METODE KUMAR UNTUK MENYELESAIKAN PROGRAM LINIER FUZZY PENUH PADA MASALAH TRANSPORTASI FUZZY. Mohamad Ervan S 1, Bambang Irawanto 2,

Transkripsi

1 METODE KUMAR UNTUK MENYELESAIKAN PROGRAM LINIER FUZZY PENUH PADA MASALAH TRANSPORTASI FUZZY Mohamad Ervan S 1, Bambang Irawanto 2, 1,2 Deartemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Dionegoro Semarang Jl.Prof. H.Soedarto,SH, Tembalang, Semarang 1 mohomadervan@yahoo.co.id, 2 b_irawanto@yahoo.co.id Abstract. In this aer, we discusses fully fuzzy linear rogramming in transortation roblem. To find the fuzzy otimal solution of the roblem with equality constraints, we use Kumar s Method. The value of the fuzzy otimal solution obtained is used to find the otimal value of fuzzy objective function. Then do defuzzification to obtain cris otimal solutions by using Ranking Function. To illustrate the Kumar s Method, we give a examle as iteration Keywords: Fully Fuzzy Linear Programming, Transortation roblem, Triangular Fuzzy Numbers, Kumar s Method. 1. PENDAHULUAN Dalam kehiduan sehari-hari untuk membuat keutusan tentang erencanaan transortasi yang sesuai dengan kondisi/keadaan nyata (real condition) erlu ditentukan secara tegas. Hal ini disebabkan karena adanya kendala-kendala dan arameter yang berkaitan dengan masalah transortasi tersebut tidak diketahui dengan tegas (baik) atau dalam keadaan samar (fuzzy) [1]. Zadeh mendefinisikan himunan fuzzy dengan menggunakan aa yang disebutnya fungsi keanggotaan (membershi function), yang nilainya berada dalam selang tertutu [0,1]. Jadi keanggotaan dalam himunan fuzzy tidak lagi meruakan sesuatu yang tegas (yaitu anggota atau bukan anggota), melainkan sesuatu yang berderajat atau bergradasi secara kontinu [2]. Beberaa metode telah dikembangkan untuk menyelesaikan masalah rogram linier fuzzy enuh, seerti yang telah dikembangkan oleh Lotfi, dkk [3]. telah menggunakan metode Kumar untuk menyelesaikan masalah rogram linier fuzzy enuh [4] menggunakan metode Multi Objektive Linear Programming untuk menyelesaikan masalah rogram linier fuzzy enuh dan membandingkannya dengan metode Kumar. Tulisan ini akan membahas enyelesaian masalah transortasi fuzzy dengan menggunakan Metode Kumar. 2. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam embahasan diberikan beberaa engertian yang mendukung ada ermasalahan, diantaranya Himunan Fuzzy, Program Linier cris dan Program Linier Fuzzy 2.1. Himunan Fuzzy Definisi 2.1 [5] Himunan fuzzy di dalam semesta embicaraan X didefinisikan sebagai himunan yang mencirikan suatu fungsi keanggotaan (x) yang mengawankan setia x X dengan bilangan real di dalam interval [0,1]. : X [0,1] dimana nilai (x) menunjukan tingkat keanggotaan (membershi) dari x ada. Definisi 2.2 [6] Suort (endukung) dari himunan fuzzy adalah himunan dari semua titik dalam yang memiliki derajat keanggotaan bernilai lebih dari 0 yaitu > 0, yang didefinisikan dengan egngn.a1 = > 0}. Definisi 2.3 [6] Core (inti) dari himunan fuzzy adalah himunan dari semua titik dalam yang memiliki derajat keanggotaan bernilai 1 yaitu = 1, 87

