MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG
|
|
- Utami Pranoto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
2
3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2014 Yogie Budhi Rantung. NIM G
4 ABSTRAK YOGIE BUDHI RANTUNG. Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya. Dibimbing oleh NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA dan FARIDA HANUM. Matriks Pascal adalah matriks yang setiap unsur-unsurnya memuat koefisien binomial. Matriks Pascal dapat dibentuk menjadi tiga macam, yaitu matriks Pascal simetrik matriks Pascal segitiga bawah dan matriks Pascal segitiga atas Kajian ini bertujuan mengetahui sifat-sifat matriks Pascal. Pembuktian sifat menunjukkan bahwa perkalian matriks Pascal segitiga bawah dengan matriks Pascal segitiga atas selalu menghasilkan matriks Pascal simetrik melalui tiga metode pembuktian berupa perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi. Dalam hal ini, perkalian matriks merupakan pembuktian yang paling efektif. Pembuktian tersebut juga menunjukkan bahwa dan masing-masing memiliki nilai determinan yang sama, yakni satu. Sifat lain matriks Pascal yang diketahui adalah transpos matriks Pascal segitiga bawah tidak lain merupakan matriks Pascal segitiga atas atau berlaku sebaliknya Kata kunci: matriks Pascal, matriks Pascal segitiga bawah, matriks Pascal segitiga atas. ABSTRACT YOGIE BUDHI RANTUNG. Pascal Matrix and It s Characteristics. Supervised by NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA and FARIDA HANUM. Pascal matrices are matrices that their elements contain binomial coefficients. Pascal matrices can be built into three different types: symmetric Pascal matrix lower triangular Pascal matrix and upper triangular Pascal matrix This study aims to determine the characteristics of the Pascal matrices. The proof of characteristics shows that multiplication of a lower triangular Pascal matrix with an upper triangular Pascal matrix always yields symmetric Pascal matrix through three methods: matrix multiplication, Gaussian elimination, and equality of functions. In this study, matrix multiplication is the most effective method of proof. The proof of also shows that each of and has the same determinant value, that is one. Another characteristics of the Pascal matrix is that transpose of a lower triangular Pascal matrix is an upper triangular Pascal matrix and vice versa. Keywords: Pascal matrix, lower triangular Pascal matrix, upper triangular Pascal matrix.
5 MATRIKS PASCAL DAN SIFAT-SIFATNYA YOGIE BUDHI RANTUNG Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014
6
7 Judul Skripsi : Matriks Pascal dan Sifat-Sifatnya Nama : Yogie Budhi Rantung NIM : G Disetujui oleh Ir N K Kutha Ardana, MSc Pembimbing I Dra Farida Hanum, MSi Pembimbing II Diketahui oleh Dr Toni Bakhtiar, MSc Ketua Departemen Tanggal Lulus:
8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta ala atas limpahan rahmat serta hidayah-nya sehingga karya ilmiah yang berjudul Matriks Pascal dan Sifat-sifatnya berhasil diselesaikan. Terima kasih penulis ucapkan kepada : 1. Ir Ngakan Komang Kutha Ardana, MSc dan Dra Farida Hanum, MSi selaku komisi pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis, 2. Muhammad Ilyas, MSc, MSi selaku penguji luar komisi yang telah memberikan saran dan kritiknya, 3. Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku Ketua Departemen Matematika, 4. Ibu dan ayah yang telah memberikan nasihat dan motivasi dengan penuh kesabaran dan kasih sayang, 5. Rina Putri Utami yang talah memberikan semangat dengan penuh kesabaran. 6. teman-teman kos Wisma Asri beserta Pak Agik sekeluarga, 7. semua pihak terkait yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini. Bogor, Mei 2014 Yogie Budhi Rantung
9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 1 Manfaat Penelitian 1 LANDASAN TEORI 1 HASIL DAN PEMBAHASAN 4 Pembuktian Menggunakan Perkalian Matriks 4 Pembuktian Menggunakan Eliminasi Gauss 7 Pembuktian Menggunakan Penyamaan Fungsi 12 Pembuktian Determinan Matriks Pascal 17 SIMPULAN 18 DAFTAR PUSTAKA 18 LAMPIRAN 19 RIWAYAT HIDUP 20
