Konsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
|
|
- Yulia Agusalim
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar; operasi dasar, dan beberapa definisi matriks khusus. Dengan mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat memahami dengan baik konsep-konsep dasar aljabar matriks. Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: 1. menjelaskan pengertian matriks, vektor dan skalar, serta membedakannya; 2. melakukan operasi-operasi antar matriks, vektor dan skalar; 3. menentukan berbagai macam matriks khusus dan sifat-sifatnya.
2 1.2 Aljabar Linear Terapan M Kegiatan Belajar 1 Pengertian Matriks, Vektor dan Skalar atriks adalah kumpulan bilangan yang diatur dalam suatu empat persegi panjang, menurut baris-baris dan kolom-kolom. Setelah itu dapat didefinisikan bahwa skalar adalah setiap bilangan dalam matriks tersebut, yang disebut pula sebagai komponen atau elemen matriks tersebut. Pada umumnya matriks ditulis dengan huruf besar, seperti A, B, C, X, Y,... Sedangkan elemen matriks ditulis dengan huruf kecil yang sesuai dengan huruf besar untuk penulisan matriks tersebut dengan dua indeks, yaitu indeks pertama menunjukkan baris yang memuat elemen tersebut, sedangkan indeks kedua menunjukkan kolom yang memuat elemen tersebut. Jika A adalah suatu matriks dengan m baris dan n kolom maka dikatakan bahwa matriks A bertipe atau berorde (m n), yang dapat ditulis sebagai a11 a12 a1n a21 a22 a2n A am1 am2 amn atau A = a ij, dengan i = 1, 2,, m j = 1, 2,, n. Artinya, a 11 adalah komponen (yang termuat dalam) baris ke-1 dan kolom ke-1 dari matriks A sehingga a ij adalah komponen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom (A bertipe (m n) dengan m = n). Matriks ini dapat dikatakan bertipe n dan ditulis sebagai An, Bn, X n,... Jika A n = a ij, i = j = 1, 2,., n adalah suatu matriks bujur sangkar maka a 11, a 22,, a nn adalah komponen-komponen diagonal dari A n dan
3 SATS4122/MODUL n aij a11 a22 ann adalah trace dari n i1 trace A n atau tr A n atau tr A. A yang dapat ditulis sebagai Vektor adalah suatu matriks dengan satu baris atau satu kolom. Matriks dengan satu baris disebut vektor baris, sedangkan matriks dengan satu kolom disebut vektor kolom. Suatu vektor biasa ditulis sebagai huruf-huruf kecil, seperti: a, b, c, x,... Dengan demikian suatu matriks A bertipe (m n), yang dapat ditulis sebagai A atau A, dapat dinyatakan sebagai kumpulan vektor baris atau m n kumpulan vektor kolom, ditulis: a1 a A Am n a a a am n Kadang-kadang untuk membedakan antara vektor baris dan vektor kolom, vektor baris ditulis sebagai a1, a2, sedangkan vektor kolom ditulis sebagai a 1, a 2 Contoh 1.1 Suatu perusahaan mobil memproduksikan 3 model, yaitu sedan, hard-top dan convertible (dengan kap yang dapat dibuka). Andaikan perusahaan tersebut ingin membandingkan unit bahan mentah dan unit tenaga yang diperlukan untuk produksi dalam suatu bulan tertentu maka datanya dapat ditulis dalam suatu matriks bertipe (2 3) atau (3 2), yaitu: atau
4 1.4 Aljabar Linear Terapan Pada matriks yang bertipe (2 3), baris 1 menyatakan kebutuhan unit bahan mentah, sedangkan baris 2 menyatakan kebutuhan unit tenaga. Kolom satu menyatakan model sedan, kolom 2 menyatakan model hard-top, sedangkan kolom 3 menyatakan model corvertible. Dengan demikian 23 menunjukkan kebutuhan unit bahan mentah (untuk memproduksi) mobil model sedan untuk bulan tersebut, sedangkan 11 adalah unit tenaga (yang dibutuhkan untuk memproduksi) mobil convertible untuk bulan tersebut. Contoh 1.2 Jika A Maka, A dapat dinyatakan sebagai kumpulan vektor baris a1 a1 A a a 2 2 a 3 a 3 dengan a1 a a2 a a3 a Jika A dinyatakan dalam kumpulan vektor kolom maka A a a a a a a a a dengan a1 a1 4, a2 a2 0, 2 5
5 SATS4122/MODUL a 3 a 3 2, a4 a Untuk suatu kepentingan tertentu, suatu matriks dapat juga dinyatakan sebagai kumpulan sub-matriks, seperti: A A A A A atau A A A A A A A Contoh 1.3 Menggunakan matriks A pada contoh 1.2, jika matriks A ingin dinyatakan sebagai: A11 A12 A A21 A22 dengan A 11 bertipe (2 3) maka A 12 harus bertipe (2 1), A 21 harus bertipe (1 3), dan A 22 harus bertipe (1 1) sehingga A A ; A ; A Contoh 1.4 Jika terhadap sampel random yang terdiri dari 10 orang mahasiswa diukur tinggi badan, berat badan dan tekanan darah maka hasil pengukurannya dapat disajikan dalam suatu matriks bertipe (10 3), yaitu:
6 1.6 Aljabar Linear Terapan X X X X dengan X1 (adalah kolom yang menunjukkan hasil pengukuran) tinggi badan, X 2 berat badan, sedangkan X 3 tekanan darah. Masing-masing baris menunjukkan hasil pengukuran tinggi badan, berat badan, dan tekanan darah seorang mahasiswa yang terpilih sebagai anggota sampel random tersebut. Secara umum dapat dinyatakan bahwa apabila terhadap suatu sampel random (yang diambil dari suatu populasi yang menjadi perhatian) berukuran n yang diamati adalah lebih dari satu masalah (= variat = peubah), misalkan k (> 2) maka hasil pengamatan/perhitungan/pengukuran dapat disajikan dalam suatu matriks data X bertipe (n k) dengan n adalah ukuran sampel, sedangkan k adalah banyaknya variat yang diamati. LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Jika A a ij tentukan: a) a 24, a 44 dan a 51 maka b) a 3 dan a 1
7 SATS4122/MODUL c) B ai 1, j 2 untuk i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3 d) A 11 yang bertipe (2 4) ) Jika P tentukan: a) Komponen diagonal matriks P b) tr(p). 3) Untuk matriks bertipe (3 2) dalam contoh 1.1, a) Apa yang ditunjukkan oleh 16? b) Berapakah kebutuhan unit bahan mentah untuk memproduksi mobil? Petunjuk Jawaban Latihan 1) a. a24 2 ; a44 4 dan a51 tidak ada 9 10 b. a.3 dan a c. d. 11 a23 a24 a B a33 a34 a a a a A ) a. Komponen diagonal matriks P: 3, 5, 3 b. tr(p) = = 11 3) a. 16 adalah kebutuhan bahan mentah untuk memproduksi mobil model hard-top. b
8 1.8 Aljabar Linear Terapan RANGKUMAN Telah kita pelajari pengertian-pengertian tentang matriks, vektor dan skalar, berbagi cara penyajian matriks dalam bentuk vektor maupun submatriks, serta kegunaannya untuk penyajian data multivariat. TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Tipe suatu matriks ditentukan oleh banyaknya. A. kolom B. baris C. komponen D. baris dan kolom 2) Jika A a ij, i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2 dengan aij i j dengan A 11 bertipe 2 adalah. A. 4 B. 5 C. 6 D. tidak dapat dihitung 3) Untuk A a ij dalam soal nomor 2, a 22 =. A. 4 B. 5 C. 6 D. tidak ada 4) Untuk A a ij dalam soal nomor 2, a3 =. A. (1 2) B. (2 3) C. (3 4) D. (4 5) maka tr A 11
9 SATS4122/MODUL ) Untuk A a ij dalam soal nomor 2, a 3 =. A B C D. tidak ada 6) Jika matriks A bertipe (4 5) maka pernyataan berikut yang salah adalah. A. A mempunyai 4 Vektor baris B. A mempunyai 5 Vektor kolom C. trace A dapat dihitung D. trace A tidak dapat dihitung 7) Jika A a ij, i, j = 1, 2, 3 dengan ij 2, adalah. A B C D a = i j maka B a ji 8) Untuk A a ij dalam soal nomor 7, trace (A) =. A. 0 B. 1, i, j = 1,
10 1.10 Aljabar Linear Terapan C. 2 D. 3 9) Untuk A a ij A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 dalam soal nomor 7, a31 a13 =. 2 10) Untuk A a ij dalam soal nomor 7 maka ij adalah. A B C D B a, i, j 1,2,3 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang
11 SATS4122/MODUL Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.
12 1.12 Aljabar Linear Terapan B Kegiatan Belajar 2 Operasi Dasar erikut ini akan diuraikan berbagai macam operasi antara matriks dengan matriks, matriks dengan vektor, dan matriks dengan skalar, yang meliputi kesamaan, penjumlahan, maupun pergandaan, serta sifat-sifatnya. A. KESAMAAN DUA MATRIKS Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis sebagai A = B, bhb (bila dan hanya bila) mempunyai tipe sama dan aij bij untuk setiap i, j. Contoh 1.5 p q Jika A 1 0 dan B n 0 maka A = B hanya bila p 12, q 12 dan n = 1 Contoh 1.6 Jika x y 6 C 2x3 2 y dan 5 5x 2 D y x y Supaya C = D, haruslah xy 5, 6 5x 2, 2x3 y, dan 2 y x y. Dari persamaan ke-4 didapat x 2, sedangkan dari persamaan ke-3 didapat y 1 (karena x 2 ). Harga-harga x dan y yang didapat harus memenuhi persamaan ke-1 dan ke-2 agar supaya C = D. Tetapi dari persamaan ke-1 dapat ditunjukkan bahwa untuk x 2 dan y 1, xy 5. Dengan demikian C tidak sama dengan D, ditulis C D.
13 SATS4122/MODUL B. PENJUMLAHAN DUA MATRIKS Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan hanya jika keduanya bertipe sama. Jika matriks C c ij adalah B b ij cij aij bij untuk setiap i, j., ditulis C = A + B maka Contoh Jika A dan B maka A B Contoh Jika A dan 1 2 B maka A dan B tidak dapat dijumlahkan karena tipe keduanya tidak sama, yaitu A bertipe (2 3), sedangkan B bertipe (3 2). C. PENGGANDAAN MATRIKS DENGAN SKALAR (BILANGAN) Hasil ganda suatu matriks A a ij dengan suatu skalar k, ditulis ka atau Ak, adalah: ij ij ij ij ka k a ka a k a k Ak
14 1.14 Aljabar Linear Terapan Jika k 1 maka Contoh 1.9 A adalah negatif dari A Jika A maka A A A A D. SELISIH DUA MATRIKS Selisih antara matriks A a ij dengan matriks B b ij A B adalah jumlah dari A dengan negatif dari B. Dengan demikian, ij ij A B A B a b, ditulis Contoh 1.10 Jika A dan B 3 0 3,
15 SATS4122/MODUL maka A B E. PENGGANDAAN DUA MATRIKS Dua matriks A a ij dan B b ij dapat digandakan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Jika A B(dibaca: A digandakan dengan B) maka A adalah matriks pengganda dan B matriks yang diganda. Dengan demikian, dua matriks dapat digandakan hanya jika banyaknya kolom matriks pengganda sama dengan banyaknya baris matriks yang diganda. Jika matriks C c ik adalah hasil ganda matriks A dengan matriks B, ditulis C AB maka i = 1, 2,, i dan k = 1, 2,, k. Contoh 1.11 c ik ij jk j1 J a b Jika A dan 2 B = 3 1 maka AB = ( ) = (29) = 29 sedangkan 2 BA , untuk setiap i, k, dengan
16 1.16 Aljabar Linear Terapan Contoh 1.12 c Jika 1 2 A 2 1 dan 3 1 B ik ij jk j1 maka A B C c ik a b untuk semua i, k = 1, 2. Dengan demikian, dengan c11 a11 b11 a12 b c12 a11 b12 a12 b c21 a21 b11 a22 b c a b a b sehingga A B C 5 5 Dengan cara yang sama seperti di atas maka B A D d ik dengan d ; d ; d dan d , sehingga B 5 5 A D 5 5
17 SATS4122/MODUL Contoh 1.13 Jika A dan 2 3 B 1 2 maka, B A dapat dihitung, sedangkan AB tidak dapat dihitung (mengapa?). AB tidak dapat dihitung karena banyaknya kolom matriks A (= matriks pengganda) tidak sama dengan banyaknya baris matrik B (= matriks yang diganda) BA Catatan: Dari contoh 1.11 sampai dengan contoh 1.13 diharapkan Anda dapat memperoleh beberapa hal, yaitu cara menghafalkan penggandaan dua matriks tanpa harus menghafalkan rumusnya, dan memperhatikan bahwa penggandaan dua maktriks tidak selalu komutatif. F. BEBERAPA SIFAT OPERASI 1. Jika A, B dan C adalah matriks-matriks bertipe sama maka A B B A (sifat komutatif) A B C A B C A B C (sifat asosiatif) 2. Dengan memperhatikan aturan penjumlahan dan penggandaan dua matriks maka berlaku
18 1.18 Aljabar Linear Terapan A BC ABC A B C (sifat asosiatif) AB C A B A C (sifat distributif) A BC AC B C (sifat distributif) LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Jika A 1 3 1, B dan C hitunglah a) A + B b) A 3B c) AB AB C d) x 0, y 2 3 2, z, P 2 5 1, Q ) Jika a) Apakah x y ; z y ; y x ; z x dan Qz b) Hitunglah y Px dan y Qz dapat dihitung? 3) Untuk matriks data X pada contoh 1.4 dalam Kegiatan Belajar 1, 1 hitunglah vektor mean X 1 X X 1 X 2 X 3, dengan X i = n mean X i, i = 1, 2, 3.
19 SATS4122/MODUL Petunjuk Jawaban Latihan 1) a. b. c AB A 3B AB d. A B. C ) a. xy zy. tidak dapat dihitung yx. 0 zx. tidak dapat dihitung 15 Qz b. ypx 9 yqz 126 3) X 1 X X X X n 169,3 70,6 117,
20 1.20 Aljabar Linear Terapan RANGKUMAN Telah kita pelajari beberapa cara operasi antara matriks dengan matriks, matriks dengan vektor, dan matriks dengan skalar, beserta sifat-sifatnya, yaitu: 1. Jika A a ij, B b ij dan C c ij A B aij bij A B B A A B C AB C A B C maka 2. Jika A a ij dan k = skalar/bilangan, maka ka kaij aijk Ak 3. Jika A a ij c J, jk a b ik ij jk j1 B b dan C c ik, maka C = A.B dengan 4. Dengan memperhatikan aturan penjumlah dan aturan penggandaan A BC ABC A B C A BC AC BC AB C A B AC TES FORMATIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Dua matriks dapat di jumlahkan jika. A. tipenya sama B. banyaknya baris sama C. banyaknya kolom sama D. banyaknya komponen sama
21 SATS4122/MODUL ) Dua matriks dapat digandakan jika. A. tipenya sama B. banyaknya baris matriks pengganda sama dengan banyaknya kolom matrik yang diganda C. banyaknya kolom matriks pengganda sama dengan banyaknya baris matriks yang diganda D. banyaknya komponen sama x 2y ) Supaya matriks A dan B sama maka x y pasangan xy, haruslah. A. (-1,5) B. (1,-5) C. (5,1) D. (1,5) 3 1 x 9 4) Pasangan ( x, y) yang didapat dari 3 2 y 12 adalah. A. (2,3) B. (3,1) C. (1,3) D. (3,2 ) x 5) Harga x yang memenuhi 4 1 x adalah A. B. C. D. 1 x dan x x dan x x dan x x dan x 1 2 x 3 2 a 6) Jika y 1 1 b dengan. dan a 2 3 p b 5 2 q maka x y sama
22 1.22 Aljabar Linear Terapan A. B. C. D. 5 1 p 6 1 q 6 6 p 5 2 q 4 13 p 7 1 q 9 1 p 13 12q 1 2 7) Jika A, 2 1 maka. A. BC = CB B. AD = DA C. AC = CA D. AB = BA 3 1 B, C 1 0 dan 1 1 D ) Jika A dan B maka 1 A B. 2 A B C D ) Jika A A. 3 2 dan 2 0 B maka. AB.
23 SATS4122/MODUL B. C. D ) Jika A dan B memenuhi AD B adalah. A B C D maka matriks D yang Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang
24 1.24 Aljabar Linear Terapan Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.
25 SATS4122/MODUL B Kegiatan Belajar 3 Matriks Khusus erikut ini akan diuraikan tentang beberapa matriks khusus, terutama matriks yang banyak digunakan dalam analisis data statistik. Matriks nol adalah suatu matriks yang semua komponennya adalah bilangan nol. biasanya ditulis dengan notasi 0. Dengan memperhatikan aturan penjumlahan dan aturan penggandaan maka untuk setiap matriks A berlaku: A + 0 = 0 + A = A dan A.0 = 0, serta 0.A = 0 Matriks segitiga atas A a ij adalah matriks bujur sangkar dengan a 0 untuk setiap i > j. ij Contoh A = adalah matriks segi tiga atas Matriks segitiga bawah A a ij adalah matriks bujur sangkar dengan a 0 untuk setiap i < j. ij Contoh B = adalah matriks segitiga bawah
26 1.26 Aljabar Linear Terapan Contoh C adalah matriks segitiga atas, karena a 21 = a 31 = a 32 = 0, tetapi juga merupakan matriks segitiga bawah, karena a 12 = a 13 = a 23 = 0 Matriks yang berbentuk seperti dalam contoh 1.16 tersebut adalah suatu matriks diagonal, yang biasa ditulis sebagai a , 22,, nn A diag a a a 11 Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya sama, yaitu aii k untuk semua i. Matriks identitas atau matriks unit, ditulis dengan notasi I adalah matriks skalar dengan aii k= 1 untuk semua i. a 0 a nn Contoh C diag 3, 4, 7, = adalah suatu matriks diagonal D = diag (4, 4, 4, 4) = 4 diag (1, 1, 1, 1) adalah suatu matriks skalar E = diag (1, 1, 1) = = I 3 adalah matriks identitas tipe atau matriks untuk tipe 3.
27 SATS4122/MODUL Suatu sifat dari matriks identitas adalah untuk setiap matriks bukur sangkar tipe n, berlaku: AI = IA = A Transpose suatu matriks A a ij, ditulis dengan notasi A atau adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara menukar baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Dengan demikian, jika A bertipe m n maka t bertipe n m A A a ji. Beberapa sifat yang berlaku adalah Contoh 1.18 ; A B C C B A A B A B A D A B C B E D E F C F 3 Jika x 4 maka, x Jika A maka A Matriks simetri adalah suatu matriks dengan sifat A = A atau aij aji untuk i, j. Dengan demikian suatu matriks simetri pasti bujur sangkar. Beberapa sifat yang perlu mendapat perhatian adalah: 1. jika A dan B simetri, belum tentu AB simetri; 2. untuk sebarang matriks A berlaku sifat AA atau AA simetri. t A Contoh A adalah matriks simetri, sebab A = A 3 5 6
28 1.28 Aljabar Linear Terapan B bukan matriks simetri, sebab ada sama dengan a 32 = 1 ( a 23 a 32 ) a ij a ji, yaitu a 23 = -2 yang tidak Dalam analisis data multivariat, matriks korelasi dan matriks kovariansi adalah contoh konkret matriks simetri. Matriks idempoten adalah matriks bujur sangkar dengan sifat A. A = A Contoh A adalah suatu matriks idempoten karena A A A Catatan: Untuk menunjukkan bahwa A idempoten harus diperiksa bahwa semua komponen dalam A. A dan A yang sesuai letaknya sama B bahwa bukan matriks idempoten karena dapat ditunjukkan
29 SATS4122/MODUL BB B Untuk menunjukkan bahwa BB B cukup dengan menunjukkan bahwa salah satu komponen BB dan B yang sesuai letaknya tidak sama, mengapa? Kalau kurang jelas, coba tinjau ulang Kegiatan Belajar 2 tentang kesamaan dua matriks. Beberapa sifat matriks idempoten adalah: 1. jika A idempoten maka r A idempoten untuk setiap bilangan bulat r positif; 2. jika A idempoten maka I A idempoten, tetapi A I tidak idempoten; 3. jika A dan B saling komutatif terhadap aturan penggandaan dan idempoten maka AB idempoten. Suatu matriks bujur sangkar yang mempunyai sifat 2 A 0 disebut matriks nilpoten, sedangkan yang mempunyai sifat A 2 = I disebut matriks unipoten. Suatu matriks A dikatakan ortogonal jika berlaku sifat AA = I = AA sebagai Norm dari suatu vektor real x x x x n didefinisikan n 2 nx xx xi i1 Setiap vektor real x yang bukan vektor 0 dapat diubah menjadi vektor satuan dengan cara mengalikan dengan suatu skalar 1. Dengan xx demikian, vektor satuan dari vektor x adalah u xx 1 x yang disebut bentuk ternormal dari x (karena uu 1) Dua vektor x dan y yang tidak nol dikatakan saling ortogonal jika xy yx 0, sedangkan u dan v dikatakan ortonormal jika saling
30 1.30 Aljabar Linear Terapan ortogonal dengan masing-masing adalah vektor satuan uu 1 vv dan uv vu 0 Dengan demikian suatu matriks ortogonal adalah matriks bujur sangkar dengan setiap vektor barisnya maupun vektor kolomnya ortonormal. Contoh 1.21 Jika x saling ortogonal karena 6 3 xy dan y maka x dan y Jika A = maka A adalah ortogonal. Hal ini dapat diperiksa melalui AA = AA = I atau memeriksa bahwa setiap baris atau kolomnya ortonormal. Bentuk kuadrat suatu matriks A adalah xax. Bentuk ini mempunyai peranan yang penting dalam analisis variansi karena pada dasarnya dengan pemilihan matriks A yang cocok, setiap jumlah kuadrat dapat dinyatakan dalam suatu bentuk kuadrat. Contoh 1.22 n x 2 i x xcx dengan i1 1 C In 11 n
31 SATS4122/MODUL x x x1 4x2x1 2x3x1 2x1x Secara umum 2 2 x2 x3x2 x1 x3 x2x3 x x x x x x x x x x 2 i ii i j ij i i j xa x x a x x a i 2 i ii i j ij ji ji x a x x a a Dua matriks bujur sangkar A dan B dikatakan saling komutatif (terhadap aturan penggandaan), jika AB = BA Contoh Jika A 2 1 dan 3 1 B 1 3 maka A dan B saling komutatif karena AB BA Suatu matriks (bujur sangkar) B adalah invers dari matriks (bujur sangkar) A, ditulis B A 1, jika berlaku AB = BA = I Contoh Jika A dan B maka A adalah invers dari B atau B adalah invers dari A karena dapat ditunjukkan bahwa AB = BA = I
32 1.32 Aljabar Linear Terapan Contoh 1.25 Jika A 1 0 dan B maka, A bukan invers dari B atau sebaliknya, karena walaupun BA I2 dapat ditunjukkan bahwa BA I2. Dalam praktek masalah yang timbul bukanlah menunjukkan apakah suatu matriks adalah invers suatu matriks tertentu, tetapi masalah yang lebih menarik perhatian adalah bagaimana mencari invers suatu matriks, jika matriks tersebut mempunyai invers. LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! ) Jika A 1 3 1, Hitunglah: C A B a) b) A 3B c) AB d) BA Tunjukkan: e) apakah A idempoten f) apakah B ortogonal B dan 2 0 C ) Jika X bertipe n k (I n X(XX) -1 X) simetri dan idempoten. dan XX punya invers, tunjukkan bahwa
33 SATS4122/MODUL ) Jika A = , apakah A nilpoten atau unipoten? Petunjuk Jawaban Latihan 1) a. b. c. d C( AB) ( AB) A3B BA e. tunjukkan apakah A. A A. f. tunjukkan apakah AA I AA 2) Gunakan rumus ( A B) A B 1 1 ( A ) ( A) oleh karena nilpotent dan A A maka matriks A bukan matriks I maka matriks A bukan matriks unipoten.
34 1.34 Aljabar Linear Terapan RANGKUMAN Dalam kegiatan belajar ini telah dipelajari berbagai macam bentuk khusus matriks yang akan banyak digunakan dalam analisis data statistik. TES FORMATIF 3 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Jika A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka matriks A. A. selalu punya invers B. belum tentu punya invers C. simetri D. idempoten 2) Jika X adalah suatu matriks bertipe (n p) dengan XX punya invers maka (I X(XX) -1 X). A. simetri idempoten B. tidak simetri idempoten C. simetri tidak idempoten D. tidak simetri tidak idempoten 1 2 3) Jika A = 3 4 dan B = A. AB = BA B. (AB) = A B C. AB = I 2 D. ( AB) BA maka. 4) Matriks A yang memenuhi 2 1 A A = I 2 adalah.
35 SATS4122/MODUL B. C. D ) Jika A dan B adalah matriks-matriks bujur sangkar yang idempoten dan saling komutatif maka AB. A. tidak idempoten B. idempoten C. simetri D. jawaban A, B, C tidak ada yang benar 1 1 6) Jika A 2 1, 3 6 B 4 8, 1 x, dan 2 x B x =. A. 11 B. 55 C. 44 D y 4 maka 7) Jika A, B, x dan y, seperti dalam nomor 6 maka x A y =. A. 25 B. 43 C. 26 D. tidak dapat dihitung 8) Jika A, B, x dan y, seperti dalam soal nomor 6, maka A. B. A. idempoten B. nilpoten C. unipoten D. jawaban A, B, C tidak ada yang benar
36 1.36 Aljabar Linear Terapan 9) Jika X X X maka. A. X X B. X X 2 2 C. X X D. semua jawaban A, B dan C, benar 10) Jika A dan B simetri maka A.B. A. simetri B. simetri hanya jika A dan B saling komutatif C. komutatif D. semua jawaban A, B, dan C tidak ada yang benar Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Modul selanjutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 3, terutama bagian yang belum dikuasai.
37 SATS4122/MODUL Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) D 2) C 3) A 4) D 5) D 6) C 7) A 8) A 9) B 10) A Tes Formatif 2 1) A 2) C 3) C 4) A 5) D 6) C 7) D 8) A 9) B 10) A Tes Formatif 3 1) B 2) A 3) D 4) C 5) B 6) B 7) D 8) D 9) D 10) B
38 1.38 Aljabar Linear Terapan Daftar Pustaka Graybill, F.A Introduction to Matrices With Applications In Statistics. California: Wadsworth Publishing Company, Inc. Belmont. Searle, S.R Matrix Algebra Useful for Statistics. New York: John Wiley & Sons.
MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 28 JULI s.d. 12 AGUSTUS 2003 MATRIKS. Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU JULI s.d. AGUSTUS MATRIKS Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Dra. Sri Haryatmi Kartiko, M.Sc. I PENDAHULUAN lmu pengetahuan dewasa ini menjadi semakin kuantitatif. Data numerik dengan skala besar, hasil pengukuran berupa angka sering dijumpai oleh
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciPengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono
Pengolahan Dasar Matriks Bagus Sartono bagusco@gmail.com Departemen Statistika FMIPA IPB Notasi Dasar Matriks A mxn, m A n, [a ij ] mxn : matriks berukuran m x n (m baris, n kolom) a ij adalah elemen matriks
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Drs. R. J. Pamuntjak, M.Sc. S PENDAHULUAN istem persamaan linear yang muncul hampir dalam semua penerapan aljabar linear, juga sangat diperlukan sebagai landasan dalam pembahasan bagian lain
Lebih terperinci& & # = atau )!"* ( & ( ( (&
MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciBab 7 Sistem Pesamaan Linier. Oleh : Devie Rosa Anamisa
Bab 7 Sistem Pesamaan Linier Oleh : Devie Rosa Anamisa Pendahuluan Bentuk umum dari aljabar linier sebagai berikut: a11x1 + a12a 12X2 +... + a1na 1nXn = b1b a21x1 + a22a 22X2 +... + a2na 2nXn = b2b...............
Lebih terperinciPertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar)
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 2) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciMATRIKS. Slide : Tri Harsono PENS - ITS. 1 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS) - ITS
MATRIKS Slide : Tri Harsono PENS - ITS 1 Sifat Matriks Perkalian dua matriks tidak komutatif Perkalian dua matriks bersifat assosiatif dan distributif tidak komutatif AB BA (AB)C = A(BC) A(B+C) = AB +
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciMATRIKS. Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita
MATRIKS A. Pengertian Matriks. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita Ι ΙΙ ΙΙΙ Dari tabel di atas,
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciMATRIKS. kolom, sehingga dapat dikatakan matriks berordo 3 1 Penamaan suatu matriks biasa menggunakan huruf kapital
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Ordo Suatu Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang. Ukuran panjang dan lebar matriks ditentukan
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciAnalisa Numerik. Matriks dan Komputasi
Analisa Numerik Matriks dan Komputasi M AT R I K S Matriks adalah suatu susunan angka atau bilangan, variabel, atau parameter yang berbentuk empat persegi dan biasanya ditutup dengan tanda kurung K O N
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciBAB 2 ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA
BAB 2 ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA Analisis data, khususnya estimasi parameter dalam regresi multivariat, banyak melibatkan operasi matriks. Dalam bab ini akan dibahas teori matriks yang banyak terkait
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS B. UKURAN ATAU ORDO SUATU MATRIKS
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 09 Sesi N MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Repeated Measurement Dalam repeated measurement setiap perlakuan menunjukkan pengukuran terhadap satu sampel (unit eksperimen ) atau beberapa sampel yang memiliki karakter sama
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciP2.1 Teori. Secara umum, matriks Amxn = Pada matriks A di atas a23 menyatakan elemen matriks A pada baris ke-2 dan kolom ke Jenis-Jenis Matriks
Pertemuan 2 Matriks Objektif: 1. Praktikan memahami konsep matriks. 2. Praktikan dapat mencari penjumlahan matriks, perkalian matriks dari 2 buah matriks. 3. Praktikan dapat membuat program tentang penjumlahan
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciMATRIKS. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
MTRIKS DEFINISI Bentuk umum =(aij),i=,,...m J=,,...m a a a n baris a a..a n baris MTRIKS Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinciTEKNIK INFORMATIKA FENI ANDRIANI
EKNIK INFORMIK FENI NDRINI Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom. a a... a n a a... a n... a
Lebih terperinciGENERALIZED INVERSE. Musafir Kumar 1)
GENERALIZED INVERSE Musafir Kumar 1) 1) Dosen Pendidikan Matematika FKIP Unsyiah Abstrak Tulisan ini bertujuan untuk menhgetahui pengertian dari generalized inverse. Teorema-teorema dan sifat-sifat yang
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinciMatriks & Operasi Matriks (2) Pertemuan 5 Aljabar Linear & Matriks
Matriks & Operasi Matriks () Pertemuan 5 Aljaar Linear & Matriks Sifat-sifat Operasi Matriks Perkalian antara dua matriks tidak mengikuti hukum komutatif, artinya AB tidak sama dengan BA (dengan asumsi
Lebih terperinciMateri 2: Matriks dan Operasi Matriks
Materi 2: Matriks dan Operasi Matriks I Nyoman Kusuma Wardana Sistem Komputer STMIK STIKOM Bali Amatilah contoh jumlah jam yang dihabiskan oleh siswa di sekolah dlm satu minggu berikut: Jika kita menghilangkan
Lebih terperinciMODUL E LEARNING SEKSI -1 MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA 151 : 5099 : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA
MODUL E LEARNING SEKSI - MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA DOSEN : : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA TUJUAN MATA KULIAH : A.URAIAN DAN TUJUAN MATA KULIAH : Mahasiswa mempelajari Matriks, Determinan,
Lebih terperinciMATRIKS. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATRIKS Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII Created By Ita Yuliana 15 Matriks Kompetensi Dasar 1. Menggunakan
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep-konsep Matriks Definisi Matriks Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A, B, X, Y. Elemen-elemen di dalamnya disebut skalar yang berasal
Lebih terperinciBanyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 1 Matriks dan Operasinya MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks Jenis-jenis Matriks Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan)
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Statistika Multivariat Analisis statistika multivariat adalah teknik-teknik analisis statistik yang memperlakukan sekelompok variabel terikat yang saling berkorelasi sebagai
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciCatatan Kuliah Aljabar Linier
Catatan Kuliah Suryadi Siregar Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Bandung BANDUNG 018 Kata Pengantar Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor.
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciM AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MUG1E3 3 SKS
// ljabar Linear Elementer MUGE SKS // 9:7 Jadwal Kuliah Hari I Selasa, jam. Hari II Kamis, jam. Sistem Penilaian UTS % US % Quis % // 9:7 M- ljabar Linear // Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciPenyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinci