan grup. untuk membuktikan (G, ) merupakan grup, harus ditunjukkan memenuhi 4 aksioma berikut: (i). Tertutup ( M 1, M 2 G) M 1 * M 2 G. Bukti: Misalkan dilakukan gerakan M 1 dan M 2 pada Rubik s cube, dengan M 1 = F-U-F dan M 2 = f-u. Karena M 1 M 2 adalah gerakan dimana dilakukan gerakan M 1 terlebih dahulu lalu dilakukan gerakan M 2, maka dapat dituliskan, M 1 M 2 = F-U-F-f-U Dengan kata lain M 1 M 2 juga merupakan gerakan pada Rubik s Cube, sehingga M 1 M 2 juga merupakan elemen G. Jadi terbukti bahwa operasi tertutup. (ii). Asosiatif. ( M 1, M 2, M 3 G ) (M 1 M 2 ) M 3 = M 1 (M 2 M 3 ). Bukti : Misalkan M 1, M 2 dan M 3 masing-masing adalah suatu gerakan yang dilakukan terhadap Rubik s Cube, dengan M 1 M 2 = B M = u E M 3 = F R x.
17 17 Karena operasi pada G tertutup, maka M 1 M 2 juga merupakan gerakan pada Rubik s Cube, yaitu M 1 M 2 = B M u E. Selanjutnya, (M 1 M 2 ) M 3 juga merupakan gerakan pada Rubik s Cube, yaitu (M 1 M 2 ) M 3 = B M u E F R X. Di sisi lain, M 2 M 3 juga merupakan gerakan pada Rubik s Cube, yaitu M 2 M 3 = u E F R X. Kemudian M 1 (M 2 M 3 ) juga merupakan gerakan pada Rubik s Cube, yaitu M 1 (M 2 M 3 ) = B M u E F R X. Karena (M 1 M 2 ) M 3 dan M 1 (M 2 M 3 ) menghasilkan konfigurasi gerakan yang sama, maka: (M 1 M 2 ) M 3 = M 1 (M 2 M 3 ), M 1, M 2, M 3 G (iii) ( e G ) ( M G ) sehingga e M = M e = M. Bukti: Misalkan e merupakan gerakan kosong (tidak bergerak) yang dilakukan terhadap Rubik s Cube, maka M e berarti bahwa dilakukan gerakan M terlebih dahulu lalu tidak melakukan gerakan apapun. Dan e M berarti bahwa tidak melakukan gerakan apapun terhadap Rubik s Cube terlebih dahulu lalu melakukan gerakan M. Dapat dituliskan M e = e M = M, M G. Sehingga terbukti bahwa terdapat elemen identitas e pada G.
18 18 (iv) ( M G ) ( M G) sehingga M M = M M = e. Bukti: Misalkan M merupakan suatu gerakan yang dilakukan pada Rubik s Cube dan M merupakan kebalikan atau invers dari gerakan M. Sehingga M M adalah dilakukan gerakan M kemudian dikembalikan kembali gerakan tersebut, dengan kata lain sama halnya dengan tidak melakukan gerakan. Gerakan M M, adalah dilakukan terlebih dahulu gerakan kebalikan dari M lalu dilakukan gerakan M tersebut. Hasilnya adalah sama dengan tidak melakukan gerakan karena posisi Rubik s Cube tidak berubah. Karena aksioma (i), (ii), (iii) dan (iv) terpenuhi, maka terbukti bahwa (G, ) merupakan grup. 4.3 Aksi Grup Pada Rubik's Cube Misalkan K merupakan himpunan sebarang konfigurasi dari Rubik s cube, dimana konfigurasi pada Rubik s cube diartikan sebagai susunan kubus yang terjadi dalam Rubik s cube. Jika Rubik s Cube berada dalam konfigurasi C K, kemudian dilakukan gerakan M G, maka Rubik s Cube akan berada pada sebuah konfigurasi baru. Sehingga konfigurasi ini dinyatakan sebagai C M K. Dapat dituliskan, K x G K
19 19 Misalkan M1, M2 G, aksi grup (G, ) pada himpunan K bernilai valid jika memenuhi dua sifat yaitu: 1. (C M1) M2 = C (M 1 M 2 ), C K. 2. C e = C, dengan C K dan e adalah elemen identitas dari G. Bukti: 1. Akan dibuktikan bahwa (C M1) M2 =. Misalkan Rubrik s Cube bermula pada konfigurasi C. Jika dilakukan gerakan M 1, maka konfigurasinya menjadi C M 1. Kemudian dilakukan gerakan M 2, maka konfigurasinya berubah menjadi (C M 1 ) M 2. Karena M 1 M 2 G, maka (C M 1 ) M 2 menghasilkan konfigurasi yang sama pada C (M 1 M 2 ). Dalam Rubrik s Cube, dua gerakan dianggap sama jika gerakan tersebut menghasilkan konfigurasi yang sama. Dengan kata lain, terbukti bahwa (C M 1 ) M 2 = C (M 1 M 2 ) Untuk setiap konfigurasi C K dan M 1, M 2 G. 2. Akan dibuktikan bahwa C e = C Jika e adalah elemen identitas dari G, dimana e merupakan gerakan kosong (tidak menggerakkan apa-apa) pada Rubrik s Cube, maka C e = C karena konfigurasi pada Rubik s Cube tidak berubah sama sekali. Jadi terbukti bahwa aksi grup pada Rubik s Cube bernilai valid.