10 DAFTAR TABEL 1 Matriks Pascal segitiga bawah 4 2 Matriks Pascal segitiga atas 5 3 Matriks Pascal simetrik 6
11 PENDAHULUAN Latar Belakang Matriks Pascal adalah matriks yang setiap elemen atau unsur-unsurnya memuat koefisien binomial. Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan (Johnsonbaugh 1997). Dengan menempatkan koefisien binomial ke dalam matriks, maka ada tiga cara untuk mencapai hal ini, di antaranya ialah matriks Pascal simetrik ( ), matriks Pascal segitiga bawah ( ), dan matriks Pascal segitiga atas ( ). Matriks Pascal merupakan salah satu contoh konkret dari matriks unimodular. Matriks unimodular adalah matriks yang memiliki determinan bernilai atau, sehingga Dalam perkembangannya, matriks Pascal muncul dalam banyak aplikasi seperti ekspansi binomial, probabilitas, kombinatorika, aljabar linear, teknik elektro dan statistik. Salah satu aplikasi matriks Pascal dalam algoritme untuk mentransformasikan suatu fungsi. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas sifat-sifat matriks Pascal dan tiga cara untuk membuktikan yaitu dengan perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi. Ketiga metode pembuktian tersebut seringkali dijumpai dalam berbagai persoalan matematika. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel berjudul Pascal Matrices yang disusun oleh Alan Edelman dan Gilbert Strang. Tujuan Penelitian Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah mengkaji sifat-sifat matriks Pascal simetrik ( ), matriks Pascal segitiga bawah ( ), dan matriks Pascal segitiga atas ( ), dan membuktikan bahwa melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi serta membuktikan determinan ketiga jenis matriks Pascal tersebut bernilai satu. Manfaat Penelitian Manfaat dari karya ilmiah ini antara lain: 1. mengetahui sifat-sifat matriks Pascal, 2. mengetahui pembuktian persamaan melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi, 3. mengetahui pembuktian determinan matriks Pascal yang selalu bernilai satu. LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan disajikan beberapa pengertian atau konsep dasar yang digunakan dalam karya ilmiah ini.
12 2 Definisi 1 Matriks Pascal simetrik adalah suatu matriks berukuran yang didefinisikan sebagai berikut: Berikut ini diberikan contoh matriks : (Bicknell & Hoggat 1973) Definisi 2 Matriks Pascal segitiga bawah (lower triangular) berukuran yang didefinisikan sebagai berikut: adalah suatu matriks (Bicknell & Hoggat 1973) Berikut ini diberikan contoh matriks : Definisi 3 Matriks Pascal segitiga atas (upper triangular) berukuran yang didefinisikan sebagai berikut: adalah suatu matriks (Bicknell & Hoggat 1973) Berikut ini diberikan contoh matriks :
13 3 Definisi 4 Dimisalkan untuk setiap matriks, determinan : dengan permutasi dari sejumlah dan didefinisikan sebagai berikut: Berikut ini diberikan contoh jika : (Mayer 2000) dengan permutasi : Kemudian selanjutnya: Teorema 1 Determinan dari matriks segitiga ialah perkalian elemen semua diagonal utamanya: Teorema 2 Jika matriks berukuran maka: (Mayer 2000) (Mayer 2000)
14 4 Definisi 5 Eliminasi Gauss merupakan suatu algoritme untuk mengekuivalenkan bentuk matriks melalui serangkaian operasi baris dasar. (Leon 2001) Definisi 6 Matriks partisi merupakan suatu matriks yang dapat dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan cara menggambar garis-garis horizontal antara baris-baris dan garis-garis vertikal antara kolom-kolom. Matriks-matriks yang lebih kecil seringkali disebut blok. (Leon 2001) HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam bab ini akan disajikan pembuktian-pembuktian melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi serta membuktikan determinan matriks Pascal bernilai satu. Pembuktian Menggunakan Perkalian Matriks Pembuktian diawali dengan membangkitkan matriks Pascal segitiga bawah. Misalkan matriks Pascal segitiga bawah berukuran sebagai berikut: Matriks di atas dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel sebagai berikut: Tabel 1 Matriks Pascal segitiga bawah Baris-baris Tabel 1 dilabeli dengan dan kolom-kolom Tabel 1 dilabeli dengan Label dan menunjukkan indeks elemen matriks Pascal segitiga bawah. Elemen baris dengan label adalah koefisien-koefisien hasil penjabaran :
15 5 sehingga setiap elemen pada dapat dinyatakan sebagai berikut: (1) dengan, dan Jika maka bernilai nol. Transpos matriks Pascal segitiga bawah tidak lain merupakan matriks Pascal segitiga atas. Tabel 2 Matriks Pascal segitiga atas Kolom-kolom Tabel 2 dilabeli dengan dan baris-baris Tabel 2 dilabeli dengan. Label dan menunjukkan indeks elemen matriks Pascal segitiga atas. Elemen baris dengan label adalah koefisien-koefisien hasil penjabaran :
16 6 sehingga setiap elemen pada dapat dinyatakan sebagai berikut: (2) dengan, dan Untuk, bernilai nol. Misalkan matriks Pascal simetrik berukuran sebagai berikut: Matriks Pascal simetrik dapat dinyatakan ke dalam bentuk tabel sebagai berikut: Tabel 3 Matriks Pascal simetrik a Sumber: (Strum 1977) Baris-baris Tabel 3 dilabeli dengan Tabel 3 dilabeli dengan kolom bernilai: dan kolom-kolom. Elemen-elemen dalam baris dan
17 7 dengan dan. Teorema 3 untuk setiap bilangan bulat. (Strum 1977) Bukti: Teorema 3 diperoleh berdasarkan identitas kombinatorial berikut: (lihat Lampiran 1) (3) Dengan demikian pembuktian melalui perkalian matriks terbukti. Pembuktian Menggunakan Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss merupakan operasi baris dasar pada matriks yang bertujuan untuk mengeliminasi suatu matriks, sehingga hasil eliminasi tersebut memiliki baris yang ekuivalen terhadap matriks yang tereliminasi dengan melihat serangkaian operasi baris dasarnya. Dalam kasus ini matriks yang akan dieliminasi adalah matriks Pascal segitiga bawah. Misalkan dilakukan pengeliminasian dengan serangkaian operasi baris dasar dan dengan serangkaian baris dasar melalui eliminasi Gauss sebagai berikut: (4) Jika diperhatikan dari kedua proses eliminasi tersebut terlihat bahwa terjadinya selisih antar baris dengan baris sebelumnya pada dan, baris ke-4 dengan
18 8 baris ke-3, baris ke-3 dengan baris ke-, baris ke- dengan baris ke-, dan baris ke- dengan baris ke- berlaku untuk matriks. Dengan kata lain,,, dan untuk setiap dan : Jika hasil pada proses eliminasi tersebut difaktorkan akan membentuk perkalian matriks sebagai berikut: Untuk setiap akan berlaku: sehingga proses eliminasi Gauss tersebut dapat juga dinyatakan sebagai perkalian matriks antara dan dengan didefinisikan sebagai berikut:
19 Tujuannya adalah untuk membentuk sebuah persamaan baru yang akan dibuktikan kesetaraannya sebagai berikut:.. (5) Proses selanjutnya ialah menjabarkan ruas kiri pada persamaan (5). Sebagai ilustrasi misalkan perkalian matriks sebagai berikut: 9 (6). (7) Perhatikan bahwa matriks (4) dan matriks (6) adalah sama, dan jika baris pertama dan kolom pertama dihilangkan akan membentuk submatriks Untuk setiap akan diperoleh sebagai berikut: (8) Pembentukan submatriks juga terjadi pada perkalian perkalian matriks : Misalkan pada
20 10 Dari hasil perkalian tersebut terbentuk submatriks Dengan cara serupa, untuk setiap diperoleh: (9) Dari hasil proses eliminasi atau perkalian matriks pada dan tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk setiap hasil eliminasi dan masing-masing akan menghasilkan submatriks dan Selanjutnya dengan mengasumsikan ruas kiri persamaan dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks sebagai berikut: (10) Dalam proses eliminasi pada dan terdapat persamaan rekursif sehingga pembuktian persamaan (10) dapat ditempuh dengan menggunakan bukti Induksi Matematik. Misalkan: i) Basis Induksi (benar) ii) Hipotesis Induksi: Misalkan, untuk benar, yaitu iii) Akan dibuktikan: benar, yaitu Bukti: Di dalam hipotesis induksi dikatakan bahwa yang memiliki sejumlah -baris dan -kolom: berukuran (11)
21 sehingga untuk mencapai ke bentuk ukuran pada persamaan (11) perlu ditambahkan satu baris dan satu kolom setelah baris kedan setelah kolom ke- agar dapat tercapai: 11 Kemudian matriks dan masing-masing dilakukan partisi matriks dengan menggambar garis vertikal di antara baris dan baris serta menggambar garis horizontal di antara kolom dan kolom sehingga matriks dan akan terbagi menjadi empat blok: (12) dengan dan [,, ] T. Kemudian setiap elemen pada persamaan (12) dapat dijabarkan sebagai berikut:
22 12 Hipotesis induksi menyatakan dinyatakan sebagai berikut: sehingga persamaan (12) dapat Dengan demikian pembuktian induksi matematik terpenuhi sehingga persamaan (10) juga terbukti dan pembuktian melalui eliminasi Gauss terbukti. Pembuktian Menggunakan Penyamaan Fungsi Misalkan vektor koefisien dan vektor merepresentasikan sebuah fungsi dalam deret Taylor:. (13) Dengan ini dapat dinyatakan bahwa membentuk suatu matriks segitiga tak terbatas. Perkalian menunjukkan bahwa persamaan (13) merupakan sebuah deret kuasa (14) sehingga perkalian membentuk fungsi polinomial untuk setiap baris ke- :. (15)
23 Tujuan pembuktian ini adalah menyetarakan fungsi hasil perkalian dengan fungsi hasil perkalian yang akan dijabarkan. Pada persamaan dilakukan perkalian ruas kiri dan ruas kanan tehadap vektor tak terbatas : 13 Baris pertama perkalian : (16) (17) membentuk deret geometri yang konvergen di : (18) Jika persamaan (18) diturunkan maka akan membentuk deret yang menjadi baris kedua pada perkalian : (19) Jika persamaan (19) juga diturunkan akan membentuk deret yang selanjutnya melakukan penyederhanaan ruas kiri dan ruas kanan yang akan menjadi baris ketiga perkalian : (20) (21) Persamaan (21) merupakan deret yang menjadi pembentuk baris ketiga pada perkalian. Selanjutnya persamaan (20) juga diturunkan akan membentuk deret sebagai berikut:
24 14 (22) (23) Persamaan (23) merupakan deret yang menjadi pembentuk baris keempat pada perkalian. Dan seterusnya hingga turunan ke- akan membentuk deret kuasa yang konvergen di dengan fungsi sebagai berikut: (24) Jadi dapat disimpulkan bahwa penurunan setiap baris pada perkalian akan membentuk baris selanjutnya sehingga persamaan (17) dapat dinyatakan sebagai berikut: (25) (26) Selanjutnya menjabarkan perkalian sebagai berikut: (27) Baris pertama juga membentuk deret geometri seperti halnya pada persamaan (18). Baris kedua merupakan hasil turunan baris pertama yang sudah disederhanakan seperti pada persamaan (19) dengan mengalikan variabel tiaptiap ruas:
25 15 Baris ketiga merupakan hasil turunan persamaan (19) yang sudah disederhanakan seperti pada persamaan (21) dengan mengalikan variabel tiaptiap ruas: Baris keempat merupakan hasil turunan persamaan (20) yang telah disederhanakan seperti pada persamaan (23) dengan melakukan perkalian variabel tiap-tiap ruas: sehingga untuk setiap baris ke- berlaku: (28) sehingga persamaan (27) dapat dinyatakan sebagai berikut:
26 16 (29) Selanjutnya di tahap akhir ini akan ditunjukkan bahwa untuk mencapai hasil perkalian pada persamaan (26) dilakukan perkalian matriks dengan di persamaan (29) dimana : (30) Bentuk T pada persamaan (30) serupa dengan bentuk [1, (1 + x), (1 + x) 2, (1 + x) 3,...] T pada persamaan (14) maka bentuk merupakan sebuah deret kuasa. Dengan mengembalikan nilai pada diperoleh: sehingga persamaan (30) dapat juga ditulis sebagai berikut:
27 17 (31) Dengan demikian hasil perkalian pada persamaan (31) memiliki hasil yang sama dengan hasil perkalian pada persamaan (26), sehingga pembuktian melalui penyamaan fungsi terbukti. Pembuktian Determinan Matriks Pascal Pada Teorema 1 telah dijelaskan bahwa nilai determinan matriks segitiga ialah perkalian elemen semua diagonal utamanya. Matriks Pascal segitiga bawah dan matriks Pascal segitiga atas merupakan matriks segitiga dengan semua elemen diagonal utamanya bernilai 1 sehingga determinan matriks Pascal segitiga bawah dan matriks Pascal segitiga atas bernilai satu: Pada subbab-subbab sebelumnya telah disajikan pembuktian melalui tiga pembuktian berupa perkalian matriks, Eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi, sehingga matriks memiliki determinan bernilai satu: Dengan demikian matriks Pascal segitiga bawah, matriks Pascal segitiga atas, dan matriks Pascal simetrik, terbukti memiliki determinan bernilai satu untuk setiap ukuran.
28 18 SIMPULAN Simpulan Pembuktian melalui perkalian matriks, eliminasi Gauss, dan penyamaan fungsi sudah terbukti dalam bab sebelumnya. Pembuktian perkalian matriks merupakan pembuktian yang paling efektif dan pembuktian penyamaan fungsi merupakan pembuktian yang paling sulit dari ketiga metode tersebut. Matriks Pascal memiliki beberapa sifat di antaranya ialah, perkalian matriks Pascal segitiga bawah dengan matriks Pascal segitiga atas akan selalu menghasilkan matriks Pascal simetrik, transpos matriks Pascal segitiga bawah akan selalu membentuk matriks Pascal segitiga atas atau berlaku sebaliknya ( atau ), dan determinan matriks Pascal simetrik, determinan matriks Pascal segitiga bawah, dan determinan matriks Pascal segitiga atas selalu memiliki determinan yang sama yakni bernilai satu. Saran Dalam penelitian selanjutnya pembuktian dapat juga dibuktikan dengan menggunakan gluing graphs. Pembuktian gluing graphs merupakan pembuktian menggunakan prinsip graf algoritmik dengan cara menghitung path dari elemen ke elemen dalam matriks Pascal segitiga bawah, matriks Pascal segitiga atas, dan matriks Pascal simetrik. DAFTAR PUSTAKA Bicknell M, Hoggat VE Unit determinants in generalized Pascal triangles. Fibonacci Quarterly Edelman A & Strang G Pascal Matrices. The American Mathematical Monthly Johnsonbaugh R Discrete Mathematics. New Jersey (US): Prentice-Hall. Leon SJ Linear Algebra with Applications. New Jersey (US): Prentice Hall PTR. Mayer CD Matrix Analysis and Applied Linear Algebra. Philadelphia (US): Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). Strum JE Binomial Matrices. The Two-Year College Mathematics Journal
29 19 Lampiran 1 Hasil penjabaran persamaan (3) diperoleh dari identitas polinomial pada halaman 7 sebagai berikut:
30 20 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Watampone, Sulawesi Selatan pada tangal 5 Juni 1989 sebagai anak ke-2 dari dua bersaudara pasangan Lilik Budiarto dan Mulyani. Pendidikan formal yang ditempuh penulis, yaitu di SDN Selosari 01 Magetan lulus pada tahun 2001, SMPN 1 Magetan lulus pada tahun 2004, SMAN 3 Magetan lulus pada tahun 2007, dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI. Tahun pertama penulis memasuki Tingkat Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 2008, penulis mulai masuk Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Penulis pernah mengikuti organisasi BEM KM secara independen periode tahun 2007/2008 pada masa Tingkat Persiapan Bersama (TPB). Pada tahun 2008, penulis masuk GUMATIKA sebagai anggota divisi PSDM..
I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinciMATRIKS KUASIDEFINIT SUGENG MULYADI
MATRIKS KUASIDEFINIT SUGENG MULYADI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2009 ABSTRAK SUGENG MULYADI. Matriks Kuasidefinit. Dibimbing oleh FARIDA
Lebih terperinciALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 313 322. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciKAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT
KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,
Lebih terperinciEVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB RUDIANSYAH
EVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB RUDIANSYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007 ABSTRAK RUDIANSYAH. Evaluasi
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciREGRESI KEKAR SIMPANGAN MUTLAK TERKECIL DENGAN MODIFIKASI SIMPLEKS MUHAMMAD YUSUF DWIHARJANGGI
REGRESI KEKAR SIMPANGAN MUTLAK TERKECIL DENGAN MODIFIKASI SIMPLEKS MUHAMMAD YUSUF DWIHARJANGGI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 ABSTRAK
Lebih terperinciPENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV MELIZA DITA UTAMI
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV MELIZA DITA UTAMI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT
Lebih terperinciBab 4. Koefisien Binomial
Bab 4. Koefisien Binomial Koefisien binomial merupakan bilangan-bilangan yang muncul dari hasil penjabaran penjumlahan dua peubah yang dipangkatkan, misalnya (a + b) n. Sepintas terlihat bahwa ekspresi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciPENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO
PENYELESAIAN MAGIC SQUARE SEBAGAI PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) RISMANTO FERNANDUS SIRINGO-RINGO DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciPerluasan Segitiga Pascal
Perluasan Segitiga Pascal Untung Trisna S. ontongts@yahoo.com PPPPTK Matematika Yogyakarta 2011 The moving power of mathematical invention is not reasoning but imagination. Augustus De Morgan (27 Jun 1806
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciMENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS MENGGUNAKAN METODE SALIHU
MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS MENGGUNAKAN METODE SALIHU DENGAN Andi Bahota 1*, Aziskhan 2, Musraini M. 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen JurusanMatematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE
MENENTUKAN PERPANGKATAN MATRIKS TANPA MENGGUNAKAN EIGENVALUE Rini Pratiwi 1*, Rolan Pane 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Lebih terperinciMATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT. Soleha, Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Surabaya
MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINIER WAKTU DISKRIT Soleha, Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Surabaya Abstract. Matrix is diagonalizable (similar with matrix
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciPEMBUKTIAN BENTUK TUTUP RUMUS BEDA MAJU BERDASARKAN DERET TAYLOR
Jurnal Matematika UAD Vol. 5 o. 4 Hal. 8 ISS : 233 29 c Jurusan Matematika FMIPA UAD PEMBUKTIA BETUK TUTUP RUMUS BEDA MAJU BERDASARKA DERET TAYLOR ADE PUTRI, RADHIATUL HUSA Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciMODEL MATEMATIKA STRUKTUR UMUR INFEKSI VIRUS HIV DENGAN KOMBINASI TERAPI OBAT MUHAMMAD BUWING
MODEL MATEMATIKA STRUKTUR UMUR INFEKSI VIRUS HIV DENGAN KOMBINASI TERAPI OBAT MUHAMMAD BUWING SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciMENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILPOTENT ORDE 4 PADA MATRIKS SINGULAR MENGGUNAKAN TEOREMA CAYLEY HAMILTON TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh: IRMA
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
Lebih terperinciINVERSE EIGENVALUE PROBLEM UNTUK MATRIKS TRIDIAGONAL SIMETRIK NURFAUZIAH
INVERSE EIGENVALUE PROBLEM UNTUK MATRIKS TRIDIAGONAL SIMETRIK NURFAUZIAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinci03-Pemecahan Persamaan Linier (2)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciANTI -FUZZY - SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING AHMAD SYAFI IH
ANTI -FUZZY - SUBGRUP KIRI DARI NEAR RING AHMAD SYAFI IH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
Lebih terperinciInterpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan
Jurnal Sains Matematika dan Statistika Vol No Juli 5 ISSN 46-454 Interpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan Riska Yeni Syamsudhuha M D H Gamal 3 Jurusan Matematika Fakultas Mipa Universitas Riau Jl HR
Lebih terperinciKONSTRUKSI MATRIKS SINGULAR DARI SUATU MATRIKS YANG MEMENUHI SIFAT KHUSUS TUGAS AKHIR
KONSTRUKSI MATRIKS SINGULAR DARI SUATU MATRIKS YANG MEMENUHI SIFAT KHUSUS TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh : EKA WAHYUDININGSIH
Lebih terperinciDiagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan
Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan Fitri Aryani 1, Rahmadani 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suskaacid Abstrak
Lebih terperinciPENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT HARYONO HERMANA
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN BLOCK CIRCULANT HARYONO HERMANA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciSIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK
Faktor Exacta 10 (2): 154-161, 2017 SIFAT NILAI EIGEN MATRIKS ANTI ADJACENCY DARI GRAF SIMETRIK NONI SELVIA noni.selvia@gmail.com Program Studi Teknik Informatika Fakultas Teknik,Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU, CHALLENGER PUZZLE, DAN N-QUEENS PROBLEM MENGGUNAKAN INTEGER PROGRAMMING ALI VIKRI
PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU, CHALLENGER PUZZLE, DAN N-QUEENS PROBLEM MENGGUNAKAN INTEGER PROGRAMMING ALI VIKRI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciALJABAR LINIER. Kelas B JUMAT Ruang i.iii.3. Kelas A JUMAT Ruang i.iii.3
ALJABAR LINIER ALJABAR LINIER Kelas B JUMAT 08.00 Ruang i.iii.3 Kelas A JUMAT 09.45 Ruang i.iii.3 Referensi Utama: Elementary Linear Algebra Howard Anton Chris Rores John Wiley, ninth edition Chapter 1
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DAN METODE SOR UNTUK MENDAPATKAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Merintan Afrina S ABSTRACT
PERBANDINGAN METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI DAN METODE SOR UNTUK MENDAPATKAN SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Merintan Afrina S Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciPEMBUKTIAN RUMUS BENTUK TUTUP BEDA MUNDUR BERDASARKAN DERET TAYLOR
Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. Hal. 68 76 ISSN : 233 29 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PEMBUKTIAN RUMUS BENTUK TUTUP BEDA MUNDUR BERDASARKAN DERET TAYLOR WIDIA ASTUTI Program Studi Matematika, Fakultas
Lebih terperinciKeunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi
Keunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi Elvina Riama K. Situmorang 55) Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciKETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN
KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterkontrolan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciPembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial
Vol. 11, No. 1, 63-70, Juli 2014 Pembagi Bersama Terbesar Matriks Polinomial Indramayanti Syam 1,*, Nur Erawaty 2, Muhammad Zakir 3 ABSTRAK Teori bilangan adalah cabang ilmu Matematika yang mempelajari
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciALGORITMA PEMBANGUN MATRIKS KORELASI TUGAS AKHIR
ALGORITMA PEMBANGUN MATRIKS KORELASI TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh HELMAVIRA 0654004474 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS
Lebih terperinciKETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN
KETERKONTROLAN BEBERAPA SISTEM PENDULUM SAKIRMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Keterkontrolan
Lebih terperinciISSN (Media Cetak) ISSN (Media Online) Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik Menggunakan Matlab
JITEKH, Vol, No, Tahun 27, -5 ISSN 28-577(Media Cetak) ISSN 2549-4 (Media Online) Implementasi Metode Eliminasi Gauss Pada Rangkaian Listrik Menggunakan Matlab Silmi, Rina Anugrahwaty 2 Staff Pengajar
Lebih terperinciJln. Perintis Kemerdekaan, Makassar, Indonesia, Kode Pos Perintis Kemerdekaan Street, Makassar, Indonesia, Post Code 90245
PERTIDAKSAMAAN DETERMINAN UNTUK MATRIKS SEMIDEFINIT POSITIF Williem Prasetia Widiatno 1), Amir Kamal Amir 2), Naimah Aris 3) williemprasetia@yahoo.com 1), amirkamir@science.unhas.ac.id 2), newima@gmail.com
Lebih terperinciBAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER 10.1 Definisi Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai derajad satu. Sebagai contoh persamaan
Lebih terperinciFORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI
FORMULASI HAMILTONIAN UNTUK MENGGAMBARKAN GERAK GELOMBANG INTERNAL PADA LAUT DALAM RINA PRASTIWI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciPERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL
PERAN TRANSFORMASI TUSTIN PADA RUANG KONTINU DAN RUANG DISKRET SAMSURIZAL SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciPERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS
PERBANDINGAN ANTARA UNWEIGHTED LEAST SQUARES (ULS) DAN PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL MUHAMMAD AMIN PARIS SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN
Lebih terperinciANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO
ANALISIS KETAHANAN DAN APLIKASINYA UNTUK PEMODELAN INTERVAL KELAHIRAN ANAK PERTAMA HARNANTO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciAPLIKASI MATRIKS KOMPANION PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN TUGAS AKHIR
APLIKASI MATRIKS KOMPANION PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER NON HOMOGEN TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika
Lebih terperinciANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH
ANALISIS MODEL PELUANG BERTAHAN HIDUP DAN APLIKASINYA SUNARTI FAJARIYAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciOperasi Eliminasi Gauss. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
Operasi Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah
Lebih terperinciSTRATEGI PENGEMBANGAN DAYA SAING PRODUK UNGGULAN DAERAH INDUSTRI KECIL MENENGAH KABUPATEN BANYUMAS MUHAMMAD UNGGUL ABDUL FATTAH
i STRATEGI PENGEMBANGAN DAYA SAING PRODUK UNGGULAN DAERAH INDUSTRI KECIL MENENGAH KABUPATEN BANYUMAS MUHAMMAD UNGGUL ABDUL FATTAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016 iii PERNYATAAN
Lebih terperinciPARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11 ABSTRACT
PARTISI BILANGAN p(5n + 4), p(7n + 5) DAN p(11n + 6) SECARA BERTURUT-TURUT KONGRUEN MODULO 5, 7 DAN 11 Abdul Akhyar 1, Syamsudhuha 2, Sri Gemawati 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN GENERALISASI METODE JACOBI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN GENERALISASI METODE JACOBI Sandra Roza 1*, M. Natsir 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen JurusanMatematika Fakultas Matematika dan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciMODIFIKASI ARITMETIKA INTERVAL DAN PENERAPANNYA PADA SISTEM PERSAMAANINTERVAL LINEAR
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 01, No. 1 (2012), hal 1 8. MODIFIKASI ARITMETIKA INTERVAL DAN PENERAPANNYA PADA SISTEM PERSAMAANINTERVAL LINEAR Mika Lasni Roha Saragih, Marisi
Lebih terperinciSIFAT SIFAT MATRIKS SUDOKU TESIS SHOBAH SALAMAH
UNIVERSITAS INDONESIA SIFAT SIFAT MATRIKS SUDOKU TESIS SHOBAH SALAMAH 090657335 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM MAGISTER MATEMATIKA DEPOK JANUARI 202 UNIVERSITAS INDONESIA SIFAT SIFAT
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciRepresentasi Matriks dan Transformasi Lanjar dalam Gerakan Contra Dance
Representasi Matriks dan Transformasi Lanjar dalam Gerakan Contra Dance Diastuti Utami 13514071 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA oleh BUDI AGUNG PRASOJO M0105001 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciPenyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciPERBANDINGAN ANALISIS SENSITIVITAS MENGGUNAKAN PARTISI OPTIMAL DAN BASIS OPTIMAL PADA OPTIMASI LINEAR MIRNA SARI DEWI
PERBANDINGAN ANALISIS SENSITIVITAS MENGGUNAKAN PARTISI OPTIMAL DAN BASIS OPTIMAL PADA OPTIMASI LINEAR MIRNA SARI DEWI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pembelajaran matematika merupakan pembelajaran yang harus diikuti siswa mulai dari sekolah dasar hingga perguruan tinggi. Matematika harus dipelajari siswa sejak
Lebih terperinciMENENTUKAN INVERS SUATU MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN METODE AUGMENTASI DAN REDUKSI ABSTRACT
MENENTUKAN INVERS SUATU MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN METODE AUGMENTASI DAN REDUKSI S. E. Wati 1, M. Imran 2, A. Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinciPENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG
PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG oleh MIRA AMALIA M0113030 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
Lebih terperinciTUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi
TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinciPEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH REGULASI OPTIMAL HASBY ASSIDIQI
PEMODELAN SISTEM PENDULUM TERBALIK GANDA DAN KARAKTERISASI PARAMETER PADA MASALAH REGULASI OPTIMAL HASBY ASSIDIQI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
Lebih terperinciBAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT
29 BAB 4 KEKONSISTENAN PENDUGA DARI FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN WAKTU TUNGGU DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT 4.1 Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen
Lebih terperinciKEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANNISA RAHMAWATI M0112010 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
Lebih terperinciSTANDAR KOMPETENSI : Memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks
Page 1 of 25 Materi Matriks yang dipelajari A. Pengertian dan Jenis Matriks B. Operasi Aljabar pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Aplikasi Matriks dalam Penyelesaian Sistem PersamaanLinear
Lebih terperinciMATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN
MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata Kuliah Jurusan SKS Kode M. Kuliah : Kalkulus IA : Teknik Elektro : 2 SKS : KD-0420 Minggu ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan dan Sasaran Belajar Cara Pengajaran
Lebih terperinciFadly Ramadhan, Thresye, Akhmad Yusuf
ISSN: 978-44 Vol.0 No. (06) Hal.8-7 DETERMINAN MATRIKS DENGAN ELEMEN BILANGAN FIBONACCI ORDER- YANG DIGENERALISASI Fadly Ramadhan, Thresye, Akhmad Yusuf Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Tri Anggoro Putro, Siswanto, Supriyadi Wibowo Program Studi Matematika FMIPA UNS Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciPENYELESAIAN MASALAH PENGIRIMAN PAKET KILAT UNTUK JENIS NEXT-DAY SERVICE DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM. Oleh: WULAN ANGGRAENI G
PENYELESAIAN MASALAH PENGIRIMAN PAKET KILAT UNTUK JENIS NEXT-DAY SERVICE DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM Oleh: WULAN ANGGRAENI G54101038 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciPEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK. Nurul Ain Farhana 1, Imran M. 2 ABSTRACT
PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK Nurul Ain Farhana, Imran M Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciPenerapan Matriks dalam Kriptografi
Penerapan Matriks dalam Kriptografi Malvin Juanda/13514044 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132, Indonesia 13514044@std.stei.itb.ac.id
Lebih terperinciTeorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif
Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciPERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU
v PERBANDINGAN METODE PENDUGAAN PARAMETER DALAM PEMODELAN PERSAMAAN STRUKTURAL LA MBAU Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA
Lebih terperinciBilangan Stirling Jenis Kedua ( Stirling Number of the Second Kind ) Definisi 1. Bilangan Stirling jenis kedua, dinotasikan dengan
Bilangan Stirling Jenis Kedua ( Stirling Number of the Second Kind ) Definisi 1. Bilangan Stirling jenis kedua, dinotasikan dengan, adalah banyaknya cara menyusun partisi suatu himpunan dengan elemen ke
Lebih terperinciMETODE BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN DARI MATRIKS TUGAS AKHIR YESPI ENDRI
METODE BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN DARI MATRIKS TUGAS AKHIR Diajukan sebagai salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh: YESPI ENDRI 10854004331 FAKULTAS SAINS
Lebih terperinciKAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H
KAJIAN MODEL HIDDEN MARKOV KONTINU DENGAN PROSES OBSERVASI ZERO DELAY DAN APLIKASINYA PADA HARGA GABAH KERING PANEN T A M U R I H SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI
Lebih terperinci