2 Mohammad Ervan S dan Bambang Irawanto (Metode Kumar untuk Menyelesaikan Program Linier Fuzzy ) yang didefinisikan dengan ǰ.a1= { = 1}. Definisi 2.4 [6] Himunan fuzzy disebut normal jika core dari tidak kosong (ǰ.a1 ), sehingga selalu daat ditemukan satu titik yang memiliki derajat keanggotaan bernilai 1 yaitu = 1. Definisi 2.5 [6] Himunan fuzzy disebut konveks jika untuk setia Ų(, dan 0, 1berlaku: Ų( + 1 Ŗmk Ų(,. Definisi 2.6 [6] Bilangan fuzzy adalah himunan fuzzy dalam bilangan real yang memenuhi kondisi normalitas dan konveksitas Definisi 2.7 [7] Bilangan fuzzy = dz,,ǰdinamakan bilangan segitiga fuzzy jika fungsi keanggotaannya diberikan oleh: ( dz) ( dz), dz <, 1, =, = ( ǰ), < ǰ, ( ǰ) 0, dzmkkdz. dengan dz ǰ yang sesuai dengan fungsi keanggotaan bilangan segitiga fuzzy. Definisi 2.8 [7] Bilangan segitiga fuzzy ũ = ( Ų(, Ų(, Ų( ) disebut bilangan fuzzy non negatif jika Ų( 0. Definisi 2.9 [7] Dua bilangan segitiga fuzzy (triangular fuzzy number) ũ = ( Ų(, Ų(, Ų( ) dan ῦ = (,, ) dikatakan sama, ũ = ῦ, jika x 1 = x 2, y 1 = y 2, dan z 1 = z 2. Definisi 2.10 [7] Misalkan terdaat dua bilangan segitiga fuzzy = (a, b, c) dan = ( e, f, g) maka: (i) = (a, b, c) ( e, f, g) = (a + e, b + f, c + g), (ii) -= -(a, b, c) = (-c, - b, -a), (iii) = (a, b, c) ( e, f, g) = (a - g, b - f, c - e), (iv) misal = (a, b, c) sebarang bilangan segitiga fuzzy dan = ( x, y, z) adalah sebuah bilangan segitiga fuzzy nonnegatif, maka: 88 = = dz,,ǰ,mdz dz 0, dz,,ǰ,mdz dz 0, ǰ 0, dz,,ǰ, mdz ǰ 0. Definisi 2.11 [2] Fungsi Ranking yang digunakan untuk mengurutkan bilangan segitiga fuzzy didefinisikan RhR() =, dengan = (a, b, c), F(R), dimana F(R) adalah himunan dari bilangan bilangan fuzzy triangular. 2.2.Program Linier Fuzzy Penuh Program Linier secara umum yang biasa dikenal adalah rogram linier bentuk cris yang memiliki Formulasi model secara matematis bentuk umum jika diubah menjadi masalah rogram linier bentuk baku sebagai berikut [8]: Memaksimumkan (atau meminimumkan) : = Ƽ)0Ų( ǰ Ƽ)0 Ƽ)0 (2.1) dengan kendala : Ƽ)0Ų( dz ƊƼ)0 Ƽ)0 = Ɗ m = 1,2,,Ŗ (2.2) Ƽ)0 0 (= 1,2,,k) (2.3) Model Program Linier bentuk Cris, dikembangkan kedalam Program Linier Fuzzy, dimana Program Linier Fuzzy memiliki dua bentuk Program Linier Fuzzy enuh dan tidak enuh,model Program Linier Fuzzy Penuh daat disajikan dalam bentuk baku Ƽ)0Ų( ǰ Ƽ)0, (2.4) terhada Ƽ)0Ų( dz ƊƼ)0 Ƽ)0,, = Ɗ, m = 1,2,,Ŗ, (2.5) Ƽ)0 0,= 1,2,,k, (2.6) masalah PLFP (Program Linier Fuzzy Penuh) dengan ersamaan kendala fuzzy Ŗ dan variabel fuzzy k daat diformulasikan sebagai berikut, dengan kendala = adalah bilangan fuzzy non-negatif, dimana: = ǰ Ƽ)0 Ų( ; = Ƽ)0 Ų( ; = dz ƊƼ)0 ; = Ɗ Ų( dan dz ƊƼ)0,ǰ Ƽ)0, Ƽ)0, Ɗ., i = 1, 2,, m dan j =1, 2,, n.

3 Jurnal Matematika Vol. 19 No. 2 Agustus 2016 : Pada [6] x * = ((x * ) l, (x*) c, (x*) u ) dikatakan solusi otimal fuzzy dari ersamaan ( ) jika memenuhi karakteristik berikut: (i) x * = [ Ƽ)0 ] Ų( dimana Ƽ)0 F(R) +, j =1, 2,, n, (ii) Ax * = b, (iii) x= ((x) l, (x) c, (x) u ) S= { x Ax = b, x= [ Ƽ)0 ] Ų( dimana Ƽ)0 F(R) + } sehingga RhR(ǰ ) < RhR(ǰ * ) (dalam masalah meminimalkan RhR(ǰ ) > RhR(ǰ * ) Jika terdaat x Ssedemikian sehingga ǰ = ǰ *, maka x juga meruakan solusi otimal dari ersamaan (1),(2), (3) dan dinamakan solusi otimal alternatif. Langkah-langkah dari Metode Kumar adalah untuk menyelesaikan masalah rogram linier fuzzy enuh sebagai berikut[6]: 1. Langkah 1 masalah FFLP ditulis sebagai: Ƽ)0Ų( ǰ Ƽ)0 Ƽ)0, terhada Ƽ)0Ų( dz ƊƼ)0 Ƽ)0 = Ɗ, Ƽ)0 adalah bilangan non-negatif triangular fuzzy. 2. Langkah 2 Jika semua arameter ǰ Ƽ)0,,dz ƊƼ)0 dan Ɗ meruakan bilangan triangular fuzzy gn Ƽ)0, Ƽ)0,1 Ƽ)0, Ƽ)0, Ƽ)0, Ƽ)0,dz ƊƼ)0, ƊƼ)0,ǰ ƊƼ)0, dan Ɗ, Ɗ,RhR Ɗ, berdasarkan langkah 1 daat ditulis: = Ƽ)0Ų( gn Ƽ)0, Ƽ)0,1 Ƽ)0 Ƽ)0, Ƽ)0, Ƽ)0, terhada Ƽ)0Ų(dz ƊƼ)0, ƊƼ)0,ǰ ƊƼ)0 Ƽ)0, Ƽ)0, Ƽ)0 = Ɗ, Ɗ,RhR Ɗ, Ƽ)0 0, m = 1,2,,Ŗ 3. Langkah 3 Asumsikan dz ƊƼ)0, ƊƼ)0,ǰ ƊƼ)0 Ƽ)0, Ƽ)0, Ƽ)0 = Ŗ ƊƼ)0,k ƊƼ)0,.a ƊƼ)0 adalah asalah FFLP (Fully Fuzzy Linear Programming), berdasarkan langkah 2 daat ditulis: RhR Ƽ)0Ų(gn Ƽ)0, Ƽ)0,1 Ƽ)0 Ƽ)0, Ƽ)0, Ƽ)0, terhada Ƽ)0Ų( Ŗ ƊƼ)0,k ƊƼ)0,.a ƊƼ)0 = Ɗ, Ɗ,RhR Ɗ, Ƽ)0 0 m = 1,2,,Ŗ, 4. Langkah 4 Dengan menggunakan oerasi aritmatika yang didefinisikan dalam masalah rogram linier fuzzy ada definisi 2.4 dan definisi 2.5 dan berdasarkan langkah 3 maka diubah menjadi masalah CLP (Cris Linear Programming) yaitu sebagai berikut: RhR Ƽ)0Ų(gn Ƽ)0, Ƽ)0,1 Ƽ)0 Ƽ)0, Ƽ)0, Ƽ)0, terhada Ƽ)0Ų( Ŗ ƊƼ)0 = Ɗ ; Ƽ)0Ų( k ƊƼ)0 = Ɗ, Ƽ)0Ų(.a ƊƼ)0 = RhR Ɗ, m = 1,2,,Ŗ, Ƽ)0 Ƽ)0 0, Ƽ)0 Ƽ)0 0, = 1,2,,k. 5. Langkah 5 Temukan solusi otimal Ƽ)0, Ƽ)0 dan Ƽ)0 dengan menyelesaikan masalah CLP (Cris Linear Programming) berdasarkan langkah Langkah 6 Temukan solusi otimal fuzzy dengan memasukkan nilai dari Ƽ)0, Ƽ)0 dan Ƽ)0 kedalam Ƽ)0 = Ƽ)0, Ƽ)0, Ƽ)0. 7. Langkah 7 Temukan nilai otimal fuzzy dengan memasukkan nilai Ƽ)0 kedalam ǰ Ƽ)0 Ƽ)0 Ƽ)0Ų(. Contoh 2.12 Diberikan tabel untuk masalah transortasi dalam bilangan fuzzy sebagai berikut: 89

4 Mohammad Ervan S dan Bambang Irawanto (Metode Kumar untuk Menyelesaikan Program Linier Fuzzy ) Tabel 2.1 Tabel masalah transortasi dalam bilangan Fuzzy Tujuan Sumber Distribusi 1 Distribusi 1 Distribusi 1 Distribusi 1 Pabrik 1 (5.6, 5.8, 6) (3.8, 4, 4.2) (6, 6.2, 6.4) (5.8, 6, 6.2) Pabrik 1 (4.1, 4.3, 4.5) (2.8, 3, 3.2) (4.5, 4.7, 4.9) (4.3, 4.5, 4.7) Demand (810, , 1281) (577, 865.5, 1154) (633, 917, 1201) (700, 974, 1248) Suly (1465, 2185, 2905) (1255, 1617, 1979) ƊƼ)0 : banyaknya distribusi roduk ke-i dengan tujuan ke-j. dengan ƊƼ)0 = ( ( ƊƼ)0 ) l, ( ƊƼ)0 ) c, ( ƊƼ)0 ) u ). Untuk semua i =1, 2 dan j = 1, 2, 3, 4. Fungsi tujuan (meminimumkan ) Meminimumkan ((5.6, 5.8, 6) Ų(Ų( (3.8, 4, 4.2) Ų( (6, 6.2, 6.4) Ų(Ǵ (5.8, 6, 6.2) Ų( (4.1, 4.3, 4.5) Ų( (2.8, 3, 3.2) (4.5, 4.7, 4.9) Ǵ (4.3, 4.5, 4.7), dengan kendala: Ų(Ų( Ų( Ų(Ǵ Ų( = (1465, 2185, 2905), Ų( Ǵ = (1255, 1617, 1979), Ų(Ų( Ų( = (810, , 1281), Ų( = (577, 865.5, 1154), Ų(Ǵ Ǵ = (633, 917, 1201), Ų( = (700, 974, 1248), dimana ƊƼ)0 F (RhR)+, i = 1, 2 dan j = 1, 2, 3, 4. Menggunakan langkah 4, mengkonversi masalah rogram linier fuzzy enuh ke dalam masalah CLP (Cris Linear Programming). Meminimumkan (1.4( Ų(Ų( ) l ( Ų( ) l + 1.5( Ų(Ǵ ) l ( Ų( ) l ( Ų( ) l + 0.7( ) l ( Ǵ ) l ( ) l + 2.9( Ų(Ų( ) c + 2( Ų( ) c + 3.1( Ų(Ǵ ) c + 3( Ų( ) c ( Ų( ) c + 1.5( ) c ( Ǵ ) c ( ) c + 1.5( Ų(Ų( ) u ( Ų( ) u + 1.6( Ų(Ǵ ) u +1.55( Ų( ) u ( Ų( ) u + 0.8( ) u ( Ǵ ) u ( ) u ) dengan kendala: (( Ų(Ų( ) l + ( Ų( ) l + ( Ų(Ǵ ) l + ( Ų( ) l = 1465) ; (( Ų(Ų( ) c + ( Ų( ) c + ( Ų(Ǵ ) c + ( Ų( ) c = 2185); (( Ų(Ų( ) u + ( Ų( ) u + ( Ų(Ǵ ) u + ( Ų( ) u = 2905) ; (( Ų( ) l + ( ) l + ( Ǵ ) l + ( ) l = 1255); (( Ų( ) c + ( ) c + ( Ǵ ) c + ( ) c = 1617);(( Ų( ) u + ( ) u + ( Ǵ ) u + ( ) u =1979) ; (( Ų(Ų( ) l + ( Ų( ) l = 810) ; (( Ų(Ų( ) c + ( Ų( ) c = ) ; (( Ų(Ų( ) u + ( Ų( ) u = 1281) ; (( Ų( ) l + ( ) l = 577) ; (( Ų( ) c + ( ) c = 865.5) ; (( Ų( ) u + ( ) u = 1154) ; (( Ų(Ǵ ) l + ( Ǵ ) l = 633) ; (( Ų(Ǵ ) c + ( Ǵ ) c = 917) ; (( Ų(Ǵ ) u + ( Ǵ ) u = 1201) ; (( Ų( ) l + ( ) l = 700) ; (( Ų( ) c + ( ) c = 974) ; (( Ų( ) u + ( ) u = 1248), (( ƊƼ)0 ) c - ( ƊƼ)0 ) l 0) ; (( ƊƼ)0 ) u - ( ƊƼ)0 ) c 0) ; (( ƊƼ)0 ) l 0), i = 1, 2, = 1, 2, 3, 4. Menggunakan langkah 6, berdasarkan langkah 5 menemukan solusi otimal menggunakan alikasi matematika, yaitu POM for Windows Version 3.0, yaitu: (( Ų(Ų( )) = ((x 11 ) l, (x 11 ) c, (x 11 ) u ) = (0, 0, 0), (( Ų( )) = ((x 12 ) l, (x 12 ) c, (x 12 ) u ) = (577, 865.5, 1154), (( Ų(Ǵ )) = ((x 13 ) l, (x 13 ) c, (x 13 ) u ) = (188, 345.5, 503), (( Ų( )) = ((x 14 ) l, (x 14 ) c, (x 14 ) u ) = (700, 974, 1248), (( Ų( )) = ((x 21 ) l, (x 21 ) c, (x 21 ) u ) = (810, , ), (( )) = ((x 22 ) l, (x 22 ) c, (x 22 ) u ) = (0, 0, 0), (( Ǵ )) = ((x 23 ) l, (x 23 ) c, (x 23 ) u ) = (445, 571.5, 698), (( )) = ((x 24 ) l, (x 24 ) c, (x 24 ) u ) = (0, 0, 0). Nilai otimal dari fungsi tujuan dieroleh dengan mensubstitusikan harga * ke dalam ǰ, sehingga solusi otimal dari ermasalahan FFLP daat dituliskan sebagai berikut: 90

5 Jurnal Matematika Vol. 19 No. 2 Agustus 2016 : Ƽ)0Ų( ) ƊŲ( (ǰ ƊƼ)0 ƊƼ)0 = 5.6(0) + 3.8(577) + 6(188) + 5.8(700) + 4.1(810) + 2.8(0) +4.5(445) + 4.3(0) = , ƊŲ( Ƽ)0Ų( (ǰ ƊƼ)0 ƊƼ)0 ) = 5.8(0) + 4(865.5) + 6.2(345.5) + 6(974) + 4.3(1045.5) +3(0) + 4.7(571.5) + 4.5(0) = , ƊŲ( Ƽ)0Ų( (ǰ ƊƼ)0 ƊƼ)0 ) = 6(0) + 4.2(1154) + 6.4(503) + 6.2(1248) + 4.5(1281) +3.2(0) + 4.9(698) + 4.7(0) = , ǰ * = Ƽ)0Ų( ) Ƽ)0Ų( ) ƊŲ( Ƽ)0Ų( ) ƊŲ( (ǰ ƊƼ)0 ƊƼ)0, ƊŲ( (ǰ ƊƼ)0 ƊƼ)0, (ǰ ƊƼ)0 ƊƼ)0 ǰ * = ( , , ). Penegasan (defuzzification) digunakan untuk mengubah nilai solusi otimal fungsi tujuan fuzzy menjadi nilai solusi otimal fungsi tujuan tegas (cris). Dengan menggunakan fungsi eringkat (definisi 2.6) enegasan dari solusi otimal fungsi tujuan = ( , , ), yaitu sebagai berikut: Z = Ų(is.Ų(Ų(..Ǵ = i = 3. PENUTUP Masalah rogram linier fuzzy enuh ada masalah transortasi daat diselesaikan dengan menggunakan Metode Kumar. Dengan menggunakan Fungsi rangking enegasan (deffuzification) dilakukan untuk mengubah nilai solusi otimal fuzzy menjadi solusi otimal tegas (cris). 4. DAFTAR PUSTAKA [1] Suroso, Widodo, (2013), Kajian Peneraan Program Linear Multi Objektif Fuzzy Interaktif ada Keutusan Perencanaan Transortasi. Jurnal Teknik Siil, 18(1): [2] Susilo, Frans, (2006), Himunan & Logika Kabur serta Alikasinya, Yogyakarta: Graha Ilmu. [3] F.H, Lotfi. T, Allahviranloo. M.A, Jondabeha. L, Alizadeh, (2009), Solving a Fully Fuzzy Linear Programming Using Lexicograhy Method and Fuzzy Aroximate Solution, International Journal of Alied Mathematics Modelling, 33(7) : [4] Mohammad Ervan, Bambang Irawanto dan Sunarsih, (2015), Program Linier Fuzzy Penuh dengan Algoritma Multi Objective Linear Programming, Jurnal Matematika, 18(1): [5] Klir, George J. dan Yuan Bo, (1995), Fuzzy Sets and Fuzzy Logic Theory and Allications, New Jersey: Prentice Hall P T R. [6] Kumar, Amit. Jagdee Kaur. Pushinder Singh, (2011), A New Method For Solving Fully Fuzzy Linear Problemming Problem. International Journal of Alied Mathematics Modelling, 35(2): [7] A. Kaufmann, M.M. Guta, (1985), Introduction to Fuzzy Arithmetic Theory and Alications, New york: Van Nostrand Reinhold. [8] Hillier, Frederick S dan Gerald J. Liberman, (1990), Introduction to Oerations Research Fifth Edition, Jakarta: Erlangga. 91