20 20 Contoh G beraksi terhadap himpunan K = { C 1,C 2 } dari Rubik s Cube yang memiliki kubus sudut yang berbeda. Kemudian jika C 1 dan C 2 adalah konfigurasi dari Rubik s Cube dengan kubus sudut yang berbeda, maka gerakan M G menyebabkan kubus sudut tersebut menjadi dua kubus sudut berbeda C dan C 2 dapat dituliskan, (C 1 C 2 ) M = (C 1 1 C 1 2 ), M G. Dengan C e = c, e merupakan elemen identitas dari c K. Contoh G adalah suatu grup yang beroperasi pada Rubik s Cube, dimana G merupakan semua gerakan yang dilakukan pada Rubik s cube dan G beraksi pada himpunan G (beraksi pada dirinya sendiri) dengan a g = g -1 a g, untuk setiap g G dan a G. Akan dibuktikan bahwa G beraksi pada G dengan memenuhi dua syarat yaitu: 1. (a g1) g 2 = a (g1 g 2 ), g1, g 2 G dan a G. 2. g e = g,dengan e adalah elemen identitas dari G dan g G. Bukti : 1. Akan dibuktikan bahwa (a g1) g 2 = a (g1 g 2 ), g1, g 2 G dan a G. (a g1) g 2 = (g1-1 a g1) g 2 = g 2-1 ( g1-1 a g1) g 2 = (g 2-1 g1-1 ) a ( g1 g 2 )
21 21 = (g1 g 2 ) -1 a ( g1 g 2 ) = a (g1 g 2 ), g G dan a G. 2. Akan dibuktikan bahwa g e = g, g G. G adalah suatu operasi terhadap Rubik s Cube, dimana elemen-elemennya merupakan semua gerakan yang dilakukan terhadap Rubik s Cube. Dan g merupakan elemen dari G. Jika e adalah elemen identitas dari g, dimana e dianggap sebagai gerakan kosong atau tidak menggerakkan Rubik s Cube sama sekali, maka g.e = g karena konfigurasi Rubik s Cube tidak berubah. Jadi terbukti bahwa grup G beraksi terhadap dirinya sendiri dengan a. g = g -1. a. g, untuk setiap g G dan a G.
22 22 V. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Pergerakan pada setiap kubus dalam Rubik s Cube merupakan operasi biner terhadap himpunan sebarang gerakan G. Himpunan G merupakan grup karena bersifat tertutup terhadap operasi, bersifat asosiatif, memiliki elemen identitas dan memiliki invers untuk setiap gerakan M dalam himpunan G. Dengan menotasikan Rubik s Cube ke dalam bentuk notasi tunggal, notasi ganda, notasi iris dan notasi rotasi dapat mempermudah dalam mengkonstruksikan Rubik s Cube ke dalam bentuk grup. Untuk setiap gerakan M1 dan M2 elemen G, aksi grup ( G, ) pada himpunan sebarang konfigurasi K dalam Rubik s Cube bernilai valid karena memenuhi dua sifat aksi grup. 5.2 Saran Penelitian mengenai konstruksi Rubik s Cube ke dalam bentuk grup ini masih dapat diteruskan ke dalam bentuk struktur aljabar lainnya, misalnya dengan mengkonstruksikan ke dalam bentuk ring dan homomorfisme, atau ke dalam bentuk Cyclic Group.
23 23 DAFTAR PUSTAKA Darmawan, Ardi Jago Main Rubik Dari Nol. Wahyu Media Plus Multimedia, Jakarta. Dummit, DS. Forte, RM Abstract Algebra, Third Edition. John Wiley & Sons, Inc. New York. Fraleigh, J.B A First Course in Abstract Algebra, Second Edition. Addison- Wesley Publishing Company, Inc., California. Herstein, I.N Topics in Algebra. John Wiley & Sons, Inc. New York. Hungerford, T.W Algebra. Springer-Verlag New York, Inc. New York. Lang, Serge Graduate Texts in Mathematics, Revised Third Edition. Springer-Verlag New York, Inc. New York. Wahyudin Aljabar Modern. Tarsito, Bandung.
G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciANALISIS PENYELESAIAN RUBIK 2X2 MENGGUNAKAN GRUP PERMUTASI
βeta p-issn: 2085-5893 e-issn: 2541-0458 Vol. 4 No. 2 (Nopember) 2011, Hal. 151-161 βeta2011 ANALISIS PENYELESAIAN RUBIK 2X2 MENGGUNAKAN GRUP PERMUTASI Abdurahim 1, Mamika Ujianita Romdhini 2, I Gede Adhitya
Lebih terperinciORDER UNSUR DARI GRUP S 4
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 142 147 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 FEBYOLA, YANITA, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinci2 G R U P. 1 Struktur Aljabar Grup Aswad 2013 Blog: aswhat.wordpress.com
2 G R U P Struktur aljabar adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan satu atau lebih operasi biner. Jika himpunan S dilengkapi dengan satu operasi biner * maka struktur aljabar tersebut
Lebih terperinciRUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh
Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang
Lebih terperinciKONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA
KONSTRUKSI HOMOMORFISMA PADA GRUP BERHINGGA I Ketut Suastika Pend. Matematika Univ. Kanjuruhan Malang Suastika_cipi@yahoo.co.id Abstrak Pada tulisan ini, penulis mencoba mengkonstruksi homomorfisma grup
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciTEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
TEORI GRUP SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom
BAB 9 RING POLINOM Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciGELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu
II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciTeorema-Teorema Utama Isomorphisma pada Near-Ring
urnal Gradien Vol 11 o 2 uli 2015 : 1112-1116 Teorema-Teorema Utama somorphisma pada ear-ring Zulfia Memi Mayasari, Yulian Fauzi, Ulfasari Rafflesia urusan Matematika, Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciSYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH. Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstact. Keywords : extension fields, elemen algebra
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciGRUP DAN HOMOMORFISMA GRUP PADA RUBIK REVENGE DWI TANTY KURNIANINGTYAS
GRUP DAN HOMOMORFISMA GRUP PADA RUBIK REVENGE DWI TANTY KURNIANINGTYAS DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012 ABSTRAK DWI TANTY KURNIANINGTYAS.
Lebih terperinciSifat-Sifat Ideal Utama dan Ideal Maksimal dalam Near-Ring
PRISMA (208) PRISMA, Prosiding Seminar Nasional Matematika https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Sifat-Sifat Ideal Utama dan Ideal Maksimal dalam Near-Ring Zulfia Memi Mayasari Fakultas MIPA,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciAKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO
AKAR-AKAR POLINOMIAL SEPARABLE SEBAGAI PEMBENTUK PERLUASAN NORMAL PADA RING MODULO Saropah Mahasiswa Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: haforas@rocketmail.com ABSTRAK Salah satu
Lebih terperinciBuku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA, PS S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematiika, Yogyakarta - 55281 Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester)
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol 4 No 2, 65-70, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 SYARAT PERLU LAPANGAN PEMISAH Bambang Irawanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstact Field is integral domain and is a
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciSifat Lapangan pada Bilangan Kompleks
Jurnal Analisa 3 (1) (2017) 70-75 p-issn: 2549-5135 http://journal.uinsgd.ac.id/index.php/analisa/index e-issn: 2549-5143 Sifat Lapangan pada Bilangan Kompleks Ida Nuraida 1,a) 1 Prodi Pendidikan Matematika
Lebih terperinciRANK DARI GRUP DIHEDRAL TIGA (D 3 ) YANG BERAKSI
RANK DARI GRUP DIHEDRAL TIGA (D 3 ) YANG BERAKSI ATAS X (1) Teuis Siti Nurlaela 1,a), Esih Sukaesih 1) 1 UIN Sunan Gunung Djati, Jl. A.H. Nasution No. 105 Bandung a) email: teuis.siti@gmail.com Abstrak
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan disajikan beberapa teori dasar yang digunakan sebagai landasan teori penelitian ini yaitu teori grup dan teori graf. Pada bagian pertama akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciSUBGRUP C-NORMAL DAN SUBRING H R -MAX
SUBGRUP C-NORMAL DAN SUBRING H R -MAX Kristi Utomo 1, Nikken Prima Puspita 2, R. Heru Tjahjana 3, Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang kristiu24@gmail.com
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciGRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA
GRUP AUTOMORFISME GRAF KIPAS DAN GRAF KIPAS GANDA Siti Rohmawati 1, Dr.Agung Lukito, M.S. 2 1 Matematika, Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Gedung
Lebih terperinciUNNES Journal of Mathematics
UJM 6 (1) 2017 UNNES Journal of Mathematics http://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/ujm STRUKTUR DAN SIFAT-SIFAT K-ALJABAR Deni Nugroho, Rahayu Budhiati Veronica, dan Mashuri Jurusan Matematika, FMIPA,
Lebih terperinciPENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK DALAM PERKULIAHAN STRUKTUR ALJABAR (The Logical Identification Approach on the Subject of Abstract Algebra)
PENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK DALAM PERKULIAHAN STRUKTUR ALJABAR (The Logical Identification Approach on the Subject of Abstract Algebra) Antonius Cahya Prihandoko 1 Abstract: The logical identification
Lebih terperinciA 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif
A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Puguh Wahyu Prasetyo 2, Vika Yugi Kurniawan 3, Sri Wahyuni 4 1 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 2 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 3
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI. Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas)
I PENDAHULUAN Latar Belakang Berawal dari definisi grup periodik yaitu misalkan grup, jika terdapat unsur (nonidentitas) di sehingga., maka disebut grup periodik dan disebut periode dari. Serta fakta bahwa
Lebih terperinciHimpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal
Vol. 9, No.1, 49-56, Juli 2012 Himpunan Ω-Stabil Sebagai Daerah Faktorisasi Tunggal Nur Erawaty 1, Andi Kresna Jaya 1, Nirwana 1 Abstrak Misalkan D adalah daerah integral. Unsur tak nol yang bukan unit
Lebih terperinciJMP : Volume 4 Nomor 2, Desember 2012, hal MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL Z 2. Ari Wardayani
JMP : Volume 4 Nomor, Desember 01, hal. 79-88 MODUL FAKTOR YANG DIBENTUK DARI SUBMODUL Z PADA MODUL R ATAS GAUSSIAN INTEGERS Ari Wardaani Universitas Jenderal Soedirman ariwardaani@ahoo.co.id ABSTRACT.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciElvri Teresia br Sembiring adalah Guru Matematika SMA Negeri 1 Berastagi
PENERAPAN SIFAT-SIFAT GRUP PENJUMLAHAN MODULO 12 DAN 24 PADA JAM Elvri Teresia br Sembiring Abstrak Makalah ini membahas mengenai penerapan sifat-sifat grup penjumlahan modulo 12 (Z 12 ) dan modulo 24
Lebih terperinciSUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP
JMP : Volume 6 Nomor, Juni 0, hal. 33 - SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP Fatkhur Rozi, Ari Wardayani, dan Suroto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman email : cahcilacap07@yahoo.com
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciPembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial
Vol. 11, No. 1, 63-70, Juli 2014 Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 ABSTRAK Teori bilangan adalah cabang ilmu Matematika yang mempelajari
Lebih terperinciSILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN
SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Struktur Aljabar/PMK 719 2. Jumlah SKS : 4 SKS 3. Jurusan / Program Studi : TMIPA / Tadris Matematika 4. Tujuan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL. (Skripsi) Oleh ALI ABDUL JABAR
ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG DAN DARAP LANGSUNG DUA MODUL Skripsi Oleh ALI ABDUL JABAR FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2017 ABSTRAK ISOMORFISMA JUMLAH LANGSUNG
Lebih terperinciIDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring
Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 41 46 (2013) IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring YOHANA YUNET BAKARBESSY 1, HENRY W. M. PATTY
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinciBAB IV IMPLEMENTASI DAN PENGUJIAN
BAB IV IMPLEMENTASI DAN PENGUJIAN Pada bab ini akan dilakukan implementasi dan pengujian terhadap aplikasi yang dibangun. Tahapan ini dilakukan setelah analisis dan perancangan selesai dilakukan dan selanjutnya
Lebih terperinciPERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT
PERAN TEOREMA COHEN DALAM TEOREMA BASIS HILBERT PADA RING DERET PANGKAT SKRIPSI Untuk memenuhi sebagai persyaratan Mencapai derajat Sarjana S-1 Program Studi Matematika Diajukan Oleh : Moch. Widiono 09610030
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciRANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal. 63 70. RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Eka Wulan Ramadhani, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani INTISARI Rank dari matriks
Lebih terperinciSILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN
SILABUS KURIKULUM BERBASIS KOMPETENSI FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 1. Mata Kuliah / Kode : Struktur Aljabar/PMK 719 2. Jumlah SKS : 3 SKS 3. Jurusan / Program Studi : PMIPA / Pendidikan Matematika 4.
Lebih terperinciRING ABELIAN DAN MODUL ABELIAN. Oleh: Andri Novianto (1) Elah Nurlaelah (2) Ririn Sispiyati (2) ABSTRAK
RING ABELIAN DAN MODUL ABELIAN Oleh: Andri Novianto (1) Elah Nurlaelah (2) Ririn Sispiyati (2) ABSTRAK Dalam tulisan ini akan diperkenalkan modul abelian sebagai perluasan dari ring abelian. Misalkan suatu
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciSEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II
ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.
Lebih terperinciSemi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi Subjudul (jika diperlukan) [TNR14, spasi 1] Suroto, Ari Wardayani Jurusan Matematika
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciIsomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil
Vol. 1, No. 1, 1-8, Juli 015 Isomorfisma dari Gelanggang Polinom Miring Kompleks ke Gelanggang Quaternion Riil Amir Kamal Amir 1 Abstrak Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan identitas 1, adalah suatu
Lebih terperinciPENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK UNTUK MENGATASI KESULITAN MAHASISWA DALAM MEMAHAMI DEFINISI DAN TEOREMA PADA STRUKTUR ALJABAR LANJUT 1
PENDEKATAN IDENTIFIKASI LOGIK UNTUK MENGATASI KESULITAN MAHASISWA DALAM MEMAHAMI DEFINISI DAN TEOREMA PADA STRUKTUR ALJABAR LANJUT 1 Antonius Cahya Prihandoko 2 Abstract Many students who take the Advanced
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan dari skripsi
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Kristiana Wijaya
STRUKTUR ALJABAR 1 Kristiana Wijaya i ii Daftar Isi Judul Daftar Isi i iii 1 Himpunan 1 2 Partisi dan Relasi Ekuivalen 3 3 Grup 6 4 Koset Dan Teorema Lagrange, Homomorphisma Grup Dan Grup Faktor 11 Indeks
Lebih terperinciTeorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif
Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia
Lebih terperinciSOAL. Pada himpunan bilangan real, selidiki apakah merupakan grup terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut: PEMBAHASAN
Halo! Kali ini aku mau membahas soal ujian tengah semester (UTS) mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar I di Prodi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2014/2015. Dosen pengampunya adalah Bu Sri Wahyuni.
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciTUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP
TUGAS GEOMETRI TRANSFORMASI GRUP KELOMPOK 8 1. I WAYAN AGUS PUTRAWAN (2008.V.1.0093) 2. I KADEK DWIJAYAPUTRA (2008.V.1.0094) 3. I KETUT DIARTA (2008.V.1.0123) 4. AGUS EKA SURYA KENCANA (2008.V.1.0043)
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 SEMIGRUP KANSELATIF BERDASARKAN KONJUGAT Muhammad Ilham Fauzi (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciIDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL
Vol 11, No 1, 71-76, Juli 2014 IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty Abstrak Teori gelanggang merupakan salah satu bagian di matematika
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciSistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciPembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3
Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinci